КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Н. Худенко, В.В. Махоркин

ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ

Калининград 2000

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Н. Худенко, В.В. Махоркин

ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ

Калининград 2000

УДК 515.1(042) ББК 22.152я73

Х 98

Рецензенты

Кафедра математического моделирования Московского физико-технического института; профессор, д-р физ.-мат. наук Ю.Н. Карамзин

Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Калининградского государственного университета.

Худенко В.Н., Махоркин В.В. Х 98 Лекции по топологии / Калинингр. ун-т. – Калининград, 2000. –

111 с. ISBN 5-88874-158-2.

Излагаются классические вопросы общей, алгебраической и

дифференциальной топологии, в соответствии с государственным стандартом высшего профессионального обучения по специальности «математика». Учебное пособие предназначено студентам математических факультетов, аспитантам и преподавателям высших учебных заведений.

УДК 515.1(042) ББК 22.152я73

© Калининградский государственный университет, 2000

ISBN 5-88874-158-2 © Худенко В.Н., Махоркин В.В., 2000

Учебное издание

Владимир Николаевич Худенко Валериан Васильевич Махоркин

ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ

Редактор Л.Г. Ванцева Оригинал-макет подготовлен И.А. Хрусталевым

Лицензия № 020345 от 14.01.1997 г. Подписано в печать 18.12.2000 г. Бумага для множительных аппаратов. Формат 60×90 1/16.

Гарнитура «Таймс». Ризограф. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 6,1. Тираж 150 экз. Заказ .

Калининградский государственный университет

236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................................................................... 4 Глава I. Общая топология .......................................................................... 6

§1. Некоторые сведения из теории множеств ......................................... 6 §2. Метрические пространства ................................................................. 11 §3. Понятие топологического пространства. Примеры ......................... 17 §4. Замкнутые множества. Системы замкнутых множеств ................... 20 §5. Замыкание множества. Оператор замыкания .................................... 21 §6. Внутренность, внешность, граница .................................................... 25 §7. База топологии. Аксиомы счетности ................................................. 26 §8. Подпространства и отделенность ....................................................... 29 §9. Связность .............................................................................................. 34 §10. Непрерывные отображения топологических пространств ............ 36 §11. Аксиомы отделимости ....................................................................... 40 §12. Сходимость в топологических пространствах ................................ 44 §13. Операции над топологическими пространствами .......................... 45 §14. Компактные топологические пространства .................................... 49

Глава II. Гомотопия ..................................................................................... 53 §1. Гомотопия ............................................................................................. 53 §2. Пути в топологическом пространстве ................................................ 57 §3. Фундаментальная группа .................................................................... 62 §4. Фундаментальная группа окружности ............................................... 66

Глава III. Дифференцируемые многообразия ........................................ 73 §1. Дифференцируемые многообразия .................................................... 73 §2. Касательное пространство ................................................................... 79 §3. Подмногообразия ................................................................................. 89 §4. Многообразия с краем ......................................................................... 92 §5. Ориентация дифференцируемых многообразий ............................... 97

Глава IV. Степень отображения ................................................................ 103 §1. Степень отображения ........................................................................... 103

Список рекомендуемой литературы ......................................................... 110

4

ВВЕДЕНИЕ Основы топологии заложены в трудах великого французского

математика Анри Пуанкаре (на рубеже XIX и XX столетий). Значительный вклад в развитие общей топологии внесли такие математики, как М. Фреше, Ф. Рисс, Ф. Хаусдорф, К. Куратовский, П.С. Александров.

Дальнейшее развитие топологии как науки пошло по пути развития и объединения теоретико-множественного и алгебраического направлений. Здесь следует указать на труды Л. Брауэра, Дж. Александера, С. Лефшеца, П.С. Александрова, П.С. Урысона, Х. Хопа, Л.А. Люстерник, А.Н. Тихонова, А.Н. Колмогорова, Л.С. Понтрягина и многих других.

Развитие современной алгебраической топологии во много связано с такими отечественными математиками как лауреат Филдсовской премии С.П. Новиков, Ю.И. Манин, А.Т. Фоменко, В.И. Арнольд, А.С. Мищенко.

Идеи и образы топологии играют важную роль во всех отраслях современной математики – в функциональном и математическом анализе, дифференциальных уравнениях, дифференциальной геометрии, а также в математической и квантовой физике. Отсюда следует важность овладения методами топологии специалистами-математиками.

Данное учебное пособие представляет собой одну из попыток изложения идей топологии в соответствии с Государственным стандартом высшего профессионального образования по специальности «математика».

В первой главе излагаются классические вопросы общей топологии: понятие топологического пространства, открытые и замкнутые множества, связность, компактность, непрерывные отображения топологических пространств и т.д.

Глава вторая посвящена некоторым простейшим вопросам теории гомотопии, являющейся одной из ветвей алгебраической топологии. Рассмотренные в этой главе вопросы позволяют уже на простом материале продемонстрировать основную идею алгебраической топологии – переход от топологических задач (свойств) к алгебраическим задачам (свойствам).

Пример группы Пуанкаре (фундаментальной группы топологического пространства) показывает один из способов такого перехода, его свойства.

Вычисляется фундаментальная группа окружности, и ее знание используется для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке.

5

Глава третья посвящена дифференцируемым многообразиям, здесь рассматриваются основные вопросы, связанные с гладкими многообразиями и их свойствами; многообразия с краем, касательные пространства и расслоения, ориентация многообразия, индуцированная ориентация края. Глава четвертая посвящена степени гладкого отображения, рассмотрены некоторые основные свойства.

Изложенные в пособии материалы мы старались представить с максимально возможным рассмотрением технической стороны вопросов. Задачи, предложенные для самостоятельного решения, являются простыми и предложены в основном для самоконтроля.

6

Глава I. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

§1. Некоторые сведения из теории множеств Множество – одно из основных неопределяемых понятий. Под множеством понимают рассматриваемую как единую целостную

совокупность (семейство, набор и т.д.) предметов произвольной природы. Множество А, состоящее из элементов xα, где α пробегает некоторое множество N, называемое множеством индексов, обозначается A={xα, α∈N}. Примеры задания множеств:

A={(x1, x2)∈R2: | 21x + 2

2x ≤4}, B={(x1, x2)∈ R2: x1 ∈(1; 2), x2 ∈[-2; ∞)}.

Множеством является и пустое множество, т.е. множество, не содержащее никаких элементов (обозначается ∅).

Приняты обозначения α∈B, A⊂B. Два множества называются равными (A=B), если A⊂B и B⊂A.

П. 1. Отображение множеств

Пусть задано два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x∈X поставлен в соответствие единственный элемент y∈Y, то говорят, что задано отображение из Х в Y è пишут f: X → Y.

Элемент y∈Y называют образом элемента х и обозначают y=f(x). Пусть y∈B. Совокупность всех элементов x∈X, имеющих y своим

образом, называется прообразом (полным прообразом) элемента y и обозначают f-1(y).

Если A⊂X, то множество всех образов элементов из А обозначается f(A). Пусть B= f(A). Если B=Y, то отображение f называется сюръективным.

Если f(x)=y0 для любых x∈X, то отображение f называется постоянным.

Если f(x)=x для любого x∈X, то отображение называется тождественным на Х и обозначается Ix.

Если при отображении f: X → Y для любых x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2), то отображение f называется инъективным.

7

Отображение f, одновременно являющееся инъективным и сюръективным, называют биективным или взаимно однозначным.

Отображение i: A→X, где A⊂X, ставящее в соответствие каждому элементу x его самого, т.е. i(x)=x для ∀ x∈A, называется вложением (или отображением включения).

Пусть имеются два отображения: f: X→Y и ϕ: Y→Z, тогда отображение ψ: X→Z, такое, что ψ(x)=ϕ(f(x)) для ∀ x∈X, называется композицией отображений и обозначается ψ=ϕοf.

П. 2. Операции над множествами

Пусть задано произвольное семейство множеств X={Aα, α∈N}.

Множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств Aα, называют

объединением множеств семейства Х и обозначают α∈α∪ A

N.

Для объединения множеств справедливы законы коммутативности и ассоциативности:

1. A∪B=B∪A; 2. A∪(B∪C)=(A∪B)∪C. Разностью между множествами А и В (или дополнением множества В

до множества А, если B⊂A) называются те элементы множества А, которые не входят в множество В:

A\B={x|x∈A, x∉B}. Очевидные свойства этой операции: 1. A\A=∅, 2. A\∅ =A. Пусть задано произвольное семейство множеств X={Aα, α∈N}.

Множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит каждому из множеств Aα, называют пересечением множеств семейства Х и обозначают α∈α

∩ AN

. Для этой операции также справедливы

законы коммутативности и ассоциативности. В дальнейшем будут использоваться формулы де Моргана: 1. ( )ΙΥ

αα

αα = B\AB\A ; 2. ( )ΥΙ

αα

αα = B\AB\A .

Введем еще одну операцию над множествами. Пусть А и В – два произвольных множества. Декартовым произведением (или просто произведением) множества А на множество В называется множество упорядоченных пар (a, b), т.е.

A×B={(a, b)⏐a∈A, b∈B}. Данное определение допускает обобщение на любое конечное число

слагаемых.

8

П. 3. Общие свойства отображений Рассмотрим отображение f: X→Y. Теорема 1. Для любых двух множеств А и В из Х образ объединения

равен объединению образов; образ пересечения содержится в пересечении образов:

f(A∪B)=f(A)∪f(B); f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).

Теорема 2. Для любых двух множеств М и N из Y прообраз объединения равен объединению прообразов; прообраз пересечения равен пересечению прообразов:

f-1(A∪B) = f-1(A)∪f-1(B); f-1(A∩B) = f-1(A)∩f-1(B).

П.4. Мощность множества

Если между множествами А и В установлено взаимно однозначное

соответствие, т.е. каждому элементу a∈A поставлен в соответствие один и только один элемент b∈B, и наоборот, каждому элементу b∈B соответствует один и только один элемент a∈A, тогда множества А и В называются эквивалентными и обозначаются А~В.

Примером эквивалентных множеств являются два множества, содержащие одинаковое число элементов.

Множество точек отрезка [0, 1] эквивалентно множеству точек отрезка [2, 4]; взаимно однозначное соответствие осуществляет функция (возмож-но подобрать и другую)

f(x)= ( ),2x21

− где x∈[2,4].

Еще одним примером эквивалентных множеств является так называемая «стереографическая проекция» (рис. 1), показывающая, что множество точек сферы (с выколотым северным полюсом S) эквивалентно множеству точек плоскости α.

Проектирование с центром в точке S устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками M~ сферы и М плоскости. Интересен факт, что эта конструкция была известна математикам Древней Греции. Конечные множества различаются по количеству элементов. Возникает вопрос о возможности различать «количественно» бесконечные множества.

9

Рис. 1

Пусть А – произвольное множество. Поставим этому множеству в соответствие число m(A), называемое кардинальным числом, или мощностью, множества А. При этом

m(A)=m(B)⇔A∼B. Мощность конечного множества m({a1, a2, …, an})=n. Мощность

пустого множества m(∅)=0. Мощность множества натуральных чисел: m(N)=à. Каждое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Мощность множества m((0;1])=C. Множество с кардинальным числом C называется множеством мощности континуум.

Пусть А и В – два множества и m=m(A), n=m(B). Будем считать, что m>n, если В эквивалентно некоторому подмножеству множества А и не эквивалентно самому множеству А.

П. 5. Элементарные мощности

Теорема. Каждое бесконечное множество имеет счетное

подмножество. > Доказательство: Пусть А – произвольное множество. Выберем какой-

нибудь его элемент x1∈A. Рассмотрим множество A\{x1}, которое не пустое и бесконечное. Выделим из этого множества элемент x2∈A\{x1},. Далее рассматриваем бесконечное множество A\{x1, x2} и т.д. Так мы прейдем к определению подмножества M⊂A, M={x1, x2, …, xn, …}, которое является счетным множеством. <

Следствие. Если m является мощностью некоторого бесконечного множества, то m ≥ a.

α

~M М

S

A B

10

Для счетных множеств справедливы следующие утверждения. 1. Объединение счетного и конечного числа дизъюнктных (т.е.

непересекающихся) множеств есть множество счетное. 2. Объединение конечного числа счетных дизъюнктных множеств есть

множество счетное. 3. Объединение счетного числа счетных дизъюнктных множеств есть

множество счетное. Докажем последнее утверждение. Для доказательства рассмотрим счетное семейство счетных множеств

A1={a11, a12, …}, A2={a21, a22, …}, … An={an1, an2, …}. Пронумеруем элементы объединения этих множеств в следующем порядке:

a11→a12 a13→a14 ... ↓ ↑ ↓ a21→a22 a23 a24 ... ↓ ↑ ↓ a31→a32 → a33 a34 ... .....................................

Этим мы показали, что множество Υn

nAB = эквивалентно множеству

натуральных чисел, т.е. счетно. Имеет место следующая Теорема. Множество чисел (0; 1] несчетно.

> Доказательство: Так как ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ,...

31,

21,1 ⊂(0; 1], то c ≥ a. Покажем, что

c ≠ a. Предположим противное, т.е. что любое число, принадлежащее множеству (0; 1], можно занумеровать. Запишем эти числа, представив их в виде бесконечных десятичных дробей:

a1=0,a11a12a13...a1n... a2=0,a11a12a13...a1n... ................................ an=0,an1an2an3...ann... ................................

Рассмотрим некоторую дробь a0=0,a1a2…an…, где a1≠a11, a2≠a22, … an≠ann. Очевидно, что a0∉(0; 1]. Кроме того, среди выписанных дробей этой дроби нет. Следовательно, мы получили противоречие, которое доказывает теорему. <

Из этой теоремы следует, что C > a. Возникает вопрос о существовании множества промежуточной мощности. Г. Кантор предположил, что такого множества нет. Такое предположение было в математике названо

11

континуум-гипотезой. Только в середине 60-х годов американским математиком П. Коэном было доказано, что принятие или отрицание этой гипотезы не противоречит аксиомам теории множеств, т.е. континуум-гипотеза является одной из аксиом теории множеств.

§2. Метрические пространства

Одним из часто встречающихся в математике понятий является

понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых пространствах, в математическом анализе при определении такого фундаментального понятия, как предел числовой последовательности (или функции) и.д. Обобщив некоторые понятия, французский математик М. Фреше построил теорию метрических пространств.

П. 1. Понятие метрического пространства

Пусть Х – произвольное непустое множество. Говорят, что на Х задана

метрика (расстояние), если для каждой пары элементов x,y∈X поставлено в соответствие единственное неотрицательное число ρ(х, у), удовлетворяющее следующим трем условиям (аксиомам метрического пространства):

1) ρ(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома тождества); 2) ρ(х, у) = ρ(у, х) для ∀ х, у ∈ X (аксиома симметрии); 3) ρ(х, у) + ρ(у, z) ≥ ρ(х, z) ∀ х, у, z ∈ X (аксиома треугольника). Пара (Х, ρ), т.е. множество Х с заданной на нем метрикой, называется

метрическим пространством. Если (Х, ρ) – метрическое пространство и А⊂Х, то пара (А, ρ), где

ρ(х, у) – расстояние между точками х, у ∈ А – равно расстоянию между этими точками в пространстве (Х, ρ), также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (Х, ρ).

Примеры

1. На любом непустом множестве Х можно определить метрику

следующим образом:

ρ(х,у)⎩⎨⎧

≠=

y. x1,y;= x,0

Такое пространство называется пространством изолированных точек.

12

2. Пусть Х – множество действительных чисел. В качестве расстояния между точками возьмем функцию

ρ(х,у)=|x-y|. Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из

свойств функции «абсолютная величина» числа. Полученное метрическое пространство называется одномерным арифметическим пространством, или числовой прямой.

3. Пусть Х – множество упорядоченных наборов n вещественных чисел. Тогда для любых двух его точек x=(x1, x2, … xn) и y=(y1, y2, … yn) определим расстояние

ρ(х, у) ( )∑=

−=n

1i

2ii yx .

Получим метрическое пространство, называемое n-мерным арифметическим пространством, которое обозначается Rn.

4. Множество оставим прежним, а метрику определим иначе:

ρ(х, у) = ni1

max≤≤

|xi-yi|.

Полученное пространство обозначают 0nR .

5. Воспользуемся множеством вех функций, непрерывных на отрезке [a;b]. Расстояние между двумя его элементами будем вычислять по формуле

ρ(f,g)=[ ]b;ax

sup∈

|f(x)-g(x)|.

Получили пространство непрерывных на [a; b] функций (обозначается C[a,b]).

6. Возьмем множество числовых последовательностей, квадраты членов которых образуют сходящийся числовой ряд. Метрику определим аналогично метрике примера 3, т.е. x=(x1, x2, … xn, …) y=(y1, y2, … yn):

ρ(х,у) ( )∑∞

=

−=1i

2ii yx .

Получим метрическое пространство, называемое координатным пространством Гильберта.

П. 2. Основные определения

Пусть (Х, ρ) – произвольное метрическое пространство.

13

Открытым шаром радиуса r и с центром в точке х0 называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше r:

B(x0, r)={x∈X| ρ(x0, x)<r}. Замкнутым шаром радиуса r и с центром в точке х0 называется

множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше или равно r:

B[x0, r]={x∈X| ρ(x0, x)≤r}. Окрестностью точки а (сферической окрестностью) называется

открытый шар с центром в этой точке и радиуса ε. В пространстве R1 открытым шаром B(x0, r) является интервал

(x0-r, x0+r). Пусть А – произвольное множество метрического пространства (Х, ρ). Точка а∈А называется внутренней точкой множества А, если

существует окрестность этой точки, целиком входящая в множество А. Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью множества А и обозначается А0 (другое обозначение – intA). Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым. Точка b называется внешней точкой множества А, если она является внутренней точкой дополнения, т.е. множества Х\А (т.е. существует окрестность точки b, не имеющая с множеством А общих точек).

Точка а∈А называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точки содержится бесчисленное количество точек из множества А.. Множество всех предельных точек множества А называется производным множеством и обозначается А'.

Точка а называется точкой прикосновения множества А, если любая окрестность точки а имеет с множеством А непустое пересечение.

Замечание: Каждая предельная точка является точкой прикосновения, но не наоборот.

Точка множества А, не являющаяся предельной точкой, называется изолированной точкой (если точка изолированная, то существует такая окрестность этой точки, которая содержит из множества только саму эту точку). Каждая точка прикосновения – или предельная точка, или изолированная.

Множество М метрического пространства (Х, ρ) называется ограниченным, если существует открытый шар, целиком содержащий множество М.

Диаметром множества М называется число

d(M)=My,x

sup∈ρ(х, у).

14

Расстоянием от точки а до множества М называется число

ρ(а,М)=Mx

inf∈

ρ(а, х).

Расстоянием между двумя множествами M и N называется число

ρ(М,N)=Ny,Mx

inf∈∈ρ(х, y).

Если M∩N≠∅, то ρ(М, N)=0. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

1. В пространстве R1 множество A=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ,...

n1,...,

31,

21,1 обладает

следующими свойствами: • все точки изолированные (внутренних точек не имеется, А0=∅). • точка 0∉A является точкой прикосновения этого множества; • множество ограничено; • диаметр множества d(A)=1; • множеством внешних точек является множество

B=(-∞; 0)∪(1; +∞)Υ∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+1n n1;

1n1 .

2. Множество С=(a;b)⊂R1 обладает следующими свойствами: • множество С открыто, т.к. все его точки внутренние; • множество точек прикосновения совпадает с производным множеством С0=[a;b]; • изолированных точек нет; • множество С ограничено; • диаметр множества d(c)=b-a.

П. 3. Понятие сходимости

Последовательность точек х1, x2,...,xn,... метрического пространства

(Х, ρ) называется сходящейся к точке а, если

∞→nlimρ(xn, a)=0,

т.е. ∀ε>0 ∃n0, ∀n>n0 ⇒ ρ(xn, a)<ε. При этом точку а называют пределом последовательности и записывают

∞→nlim xn=a.

15

Теорема 1. Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел.

> Предположим, что последовательность {xn} имеет два предела:

∞→nlimρ(xn,a1)=

∞→nlim ρ(xn,a2)=0

Тогда в неравенстве треугольника для точек а1 и а2 (а1≠а2) ρ(а1, а2) ≤ ρ(а1, xn) + ρ(xn, а2)

правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает теорему. <

Теорема 2. Точка а метрического пространства (Х, ρ) является точкой прикосновения множества А тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность точек, сходящихся к точке а. > Если точка а точка прикосновения множества А, то любая ее

окрестность, в частности открытый шар B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n1,a , имеет с множеством А

непустое пересечение; следовательно, в каждом таком шаре существует хотя бы одна точка xn∈A. Очевидно, что

∞→nlimρ(xn,a)=0. Следовательно

xn→a. < Теорема 3. Точка а метрического пространства (Х, ρ) является предельной точкой множества А тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность попарно различных точек, сходящихся к точке а.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Определение. Последовательность точек x1, x2, x3,... пространства

(Х, ρ) называется фундаментальной, если для любого числа ε>0 найдется такое число n0, что для всех n, m > n0 выполняется неравенство ρ(xm, xn)<ε.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Определение. Метрическое пространство, в котором всякая

фундаментальная последовательность сходится, называется полным. В терминах теории метрических пространств известный критерий

Коши сходимости числовой последовательности означает полноту метрического пространства R1.

Полными являются пространства Rn, ,R n0 C[a;b].

П. 4. Замыкание множества. Свойства операции замыкания

Определение. Присоединение к множеству всех его точек

прикосновения называется замыканием множества. Замыкание множества М обозначается M .

16

Определение. Множество М метрического пространства (Х, ρ) называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.

Операция замыкания обладает следующими свойствами: 1) A⊂A ; 2) M⊂N⇒ NM ⊂ ; 3) AA = ; 4) NMNM ΥΥ = . (Доказательство этих свойств будет приведено для более общего случая

топологических пространств.)

П. 5. Свойства открытых и замкнутых множеств метрического пространства

Теорема 4. Множество метрического пространства замкнуто тогда

и только тогда, когда его дополнение открыто. > Пусть F – замкнутое множество и точка x0∈X\F. Так как множество F

содержит все свои точки прикосновения, то x0 не является таковой, а следовательно, существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в дополнении множества F, т.е. в X\F. Таким образом, мы получаем, что произвольная точка X\F является внутренней, а само множество – открыто.

Предположим теперь, что множество X\F – открытое множество. Докажем, что множество F содержит все свои точки прикосновения. Пусть точка y0∉F. Тогда y0∈X\F, в силу открытости множества X\F существует окрестность B(y0,ε)⊂X\F. Тогда точка y0 не является точкой прикосновения множества F. Следовательно, множество F содержит все свои точки прикосновения, т.е. замкнуто. <

Теорема 5 (о свойствах системы открытых множеств). Открытые множества обладают следующими свойствами: 1. Все пространство Х и ∅ – открытые множества. 2. Объединение любого количества открытых множеств есть

множество открытое. 3. Пересечение конечного числа открытых множеств есть множество

открытое. Первое утверждение теоремы очевидно. > Пусть множества Gα открыты в метрическом пространстве (Х, ρ).

Рассмотрим произвольную точку x0∈G=Υα

αG . Так как точка x0

принадлежит объединению множеств, то существует по крайней мере одно множество Gβ, которое содержит эту точку. Множество Gβ- открытое, следовательно, все его точки внутренние. Значит, существует такой

17

открытый шар B(x0,ε)⊂Gβ. Следовательно, B(x0,ε)⊂Υα

αG . Таким образом,

произвольная точка x0∈G оказалась внутренней, следовательно, множество G – открытое.

3. Выберем произвольную точку y0∈ Ιk

1nnGG~

=

= . Так как все множества

G1,G2,…,Gn – открытые, то ∃ B(y0,ε1)⊂ G1, ∃ B(y0,ε2)⊂ G2, …,∃ B(y0,εk)⊂ Gk.

Все сферические окрестности точки y0 отличаются лишь радиусами. Обозначим ε=

ki1min

≤≤{ε}. Тогда сферическая окрестность B(y0,ε) будет

входить во все множества G1,G2,…,Gn, а следовательно, и в пересечение этих множеств. Таким образом, произвольная точка y0∈G~ оказалась внутренней, следовательно, множество G~ – открытое. <

Теорема. Семейство всех замкнутых множеств обладает следующими свойствами:

1. Все пространство Х и ∅ являются замкнутыми множествами. 2. Объединение конечного числа замкнутых множеств – замкнуто. 3. Пересечение любого числа замкнутых множеств – замкнуто. Доказательство теоремы основано на применении формул Де Моргана. Замечание: Пересечение бесконечного числа открытых множеств

может быть и не открыто. Рассмотрим, например, в пространстве R1

пересечение множеств Ι∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1n n1;

n1 ={0}. Результат пересечения –

одноточечное множество {0} не является открытым множеством в R1.

§3. Понятие топологического пространства. Примеры В теории метрических пространств открытые множества, окрестности,

предельные точки и другие понятия определяются с использованием понятия метрики. Возможен другой подход: определить сначала семейство множеств, называемых открытыми, а затем строить содержательную теорию. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Пусть Х – множество элементов произвольной природы. Семейство τ его подмножеств, именуемых открытыми множествами, называется топологической структурой (топологией), если выполнены следующие три условия (аксиомы топологического пространства):

1) пустое множество и все множество Х принадлежат τ; 2) объединение любого количества множеств из τ принадлежит τ; 3) пересечение конечного числа множеств из τ содержится в τ.

18

Множество Х с заданной на нем топологической структурой называется топологическим пространством.

Множество Х называется носителем топологии. Как следует из определения из одного множества, задавая различные

топологические структуры, можно получить несколько топологических пространств.

Примеры

1. Пусть множество X={a, b}, а семейство τ состоит из наименьшего

количества множеств τ={X, ∅}. Проверкой можно убедиться, что выполнены аксиомы топологического пространства. Следовательно, τ – топология, называемая тривиальной топологией. А пара (Х, τ) называется тривиальным топологическим пространством (в случае двухэлементного носителя топологии оно называется слипшемся двоеточием).

2. Множество Х – то же, что и в примере 1. Семейства τ1={X, ∅, a} или (τ={X, ∅, b}). Оно также является топологией. Пара в этом случае называется связанным двоеточием.

3. Пусть множество Х по-прежнему состоит из двух точек. Определим семейство τ: τ2={X, ∅, a, b}. Заметим, что в данном случае семейство τ состоит из всех подмножеств множества Х τ = G(X). Это семейство является топологической структурой и называется дискретной топологией. В нашем случае пара (Х, τ) называется слипшимся двоеточием. 4. Если (Х, ρ) – произвольное метрическое пространство, тогда в силу теоремы о свойстве системы открытых множеств метрического пространства это семейство удовлетворяет аксиомам топологического пространства. Таким образом, всякое метрическое пространство является топологическим.

5. Обозначим единичный отрезок I=[0; 1]. Семейство τ построим как всевозможные пересечения I∩u, где u – произвольные открытые множества из пространства R1. Можно показать, что для семейства τ выполняются аксиомы топологического пространства. Введенная таким образом топология называется естественной топологией на I.

П. 2. Сравнение топологий

Определение. Пусть τ1 и τ2 – две топологии, определенные на одном

множестве. Если любое множество из топологии τ2 входит в топологию τ1, то говорят, что топология τ1 сильнее топологии τ2, а топология τ2 слабее, чем топология τ1.

Самая слабая из всех топологий – тривиальная топология; самая сильная – дискретная.

19

П. 3. Окрестности. Характеристическое свойство открытых множеств

Определение. Окрестностью множества А называется любое

множество М, содержащее открытое множество G⊃A. Как следует из определения, окрестностью множества А будет являться

и само открытое множество G.

Примеры 1. Если (Х, τ) – тривиальное топологическое пространство, то любая

произвольная точка имеет только одну окрестность – само множество Х. 2. В дискретном топологическом пространстве все множества (в том

числе и одноточечные) открыты; следовательно, окрестностью точки будет любое множество, содержащее эту точку.

3. В пространстве R1 окрестностью точки а будет являться не только интервал (a-δ, a+δ), но и любой интервал (или их объединение), содержащий эту точку.

Теорема. (характеристический признак открытого множества).

Множество топологического пространства открыто тогда и только тогда, когда является окрестностью каждой своей точки.

> Необходимость. Если G открыто, то можно записать включение ∀ x∈G⊂G, причем G∈τ. По определению G является окрестностью.

Достаточность. Пусть некоторое множество G является окрестностью каждой своей точки. Тогда можно записать:

для точки x1: ∃ U(x1), x1∈U(x1)⊂G, U(x1)⊂τ; для точки x2: ∃ U(x2), x2∈U(x2)⊂G, U(x2)⊂τ; .......................................................................... Переберем все точки множества G и найдем объединение множеств,

участвующих во включениях; получим:

( )ΥΥα

αα

α ⊂ xUx ⊂G. (*)

Множество, стоящее в левой части включения, есть множество G. Тогда включение (*) примет вид:

G⊂ ( )Υα

αxU ⊂G.

Откуда следует, что

G= ( )Υα

αxU .

20

Объединение любого количества открытых множеств есть множество открытое, следовательно, G – открытое множество. <

§4. Замкнутые множества.

Свойства системы замкнутых множеств Определение. Множество А топологического пространства

называется замкнутым, если его дополнение открыто. Если множество G открыто, то его дополнение Х\G замкнуто, так как

множество Х\(Х\G)=G открыто. Если множество Х\G замкнуто, то его дополнение Х\(Х\G) открыто. Таким образом, имеет место следующее утверждение: множество топологического пространства является открытым тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Примеры

1. Если (Х, t) – произвольное топологическое пространство, то Х и ∅

являются замкнутыми множествами (одновременно и открытыми – по аксиоме топологического пространства), так как Х\∅=Х – открытое множество и Х\Х=∅ – также открытое множество.

2. Если (Х, t) – дискретное пространство, то все множества в нем являются замкнутыми и открытыми.

3. В пространстве R1 замкнутым множеством, например, будет являться отрезок [a; b], т.к. его дополнение R\[a; b]=(-∞,a)∪(b,+ ∞) – открыто.

4. В пространстве «связное двоеточие» Х={a; b}, τ={X, ∅, {a}} замкнутыми множествами являются Х, ∅,{b}. Других замкнутых множеств в этом пространстве нет.

Теорема. Система всех замкнутых множеств топологического

пространства (Х,τ) обладает следующими свойствами: 1) Х и ∅ являются замкнутыми множествами; 2) пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто; 3) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. > Первое утверждение доказано в примере №1. 2. Пусть {Fα} – система замкнутых множеств. Тогда, с учетом того

факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем Ια

αF = ( ) ΥΙα

αα

α = G\XG\X , т.к. объединение открытых множеств есть

множество открытое, а его дополнение – замкнуто, то множество X\Υα

αG

– замкнуто.

21

3. Аналогично найдем объединение конечного числа замкнутых

множеств: ( ) ΙΥΥk

1nn

k

1nn

k

1nn G\XG\XF

===

== , т.к. пересечение конечного числа

открытых множеств Gk есть множество открытое, то множество Ιk

1nnG\X

=

– замкнуто. < Свойства системы замкнутых множеств целиком ее характеризуют,

поэтому возможен подход, когда эти свойства принимают за систему аксиом при определении топологического пространства. Таким образом, имеет место следующая

Теорема: Пусть Х – произвольное множество и λ – семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

1) Х, ∅ ∈λ; 2) пересечение любого количества множеств из λ принадлежит λ; 3) объединение конечного числа множеств из λ принадлежит λ. Обозначим через τ семейство дополнений всевозможных множеств из

λ. Тогда τ является топологией на Х, а λ – система замкнутых множеств топологического пространства (Х, τ).

§5. Замыкание множества. Оператор замыкания

Определение. Точка х0 топологического пространства Х называется

точкой прикосновения множества М, если любая окрестность этой точки имеет с множеством М непустое пересечение.

Определение. Совокупность всех точек прикосновения множества М называется замыканием множества М и обозначается M . Операция присоединения к множеству всех его точек прикосновения называется операцией замыкания.

Пример

В метрическом пространстве замыканием открытого шара является

замкнутый шар. Теорема. Операция замыкания обладает следующими свойствами: 1) M⊂M ; 2) если M⊂N, то NM ⊂ (монотонность операции замыкания); 3) MM = ; 4) NMNM ΥΥ = .

22

> Первое свойство вытекает непосредственно из определения. Действительно, пусть ∀ x0∈M и произвольная окрестность этой точки U(x0)∩M⊃{x0}≠∅; это означает, что точка x0 является точкой прикосновения множества М.

2. Пусть ∀a∈M⇒∀U(a)∩M≠∅, т.к. M⊂N то U(a)∩N≠∅; следовательно, a∈N⇒M⊂N .

3. В силу свойств 1 и 2 M⊂M⇒M⊂M . Докажем противоположное включение, т.е. MM ⊂ . Пусть ∀b∈M ; это означает, что произвольная окрестность точки b имеет с множеством M непустое пересечение, т.е.

∀U(b)∩M ≠∅⇒( )

⎩⎨⎧∈

∈∃

McbUc⇒U(b)∩M≠∅⇒b∈M .

Последнее означает, что MM ⊂ . (Свойство 4 будет доказано ниже). Теорема. Множество М топологического пространства Х замкнуто

тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием M . > Необходимость. Пусть М замкнуто, тогда G=X\M открыто. Докажем,

что M⊂M, т.е. каждая точка прикосновения принадлежит М. Так как множество G – открытое, то оно является окрестностью каждой своей точки; следовательно, существует окрестность U(x0)⊂G. Тогда U(x0)∩M=∅. Следовательно, точка x0 не является точкой прикосновения множества М. Следовательно, M⊂M. Ранее было доказано, что M⊂M ; следовательно, M = M .

Достаточность. Пусть M= M ; докажем, что G=X\M является открытым множеством, а потому М – замкнуто. Пусть произвольная точка x0∈G⇒x0∉M. Так как M= M , то x0∉M , т.е. не является точкой прикосновения множества М. Следовательно, существует такая окрестность этой точки, которая не пересекается с множеством M (рис. 2).

Рис. 2

Мы получили, что множество G=X\M является окрестностью каждой своей точки. Следовательно, G – открыто, а М – замкнуто. <

Мx0

U(x0)

23

Следствие. Замыкание M множества М из пространства Х является замкнутым множеством в топологическом пространстве Х.

Теорема. Замыкание любого множества М пространства Х совпадает с пересечением всех замкнутых множеств, содержащих М.

> Пусть М – произвольное множество топологического пространства Х и N=Ι

ααF , где пересечение происходит по всем замкнутым множествам,

содержащим множество М. По построению множества N оно является замкнутым и является подмножеством любого замкнутого множества, содержащего М, в частности является подмножеством M , т.к. это множество замкнуто и содержит М. Таким образом, N⊂M .

Докажем обратное включение. Для этого возьмем произвольное замкнутое множество F⊃M. Так как для замкнутого множества F= F , из монотонности операции замыкания получим M⊂F⇒ FM ⊂ =F. Таким образом, замыкание M содержится в каждом замкнутом множестве F, содержащим МБ; следовательно, M будет содержаться и в пересечении таких множеств, т.е. M⊂N. Два противоположные включения означают, что множества равны, т.е. M =N.<

Докажем свойство 4 операции замыкания. Рассмотрим произвольные множества M и N. Имеют место очевидные

включения⎩⎨⎧

⊂⊂

NMNNMM

ΥΥ

. Используем монотонность операции замыкания:

⎩⎨⎧

⊂⊂

NMNNMM

ΥΥ

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

⊂

⊂

NMN

NMM

Υ

Υ⇒ NM Υ ⊂ NM Υ .

С другой стороны,

⎩⎨⎧

⊂

⊂

NNMM⇒M∪N⊂ NM Υ ⇒ NMΥ ⊂ NM Υ (*)

Так как NM Υ = M∪N , то из включения (*) получаем NM Υ ⊂M∪N . Из двух противоположных включений следует равенство NM Υ = M∪N , что и требовалось доказать.

Имеет место следующая Теорема (Куратовского). Пусть на произвольном множестве Х задан

оператор, ставящий в соответствие каждому подмножеству А⊂Х множество Ас таким образом, что выполняются следующие условия:

1) ∅с=∅; 2) А⊂Ас для любого множества А⊂Х;

24

3) Асс=Ас; 4) (А∪В)с=Ас∪Вс для любых множеств А⊂Х и В⊂Х. Если λ – семейство всех множеств А (А⊂Х), для которых Ас=А, а τ

семейство подмножеств Х, состоящее из дополнений к множествам из λ, то τ – топология на Х, причем для каждого множества А⊂Х множество Ас совпадает с A - замыканием А в топологическом пространстве (Х,τ).

Определение. Точка x0 топологического пространства Х называется предельной точкой множества А, если любая окрестность этой точки, содержит хотя бы одну точку из А, отличную от x0.

Очевидно, что всякая предельная точка является точкой прикосновения; обратное неверно. Так, изолированные точки являются точками прикосновения, но не являются предельными точками.

Очевидно, что каждая точка множества M \M является предельной. Таким образом, замыкание M состоит из точек трех видов:

• изолированные точки; • предельные точки, принадлежащие множеству; • предельные точки, не принадлежащие множеству. Определение. Совокупность всех предельных точек множества М

называется производным множеством и обозначается M'. Определение. Множество М топологического пространства Х

называется совершенным, если оно совпадает со своим производным множеством.

Очевидно, что множество совершенно тогда и только тогда, когда оно во-первых, замкнуто, во-вторых, лишено изолированных точек.

Примером совершенного множества является множество на числовой прямой, построенное создателем классической теории множеств немецким математиком Георгом Кантором.

Рассмотрим замкнутое множество [0;1]. Обозначим его F0. Разделим этот отрезок на три равные части и удалим из него средний интервал

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32;

31 длиной

31 . Оставшееся множество ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 1;

32

31;0 Υ обозначим F1. С

каждым из оставшихся отрезков поступим, как и с предыдущим: разделим на три равные части и удалим средний интервал. Таким образом, из F1

удаляются два интервала ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

92;

91 и ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

98;

97 , имеющие длину 23

1 .

Объединение оставшихся четырех отрезков обозначается F2. Продолжая этот процесс, мы получаем бесконечную

последовательность вложенных друг в друга множеств:

F0⊃F1⊃F2⊃...⊃Fn⊃Fn+1...

25

Замкнутое множество F=Ι∞

=0nnF , которое является пересечением

построенных выше множеств, называется канторовым совершенным множеством, или канторовым дисконтинуумом.

Приведем (без доказательства) два утверждения, которые описывают некоторые свойства этого множества:

• Теорема. Канторов дисконтинуум является совершенным множеством;

• Теорема. Канторов дисконтинуум имеет мощность континуума.

§6. Внутренность, внешность, граница Определение. Точка х множества А топологического пространства

(Х,τ) называется внутренней точкой множества А, если существует окрестность U точки х, целиком содержащаяся в А. Множество А° всех внутренних точек множества А называется внутренностью (или ядром) множества А.

Теорема. Если А – произвольное множество топологического пространства, то:

1) внутренность А° множества А является открытым множеством; 2) множество А° является наибольшим открытым множеством,

содержащимся в А; 3) множество А открыто тогда и только тогда, когда А=А°; 4) множество всех точек из А, не являющихся предельными для Х\А,

равно А°; 5) A\X =X\A°. > Докажем некоторые свойства. 1. Пусть x∈A0, тогда х – внутренняя точка множества А, т.е.

существует окрестность U⊂A. Но множество U является окрестностью каждой своей точки. Следовательно, все точки множества U – внутренние для А, поэтому U⊂A0. Следовательно, множество A0 является окрестностью каждой своей очки и поэтому является открытым множеством. 2. Возьмем произвольное открытое множество М, входящее в А. Пусть произвольная точка х∈М; так как М является окрестностью каждой своей точки, то оно является окрестностью и для х. Имеем х∈М⊂А. Получаем, что точка х является внутренней точкой множества А, т.е. х∈А0. Тем самым доказано включение М⊂А0. Это означает, что любое открытое множество, входящее в А, входит и в А0; следовательно, внутренность А0 является максимальным открытым множеством, содержащимся в А.

26

3. Если А открыто, то оно совпадает с максимальным открытым множеством, входящим в А, т.е. А=А0.

Наоборот, если А=А0, то А – открытое множество, т.к. А0 – открыто.

Примеры 1. В тривиальном пространстве (Х, τ) у каждой точки только одна

окрестность – Х. Тогда Х0=Х, ∅0=∅. 2. В дискретном топологическом пространстве все множества открыты

(и замкнуты одновременно). Внутренностью каждого множества будет являться само множество.

3. В топологическом пространства R1 (т.е. на числовой прямой) внутренностью сегмента [a; b] является интервал (a; b).

Определение. Точка с называется граничной точкой множества М,

если она является точкой прикосновения одновременно для двух множеств: М и Х\М. Совокупность всех граничных точек множества М называется границей множества М.

Будем обозначать границу множества А b(A). Сформулируем теорему о свойствах границы.

Теорема. Если А – произвольное множество топологического пространства, то:

1) b(A) b(A)= AA\XA =Ι \A0; 2) X\b(A)=A0∪(X\A)0; 3) A =A∪b(A); 4) A0=A\b(a); 5) множество А замкнуто тогда и только тогда, когда b(a)⊂A; 6) множество А открыто тогда и только тогда, когда A∩b(A)=∅. Данное утверждение примем без доказательства. Определение. Точка х называется внешней точкой множества А, если

она является внутренней точкой дополнения множества А. Совокупность всех внешних точек множества А называется внешностью этого множества.

§7. База топологии. Аксиомы счетности

Известен факт, что в метрических пространствах открыты те и только

те множества, которые можно представить в виде объединения открытых шаров. Эта идея привела к введению в топологических пространствах нового понятия.

27

Определение. Пусть (Х,τ) – топологическое пространство. Базой топологии τ называется семейство подмножеств β, удовлетворяющее следующим свойствам:

1) β ⊂ τ; 2) для каждой точки х∈Х и любой ее окрестности U существует

такое множество V∈ β, что х∈V и V⊂ U. База топологии определяется неоднозначно. На числовой прямой базу

топологии образует семейство всех открытых интервалов. Но семейство открытых интервалов с рациональными концами также будет образовывать базу. В метрическом пространстве семейство открытых шаров образует базу метрического пространства. Множество шаров с рациональными радиусами также образует базу.

Докажем теорему (критерий базы), которая часто принимается за определение базы.

Теорема. Подмножество β топологии τ топологического пространства (Х, τ) тогда и только тогда образует базу этой топологии, когда каждое непустое множество из τ представимо в виде объединения некоторого количества множеств из β.

> Пусть β – база топологии и A – произвольное открытое множество, т.е. A∈τ.

Пусть х1∈A⇒∃U1∈β, x1∈U1⊂A; x2∈A⇒∃U2∈β, x2∈U2⊂A. ............................................ Переберем все точки множества А и найдем объединение всех

включений, получаем:

A⊂Υα

αU ⊂A⇔A=Υα

αU

Таким образом, получили, что А есть объединение множеств из β. Пусть теперь β ⊂ τ и любое открытое множество можно представить в

виде объединения множеств из β. Докажем, что β – база топологии τ. Возьмем произвольную точку х и произвольную окрестность U этой точки. Так как U=Υ

ααβ , где βα∈β, очевидно, что x∈Υ

ααβ ; следовательно, ∃β0,

x∈β0. Обозначим V=β0. Мы получили, что для произвольной точки х и любой ее окрестности U существует множество V∈β такое, что х∈V и V⊂ U. Следовательно, β – база топологии τ. <

Следствие. Если на некотором множестве заданы две топологии, имеющие одну и ту же базу, то эти топологии совпадают.

Имеет место следующая

28

Теорема. Семейство множеств β={Uα} является базой некоторой топологии на множестве X=Υ

ααU тогда и только тогда, когда для любых

двух множеств U, V∈β b и каждой точки x∈U∩V существует такое множество W∈β, что x∈W и W⊂U∩V.

Определение. Конечным пресечением множеств некоторой совокупности называется пересечение любой конечной совокупности этих множеств.

Определение. Пусть (Х, τ) топологическое пространство. Семейство μ подмножеств Х называется предбазой топологии τ, если совокупность всех конечных пересечений множеств из μ образует базу топологии τ.

Другими словами, μ – предбаза топологии τ, если каждое множество из τ представимо в виде объединения конечных пересечений из μ.

Определение. Если в топологическом пространстве (Х, τ) существует счетная база, то топологическое пространство (Х, τ) называют удовлетворяющим второй аксиоме счетности.

Определение. Множество А топологического пространства (Х, τ) называется всюду плотным в Х, если замыкание этого множества совпадает с пространством Х, т.е. A =X.

Определение: Топологическое пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное, всюду плотное множе-ство.

Примеры 1. Числовая прямая удовлетворяет второй аксиоме счетности. Роль

счетной базы выполняет система открытых интервалов с рациональными концами. Числовая прямая является также сепарабельным пространством, так как множество рациональных чисел счетно и всюду плотно в пространстве R1.

2. В дискретном пространстве (Х, τ) минимальной базой является семейство всех одноточечных множеств. Следовательно, это пространство будет удовлетворять второй аксиоме счетности, если носитель топологии будет счетным множеством.

Теорема. Топологическое пространство, удовлетворяющее второй

аксиоме счетности, сепарабельно. > Пусть (Х, τ) – топологическое пространство и β={u1,u2,…,un,…} – его

счетная база. Выделим из множества u1 элемент а1, из множества u2 элемент а2 и т.д. Обозначим A={a1,a2,…,an,…}. Очевидно, что А – не более чем счетное множество. Рассмотрим X\ A . Так как A замкнуто, то A\X открыто. Следовательно, как любое открытое множество оно может быть

29

представлено в виде объединения некоторого количества множеств из базы, т.е.

X\ A Υi

iu= .

Элемент ⎩⎨⎧

∈∈

11

1

uaAa⇒a1∈⇒a1∉X\ A ; следовательно, u1 не входит в

объединение Υi

iu . Такие рассуждения справедливы для всех элементов ai

множества А. Следовательно, ни одно из множеств базы не входит в объединение. Это означает, что X\ A =∅⇔X= A . Последнее равенство, учитывая счетность множества А, означает сепарабельность топологического пространства Х. <

Система окрестностей точки. Первая аксиома счетности

Определение. Системой окрестностей точки х топологического

пространства (Х,τ) называется совокупность всех окрестностей этой точки.

Определение. Семейство окрестностей точки х называется базой системы окрестностей точки х, или базой в х, если в каждой окрестности точки х содержится некоторая окрестность из сово-купности. Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей произвольной точки обладает счетной базой.

Примером пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, является любое метрическое пространство. Базy системы окрестностей точки образуют здесь открытые шары с центром в точке и имеющие рациональный радиус.

Очевидным является утверждение: топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет и первой аксиоме счетности.

§8. Подпространства и отделенность

В метрическом пространстве каждое подмножество образует также

метрическое пространство. Аналогичная идея имеет место и в топологических пространствах.

Пусть (Х, τ) – топологическое пространство и А – подмножество множества Х. Обозначим через τλ систему множеств, являющихся всевозможными пересечениями А и всех подмножеств из топологической структуры τ (рис. 3):

30

Рис. 3 Другими словами, множества системы τА представляют собой

множества вида τj∩A, где τ={τj}- топология. Докажем, что совокупность τА удовлетворяет аксиомам топологического пространства.

1. Так как Х, ∅∈ τ ∅=∅∩А, А=Х∩А, следовательно, ∅, А∈τА. 2. Пусть множества Uα принадлежат семейству τА, тогда

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

αα

αα

αα ΥΥΥ Ι VAVU ∩A, где множества Vα∈τ. Так как Υ

ααV ∈τ, то

Υα

αU ∈τА.

3. Выполнение третьей аксиомы доказывается аналогично п. 2. Определение. Семейство τА называется топологией на А,

индуцированной топологией τ. Топологическое пространство (А, τА) называется подпространством топологического пространства (Х, τ).

Определение. Множества А и В топологического пространства (Х, τ) называются отделенными в этом пространстве, если выполнены следующие два условия:

1) A∩B=∅; 2) A∩B =∅,

т.е. если в каждом из множеств нет ни точек другого множества, ни его предельных точек.

Например, множества А=(0; 1) и В=(1; 2) в пространстве R1 являются отделенными.

Теорема. Пусть τ1 и τ2 – две топологии на множестве X, тогда эквивалентны следующие утверждения:

а) τ1 мажорирует τ2;

X

A

τ1

τ2 τ3

τ5 τ6

τ7

31

б) тождественное отображение из X1 → X2 (где Xi – множество X, наделенное топологией τi i = 1, 2) непрерывно;

в) всякая окрестность точки x∈X в топологии τ2 является окрестностью точки x в топологии τ1;

г) для всякого A ⊂ X замыкание A в топологии τ1 содержится в замыкании A в топологии τ2;

д) всякое множество из X, замкнутое в топологии τ2, замкнуто в топологии τ1.

Доказательство. а) ⇒ б) Пусть τ1 мажорирует τ2. Рассмотрим тождественное отображение 1X: X1 → X2, если V открыто в X2, т.е. V∈τ2, то (1X)-1(V)=V∈τ1, т.е. (1X)-1(V) открыто в X1, что и означает отображение 1X: X1 → X2 непрерывно.

б) ⇒ в) Пусть Vx – окрестность точки x в X2; т.к. (1X)(x) = x и по предположению 1X – непрерывно, то Vx = (1X)-1(Vx) окрестность точки x в X1. в) ⇒ г) Пусть A⊂X и iA – замыкание A в топологии τ1 (i = 1, 2). Если x∈ 1A и Vx – окрестность точки x в топологии τ2, тогда Vx – окрестность точки x в топологии τ1 и, следовательно, Vx ∩ A ≠ ∅, т.е. x∈ 2A . Т.о. 1A ⊂ 2A .

г) ⇒ д) Пусть B замкнуто в X2, тогда 2B = B; из (2) следует 1B ⊂ 2B =B, таким образом, 1B =B, это и означает, что B замкнуто в X1.

д) ⇒ а) Пусть V открыто в X2, тогда X\V – замкнуто в X2 и, следовательно, X\V – замкнуто в X1, и поэтому V открыто в X1.

Таким образом, доказано, что если V∈τ2, то V∈τ1, т.е. τ2 ⊂ τ1. Пусть f: X → Y, где X – множество, Y – топологическое пространство.

Если τ такая топология в X, что отображение f непрерывно, то f будет непрерывным отображением и для всякой топологии, мажорирующей топологию τ.

Определение. Пусть на множестве X заданы две топологии τ1 и τ2; если τ2 ⊂ τ1, то говорят, что топология τ1 мажорирует топологию τ2; если, кроме того, τ1 ≠ τ2, то говорят, что топология τ1 сильнее топологии τ2.

Замечание: Если топология τ1 мажорирует топологию τ2, то всякое множество из X, открытое в топологии τ2, открыто и в топологии τ1.

Определение. Пусть f: X → Y, где X – множество, Y – топологическое пространство; слабейшая топология на X, относительно которой отображение f непрерывно, называется прообразом топологии на Y относительно отображения f.

Замечание. Таким образом, если τ – прообраз топологии на Х относительно отображения f, то τ состоит из всех множеств вида f-1(V), где V открыто в Y.

32

Определение. Пусть fi: X → Yi (где i ∈ I) – семейство отображений, где X – множество, (Yi)i∈I – семейство топологических пространств, топология τ на X такая, что для всякого топологического пространства Z отображение h: Z → X непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны fi ο h для всякого i ∈ I, называется инициальной топологией на X относительно семейства fi: X → Yi.

Лемма. Пусть τ – инициальная топология на X относительно семейства fi: X → Yi; если τ′ такая топология на X, что все отображения fi: X → Yi непрерывны, то τ′ мажорирует τ.

Доказательство. Обозначим X топологическое пространство с топологией τ, а X′ – с топологией τ′, и пусть 1X: X′ → X – тождественное отображение, тогда fi ο 1X = fi – непрерывны, следовательно, отображение 1X: X′ → X непрерывно, это и означает, что τ′ мажорирует τ.

Следствие. Инициальная топология на X относительно семейства отображений fi: X → Yi – единственна.

Доказать самостоятельно. Покажем, что инициальная топология на X относительно семейства

{fi: X → Yi}i∈I существует. Пусть Ui = f-1(Vi), где Vi открыто в Yi. Рассмотрим в X множество всех подмножеств вида

k21 iii U...UU ∩∩∩ , это множество является базой некоторой топологии τ на X (проверить самостоятельно). Относительно топологии τ все отображения fi – непрерывны, и поэтому если h: Z → X непрерывное отображение, то и все fi ο h – непрерывны.

Пусть теперь непрерывны все fi ο h: Z → X; покажем, что в этом случае непрерывно отображение h, для этого достаточно проверить в случае, когда открытыми в X берутся базисные множества топологии τ. Имеем h-1 ( ) ( ) ( )

k1k21 i1

i1

iii Uh...UhU...UU −− ∩∩=∩∩∩ , но fi ο h – непрерывны,

поэтому ( ) ( )( ) ( ) ( )ssss i

1ii

1i

1i

1 VhfVfhUh −−−− == ο (s = 1, 2, ..., k) открыто в Z,

следовательно, ( ) ( )k1 i

1i

1 Uh...Uh −− ∩∩ – открыто в Z. Таким образом, h: Z → X – непрерывное отображение. Топология τ на X – инициальная топология относительно семейства отображений fi: X → Yi. Кроме того, очевидно, что инициальная топология на X относительно семейства fi: X → Yi является слабейшей топологией на X, относительно которой непрерывны все отображения fi: X → Yi.

Важнейшим примером инициальной топологии является произведение топологий.

33

Пусть {Xi}i∈I – семейство топологических пространств и X=∏∈Ii

iX .

Слабейшая топология на ∏∈Ii

iX , относительно которой непрерывны все

pri: X → Xi, называется произведением топологий пространств Xi. Определение. Пусть {fi: Yi → X}i∈I – семейство отображений, причем X

– множество, {Yi}i∈I – семейство топологических пространств; топология τ на X такая, что для всякого топологического пространства Z отображение h: X → Z непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все отображения h ο fi (i ∈ I), называется финальной топологией на X относительно семейства {fi: Yi → X}i∈I.

Лемма. Пусть τ – финальная топология на X относительно семейства fi: Yi → X; если τ′ такая топология на X, что все отображения fi: Yi → X непрерывны, то τ мажорирует τ′.

Доказательство. Аналогично для инициальных топологий. Так же, как и для инициальных топологий, следует единственность финальной топологии на X относительно семейства отображений fi: Yi → X. Покажем, что финальная топология на X относительно семейства отображений fi: Yi → X существует. Рассмотрим множество всех подмножеств V в X – таких, что ( )Vf 1

i− открыто в Yi для всякого i ∈ I. Множество таких подмножеств в

X является некоторой топологией τ на X (проверить самостоятельно). Очевидно, что в этой топологии на X непрерывны все отображения fi, и поэтому если h – непрерывно, то и все h ο fi – непрерывны.

Пусть теперь непрерывны все h ο fi: Yi → Z. Покажем, что в этом случае h – непрерывно. Пусть U открыто в Z, тогда h-1(U) = V и

( ) =− Vf 1i ( )( ) ( ) ( )UfhUhf 1

i11

i−−− = ο открыто в Yi (i ∈ I), это и означает, что V

открыто в τ на X. Таким образом, топология τ на X является финальной относительно семейства отображений fi: Yi → X.

Кроме того, очевидно, что финальная топология на X относительно семейства отображений fi: Yi → X – сильнейшая топология на X, относительно которой непрерывны все отображения fi: Yi → X.

Простым , но очень важным примером финальной топологии является фактортопология. Пусть X – топологическое пространство и на X (как множестве) задано отношение эквивалентности, тогда возникает фактор-множество X/R и естественная проекция π: X → X/R. Сильнейшая топология на X/R, при которой непрерывна проекция π, называется фактортопологией топологии пространства X.

34

§9. Связность Понятие связности есть математически строгое отражение

интуитивного представления о целостности геометрической фигуры. Определение. Топологическое пространство Х называется несвязным,

если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых (замкнутых) множеств

X=Ф1∪Ф2,

в противном случае пространство называется связным. Замечание. Множества Ф1,Ф2 связаны соотношениями Ф1=X\Ф2,

Ф2=X\Ф1, поэтому данные множества одновременно и открыты и замкнуты. Все дальнейшие утверждения данного параграфа, сформулированные для открытых множеств, будут справедливы для замкнутых множеств и наоборот.

Множество М топологического пространства Х называется связным, если оно является связным, когда рассматривается как подпространство.

Теорема 1. Пусть в топологическом пространстве Х даны два непустых непересекающихся замкнутых множества Ф1 и Ф2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении множеств Ф1∪Ф2; тогда множество М содержится в каком-нибудь одном множестве – Ф1 или Ф2. > Имеем: M⊂Ф1∪Ф2. Представим множество М в виде

M=(M∩Ф1)∪(M∩Ф2).

Так как Ф1 и Ф2 замкнуты, то множества M∩Ф1 и M∩Ф2 замкнуты в М. Так как множество М связно, то одно из множеств – M∩Ф1 или M∩Ф2 – должно быть пустым, откуда и следует утверждение теоремы. <

Теорема 2. Если для любых двух точек х и у пространства Х можно найти связное множество Сху, содержащее эти точки, тогда все пространство Х связно.

> Предположим, что все пространство Х несвязно, т.е.

X=Ф1∪Ф2,

где Ф1 и Ф2 – непустые непересекающиеся множества. Возьмем x∈Ф1, а y∈Ф2. Тогда связное множество Сху, имеющее с множеством Ф1 общую точку х, должно содержаться в этом множестве. С другой стороны, y∈Ф2∩Сху и, следовательно, множество Сху должно содержаться во множестве Ф2. Но множества Ф1 и Ф2 не пересекаются. Полученное противоречие и доказывает теорему. <

35

Терема 3. Присоединяя к связному множеству С любое число точек прикосновения, получим связное множество.

> Предположим противное, тогда полученное множество С0 представимо в виде С0=Ф1∪Ф2, где Ф1 и Ф2 – непустые непересекающиеся замкнутые множества. Тогда связное множество С⊂Ф1∪Ф2 и по теореме 1 оно должно содержаться в одном из двух множеств, входящих в объединение. Пусть С⊂Ф1. Тогда, так как Ф1 – замкнуто, то любая точка прикосновения множества С⊂Ф2 должна также принадлежать множеству Ф1; получили, что С0⊂Ф1, а следовательно, Ф2=∅. Получили противоречие, которое доказывает теорему. <

Теорема 4. Пусть в топологическом пространстве Х, дана система (любой мощности) связных множеств Mα, причем пересечение всех этих множеств не пусто. Тогда их объединение является связным множеством.

> Предположим, что M=Υα

αM не связно, т.е.

M=Ф1∪Ф2, тогда связные множества Mα должны содержаться либо в Ф1, либо в Ф2. По условию теоремы существует точка а, принадлежащая всем множествам Mα. Пусть a∈Ф1, тогда все Mα⊂Ф1, а Ф2=∅. Получили противоречие, доказывающее теорему. <

Определение. Компонентой топологического пространства называется любое его максимальное связное множество.

Если топологическое пространство связно, то оно является единственной своей компонентой.

Теорема 5. Каждое связное множество топологического пространства содержится в некоторой компоненте. Любая компонента топологического пространства является замкнутым множеством; любые различные компоненты отделены.

> 1. Пусть М – произвольное непустое связное множество. Обозначим через К объединение всех связных множеств, содержащих М. Эти множества пересекаются (по М). По теореме 4 множество К связно. Если некоторое связное множество А содержит К, то А⊃М и, значит, А⊂К. Следовательно, А=К. Это означает что, К – максимальное связное множество, т.е. компонента, содержащая множество М.

2. Пусть К – произвольная компонента топологического пространства. По определению компоненты, множество К связно. Но замыкание множества К также связно. Учитывая максимальность компоненты К, получаем включение K⊃K . С учетом обычного включения K⊂K получаем K= K . Последнее равенство означает замкнутость множества К.

36

3. Если К1 и К2 – две различные неотделенные компоненты, тогда К1∪К2 связно по теореме 4, причем каждое из множеств К1 и К2 содержится в объединении К1∪К2, что противоречит определению компоненты. Итак, две различные компоненты отделены. <

Определение. Открытое и связное множество топологического пространства называется областью.

Определение. Топологическое пространство называется локально связным, если семейство его областей образует базу топологии.

§10. Непрерывные отображения топологических пространств

Определение. Отображение f метрического пространства) в

метрическое пространство (Y, ρ2) непрерывно в точке х0, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что из неравенства ρ(x, x0)<δ следует неравенство ρ(f(x), f(x0))<ε.

Пусть (Х, τ) и (Y, μ) – топологические пространства и f: X→Y – отображение из Х в Y.

Определение. Отображение f называется непрерывным в точке х0∈Х, если для любой окрестности ν точки y0=f(x0) существует такая окрестность u точки x0, что f(u)⊂ν. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х∈Х (рис.4).

Рис. 4

Примеры

1. Для произвольных метрических пространств Х и Y постоянное отображение является непрерывным.

2. Тождественное отображение топологического пространства самого на себя является непрерывным.

Х Y

v x0

u

f(u)

37

3. Непрерывную функцию можно рассматривать как непрерывное отображение из топологического пространства R1 в топологическое пространство R1.

Теорема 1. Пусть f: X→Y – отображение топологических пространств, тогда эквивалентны следующие условия:

1) f непрерывно на Х; 2) f(А )⊂ )А(f ; 3) для всякого В, замкнутого в Y, f-1(В) замкнуто в X; 4) для всякого V, открытого в Y, f-1(V) открыто в Х. Доказательство. 1)⇒2), т.к. если x∈А , то пусть W – окрестность

точки f(x) в Y, тогда существует окрестность U точки x в X, т.ч. f(U)⊂W (т.к. f непрерывно на Х) и U∩A≠∅, т.е. существует y∈U∩A, но тогда f(y)∈W∩f(A), т.е. f(y)∈ )А(f .

2) ⇒ 3) Пусть В замкнуто в Y, положим А=f-1(В); тогда из (2) следует f(А )⊂ )А(f ⊂В =В; таким образом, f(А )⊂В, но тогда А⊂f-1(В)=А, следовательно, А=А (т.к. А⊂А); таким образом, А – замкнуто.

3) ⇒ 4) Пусть V – открыто в Y и U=f-1(V), тогда Y\V – замкнуто в Y и f-1(Y\V)=Х\ f-1(V)=Х\U – замкнуто. Таким образом, U – открыто в Х.

4) ⇒1) Пусть х∈Х и V - окрестности точки f(x) в Y, тогда (см. определение окрестности) существует открытое множество W⊂V, т.ч. f(x) ∈W открыто в Х и х∈ f-1(W), т.е. f-1(W) – окрестность точки х в Х. Теорема доказана.

Теорема 2. Если f – непрерывное отображение топологического пространства Х в топологическое пространство Y, а ϕ – непрерывное отображение Y в топологическое пространство Z, то композиция ϕ ο f является непрерывным отображением Х в Z.

>Возьмем произвольное открытое множество u пространства Z. В силу непрерывности отображения ϕ:Y→Z, прообраз ϕ-1(u) есть открытое множество топологического пространства Y. Аналогично f-1(ϕ-1(u)) при непрерывном отображении f:X→Y открыт в Х. Так как f-1(ϕ-1(u))=(ϕ ο f)-1, то мы получили, что при отображении ϕ ο f прообраз открытого множества открыт. Следовательно, отображение непрерывно. <

Открытые и замкнутые отображения

Выше было доказано, что при непрерывном отображении прообраз

непрерывного отображения открыт, а замкнутого замкнут. Для образов при непрерывных отображениях такого рода утверждения не имеют место. Рассмотрим несколько примеров:

38

Примеры 1/ Непрерывное отображение f: R1→R1, где f(x)=arctgx, отображает

бесконечный интервал R=(-∞, +∞) в интервал ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−

2;

2, т.е. открытое и

замкнутое множество – в открытое, но не замкнутое множество.

2. Непрерывное отображение f: R1→R1, где ( ) 2x11xf+

= отображает

открытое и замкнутое множество R=(-∞, +∞) в полуинтервал (0; 1], который не является ни открытым, ни замкнутым множеством.

Определение. Непрерывное отображение f: X→Y топологического

пространства Х в топологическое пространство Y называется открытым, если при этом отображении образ открытого множества открыт.

Определение. Непрерывное отображение f: X→Y топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется замкнутым, если при этом отображении образ замкнутого множества замкнут.

Примером одновременно открытого и замкнутого отображения является тождественное отображение.

Отображение вложения i: A→X (A⊂X, i(x)=x) открыто тогда и только тогда, когда множество А открыто в Х, и замкнуто тогда и только тогда, когда А замкнуто в Х.

Очевидно, что композиция открытых отображений – открытое отображение; композиция замкнутых отображений – замкнутое ото-бражение.

Непрерывные отображения связных пространств Теорема. Непрерывный образ связного пространства связен. > Пусть отображение f: X→Y – непрерывно и сюръективно, т.е. f(X)=Y.

Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых (замкнутых) множеств, т.е. Y=A∪B. Рассмотрим G1=f-1(A) и G2=f-1(B). В силу непрерывности отображения эти множества открыты (замкнуты), не являются пустыми множествами и G1∩G2=∅. Кроме того, очевидно, что X=G1∪G2. Таким образом, получили, что связное пространство Х представлено в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых (замкнутых) множеств. Полученное противоречие доказывает теорему. <

39

Следствие. Если топологическое пространство связно и непрерывная функция F: X→R1 принимает в точках Х значения a и b (a≠b), то в некоторой точке Х она принимает любое значение, лежащее между a и b.

(Данное следствие обобщает теорему анализа о промежуточном значении.)

Пусть Х – топологическое пространство. Путем в Х называется непрерывное отображение отрезка [a; b] числовой прямой в Х. Путь l: [a; b] → X называют соединяющим точки х1 и х2 в Х, если l(a)=x1, l(b)=x2. Пространство, любые две точки которого можно соединить путем, называется линейно связным.

Теорема. Всякое линейно связное пространство связно. > Пусть х1 и х2 – произвольные точки линейно связного пространства

Х. Тогда существует непрерывное отображение l: [a; b]→X – такое, что l(a)=x1, l(b)=x2. В топологическом пространстве R1 отрезок [a; b] связен, следовательно, при непрерывном отображении его образ также связен. Следовательно, по теореме 2 предыдущего параграфа, пространство Х – связно. <

Замечание. Обратное утверждение не верно. Например, пространство X=A1∪A2, где

A1= ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎥⎦⎤

⎜⎝⎛

π∈∈

121

221 x

1sinx,1;0xRx,x ,

A2={(x1,x2)∈R2;x1=0,x2=[-1;1]}, с естественной топологией является связным пространством, но не линейно связным.

Гомеоморфизм. Топологически эквивалентные пространства

Определение. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное

отображение одного топологического пространства на другое называется гомеоморфизмом.

Если существует гомеоморфное отображение одного пространства на другое, то пространства называются гомеоморфными.

Из теорем этого параграфа вытекают утверждения: 1) гомеоморфизм является одновременно открытым и замкнутым

отображением; 2) взаимно однозначное открытое (замкнутое) отображение является

гомеоморфизмом; 3) взаимно однозначное отображение f: X→Y является

гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда для любого множества A⊂X ( ) ( )AfAf = .

40

Очевидно, что тождественное преобразование – гомеоморфизм, обратное к гомеоморфизму – гомеоморфизм, композиция двух гомеоморфизмов – гомеоморфизм. Следовательно, отношение гомеоморфности является отношением эквивалентности.

Определение. Два топологических пространства называются топологически эквивалентными или имеющими один топологический тип, если существует гомеоморфизм одного пространства на другое.

У топологически эквивалентных пространств топологии являются образами и прообразами. Поэтому такие пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами.

Примеры

1. Любое отображение дискретного пространства в топологическое

пространство непрерывно. Следовательно, два дискретных пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное отображение одного пространства на другое.

2. Числовая прямая гомеоморфна интервалу (0;1). Гомеоморфизм

устанавливает функция 21arctgx1y +

π= .

3. Сфера и поверхность куба в пространстве R3 гомеоморфны. (На сфере и кубе естественная топология индуцируется топологией пространства R3.) Если совместить центры сферы и куба, то гомеоморфизмом будет отображение проектирования из общего центра.

Свойство топологического пространства, сохраняющееся при

гомеоморфизме, называют топологическим инвариантом, или топологическим свойством.

Другими словами, топологический инвариант – это такое свойство топологического пространства, которым обладают все гомеоморфные данному пространства.

Примерами топологических инвариантов являются связность, выполнимость первой или второй аксиом счетности, а также аксиом отделимости. Иногда и саму топологию определяют как науку о топологических инвариантах.

§11. Аксиомы отделимости

Понятие топологического пространства было введено в самом общем

виде. Рассмотрим ограничения, накладываемые на топологические пространства.

41

Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Т0, если для двух различных точек этого пространства, по крайней мере для одной из них, существует окрестность, не содержащая другую точку. Пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Т0, называются Т0-пространства, или пространства Колмогорова.

Замечание. Не все пространства удовлетворяют аксиоме отделимости Т0. Примером пространства, не удовлетворяющего аксиоме отделимости Т0, является слипшееся двоеточие.

Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Т1, если для каждой из двух различных точек этого пространства существует окрестность, не содержащая другую точку. Пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Т1, называются Т1-пространства, или пространства Рисса. Теоремы.

1. Топологическое пространство тогда и только тогда является пространством Рисса, когда любое его одноточечное множество замкнуто. 2. Топологическое пространство тогда и только тогда является пространством Рисса, когда для любой его точки х пересечение всех ее окрестностей совпадает с одноточечным множеством {x}.

> 1. Пусть топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Рассмотрим произвольное одноточечное множество {x}. Возьмем произвольную точку y∈X, y≠x. По аксиоме Т1 для точки у существует окрестность Uy, не содержащая точку х. Следовательно, ∃ Uy∩{x}=∅. Это означает, что произвольная точка у, отличная от точки х, не является точкой прикосновения одноточечного множества {x}. Следовательно, это одноточечное множество замкнуто.

Предположим, что все одноточечные множества некоторого топологического пространства замкнуты. Тогда для двух произвольных различных точек y≠x множества X\{x} и X\{y} являются открытыми множествами. Кроме того, y∈X\{x}, а x∈X\{y}. Таким образом, у двух различных точек пространства Х найдены окрестности, не содержащие другую точку, следовательно, пространство Х – является пространством Рисса. 2. Если топологическое пространство Х удовлетворяет аксиоме отделимости Т1, то пересечение всех окрестностей точки х Ι

ααU ={x}, так

как для любой точки y≠x существует окрестность, не содержащая х (поэтому y∉Ι

ααU ). Обратное утверждение очевидно. <

Примером пространства, не удовлетворяющего аксиоме отделимости Т1, является слипшееся двоеточие, а связное двоеточие удовлетворяет этой аксиоме отделимости.

42

Сформулируем (без доказательства) некоторые свойства пространств Рисса. Если топологическое пространство Х удовлетворяет аксиоме отделимости Т1, то выполняются следующие свойства:

• в каждой окрестности любой предельной точки множества А содержится бесконечное число точек из А;

• любое конечное множество точек замкнуто; • производное множество любого множества Т1 пространства замкнуто; Определение. Свойство топологического пространства,

сохраняющееся в подпространствах, называется наследственным. Определение. Говорят, что топологическое пространство Х

удовлетворяет аксиоме отделимости Т2, если любые две различные точки этого пространства можно отделить непересекающимися окрестностями. Пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Т2, называют Т2 – пространства, или хаусдорфовыми пространствами.

Теорема. Топологическое пространство Х является пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда для произвольной точки x∈X пересечение замыканий всевозможных ее окрестностей совпадает с одноточечным множеством {x}.

> Пусть ∀x∈X, а пространство Х удовлетворяет аксиоме отделимости Т2. Пусть {Uα} – семейство всех окрестностей точки х. Очевидно, что x∈Ι

ααU . Предположим, что некоторая точка y≠x также принадлежит

указанному пересечению. Тогда при любом α y∈ αU . Это означает, что все окрестности точки у пересекаются с окрестностями точки х. Получили противоречие с выполнением аксиомы отделимости Т2. Следовательно, {x}=Ι

ααU .

И наоборот: пусть х и у – две различные точки топологического пространства Х и {x}=Ι

ααU . Из того факта, что y∉Ι

ααU , следует, что

y∉ αU ⇒ y∈X\ αU и это множество открыто. Очевидно, что X\ αα UU Ι =∅. Таким образом, две различные точки топологического пространства Х отделены непересекающимися окрестностями. <

Теорема. Для хаусдорфовости пространства Х необходимо и достаточно, чтобы для пары различных точек х1 и х2 из Х существовало непрерывное отображение f пространства Х в хаусдорфово пространство Y – такое, что f(x1)≠f(x2).

> Для доказательства необходимости в качестве пространства Y возьмем пространство Х, а в качестве отображения f – тождественное отображение на Х.

43

Рис. 5 Достаточность. Пусть х1 и х2 – различные точки в Х и f: X→Y –

непрерывное отображение, а V1 и V2 – непересекающиеся окрестности точек f(x1) и f(x2) в хаусдорфовом пространстве Y. В силу непрерывности отображения f прообраз окрестности – окрестность. Очевидно, что f-1(V1)∩f-1(V2)=∅, следовательно, пространство Х – хаусдорфово (рис. 5). <

Определение. Говорят, что топологическое пространство Х удовлетворяет аксиоме отделимости Т3, если его любое замкнутое множество и не содержащуюся в нем точку можно отделить непересекающимися окрестностями. Пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Т3, называют Т3-пространством, или регулярным пространством. Теорема (критерий регулярности): Т1-пространство Х регулярно тогда и только тогда, когда любая его точка х обладает регулярной системой окрестностей, т.е. любая ее окрестность U ñîäåðæèò çàìêíóòóþ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè

Данное утверждение примем без доказательства. Определение. Говорят, что топологическое Т1-пространство

удовлетворяет аксиоме отделимости 213

T , если для любой точки х0 и

произвольного множества F существует непрерывная функция f, равная 0 в точке х0 и 1 во всех точках F. Пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости

213

T , называются вполне регулярным, или тихоновскими.

Определение. Говорят, что топологическое пространство Х удовлетворяет аксиоме отделимости Т4, если любые два непустых непересекающихся замкнутых множества можно отделить непересекающимися окрестностями. Пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Т4, называют Т4-пространствами, или нор-мальными пространствами.

Y X

f(x1) V1 x1

( )f V−11

f(x2) x2 ( )f V−12 V2

44

Теорема. Всякое метрическое пространство нормально. > Пусть (Х, ρ) – произвольное метрическое пространство; А и В – два

непустых непересекающихся замкнутых множества этого пространства. Пусть x∈A⇒x∉B. Более того, x∉B , так как замкнутое множество В содержит все свои точки прикосновения. Тогда расстояние от точки х до множества В

px=p(x,B)= ( ){ }y,xinfByρ

∈>0.

Аналогично py=p(y,A)>0 для любой точки y∈B. Построим два множества:

ΥΥAy

yAx

x 21,yBV ,

21,xBU

∈∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ= ,

где B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρx2

1,x – открытый шар с центром в точке х и радиуса 21 px.

Очевидно, что множества U и V являются открытыми окрестностями множеств А и В соответственно. Докажем, что они не пересекаются. Предположим противное, т.е. ∃z∈U∩V. Тогда существуют такие точки a∈A и b∈B, для которых

p(a,z)<21 pa и p(b,z)<

21 pb.

Пусть для определенности pa≥pb. Воспользуемся аксиомой треугольника

p(a,b)≤p(a,z)+p(b,z)<21 ( pa+pb) ≤pa,

т.е. мы получили, что p(a,b)<pa,

и противоречие с определением расстояния pa. Тем самым теорема доказана.

Теорема. Пространство Рисса нормально тогда и только тогда, когда для любого замкнутого множества F и любой его окрестности U существует такая окрестность V, что V ⊂U.

§12. Сходимость в топологических пространствах

Определение. Последовательность точек {xn} топологического пространства Х называется сходящейся к точке x0∈X, если любая окрестность x0 содержит все точки последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа. При этом саму точку x0 называют пределом последовательности и обозначают x0= nn

xlim∞→

.

45

В метрических пространствах последовательность может иметь только один предел, а в топологических пространствах – несколько. Так, в тривиальных топологических пространствах любая последовательность точек сходится к каждой точке x∈X, так как эта точка х имеет только одну окрестность – все множество Х и эта окрестность содержит все точки последовательности.

В произвольном метрическом пространстве точка х0 тогда и только тогда принадлежит замыканию некоторого множества, когда в этом множестве существует последовательность, сходящаяся к х0. В топологическом пространстве справедливо утверждение:

Если последовательность точек множества А топологического пространства (Х,τ) сходится к некоторой точке x0∈X, то x0∈A .

Обратное утверждение не всегда верно. Теорема. В топологическом пространстве, удовлетворяющем первой

аксиоме счетности, точка x0 тогда и только тогда является точкой прикосновения множества А этого пространства, когда в А существует последовательность, сходящаяся к точке x0.

> Предположим, что x0 является точкой прикосновения множества А и множества {un} образуют счетную базу системы окрестностей в точке x0. Эту базу можно считать монотонно убывающей. Действительно, если база в точке x0 состоит из множеств {νn}, то можно построить монотонно

убывающее семейство множеств ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

=Ι

n

1iin vu , образующее базу в точке x0.

Так как x0∈A , то в любой окрестности точки x0 содержится хотя бы одна точка из множества А. Выберем в каждой окрестности un по одной точке xn∈A. Полученная последовательность {xn} сходится к точке x0.

Обратное утверждение очевидно. Определение. Топологическое пространство, в котором для каждого

множества А и любой точки x∈A существует последовательность точек множества А, сходящихся к х, называется пространством Фреше-Урысона.

§13. Операции над топологическими пространствами

Произведение топологических пространств

Пусть (X,τ) и (Y,σ) два топологических пространства. Обозначим через β семейство множеств вида {τi×σj}, где τi∈τ, σj∈σ.

Легко заметить, что множества семейства β образуют базу некоторой топологии μ на декартовом произведении X×Y.

46

Произведением топологических пространств (X,τ) и (Y,σ) называется декартово произведение носителей топологии, наделенное топологией произведения.

Пусть Х и Y – топологические пространства и X×Y – их произведение, тогда Х и Y называются координатными пространствами. Отображения p1:X×Y→X и р2:X×Y→Y, действующие по закону p1(x,y)=x∈X, p2(x,y)=y∈Y, называются проектированиями на координатные пространства (см. инициальные топологии).

Теорема. Для произвольных топологических пространств отображения проектирования их произведения на координатные пространства непрерывны и открыты.

> Пусть {X×Y,μ} – произведение топологических пространств, р1:X×Y→X и р2:X×Y→Y – отображения проектирования. Докажем, что при отображении р1 прообраз открытого множества открыт. Множество

11p− (u)=u×Y является произведением двух открытых множеств и,

следовательно, открыто в X×Y. Таким образом, отображение р1 непрерывно. Докажем открытость отображения р1. Найдем образ p1(u×ν), где u∈τ, ν∈δ. По определению p1(u×ν)=u, т.е. при непрерывном отображении образ открытого множества открыт, что означает открытость отображения р1.

Теорема. Произведение хаусдорфовых пространств есть хаусдорфово пространство. Произведение регулярных пространств регулярно.

Докажем первое утверждение теоремы. Пусть топологические пространства Х и Y – хаусдорфовы. Возьмем две

различные точки a=(x1,y1) и b=(x2,y2). Если точки различные, то они отличаются по крайней мере одной из компонент. Пусть x1≠x2. Воспользуемся тем, что пространство Х хаусдорфово. Тогда точки х1 и х2 этого пространства можно отделить непересекающимися окрестностями u и v. Рассмотрим множества 1

1p− (u) и ( )vp 11− . Эти множества являются

окрестностями (т.к. при непрерывном отображении прообраз окрестности – окрестность), они не пересекаются (т.к. ( )up 1

1− ∩ ( )vp 1

1− =∅). Кроме того,

a∈ ( )up 11− b∈ ( )vp 1

1− . Следовательно, и пространство X×Y хаусдорфово.

Замечание. Можно доказать, что: • произведение сепарабельных пространств сепарабельно; • произведение пространств Рисса является пространством Рисса; • произведение связных пространств связно; Однако произведение нормальных пространств не всегда нормально. Пусть f1: X1→Y1, f2: X2→Y2, где X1, X2, Y1, Y2 – топологические

пространства. Отображение f произведения X1×X2 в произведение Y1×Y2, действующее по закону f((x1, x2)) = (f1(x1), f2(x2)), называется произведением отображений f1 и f2 и обозначается f=f1×f2.

47

Фактор-топология Известно, что при непрерывном отображении прообраз открытого

множества открыт. Поставим несколько иную задачу: пусть f отображает топологическое

пространство (X,τ) в некоторое множество Y. Необходимо задать топологию на Y таким образом, чтобы отображение f стало непрерывным. (Одно из решений вопроса – задание на Y тривиальной топологии.) Имеет место следующая

Лемма. Если f:X→Y и τ- топология на Х, то семейство μ подмножеств Y, прообразы которых при отображении f открыты в Х, образуют топологию на Y.

> Покажем выполнение аксиом топологического пространства: f-1(∅)=∅, f-1(Y)=X то ∅,Y∈μ. Воспользуемся свойством прообразов: пусть

uα∈μ⇒f-1(uα)∈τ, тогда f-1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ααΥu = ( )Υ

αα

− uf 1 ∈τ; это означает, что Υα

αu ∈μ.

Аналогично доказывается выполнение третьей аксиомы топологического пространства (см. финальные топологии). <

Замечание. Можно показать, что топология μ – наибольшая среди тех топологий на Y, относительно которых отображение f непрерывно.

Определение. Семейство μ подмножеств Y, прообразы которых при отображении f топологического пространства Х в множество Y открыты в Х, называются фактор-топологией на Y, порожденной отображением f.

Определим на Х, некоторым образом отношение эквивалентности R. Рассмотрим фактор-множество Х/R.

Определение. Отображение p:X→X/R, ставящее в соответствие каждому элементу x∈X класс эквивалентности, которому он принадлежит, называется фактор-отображением, или отображением отождествления.

Определение. Пусть Х – некоторое топологическое пространство, R – отношение эквивалентности в Х, р – фактор отображения Х на фактор-множество Х/R. Фактор-множество Х/R, наделенное фактор-топологией относительно отображения р, называется фактор-пространством пространства Х по отношению эквивалентности R.

Примеры

1. Рассмотрим топологическое пространство X=[0;2π] с естественной

топологией и множество Y={x,y∈R2:x2+y2=1} точек единичной

48

окружности с центром в начале координат. Отображение f можно определить формулой f(t)=(cost,sint), где t∈[0;2π].

Фактор-топология на Y, порождаемая отображением f, совпадает с естественной топологией. Например, множество точек окружности, лежащих между точками (0;-1) и (0;1), принадлежит фактор-топологии μ,

так как прообразом этого множества является множество ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ππ

2;02;

23

Υ ,

являющееся открытым множеством в Х. Определим отношение эквивалентности:0 ∼ 2π и для всех t∈(0;2π) t ∼ t. Получим один класс эквивалентности {0;2π}, состоящий из двух точек;

остальные классы эквивалентности – одноточечные. Можно показать, что фактор-пространство X/R гомеоморфно пространству Y. В этом случае говорят, что фактор-пространство X/R получено из отрезка [0;2π] путем отождествления его концов.

2. Листом Мёбиуса (рис. 7) называют поверхность, полученную из прямоугольника поворотом одного из его концов на 180° и склеиванием его противоположных концов. Определим математический лист Мёбиуса в терминах топологии.

X={(x,y)∈R2:x∈[-1;1],y∈(-1;1)}. Это прямоугольник в пространстве R2 с естественной топологией. Зададим на этом прямоугольнике отношение эквивалентности: (l,y) ~ (-l,-y), если y∈(-1;1) и (x,y) ∼ (x,y) для всех остальных точек. Таким образом, мы получили фактор-пространство, гомеоморфное листу Мёбиуса.

Топологическая сумма пространств.

Склеивание пространств по непрерывному отображению Пусть (Xi,τi) – набор топологических пространств (i=1,2,...n), носители

топологии здесь не пересекаются. Обозначим X=Υn

iiX и τ – семейство

множеств из Х, допускающих представление в виде Υn

1iiu

=

, гдеui∈τi. Тогда

пара (X,τ) называется топологической суммой пространств (Xi,τi). Пусть (X1,τ1) и (X2,τ2) – топологические пространства, причем

X1∩X2=∅ и непрерывное отображение f:A1→A2, где A1⊂X1, A2⊂X2. На множестве X1∪X2 введем отношение эквивалентности: если точка y∈A2, то y~f-1(y); если точка не участвует в отображении, то она эквивалентна сама себе. Обозначим фактор-пространство (X1∪X2)/R= Υ

f21 XX . Про

49

топологическое пространство Υf

21 XX говорят, что оно получено

приклеиванием топологического пространства Х1 к топологическому пространству Х2 по непрерывному отображению f (см. фактор-топологию).

Если (X1∪X2) – топологическая сумма пространств, A1={x1}, A2={x2}, отображение f:A1→A2 в данном случае непрерывно. В этом случае пространство Υ

f21 XX называется букетом и обозначается X1∪X2.

§14. Компактные топологические пространства

Известно, что многие факты математического анализа основаны на

одном свойстве отрезка числовой прямой, которое называется леммой Гей-не-Бореля-Лебега и заключается в том, что из любого покрытия отрезка открытыми интервалами можно выделить конечное подпокрытие. Обобщение этого факта привело отечественных математиков П.С. Александрова и П.С. Урысона к выделению класса топологических пространств – компактным (бикомпактным) топологическим пространствам. Определение. Система множеств М={Mα,α∈I}, Mα⊂X называется покрытием пространства Х, если Υ

ααM =X. Покрытие называется

открытым (замкнутым), если все множества Mα открыты (замкнуты). Подсистема системы множеств М, сама являющаяся покрытием

пространства Х, называется подпокрытием покрытия М. Определение. Топологическое пространство Х называется

компактным, если оно удовлетворяет условию Бореля-Лебега: из всякого открытого покрытия пространства Х можно выделить конечное подпо-крытие. Теорема. Для компактности топологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым пересечением

> Необходимость. Пусть Х – компактно и {Fα}- произвольная совокупность замкнутых множеств, причем пересечение Ι

ααF =∅.

Рассмотрим семейство множеств G={Gα}, состоящее из дополнений замкнутых множеств Gα =X\Fα. Воспользуемся формулами де Моргана:

( ) ΙΥΥα

αα

αα

α == F\XF\XG =X,

т.е. система множеств G образует открытое покрытие Х. В силу компактности Х из покрытия G можно выделить конечную систему

50

множеств {G1,G2,…,Gn}, также являющуюся покрытием. Тогда

( ) ΥΙΙn

Бkk

n

1kk

n

1kk G\XG\XF

===

== =X\X=∅. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть G={Gα} – произвольное открытое покрытие пространства Х. Тогда система множеств {Fα=X\Gα} представляет собой семейство замкнутых множеств с пустым пересечением, которое, по условию теоремы, содержит конечное подсемейство также с пустым пересечением. С точностью до обозначения будем считать, что это

множества {F1,F2,…,Fn} и Ιn

1iiF

=

=∅. Отсюда, по аналогии с первой частью

теоремы, следует, что множества {G1,G2,…,Gn} образуют конечное подпокрытие. < Определение. Система множеств {Mα} называется центрированной, если любое конечное пересечение этой системы не пусто.

Теорема. Для компактности пространства Х необходимо и достаточно, чтобы всякая центрированная система его замкнутых множеств имела непустое пересечение.

> Необходимость. Пусть {Fα} – произвольная центрированная система замкнутых множеств топологического пространства Х. Тогда эта система должна иметь непустое пересечение, потому что в противном случае она содержала бы конечную подсистему с пустым пересечением, что противоречило бы центрированности системы {Fα}..

Достаточность. Пусть {Fα} – произвольное семейство замкнутых множеств топологического пространства Х с пустым пересечением. Тогда оно должно содержать конечную подсистему с пустым пересечением, так как в противном случае семейство {Fα} было бы центрированным и имело бы по условию непустое пересечение. Таким образом, мы получили, что любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением топологического пространства Х содержит конечную подсистему множеств с пустым пересечением; значит, пространство Х – компактно. <

Компактность и замкнутость

Определение. Подмножество М⊂Х называют компактным

подмножеством, если подпространство М (т.е. множество М с индуцированной топологией) представляет собой компактное пространство. Подмножество М называется относительно компактным, если компактно его замыкание.

Теорема. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.

> Пусть множество F – замкнуто и содержится в компактном топологическом пространстве и {Fα}- произвольная центрированная

51

система замкнутых в М множеств. Так как М замкнуто, то и в Х эта система будет центрированной системой замкнутых множеств – в силу компактности объемлющего пространства Ι

ααF ≠∅, откуда следует

компактность М. < Теорема. Компактное подмножество хаусдорфова пространства

замкнуто. >Пусть F – произвольное компактное подмножество хауcдорфова

пространства Х. Возьмем произвольную точку a∈X\M. Воспользуемся хаусдорфовостью пространства Х: для точки a и произвольной точки x∈X найдутся непересекающиеся окрестности a∈Vx и x∈Ux. Совокупность всех множеств {Ux} образует покрытие пространства Х. В силу его компактности выделим конечное подпокрытие {Ux1,Ux2,…,Uxn}. Этим окрестностям соответствуют следующие окрестности точки a:

{Vx1,Vx2,…,Vxn}. Пересечение этих окрестностей Ιn

1ixiV

=

=V0 содержит точку

a. Очевидно, что V0∩M=∅. Это означает, что точка a не является точкой прикосновения множества М; следовательно, множество М содержит все свои точки прикосновения, а значит, замкнуто. <

Теорема (о нормальности компакта). Всякий компакт представляет собой нормальное множество. (Компакт-хаусдорфово и компактное пространство). Доказательство теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Определение (П.С. Александров). Точка х0 пространства Х называется точкой полного накопления множества М, если для любой окрестности U этой точки множества М и М∩U равномощны.

Теорема (П.С. Александров). Пространство Х компактно тогда и только тогда, когда любое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну точку полного накопления.

Данное утверждение примем без доказательства. Лемма: Пусть X - метрическое пространство с метрикой ρ и A непустое

подмножество в X, тогда функция f:X→R, т.ч.

f(x)=inf ρ(x,y)=ρ(x,A) является непрерывной функцией. y∈A

Доказательство: Для всяких z∈A и x,y∈X имеем ρ(x,z)≤ ρ(x,y)+ ρ(y,z)

тогда, ρ(x,A)=inf ρ(x,z)≤inf (ρ(x,y)+ ρ(y,z))≤ρ(x,y)+inf ρ(y,z)=ρ(x,y)+ ρ(y,A) z∈A z∈A z∈A

52

ρ(x,y) - не зависит от «z», аналогично (самостоятельно)

ρ(y,A)≤ ρ(x,y)+ ρ(x,A). Объединяя, получим:

|ρ(x,A)-ρ(y,A)|≤ ρ(x,y). Полагаем, y=x0, получим

|f(x)-f(x0)|= |ρ(x,A)-ρ(x0,A)|≤ ρ(x,x0).

Тогда для всякого ε>0, возьмем δ=ε и получим, что для всех x∈X и таких что ρ(x,x0)< δ, |f(x)-f(x0)|< ε. Т.е. f - непрерывно в т. x0, но x0 - произвольная точка X, поэтому f- непрерывно.

Теорема: Пусть X - компактное метрическое пространство и пусть { } IiiU ∈ - его открытое покрытие, тогда существует δ>0 (называемое числом Лебега этого покрытия), что всякое подмножество из X, диаметр которого меньше δ содержится в некотором Ui, i∈I.

Доказательство: Так как X - компакт, то можно считать, что I – конечное множество. Для всякого i∈I определим отображение fi:X→R, следующим образом

fi(x)= ρ(x,X\Ui)=inf ρ(x,y), где ρ - метрика на X.

y∈ X\Ui

Функция fi - непрерывна (см. лемму) и для всякого x∈X, fi(x)≥0. Положим f(x)=max fi(x), имеем f(x)≥0 и f - непрерывна на X.

i∈I Множество X\Ui замкнуто поэтому fi(x)=0 тогда и только тогда, когда x∈ X\Ui, если x∈ X\Ui, то ρ(x,X\Ui)=0, а если fi(x)=0, то inf ρ(x,y)=0 и существует последовательность { } Nnny ∈ в X\Ui, такая что ( )

n1y,x n <ρ и,

следовательно, lim yn=x и поэтому x∈ X\Ui.

Тогда f(x)=0 эквивалентно Ιn

1iiU\Xx

=

∈ , т.е. не существует x∈X т.ч.

f(x)=0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

= =Ι Υ

n

1i

n

1iii U\XU\X , поэтому f(x)>0, для всех x∈X, но f -

непрерывно и следовательно f(X) - компакт в R, т.е. f(X)=[α,β], где 0<α<β, поэтому существует δ>0, такое что 0<δ<α и f(x)> δ, для всех x∈X.

53

Пусть V - подмножество в X диаметром меньше δ и пусть x∈V, тогда f(x)>δ и поэтому существует i∈I такое, что fi(x)>δ, но тогда x∈Ui. Т.к. ρ(x,y)<δ для всякого y∈V, а для всякого z∈X\Ui , ρ(x,z)>δ.

Поэтому iUV ⊂ .

54

Глава II. ГОМОТОПИЯ

§1. Гомотопия Понятие гомотопии является одним из фундаментальных понятий

алгебраической топологии. Определение 1. Непрерывные отображения f0,f1:X→Y называются

гомотопными, если существует такое непрерывное отображение F:X×[0,1]→Y, что F(x,0)=f0(x) и F(x,1)=f1(x) для всех x∈X.

Нетрудно заметить, что отображение F определяет семейство отображений

Ft:X→Y таких, что Ft(x)=F(x,t) для всех x∈X и всех t∈[0,1].

Такое семейство отображений Ft называют гомотопией от f0 к f1, само отображение F также называют гомотопией от f0 к f1. В этом понятии формализуется наше представление о непрерывной зависимости семейства отображений Ftот x и t. Если отображения f0 и f1 гомотопны, то это обозначается следующим образом: −~f0 f1, а если требуется еще указать и саму гомотопию, то это обозначают как F: −~f0 f1 (рис. 1).

XY

f0

ft

f1

Рис. 1

55

На рис. 1 «изображена» гомотопия от f0 к f1.

где X=S1, а Y – кольцо на плоскости R2.

X

Y

f1

f0

Рис. 2 На рис. 2 отображения f0 и f1не гомотопны. Теорема 1. Отношение гомотопности является отношением

эквивалентности во множестве всех непрерывных отображений из X в Y. Доказательство. 1) рефлексивность. Пусть f:X→Y непрерывное отображение, рассмотрим отображение

F:X×[0,1]→Y, определенное следующим образом: F=fοpr1, где pr1: X×[0,1]→-X проекция, т.к. f и pr1 непрерывны, то и F – непрерывно; кроме того, F(x,0)=f(x) и F(x,1)=f(x), т.е.f0 ~− f1

2) симметричность. Пусть f,g: X→Y гомотопны и F:X×[0,1]→Y гомотопия от f к g. Определим отображение F :X×[0,1]→Y следующим образом:

F (x,t)=F(x,1-t),

т.к. замена переменной t на 1-t непрерывна, то отображение F – непрерывно и, кроме того,

F (x,0)=F(x,1)=g(x), F (x,1)=F(x,0)=f(x),

таким образом, F определяет гомотопию от g к f. 3) транзитивность. Пусть f:X→Y, g:X→Y h:X→,Y такие непрерывные отображения, что

−~f g и −~g h, и пусть F:f g~− и G:g h~− .

56

Рассмотрим отображение

H(x,t)=( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−

∈

].1,21[t,1t2,xG

],21,0[t,t2,xF

Имеем H ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,x =F(x,1)=G(x,0)=g(x) для всех x∈X, т.е. отображение H

определено корректно, кроме того, H(x,0)=F(x,0)=f(x) и H(x,1)=G(x,1)=h(x) для всех x∈X.

Т.к. множества X× ]21,0[ и X× ]1,

21[ образуют замкнутое покрытие

пространства X×[0,1] и сужения отображения H на X× ]21,0[ и X× ]1,

21[

непрерывны, то H непрерывно на X×[0,1] (см. лемму о склейке). Таким образом, отношение гомотопии действительно является

отношением эквивалентности. Из доказанной теоремы следует, что множество всех непрерывных

отображений C0(X,Y) разбивается на классы эквивалентности, класс отображения f∈C0(X,Y) обозначается [f] è такой класс называется гомотопическим классом отображения f.

Гомеоморфизм топологических пространств является основным отношением эквивалентности в топологии, введенное понятие гомотопии позволяет определить другое более «грубое» отношение эквивалентности.

Определение 2. Пусть f:X→Y – непрерывное отображение; непрерывное отображение g:Y→X, называется гомотопически обратным к отображению f, если g −~fο 1x и f −~gο 1y, где 1x – тождественное отображение на X.

Определение 3. Непрерывное отображение f:X→Y называется гомотопической эквивалентностью, если для него существует гомотопически обратное отображение.

Определение 4. Топологические пространства X и Y называются гомотопически эквивалентными (имеющими один и тот же гомотопический тип), если между ними существует гомотопическая эквивалентность.

Замечание. Гомеоморфизм топологических пространств называется топологической эквивалентностью; если топологические пространства X и Y топологически эквивалентны, то их топологические свойства одинаковы, а если они имеют один и тот же гомотопический тип, то их топологические свойства могут различаться очень сильно.

57

Пример Пусть X=R2 а Y={p} (одноточечное пространство) – рис. 3.

f

g P

0

Rn

Рис. 3

Рассмотрим отображения: f:Rn →{p} такое, что f(x)=p для всех x∈Rn, и

g: {p}→ Rn такое, что g(p)=o, o∈Rn. Тогда fοg:{p}→{p} и fοg=1y, а следовательно, fο −~g 1y, gοf:Rn→Rn,

причем (gοf)(x)=0 для всех x∈Rn. Определим отображение F:Rn×[0,1]→Rn следующим образом: F(x,t)=x⋅t,

которое очевидно является непрерывным. Кроме того, F(x,0)=0, и поэтому F(x,0)=(gοf)(x)=0, а F(x,1)=x=1Rn(x) для всех x∈Rn.

Таким образом, отображение F является гомотопией от 1Rn к постоянному отображению (gοf) и, следовательно, fο −~g 1y и g −~fο 1Rn.

Замечание. Пример показывает, что гомотопически эквивалентные топологические пространства могут быть не гомеоморфны.

Определение 5. Топологическое пространство, имеющее гомотопический тип одноточечного пространства, называется стягиваемым. Таким образом, Rn – стягиваемое топологическое пространство.

Задача

Доказать, что D2={(x,y)∈R2:x2+y2≤1} является стягиваемым

топологическим пространством. Определение 6. Пусть A⊂X, где X – топологическое пространство и

f0,f1:X→Y – непрерывные отображения. Отображения f0,f1 называются гомотопными относительно A, если существует гомотопия F:f0 1f~− – такая, что F(x,t)=f0(x) для всех x∈A и всех t∈[0,1].

58

0 1

X=[0,1]

f0

f0(0)f0(1)

Рис. 4 На рис. 4 A={0,1}, Y⊂R2 – кольцо и отображения f0, f1 – гомотопны, но

не гомотопны относительно {0,1}. Замечание. Такая гомотопия называется относительной и обозначается

F:f0 1f~− (relA). В этом случае F(x,0)=F(x,1) и, следовательно, f0(x)=f1(x) для всех x∈A.

Теорема 2. В множестве C0(X,Y) гомотопия относительно A⊂X является отношением эквивалентности.

Доказательство. Провести самостоятельно аналогично теореме 1.

§2. Пути в топологическом пространстве Определение 1. Путем в топологическом пространстве X называется

непрерывное отображение ϕ:[0,1]→X, причем ϕ(0) называется началом пути, а ϕ(1) – концом пути, и путь ϕ из ϕ(0) в ϕ(1) (рис. 5).

0 1

ϕ(0)ϕ(1)

X

Рис. 5 Замечание. Путь – это отображение ϕ, а ϕ([0,1])⊂X – «кривая» в X. В определении пути вместо отрезка [0,1] можно взять отрезок[a,b].

59

Определение 2. Пусть ϕ и ψ – два пути в X, так что ϕ(1)= ψ(0). Произведением путей ϕ и ψ называется путь ϕ⋅ψ, определяемый следующим образом (рис. 6):

(ϕ⋅ψ)(t)=( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ψ

∈ϕ

].1,21[t,1t2

],21,0[t,t2

0 1

ϕ(0)

ψ(1)

1/2

ϕ(1)

ψ(0)

ϕ

ψ

Рис. 6

Отображение ϕ⋅ψ – непрерывно (см. лемму о склейке) и определено корректно, поэтому ϕ⋅ψ:[0,1]→X – путь в X.

Определение 3. Два пути ϕ и ψ в X называются эквивалентными, если они гомотопны относительно {0,1}, и в этом случае мы обозначаем ϕ~ψ.

Замечание. Если −ϕ ~ψ (rel{0,1}), т.е. ϕ~ψ, и если F:[0,1]×[0,1]→X гомотопия от ϕ к ψ относительно {0,1}, тогда:

F(t,0)=ϕ(t), F(t,1)=ψ(t), F(0,τ)=ϕ(0) и F(1,τ)=ϕ(1). Как следует из теоремы 2, введенное отношение является отношением

эквивалентности, и класс пути обозначается [ϕ]. Лемма 1. Пусть ϕ0, ϕ1 и ψ0, ψ1 – пути в X, так что ϕ0(1)= ψ0(0) и

ϕ1(1)=ψ1(0), тогда, если ϕ0~ϕ1 и ψ0~ψ1, то ϕ0⋅ψ0~ϕ1⋅ψ1.

Доказательство. Пусть F: ϕ0 1~ ϕ− и G:ψ0 1

~ ψ− – гомотопии относительно {0,1}; положим

H(t,τ)=( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈τ−

∈τ

].1,21[t,,1t2G

],21,0[t,,t2F

60

Отображение H определено на [0,1]×[0,1]=[0, ]21×[0,1]∪,

21[ ,1]×[0,1]

отображение H является непрерывным отображением (см. лемму о склейке) и, кроме того,

H(t,0)=( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ψ=−

∈ϕ=

],1,21[t,1t20,1t2G

],21,0[t,t20,t2F

0

0

поэтому H(t,0)=(ϕ0⋅ψ0)(t) и

H(t,1)=( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈ψ=−

∈ϕ=

],1,21[t,t1,1t2G

],21,0[t,t1,t2F

1

1

т.е. H(t,1)= (ϕ1⋅ψ1)(t) (см. определение); кроме того,

H(0,τ)=F(0,τ)=ϕ0(0) и H(1,τ)=G(1,τ)=ψ0(1),

т.о. H: ϕ0⋅ψ0 1~ ϕ− ⋅ψ1 (rel{0,1}) (рис. 7).

0

1

1 τ

t

ϕ0

ψ0

ϕ0(0)ψ1ϕ0(1)=ψ0(0)

ϕ1

ψ0(1)

H X

Рис. 7 Из леммы 1 следует, что в этом случае можно определить умножение

классов эквивалентности путей следующим образом:

[ϕ]⋅[ψ]=[ϕ⋅ψ],

т. к. если ~ϕ2 и ψ1~ψ2, то ϕ1,ϕ2 ∈[ϕ] и ψ1,ψ2 ∈[ψ], и [ϕ1⋅ψ1]= [ϕ2⋅ψ2], т.е. умножение классов путей не зависит от выбора их представителей.

61

Лемма 2. Пусть ϕ, ψ, χ – пути в X такие, что ϕ(1)= ψ(0) и ψ(1)= χ(0), тогда (ϕ⋅ψ)⋅χ~ϕ⋅(ψ⋅χ).

Доказательство. По определению (2) имеем:

((ϕ⋅ψ)⋅χ)(t)=( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−χ

∈ψ⋅ϕ

],1,21[t,1t2

],21,0[t,t2

таким образом,

((ϕ⋅ψ)⋅χ)(t)=

( )

( )

( )

,

],1,21[t,1t2

]21,

41[t,1t4

],41,0[t,t4

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−χ

∈−ψ

∈ϕ

аналогично

(ϕ⋅(ψ⋅χ))(t)=

( )

( )

( )

,

].1,43[t,3t4

]43,

21[t,2t4

],21,0[t,t2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−χ

∈−ψ

∈ϕ

Определим отображение F:[0,1]× [0,1]→X, следующим образом:

F(t,τ)= ( ) ,

].1,4

2[t,1,4

2

]4

2,4

1[t,1t4

],4

1,0[t,1

t4

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+τ∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +τχ

+τ+τ∈−τ−ψ

+τ∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ϕ

Оно непрерывно (объяснить) и, кроме того,

F(t,0)=

( )

( )

( )

,

],1,21[t,1t2

]21,

41[t,1t4

],41,0[t,t4

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−χ

∈−ψ

∈ϕ

62

таким образом, F(t,0)=((ϕ⋅ψ)⋅χ)(t) и

F(t,1)=

( )

( )

( )

,

],1,43[t,3t4

]43,

21[t,2t4

],21,0[t,t2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−χ

∈−ψ

∈ϕ

таким образом, F(t,1)= (ϕ⋅(ψ⋅χ)(t) и F(0,τ)= ϕ(0), F(1,τ)= χ(1), и поэтому F: (ϕ⋅ψ)⋅χ ϕ−~ ⋅(ψ⋅χ) (rel{0,1}). Из леммы 2 следует, что [(ϕ⋅ψ)⋅χ]=([ϕ⋅ψ)])⋅[χ]=([ϕ]⋅[ψ])⋅[χ]=[ϕ⋅(ψ⋅χ)]=[ϕ]⋅([ψ]⋅[χ]).

Определение 4. Отображение εx:[0,1]→X такое, что для всех t∈[0,1], εx(t)=x называется постоянным путем в точке x.

Лемма 3. Пусть ϕ:[0,1]→X путь в X с началом в точке x и концом в точке y, тогда εx⋅ϕ~ϕ и ϕ⋅εy~ϕ.

Доказательство. Рассмотрим отображение F:[0,1]×[0,1] →X – такое, что

F(t,τ)=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ−∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+τ+−

ϕ

τ−∈

].1,2

1[t,1

1t2

],2

1,0[t,x

Отображение F непрерывно (почему?) и

F(t,0)=( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈−ϕ

∈

],1,21[t,1t2

],21,0[t,x

таким образом, F(t,0)= εx⋅ϕ, а F(t,1)= ϕ(t) и F(0,τ)=x, F(1,τ)= ϕ(1), и поэтому

F: εx⋅ϕ ϕ−~ (rel{0,1}).

То, что ϕ⋅εy~ϕ, доказать самостоятельно. Из леммы 3 следует, что [εx⋅ϕ]=[εx]⋅[ϕ]= [ϕ]и [ϕ⋅εy]=[ϕ]⋅[εy]=[ϕ]. Определение 5. Пусть ϕ:[0,1]→X путь, тогда путь ϕ:[0,1]→X

определяется следующим образом:

ϕ~ (t)=ϕ(t-1).

Замечание. ϕ~ (0)=ϕ(1) и ϕ~ (1)=ϕ(1), а кривые ϕ([0,1]) и ϕ~ ([0,1]) совпадают, т.е. путь ϕ~ «проходит» путь ϕ как бы в обратную сторону.

63

Лемма 4. ϕ~ψ тогда и только тогда, когда ϕ~ ~ψ~ . Доказательство. Ïóñòü F: ϕ ψ−~ (rel{0,1}), тогда F~ :[0,1]× [0,1]→X так,

что F~ (t,τ)=F(1-t,τ) будет гомотопией отϕ~ к ψ~ rel{0,1}. Обратное аналогично. Лемма 5. Пусть ϕ – путь в X с началом в точке x и концом в точке y,

тогда ϕ ⋅ϕ~ ~εx и ϕ~ ⋅ϕ~εy. Доказательство. Рассмотрим путьϕ~ ⋅ϕ. Он задан следующим образом:

(ϕ~ ⋅ϕ)(t)=( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ϕ

∈ϕ

].1,21[t,1t2

],21,0[t,t2~

Зададим отображение F:[0,1]× [0,1]→X следующим образом:

F(t,τ)=( )( )

( )( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈τ−−ϕ

∈τ−ϕ

],1,21[t,1t22~

],21,0[t,1t2~

ϕ~ (2-2t)=ϕ(2t-1). F- непрерывно, и

F(t,0)=( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ϕ

∈ϕ

],1,21[t,t22~

],21,0[t,t2~

таким образом, F(t,0)=(ϕ~ ⋅ϕ)(t), аналогично F(t,1)=ϕ~ (0)=ϕ(1)=y для всех t∈[0,1], т.е. F(t,1)=εy(t); кроме того, F(0,τ)=ϕ~ (0)=(ϕ~ ⋅ϕ)(1)=y.

F(1,τ)=ϕ~ (0)=(ϕ~ ⋅ϕ)(1)=y,

таким образом, F: ϕ~ ⋅ϕ y

~ ε− (rel{0,1}).

Гомотопия ϕ~ ⋅ϕ x~ ε− доказывается аналогично.

Из леммы 5 следует, что [ϕ⋅ϕ~ ]=[ϕ]⋅[ϕ~ ]=[εx] и [ϕ~ ⋅ϕ]=[ϕ~ ]⋅[ϕ]=[εy].

§3. Фундаментальная группа

Определение 1. Путь ϕ в топологическом пространстве X называется

замкнутым, или петлей в т. x, если ϕ(0)= ϕ(1)=x.

64

Обозначим множество всех классов петель в т. x как π1(X,x), любые два элемента этого множества можно умножать и получать элемент из этого множества и, следовательно, на множестве π1(X,x) определен закон композиции; если [ϕ]∈π1(X,x) и [ψ]∈π1(X,x), то [ϕ]⋅[ψ]=[ϕ⋅ψ] и такое умножение определено корректно (т.е. зависит от выбора представителей классов эквивалентности).

Теорема 1. Множество π1(X,x) относительно введенного умножения является группой.

Доказательство. Нейтральным элементом является [εx], т.к. из леммы 3 следует, что [ϕ]⋅[εx]= [εx]⋅[ϕ]= [ϕ]. Из леммы 5 следует, что элементом, противоположным элементу [ϕ], является элемент [ϕ ], т.к. [ϕ]⋅[ϕ ]=[εx] и [ϕ ]⋅[ϕ]=[εx]; из леммы следует, что умножение ассоциативно. Но умножение, вообще говоря, не коммутативно.

Определение 2. Группа π1(X,x) называется фундаментальной группой топологического пространства X в т. x (или группой Пуанкаре).

Пример

π1(Rn,0)={e}. Пусть X топологическое пространство и x, y – две его точки. Как будут

связаны между собой группы π1(X,x) и π1(X,y)? Теорема 2. Пусть топологическое пространство X линейно связно,

тогда группы π1(X,x) и π1(X,y) èçîìîðôíû äëÿ ëþáûõ x∈X, y∈X. Доказательство. Пусть f:[0,1]→X путь, соединяющий точки x и y, и

пусть [ϕ]∈π1(X,x), а ϕ:[0,1]→X – его представитель (рис. 8).

ϕ

xf

y

X

Рис. 8

Тогда путь f⋅ϕ⋅ f будет петлей в т. y; если ϕ1∈[ϕ] и ϕ2∈[ϕ], то f⋅ϕ1⋅f и f⋅ϕ2⋅ f – две петли в т. y такие, что

|f⋅ϕ1⋅ f |=[f] ⋅[ϕ]⋅[ f ]= |f⋅ϕ2⋅ f |

65

и, следовательно, f⋅ϕ1⋅f~f⋅ϕ2⋅ f . Таким образом, корректно определено отображение:

Фf: π1(X,x)→π1(X,y) так, что

Фf ([ϕ])=[f⋅ϕ⋅ f ]. Покажем, что отображение Фf является гомоморфизмом; имеем

Фf([ϕ]⋅[ψ])=Фf([ϕ⋅ψ])=[f⋅(ϕ⋅ψ⋅) f ]=[(f⋅ϕ⋅ f )⋅(f⋅ψ⋅ f )]=[f⋅ϕ⋅ f ]⋅[f⋅ψ⋅ f ]=Фf([ϕ])× ×Фf([ψ]), т.е. отображение действительно является гомоморфизмом. Если путь f заменить на путь f , то получим гомоморфизм

fФ : π1(X,y)→π1(X,x).

Покажем, что эти гомоморфизмы взаимно обратны; имеем: ( fФ οФf)([ϕ])= fФ (Фf([ϕ]))= fФ ([f⋅ϕ⋅ f ])=[ f ⋅(f⋅ϕ⋅ f )⋅f]=[ f ⋅f]⋅[ϕ]⋅[ f ⋅f]= =[εx]⋅[ϕ]⋅[εx]= [ϕ].

Таким образом,

fФ οФf=1 ( )x,X1π,

аналогично доказывается, что

Фfο fФ =1 ( )y,X1π.

Группы π1(X,x) и π1(X,y) – действительно изоморфны. Замечание. Следует иметь в виду, что канонического изоморфизма

между этими группами нет.

Задача Рассмотреть связь между гомоморфизмами Фf и Фg, если пути f и g

гомотопны rel{0,1}. Лемма 1. Пусть f:X→Y непрерывное отображение, ϕ и ψ – две петли

в т. x∈X, причем ϕ~ψ, тогда fοϕ f~− οψ(rel{0,1}). Доказательство. Пусть F: ϕ ψ−~ (rel{0,1}); рассмотрим отображение:

fοF:[0,1]×[0,1]→Y, оно непрерывно и

(fοF)(t,0)=f(F(t,0))=f(ϕ(t))=(fοϕ)(t), (fοF)(t,1)=f(F(t,1))=f(ψ(t))=(fοψ)(t),

66

кроме того

(fοF)(0,τ)= f(F(t,τ))=f(ϕ(0))=y, (fοF)(1,τ)=f(ϕ(1))=y,

таким образом,

fοϕ f~− οψ (rel{0,1}).

Из доказанной леммы следует, что непрерывное отображение f:X→Y такое, что f(x)=y корректно индуцирует определенное отображение

f * :π1(X,x)→ π1(Y,y), ò.÷. f * ([ϕ])=[fοϕ].

Теорема 3. Отображение f * :π1(X,x)→ π1(Y,y) является гомоморфизмом ãðóïï.

Доказательство. Ïóñòü [ϕ]∈π1(X,x) и [ψ]∈π1(X,x), тогда f * ([ϕ]⋅[ψ])=f * ([ϕ⋅ψ])=[fο(ϕ⋅ψ)], íî

(fο(ϕ⋅ψ))(t)=( )( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ψ

∈ϕ

].1,21[t,1t2f

],21,0[t,t2f

таким образом,

(fο(ϕ⋅ψ))(t)=( )( )

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ψ

∈ϕ

].1,21[t,1t2f

],21,0[t,t2f

ο

ο

Следовательно (см. определение),

fο(ϕ⋅ψ)=(fοϕ)⋅(fοψ),

но тогда

f * ([ϕ]⋅[ψ])=[fο(ϕ⋅ψ)]=[(fοϕ)⋅(fοψ)]=[fοϕ]⋅[fοψ]=f* ([ϕ])⋅f * ([ψ]),

f * – ãîìîìîðôèçì ãðóïï. Теорема 4. Ïóñòü f:X→Y и g:Y→Z – непрерывные отображения,

причем f(x)=y и g(y)=z, тогда (gοf) * =g*οf * . Доказательство. Имеем gοf:X→Y, (gοf)(x)=z, тогда

(gοf) * :π1(X,x)→π1(Z,z), и (gοf) * ([ϕ])=[(gοf)]οϕ]=[gο(fοϕ)]=g * ([fοϕ])= =g * (f * ([ϕ])=(g *οf * )([ϕ]), таким образом, (gοf) * =g *οf * .

67

Теорема 5. Пусть 1x:X→X тождественное отображение и x∈X, тогда (1x) * =1 ( )x,X1π

. Доказательство. Пусть [ϕ]∈π1(X,x), тогда (1x) * ([ϕ])=[1xοϕ]=[ϕ]; таким

образом, (1x) * – тождественное отображение группы π1(X,x). В этих построениях осуществлен переход от «топологии» к «алгебре»;

топологическому пространству X с отмеченной точкой x∈X соответствует группа π1(X,x), непрерывному отображению f:X→Y (f(x)=y) соответствует гомоморфизм f * :π1(X,x)→π1(Y,y), причем (gοf) * =g*οf * и (1x) * =1 ( )x,X1π

. Такого рода соответствия в математики называются функторами. Теорема 6. Пусть f,g:X→Y – непрерывные отображения, так что

f(x0)=g(x0)=y0, причем f g~− (rel{x0}), тогда f * =g * . Доказательство. Пусть F:f g~− относительно {x0} и пусть [ϕ]∈π1(X,x) и

ϕ∈[ϕ]; т.е. ϕ – петля в т. x0∈X, тогда fοϕ – петля в т. y0∈Y и gοϕ – петля в т. y0∈Y. Тогда F(ϕ(t),τ), где t∈[0,1] и τ∈[0,1] – непрерывное отображение из [0,1]×[0,1] вY, причем

F(ϕ(t),0)=f(ϕ(t))= (fοϕ)(t) и F(ϕ(t),1)=g(ϕ(t))= (gοϕ)(t),

кроме того,

F(ϕ(0),τ)=f(x0)=y0 и F(ϕ(1),τ)=y0,

таким образом,

fο −ϕ ~ gοϕ (rel{0,1}),

поэтому [fοϕ]=[gοϕ], т.е. f * ([ϕ])=g * ([ϕ]) для всех [ϕ]∈π1(X,x0). Лемма 2. Фундаментальная группа стягиваемого пространства

единична. Доказательство. Пусть X – стягиваемое пространство, тогда оно

гомотопически эквивалентно {p}, причем π1({p},p)={e}. Тогда существуют f:X→{p} и g:{p}→X так, что gοf 1~− x и fοg 1~− {p}, но

тогда g *οf * =1 ( )x,X1π и f *οg * =1, т.е. f * :π1(X,x0) →{e} – изоморфизм. И

поэтому π1(X,x0) изоморфна {e} (где x0=g(p)), но x0∈X – произвольная точка.

§4. Фундаментальная группа окружности Пусть S1={(x,y)∈R2:x2+y2=1} и p:R→S1 определено следующим

образом: p(t)=(cos2πt,sin2πt), p – непрерывное отображение (рис. 9).

68

0 1 2 3-1-2-3

S1

(1,0)

P

Рис. 9 Лемма 1. Пусть U⊂S1\{0,1} – открытое связное множество и

V=[0,1]∩p-1(U), тогда p-1(U) является объединением попарно не пересекающихся множеств

V+n={v+n,v∈V} и n∈Z, каждое из которых p гомеоморфно отображает на U.

Доказательство. Пусть U – такой интервал, что U={(cos2πt,sin2πt)∈R2:0≤a<t<b≤1}, тогда V=(a,b) и V+n={a+n,b+n}.

Пусть pn – ограничение отображения p на (a+n,b+n), т.к. p непрерывно, то и pn непрерывно, pn – сюръективно, а т.к. если pn(t)=pn(t2) и t1,t2∈a+n,b+n), (t1<t2), т.е. t2-t1<b-a≤1, то t1=t2.

Поэтому pn:U→(a+n,b+n) – биекция. Рассмотрим 1np− :U→(a+n,b+n), и

пусть x0∈(a+n,b+n) и [x0-ε,x0+ε]⊂(a+n,b+n), но [x0-ε,x0+ε] – компакт, а S1 – хаусдорфово пространство, тогда отображение W→pn(W) – гомеоморфизм. Точка pn(x0) не является концом дуги pn(W), т.к. в этом случае связное множество pn(W)\pn(x0) было бы гомеоморфно несвязному множеству W\{x0} относительно pn, поэтому pn(W) окрестность точки pn(x0) в S1 и, следовательно, в U, а т.к. 1

np− , ограниченное на pn(W), – гомеоморфизм, то оно непрерывно в точке pn(x0). Но т.к. x0∈U – произвольная точка, то pn – непрерывно на U, и поэтому pn – гомеоморфизм.

В теории накрывающихся пространств такая окрестность U называется элементарной.

Задача

Проверить справедливость леммы в случае, если точку (0,1) заменить

на произвольную точку окружности.

69

Теорема (о поднятии). Пусть p:R→S1, тогда для всякого пути ϕ:[0,1]→S1 с началом в точке x0∈S1 существует единственный путь ϕ :[0,1]→R с началом в точке y0∈R так, что p(y0)-x0 и pοϕ =ϕ.

Доказательство. а) Пусть ϕ([0,1])⊂U, где U- элементарная окрестность в S1, и пусть V – компонента связности множества p-1(U), содержащая точку y0, тогда p:V→U – гомеоморфизм и поэтому p-1οϕ=ϕ :[0,1]→ V – путь в R, так что (p-1οϕ)(0)=p-1(x0)=y0 и pοϕ =ϕ.

б) ϕ([0,1]) не содержится ни в какой элементарной окрестности. Пусть {Ui}i∈I – покрытие S1 элементарными окрестностями, тогда {ϕ-1(Ui}}i∈I – покрытие отрезка [0,1] открытыми множествами.

Возьмем n∈N таким, чтобы n1 было меньше Лебегова числа этого

покрытия отрезка [0,1], тогда ,...n2,

n1,

n1,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − 1,

n1n, – покрытие отрезка

[0,1], кроме того, ϕ отображает каждый отрезок ,nk,

n1k

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − (k=1,2,…n) в

некоторую элементарную окрестность в S1.

Имеем ϕk: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

nk,

n1k →Uk⊂S1, где Uk – элементарная окрестность в S1.

Таким образом, путь ϕ мы разбили на n путей так, что начало пути ϕ1 –

точка x0, конец – ϕ1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n1 =x1; начало пути ϕ2 – точка x1, конец – ϕ2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

n2 =x2;

…, начало пути ϕn – точка xn-1, конец – ϕn(1)=xn. Пусть V1 – компонента множества p-1(U1), содержащая точку

y0 (p(y0)=x0), тогда p1:V1→U1 – гомеоморфизм (p1(y)=p(y)) и 1

11 p −=ϕ οϕ1: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

n1,0 →R – путь с началом в точке y0 и концом y1 (p(y1)=x1).

Пусть V2 – компонента множества p-1(U2), содержащая точку y1, тогда

p2:V2→U2 гомеоморфизм (p2(y)=p(y)) и 122 p −=ϕ οϕ2: ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

n2,

n1

→R путь с

началом в точке y1 и концом – в y2 (p(y2)=x2). Пусть Vn – компонента множества p-1(Un), содержащая точку yn-1, тогда pn:Vn→Un – гомеоморфизм

(pn(y)=p(y)) и 1nn p −=ϕ οϕn: ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − 1,

n1n

→R – путь с началом в точке yn-1 и

концом в yn (p(yn)=xn).

70

Таким образом, мы получим n путей в R: 1ϕ :[0,1]→R, ]n2,

n1[:2ϕ →R,

…, ]1,n

1n[:n−

ϕ →R таких, что конец пути 1ϕ совпадает с началом пути 2ϕ ,

конец пути 2ϕ совпадает с началом пути 3ϕ , …, конец пути 1n−ϕ совпадает с началом пути nϕ , что позволяет определить путь ϕ :[0,1]→R1 с началом в точке y0 следующим образом:

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−∈ϕ

−−−−−−−

∈ϕ

∈ϕ

=ϕ

].1,n

1n[t,t

],n2,

n1[t,t

],n1,0[t,t

t

n

2

1

Таким образом, доказано существование пути ϕ . Докажем теперь, что такой путь единственный.

Пусть таких путей два: 1ϕ и 2ϕ , положим ψ= 1ϕ - 2ϕ , тогда ψ:[0,1]→R непрерывное отображение. Пусть A={t∈[0,1]:ψ(t)=0}, тогда A≠∅ (ψ(0)=0), кроме того, A=ψ-1(0) и поэтому A – замкнуто в [0,1].

Покажем, что A открыто в [0,1]. Пусть t0∈A, 1ϕ (t0)= 2ϕ (t0)=y0∈R и p(y0)=x0∈S1, U – элементарная

окрестность в S1, содержащая точку x0, и V – компонента множества p-1(U), содержащая точку y0. Так как 1

1−ϕ (V) и 1

2−ϕ (V) окрестности точки t0, то

пусть W⊂ 11−ϕ (V)∩ 1

2−ϕ (V) – связная окрестность точки t0, тогда 1ϕ (W)⊂V и

2ϕ (W)⊂V, если существует t∈W, т.ч. 1ϕ (t)≠ 2ϕ (t), то тогда p( 1ϕ (t))≠p( 2ϕ (t)), что противоречит тому, что pο 1ϕ = pο 2ϕ =ϕ.

Таким образом, для всех t∈W 1ϕ (t)= 2ϕ (t) и, следовательно, W⊂A, т.е A – открытое в [0,1] множество. Но отрезок [0,1] – связное множество, а A⊂[0,1] открыто и замкнуто, поэтому A=[0,1] и, следовательно, 1ϕ = 2ϕ что и доказывает единственность пути ϕ .

Данная теорема позволяет ввести понятие степени замкнутого пути в S1, следующим образом.

Пусть ϕ:[0,1]→S1 петля в точке (0,1)∈S1 и ϕ :[0,1]→R ее единственное поднятие в R с началом точке 0∈R (p(0)=(1,0). Имеем p(ϕ (1))=ϕ(1)=(1,0) и p(t)=(cos2πt,sin2πt), поэтому ϕ (1) ∈Z⊂R (т.е. ϕ (1) – целое число).

71

Определение 1. Степенью замкнутого пути ϕ:[0,1]→S1 (ϕ(0)=ϕ(1)=(1,0)) называется целое число ϕ (1), где ϕ – поднятие ϕ с началом в точке 0 и обозначается deg ϕ.

Теорема 2. Пусть p:R→S1, (p(t)=(cos2πt,sin2πt)), тогда для всякого непрерывного отображения F:[0,1]×[0,1]→S1 – такого, что F(0,0)=x0, существует единственное непрерывное отображениеF :[0,1]×[0,1]→R, т.ч. F (0,0)=y0 (где p(y0)=x0), причем pοF =F.

Доказательство. а) F:[0,1]×[0,1]⊂U⊂S1, где U – элементарная окрестность в S1 и V – компонента p-1(U), содержащая точку y0, тогда F =p-

1οF, где p:V→U гомеоморфизм – искомое понятие. б) Пусть {Ui}i∈I – множество всех элементарных окрестностей в S1,

тогда {F-1{Ui}}i∈I – открытое покрытие [0,1]×[0,1]; разобьем его на прямоугольники так, чтобы диаметр каждого был меньше Лебегова числа этого покрытия.

Пусть 0=a0<a1<…<an=1, 0=b0<b1<…<bm=1 и Пij{(t,τ)∈[0,1]×[0,1]:ai-1≤t≤ai и bj-1≤t≤bj}, (i=1,2,…,n и j=1,…,m) – такое разбиение [0,1]×[0,1], что диаметр каждого меньше Лебегова числа покрытия {F-1{Ui}}i∈I, тогда F(Пij) содержится в некоторой элементарной окрестности в S1.

Далее строим F на Пij и склеиваем их на границах (см. теорему 1), получим отображения F:[0,1]×[0,1]→R. (Подробности – самостоятельно.)

Следствие. Пусть ϕ0 и ϕ1 – две эквивалентных петли в S1 в точке (1,0), если 0ϕ и 1ϕ – их поднятия, для которых 0ϕ (0)= 1ϕ (0), то 0ϕ (1)= 1ϕ (1).

Доказательство. Пусть F:[0,1]→S1 – гомотопия от ϕ0 к ϕ1 относительно {0,1}, причем F(0,0)=ϕ0(0), и пусть F :[0,1]×[0,1]→R – поднятия с F (0,0)= 0ϕ (0)= 1ϕ (0); т.к. F(t,0)=ϕ0(t) и F(t,1)=ϕ1(t), то F (t,0)= 0ϕ (t) и F (t,1)= 1ϕ (t) (как поднятия), но F (1,τ) – путь в R с началом в точке F (1,0)= 0ϕ (1) и концом F (1,1)= 1ϕ (1); кроме того, F(1,τ)= ϕ0(1)= ϕ1(1) (т.к. F – гомотопия rel{0,1}).

Далее, т.к. p( F (1,τ))=F(1,τ)=(1,0), тоF (1,τ)∈Z для всякого τ∈[0,1] и F (1,τ) – непрерывное отображение, а это возможно только если F (1,τ) – постоянное отображение; таким образом, F (1,0)= F (1,1) и, следовательно

0ϕ (1)= 1ϕ (1). Кроме того, F : −ϕ ~0 1ϕ rel{0,1}. Самостоятельно рассмотреть

F (0,τ) и F (1,τ). Таким образом, мы можем определить степень [ϕ]∈π1(S1,(1,0))

следующим образом: deg[ϕ]=degϕ, где ϕ∈[ϕ]. Таким образом, доказанная теорема показывает, что степень [ϕ]не зависит от выбора представителя ϕ∈[ϕ].

72

Теорема 3. π1(S1,(1,0)) Z~− . Доказательство. Определим отображение γ:π1(S1,(1,0))→Z следующим

образом: γ:([ϕ])=deg[ϕ], и это отображение определено корректно. 1. Сначала покажем, что γ – гомоморфизм групп. Пусть [ϕ],

[ψ]∈π1(S1,(1,0)) и [ϕ]⋅[ψ]=[ϕ⋅ψ], поэтому γ([ϕ⋅ψ])=deg(ϕ⋅ψ)= ( )ψ⋅ϕ (1), где ψ⋅ϕ – единственное поднятие петли ϕ⋅ψ с началом в точке 0∈R. Имеем:

(ϕ⋅ψ)(t)=( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−ψ

∈ϕ

],1,21[t,1t2

],21,0[t,t2

ψ⋅ϕ строится следующим образом: сначала поднимается отображение ϕ и получается отображение ϕ с началом в точке 0∈R и концом в точке ϕ (1), затем поднимается отображение ψ и получается отображение ψ с началом в точке ψ (1) и концом ϕ (1)+ ψ (1), поэтому

( ψ⋅ϕ )(1)=ϕ (1)+ψ (1).

Таким образом, γ([ϕ]⋅[ψ])=deg[ϕ]+deg[ψ]=γ[ϕ]+γ[ψ], и поэтому γ – гомоморфизм групп.

2. Покажем, что γ – изоморфизм групп. γ – эпиморфизм (сюръективный гомоморфизм), пусть k∈Z и ϕ :[0,1]→R, т.ч. ϕ (t)=kt, тогда ϕ (1)=k и ϕ=pοϕ будет петлей в т. (1,0), причем deg ϕ=k. Таким образом, для всякого k∈Z построен [ϕ]∈π1(S1,(1,0)), причем γ[ϕ]=k, что и означает, что γ – эпиморфизм.

3. Покажем, что γ – мономорфизм (инъективный гомоморфизм). Пусть [ϕ]∈π1(S1,(1,0)) и γ[ϕ]=0, тогда degϕ=0. Отсюда следует, что ϕ (0)=(1)=0, но R – стягиваемое пространство, поэтому −ϕ ~ c0 (rel{0,1}), где c0 – постоянная петля в точке 0∈R, поэтому существует гомотопия F:[0,1]×[0,1]→R, т.ч. F(t,0)=ϕ (t) и F(t,1)= 0c (t)=0 и F(0,τ)=F(1,τ)=0.

Рассмотрим pοF:[0,1]×[0,1]→S1, поëу÷èм:

p(F(t,0))=p(ϕ (t))=ϕ(t) и p(F(t,1))=p( 0с (t))=(1,0), p(F(0,τ))=p(0)=(1,0) è p(F(1,τ))=p(0)=(1,0),

ò.å. pοF: −ϕ ~ c0 (rel{0,1}),, где c0(t)=(1,0) и c0- постоянная петля в S1. Таким образом, [ϕ]=e – единица в π1(S1,(1,0)), что и доказывает, что γ –

мономорфизм. Таким образом, γ:π1(S1,(1,0))→Z – изоморфизм групп, и поэтому

π1(S1,(1,0))≈Z.

73

Используя знание фундаментальной группы окружности, докажем теорему Брауэра о неподвижной точке.

Теорема. Всякое непрерывное отображение f:D2→D2 (где D2 – единичный круг на плоскости R2) имеет неподвижную точку, т.е. существует x∈D2, т.ч. f(x)=x.

Доказательство. Пусть для всех x∈D2 f(x)≠x, тогда определим отображение r:D2→S1, т.ч. r(x) – точка пересечения луча, проведенного из точки f(x) через точку x с окружностью S1.

Очевидно, что отображение r:D2→S1 непрерывно (самостоятельно записать отображение r). Пусть i:S1→D2 – естественное вложение ограничивающей окружности S1 в круг, тогда S1→D2→S1, т.е. r(i(x))=r(x)=x, и поэтому rοi=1 1S

, где 1 1S:S1→S1: – тождественное

отображение, но i * :П1(S1)→П1(D2) – мономорфизм, т.к. если i * ([ϕ1])=i* ([ϕ2]), то r * (i * ([ϕ1]))=r * (i * ([ϕ2])) и поэтому [ϕ1]=[ϕ2], íî П1(S1) Z≈ , поэтому i * не может быть мономорфизмом.

74

Глава III. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

§1. Дифференцируемые многообразия Определение 1. Пусть М – хаусдорфово топологическое

пространство со счетной базой. Пара (U,ϕ) (упорядоченная), где U открыто в М, а ϕ:U→V – гомеоморфизм, причем V, открытое в Rn, называется картой. Определение 2. A={(Uα,ϕα)}α∈I называется атласом на М, если М=Υ

IU

∈αα .

Определение 3. Атлас A={(Uα,ϕα)}α∈I называется атласом класса Cr (r≥1) на М, если для любых двух его карт (Uα,ϕα) и (Uβ,ϕβ) – таких, что Uα∩Uβ≠∅, отображение ϕβο 1−

αϕ :ϕα(Uα∩Uβ)→ϕβ(Uα∩Uβ) является отображением класса Cr (рис. 1).

M

UβUα

P

Rn

ϕα ϕβ

ϕα(Uβ)

ϕα(P)

ϕα(Uα∩Uβ) ϕβ(Uα∩Uβ)ϕβ(Uβ)

ϕβ(P)ϕβ°ϕα

-1

Рис. 1

75

Таким образом, если p∈ Uα ⊂M, то ϕα(p) ∈Rn и поэтому ϕα(p)= ( ) ( ) ( )( )px,...,px,px n21

ααα и ( )px1α , ( )px2

α ,…, ( )pxnα называются

локальными координатами точки p в карте (Uα,ϕα). Пусть точка p∈ Uα ⊂M, то она имеет в карте (Uβ,ϕβ) локальные

координаты ( )px1β , ( )px2

β ,..., ( )pxnβ . Если обозначить ϕβο 1−

αϕ =ϕβα, то

( ) ( ) ( ) ( )( )px,...,px,pxpx n2111αααβαβ ϕ= ,

( ) ( ) ( ) ( )( )px,...,px,pxpx n2122αααβαβ ϕ= ,

( ) ( ) ( ) ( )( )px,...,px,pxpx n21nnαααβαβ ϕ= .

Причем все функции: 1βαϕ , 2

βαϕ ,..., nβαϕ являются функциями класса Cr

, и они называются функциями перехода от локальных координат ( )n21 x,...,x,x ααα к локальным координатам ( )n21 x,...,x,x βββ .

Определение 4. Атлас A={(Uα,ϕα)}α∈I класса Cr на М называется максимальным, если для любой карты (U,ϕ) на М – такой, что отображение ϕαοϕ-1:ϕ(U∩Uα)→ϕα(U∩Uα) и его обратное отображение являются отображениями класса Cr, следует, что карта (U,ϕ)∈A.

Определение 5. Максимальный атлас на М класса Cr называется

дифференцируемой структурой класса Cr на М, а пара (M,A), где A – максимальный атлас класса Cr на М, называется дифференцируемым многообразием класса Cr размерности n.

Замечание. Таким образом, чтобы задать дифференцируемую структуру на М, достаточно задать атлас, в ней содержащийся.

Пример 1

Положим U1={(x,y)∈M:x>0}, U2={(x,y)∈M:x<0}, U3={(x,y)∈M:y>0},

U4={(x,y)∈M:y<0}. 1U21 pr=ϕ ,

22U22 pr=ϕ , 3U13 pr=ϕ ,

4U14 pr=ϕ .

Таким образом, (U1,ϕ1), (U2,ϕ2), (U3,ϕ3), (U4,ϕ4) – карты на М, а т.к. S1= U1∪U2∪U3∪U4, то совокупность этих карт является атласом на S1.

Имеем U1∩U3≠∅, рассмотрим отображение

ϕ3ο 11−ϕ :ϕ1(U1∩U3)→ϕ3(U1∩U3),

(ϕ3ο1

1−ϕ )(y)= 2y1− , где 0<y<1,

и поэтому отображение ϕ3ο 11−ϕ является отображением класса Cr для

любого r>0.

76

2y1−

y

xy

0

U1∩U3

Рис. 2 Аналогично проверяется для других пар карт. Таким образом, S1 является дифференцируемым многообразием класса

Cr для любого r>0, а его размерность 1. Определение 6. Если атлас A={(Uα,ϕα)}α∈I на М является атласом

класса Cr для любого r>0, то такой атлас называется атласом класса C∞ на М, а дифференцируемая структура на М, им определяемая, называется структурой класса C∞ на М, а пара (M,A) называется гладким многообразием размерности n.

Пример 2

Обозначим G(n,k) – множество всех k-мерных подпространств

(проходящих через начало координат) в Rn; и пусть в Rn задано скалярное произведение.

Рассмотрим E∈G(n,k), и пусть E⊥ – его ортогональное дополнение в Rn. Обозначим πE: Rn→E ортогональную проекцию из Rn на E вдоль E⊥, а

EE1π :E′→E – сужение отображения πE на E′.

Положим UE={E′∈G(n,k):EE1

π :E′→E–гомеоморфизм}, определим

отображение ϕ:UE→Hom(E, E⊥) следующим образом:

ϕ(E′)=EE1

π ο 1EE1

−⊥π ,

где EE1

π :E′→E – сужение ортогональной проекции из Rn в E⊥ вдоль E на E′

(рис. 3).

77

E

E′⊥E

⊥π E,E

1E,E

−′π

Рис. 3 Таким образом, графиком отображения ϕ(E′) является E′. По построению очевидно, что отображение ϕ – биекция. Кроме того,

Hom(E, E⊥) изоморфно Rk(n-k). Рассмотрим множество всех пар вида (UE,ϕ) и зададим топологию на G(n,k) так, чтобы ϕ:UE →Rk(n-k) было гомеоморфизмом, тогда множество указанных выше пар является атласом на G(n,k), и если ( )1E ,U

1ϕ и ( )2E ,U

2ϕ – две карты этого атласа, причем

21 EE UU ∩ ≠∅, то отображение:

( ) ( )1221 EE2EE1

112 UUUU: ∩ϕ→∩ϕϕϕ −ο

является отображением класса C∞ (рис. 4), поэтому G(n,k) является гладким многообразием, размерности k(n-k). Подробности – самостоятельно (использовать рис. 4).

E2

E′

E1

⊥1E⊥

2E

Рис. 4

78

Пример 3 GL(n)={A∈Mat(n):detA≠0} – полная линейная группа. Очевидно, что Mat(n)≈

2nR и отображение det:Mat(n)→R является непрерывным, тогда GL(n)⊂ Mat(n) открыто в Mat(n) и поэтому является n2-мерным гладким многообразием.

Пример 4

Пусть f:Rn→Rm гладкое отображение и Гf={(x,y)∈Rn×Rm:y=f(x)} –

график отображения f, π1:Rn×Rm→Rn – каноническая проекция. Положим ϕ=π1

fГ – сужение π1 на Гf, тогда ϕ:Гf→Rn – непрерывное

отображение и, кроме того, ϕ – биекция, т.к. отображение ψ:Rn→Гf, т.ч. ψ(x)=(x,f(x)) является обратным к ϕ и непрерывным.

Таким образом, пара (Гf,ϕ) является картой на Гf и атлас {(Гf,ϕ)} задает на Гf структуру гладкого n-мерного многообразия.

Определение 7. Пусть f:M→N – отображение дифференцируемых многообразий класса Cr. Отображение f называется отображением класса Cr в точке p∈M, если существует такая карта (U,ϕ) из дифференцируемой структуры на M, причем p∈U, и такая карта (V,ψ) из дифференцируемой структуры на N, причем f(U)⊂V, что отображение ψοfοϕ-1:ϕ(U)→ψ(V) является отображением класса Cr в точке ϕ(p).

Такое определение использует карты из дифференцируемых структур на M иN.

Лемма 1. Если отображение ψοfοϕ-1 является отображением класса Cr â òî÷êå ϕ(p), то отображение ( ) ( )V~~U~~:~f~ 1 ψ→ϕϕψ −οο , где ( )ϕ~,U~ – карта из дифференцируемой структуры на M, причем p∈U~ , а ( )ψ~,V~ – карта из дифференцируемой структуры на N, причем ( ) V~U~~ ⊂ϕ является отображением класса Cr в точке ϕ~ (p).

Доказательство. 1~f~ −ϕψ οο =(ψ~ οψ-1) ο(ψοfοϕ-1) ο(ϕο 1~ −ϕ ) – каждое отображение, стоящее в скобках, является отображением класса Cr в соответствующих точках.

Замечание. Таким образом, то, является ли отображение f отображением класса Cr в точке p∈M, не зависит от выбора карт в окрестности точек p и f(p) соответственно.

Определение 8. Если отображение f:M→N является отображением класса Cr в каждой точке p∈M, то оно называется отображением класса Cr (рис. 5).

79

UP

M

ψ°f°ϕ-1

NV

f(P)

ϕ ψ

Rn Rnϕ(U) ψ(V)

ϕ(P) ψ(f(P))

f

Рис. 5 Отображение ψοfοϕ-1 является отображением открытых подмножеств

евклидовых пространств, и его дифференцируемость определена в курсе «Математический анализ».

Таким образом, если x1,x2,…,xn – координаты в Rn, а y1,y2,…,ym – координаты в Rm и если отображение ψοfοϕ-1 обозначить f~ , то в локальных координатах (U,ϕ) на M и (V,ψ) на N отображение f примет вид:

y1= 1f~ (x1,x2,…,xn), y2= 2f~ (x1,x2,…,xn), …………………… ym= mf~ (x1,x2,…,xn).

Определение 9. Ранг этой системы функций в точке ϕ(p) называется рангом отображения f:M→N в точке p.

Задание. Доказать, что ранг отображения f не зависит от выбора локальных координат (использовать предыдущую лемму).

Теорема 1. Пусть f:M→N и g:N→P – отображения класса Cr дифференцируемых многообразий класса Cr, тогда отображение gοf:M →P является отображением класса Cr.

(Доказательство – самостоятельно.) Определение 10. Пусть f:M→N – отображение класса Cr (r>0); åcëè f –

биекция и f-1 – отображение класса Cr, то отображение f называется диффеоморфизмом класса Cr.

80

Замечание. Диффеоморфизм между дифференцируемыми многообразиями является отношением эквивалентности (проверить самостоятельно). Уже на простейшем примере S1, можно построить различные гладкие атласы, каждый из которых определяет на S1 некоторую гладкую структуру. Совпадают ли они? И вообще могут ли на M существовать различные гладкие структуры?

Первым на этот вопрос ответил Дж. Милнор в своей знаменитой работе «О многообразиях гомеоморфных семимерной сфере» (1956 г.), в которой он доказал, что сферу S7 можно двадцатью восьмью различными способами превратить в гладкое многообразие.

Таким образом, гладкие многообразия могут быть гомеоморфны, но не диффеоморфны.

Определение 11. Пусть M′, M′′ и – дифференцируемые многообразия класса Cr;

A′= ( ){ } I,U ′∈α′α′α′ ϕ′′ и A′′= ( ){ } I,U ′′∈α ′′α ′′α ′′ ϕ ′′′′

– атласы их дифференцируемых структур, тогда атлас на M′×M′′ A= ( ){ }( ) II,,UU ′′×′∈α ′′α′α ′′α′α ′′α′ ϕ ′′×ϕ′′′×′

определяет дифференцируемую структуру класса Cr, а M′×M′′, наделенное этой структурой, называется произведением дифференцируемых многообразий M′ и M′′.

Задание 1. Доказать, что если в dimM′=n′, dimM′′=n′′, то dim (M′×M′′)= =n′+ n′′.

Задание 2. Доказать, что pr1: M′×M′′→ M′, pr2: M′×M′′→ M′′ (канонические проекции) являются дифференцируемыми отображениями.

Отображения f:M′×M′′→N и g:N→M′×M′′ являются дифференцируемыми в том же смысле, что и выше, т.к. M′×M′′ – дифференцируемое многообразие.

§2. Касательное пространство

Пусть M – дифференцируемое многообразие класса Cr и dimM=n, p∈M. Рассмотрим множество всех упорядоченных троек (Uα,ϕα,v), причем

(Uα,ϕα) – карта из дифференцируемой структуры на M и p∈Uα, а v∈Rn (вектор).

В этом множестве определим отношение эквивалентности следующим образом: (Uα,ϕα,v)~(Uβ,ϕβ,w) в том и только в том случае, если

w=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ (v).

81

Здесь символом D обозначается производная (дифференциал) соответствующего отображения.

Это действительно отношение эквивалентности: 1. (Uα,ϕα,v)~(Uα,ϕα,ν), т.к. ν=D(ϕαο ( )p

1 )αϕ

−αϕ (v).

2. Если (Uα,ϕα,v)~(Uβ,ϕβ,w), то ω=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ (v), и поэтому

v=D(ϕαο ( )p1 )

βϕ−βϕ (w), т.к. ϕβο 1−

αϕ и ϕαο 1−βϕ – взаимообратные отображения.

Поэтому (Uβ,ϕβ,w)~(Uα,ϕα,v). 3. Если (Uα,ϕα,v)~(Uβ,ϕβ,w) и (Uβ,ϕβ,w)~(Uγ,ϕγ,u), то

ω=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ (v) и u=D(ϕγο ( )p

1 )βϕ

−βϕ (w),

но тогда

u=((D(ϕγο ( )p1 )

βϕ−βϕ )(D(ϕβο ( )p

1 )αϕ

−αϕ ))(v)=

=D((ϕγο 1−βϕ )(ϕβο 1−

αϕ )) ( )pαϕ(v)=D(ϕγο 1−

αϕ ) ( )pαϕ(v)

Таким образом, (Uα,ϕα,v)~(Uγ,ϕγ,u). Определение 1. Класс эквивалентности тройки (Uα,ϕα,v) называется

касательным вектором к дифференцируемому многообразию M в точкеp, а вектор v∈Rn его представителем в карте (U,ϕ).

Класс эквивалентности тройки (Uα,ϕα,v) будем обозначать ( )v,,U αα ϕ или v .

Определение 2. Множество всех касательных векторов к дифференцируемому многообразию M в точке p называется касательным пространством к M в точке p и обозначается TpM.

Рассмотрим отображение

( ) :p,U αα ϕλ Rn→TpM, где (Uα,ϕα)карта, p∈ Uα,

определенное следующим образом:

( ) ( )vp,U αα ϕλ = ( )v,,U αα ϕ .

Лемма 1. Отображение ( ) :p,U αα ϕλ Rn→TpM является биекцией.

Доказательство. 1. Покажем, что ( )

p,U αα ϕλ является инъекцией.

Пусть ( )p

,U αα ϕλ (v1)= ( )p

,U αα ϕλ (v2), тогда ( )1v,,U αα ϕ = ( )2v,,U αα ϕ , и поэтому v2=D(ϕαο ( )p

1 )αϕ

−αϕ (v1), т.е. v2=v1.

2. Покажем, что ( )p

,U αα ϕλ является сюръекцией.

Пусть v∈TpM и ( )v,,U αα ϕ = v . Лемма доказана.

82

Лемма 2. ( )p

,U αα ϕλ = ( )p

,U ββ ϕλ οA, где A=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ .

Доказательство. Пусть (Uα,ϕα) и (Uβ,ϕβ) – карты дифференцируемой структуры на M и такие, что p∈Uα∩Uβ. Рассмотрим отображение

( )( ) ο1p

,U−

ϕββλ ( )

p,U αα ϕλ ::Rn→Rn .

Имеем (рис. 6):

Rn Rn

TPM

A

P),U( αα ϕλ P

),U( 1−ββ ϕ

λ

Рис. 6 Пусть v∈Rn, тогда ( )

p,U αα ϕλ (v)= ( )v,,U αα ϕ , причем ( )v,,U αα ϕ =

= ( )w,,U ββ ϕ , где w=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ (v), но тогда

( )( ) ( )w,,U1p,U αβ

−

ϕ ϕλββ

=w=A(v) и, таким образом,

( )( ) ο1p

,U−

ϕββλ ( )

pU αα ϕλ , =A.

Лемма доказана. Теорема 1. На TpM существует единственная структура векторного

пространства над R – такая, что для всякой карты (Uα,ϕα) из дифференцируемой структуры на M отображение

( )p

,U αα ϕλ :Rn→TpM

является линейным изоморфизмом (p∈U2). Доказательство. Пусть 1v , 2v ∈TpM, положим 1v + =2v ( )

p,U αα ϕλ (v1+v2),

где ( )1v,,U αα ϕ = 1v и ( )2v,,U αα ϕ = 2v , и если c∈R, то c⋅ 1v = ( )p

,U αα ϕλ (cv1).

83

Таким образом, ( )p

,U αα ϕλ действительно является линейным изоморфизмом ( ( )

p,U αα ϕλ – биекция).

Пусть (Uβ,ϕβ), где p∈Uβ, тогда 1v + =2v ( )p

,U ββ ϕλ (w1+w2), где

( )1w,,U ββ ϕ = 1v и ( )2w,,U ββ ϕ = 2v ,

поэтому (Uβ,ϕβ,w1)~(Uα,ϕα,v1) и (Uβ,ϕβ,w2)~(Uα,ϕα,v2), т.е.

w1=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ (v1) ,

w2=D(ϕβο ( )p1 )

αϕ−αϕ (v2) ,

и поэтому

1v + =2v ( )p

,U ββ ϕλ w1+w2= ( )p

,U ββ ϕλ (A(v1)+A(v2))=

= ( )( )Ap,U ο

ββ ϕλ (v1+v2)= ( )p

,U αα ϕλ= (v1+v2)

Таким образом, сложение в TpM не зависит от выбора карты из дифференцируемой структуры на M. Аналогично проверяется для c⋅ v (проделать самостоятельно). Из доказательства следует и единственность.

Пусть f:M→N – отображение класса Cr, где dimN=m и p∈M. Определим отображение

Tpf:TpM→Tf(p)N следующим образом: если v∈TpM и (U,ϕ,v)∈v , а (V,ψ) – карта дифференцируемой структуры на N – такая, что f(U)⊂V, то положим

Tpf ( ) ( ) ( )( )( )( )vfD,,Vv p1

ϕ−ϕψψ= οο .

В этом определении отображения Tpf явным образом участвуют карты (U,ϕ) и (V,ψ). Покажем, что на самом деле переход к другим аналогичным картам даст тот же результат.

Пусть (U1,ϕ1) и(U2,ϕ2) – карты из дифференцируемой структуры на M, причем p∈U1∩U2, а (V1,ψ1) и (V2,ψ2) – карты из дифференцируемой структуры на N, причем f(U1)⊂V1, f(U2)⊂V2

Кроме того, ( ) vv,,U 111 =ϕ и ( ) vv,,U 222 =ϕ , тогда

v1=D(ϕ1ο )p(1

2 1)ϕ

−ϕ (v2)

по определению:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )1p1

1111p vfD,VvfT11ϕ

−ϕψψ= οο

и ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )2p1

2222p vfD,VvfT2ϕ

−ϕψψ= οο .

84

Положим:

D(ψ1οfο )p(1

1 1)ϕ

−ϕ (v1)=w1 и D(ψ2οfο )p(1

2 1)ϕ

−ϕ (v2)=w2.

Имеем: (D(ψ2ο ))p(f(

11 1

)ψ−ψ )(D )p(

11 1

)ϕ−ϕ (v1))=(D(ψ2ο ))p(f(

11 1

)ψ−ψ

ο(D(ψ1οfο )p(1

1 1)ϕ

−ϕ (D(ϕ1ο 12−ϕ )(v2))=

=(D((ψ2ο 11−ψ )ο((ψ1ο 1

1−ϕ )ο(ϕ1ο 1

2−ϕ )) )p(2ϕ

)(v2)=D(ψ2οfο 12−ϕ ) )p(1ϕ

(v2).

Таким образом, w2=D(ψ2ο 1

1−ψ ) ))p(f(1ψ

(w1), и поэтому

(V1,ψ1,D(ψ1οfο )p(1

1 1)ϕ

−ϕ (v1))~ (V2,ψ2,D(ψ2οfο 12−ϕ )) )p(2ϕ

(v2)).

Определение 3. Отображение Tpf:TpM→Tf(p)N называется касательным к отображению f:M→N в точке p.

Теорема 2. Отображение Tpf:TpM→Tf(p)N является линейным отображением.

Доказательство. Пусть 1v , 2v ∈TpM, тогда:

Tpf ( )21 vv + = ( ) ( ) ( )( )21p1 vvfD,,V +ϕψψ ϕ−οο ,

где (U,ϕ,v1)∈ 1v и (U,ϕ,v2)∈ 2v , f(U)⊂V, p∈U. Но D(ψοfοϕ-1)ϕ(p)(v1+v2)=D(ψοfοϕ-1)ϕ(p)(v1)+D(ψοfοϕ-1)ϕ(p)(v2), поэтому

(см. определение сложения)

( ) ( ) ( )( )21p1 vvfD,,V +ϕψψ ϕ−οο = ( ) ( ) ( )( )+ϕψψ ϕ

−1p

1 vfD,,V οο

( ) ( ) ( )( )2p1 vfD,,V ϕ−ϕψψ+ οο

и, таким образом, Tpf ( )21 vv + =Tpf ( )1v +Tpf ( )2v .

Аналогично (Tpf) ( )vc ⋅ (проделать самостоятельно). Теорема доказана. Из определения отображения Tpf:TpM→Tf(p)N следует, что в локальных

координатах (U,ϕ) на M и (V,ψ) на N, p∈U и f(U)⊂V, отображение задается линейным отображением

D(ψοfοϕ-1) ϕ(p):Rn→Rm, которое определяется матрицей Якоби отображения ψοfοϕ-1 в точке ϕ(p):

85

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

ϕ∂∂

pxf~p

xf~p

xf~

....

pxf~p

xf~p

xf~

pxf~p

xf~p

xf~

n

m

2

m

1

m

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

Λ

Λ

Λ

Замечание. Очевидно, что ранг дифференцируемого отображения f:M→N в точке p∈M совпадает с рангом линейного отображения Tpf:TpM→Tf(p)N.

Теорема 3. Пусть f:M→N и g:N→P – дифференцируемые отображения класса Cr (r≥1) и p∈M, тогда:

Tp(gοf)= Tf(p)gοTpf,

для всякого p∈M. Доказательство. Пусть (U,ϕ) – карта дифференцируемой структуры на

M, т.ч. p∈U, (V,ψ) – карта дифференцируемой структуры на N, т.ч. f(U)⊂V, (W,χ) – карта дифференцируемой структуры на P, т.ч. g(V)⊂W.

Пусть u∈TpM и ( )u,,Uu ϕ= , тогда

Tp(gοf) ( )u = ( )( ) ( ) ( )( )ufgD,,W p1

ϕ−ϕχχ οοο =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )ufgD,,W p11

ϕ−− ϕψψχχ= οοοοο =

) ( )( ) ( (( ) ( ) ( )( )ufDgD,,Wp

1pf

1φ

−ψ

− ϕψψχχ= οοοο =

( ) ( )( ) ( )( )vgD,,W pf1

ψ−ψχχ= οο =(Tf(p)g) ( )v = (Tf(p)g)((Tpf( u ))=(Tf(p)gοTpf) ( )u ,

где v=D(ψοfοϕ-1)ϕ(p)(u), поэтому

v = ( ) ( ) ( )( )ufD,,v p1

ϕ−ϕψψ οο и v =(Tpf) ( )u .

Теорема доказана. Задание. Пусть 1M:M→M – тождественное отображение. Найти Tp(1M),

p∈M. Задание. Пусть f:M→N – диффеоморфизм. Доказать, что для всякого p∈M Tpf:TpM→Tf(p)N – изоморфизм

линейных пространств. Пусть M и N – дифференцируемые многообразия класса Cr, M×N – их

произведение, dimM=n, dimN=m, dimM×N=m+n. Рассмотрим канонические проекции:

86

pr1: M×N→M, pr2: M×N→N,

пусть (p,q)∈ M×N, (U,ϕ) – карта дифференцируемой структуры на M, (V,ψ) – карта дифференцируемой структуры на N, причем (p,q)∈U×V.

Пусть w ∈T(p,q)M×N и ( ) ww,,VU =ψ×ϕ× , где w∈Rn×Rm (≈Rn+m), w=(u,v), u∈Rn, v∈Rm. Имеем:

T(p,q)(pr1): T(p,q)M×N→TpM, T(p,q)(pr2): T(p,q)M×N→TpN,

тогда

(T(p,q)(pr1))(w)= ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )wprD,,U q,p1

1 ψϕ−ψ×ϕϕϕ οο ,

но ϕοpr1ο(ϕ×ψ)-1:ϕ(U)×ψ(V)→ϕ(U) является проекцией на первый сомножитель, и поэтому

D(ϕοpr1ο(ϕ×ψ)-1)(ϕ(p),ψ(q))(w)=u. Таким образом,

(T(p,q)(pr1)) ( ) uw = ,

аналогично (T(p,q)(pr2)) ( ) vw = .

Определим отображение Ô:T(p,q) M×N→TpM×TqN

следующим образом: ( ) ( ) ( )( )wФ,wФwФ 21= ,

где Ф1=T(p,q)(pr1), Ф2=T(p,q)(pr2). Ф – очевидно линейное отображение, кроме того, Ф – биекция. Таким образом, отображение Ф – линейный изоморфизм,

T(p,q) M×N≈TpM×TqN. Определение 4. Пусть M – дифференцируемое многообразие.

Множество

TM=ΥMp∈

TpM

называется касательным расслоением на M. Имеется отображение

87

π:TM→M, т.ч. π( )v =p эквивалентно v∈TpM, называемое канонической проекцией, само отображение π:TM→M также называют касательным расслоением, π-

1(p)=TpM называют слоем над точкой p. Теорема 3. Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие

класса Cr, тогда на TM существует естественная структура 2n-мерного многообразия класса Cr-1.

Доказательство. Пусть (Uα,ϕα) – карта дифференцируемой структуры на M. Рассмотрим множество π-1(Uα)⊂TM и определим отображение

αϕ~ :π-1(Uα)→ϕα(Uα)×Rn,

следующим образом: если v∈π-1(Uα), то αϕ~ ( ) =v ( ( )( ) ( )

( )( ) ( ))v,v 1v,U

−πϕαα α

λπϕ . Если (Uβ,ϕβ) – другая карта на M и Uα∩Uβ≠∅, тогда

:~~ 1−αβ ϕϕ ο ϕα (Uα∩Uβ)×Rn →ϕβ(Uα∩Uβ)×Rn,

причем

( )1~~ −αβ ϕϕ ο ( ( ( ) ( )

( )( ) ( ))v,v 1v,U

−πϕα αα

λπϕ = ( ( ( ) ( )( )( ) ( ))v,v 1v

,U−π

ϕβ ββλπϕ ,

поэтому:

( )1~~ −αβ ϕϕ ο ( ( ( ) ( )

( )( ) ( ))v,v 1v,U

−πϕα αα

λπϕ =

= ( )( D1 ×ϕϕ −αβ ο ( ) ( ) )p

1

αϕ−αβ ϕϕ ο ( ( )( ) ( )

( )( ) ( ))v,v 1v,U

−πϕα αα

λπϕ .

Таким образом, отображение :~~ 1−αβ ϕϕ ο будет отображением класса Cr-1,

аналогично для других пар карт на TM, (Uα,ϕα)α∈I – атлас на M. Введем на TM топологию так, чтобы все отображения αϕ

~ :π-1(Uα)→ϕα(Uα)×Rn были гомеоморфизмами (см. [2]), тогда множество пар (π-1(Uα), αϕ

~ )α∈I будет атласом класса Cr-1 на TM ( т.к.D(ϕβο 1−

αϕ )- класса Cr-1) и dimTM=2n. Теорема доказана.

Задание. Доказать, что отображение π:TM→M – отображение класса Cr-1. Определение 5. Пусть f:M→N – дифференцируемое отображение

класса Cr, определим отображение Tf:TM→TN следующим образом: для всякого p∈M сужение отображения Tf на TpM совпадает с отображением Tpf. Отображение Tf называется касательным к отображению f. Теорема 4. Если f:M→N – дифференцируемое отображение класса Cr, то отображение Tf:TM→TN дифференцируемое отображение класса Cr-1.

Доказательство. Пусть u TM и (π-1(U),ϕ~ ) – карта на TM, т.ч. u∈π-1(U), тогда u∈TpM и ( )u,,Uu ϕ= , где u∈Rn (n=dimM). Пусть (V,ψ) – карта

88

дифференцируемой структуры на N, т.ч. f(U)⊂V, тогда (π-1(V),ψ~ ) – карта на TN, т.ч. v =(Tf) u , π-1(V) и v∈Tf(p)Ò, причем ( )v,,Vv ψ= , где v∈Rm (m=dimN), тогда отображение Tf в этих локальных картах имеет вид

( ) 1~Tf~ −ϕψ οο :ϕ(U)×Rn→ψ(V)×Rm и ( ( ) 1~Tf~ −ϕψ οο )(ϕ(p),u)= ((ψοfοϕ-1)(ϕ(p)),D(ψοfοϕ-1)ϕ(p)(u)),

т.е. является отображением класса Cr-1. Теорема доказана. Задание. Пусть f:MN и g:N→P дифференцируемые отображения.

Доказать, что

T(gοf)=(Tg)ο(Tf). Задание. Пусть M, N – дифференцируемые многообразия. Доказать, что

T(M×N)≈TM×TN.

Пример Рассмотрим на S1 две карты (U1,ϕ1) и (U2,ϕ2) – рис. 7, причем ϕ1(p)=x1

U1

P

x1 ϕ1: U1 → (-π, π),ϕ1(P) = x1

89

U2P

x2ϕ2: U2 → (0, 2π),ϕ2(P) = x2

Рис. 7

U1∩U2 состоит из двух полуокружностей – верхней и нижней:

Рис. 8 Тогда

(ϕ2ο 11−ϕ ):ϕ1(U1∩U2)→ ϕ2(U1∩U2),

причем

((ϕ2ο 11−ϕ )(ϕ1(p))=ϕ2(p),

поэтому x1=x2, x1,

x2= x1+2π, x1∈(-π,0).

90

Таким образом, 2x′ =1 в (0,π) и 2x′ =1 в (-π,0). Наоборот аналогично. Рассмотрим π:TS1→S1 (касательное расслоение). Определим

отображение F:TS1→S1×R

следующим образом: пусть v ∈TS1, тогда существует p∈S1, т.ч. v∈TpS1

(p=π( v )), и если p∈U1, то ( )v,,Uv 11 ϕ= , а если p∈U2, то ( )v,,Uv 22 ϕ= , поэтому положим F ( )v =(p,v); из вышесказанного следует, что определение отображения F – корректно, кроме того, F- биекция иF,F-1 – гладкие отображения (проверить самостоятельно), F:TS1→S1×R – гладкий диффеоморфизм.

Замечание. Пусть M – дифференцируемое многообразие, π:TM→M – его касательное расслоение, тогда для всякой карты (U,ϕ) из дифференцируемой структуры на M π-1(U) изоморфно U×Rn (где n=dimM), но TM не всегда изоморфно M×Rn; если TM изоморфно M×Rn, то касательное расслоение называется тривиальным.

Задание. Доказать, что TRn≈Rn×Rn. Задание. Пусть T2=S1×S1 – тор, будет ли касательное расслоение тора

тривиальным?

§3. Подмногообразия Определение 1. Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие

класса Cr и M′⊂M. Если для всякой точки p∈M′ существует карта ϕ:U→V (где U открыто в M, а V открыто в Rn) дифференцируемой структуры на M – такая, что

ϕ(U∩M′)={x∈V:xk+1=xk=…=xn=0}, тогда M′ называется дифференцируемым k-мерным подмногообразием класса Cr в M.

Замечание. Если {Uα,ϕα} – атлас дифференцируемой структуры на M, то {Uα∩M′, αϕ }α∈I, где αϕ – ограничение отображения ϕα на Uα∩M, является атласом на M′ и, таким образом, M′ является дифференцируемым k-мерным многообразием класса Cr.

Задание. Подробно доказать самостоятельно.

Пример

91

S2={(x1,x2,x3)∈R3: ( )21x + ( )22x + ( )23x -1=0}. Покажем, что S2 – гладкое 2-мерное подмногообразие в R3. Пусть p∈S2 x3и x3(p)≠0; определим отображение

ϕ:R3→R3, следующим образом:

y1=ϕ1(x1,x2,x3)=x1, y2=ϕ2(x1,x2,x3)=x2,

y3=ϕ2(x1,x2,x3)= ( )21x + ( )22x + ( )23x -1.

Матрица Якоби отображения ϕ имеет вид:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321 x2x2x2010001

,

и поэтому в точке p ее определитель не равен нулю, тогда, по теореме об обратной функции, существует открытая окрестность U в точке p в R3 и открытая окрестность V точки ϕ(p) в R3 – такие, что ϕ:U→V является гладким диффеоморфизмом (т.е. ϕ – биекция и ϕ и ϕ-1 – гладкие отображения), тогда ϕ:U→V – локальная карта дифференцируемой структуры на R3 (которая определяется атласом ( )3R

3 1,R ). Причем

ϕ(U∩S2)={(y1,y2,y3)∈V:y3=0}. Таким образом, S2 – гладкое 2-мерное подмногообразие. Определение 2. Пусть f:M→N отображение класса C1; f называется

иммерсией в точке p∈M, если отображение Tpf:TpM→Tf(p)N – мономорфизм; f называется субмерсией в точке p, если Tpf:TpM→Tf(p)N – эпиморфизм. Если отображение f является иммерсией в каждой точке p∈M, то f называется иммерсией, или погружением; если же оно субмерсивно в каждой точке p∈M, то называется субмерсией. Если отображение f является иммерсией и f – гомеоморфизм между M и f(M), то отображение f называется вложением.

Замечание. f(M)⊂N рассматривается в топологии, индуцированной топологией, заданной в N.

Определение 3. Пусть отображение класса C1; точка p∈M называется регулярной точкой отображения f, если отображение f – субмерсия в точке p; в противном случае точка p называется критической точкой отображения f, а f(p) называется критическим значением. Если

92

точка q∈N не является критическим значением отображения f, то она называется регулярным значением (q∉f(M)) (также называется регулярным значением).

Теорема 1 (об обратной функции для многообразия). Пусть f:M→N отображение класса C1 и Tpf:TpM→Tf(p)N – линейный изоморфизм, тогда существуют открытая окрестность U точки p и открытая окрестность V точки f(p) – такие, что f:U→V – C1 – диффеоморфизм.

Доказательство. Пусть dimM=dimN=n (объяснить почему), (U,ϕ) – карта дифференцируемой структуры на M и p∈U,а (V,ψ) – карта дифференцируемой структуры на N, причем f(U)⊂V, тогда отображение ψοfοϕ-1:→ψ(V) имеет в точке ϕ(p) ранг n, но тогда, по теореме об обратной функции, существует открытое U~ ⊂ϕ(U) (ϕ(p)∈U~ ) – такое, что V~ =(ψοfοϕ-1)( U~ ) открыто в ψ(V) и ψοfοϕ-1: →U~ V~ – диффеоморфизм класса C1, но тогда (рис. 9).

f: ( ) ( )V~U~ 11 −− ψ→ϕ – C1 – диффеоморфизм,

где U=ϕ1 ( )U~ – открытая окрестность точки p, а V=ψ-1 ( )V~ – открытая окрестность точки f(p).

Теорема доказана.

U~

)V~(1−ψ)U~(1−ϕ

P

M

ψ°f°ϕ-1

N

f(P)

ϕ ψ

RnRn

ϕ(P) ψ(f(P))

f

V~

Рис. 9 Теорема 2. Пусть f:M→N является Cr отображением (r≥1); если

q∈f(M) регулярное значение отображения f, то f-1(q) – подмногообразие класса Cr в M.

93

Доказательство. Пусть dimM=n, а dimN=n-k. Если p∈f-1(q), то возьмем карту (U,ϕ) дифференцируемой структуры на M, p∈U и карту (V,ψ) дифференцируемой структуры на N, причем f(U)⊂V; не ограничивая общности, можно считать, что карта (V,ψ) такая, что ψ(q)=0.

Имеем ψοfοϕ-1:ϕ(U)→ψ(V), причем ранг отображения в точке ϕ(p) равен n-k. Пусть матрица Якоби этого отображения такая, что линейно-независимы последние n-k ее столбцов.

Рассмотрим отображение

Ф:ϕ(U)→Rn, определяемое следующей системой уравнений:

y1=x1, ……. yk=xk,

yk+1= f~ (x1,…xn) , …….

yn= knf~ − (x1,…xn) ,

где f~ =ψοfοϕ-1. Матрица Якоби этой системы функций имеет вид:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+

−−−−

+

n

kn

1k

kn

k

kn

2

kn

1

kn

n1kk

1

2

1

1

1

xf~

xf~

xf~

xf~

xf~

xf~

xf~

xf~

xf~

xf~

00100.......0001000001

ΛΛ

ΛΛ

ΛΛ

ΛΛΛΛ

,

ее определитель в точке ϕ(p) не равен нулю. Тогда, по теореме об обратной функции, существует открытая

окрестность U~ точки ϕ(p), причем U~ ⊂ϕ(U) такая, что ( )U~Ф ⊂Rn открыто и Ф – диффеоморфизм класса Cr между U~ и ( )U~Ф .

Обозначим W=ϕ-1 ( )U~ , тогда пара (W,Фοϕ) – карта дифференцируемой структуры на M, причем

(Фοϕ)(W∩f-1(q)){(y1,y2,…,yn)∈Ф( U~ ):yk+1=…yn=0. Это означает, что f-1(q) – подмногообразие в M класса Cr и dimf-1(q)=k.

94

Теорема доказана. Теорема 3. Пусть M – дифференцируемое многообразие класса Cr. Для

того чтобы N⊂M было дифференцируемым подмногообразием в M класса Cr

, необходимо и достаточно, чтобы N было образом некоторого вложения.

Доказательство. См. [9]. Замечание. Как доказал Х. Уитни, любое гладкое многообразие M

может быть вложено в R2n, где n=dimM, таким образом, любое гладкое многообразие M можно рассматривать как подмногообразие некоторого Евклидова пространства.

§4. Многообразия с краем

Определение 1. Hn={x∈Rn:xn≥0} называется полупространством,

∂Hn={x∈Hn:xn=0} – краем полупространства Hn. Определение 2. Пусть M – хаусдорфово топологическое

пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, оно называется n-мерным дифференцируемым многообразием класса Cr с краем, если существует такой атлас {(Uα,ϕα)}α∈I на M, что ϕα: Uα→Vα, где Vα открыто в Hn и все отображения

ϕβο 1−αϕ :ϕα (Uα∩ Uβ)→ϕβ (Uα∩ Uβ)

являются отображениями класса Cr, причем существуют p∈M и (Uα,ϕα), т.ч. ϕα(p) ∈∂Hn. Если для p∈Uα⊂M, ϕα(p) ∈∂Hn, то точка p∈M называется краевой точкой, множеств о всех краевых точек называется краем дифференцируемого многообразия M и обозначается ∂M (рис. 10).

95

1−αβ ϕϕ ο

M

∂MUα Uβ

Pϕαϕβ

Hn

∂Hn

Hn

∂Hn

ϕα(P) ϕβ(P)

ϕα(Uα) ϕβ(Uβ)

Рис. 10 Замечание. Данное определение краевой точки не зависит от выбора

локальной карты, т.к. если бы для p∈M ϕα(p)∈∂Hn, а ϕβ(p)∉ ∂Hn (т.е. ϕβ(p) ∈H\∂Hn), то функции перехода имели бы вид

( )n1111 x,...,x,xx βββαβα ϕ= ,

( )n1122 x,...,x,xx βββαβα ϕ= , ...................................

( )n11nn x,...,x,xx βββαβα ϕ= ,

причем ( ) 0x,...,x,x n11n ≥ϕ βββαβ , а в точке ϕβ(p) функция nαβϕ имела бы

локальный минимум, что противоречит тому, что матрица Якоби этой системы функций является невырожденной матрицей.

Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие с краем ∂M и A={(Uα,ϕα)α∈I} – его атлас. Рассмотрим те его карты, которые имеют непустое пересечение с ∂M. Обозначим αU~ =Uα∩∂M и αϕ

~ – ограничение ϕα на Uα∩∂M, тогда:

:~αϕ αα → V~U~ , где αV~ =Vα∩∂Hn (dim∂Hn=n-1).

96

А так все ϕβο 1−αϕ – отображения класса Cr, то все отображения 1~~ −

αβ ϕϕ ο также будут отображениями класса Cr (как ограничения отображений ϕβο 1−

αϕ ) и, таким образом, доказана теорема: Теорема 1. Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие

класса Cr с краем ∂M, тогда ∂M⊂M будет дифференцируемым (n-1)-мерным подмногообразием в M класса Cr.

M ∂M

M

M2M1

M3

∂M=M1∪M2∪M

Рис. 11

Теорема 2. Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие

класса Cr, f:M→R – отображение класса Cr, причем 0∈Rn является регулярным значением функции f, тогда

N={p∈M:f(p)≥0}

является n-мерным подмногообразием класса Cr с краем, причем ∂N=f-1(0). Доказательство. Так как N|∂N={p∈M:f(p)>0}, то множество N|∂N

открыто в M и соответствующие карты в M1 будут и картами в N|∂N. f-1(0) – (n-1)-мерное подмногообразие. Если p∈∂N, то пусть (U,ϕ) – карта дифференцируемой структуры на M такая, что p∈U, кроме того, не ограничивая общности, можно считать ϕ(p)=0.

Так как точка 0∈R является регулярным значением отображения f, то ранг отображения fοϕ-1:ϕ(U)→R в точке 0∈ϕ(U) равен единице.

Рассмотрим отображение Ф:ϕ(U)→R, определенное следующим образом: y1=x1, y2=x2, ......

97

yn-1=xn-1,

yn=(fοϕ-1)(x1,x2,…,xn-1,xn).

Ранг матрицы Якоби этой системы функций в точке 0∈ϕ(U) равен n, поэтому, по теореме об обратной функции, существует открытая окрестность U~ ⊂ϕ(U) такая, что ( )U~Ф открыто в Rn и Ф: →U~ ( )U~Ф Cr – диффеоморфизм. Положим ( )U~W~ 1−ϕ= , тогда пара ( W~ ,Фοϕ) – карта на M, причем (Фοϕ)( W~ ∩N)={(y1,y2,…,yn)∈ ( )U~Ф :yn≥0}.

Теорема доказана. Теорема 2 дает возможность построения большого числа многообразий

с краем.

Пример Пусть S2={(x1,x2,x3)∈R3:(x1)

2

+(x2)2

+(x3)2

=1}, f:S2→R, т.ч. f(x1,x2,x3)=x3. Очевидно, что f – дифференцируемая функция (как сужение проекции). Точка 0∈R – регулярное значение отображения f, тогда, по теореме 2, M={(x1,x2,x3)∈S2:f(x1,x2,x3)≥0} подмногообразие в S2 с краем f-1(0) (рис. 12).

∂M

M

Рис. 12

Причем ∂M=f-1(0) задается

(x1)2+(x2)

2=1,

x3 = 0.

Таким образом, ∂M=S1. Если M и N – дифференцируемые многообразия с краем, то

дифференцируемость отображения f:M→N определяется так же, как раньше. Касательное пространство к M в точке p∈∂M определяется, как и раньше. Некоторая осторожность нужна при определении подмногообразия в многообразие с краем.

Этому вопросу будет посвящена следующая теорема и замечания к ней. Теорема 3. Пусть f:M→N отображение класса Cr, причем M – n-

мерное дифференцируемое многообразие класса Cr с краем, а N – k-мерное

98

дифференцируемое многообразие класса Cr (n>k), причем q∈N – регулярное значение отображения f и ограничения f на ∂M, тогда f-1(q)⊂M является (n-k)-мерным дифференцируемым подмногообразием с краем. Причем

∂(f-1(q))=f-1(q)∩∂M. Доказательство (следуя Милнору). Все сводится к локальной

ситуации. Пусть f:Hn→Rk (где Hn – полупространство) – отображение класса Cr и

0∈Rk – регулярное значение отображения f и его ограничения на ∂Hn. Пусть x∈f-1(0).

1. Если x – внутренняя точка Hn, то в ее окрестности f-1(0) – многообразие класса Cr размерности n-k (см. теорему 2, §3).

2. Если x∈∂Hn, то пусть U – ее открытая окрестность в Rn. Рассмотрим отображение класса Cr; Ф:U→Rk такое, что Ф| nHU∩

=f. Тогда (см. теорему 2, §3) Ф-1(0)- подмногообразия в U размерности n-k. Рассмотрим отображение

π:Ф-1(0)→R, т.ч. π(x1,x2,…,xn)=xn,

где π – гладкое отображение, причем π-1(0)=Ф-1(0)∩∂Hn. Покажем, что 0∈R является регулярным значением отображения π. Для всякого p∈π-1(0)

Kerπ′(p)=(Rn-1×{0})∩Tp(Ф-1(0)),

где Tp(Ф-1(0))= KerФ′(p), а т.к. p является регулярной точкой отображения f| nH∂

, то Tp(Ф-1(0)) не может содержаться в Rn-1×{0}, и поэтому всякая точка p∈π-1(0) является регулярной точкой отображения

π:Ф-1(0)→R, но тогда по теореме 2, множество

B={x∈Ф-1(0):π(x)≥0} является (n-k)-мерным дифференцируемым подмногообразием в Ф-1(0) с краем ∂B, т.ч.

∂B=π-1(0)=Ф-1(0)∩∂Hn=f-1(0)∩∂Hn. Теорема доказана. Замечание. Здесь f′(p)=Df(p) – производная (дифференциал)

отображения f в точке p. Замечание. В доказанной теореме построено подмногообразие N с

краем ∂N в многообразие M с краем ∂M, причем ∂N=N∩∂M, кроме того, для всякого p∈∂N

99

TpN⊄Tp∂M, т.е. многообразие N не касается ∂M ни в одной точке ∂N.

Такие подмногообразия будем называть правильными подмногообразиями в многообразии с краем.

На рис. 13, а – одномерные многообразия N1, и N2, краями которых являются пары точек правильных подмногообразий в M. На рис. 13, б – двумерные многообразия N1 и N2, каждое из которых диффеоморфно кругу D2, не являются правильными подмногообразиями в M (∂N1≈S1, ∂N2≈S1).

M

N1

N2 M N1

N2

Рис. 13

§5. Ориентация дифференцируемых многообразий Рассмотрим в Rn множество всех упорядоченных базисов и введем на

этом множестве следующее отношение эквивалентности: два упорядоченных базиса эквивалентны, если переход от первого базиса ко второму осуществляется матрицей с det>0. Легко проверяется, что это действительно отношение эквивалентности и множество всех упорядоченных базисов распадается на два класса эквивалентности, причем переход между элементами разных классов осуществляется матрицей с определителем <0, а переход между элементами одного класса – матрицей с определителем > 0. Ориентировать Rn – значит выбрать один из указанных классов эквивалентности. Стандартной ориентацией Rn называется класс эквивалентности стандартного базиса:

1e =(1,0,…,0), 2e =(0,1,…,0),..., ne =(0,0,…,1).

Так как упорядоченный базис Rn принадлежит одному из классов эквивалентности базисов, то выбор упорядоченного базиса уже определяет ориентацию Rn.

В дальнейшем будем считать, что Rn наделено стандартной ориентацией.

100

Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие класса Cr (r≥0). Ориентировать M – это значит ориентировать каждое TpM (p∈M) так, чтобы эти ориентации «непрерывным» образом зависели от p∈M. Что имеется в виду?

Как известно (см. §2), для всякой p∈M существует линейный изоморфизм:

( ) :p,U αα ϕλ Rn→TpM, (*)

где (Uα,ϕα) – карта дифференцируемой структуры на M и p∈ Uα. Выберем в каждом TpM (p∈Uα) ориентацию так, чтобы отображение (*)

переводило стандартный базис в Rn в базис TpM, принадлежащий выбранной в TpM ориентации (это всегда возможно).

Если (Uβ,ϕβ) – другая карта дифференцируемой структуры на M – такая, что Uα∩Uβ≠0, то для всякого p∈ Uα∩Uβ возникает ориентация на TpM, определяемая отображением

( ) :p,U ββ ϕλ Rn→TpM. (**)

Если для любых пар карт (Uα,ϕα) и (Uβ,ϕβ) дифференцируемой структуры на M и таких, что Uα∩Uβ≠0 ориентации на TpM для всех p∈ Uα∩Uβ, определяемые отображениями (*) и (**) совпадают, то в этом случае говорят, что система ориентаций TpM (p∈M) «непрерывно» зависит от p и определяет на M ориентацию.

Определение 1. Дифференцируемое многообразие, на котором задана ориентация, называется ориентированным дифференцируемым многообразием; дифференцируемое многообразие, которое допускает введение ориентации, называется ориентируемым.

Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемое многообразие M было ориентируемым, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой атлас A={(Uα,ϕα)}α∈I, состоящий из карт дифференцируемой структуры на M, что для любой пары карт (Uα,ϕα) и (Uβ,ϕβ) из этого атласа и таких, что

Uα∩Uβ≠∅

det ( ) ( )( )p

1Dαϕ

−αβ ϕϕ ο >0, для всех p∈Uα∩Uβ.

Доказательство: Так как (см. лемму 2, §2)

( ) =λαα ϕ

p,U ( )

p,U ββ ϕλ οA(p) ,

101

где p∈Uα∩Uβ и A(p)=D ( ) ( )p1

αϕ−αβ ϕϕ ο , то отображения ( )

p,U αα ϕλ и ( )

p,U ββ ϕλ

определяют в TpM (p∈Uα∩Uβ) одну и ту же ориентацию, тогда и только тогда, когда detA(0)>0. Теорема доказана.

Замечание. Такой атлас называется ориентирующим атласом на M и, таким образом, для того чтобы ориентировать дифференцируемое многообразие M, можно задать на нем ориентирующий атлас.

Если дифференцируемое многообразие связно и ориентируемо, то на нем существует ровно две ориентации.

Существуют неориентируемые многообразия: лист Мебиуса, RP2 – действительная проективная плоскость и др.

Теорема 2. Пусть M – дифференцируемое n-мерное многообразие класса Cr (r≥1) с краем ∂M; если M ориентируемо, то ∂M также ориентируемо.

Доказательство. Пусть {(Uα,ϕα)}α∈I – ориентирующий атлас на M, рассмотрим те его карты (Uα,ϕα), для которых Uα∩∂M =Vα≠∅, обозначим

αϕ ограничение ϕαна Vα, тогда

( ){ }αα ϕ,V α∈I – атлас на ∂M (см.§3).

Если ( )n1n21 x,x,...,x,x α−

ααα – локальные координаты в Uα, то ( )1n21 x,...,x,x −

ααα – локальные координаты в Vα, причем в Uα nxα ≥0. В другой карте ( )ββ ϕ,V такой, что Vα∩Vβ≠∅ – аналогично.

В точке ϕα(p) (где p∈∂M) матрица Якоби системы функций перехода от локальных координат (xα(p)) к (xβ(p)) имеет вид:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

α

β

−α

β

α

β

α

−β

−α

−β

α

−β

α

β

−α

β

α

β

n

n

1n

n

1

n

n

1n

1n

1n

1

1n

n

1

1n

1

1

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

I

Λ

Λ

ΛΛΛΛ

Λ

.

А так как ( ) =β px n ( ) 0px n =α , то 0xx

i

n

≡∂

∂

α

β (i=1,2,…,n-1).

Разлагая по последней строке det I, получим

detI=det ⋅I n

n

xx

α

β

∂

∂>0,

102

где:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

−α

−β

α

−β

−ε

β

α

β

1n

1n

1

1n

1n

1

1

1

xx

xx

...xx

xx

I

Λ

Λ

.

Имеем:

( ) ( )=

−=

∂

∂ −ααβ

−ααβ

+→α

β

h0,x,...,xxh,x,...,xx

limxx 1n1n1n1n

0hn

n ( )0

hh,x,...,xx

lim1n1n

0h≥

−ααβ

+→,

но n

n

xx

α

β

∂

∂ не может равняться нулю, так как тогда detI≠0, поэтому n

n

xx

α

β

∂

∂>0,

поэтому det I >0. Что и означает: многообразие ∂M ориентируемо. Теорема доказана. Рассмотрим TpM, где p∈∂M. Так как Tp∂M естественным образом

вкладывается в TpM, то будем рассматривать Tp∂M как (n-1)-мерное подпространство в TpM, вектор ∈v Tp∂M будем называть касательным к ∂M в точке p, вектор ∈v TpM будем называть направленным внутрь (наружу), если у его представителя (см. §2) v=(v1,v2,…vn-1,vn),vn>0 (vn<0).

Такое определение не зависит от выбора представителя (доказать самостоятельно, опираясь на предыдущую теорему).

Пусть ( )n1n21 e,e,...,e,e − – упорядоченный базис в TpM, определяющий ориентацию TpM (p∈∂M) – такой, что ( )1n21 e,...,e,e − – упорядоченный базис в Tp∂M, а вектор ne направлен внутрь, тогда ориентация в Tp∂M, определяемая базисом ( )1n21 e,...,e,e − , называется ориентацией, индуцированной ориентацией TpM.

Ориентируя таким образом все Tp∂M (p∈∂M), мы получим «непрерывную» систему ориентаций, и следовательно, ориентируем ∂M; такая ориентация края ∂M называется ориентацией, индуцированной ориентацией M.

M=S1×[0,1], ∂M= S1×{0}∪S1×{1},

На рис. 14 ∂M – несвязно и состоит из двух компонент, каждая из которых диффеоморфна S1 (рис. 14).

Задание. Привести пример гладкого многообразия M, у которого край ∂M является ориентируемым многообразием, а само M – неориентируемо.

103

1e

2e

2e1e

Рис. 14

Примем без доказательства следующий факт: одномерное компактное

многообразие диффеоморфно отрезку [a,b]⊂R либо S1 (доказательство – см. [16]).

Ориентировать одномерное многообразие M – значит в каждом TpM выбрать не нулевой вектор так, чтобы полученная система векторов (векторное поле на M) непрерывно зависела от p∈M.

+1

-1

Рис. 15

Тем самым как бы определяем направление «движения» на M. Если в

точке края выбранный вектор направлен внутрь, приписываем ей (+1), если наружу, то (-1). Таким образом определяется ориентация края одномерного компактного многообразия с краем (рис. 15).

Замечание. Пусть M – ориентированное дифференцируемое многообразие класса Cr (r≥1) с краем ∂M, dimM=n K⊂M – правильное одномерное многообразие с краем ∂K (∂K=K∩∂M) (см.§4).

104

bV

b

aV

a

M

Рис. 16 Выберем ориентацию K так, чтобы вектор av , касательный к

многообразию K в точке a был направлен внутрь. Если ( )1n21 e,...,e,e − – базис в Ta(∂M), определяющий индуцированную

ориентацию Ta(∂M), то базис ( )a1n21 v,e,...,e,e − определяет ориентацию, заданную в TaM, если ( )1n21 e,...,e,e − – базис в Tb(∂M), определяющий индуцированную ориентацию Tb(∂M) а вектор bv – вектор, определяемый выбранной ориентацией многообразия K (касательный к многообразию K в точке b и направленный наружу), то базис ( )b1n21 v,e,...,e,e − определяет в TbM ориентацию, противоположную заданной (рис. 16).

105

Глава IV. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ

§1. Степень отображения Пусть f:M→N – гладкое отображение гладких многообразий, тогда

множество регулярных значений отображения f всюду плотно в N (это следствие теоремы Сарда, см. [9]).

Пример 1

M={(x,y)∈R2:x2+(y-2)2=1}, N={(x,y)∈R2:y=0}, f – ограничение pr1:R×R→R на M. На рис. 1 точки p1 и p2 – критические точки отображения f; q1,q2 –

критические значения отображения f, т.к. в точках p1 и p2- касательные к M вертикальны, других критических точек нет. Если y≠q1 и y≠q2, то точка y∈N – регулярное значение отображения f. Таким образом, N\({q1}∪{q2}) – множество регулярных значений отображения f.

y

x

P2P1

x1

x2

0 q2q1 y

M

Рис. 1

106

Следует помнить, что если q∉f(M), то q – регулярное значение отображения f.

Лемма 1. Пусть M – гладкое компактное n-мерное многообразие без края, N – гладкое n-мерное многообразие,

f:M→N

– гладкое отображение и q∈f(M)⊂N – регулярное значение, тогда f-1(q)⊂M – множество, состоящее из конечного числа точек.

Доказательство. Пусть p∈M и f(p)=q, т.к. p- регулярная точка отображения f, то: Tpf:TpM→Tf(p)N – линейный изоморфизм (ранг отображения f в точке p равен n).

По теореме об обратной функции существует открытая окрестность U точки p такая, что f(U) – открытая окрестность точки f(p) и f:U→f(U) -диффеоморфизм.

Таким образом, все точки множества f-1(q) являются изолированными, кроме того, f-1(q) – замкнуто в M и, следовательно, компактно в M, но тогда f-1(q) состоит из конечного числа точек. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть f:M→N (где M, N – как и в лемме 1) – гладкое отображение, q∈f(M) – регулярное значение отображения f, тогда существует открытая в N окрестность V точки q такая, что она состоит из регулярных значений отображения f, и для любых q1 и q2∈V число точек в f-1(q1) равняется числу точек в f-1(q2).

Доказательство. Пусть f-1(q1)={p1,p2,…,pk}, Ui – окрестность точки pi и Vi – окрестность точки q (i=1,2,…,k) – такие, что f:Ui→Vi – диффеоморфизм (см. лемму 1).

Положим

V=(V1∩V2∩…∩Vk)\f(M\U1∪U2∪ ∪Uk),

V – открытая окрестность точки q и V⊂Vi (i=1,2,…,k), положим Wi=f-1(V), (где f:Ui→Vi).

Таким образом, V – искомая окрестность точки q. Лемма доказана. Пусть M – ориентированное гладкое компактное n-мерное

многообразие без края, N – ориентированное гладкое n-мерное многообразие без края и N – связно.

Если q∈f(M)⊂N – регулярное значение отображения f и p∈f-1(q), то линейный изоморфизм

Tpf:TpM→ Tf(p)N (*) – базис в TpM, определяющий ориентацию TpM, переводит в базис Tf(p)N, определяющий ориентацию Tf(p)N, либо в базис, определяющий противоположную ориентацию Tf(p)N. В первом случае мы говорим, что

107

линейный изоморфизм (*) сохраняет ориентацию, во втором случае – что линейный изоморфизм (*) обращает ориентацию. Положим degpf=+1, если линейный изоморфизм (*) сохраняет ориентацию, и degp=-1, если он обращает ориентацию.

Определение 1. Пусть q∈f(M) – регулярное значение отображения f, тогда степенью отображения f в точке q называется

deg(f,q)=( )

∑−∈ qfp 1

degpf.

Замечание. Если q∉f(M), то полагаем deg(f,q)=0.

Пример 2 (рис. 2) M и N, и f – как и в примере 1.

MP2

P1

2V

1V

N

q

Рис. 2

Здесь q – регулярное значение отображения f, стрелка на M=S1

определяет ориентацию S1, 1p1 TV ∈ S1 – вектор, определяющий

ориентацию 1pT S1,

2p2 TV ∈ S1 – вектор, определяющий ориентацию 2pT S1, а

т.к. f′(p1) и f′(p2) – проекции, то очевидно, что 1pdeg f=+1и

2pdeg f= -1 и, таким образом, deg(f,g)=0.

На этом примере видно, что если q~∈f(M) – другое регулярное значение отображения f, то deg ( )q~,f =0, а если ∉q~ f(M), то q~ – регулярное значение и по определению deg ( )q~,f =0. То есть в этом примере deg(f,g) не зависит от выбора регулярного значения q отображения f.

108

Оказывается, что это утверждение имеет место и в общем случае, что будет доказано ниже.

Лемма 3. Пусть F:M→N – гладкое отображение, где M – гладкое ориентированное (n+1)-мерное компактное многообразие с краем ∂M, а N – гладкое ориентированное n-мерное многообразие без края, f: ∂M→N – сужение отображения F на ∂M, причем q∈N – регулярное значение для отображений F и f, тогда

deg(f,g)=0. Доказательство. Так как q – регулярное значение отображений F и f,

то F-1(q)⊂M – гладкое одномерное правильное подмногообразие в M (см. теорему 3, §4 и замечания к ней). Тогда F-1(q) является компактом и, следовательно, состоит из конечного числа компонент, каждая из которых диффеоморфно либо S1, либо [a,b]. Те компоненты, которые диффеоморфны [a,b], назовем дугами, край каждой дуги лежит в ∂M.

Пусть K – одна из таких дуг, ∂K=K∩∂M и пусть ∂K={a}∪{b}; т.к. K – правильное подмногообразие в M, то TaK ⊄Ta(∂M). Аналогично для точки b.

Рассмотрим TaM и выберем в нем базис (определяющий ориентацию TaM) ( )an21 v,e,...,e,e так, чтобы вектор av ∈TaK был направлен внутрь, а базис ( )n21 e,...,e,e определял ориентацию Ta) (в ∂M – задана индуцированная ориентация).

Тогда линейный изоморфизм Taf:Ta(∂M)→TqN

либо сохраняет ориентацию, либо обращает ее. Пусть (для определенности) – сохраняет ориентацию, тогда

degaf=+1. Пусть дуга K ориентирована так, что в точке а вектор av определяет

заданную в TaK ориентацию, тогда в точке b вектор bv ∈TbK, определяющий заданную в TbK ориентацию, будет направлен наружу. Выберем базис ( )n21 e,...,e,e в Tb(∂M) так, чтобы линейный изоморфизм

Tbf:Tb(∂M)→TqN (*) переводил этот базис в базис пространства TqN, определяющий ориентацию TqN, тогда базис ( )bn21 v,e,...,e,e определяет заданную в TbM ориентацию, поэтому базис ( )n21 e,...,e,e в Tb(∂M) определяет ориентацию, противоположную индуцированной ориентации в Tb(∂M), а это означает, что degbf= -1.

109

Таким образом, для дуги K degaf+degbf=0,

таких дуг конечное число; суммируя, получим: deg(f,q)=0.

Лемма 3 доказана. Рассуждения леммы 3 иллюстрируют следующий пример.

Пример 3 (рис. 3) Пусть M={(x,y)∈R2:x2+(y-2)2≤1}, N={(x,y)∈R2:y=0}, ∂M=S1, f:M→N, сужение pr1:R×R→R на M.

V

2e

1e

M

K∂M

b

a1e

1e

aV

bV

q

fN

Рис. 3 Дуга K=f-1(q), где q – регулярное значение отображения f,

∂K={a}∪{b}⊂∂M. Вектор v∈TqN определяет ориентацию TqN, заданную на N; «стрелка»

на ∂M=S1 – ориентация ∂M (индуцированная ориентацией M). Базис ( )a1 v,e в TaM определяет ориентацию TaM, базис ( )b1 v,e

определяет ориентацию TbM, но 1e ∈Tb(∂M) определяет в Tb(∂M) ориентацию, противоположную заданной в Tb(∂M).

Определение 2. Пусть f:M→N и g:M→N – гладкие отображения, отображение f называется гладко гомотопным отображению g, если существует такое гладкое отображение

F:M×[0,1]→N,

110

что F(x,0)=f(x) и F(x,1)=g(x) для всех x∈M. Отображение F называется гладкой гомотопией от f к g и обозначается

F:f g~− .

Замечание. Гладкая гомотопия является отношением эквивалентности. Теорема 1. Пусть f,g:M→N – гладко гомотопные отображения,

причем M и N – ориентированные гладкие многообразия без края, M – компактно и dimM=dimN, q∈N – регулярное значение как для f, так и для g, тогда

deg(f,g)=deg(g,q).

Доказательство. Пусть F:M×[0,1]→N – гладкая гомотопия от f к g и пусть q∈N – регулярное значение для отображения F, (F-1(q)≠∅), тогда по лемме 3

deg(F|∂(M×[0,1]),q) =0, но ∂(M×[0,1])=(M×{0})∪(M×{1}),

а на M×{0} отображение F совпадает с отображением f, на M×{1} отображение F совпадает с отображением g, на M×{0} ориентация, индуцированная ориентацией M×[0,1], совпадает с ориентацией M, а на M×{1} – противоположна, поэтому

deg(f,q)= deg(g,q).

Если q∈N не является регулярным значением отображения F, то пусть V1 – открытая окрестность точки q, состоящая из регулярных значений отображения f, а V2 – аналогично для g, тогда V=V1∩V2 – открытая окрестность точки q и существует q~∈V, регулярная для F,f и g (см. лемму 2). Имеем:

deg ( ) ( )q~,gdegq~,f = ,

но deg(f,q)= ( ) =q~,fdeg ( )q~,gdeg =deg(g,q). Теорема 1 доказана. Теорема 2. Пусть f:M→N – гладкое отображение, причем M –

ориентированное гладкое компактное многообразие без края, а N – ориентированное гладкое многообразие без края dim M = dim N, q1 и q2 – регулярные значения отображения f(q1, q2 ∈ f(M)), тогда deg(f,q1)=deg(f,q2). Доказательство. Проведем в случае, когда N=Sn – сфера в Rn+1.

Пусть q1∈Sn и q2∈Sn, проведем через центр сферы ось, перпендикулярную плоскости, проходящей через q1, q2 и центр сферы.

Рассмотрим семейство вращений сферы Sn вокруг указанной оси, заданной семейством отображений ϕ(t): Sn → Sn, гладко зависящим от t∈[0,1] и таким, что ϕ(0)=1Sn – тождественное отображение, а ϕ(1) –

111

вращение, переводящее q1 в q2, тогда отображения f и ϕ(t)οf – гладко гомотопны (F(x,t)=ϕ(t)(f(x))).

Кроме того, ϕ(t): Sn → Sn (t∈[0,1]) является диффеоморфизмом, сохраняющим ориентацию Sn, тогда простой подсчет показывает, что deg(f,q1)=deg(ϕ(1)οf,q2). Но отображения f и ϕ(1)οf – гладко гомотопны, поэтому по лемме 4

deg(f,q2)=deg(ϕ(1)οf,q2), и поэтому

deg(f,q1)=deg(f,q2). Теорема 2 доказана. Таким образом, deg(f,q) не зависит от регулярного значения q и

называется степенью отображения f и обозначается deg f. Кроме того, если отображения f и g – гладко гомотопны, то deg f = deg g.

Используя степень отображения, докажем следующую теорему. Теорема 3. Пусть M - ориентируемое гладкое многообразие с краем

∂M, тогда не существует гладкого отображения F: M→∂M, которое оставляло бы все точки края на месте.

Доказательство. Пусть такое отображение существует, обозначим F: ∂M→∂M сужение отображения F на ∂M, тогда f=1∂M.

Так как множество регулярных значений отображения F всюду плотно в ∂M, то существует q∈∂M, т.ч. q – регулярное значение отображения F, но тогда q – регулярное значение и для отображения f, поэтому (см. лемму 3) deg(f,q)=0, но очевидно, что deg(f,q)=+1, таким образом не существует отображения F: M→∂M, т.ч. F|∂M=1∂M.

Теорема 3 доказана.

112

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. – М., 1979. 2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. – М., 1968. 3. Келли Дж. Общая топология. – М., 1968. 4. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и

топологии. – М., 1980. 5. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. – М., 1989. 6. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. – М., 1977. 7. Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение. – М.,

1979. 8. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. –

М., 1979. 9. Хирш М. Дифференциальная топология. – М., 1979. 10. Понтрягин Л.С. Гладкие многообразия и их применение в теории

гомотопий. – М., 1976. 11. Постников М.М. Гладкие многообразия. – М.,1987. 12. Голубинский М., Гийеми Н.В. Устойчивые отображения и их

особенности. – М., 1977. 13. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. –

М., 1977. 14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и

функционального анализа. – М., 1981. 15. Куратовский К. Топология: В 2 т. Т. 1. – М., 1966; Т. 2. – М., 1969. 16. Милнор Д., Уолес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. –

М., 1972. 17. Синюков Н.С., Матвеенко Т.И. Топология. – Киев, 1984. 18. Спеньер Э. Алгебраическая топология. – М., 1971. 19. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и

топологии. – М., 1982.

X Y

f0

ft

f1

X

Y

f1

f0

f

g P

0

Rn

0 1

X=[0,1]

f0

f0(0) f0(1)

0 1

ϕ(0) ϕ(1)

X

0 1

ϕ(0)

ψ(1)

1/2

ϕ(1)

ψ(0)

ϕ

ψ

0

1

1 τ

t

ϕ0

ψ0

ϕ0(0) ψ1 ϕ0(1)=ψ0(0)

ϕ1

ψ0(1)

H X

ϕ

x f

y

X

0 1 2 3 -1 -2 -3

S1

(1,0)

P

M

Uβ Uα P

Rn

ϕα ϕβ

ϕα(Uβ)

ϕα(P)

ϕα(Uα∩Uβ) ϕβ(Uα∩Uβ) ϕβ(Uβ)

ϕβ(P) ϕβ°ϕα

-1

2y1−

y

x y

0

U1∩U3

E

E′ ⊥E

⊥π E,E

1E,E

−′π

E2

E′

E1

⊥1E ⊥

2E

Rn Rn

TPM

A

P),U( αα ϕλ P

),U( 1−ββ ϕ

λ

U P

M

ψ°f°ϕ-1

N V

f(P)

ϕ ψ

Rn Rn ϕ(U) ψ(V)

ϕ(P) ψ(f(P))

f

U1

P

x1 ϕ1: U1 → (-π, π), ϕ1(P) = x1

U2 P

x2 ϕ2: U2 → (0, 2π), ϕ2(P) = x2

U~

)V~(1−ψ)U~(1−ϕ

P

M

ψ°f°ϕ-1

N

f(P)

ϕ ψ

Rn Rn

ϕ(P) ψ(f(P))

f

V~

1−αβ ϕϕ ο

M

∂M Uα Uβ

P ϕα ϕβ

Hn

∂Hn

Hn

∂Hn ϕα(P) ϕβ(P)

ϕα(Uα) ϕβ(Uβ)

M ∂M

M

M2 M1

M3

∂M=M1∪M2∪M

∂M

M

M

N1

N2 M N1 N2

1e

2e

2e 1e

+1

-1

bV

b

aV

a

M

y

x

P2 P1

x1

x2

0 q2 q1 y

M

M P2

P1

2V

1V

N

q

V

2e

1e

M

K ∂M

b

a 1e

1e

aV

bV

q

f N