ةلضا فت تلاداعم...ةيناثلا ةنسلا][ math_whatsapp : 099192114 facebook_page :...

[WWW.SYRIAMATH.NET] السنة الثانية

Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group طلاب كلية العلوم قسم الرياضيات

1

خليل يحيىدكتور المادة: ◄

معادلة برنولي :عنوان المحاضرة ◄ السابعة:المحاضرة ◄

أهلاً بكم أصدقائي سندرس في هذه المحاضرة : :المحتوى العلمي

معادلة برنولي-1

أمثلة عن معادلات برنولي-2

المعادلات التفاضلية التامة-3

معادلات برنولي

نقول عن المعادلة التفاضلية من المرتبة الأولى أنها معادلة برنولي إذا كانت من الشكل:

( ) ( ) ( )

: حيث أن

ℝمن [ ] دالتان معرفتان ومستمرتان على مجال ( ) و ( ) و

فنجد أن: ولإيجاد الحل العام نقسم الطرفين على

( )

( ) ( )

:نفرض أن

( ) :نشتق الطرفين

: (2ن ما سبق في المعادلة التفاضلية )نعوض الآ

( ) ( )

و هي معادلة خطية غير متجانسة يتم ايجاد الحل العام لها وفق خطوات الحل في المحاضرة السابقة.

7112-11-77

معادلات تف اضلة

نظري



7

مثال:

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية:

الحل:

: نقسم الطرفين على

( )

برنولي إذاً نفرض: وهي معادلة من الشكل

نشتق الطرفين:

:( )ـب ( )نضرب المعادلة

والآن نعوض: ( )

من المرتبة الأولى نحلّها كما يأتيوهكذا حصلنا على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة طرف ثاني: نوجد الحل العام لها بدون

نكامل لنجد أن:

| | | |

: ثم نشتق بالنسبة ل تابعا ل cن نجعل و هو الحل بدون طرف ثاني و الآ

( ) ( )

( )



3

:(2المعادلة )نعوض في ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) نكامل الطرفين:

(2في ) cنعوض

(

)

والآن نعوض

لنحصل على الحل العام المطلوب.

الحل:

: نقسم الطرفين على

( )

وهي معادلة من الشكل برنولي إذاً نفرض:

نشتق الطرفين:

:( )ـب ( )نضرب المعادلة

:في المعادلة والآن نعوض

من المرتبة الأولى. وهكذا حصلنا على معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة



4

لإيجاد الحل العام لها: :ٍنوجد حل العام للمعادلة التفاضلية الخطية دون طرف ثان

| | | | | | | | |

|

.وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة )دون طرف ثانٍ(

:)ٍنوجد حل خاص للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة )مع طرف ثان فنكتب الحل العام السابق بالشكل: ـتابع ل ومن أجل ذلك نجعل الثابت

( ) ( )

: ـبالنسبة ل ثمَّ نشتق ( )

( )

والآن نعوض في المعادلة التفاضلية مع طرف ثانٍ: ( )

( )

( ) ( )

( )

نكامل الطرفين:

( ) ∫

∫

( )

فنحصل على: ( )في العلاقة ( ) نعوض قيمة

(

)

: والآن نعود فنعوض قيمة

الحل العام المطلوب. وهو



5

: نضرب ب

( )

( 2في ) نعوض

و هي معادلة غير متجانسة من المرتبة الأولى لإيجاد الحل العام لها نأخذ المعادلة بدون طرف ثاني:

∫

∫

| | | | | | |

| | |

بالنسبة ل ثم نشتق تابعا ل cنجعل ( ) ( ) ( ) ( )

نعوض في المعادلة طرف ثاني:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

نكامل لنحصل على:

( )

) في *: c نعوض قيمة

)

) : والآن نعوض

)

وهو الحل العام المطلوب.

:الحل



6

المعادلات التفاضلية التامة و عوامل التكميل :(

التفاضلية:نقول عن المعادلة ( ) ( ) ( )

؛ دالتان معرفتان ومستمرتان على منطقة ما ولتكن ( ) و ( ) حيث أنَّ بحيث يكون: معرف ومستمر على ( ) تامة إذا وجد تابع إنّها

( ) ( ) ( ) ( ) : ( )و ( )بالمقارنة بين نجد أنَّ

( )

( )

والتفاضل العام الكلي:

( )

:, نأخذ المشتق الجزئي الثاني لها قابلتان للمفاضلة ( ) و ( ) بما أنَّ الدالتين

( )

( )

وبالمقارنة طرفاً إلى طرف نجد: ( )

( )

تامة. ( )الشرط اللازم لكي تكون المعادلة التفاضلية وهو ( ) ويكون الحل العام لهذه المعادلة هو:

مثال: أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:

الحل:



2

{

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

ومنه فالمعادلة التفاضلية المدروسة تامة. ( )

بالمكاملة نجد:

طريقة إيجاد الحل العام للمعادلات التفاضلية التامة بالطريقة العامة:

:وجدنا أن المعادلة التفاضلية التامة تحقق أنَّ

( )

{

( )

( )

:( )نأخذ إحدى العلاقتين في لإيجاد الحل العام يجب إيجاد الدالة

( ) ∫ ( )

( )

فقط , ـل تابعةدالة ( ) حيث: :من أجل تحقق الشرط السابق , وبالتالي من أجل ذلك ( ) وبالتالي يجب علينا إيجاد الدالة

( )

∫

( )

( ) ( )

:أنَّ ونعلم ( )

( )

( )

∫

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



8

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( )

نقطة تنتمي إلى مجال تعريف الدالة. ( )وهو الحل العام حيث

مثال:

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:

الحل:

نبرهن أنها تامة:

{

( )

( )

.المعادلة تامة ومنه فالشرط محقق إذاً :ها على شكل التكامل العام)ليست الطريقة العامة, بل حسب التعريف(لحلها نكتب

( )

( )

:الحل العامفيكون

( )

ويمكن الحصول على الحل العام باستخدام الطريقة العامة وهي التي سنستعملها غالباً , وتصلح دائماً في حالة المعادلات التفاضلية التامة , لدينا:

( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )

( )



9

: نشتق بالنسبة لـ

( )

نجعل:

( ) ( ) ( )

( )

وهو الحل العام المطلوب.

انتهت المحاضرة

بسمة نصر الله و ياسين الحليبي و رهف النقشيإعداد:

It is what it is

We'll be Counting Stars

ةلضا فت تلاداعم...ةيناثلا ةنسلا][ math_whatsapp : 099192114 facebook_page :...

Documents