matemática i profª ms. karine r. de souza aula 4
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Matemática I
Profª Ms. Karine R. de Souza
AULA 4
RADICIAÇÃORADICIAÇÃOÉ a operação inversa da potenciação.
Ex.
Na raiz , temos:
42pois24 2
n a
008,0)2,0(2,010
2
10
2
1000
8008,0
32)2(2)2(32
333
3
33
55 55
4
RadiciaçãoRadiciaçãoRaiz quadrada de um número positivo “a” é o número positivo que elevado ao quadrado dê “a”.
Exemplos:Exemplos:
9 3 36 36 49 7 81 9
1 1 0 0 1,21 1,1 6,25 2,5
1 1
4 2
9 3
25 4 0,04 0,2
5
RadiciaçãoRadiciação
Exemplos:Exemplos:
3 8 2 3 64 4 3 1 13 27 3
Raiz cúbica de um número “a” é o número que elevado ao cubo dê “a”, assim:
33 125 5, pois 5 125
3
3
125 é o radicando
3 é o índice125 5
5 é a raiz
125 é o radical
Obs.:É importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
Essa propriedade mostra que todo radical pode ser
escrito na forma de uma potência.
np
n p aa 3
13 22
233 44
525 2 66
5 353
22
Vamos fatorar 144 :
Vamos fatorar 243
123432
32.212
222
14432.2
33
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
222
144
3 243
3 23 3 33 3 2332433.3
33
3
3
3
1
3
9
27
81
243
23
3 93
Propriedades da RadiciaçãoPropriedades da Radiciação
aa e)
aa d)
aa c)
0)(b b
a
b
ab)
abb a a)
pn pmn m
nmn m
n mmn
nn
n
nnn
a)
b)
c)
aaaa 1nnn n 222 13 3
nnn baba 23 63 baba
n
nn
ba
ba
bb
aou
b
a
b
a2
3
5
6
5
6
Radicais SemelhantesRadicais SemelhantesDois ou mais radicais são Dois ou mais radicais são semelhantes, quando possuem semelhantes, quando possuem o mesmo índice e mesmo o mesmo índice e mesmo radicandoradicando
32 37
3 54 3 56
e
e
Operações com Radicais
Adição e SubtraçãoQuando temos radicais semelhantes em uma adição
algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.
55
externosfatores
555 333232323332
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224
3 3 3 3
7 2 4 2 7 4 2 11 2
7 2 4 2 7 4 2 3 2
8 5 3 5 6 5 8 3 6 5
Só podemos somar ou subtrair radicais
semelhantes
Simplificando RadicaisSimplificando Radicais
23632233223
32233232883 b)
2222 8 a)
224
2425
236 336 36
Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.
Exemplos:
Operando com radicaisOperando com radicais
A soma ou diferença de radicais semelhantes é um radical semelhante a eles, cujo coeficiente é a soma ou a diferença de seus coeficientes.
Exemplo:
22
32
2
1532
2
12523
Racionalizando DenominadoresRacionalizando DenominadoresO processo geral consiste em multiplicar-se numerador e denominador por um mesmo fator (o que não altera a fração), chamado fator racionalizante. Ele é escolhido de forma a desaparecer a raiz do denominador.Exemplos:
2
153
15
156
15
15
15
6
15
6
232
26
2
26
2
2
2
6
2
62
)
)
b
a
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃOTemos 3 casos básicos para a multiplicação e
divisão de radicais.1º CASO: Radicais têm raízes exatas.Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar ou dividir
os resultados:
8 2 4 8 16 3
33:927:81 3
2º CASO: Radicais têm o mesmo índice.Devemos conservar o índice e multiplicar ou
dividir os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido.
155353
10 65 2 65 2 3 25 3 2 2
A ordem dos fatores não altera
o produto (multiplicação)
333
333 2
10
20
10
2010:20 Como os índices das raízes são
iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!
3º CASO: Radicais têm índices diferentes.O caminho mais fácil é reduzir os radicais ao
mesmo índice e efetuar as operações.
m.m.c.(2,4) = 4
m.m.c.(2,6) = 6
44 24 14 24 18232323
6
6 2
6 3
3
3 22
2
2
22:2
20
227 7 7 72 5 5 2 107
343 34 4
3 3 ; 3 3 3
5 2 5 2 125 8
Potenciação:Potenciação:
Radiciação:Radiciação:
3 4 124
3 5 30 16
3 3; 2 2
7 7; 5 5
a am
n nr r m
a an m n m
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:
Temos no denominador apenas raiz quadrada:
3
34
3
34
3
3
3
4
3
42