เมทริกซ์ (matrix)
DESCRIPTION
เมทริกซ์TRANSCRIPT
![Page 1: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/1.jpg)
Pisit Nakjai
เมทรกิซ์ (Matrix)
![Page 2: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/2.jpg)
สัญลักษณข์องเมทรกิซ์
• เมตริกซ์ (Matrix) หมายถึง กลุ่มของจ านวนที่เรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยที่แต่ละแถวมีจ านวนเท่าๆ กันและอยู่ในเครื่องหมาย [] หรือ ( ) ก็ได้
• ตัวเลขภายใน [] จะเรียกว่าสมาชิกใน Matrix
• Matrix ทีม่ีจ านวนแถวเท่ากับ m และ จ านวนหลักเท่ากับ n เราเรียกว่า Matrix mxn
• ความรู้เกี่ยวกับเมตริกซ์ จะเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการแก้ปัญหาระบบสมการเส้นตรง และใชใ้นงานเรื่อง Graph , Image, Vector
![Page 3: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/3.jpg)
ตัวอย่าง Matrix
• เมตริกซ์ A มีมิติ 3×3 จะเขียนเมตริกซ์ ดว้ยสัญลักษณ์ จะเห็นมีสมาชิก 9 ตัว โดยมีสัญลักษณ์ทัว่ไปคือ
A = [aij]mxni=1,2,3,4…,mj=1,2,3,4…,n
หมายถึง เมตริกซ์ A มีจ านวนแถว m จ านวนหลัก nโดยที่ a11 หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 1
a23 หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3aij หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ i หลักที่ j
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3 3x
a a a
a a a a
a a a
![Page 4: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/4.jpg)
ชนิดของเมตริกซ์
การเรียงตัวของกลุ่มตัวเลข หรือสมาชิก สามารถจ าแนกและเรียกช่ือเฉพาะและมีคุณสมบัติดังนี้
1. เมตริกซ์แถว (Row Matrix)
2. เมตริกซ์หลัก(Column Matrix)
3. เมตริกซ์ศูนย์(Zero Matrix)
4. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix)
5. สเกลารเ์มตริกซ์(Scalar Matrix)
6. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix)
![Page 5: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/5.jpg)
เมตริกซ์แถว (Row Matrix)
เมตริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมตริกซ์ทีม่ีสมาชิกเพียงแถวเดียว
เช่น
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×3
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×4
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×n
1 3
0 1 2x
A
1 4
1 3 5 7x
A
1
1 5xn
A
![Page 6: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/6.jpg)
เมตริกซห์ลัก(Column Matrix)
เมตริกซ์หลัก(Column Matrix) เป็นเมตรกิซ์ที่ม ีสมาชิกเพียง หลักเดียว
เช่น
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 3×1
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 4×1
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ m×1
3 1
1
2
9x
A
4 1
1
5
0
6x
A
1
2
6mx
A
![Page 7: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/7.jpg)
เมตริกซศ์นูย์(Zero Matrix)
เมตริกซ์ศูนย์(Zero Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่ม ีสมาชิกทุกตัวเป็น 0 ทุกตัว
เช่น
3 1
0
0
0x
A
1 3
0 0 0x
A
2 2
0 0
0 0x
A
3 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0x
A
![Page 8: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/8.jpg)
เมตริกซจ์ัตุรัส (Square Matrix)
• เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีจ านวนแถวและหลักเท่ากัน
3 3
5 1 2
9 5 3
4 8 7x
A
2 2
9 5
4 7x
A
![Page 9: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/9.jpg)
สเกลารเ์มตริกซ(์Scalar Matrix)
สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar Matrix) เป็นเมตรกิซ์จัตุรัส ทีม่ีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมมุหลัก(Main Diagonal) เท่ากันหมด และสมาชิกที่เหลือเป็น 0 หมด
เช่น
3 3
5 0 0
0 5 0
0 0 5x
A
3 3
9 0 0
0 9 0
0 0 9x
A
2 2
7 0
0 7x
A
![Page 10: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/10.jpg)
เมตริกซเ์อกลักษณ์ (Identity Matrix)
• เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมมุหลักมีค่าเป็น 1 เท่ากันหมด สัญลักษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix
เมตริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมตริกซ์ที่มีคณุสมบัตสิ าคัญในการคูณ การหาอินเวอร์สของเมตรกิซ์ A
3 3
3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
x
I
2 2
2 2
1 0
0 1x
x
I
![Page 11: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/11.jpg)
ทรานสโพสของเมตริกซ์(Transpose Matrix)
ถ้า A เป็นเมตริกซ์ทีม่ี มิต ิ33 ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เกิดจากการเปลี่ยนที่จากแถวเป็นหลักของเมตริกซ ์ A
สัญลักษณ์ At แทน ทรานสโพสของเมตริกซ ์ A
นั่นคือ A = [aij] มมีิติ m n
At = [aji] มีมิต ิn m
ตัวอย่างเช่น
3 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9x
A
3 3
1 4 7
2 5 8
3 6 9
t
x
A
![Page 12: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/12.jpg)
การเท่ากันของเมตริกซ์
เมตริกซ์ใด ๆ จะเป็นเมตริกซ์เท่ากันภายใต้เง่ือนไข
1. เมตริกซ์จะต้องมีมิติเท่ากัน
2. สมาชิกในแต่ละต าแหน่งเท่ากัน
เช่น Matrix A = Matrix B
2 3
2 3
1 2 2
0.5 4 1
81 2
4
116 1
2
x
x
A
B
![Page 13: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/13.jpg)
การบวกและการลบเมตริกซ์
การบวกและการลบเมตริกซ์สองเมตริกซ์ใด ๆ สามารถกระท าได้ภายใต้เงื่อนไข
เมตริกซ์
1. ทั้งสองต้องมีมิติเท่ากัน
2. น าสมาชิกที่อยู่ต าแหน่งเดียวกนับวกหรือลบกนั
นิยาม ให้ A = [aij]mn และ B = [bij]mn จะได้
(1) A + B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij + Bij
(2) A - B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij - Bij
![Page 14: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/14.jpg)
ตัวอย่าง
1.จากโจทย์จงหาค่าของB – A =(A + B ) + C = (B + A) - C = B – (A + C) = A + ( B + C) =
1 2 3 5 3 8, ,
2 7 6 2 4 1A B C
1 ( 3) 2 5 2 7
2 6 7 ( 2) 8 5A B
![Page 15: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/15.jpg)
สมบัติของการบวกสมบัติของการบวก
ถ้า A , B , C เป็นเมตริกซ์มิต ิmn1. A + B เป็นเมตริกซ์มิต ิmn (คุณสมบัติปิด)2. A + B = B + A (คุณสมบัติสลับที่)3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คุณสมบัติเปลี่ยนกลุ่มได้)4. 0 + A = A + 0 = A5. A + (-A) = 06.7.
ij mxnkA ka
CBCABAC )(
![Page 16: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/16.jpg)
การคูณเมตริกซ์ ด้วย สเกลาร์
ก าหนด k เป็นสเกลาร ์ใด ๆ แล้ว
a b ka kbkA k
c d kc kd
3 33 3
3 3
a b a bA
c d c d
![Page 17: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/17.jpg)
การคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์
การคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์
เมตริกซ์ จะคณูกันได้ก็ต่อเมื่อ จ านวนหลักของเมตริกซ์ตัวตั้งเท่ากับจ านวนแถวของเมตริกซ์ตัวคูณ
ถ้า A , B ,C เป็นเมตริกซ์
A มีมิติ m n
B มีมิติ n p และ
AB = C แล้ว C มีมิต ิ m p
![Page 18: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/18.jpg)
การคูณ คือ แถวของตัวต้ังไปคูณกับหลักของตัวคูณ ท าเช่นนี้เรื่อย ๆ จนครบทุกหลักและเริ่มที่แถวที่สองต่อไป
22 เป็นตัวอย่าง1 2 2 1
,3 4 4 3
A B
1 2 2 1
3 4 4 3AB x
1
1 2 2 4 2 – 8 1 2
3 3
20
4 41x
1 2 12
1 1 +2 3 1– 6 3 3
74 4
x
1 2 2
3 1 4 3 3 121
3 4 3 15
4x
1 2 1
3 2 4 4 6 –16 2
3 4 4 22
3x
10 7
22 15AB
![Page 19: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/19.jpg)
ดีเทอร์มิแนนท ์ (Determinant)
ดีเทอร์มิแนนท ์ (Determinant) เป็นค่าที่ได้จากการค านวณจากเมตริกซ์ที่ก าหนดให้ A เป็น nn เมตริกซ ์ ดีเทอรม์แินนท์ของเมตริกซ ์A เขียนแทนด้วย det(A) หรือ A ดังนี้
1. det(At) =det(A)2. det(An) = (det(A))n
3. det(AB) = det(A)det(B)
, det A ad bca b a b
Ac d c d
-
+
![Page 20: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/20.jpg)
การหา Determinant โดยใช้วิธีการการกระจาย Cofactor
ไมเนอร์(Minor) ของเมตรกิซ์ A คือดเีทอร์มีแนนท์ของเมตริกซ์ A ที่เกิดจากการตัดแถว i และหลักที่ j ออก
โคแฟคเตอรข์อง aij คือผลคูณของ (-1)i+j และไมเนอรข์อง aij เขียนแทนโคแฟคเตอรข์อง aij ด้วย Cof.Aij
โดยที่ Aij = (-1)I+j Mij
และ Mij แทนไมเนอรข์อง aij
![Page 21: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/21.jpg)
จงหาค่าของ โคแฟคเตอร์ A12 และ A23
หลักการ: จะหาค่า โคแฟคเตอร์ A12 ต้องตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้ไมเนอร์
ของ A12
2 1 0
9 4 6
5 3 8
A
2 1 0
9 4 6
5 3 8
9 6
5 8
(1 2)
12
9 61 42
5 8A
![Page 22: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/22.jpg)
การหาค่า A23 ก็ท าเช่นเดียวกัน คือตัดแถวที่ 2 และ Column ที่ 3 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
2 1
5 3
(2 3)
23
2 11 1
5 3A
![Page 23: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/23.jpg)
การหา Determinant โดยใช้วิธีการการกระจาย Cofactor
ท าการหา Cofactor ของแต่ละหลัก
เพื่อให้งานต่อการหา เราจะพยายามใช้ ต าแหน่งที่เป็น 0 เนื่องจากเมื่อท าการหา Det แล้วจะได้ค่าเป็น 0 เช่นกัน
a b ce f d f d e
d e f a b ch i g i g h
g h i
![Page 24: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/24.jpg)
อินเวอร์การคูณของเมตริกซ์ (Inverse Matrix)
การหาอินเวอร์ของเมตริกซ์ ให้มีคุณสมบัติ AA-1 – In = A-1A
เมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สได้ต้องเป็นเมตริกซ์จัตุรัส
เมตริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) เมตริกซ์ผูกพนัธข์อง A คือทรานสโพสของโคแฟกเตอรข์องเมตริกซA์
1
1
1,
det( )
1( )
det( )
a b d bA A
c d c aA
A Adj AA
adj.A = (Cof.A)t
![Page 25: เมทริกซ์ (Matrix)](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558b9f2dd8b42a3e5b8b4673/html5/thumbnails/25.jpg)