「五次方程式が代数的に解けないわけ」第３回プログラマのための数学勉強会...
TRANSCRIPT
五次方程式が代数的に 解けないわけ
日曜数学者 辻 順平
@tsujimotter
http://tsujimotter.info
ax
5 + bx
4 + cx
3 + dx
2 + ex+ f = 0
近況報告日曜数学者 tsujimotter の
食べられるゼータ関数触れるゼータ関数
詳しくは http://tsujimotter.info にて 2
ガロア理論 今日のテーマは
3
エヴァリスト・ガロア 1811/10/25 – 1832/05/31
4
ガロアと言えば・・・
１９世紀フランスが生んだ希代の数学者
論文が認められない ＝＞ フランス国王が悪い
反政府活動に傾倒し、２０歳で決闘で死んだ
決闘前夜に徹夜で数学論文を書きまとめ
「時間がない」
5
それなんて ラノベ？
6
私の
論文通ら
こくおう7
今日 考えたいのは
8
五次方程式 9
ax
5 + bx
4 + cx
3 + dx
2 + ex+ f = 0
が 10
なぜ 解けない？
Why can't there be a quintic formula? 11
五次方程式 との出会い
12
五次方程式は 解けない 一般の 代数的に
13
お品書き
解ける方程式 (1)：二次方程式（しっとり）
解ける方程式 (2)：三次方程式（さくさく）
方程式が解ける条件・解けない条件（くらいまっくす）
五次方程式が解けないわけ（ごーる）
14
二次方程式 解ける方程式 (1)：
15
二次方程式
ax
2 + bx+ c = 0
の解 を求めよ ↵,�16
↵ =�b+
pb2 � 4ac
2a
� =�b�
pb2 � 4ac
2a
頑張って変形すると・・・
17
別解 18
↵ =↵+ �
2+
↵� �
2
� =↵+ �
2� ↵� �
2
α,βを交換しても値が変わらない数 α,βを交換すると値が
変わってしまう数
STEP1: 解についての「恒等式」をつくる
19
↵+ � = � b
a
↵� =c
a
STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す
20
(x� ↵)(x� �) = 0 より，
x
2 � (↵+ �)x+ ↵� = 0
一方で， x
2 +b
a
x+c
a
= 0 が成り立つ
↵+ � = � b
a↵� =
c
a 21
STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す
解 α, β を交換しても
不変な数 基本対称式 α+β, αβ の
四則演算
∵ 対称式の基本定理
(↵+ �)2 � 2↵�↵2 + �2
方程式の係数 a, b, c の
四則演算
∵ 解と係数の関係
✓�b
a
◆2
� c
a
22
「解を交換しても不変な数」は係数 の四則演算で書ける 結論 a, b, c
「解を交換しても不変な数」
23
↵ �
↵ �
↵ �
↵ �
e
e(↵) = ↵e(�) = �
⌧
⌧(↵) = �
⌧(�) = ↵
解 の交換として，考えられるパターンを列挙する ↵,�
S2 = {e, ⌧}ひとまとめにすると・・・ 二次の置換群 24
↵ �e⌧
⌧(�) = ↵
⌧(↵) = �
e(↵) = ↵ e(�) = �
25
二次の置換群に対して不変
⇔ 方程式の係数 で表せる a, b, c
↵+ �
⌧(↵+ �) = � + ↵
e(↵+ �) = ↵+ �
26
e⌧
↵� � �(↵� �)
27
e⌧
二次の置換群に対して不変
⇔ 方程式の係数 で表せる
(↵� �)2
a, b, c
２乗すると・・・
28
e⌧
=
✓� b
a
◆2
+ 4⇣ c
a
⌘
(↵� �)2 = (↵+ �)2 � 4↵�
=b2 � 4ac
a229
STEP2: 「解と係数の関係」をつかって係数で表す
とすれば ↵ > �
STEP3: 「平方根」をとる
↵� � = �pb2 � 4ac
a↵� � = �
pb2 � 4ac
a
30
↵ =↵+ �
2+
↵� �
2
= � b
2a+
pb2 � 4ac
2a
二次方程式が解けた！
先ほどの恒等式に代入すると・・・
31
解のすべての置換に対して不変な数は
すべて係数の四則演算で書ける
ポイント！ ↵ �
(↵� �)2
32
⌧
e
{e} に対して 不変な数
↵
解き方のアウトライン
�
すべての置換に対して 不変な数
２乗／平方根
(↵� �)2
ab c
�(↵� �)↵� �
恒等式 恒等式
解と係数の関係
33
↵� �２乗／平方根
(↵� �)2
ポイント！
（二次の）ラグランジュ・リゾルベント
34
三次方程式 解ける方程式 (2)：
35
↵,�, �
ax
3 + bx
2 + cx+ d = 0
三次方程式
の解 を求めよ 36
{e} に対して 不変な数
すべての置換に対して 不変な数
↵
解き方のアウトライン？
�
３乗／３乗根
a b c
恒等式
解と係数の関係
�
d
(a� b)3
37
三次の置換群
↵ � �
↵ � �
e
e(↵) = ↵e(�) = �e(�) = �
↵ � �
↵ � �
⌧
↵ � �
↵ � �
�
�(↵) = �
�(�) = �
�(�) = ↵
⌧(↵) = ↵⌧(�) = �⌧(�) = �
解 の交換として，考えられるパターンを列挙する ↵,�, �
38
↵ � �
↵ � �
�
↵ � �
⌧
↵ � �
↵ � �
⌧�
⌧(�(↵)) = ⌧�(↵)39
↵ � �
↵ � �
�
↵ � �
↵ � �
↵ � ��
�2
�(�(↵)) = �2(↵)40
↵ � �
↵ � �
�
↵ � �
⌧
↵ � �
�
↵ � �
↵ � �
⌧(�(�(↵))) = ⌧�2
⌧(�(�(↵))) = ⌧�2
41
↵ � �
↵ � �
e
↵ � �
↵ � �
⌧
↵ � �
↵ � �
�
↵ � �
↵ � �
�2
↵ � �
↵ � �
↵ � �
↵ � �
⌧� ⌧�2
三次の置換群: {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
42
� =↵+ �
2+
�(↵� �)
2
↵ =↵+ �
2+
↵� �
2
参考：二次方程式の場合
43
↵ =↵+ � + �
3+
↵+ !� + !2�
3+
↵+ !2� + !�
3
� =↵+ � + �
3+
!2↵+ � + !�
3+
!↵+ � + !2�
3
� =↵+ � + �
3+
!↵+ !2� + �
3+
!2↵+ !� + �
3
R（三次の）ラグランジュ・リゾルベント
L
ただし ω は， ω3 = 1 を満たす 1 の原始三乗根
三次方程式の場合
44
⇥!2
⇥!
⇥!
⇥!2
� =↵+ � + �
3+
!L
3+
!2R
3
� =↵+ � + �
3+
!2L
3+
!R
3
↵ =↵+ � + �
3+
L
3+
R
3
45
e(L) = ↵+ !� + !2� = L
�(L) = � + !� + !2↵ = !2L
�2(L) = � + !↵+ !2� = !L
不変
不変ではない
不変ではない
不変ではない
不変ではない
不変ではない⌧(L) = ↵+ !� + !2� = R
⌧�(L) = � + !� + !2↵ = !2R
⌧�2(L) = � + !↵+ !2� = !R
L に三次の置換群を作用させると・・・
46
不変
不変
不変
不変ではない
不変ではない
不変ではない
e(L3) = (↵+ !� + !2�)3 = L3
�(L3) = (� + !� + !2↵)3 = L3
�2(L3) = (� + !↵+ !2�)3 = L3
⌧�2(L3) = (� + !↵+ !2�)3 = R3
⌧�(L3) = (� + !� + !2↵)3 = R3
⌧(L3) = (↵+ !� + !2�)3 = R3
L3 に三次の置換群を作用させると・・・
47
�2
⌧
�e
L
!L
!2L !2R
!R
R
⌧� ⌧�2
48
�2�e
L3 R3
⌧ ⌧� ⌧�2この形，どこかで見覚えがありませんか？
３乗すると・・・
49
L3 =L3 +R3
2+
L3 �R3
2
R3 =L3 +R3
2+
�(L3 �R3)
2
２次のラグランジュ・リゾルベントをつくる
50
L3 �R3 �(L3 �R3)
51
�2�e
⌧ ⌧� ⌧�2
(L3 �R3)2
三次の置換群に対し不変
⇔ 方程式の係数 で表せる a, b, c, d
２乗すると・・・
52
�2�e
⌧ ⌧� ⌧�2
L
!L
!2L !2R
!R
R
�2�e
↵ ��
解き方のアウトライン
⌧ ⌧� ⌧�2
{e} に対して 不変な数
恒等式 恒等式
53
L
!L
!2L !2R
!R
R
↵ ��
解き方のアウトライン
�2�e
⌧ ⌧� ⌧�2
L3 R3
３乗 ３乗
�(L3 �R3)L3 �R3
恒等式 恒等式
{e} に対して 不変な数
{e, σ, σ2} に対して 不変な数
54
L
!L
!2L !2R
!R
R
↵ ��
解き方のアウトライン
�(L3 �R3)L3 �R3
{e} に対して 不変な数
{e, σ, σ2} に対して 不変な数
(L3 �R3)2
a b c
２乗 ２乗
d解と係数の関係
�2�e⌧ ⌧� ⌧�2
すべての置換に対して 不変な数
L3 R3
55
H = {e,�,�2}
{e}
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}(L3 �R3)2a bc d
L3 R3 L3 �R3
L ↵ � �R
２乗／平方根
３乗／３乗根
６/３＝２
３/１＝３
不変な数
不変な数
不変な数
「置換によって不変な数」 「置換群」
方程式の係数
方程式の解
～ ラグランジュ 「ラグランジュ・リゾルベント」という都合の良い数を
見つけることが出来れば，方程式は解ける
ラグランジュ・リゾルベントをどうやって探すか
見つからなかったからといって
方程式が解けないとは言い切れない
57
ガロアの着想
「置換群」の持つ「構造」から，
方程式が解けるための条件を
導けないか？
有限個
58
方程式が解ける条件・
解けない条件 59
以下の公理を満たす集合を「群」と呼ぶ
１．群の定義
2. 任意の元（要素）に対して，結合法則が成り立つ
1. 演算に対して閉じている
3. 単位元が存在する
4. 任意の元に対して，その元に対する逆元が存在する
「置換群」の場合
自動的に成り立つ
結城 浩 著「数学ガール／ガロア理論」より引用（一部改変） 60
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
× 1. 演算に対して閉じている 3. 単位元が存在する
4. 任意の元に対してその元に対する 逆元が存在する
×
G が「群」であることの確認
61
H = {e,�,�2}
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
1. 演算に対して閉じている 3. 単位元が 存在する
4. 任意の元に対してその元に対する
逆元が存在する ×
× 部分集合
２．部分群 ・・・G の部分集合で，それ自体群であるもの
62
H = {e,�,�2}
G/H =�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}
６個
３個
６個/３個 ＝ ２個
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
３．部分群による割り算 G/H
63
H = {e,�,�2}
G/H =�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
４．正規部分群 H
この集合が群であるとき
H を「G の正規部分群」という
64
が群であることの確認（一部）G/H = {eH, ⌧H}
eH · ⌧H = · ⌧�
e
�2
e e
· ⌧e e· ⌧e e
· ⌧�
e
�2
e
· ⌧e· ⌧e
· ⌧�
e
�2
e
· ⌧e· ⌧e
����2
�2
�2
= e
ee
e
ee
e
ee
e
ee
����2
�2
�2
( )⌧ e( )⌧( )⌧ �
�2
( )⌧ e( )⌧( )⌧
�2
( )⌧ e( )⌧( )⌧
�2
⌧ · e========
=========
⌧ ·��2
⌧ ·⌧ ·⌧ ·
�
�2⌧ ·⌧ ·
e⌧ ·
�2
⌧ ·
e
�2
⌧H=
�
�
と変形できることが正規部分群の条件τ H H τ 65
が群であることの確認（一部）G/H = {eH, ⌧H}
eH · ⌧H = · ⌧�
e
�2
e e
· ⌧e e· ⌧e e
· ⌧�
e
�2
e
· ⌧e· ⌧e
· ⌧�
e
�2
e
· ⌧e· ⌧e
����2
�2
�2
= e
ee
e
ee
e
ee
e
ee
����2
�2
�2
( )⌧ e( )⌧( )⌧ �
�2
( )⌧ e( )⌧( )⌧
�2
( )⌧ e( )⌧( )⌧
�2
⌧ · e========
=========
⌧ ·��2
⌧ ·⌧ ·⌧ ·
�
�2⌧ ·⌧ ·
e⌧ ·
�2
⌧ ·
e
�2
⌧H=
�
�
と変形できることが正規部分群の条件τ H H τ 時間が
ない 66
H = {e,�,�2}
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
G/H =�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}G/H =
�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}
E = {e}
H/E = {e,�,�2}
正規部分群の列
（正規列）
正規部分群で
割ってできた群
67
・・・単一の元により生成される群
{e, ⌧} = {⌧, ⌧2} = h⌧i {e,�,�2} = {�,�2,�3} = h�i
⌧(↵)↵�(↵)
�2(↵)
↵⌧
⌧
�
��
５．巡回群
68
H = {e,�,�2}
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
○乗／○乗根
○乗／○乗根
E = {e}
G/H =�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}
H/E = {e,�,�2}
方程式が解ける条件
解で表せる数
係数で表せる数
＝ 巡回群
＝ 巡回群
正規部分群で割ってできた群がすべて巡回群
69
H = {e,�,�2}
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
○乗／○乗根
○乗／○乗根
E = {e}
G/H =�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}
H/E = {e,�,�2}
方程式が解けない条件
解で表せる数
係数で表せる数
＝ 巡回群
＝ 巡回群
正規部分群で割ってできた群の中に 巡回群でない群が存在する
70
五次方程式が 解けないわけ
71
６０個の置換群
１２０個の置換群
２乗／２乗根
○乗／○乗根
E = {e}
G/H =�e{e,�,�2}, ⌧{e,�,�2}
= {eH, ⌧H}
H/E = {e,�,�2}
五次方程式の場合
解で表せる数
係数で表せる数
＝ 巡回群
＝ 巡回群
正規部分群で割ってできた群の中に 巡回群でない群が存在する
72
五次の置換群
α β γ δ ε
α β γ δ ε
[αβγδε]
α β γ δ ε
α β γ δ ε
[βγδεα]
73
・・・
１２０通り
G = { [αβγδε], [αβδεγ], [αβεγδ], [αγβεδ], [αγδβε], [αγεδβ], [αδβγε], [αδγεβ], [αδεβγ], [αεβδγ], [αεγβδ], [αεδγβ], [βαγεδ], [βαδγε], [βαεδγ], [βγαδε], [βγδεα], [βγεαδ], [βδαεγ], [βδγαε], [βδεγα], [βεαγδ], [βεγδα], [βεδαγ], [γαβδε], [γαδεβ], [γαεβδ], [γβαεδ], [γβδαε], [γβεδα], [γδαβε], [γδβεα], [γδεαβ], [γεαδβ], [γεβαδ], [γεδβα], [δαβεγ], [δαγβε], [δαεγβ], [δβαγε], [δβγεα], [δβεαγ], [δγαεβ], [δγβαε], [δγεβα], [δεαβγ], [δεβγα], [δεγαβ], [εαβγδ], [εαγδβ], [εαδβγ], [εβαδγ], [εβγαδ], [εβδγα], [εγαβδ], [εγβδα], [εγδαβ], [εδαγβ], [εδβαγ], [εδγβα], [γβδεα], [γβεαδ], [γβαδε], [γδβαε], [γδεβα], [γδαεβ], [γεβδα], [γεδαβ], [γεαβδ], [γαβεδ], [γαδβε], [γαεδβ], [βγδαε], [βγεδα], [βγαεδ], [βδγεα], [βδεαγ], [βδαγε], [βεγαδ], [βεδγα], [βεαδγ], [βαγδε], [βαδεγ], [βαεγδ], [δγβεα], [δγεαβ], [δγαβε], [δβγαε], [δβεγα], [δβαεγ], [δεγβα], [δεβαγ], [δεαγβ], [δαγεβ], [δαβγε], [δαεβγ], [εγβαδ], [εγδβα], [εγαδβ], [εβγδα], [εβδαγ], [εβαγδ], [εδγαβ], [εδβγα], [εδαβγ], [εαγβδ], [εαβδγ], [εαδγβ], [αγβδε], [αγδεβ], [αγεβδ], [αβγεδ], [αβδγε], [αβεδγ], [αδγβε], [αδβεγ], [αδεγβ], [αεγδβ], [αεβγδ], [αεδβγ] }
H = { [αβγδε], [αβδεγ], [αβεγδ], [αγβεδ], [αγδβε], [αγεδβ], [αδβγε], [αδγεβ], [αδεβγ], [αεβδγ], [αεγβδ],
[αεδγβ], [βαγεδ], [βαδγε], [βαεδγ], [βγαδε], [βγδεα], [βγεαδ], [βδαεγ], [βδγαε], [βδεγα], [βεαγδ], [βεγδα], [βεδαγ], [γαβδε], [γαδεβ], [γαεβδ], [γβαεδ], [γβδαε], [γβεδα], [γδαβε], [γδβεα], [γδεαβ], [γεαδβ], [γεβαδ], [γεδβα], [δαβεγ], [δαγβε], [δαεγβ], [δβαγε], [δβγεα], [δβεαγ], [δγαεβ], [δγβαε], [δγεβα], [δεαβγ], [δεβγα], [δεγαβ], [εαβγδ], [εαγδβ], [εαδβγ], [εβαδγ], [εβγαδ], [εβδγα], [εγαβδ], [εγβδα], [εγδαβ], [εδαγβ], [εδβαγ], [εδγβα] }
E = { [αβγδε] }
五次方程式の群の正規列
74
まとめ Q. 五次方程式が代数的に解けないのはなぜ？
A. 五次の置換群の正規列に「これ以上分解できない巡回群ではない群」が
含まれるから
「方程式の解の置換群」 「不変な数の集合」
「方程式が解けるかどうか」を「群」に対応づけることで，
「無限の可能性」を「有限集合の数え上げ」に落とし込むことができた
キーアイデア
ガロア対応
75
おまけ H = { [αβγδε], [αβδεγ], [αβεγδ], [αγβεδ],
[αγδβε], [αγεδβ], [αδβγε], [αδγεβ], [αδεβγ], [αεβδγ], [αεγβδ], [αεδγβ], [βαγεδ], [βαδγε], [βαεδγ], [βγαδε], [βγδεα], [βγεαδ], [βδαεγ], [βδγαε], [βδεγα], [βεαγδ], [βεγδα], [βεδαγ], [γαβδε], [γαδεβ], [γαεβδ], [γβαεδ], [γβδαε], [γβεδα], [γδαβε], [γδβεα], [γδεαβ], [γεαδβ], [γεβαδ], [γεδβα], [δαβεγ], [δαγβε], [δαεγβ], [δβαγε], [δβγεα], [δβεαγ], [δγαεβ], [δγβαε], [δγεβα], [δεαβγ], [δεβγα], [δεγαβ], [εαβγδ], [εαγδβ], [εαδβγ], [εβαδγ], [εβγαδ], [εβδγα], [εγαβδ], [εγβδα], [εγδαβ], [εδαγβ], [εδβαγ], [εδγβα] }
'同型
76
Thank You!!
77
日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter
ウェブサイト：http://tsujimotter.info
ブログ：http://tsujimotter.hatenablog.com
参考文献 • 結城 浩 著「数学ガール／ガロア理論」SoftBank Creative
(1,900 円).
• 小島 寛之 著「天才ガロアの発想力 対称性と群が明かす方程式の秘密」技術評論社 (1,580 円).
• デイヴィッド・コックス 著，梶原 健 訳「ガロワ理論（上・下）」日本評論社 (上 3,500 円／下 4,200 円).
• 石井 俊全 著「ガロア理論の頂を踏む」ペレ出版 (3,000 円).
78
以降，補足スライド
79
一般に置換の合成は「非可換」である
↵ � �
↵ � �
�
↵ � �
⌧
↵ � �
↵ � �
�
↵ � �
⌧
80
三次方程式の解き方（概略）
方程式の係数
L3 �R3 =pD
(L3 �R3)2 = D
L3 +R3 = A
L3 =A
2+
pD
2R3 =
A
2�
pD
2
R =3
sA
2�
pD
2L =
3
sA
2+
pD
2
↵ =↵+ � + �
3+
L
3+
R
3�, �（ についても同様）
a, b, c, d
３乗／立方根
２乗／平方根
「三次の置換群 G 」のすべての部分群
H = {e,�,�2} {e, ⌧�}{e, ⌧} {e, ⌧�2}
{e}
G の正規部分群
G = {e,�,�2, ⌧, ⌧�, ⌧�2}
G の正規部分群ではない
82
四次方程式の場合
１２個の置換群
４個の置換群
２４個の置換群
２乗／２乗根
３乗／３乗根
係数で表せる数
２次巡回群
２個の置換群
解で表せる数
２乗／２乗根
２乗／２乗根
E = {e}83
３次巡回群
２次巡回群
２次巡回群
巡回群とラグランジュ・リゾルベント
G/H が巡回群であれば， ラグランジュ・リゾルベントが作れることを示す
84
• L2 = α – τH(α)
• L3 = α + ωσH(α) + ω2σ2H(α)
二次の場合
三次の場合
G/H が 2次の巡回群 {eH, τH}
85
H に対して 不変な数
G に対して 不変な数
eH τH
α τH(α)
α – τH(α) – (α – τH(α))
(α – τH(α))2
２乗／平方根
巡回群 G/H = {eH, τH} を ２次のラグランジュ・リゾルベント L2 に作用させると・・・
不変
２乗
86
L2 = α – τH(α)
τH(L2) = τH(α) – α = – (α – τH(α)) = – L2
τH
τH(L22) = τH(α)2 = ( – L2)2 = L22 不変ではない
G/H が 3 次の巡回群 {eH, σH, σ2H}
87
H に対して 不変な数
G に対して 不変な数
eH σH
α σH(α)
L3 ωL3
L33 ３乗／立方根
σ2H(α)
σ2H ω2L3
巡回群 G/H = {eH, σH, σ2H} を ３次のラグランジュ・リゾルベント L3 に作用させると・・・
不変
３乗
88
L3 = α + ωσH(α) + ω2σ2H(α)
σH(L3) = σH(α) + ωσ2H(α) + ω2α = ω2 L3
σH
σH(L33) = σH(α)3 = ( ω2 L3 )3 = L33
不変ではない
正十二面体の中には 正六面体がある
89
正六面体の置換（１２通り） 180°
180° 180°
180°回転 × ３
120°, 240°
120°, 240°
120°, 240°
120°,240°
120° 回転 × ４ 240° 回転 x ４
動かさない × １ 90
“代数的でない” 五次方程式の解き方
91
• モジュラー方程式の解を用いる方法（エルミート）
• 超幾何級数を用いる方法（クライン）