УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК - elibrary.ltelibrary.lt/resursai/uzsienio...

1968 г. Май Том 95, вып. 1

УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК

530.12:531.51

КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯII ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Я· В. Зельдович

В 1967 г. оживился интерес к теории тяготения с космологическойпостоянной. Появились три работы: Пегросяна, Солпитера и Шекересав США \ Шкловского 2 и Кардашева 3 в СССР, в которых рассматривают-ся эволюционные модели Вселенной в такой теории (Α-модели). Побуди-тельной причиной возрождения теории являются новые наблюдательныеданные, относящиеся к далеким квазизвездным источникам («квазарам»и «квазагам», QSR, QSG в литературе на английском языке)-). Преждевсего оказалось, что для этих объектов связь между яркостью и краснымсмещением не укладывается в простые модели без космологическойпостоянной (и без предположений об эволюции квазаров!). Кроме того,отмечают Бербеджи 4, среди квазаров, в спектре которых наблюденылинии поглощения, в 10 случаях красное смещение этих линий ζ —-- (λ — λο)/λο лежит в узких пределах 1,94 <С ζ <С 1,96 пли даже1,945 < ζ < 1,955. Это явление ниже кратко упоминается как ζ — 1,05.

В работе * Λ-модели были введены для объяснения наблюдае-мого соотношения между красным смещением и яркостью; вопрос обобъяснении ζ = 1,95 в спектрах поглощения затрагивается вскользь.Работы 2 ' 3 целиком посвящены объяснению ζ = 1,95: линии поглощенияприписываются галактикам, лежащим на пути луча света, проходящегок|нам от квазара. Прехшущественпое появление одного значения ζ авторыобъясняют тем, что при этом ζ расширение Вселенной было резко замед-ленным как по сравнению с предыдущим (ζ > 1,95), так и по сравнениюс последующим периодом (ζ << 1,95 до ζ = 0, что соответствует настоя-щему времени). Замедленное расширение приводит к увеличению пути,проходимого лучом в соответствующем интервале ζ, и увеличивает вероят-ность того, что луч света от квазара встретит галактику и в нем отпеча-таются линии поглощения именно с таким ζ, τ. е. с ζ около 1,95.

Закон расширения с резким замедлением при определенном ζ возмо-жен только для Λ-моделей; при этом необходимо, чтобы с большой точ-ностью выполнялось соотношение между общим количеством веществаво Вселенной и значением космологической постоянной Λ. Обсуждаемаямодель является замкнутой по своей трехмерной геометрической струк-туре. Как показал Кардашев 3, предположение о замедленном расширениипри определенном ζ (вместе с известным значением постоянной Хэббла)дает вполне определенные значения плотности вещества и радиуса мирав настоящее время.

*) Λ-моделью ниже кратко называется решение уравнений расширяющейсяВселенной, в которых принято, что космологическая постоянная Л ^ О (см. прило-жения II и III). Квазары — квазизвездные (т. е. точечные) радиоисточники, ква-заги — квазизвездные галактики, сходные с квазарами по оптическим свойствам,в частности имеющие большие ζ, но отличающиеся отсутствием заметного радио-излучения.14 УФН, т. 95, вып. ι

210 Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ

На первый взгляд в целом такое объяснение представляется неправдо-подобным. Однако следует иметь в виду, что другие попытки объясненияпреимущественного поглощения с ζ ~ 1,95 остаются в настоящее времяне менее натянутыми и искусственными. В докладе на XIII съезде Между-народного астрономического союза в Праге (август 1967 г.) Бербеджговорил о ζ = 1,95 как об аргументе в пользу локальной теории квазаров.Согласно локальной теории, квазары находятся от нас на расстоянии мень-ше 100 Мпс, а красное смещение линий испускания и поглощения имеетгравитационное происхождение и связано с работой выхода квантовиз гравитационного поля квазара 5 *) . Однако никакой конкретноймодели, дающей именно ζ = 1,95 или хотя бы одинаковое ζ для квазаровразной массы на разных стадиях эволюции, ни Бербедж, ни кто-либодругой не предложили.

Таким образом, преимущественное появление ζ = 1,95 в поглощениидействительно является аргументом в пользу Λ-модели Вселенной. Вто же время считать этот аргумент окончательным в настоящее время ни-как нельзя. В предлагаемой в 3 Λ-модели есть и недоработанные вопросы(относящиеся к образованию галактик) и прямые трудности, связанныес наблюдаемым распределением квазаров по красному смещению линийиспускания zHcn· Это распределение не обнаруживает такой концентрациипри 2ИСп ~ 1,95, которую естественно было бы ожидать в Λ-модели.Не согласуется эта Λ-модель и с теми, впрочем, очень грубыми опенками,которые получаются для закона расширения в ближайшей областиc z < 0,5 из наблюдений обычных галактик, проделанных Сэндейджем 7 .Подлежит уточнению и проверке на большем числе квазаров и самоисходное утверждение о преимущественном значении ζ = 1,95 для линийпоглощения. Таким образом, вопрос о конкретной Λ-модели с вполнеопределенным значением Λ в настоящее время остается открытым, и потре-буется еще много труда для его решения.

Однако уже сегодня можно поставить другой вопрос: насколькообоснованным было предположение Λ ΞΕ 0, которое часто делали в послед-ние годы (см., например, учебник Ландау и Лифшица 8 или обзорыавтора 9)? При этом выдвигались либо эстетические аргументы: теорияс Л = 0 красивее, проще, формулы более компактны, существует частноерешение — пустой плоский мир Минковского, либо аргументы, напоми-нающие принцип экономии мышления: зачем вводить лишний параметр Лдо тех пор, пока это не вызвано необходимостью? Когда появляютсяавторы (см. 1 - 3 ) , сильно заинтересованные в Л Φ 0, приведенные вышеаргументы теряют свою привлекательность и убедительную силу. Выяс-няется, что многим 1 0 всегда казалось более красивой — в силу большейобщности — именно схема с Л ^ 0 ,

*) Общепринятое предположение о космологическом происхождении красного сме-Q

щения, связывающее его с общим расширением Вселенной, дает Я — -τγ- ζ = 4000ζ Macη

для близких квазаров с малым ζ; при больших ζ определение R неоднозначно, поясно, что всегда речь идет о расстояниях в десятки и сотни раз больше, чем в локальнойтеории. В самое последнее время появилось сенсационное сообщение2" о докладеМетыоса, в котором отмечено существенное изменение оптической картины ква-зара ЗС-287 с 2 = 1,055 на протяжения одного года, с 1965 по 1966 г. Этот факт Метыосистолковывает в пользу локальной теории. Однако вывод неоднозначен: частицы,выброшенные при взрыве с релятивистской скоростью, в соответствии с расчетамиРиса 6 могут дать скорость изменения углового размера dQ/dt = сф/Κγΐ — β2, соот-ветствующую кажущейся линейной скорости vl~]/\. — β2 >• ст β = ν/с; эти сообра-жения в последнее время развивает и анализирует И. С. Шкловский. Таким обра-зом, при 1 — β s= ΙΟ"5 можно совместить космологическую гипотезу о большомрасстоянии до квазаров с наблюдениями Метыоса.

КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ И ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 2 1 1

История вопроса о космологической постоянной неразрывно связанас именем Эйнштейна. В первой работе по приложению общей теорииотносительности к космологии Эйнштейн задается целью построитьстатическую Вселенную с конечной средней плотностью вещества u

и приходит к выводу, что для этого необходимо ввести в уравнения допол-нительный член — космологическую постоянную. После работ А. А. Фрид-мана 1 2, рассмотревшего нестационарные решения *), и в особенностипосле того, как было наблюдено красное смещение, Эйнштейн пишет:«При этих обстоятельствах следует задать вопрос: можно ли описатьопытные факты, не вводя Λ-член, явно неудовлетворительный с теорети-ческой точки зрения?» 1 3. Однако тезис о «неудовлетворительности» никакдальше не разъясняется. Очевидно, что вопрос нужно решать на основеобъективных данных.

Возникает новая постановка вопроса: что известно достоверно о вели-чине А? В какие пределы с уверенностью можно заключить эту величинув настоящее время? Какого рода эксперименты или наблюдения могутуточнить значение А? Джин выпущен из бутылки, и загнать его обратноуже нелегко. Если даже в действительности А = 0, то теперь придетсяподходить к этому ответу мучительно трудно, медленно, постепенноуменьшая пределы: —10~55 см~2 < Л < 10~55 см~2 сегодня; быть может,— 10~5(i < Л < 10~56 через 10 лет. Даже если будет показано, что вели-чина Л достаточно мала и заметно не влияет на космологическую эволю-цию (в отличие от упомянутых гипотез х~3), останется вопрос: какая же она,имеет ли место точное, тождественное равенство Л нулю? Возникает нанаших глазах новая область деятельности — определение Л. Но преждевсего ответим на вопрос: как физически представить себе смысл космо-логической постоянной? Почему ее определение интересно для физикив целом? Один подход к этой величине уже был отмечен выше, его под-сказывает размерность Л — см"2. Это — кривизна пустого пространства.Но теория тяготения связывает кривизну с энергией, импульсом и давле-нием вещества. Перенося в уравнениях тяготения члены с А в правую

часть, получим lhk — γ gikR = -^Tik — gikA. Предположение Л ^ О

означает, что пустое пространство создает гравитационное поле такое, какесли бы в этом пространстве находилось вещество с плотностьюмассы р Л — c2A/SnG, плотностью энергии εΛ = ciA/SstG и давлениемΡ л. = — εΛ. В этом смысле можно говорить о плотности энергиивакуума и давлении (тензоре натяжений) вакуума.

Заметим, что предположения об ε Λ и РА сформулированы так, чтоне нарушается релятивистская инвариантность теории: εΛ и РА одина-ковы во всех движущихся друг относительно друга (лоренц-преобразо-ванных) системах координат. Эти величины εΛ и РА не проявляютсяни в опытах с элементарными частицами, ни в области атомной и моле-кулярной физики: энергия вакуума сосуда, в котором производитсяопыт, играет роль постоянного слагаемого, которое в законе сохраненияэнергии сокращается (подробнее см. приложения I и II).

Единственный тип явлений, в которых проявляются εΛ и РА, сутьгравитационные явления. При этом εΛ и РА «работают» не только в пустомпространстве: как видно из формулы, они входят как равноправные сла-гаемые и при наличии обычного вещества. Значит, в принципе можнобыло бы заметить и измерить εΑ и соответствующую рд — гА1с2 в

*) На современном языке эти решения называются автомодельными: мир расши-ряется, оставаясь подобным самому себе. Заметим, что Фридман рассматривалуравнения как с Л = 0, так и с Л Φ 0.

14*


Кавендиша: притяжение свинцового шара зависит от суммы плотностисвинца (11 г/см?) и плотности вакуума (| рл | меньше 10~28 г/см3) в иссле-дуемом объеме.

Практически измерить влияние ρ Λ , εΛ невозможно ни в лаборатор-ном опыте, ни даже в наблюдениях над движением планет в солнечнойсистеме или движением звезд в Галактике: в самом деле, средняя плот-ность вещества в солнечной системе ρ = 10"7 в шаре, радиус которогоравен расстоянию от Земли до Солнца. Средняя плотность в Галактикепорядка 10~24 г/см*. Влияние р л оказывается сильным только в самыхбольших масштабах — в масштабах всей Вселенной, т. е. в космологии.Именно из космологических соображений можно уже сейчас поставитьпределы | рл | < 5 Ί 0 " 2 8 г/см3, что соответствует | Л | < 10~54 см~2.

Научные прогнозы всегда рискованны; все же можно предполагать,что конкретная модель3 с р Л = 5 Ί 0 " 2 9 и остановкой при ζ = 1,95 будетпринята или отвергнута в течение 2—3 лет. Но если эта модель будетотвергнута, то дальнейший прогресс — доказательство того, что | Лменьше определенной величины,— потребует гораздо больше времени.Конкретно, при большом отрицательном значении р Л вступают в действиете же соображения, которые ограничивают максимальное значение плот-ности любого вида материи 2 0: для времени, истекшего с момента сингу-лярности ρ = оо до настоящего времени, можно написать неравенство

Τ <С У 3jt/32G | рл | · Но очевидно, что Г>-3-109 лет, так как уже гео-логический возраст Земли порядка 5 -109 лет. Отсюда получим р л <<5-10" 2 8 г/см3.

Иная ситуация в случае положительной рл > 0. При данной плотностиобычного вещества в настоящее время р0 и данной скорости расшире-ния Вселенной (постоянной Хэббла # 0 ) большая положительная

рл > 2 · Q ~ + ро приведет к космологическим решениям, в которых Все-ленная никогда не проходила период большой плотности (приведенноевыражение является приближенным; подробнее см. в приложении VII).Наличие во Вселенной термического излучения, соответствующего 3° К,делает такое решение маловероятным (см., например,9).

В принципе точное измерение яркости и красного смещения несколь-ких (не менее двух) далеких тел с точно известной абсолютной светимо-стью было бы достаточно для определения как постоянной Хэббла, таки разности ро — 2рл, через которую выражается так называемый пара-метр ускорения космологической модели. Практически необходимо боль-шое статистическое исследование далеких тел: только в среднем их свой-ства можно приравнивать свойствам близких тел. При этом возникаютсвои трудности, связанные с необходимостью учета эволюции галактики квазаров, т. е. отличия свойств (в среднем, отвлекаясь от индивидуаль-ных флуктуации) далеких объектов, испустивших свет давно, от свойствблизких объектов в настоящее время. Необходимо, кроме того, уточ-нить величину средней плотности всех видов материи (звезды, межгалак-тический газ, кванты, нейтрино, гравитоны) во Вселенной.

Обратимся теперь к другой стороне дела, а именно к тесной связивопроса о Л с теорией элементарных частиц. Первые же попытки кванто-вания электромагнитного поля привели к парадоксальному выводу о бес-конечной плотности энергии вакуума. При этом вакуум определяетсякак наинизшее энергетическое состояние рассматриваемой системы,характеризуемой уравнениями Максвелла. Частицы — в данном случаефотоны — представляют собой элементарные возбуждения системы.3 аналогичной задаче квантовой теории о движении атомных ядер в кри-

КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ И ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 213

сталлической решетке ситуация похожа: существуют элементарные воз-буждения — фононы (кванты звука), и существует нулевая энергиясостояния, в котором нет ни одного фонона, при абсолютном нуле тем-пературы, т. е. состояния, которое можно уподобить вакууму.

В случае кристалла нулевая энергия имеет вполне определенноеконечное значение, ее можно измерить. В частности, различие нулевыхэнергий для различных изотопов одного и того же элемента приводитк зависимости теплоты испарения кристалла от атомного веса изотопа.В теории поля — в простейшем варианте — нулевая энергия бесконечна.Однако можно переформулировать теорию так, чтобы нулевая энергиясвободного поля тождественно равнялась нулю. В классической теорииМаксвелла плотность энергии равна ε = (Ε* +Η2)/8π, где i? — электри-ческое, Η — магнитное поле. Как подчеркнуто в 14, нет такой формули-ровки квантовой электродинамики, в которой обращалось бы в нульсреднее значение Е2 или Н2 в вакууме (вдали от зарядов и при отсутствииреальных квантов). Следовательно, формулируя теорию (с помощью нор-мальных произведений операторов*)) так, чтобы в вакууме тождественноε = 0, мы достигаем этого ценой отказа от классического соотношениямежду ε и полями.

Второй источник энергии вакуума возник при развитии Диракомтеории электрона: представление о заполненных уровнях с отрицательнойэнергией приводит буквально к бесконечному отрицательному значениюплотности энергии. В этом случае также вскоре теория была переформули-рована так, чтобы тождественно равнялась нулю ε для «вакуума невзаимо-действующих частиц». При этом, однако, отнюдь не гарантировано, чтоэнергия вакуума останется равной нулю при учете взаимодействия частиц.Особенность современной теории заключается в том, что взаимодействиечастиц сказывается не только при наличии реальных частиц, которыедолжны участвовать во взаимодействии.

Прежде всего нужно напомнить, что сам термин «взаимодействие»употребляется не в смысле классической физики. В школе мы говоримо взаимодействии двух сталкивающихся тел, о взаимодействии (куло-новском) протона и электрона. В квантовой теории поля мы говорим,в частности, о четырехфермионном взаимодействии, когда нейтрон,распадаясь, превращается в протон, электрон и нейтрино, говоримо взаимодействии электрона с квантом, когда электрон испускает(рождает) квант.

Свободный электрон, летящий по инерции, не может испуститьреальный квант, который можно было бы увидеть или зарегистрироватьвдали от электрона. Но можно сказать, что свободный электрон испускаети тут же поглощает кванты — и это меняет его свойства (например, массу,магнитный момент). Изменение массы нельзя обнаружить, так как нетопыта, который давал бы массу электрона, не жонглирующего квантами.Однако изменение магнитного момента электрона со всей точностьюсовременного эксперимента подтверждено на опыте. Но в таком жесмысле в вакууме могут происходить процессы рождений тройки е+, е~, уи уничтожения этих частиц и еще множество аналогичных процессов.В современной теории вопрос о состоянии и свойствах вакуума не стольпрост и очевиден, как в доквантовые времена Ньютона или Максвелла.

Можно различить несколько возможных точек зрения.Первая заключается в предположении, что энергия вакуума тожде-

ственно равна нулю до тех пор, пока мы не учитываем никакие поля

*) Определение нормального произведения дается в многочисленных книгахпо теории квантованных полей, 1 4 и более ранних.


и взаимодействия. При их учете энергия вакуума не равна нулю, но прирассмотрении процессов с реальными частицами энергия вакуума входиткак аддитивная постоянная. Задача теории частиц формулируется какрасчет наблюдаемых процессов с реальными частицами, причем техникавычислений должна быть такой, чтобы ответ не зависел от неизвестной—или неопределенной, или даже бесконечной — энергии вакуума. Так фор-мулирует задачу Фейнман, и он успешно выполняет эту программу.По ходу расчетов выполняются, например, такие действия: амплитудаперехода (частицы в 1-м состоянии -f- вакуум) —>• (частицы во 2-м состоя-нии + вакуум) А12 делится на амплитуду перехода (вакуум) ->• (вакуум)ΑΒΒτ{, и только отношение Ai2/ABaK представляет собой реальную, относя-щуюся к частицам величину.

Этот обход вопроса об энергии вакуума *) хорош везде, кроме теориитяготения! Плотность энергии вакуума, как уже говорилось, в задачахтяготения появляется как реальная, не сокращающаяся наблюдаемаявеличина. В теории элементарных частиц существует другое, так назы-ваемое аксиоматическое направление.

В качестве аксиомы принимается, что плотность энергии вакууматождественно по определению вакуума равна нулю (28, § 3.1). Когда такоеутверждение провозглашается открыто как одна из возможностей, воз-ражений нет. Однако часто встречается утверждение, что это предполо-жение необходимое, что только оно одно согласуется с релятивистскойинвариантностью теории. Такое утверждение прямо ошибочно. Выше ужеотмечалось, что характерное соотношение между давлением и плотностьюэнергии Рд_ = — 8д является релятивистски-инвариантным. Ниже мына конкретном примере покажем, как теория частиц при определенномвыборе формулировки теории дает г&, отличную от нуля, при полномсоблюдении релятивистской инвариантности.

В 2 8 рассматриваются энергия и импульс вакуума как целого. Грубомы могли бы, задавшись определенным нормировочным объемом V,говорить об энергии Ε = Ve. Импульс (трехмерный) вакуума р, оче-видно, равен нулю, так как нет преимущественного направления,куда он мог бы быть направлен. Энергия и импульс образуют четырех-мерный вектор {.Ε,ρ}, в данном случае {Е, 0}. Очевидно, такая комбина-ция не инвариантна и даст ρ Φ 0 в другой системе координат, если тольконе положить Ε = 0 (а значит, и ε = 0).

Ошибка этого рассуждения заключается в том, что был взят опреде-ленный объем, что и нарушило инвариантность. Неограниченно протя-женная среда — и, в частности, вакуум — характеризуется именно плот-ностью энергии, которая представляет собой Тоо, компоненту тензоравторого ранга — тензора энергии-импульса. Весь тензор включает в себякомпоненты вида TQrx = Тао (где а = 1, 2, 3 нумерует пространственныеоси), характеризующие потоки энергии и одновременно плотностьимпульса в пространстве.

Наконец, компоненты Га|з определяют тензор натяжений, такой жев принципе, как в теории упругости. В частном случае газа или жидкости(без учета сдвиговых напряжений) Та$ = δα$Ρ·

Эти общеизвестные вещи здесь повторяются для того, чтобы подчерк-нуть, что вопрос заключается не в том, есть ли у вакуума вектор энергии-импульса, а в том, есть ли у вакуума тензор энергии-импульса-натяже-ний. Релятивистски-инвариантный вектор не существует (равен нулю),

*) См., например, добрый старый учебник 2 7 , стр. 48: « # 0 называется нулевойэнергией поля; оно бесконечно..., но как аддитивная постоянная Я о не имеетфизического значения».

гнь

1

0

0

0

ЕЙ тензор,

0— 1

0

0

0

0

— 10

отличный

00

0— 1


но релятивистски-инвариантный тензор, отличный от нуля, вполневозможен; он имеет вид

const·

и именно о таком тензоре идет речь в случае Λ ^ 0. Исключить егоa priori нельзя. Остаются вопросы:

1) Есть ли какие-либо другие принципы, в силу которых следуетположить Λ Ξ=Ξ 0?

2) Следует ли рассматривать Λ φ 0 как новую независимую миро-вую постоянную?

3) Нельзя ли построить правдоподобное (хотя бы по порядку вели-чины) значение Λ из известных мировых констант?

Ниже будет сделана попытка дать ответ именно на третий вопрос,оставляя первые два без ответа. Если наблюдения подтвердят Λ Φ Ο,то этот ответ (основанный только на теории размерности и сравнениипорядков величин), быть может, будет полезен при построении настоящейлогически последовательной теории.

При этом мы используем замечания Эддингтона 15, Дирака 16 и другихавторов о любопытных численных соотношениях в космологии. Вместес тем этим соотношениям удается придать иной смысл, устраняется про-тиворечие с общей теорией относительности. Соотношения упомянутыхавторов строятся следующим образом. Берется отношение радиуса мира Rк характерной длине из теории элементарных частиц Ытс или отношениевозраста мира (от момента сингулярности) Τ s^ ПН ^ RIc к характер-ному времени Ытс1. Эти отношения по порядку величины равны 1042.С другой стороны, безразмерная величина, характеризующая гравита-ционное взаимодействие, tic/Gm2 ~ 2 · 1038 (т — масса протона). Логариф-мы двух безразмерных чисел совпадают с точностью лучше 10%*). Предпо-лагается, что это совпадение не случайное. Но в эволюционирующем мирепервое отношение, в которое входит радиус или возраст мира, не остаетсяпостоянным. Отсюда был сделан вывод16, что и второе отношение hc/Gm2

меняется, конкретно — что постоянная тяготения меняется обратно про-порционально мировому времени Т. Дирак четко и ясно отмечает, чтопеременность G не согласуется с общей теорией относительности (ОТО),но физическое значение совпадения больших чисел представляется емуболее существенным, чем логическая стройность ОТО.

Как изменяется ситуация с совпадениями больших чисел в теориис космологической постоянной, т. е. в Λ-модели Вселенной?

Запишем аналогичное соотношение, заменяя радиус мира R величи-ной Л~1/а, имеющей такую же размерность. Это даст нам соотношение 1 8

. _ 1 / 2 % he . G2mG

А : ^ - _ _ или Л ^ —гт- ;тс Ьт1 п±

Gm2

С другой стороны, предположим, что радиус мира порядка Л~1/2:

*) Можно рассматривать отношения e2/Gm2 = 1,2-1036 и 7":τ=^3· 1037, где τ^== (?2/mec

3. В связи с этим Гамов 1 7 выдвинул предположение о переменности заряда еи безразмерной величины е2/Ьс. Вскоре после того, как оно было выдвинуто, после-довали конкретные возражения 2 4~ 2 6 .


В совокупности эти два предположения содержат такую же магию боль-ших чисел, которая поразила Дирака. Но рассмотрим теперь эти пред-положения подробнее, каждое в отдельности. Первое предположение (1)носит характер «вечного» соотношения между мировыми постояннымиΛ, G, т, /Г, С. ОНО, В принципе, могло бы быть проверено лабораторнымиопытами и, главное, согласуется с постоянством всех величин, согласует-ся с ОТО.

Второе предположение носит совершенно иной характер, оно отно-сится к эволюционной астрономии.

Радиус мира RQ в период задержки (соответствующей ζ — 1,95)просто связан с Л~1/2 в Л-модели. Можно предполагать, что именно в этотпериод образуется большинство галактик. Чтобы они не проэволюциони-ровали слишком далеко, нужно, чтобы R/Ro — η не было слишком велико;в конкретной Λ-модели предполагается η = 1 + ζ = 2,95, но не пред-полагается, что это число постоянно! В ходе дальнейшего расширенияη должно возрасти, например, до η = 3,3 через 109 лет. Соотношения,в которые входит сегодняшнее R, мы трактуем как приближенные, поэто-му переменность R не противоречит постоянству G и других мировыхконстант.

Отметим, однако, что остается загадкой точное соотношение междуобщим количеством вещества и космологической постоянной, котороенеобходимо для осуществления Л-модели с длительной задержкой.К переменности констант эта загадка не имеет отношения. Она касаетсятех начальных условий, которыми необходимо дополнить уравнения кос-мологии для того, чтобы получить определенное решение. Возможныпоиски эволюционного подхода к разрешению загадки.

Остановимся еще вкратце на различии между теорией с космологиче-ской постоянной Л ^ О и предположением 1 9 о наличии определеннойконцентрации слабо взаимодействующих частиц (нейтрино или гравито-нов). Такие частицы в силу их большой проникающей способности должныпрактически равномерно заполнять пространство и создавать не завися-щую от пространственных координат плотность энергии ε4. Однако этими исчерпывается сходство. Плотность энергии ε Λ по смыслу не зависитот времени, e t падает как R~l в ходе расширения Вселенной. Величине8д соответствует /*л = — £л- Между тем et соответствует Р± — + гг/3.Таким образом, частицы (нейтрино, гравитоны) выделяют определеннуюсистему покоя, в которой они в среднем движутся хаотически. Легкоубедиться, что при Λ = 0 в силу связи Ρ χ и в± частицы не приводятк космологическим решениям с остановкой расширения (см. ниже в при-ложении).

Наконец, что самое важное, как бы слабо ни взаимодействоваличастицы с обычной материей, в принципе наличие частиц в вакуумеможет быть обнаружено.

Между тем в теории с космологической постоянной ед φ 0 приписы-вается именно низшему энергетическому состоянию — вакууму. Такимобразом, указанные две гипотезы (ел или ει) действительно существенноотличаются.

В изложенном выше обзоре в самой общей форме рассмотрены теявления, в связи с которыми в последнее время вновь рассматриваютсяуравнения Эйнштейна с космологическим членом, рассмотрены те вопросы,которые встают перед наблюдательной астрономией и теоретическойфизикой в связи с этим.

Ниже в приложении подробнее и с большим числом формули ссылок рассмотрены отдельные вопросы, затронутые в этом общемизложении.


ПРИЛОЖЕНИЕ

I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И УРАВНЕНИЯ ОТО

С учетом космологического члена формулы (93.1) и (95.5) «Теории поля»Ландау и Лифшица *) следует заменить на

(1,1)

В локально-свклндовой (минковской) метрике с goo-'l» £αβ — — ^αβ введение Λэквивалентно прибавлению к тензору материи Т^ добавки, такой, что

1 0 0 0\4 л 1 ° - 1 °

A 0 - 1 θ0 0 0 1

тан что 700—-/оо + ел> Ταβ = ?̂ αβ + υ α βΡ Λ , где ε Λ = — Р л —с4.

II. СВОЙСТВА ε Λ и Р д

Доказываем релятивистскую инвариантность комбинации &А и РА. Для обыч-ного покоящегося вещества (жидкости с изотропным паскалевым давлением Ρи плотностью р, е = рс2, Τα^ = δαβΡ) при переходе к системе координат, в которойжидкость движется со скоростью Vx~$c, получим

Г ^ ~Т~ Ρ ^ lyi/ Ρ ( ^ ~| ^ ) гр , __ -* ~] Ι-" Ь

1 - β 2 ο χ ] / 1 - β 2 1 " Ρ (И, 1)

Подставляя Ρ Λ = — ε Λ , убедимся, что Б НОВОЙ системе ε^ = ε Λ , Р Х = - Р д = — ε Λ ,T'ife по-прежнел!у диагоналей. Вакуум можно рассматривать как «вещество» с дан-ными ε Λ и Рд также и в том смысле, что выполняется общее соотношение

dE = —PdV. (11,2)

В самом деле, если E~eAV и ε Λ —const, то

dE = eAdV^-PAdV при Ρ Λ = - ε Λ . (11,3)

III. ОДНОРОДНАЯ И ИЗОТРОПНАЯ А-МОДЕЛЬ. УРАВНЕНИЯ

Рассматриваем космологию Α-модели, которая определяется заданием метрики

называем а радиус мира, объем мира V0 = 2n2a3. Уравнения для a (t) имеют вид(точка — производная по времени)

АтГ! ι ЯЛ\

(Ш,2)

Расстояние между любой парой точек, движущихся вместе с окружающим веще-ством (не имеющих «случайных» скоростей), пропорционально а, т. е. г = г 1 2 — ка. Пер-вое уравнение можно рассматривать как «ньютоновское» для гравитационного дей-ствия шара произвольного радиуса г12: точка 1 — в центре, точка 2 — па поверхности;вещество, окружающее шар снаружи, распределено симметрично и потому не дает

*) Цитирую по пятому изданию (1967 г.). Гравитационная постоянная обозна-чена G вместо к, Λ есть космологическая постоянная; не путать с лагранжианомфизической системы в формуле (94.1).


вклада в ускорение г = — GM/r2. При этом оказывается, что роль массы играет4:JT

~о~ rZ lp+(3-P/c2)]; давление также весит. Подставляя г12 = ка и сокращая к, полу-

чаем (III,2).Второе уравнение фиксирует абсолютное значение радиуса кривизны мира а,

если известны относительная скорость расширения а/а — Η (Η — постоянная Хэббла)и плотность вещества. При учете космологической постоянной нужно подразумевать,вместо ρ и Ρ для вещества, р' и Ρ', включающие плотность и давление вакуума,т. е. ρ Λ и РА = — р л с а . Таким образом, подразумевая под ρ и Ρ плотность и давле-ние вещества, получаем

^ ( ^ ) , (111,4)

τ · (Ш'5)

Как известно, уравнения гравитационного поля ОТО включают в себя и урав-нения движения того вещества, которое создает это поле. Геометрические тождества,относящиеся к кривизне пространства, приводят к законам сохранения. Неудиви-тельно поэтому, что два уравнения ОТО, полученные из рассмотрения двух разных

1

компонент тензорного уравнения Rfn =- ginR = %Tin, содержат в себе и термо-

динамическое тождество, связывающее энергию и давление.Обозначим через Ε энергию, заключенную в данном сопутствующем объе-

ме V; положим V = ha3. В этом объеме, меняющемся пропорционально полномуобъему Вселенной, содержится постоянное число сохраняющихся частиц п. Можновыбрать η так, чтобы V было удельным объемом, приходящимся на один нуклон,тогда Ε есть удельная энергия на один нуклон; при этом

г Ε

Подставим это выражение в уравнение (III,3):Е С 2 ~. ( Ш . 7 )2 Зс2/г а

Возьмем производную по а:

1 d'a2 :

2 / 7 π ν V π f ι ftτ -ΐί^^ίϊ π'*- Ч/1*-/* л ft/~t

titi ώ \ LL ν I \Jj\j 4_}\J it tt Ok It· t* W tt

птт я

Сравнивая с уравнением (111,1), получим

~ = —3ha2P, dE=—Pd{haS) = --PdV. (111,9)

daИтак, термодинамическое равенство (111,3), т. е. первое начало, закон сохраненияэнергии, следует из двух уравнений ОТО — (111,1), (111,2). Можно перевернуть этоутверждение: если задаться одним из уравнений ОТО и законом сохранения энер-гии (III.9), то другое уравнение ОТО получится как следствие. Его можно в явномвиде не учитывать. Как было показано в приложении II, ρ Λ , ε Λ и ΡΛ удовлетворяюттермодинамическому равенству (111,9), поэтому все сказанное справедливо и в теориис космологической постоянной.

Заметим, наконец, что уравнения справедливы и для открытой, гиперболиче-ской модели. При метрике

dS2 = с2 dt* — b2 (t) [dz2 + sh 2 x (sin2 θ d<pa + d62)] (III ДО)

уравнения ОТО получатся из (Ш,1), (Ш,2) или (111,3), (Ш,4) заменой а наib(i = ~\/ — l ) . При этом (111,1) не изменится:

в уравнении (II 1,3) изменится знак у с2:

Ь 2 AnG9 с2 , т т т , 9 ,

-l· РА) Ь + Т ' (Ш,12)

КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ II ТЕОРИЯ ЭЛЕМКНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 2 1 9

IV. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИЙ Л-МОДЕЛИ

Полное исследование и классификация уравнений космологии с Λ-членом даныв ряде работ и обзоров. Отметим, в частности, статью А. Л. Зельманова 1 0 . Однакоиз педагогических соображении представляется полезным привести простые и нагляд-ные соображения, позволяющие понять качественные свойства решения с минималь-ным числом математических преобразований.

Рассмотрим наиболее интересный случай ρ Λ > 0 и закрытого (сферического)мира. Возьмем за основу уравнение (III,5). Начнем с наиболее простого случая, когдавещество состоит из покоящихся невзаимодействующих частиц:

р_=пш0, к = п/пос2, Р = 0, (IV,1)

где η — плотность частиц, ш 0 —их масса покоя.Обозначим через 7V полное число частпц во Вселенной, к =

Подставляя в (111,5), получим

'a2 4nG Nm0 г anG 2 с 2 _ / (а) с 2

2 3 2пЧ ' 3

где

/ία)

ct

значения констант α и β ясны из предыдущего. Функция / (а) уходит в бесконечностькак при а -*- 0, так и при α -> оо. Она имеет минимум при aN/a — 2fia°; am -"

Характер решения существенно зависитот того, расположен ли этот минимум вышеили ниже с2 (рис. 1).

Рассматривая не только G, но и Λ (а сле-довательно, также ρ Λ , β, α) как мировыепостоянные, мы остаемся с одним параметромiV, от которого зависит ситуация. Такимобразом, различные кривые на рисунке соот-ветствуют различным N. Увеличивая N, мы.очевидно, переходим от нижних кривых к

верхним. Так как квадрат скорости а2 равен/ (а) — с2, очевидно, возможны лишь те зна-чения а, при которых / (а) > с2. Пересечение/ (а) соответствует мгновению остановки с пе-ременой знака скорости расширения (илисжатия) Вселенной.

Следовательно, для ML (нижняя криваярис. 1) зависимость a (i) может быть двухтипов — рис. 2, α η рис. 2, б, сравнение α,γ н а2

— на рис. 1 и рис. 2, а, б. В атом случае нет ре-шения, в котором а могло бы плавно менятьсяот U до оо. Такие решения имеют место при больших Л', например Л*4 (ср. рис. 1 и 2,в, г). Задан квадрат скорости; поэтому либо каждое решение в отдельности симмет-рично относительно замены t на ~~t с переменой сжатия на расширение, либо реше-нию, описывающему расширенно (рис. 2, в), соответствует другое решение, описываю-щее сжатие (рис. 2, г).

Пересечение f (а) = с1 под определенным углом (/' (а) Ф 0) соответствует оста-

новке, т. е. а = 0, но при этом ускорение а Ф 0.В вырожденном случае N = Лг

2 (рис. 1), когда / (а) касается горизонтали с2,легко убедиться, что при а -= агп а — 0, а — 0, . . . Таким образом, имеется фор-мальное решение a - a m = c o n s t (/). Наряду с этим решением есть решения, асимпто-тически приближающиеся к а = ат слева или справа (рис. 3, а, б). В решении типарис. 3, б отклонение от стационарного (а = ат) решения нарастает экспоненциальносо временем: а — ат-\-const-ewl, где w ~- ~\Zd2f/da2. В этом смысле можно гово-рить о неустойчивости стационарного решения по отношению к малым возмущениям,оставляющим Вселенную однородной и изотропной *).

Наконец, Л-модель, предложенная Кардашевым :i, соответствует случаю, близ-кому к вырожденному (N3 на рис. 1). При определенном а = ат скорость расширенияхотя и не равна нулю, по весьма мала (рис. Л). Выражение для ат приведено нарис. 4 около плато.

Рис. 1.

*) Вопрос о возмущениях однородности мы не рассматриваем.


а)

а)

/+Z/7

Q5-70*

1 j l

6-10w

Рис. 4.

КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ II ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ 221

Пусть 7V3 = -N«(1 + 7)' где у — малая величина. Легко найти, что при крити-ческом Ν — N%

Вблизи критического состояния для Ν3 получим

За Δ α ό ajn о а-и

Решение этого уравнения, в котором принято t = i m , a -am, таково:

2у \ % / с V у

Для того чтобы получить большую длительность (по сравнению с характерным вре-менем ат/с) пребывания вблизи ат, нужно взять γ экспоненциально малым, т. е. нуж-но, чтобы (—1η γ) было велико!

В примере, рассмотренном в 3 (ат — 5-Ю9 св. лет), принято, что пребываниеот а = 0,9ат до а = l,iarn длится 6· 1010 лет; при этом необходимо γ е± 10~5.

Именно в связи с малостью γ, τ. е. в связи с тем, что принимается Лг весьма близ-кое к критическому Лг

2, но по равное ему, в конце основной части статьи говорилосьо загадке предлагаемого решения.

V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ЭВОЛЮЦИЯ Л-МОДЕЛЕЙ

В космологических моделях с Λ = 0 имела место простая связь между геометри-ческими свойствами (замкнутое или открытое пространство) модели и ее эволюцией.

Эти свойства легко понять с точки зрения рис. 1: положим Λ — 0. / (а) —— aNla -*- 0 при а -^ оо, и, значит, в случае замкнутого мира обязательно найдетсятакое а, при котором / (а) — с1 и / (а) •< с2 при а ;> а т ; замкнутый мир должен от рас-ширения переходить к сжатию до ишу рис. 2, а. Точно так жо при Λ = 0 открытыймир обязательно эволюционирует монотонно до а — оо, например расширяетсянеограниченно — по типу рис. 2, в.

При наличии космологического члена Λ Φ 0 такой простой связи уже нот:мы видели в предыдущем приложении IV, что при р л ;> 0 замкнутый мир может либоэволюционировать по типу рис. 2, а, либо неограниченно расширяться в зависимостиот числа нуклонов JV. Если р Л >- 0, то открытый мир эволюционирует монотонно —по типу рис. 2, в, г. Если же р Л < 0 (астрономические данные, впрочем, не дают ука-заний на такую возможность), то расширение обязано смениться сжатием в обоихслучаях открытого и закрытого мира. Таким образом, при Л φ 0 пропадает простаясвязь между геометрическими и эволюционными свойствами мира.

В замкнутой модели, близкой к критической, за время медленного расширенияпри радиусе, близком к критическому, свет успевает несколько раз обежать всю Все-ленную. Один и тот же удаленный астрономический объект можно увидеть несколькораз. В идеальном случае мы увидим его с Земли в одном направлении в лучах, прошед-ших *) расстояние χ0, 2tt-f-%o> 4л-h%o^ · · ., и в противоположном направлениина небесном своде в лучах, прошедших путь 2π — χ0, 4π — χ0, . . . При :>том разнымпутям отвечает различное время прохождения лучей, и, следовательно, мы увидимодин и тот же объект в различном возрасте, в различные моменты его существования.По этой причине, если объект ярко светит лишь малую долю времени, мы увидимобъект лишь в одном из лучей: вероятно, такова ситуация с квазарами. Поэтомуотсутствие двойников квазаров (видимых в противоположных точках небосвода)нельзя считать противоречащим замкнутой космологической модели с замедленнымрасширением. Отношение видимой яркости объекта к его абсолютной светимостив момент выхода луча не уменьшается с увеличением пути, пройденного лучом.Это отношение максимально для тел, находящихся в «антицентре» нашей Галактики,т. е. для /о = л. Петросян и Солпитер 2 1 проводят тонкий анализ вопроса о дефоку-сировке лучей вследствие неоднородности Вселенной, связанной с существованиемотдельных галактик и их скоплений и с гравитационным отклонением света этиминеоднородностями.

*) Здесь расстояние измерено координатой χ, определение которой дано метри-кой {III,1). Вблизи точки остановки единица χ равна ат ~ ЙО/(1 -}-г0) едини-цам длины.


VI. ЭВОЛЮЦИЯ С ПРОХОЖДЕНИЕМ ЧЕРЕЗ СИНГУЛЯРНОСТЬИ НАБОРОМ ЭНТРОПИИ

Вопрос о возможности прохождения космологического решения через сингу-лярное состояние с ρ — оо в настоящее время остается открытым. Предположим, чтоможно сшивать решения, в которых происходит сжатие, и решения с расширением.Можно представить себе, что какие-то поправки к уравнениям ОТО 2 3 , несущественныев обычных условиях, огранпчивают максимальную плотность и минимальный радиус(рис. 5). Кроме общих физических законов (сохранение барионов, рост энтропии),по-видимому, нужно еще одно предположение — о выглаживании неоднородпостеи.

Ото последнее предположение нельзя счи-тать убедительным. Если отказаться отнего, ίο придется решать общую несим-метричную и неоднородную задачу о дви-жении, да еще в видоизмененных урав-нениях ОТО. Имея в виду исключитель-ную сложность этой задачи, отвлечемсяот вопроса о неодпородностях. Известно,что при прохождении однородного веще-ства через сингулярность при наблюдае-мой энтропии происходит превращениевещества любого состава в стандартнуюсмесь 70—75% Н + 30—25% Не4 (по ве^су). Естественно решается вопрос об

*· антибарионах, об избытке бариоиов вбли-• зи сингулярности: образование антиба-

рионов есть следствие повышения темпе-ратуры при сжатии системы, первона-чально содержавшей только барионы.

По этим вопросам подробнее см. обзор 1965 г. 9 . Обратимся к картине эволюциив целом. Предположим, что Вселенная замкнута, общее число барионов меньше кри-тического и энтропия мала. Согласно приложению IV при этом эволюция идет цикли-чески. Однако от одного цикла к следующему растет энтропия. С учетом энтропииможно показать, что

Рис. 5.

Nmo (VU)

где β __ число порядка 1, a S — безразмерная удельная энтропия на один барион.Следовательно, с ростом S происходит раскачка системы; при определенном значе-нии S произойдет переход от циклического режима к неограниченному расшире-нию (рис. 6).

Рис. 6.

С этой точки зрения при N < iV2 система все равно выходит в характерныйрежим расширения с задержкой.

Но в общем случае, если N не специально близко к N^, плотность излучения(соответствующая энтропийному члену 6TiNl/sS4/3/ca4) не мала по сравнению с плот-ностью барионов. Загадка, о которой говорилось выше, приобретает такой облик:почему число барионов такое, что переход к неограниченному расширению происходитпри малом отношении плотности излучения к плотности в покое?

Неограниченное увеличение энергии излучения в ходе циклов не должно пугать,оно не противоречит закону сохранения энергии: масса и энергия всего замкнутогомира как целого тождественно равны нулю! (См. Ландау и Лифшиц 8.)

Наглядно можно сказать, что растущая энергия излучения тождественно ком-пенсируется растущей по модулю отрицательной энергией гравитационного взаимо-действия между собой частиц и масс Вселенной. На первый взгляд кажется обещаю-щим такое замечание: избыток плотности, необходимый для замедленного расшире-ния в Λ-моделях, как раз порядка плотности излучения в нашем мире. Это совпадениеможно было бы понять в схеме эволюции рис. 7.


При t = — со берем холодные барионы в критическом количестве: S = О,N — N2. Когда под действием флуктуации в этой системе происходит образованиезвезд и начинаются ядерные реакции, полная энергия не меняется. Происходит прев-ращение ядерной энергии в энергию квантов и нейтрино, возникает отличное от нулядавление. На языке диаграммы рис. S (типа рис. 1) вместо кривой 1—1 получаем кри-вую 2—2, проходящую через ту же точку, но с конечным наклоном. Ото приводитк сжатию системы. К такому же выводу приводит и непосредственное рассмотрение

уравнения для а: появление давления Ρ > 0 при сохранении плотности приводит

а к

Рис. 7.

к « < 0 , Далее сжатие и расширение ведут к увеличению энтропии, и после сингу-лярности характеристическая кривая / (я) дастся линией 3—3 на рис. 8, что и при-водит к правой ветви такого типа, которая показана па рис. 7 вверху и постулируетсяв современных Л-моделях.

Привлекательность этой схемы заключается в том, что она устанавливает есте-ственную связь между плотностью лучистой энергии в критическом состоянии (при

5 ° (1 1 5 ) 9° Ю 1 1 * 2 6 5 1 0 ; ϊ 2 / 3рэрг/см*, р г =

(р= 6,5·10-;ϊ2 г/г.и3 при

Рис. 8.

у ду уζ = 1 , 9 5 , Тт = 3° (1 + 1,95) <=* 9°, ег = 6рт = 5-10"2 9 г/см'л) и длительностьюзадержки, длительностью пребыва-ни я вблизи критического состояния.Наряду с общими трудностями лю-бой модели, включающей переходчерез сингулярность, данная модельимеет следующие недостатки:

1) нужно, чтобы было Л Г = Д Г

2 ;2) с учетом конечных флуктуа-

ции в любом состоянии нельзя пред-полагать, что состояние с Лг = Ν2 πмалым S существовало неограничен-но долго (замечание сделало А. Д. Са-харовым). Есть конечное, хотя и боль-шое, ~ 100 ат/с, время развития ие-однородностей.

В целом приходится признать,что Л-модели, разрешая одни труд-ности современной астрономии (ζ = 1,95!), одновременно ставят новые нерешен-ные принципиальные вопросы. Приведенные выше весьма сырые соображения,конечно, нельзя рассматривать как какие-либо «успехи физической (астрономической)науки» (я намекаю на название журнала). Скорее они имеют целью привлечь вни-мание читателя к неблагополучию в важной области физики.

VII. КЛАССИФИКАЦИЯ Λ-МОДЕЛЕП ПО НАБЛЮДАЕМЫМ ВЕЛИЧИНАМ

Наблюдения в окрестности нашей Галактики (точнее, скопления или сверх-

скопления, в которое она входит) позволяют определить постоянную Хэббла Н — г/г,

параметр ускорения д — — г /гЯ 2 и среднюю плотность вещества р.О трудности фактического определения этих величин говорит уже тот факт, что ве-

личина//неоднократно пересматривалась: 1029 г.—-500 км/сек-Мпс (1 Мпс =3·10 2 4 ок)*1950 г.~ 200 км/сек-Мпс. 1957 г.—75 км/сек-Мпс, 1962 г. ~ 100 км/сек-Мпс; в настоя-щее время полагают, что 75 < Η < 125 в тех же единицах. Параметр q выражается

через относительное ускорение далекого (на расстоянии г) объекта г; иначе, из ν = г =

= Нг, г = ν -- Нг + Пг = Нг + Ην = Нг + Я 2гполучим q -- — (Я/Я 2 ) — 1. Напом-ним, что, говоря о постоянной Хэббла, имеют в виду независимость Я от координат


(от расстояния); это не исключает переменности Я как функции времени. Опреде-ление q весьма трудно. Последние опубликованные оценки Сэндейджа 7 дают q == + 1 i 0,5, однако оценку ошибки вряд ли можно считать объективной. При опре-делении плотности ρ часть задачи, относящаяся к плотности вещества в галактиках,была решена Оортом в 1958 г. Эти оценки дают pg = 3·10~31 г/см3 для той шкалырасстояний, которая соответствует Я — 75 км/сек· Μпс. Задача определения плот-ности межгалактического газа только в последние годы стала в повестку дня (см.,например, 2 2 ) , но до сих пор есть лишь грубый верхний предел ρ <; 3-10~29.Таким образом, по отношению к q и ρ скорее следовало бы говорить не о «наблю-даемых», а о «принципиально доступных наблюдению» величинах. Но именно длятого, чтобы показать, насколько важно фактическое проведение этих наблюде-ний, ниже будет показана зависимость самых общих свойств Вселенной от вели-чин Я, q, p. Нижеследующее относится к однородным изотропным решениямс космологической постоянной Λ φ 0. Отметим, что изотропность Вселенной —равноценность всех направлений — подтверждена в последнее время измерениямисантиметрового радиоизлучения с точностью лучше 0,1%.

Изотропия мира косвенно подтверждает и его однородность: в существеннонеоднородном мире излучение было бы изотропно лишь для наблюдателя, специально(случайно) находящегося в центре сферическп-симметричпого неоднородного распре-деления вещества. Не для того взошел на костер Джордано Бруно в 1600 г., чтобыидея центрального положения Земли (нашей Галактики) возродилась в 1967 г.!

Итак, будем считать известными три величины: Я, q, р. Из ρ π Я составим без-размерную величину

_ ЗЯ 2 -Q 2 1 0

(при Я = 100 км/сек·Мпс). Все свойства решения зависят от двух безразмерныхвеличин Ω и <?, причем о величине Ω достоверно известно, что Ω > 0. Рассматриваемне все возможные решения, но лишь те, которые могут быть кандидатами на описаниедействительности, т. е. нашей существующей ныне Вселенной и ее прошлого и буду-щего. При этом требуем, чтобы в настоящее время происходило именно расширение(а не сжатие) и чтобы плотность излучения была во много раз меньше плотности обыч-ного вещества. При этом вплоть до очень отдаленной эпохи можно пренебрегать давле-нием вещества (и, в частности, нейтрино и квантов) в уравнениях.

Будем рассматривать плоскость переменных q (абсцисса) и Ω (ордината) (рис. 9).Каждой точке этой плоскости соответствует одно космологическое решение, удовлет-воряющее условиям, поставленным выше. Задача заключается в том, чтобы на этойплоскости (полуплоскости, так как Ω >· 0) нанести области и линии, характеризую-щие разные решения.

Каждой точке отвечает определенное значение Λ. Линии с постоянным без-размерным отношением

££ λ£ £ - — = λЗЯ 2 р с

являются*) прямыми в плоскости q, Ω:

λ - γ Ω —ΐ. (VII.3)

Несколько таких линий (λ = —0,5; 0; +0,5; +1) проведены на рис. 9. В частности,линия λ — Λ = 0 проходит через начало координат (модель Милна) и через точку А

ί Ω = 1 , ? = -ό-) ι соответствующую плоской модели Эйнштейна — Де-Ситтера.

*) Приводим вывод, исходя из (III,5):

, ЗР" - 3

С 2 - '

1 Р ~ 2 Р л


Топология Вселенной как целого также зависит от q и Ω:мир открытый и бесконечный при

мир замкнутый и конечный *) при

(VIM)

Разделяющая линия Ω = -̂ - (1 + ί) проходит через точку В (q = —i, Ω — 0, λ = 1)

и через точку A (q = + 0,5, Ω = 1, λ = 0); ей отвечают плоские миры **).

-15

Обратимся к вопросу о будущем Вселенной. Можно показать, что расширениебудет продолжаться неограниченно в области, лежащей левее отрезка прямой ОАи линии А С, заданной параметрическими уравнениями (а > 1)

(а— 1)(2а4-1)" '

'(α-1)* (2α-ΜΓ

(VII.6)

На отрезке О А мы имеем дело с открытым миром; в таком мире при λ < 0 расширениеобязательно сменится сжатием, при λ > 0 расширение продолжается неограниченно,что видно из того, что в уравнении

Р + Р л )* а + -a" (V I I» 7>

при λ >• О, рд > О все члены всегда положительны. Условие остановки расширениядля открытого мира совпадает с условием λ = 0, и вблизи этой границы, но справаот нее (т. е. при р Л < 0, λ < 0, но | λ | « 1) остановка происходит прп очень боль-ших Ь, в пределе — на линии АС при Ъ —•• оо.

Тем более останавливается закрытый мир с λ < 0 (область правое продолжениялинии ОА вверх, отрезок А А'). Но закрытый мир может остановиться и при λ > О,

*) Приводим вывод, исходя из (111,5):

«!_2

Предыдущая формула получится аналогично из (111,10).**) Топологически плоский мир подобен гиперболическому.

1 \ 15 УФН, т. 95, вып. 1


если параметры соответствуют области между А А' и А С. На линии АС происходитасимптотическая остановка, параметр а имеет смысл отношения радиуса мира в момент-остановки к сегодняшнему радиусу, α — - ^ > 1. Чуть выше АС, при а — аа0,

а0

происходит резкое замедление расширения. Во всей областп левее линии О АС будущееВселенной представляет собой неограниченное, никогда не останавливающееся рас-ширение.

. Обратимся к прошлому. В плоскости рис. 9 можно провести линию BD, урав-нение которой дается теми же параметрическими выражениями (VI 1,6), но при α < 1.Правее линии BD космологические решения эволюционировали без остановки, начи-ная с сингулярного состояния ρ = со.

Решения левее и ниже BD, между BD и осью абсцисс (в том числе расширяю-щиеся в настоящее время решения) при t = — со были сжимающимися и перешли отсжатия к расширению не через сингулярность, а при вполне определенных конечныхзначениях радиуса мира и максимальной плотности *) — по типу рис. 2, б.

Наконец, сама линия BD соответствует Вселенной, асимптотически выходящейиз состояния покоя и (согласно условиям, которым подчинены все рассматриваемыерешения) в настоящее время расширяющейся с данными Η, ρ, Λ. Параметр а < 1в этом случае имеет смысл отношения радиуса мира в начальном состоянии покояк радиусу мира в настоящее время.

Существование космического радиоизлучения, соответствующего температуре3° К («горячая Вселенная»), по-видимому, означает, что Вселенная находилась в син-гулярном сверхплотном состоянии — в таком состоянии, когда при большой плот-ности устанавливается термодинамическое равновесие. Значит, следует ожидать,что фактически мир находится в состоянии выше линии BD (и по оси абсцисс пра-вее BD) на рис. 9. Вблизи линии BD (но выше) находятся состояния, в которых в прош-лом имела место задержка расширения при соответствующем а. В частности, предло-женное Кардашевьш3 конкретное решение лежит весьма близко к точке Е:

= 0,34, Ω = 0,105, g = —1,31, (VII ,8)1 + zoc 1-1-1,95

отмеченной на рис. 9.На рисунке можно также указать и другие линии: линии постоянного возраста-

Вселенной, линии, соответствующие однократному, двукратному и т. д. обзору веекзамкнутой Вселенной за время, прошедшее от сингулярности. Этп линии сгущаютсяоколо BD, поскольку сама линия BD соответствует бесконечной задержке расшире-ния. Чтобы не загромождать рисунок, мы не приводим этих линий.

VIII. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ В ТЕОРИИЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПЛОТНОСТИ И ДАВЛЕНИЯ

Возьмем выражение для плотности энергии вакуума скалярных частиц, полу-чающееся с учетом нулевых колебаний:

l i p , ρ /

о о

где μ = ηιΟΰ\ смысл К и I следует из формулы (VIII,1). Соответствующее выраже-ние для давления:

„ 1 1

γ ρ2· -f μ2

(VIII,2>

Для фермионов, заполняющих состояния с отрицательной энергией (или, формально,производя антикоммутацию в выражении теории поля до перехода к нормальномупроизведению), получим

ε ^ -4ΧΙ (μ), P=—AKF (μ) (VII 1,3)

*) Заметим, что все решения вблизи BD (и слева и справа от этой линии) соот-ветствуют замкнутому миру. Открытый мир в прошлом обязательно выходил из син-гулярности.


со своим μ. Коэффициент 4 получается из сопоставления g = 2 для частиц со спи-ном 1/z и множителя V2 в нулевой энергии бозонов; для дальнейшего этот коэф-фициент не играет роли.

Итак, из рассмотрения бозонов и фермионов мы получаем выражения

где коэффициенты Ct могут иметь оба знака. Обобщая дальше, запишем

ε = £ / (μ) / (μ) άμ, Ρ = ^ f (μ) F (μ) άμ, (VIII,5)

где Ι и F — расходящиеся интегралы.Последние выражения можно рассматривать как результат рехуляризации по

Паули и Вилларсу выражений для ε и Р, ве рассматривая так наглядно отдельныеслагаемые как вклад бозонов и фермиопов.

Ниже будут получены условия, которым должна удовлетворять регуляризующаяфункция / (μ) для того, чтобы ε и Ρ были конечны. Поскольку регуляризация прово-дится релятивистски-инвариантным образом, результат также получается реляти-вистски-инвариантный. При этом, как было отмечено в приложении II, должно бытьΡ -~- —ε; и, действительно, будет конкретно показано, что любое /, дающее конечныезначения ε и Р, удовлетворяет этому условию. Для доказательства будем рассматри-вать сперва конечные величины

Ро

Υ¥Τ~ (VII 1,6;

и лишь в конце перейдем к PQ—^CC. Разобьем интеграл:

/(μ. РО)=* I + I . *•>*. (Vin,7)О

с тем, чтобы во втором интеграле разлагать по μ/ρ •< 1/г < 1:

1 π 2 1 и 4

-μ P-t- 2 ρ 8 р-л τ · - ·

τμ

Получим после интегрировация | C ^ i 4 = \ I

ϊ(μ, Po) =

Аналогично получим

± ^ (-̂ -) . (VIH,9>

Подставим эти выражения в регуляризованные интегралы:

I f 5

μ+—Ро \ ί(μ)μ2άμ-Γ

\

/ (μ) μ4 In μ ώμ-[-% + . . . , (VIII, 10),Ρο

о" \ / ( μ ) μ 4 Ι η μ ώ μ ^ f- -f . -.

15*


Рассмотрим теперь пределы этих выражений при ^ 0 —>-оо. Условия ε φ со, Ρ φ соудовлетворяются одновременно, если наложить на / условия

άμ= ^ / (μ) μ* άμ == 0. (VIII,12)

При этом пропадают первые три члена в ε и Р. С другой стороны, при р0 —>• сопропадают и все члены с р^2, и следующие. В результате остаются *)

1 Ρε = + — \ / (μ) μ* In μ άμ,

4 ρ (VIIU3)

Ρ = —g- \ / (μ) μ4 Ь μ άμ = —ε,

что и требовалось доказать.Таким образом, на этом примере дано конструктивное доказательство того, что

теория поля с релятивистски-инвариантной регуляризацией вовсе не требует равнойi нулю энергии вакуума, а, напротив, естественно приводит к ситуации, характеризуе-

мой космологической постоянной.

IX. ЧИСЛЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ Λ

Рассуждения предыдущего раздела приводят к правильному тензорному видувакуумного вклада в энергию и давление. Однако оценка порядка величины получен-ного выражения дает

(V см*, Л = 10-Ю с*-*. (IX,1)

При этом т взято равной массе протона, опущены безразмерные множители, лога-рифмы в выражениях (VIII,13) заменены на 1.

Ясно, что такая оценка не имеет ничего общего с действительностью. В сущ-ности, именно это расхождение между величиной Л (1Х-,1), которую можно получитьиз теории элементарных частиц, и величиной, допустимой из астрономических сообра-жений, | Л | <С 10~54 см~2 и | р Л [ <С 5 Ί 0 " 2 8 г/см3, лежало в основе того, что многиефизики полагали Л = 0, раз нет возможности принять | Л | = 10~10, следующее ужепо размерности из констант, с, Я, т. Эддингтон и Дирак отметили, что теория тяго-тения вместе с теорией частиц дает безразмерную величину, весьма сильно отличаю-щуюся от единицы. Эддингтон вводил отношение гравитационного взаимодействияэлектрона с протоном к электростатическому взаимодействию:

Gm-rJUp Р2 Gm-пТПрР _ 1 : Α_^ ^ - = 5· 10-40. (1Х,2)

С сегодняшней точки зрения постоянные Ъ, и с более фундаментальны, чем заряд элек-трона. Кроме того, для единообразия везде, где входит масса частицы, будем братьмассу протона. Поэтому в качестве величины, характеризующей малость гравитацион-ного взаимодействия, выбираем

Gml-г-^-1,8-10-38. (1Х,3)

Ьс

В заметке 1 8 выдвигается предположение, что

Эта величина все еще в 107 раз больше допустимой (р Л = 2·10"38-1017 = 2· 10~21

вместо 5·10~28). Можно было бы получить численное согласие, заменяя т^ на rnJ^rn^или выбирая другие степени и заменяя Jic на е2; по существу, это сделано у Диракаи Эддингтона **). Однако уже расхождение «всего» в 107 раз по сравнению с расхо-ждением оценок в 1046 раз представляет достижение.

*) И. М. Халатников отмечает, что, интегрируя по частям /(μ, Ρο), полу-чим— F (μ, р0); однако при этом функция на верхнем пределе бесконечна, поэтомуболее длинный путь, приведенный выше, кажется и более убедительным.

**) В работе 1 8 высказано предположение, что входит еще малый множитель—10~5, характерный для слабого взаимодействия.


Выражение (IX,4) можно наглядно интерпретировать так: в вакууме рождаютсявиртуальные частицы с массой т, сроднее расстояние между ними λ = it /тс; собствен-ная энергия их тождественно равна пулю, но гравитационное взаимодействие соседнихчастиц обусловливает плотность энергии вакуума

_ Cm* I _ G m Mе в а к - λ λ 3 - h i > ( 1 λ ' ΰ )

соответствующую (IΧ,4).Недавно А. Д. Сахаров предложил теорию тяготения, или, точнее, обоснование

уравнений ОТО, основанное на рассмотрении вакуумных флуктуации 2 3 .В этой теории существенно предположение, что существует некая элементарная

длина L или соответствующий предельный импульс р0 = it/ί,. На меньших длинахили при больших импульсах теория неприменима. Сахаров получает выражение гра-витационной постоянной G через L или р0:

^-^-. (ΐχ,β)pi

Это выражение известно со времен Планка, но его читали «справа налево»: гравитацияопределяет длину L и импульс р0. По Сахарову, первичны L и р0. Подставим (IX,6)в выражение (IX,4), получим

mGc$ mGc7

Именно такое выражение имели первые отброшенные (при р0 ->· оо) члены в форму-лах (VIII, 10), (VIII,11). Таким образом, можно предложить следующую интерпрета-цию космологической постоянной: существует теория элементарных частиц, котораядавала бы (по не вскрытому в настоящее время механизму) тождественно нулевуюэнергию вакуума, если бы эта теория была применима неограниченно, до сколь угоднобольших импульсов; существует импульс р0, за пределами которого теория непри-менима *); наряду с другими следствиями, видоизменение теории дает отличнуюот нуля энергию вакуума; общие соображения делают вероятным, что эффект про-порционален ρΰ2.

Выяснение вопроса о существовании и величине космологической постояннойбудет иметь огромное принципиальное значение также и для теории элементарныхчастиц.

Институт прикладной математикиЛН СССР

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. V. P e t r o s i a n , E. S a l p e t e r , P. S z e k e r e s , Astrophys. J. 147, 1222(1967).

2. И. С. Ш к л о в с к и и, Астрон. циркуляр, № 429 (1967); Astrophys. J. 150 (1),Ы (1967).

3. Н. С. К а р д а ш е в, Астроп. циркуляр, Λΐ 430 (1967); Astrophys. J. 150.h 135 (1967).

4. G. R. B u r b i d g e . E . M . 13 u г b i d g e, Astrophys. .T. 148 (2), Ы07 (1967).5. F. И о у 1 c, G. R. B u r b i d g e , W. L. W. S a r g e n t , Nature 209 (No. 5025),

751 (1966).β. Μ. J. R e с s. Month. Not. Roy. Aslron. Soc. 135 (4), 345 (1967).7. А. С э Η д е и д ж, в сб. «Наблюдательные основы космологии», М., «Мир», 1965,

стр. 126; Aslrophys. J. 133, 355 (1961).8. Л. Д. Л а и д а у, Е. М. Л и φ ш и ц, Теория поля. М., «Наука», 1967.9. Я. Б. З е л ь д о в и ч , Advances Astron. and Astrophys. 3, 24 (1965); см. также:

Я. Б. З е л ь д о в и ч , И. Д. II о в и к о в, Релятивистская астрофизика, Μ.,«Наука», 1968.

10. A. Jr. 3 е л ь м а и о в, Труды 6-го совещания по вопросам космогонии, М м

1959; Физ. энц. словарь, т. 2, ст. «Космогония», М., «Советская энциклопедия»,1962.

*) Понятно, что р0 входит так, чтобы не нарушать релятивистской инвариант-ности теории, в отличие от р0 в формулах приложения VIII.1 / 2 15УФН, т. 95, вып. 1


11. A. E i n s t e i n , Sitzungsber. Preuss. Akad., 142 (1917) (см. перевод: Собр. науч-ных трудов, т. 1, М., «Наука», 1966, стр. 601 (ст. 4-4)).

12. А. А. Ф р и д м а н , Избр. труды, М., «Наука», 1966, стр. 229 и 238, илиУФН 80 (3), 439, 447 (1963); 93 (2), 280 (1967).

13. A. E i n s t e i n , Sitzungsber. Preuss. Akad., 235 (1931) (см. перевод: Собр. науч-ных трудов, т. 3, М., «Наука», 1967, стр. 349 (ст. 104)).

14. В. Б. Б е р е с т с ц к и й , Е.М. Л и φ ш и ц, Л. П. Π и τ а е в с к и й, Кванто-вая механика, ч. 2. Релятивистская теория, М., «Наука», 1968.

15. А. Э д д и π г τ о н, Теория относительности, М.—Л., ГТТИ, 1934.16. Р. А. М. D i г а с, Nature 139, 323 (1937); Proc. Roy. Soc. A165, 198 (1938).17. G. G a m о w, Phys. Rev. Lett. 19, 759 (1967).18. Я. Б. З е л ь д о в и ч , Письма ЖЭТФ 6, 1050 (1967).19. К. П. С т а н ю к о в и ч , Гравитационное поле и элементарные частицы, М.,

«Наука», 1965; см. также УФН 88, 199; 89, 731, 734 (1966).20. Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, Я. А. С м о ρ о д и н с к и и, ЖЭТФ 41, 907 (1961).21. V. P e t r o s i a n , Е. S а 1 ρ е t с г, Preprint, 1967.22. Б. Г. К у ρ τ, Р. А. С ю н я е в, Косм, исслед. 5, 573 (1967).23. А. Д. С а х а р о в , ДАН СССР 170, 70 (1967).24. F. Т. D а у s о n, Phys. Rev. Lett. 19, 129 (1967).25. Α. Ρ e r e s, Phys. Rev. Lett. 19, 1293 (1967).26. Τ. Ν. Β a h с a 11, M. S c h m i d t , Phys. Rev. Lett. 19, 1294 (1967).27. Г. В е н т ц е л ь , Введение в квантовую теорию волновых полей, М., Гостех-

издат, 1947.28. Р. С τ р и т е р , А. В а й т м а п , РСТ, спин, статистика и все такое, М.,

«Наука», 1966.29. Science News, 23. XII 1967.

ПРИМЕЧАНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ

к статье Я. Б. Зельдовича«Космологическая постоянная

и теория элементарных частиц»

В приложении III автор близко следует книге: Н. Воп-di, Cosmology, Cambrige University Press, 1961, а в при-ложениях IV и VII—работе: R. S t a b e l l , S. R e f s d a l ,Mont. Not. Aatr. Soc. 132, 379 (1966).

Зак. 123

УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК - elibrary.ltelibrary.lt/resursai/uzsienio...

Documents