等差数列及其前 n项和

1．等差数列的定义

如果一个数列

，那么这个数列就叫做等差数列，这

个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公

式是 .

3．等差中项

如果 ，那么 A叫做 a与 b的等差中项．

从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数

公差 d

an＝a1＋(n－1)d

A＝a＋b

2

要点梳理

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋ ，(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，

则 .

(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公

差为 .

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，

m∈N*)是公差为 的等差数列．

(n－m)d

ak＋al＝am＋an

2d

md

要点梳理

5．等差数列的前 n项和公式

设等差数列{an}的公差为 d，其前 n项和 Sn＝ 或

Sn＝ .

6．等差数列的前 n项和公式与函数的关系

Sn＝d2n

2＋

a1－d2 n.

数列{an}是等差数列⇔ Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．

7．等差数列的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最 值；若

a1<0，d>0，则 Sn存在最 值．

na1＋an2

na1＋nn－1

2 d

大 小

要点梳理

[难点正本 疑点清源]

1．等差数列的判定

(1)定义法：an－an－1＝d (n≥ 2)；

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.

2．等差数列与等差数列各项和的有关性质

(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd.

(2)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(3)S2n－1＝(2n－1)an.

(4)若 n为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d.

若 n为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．

要点梳理

例 1 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－

1an－1

(n≥ 2，n∈N*)，数

列{bn}满足 bn＝1

an－1 (n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

等差数列的判定或证明等差数列的判定或证明

(1)证明 ∵ an＝2－1an－1

(n≥ 2，n∈N*)，bn＝1

an－1.

∴ n≥ 2时，bn－bn－1＝1

an－1－

1an－1－1

＝1

2－

1an－1－1－

1an－1－1

＝an－1

an－1－1－

1an－1－1

＝1. 又 b1＝1

a1－1＝－

52.

∴ 数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．

(2)解 由(1)知，bn＝n－72，则 an＝1＋

1bn＝1＋

22n－7

，

设函数 f(x)＝1＋2

2x－7，

易知 f(x)在区间

－∞，72 和

7

2，＋∞ 内为减函数．

∴ 当 n＝3时，an取得最小值－1；当 n＝4时，an取得最大值 3.

已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 Sn＝Sn－1

2Sn－1＋1 (n≥ 2)，a1

＝2.

(1)求证：

1

Sn是等差数列；

(2)求 an的表达式．

变式训练 1

方法二 ∵ 当 n≥ 2时，1Sn－

1Sn－1＝

2Sn－1＋1Sn－1

－1Sn－1

＝2Sn－1

Sn－1＝2，

∴

1

Sn是以

1S1即

12为首项，以 2为公差的等差数列．

(1)证明 方法一 由 Sn＝Sn－1

2Sn－1＋1，

得1Sn＝

2Sn－1＋1Sn－1

＝1Sn－1＋2，

∴1Sn－

1Sn－1＝2，

∴

1

Sn是以

1S1即

12为首项，以 2为公差的等差数列．

当 n＝1时，a1＝2不适合 an，

故 an＝

2 n＝1

－2

2n－32

2n－72

n≥ 2.

(2)解 由(1)知1Sn＝

12＋(n－1)× 2＝2n－

32，

∴ Sn＝1

2n－32

，

∴ 当 n≥ 2时，an＝Sn－Sn－1＝1

2n－32

－1

2n－72

＝－2

2n－32

2n－72

；

例 2 设 a1，d为实数，首项为 a1，公差为 d的等差数列{an}的

前 n项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0.

(1)若 S5＝5，求 S6及 a1；

(2)求 d的取值范围．

等差数列的基本量的计算等差数列的基本量的计算

解 (1)由题意知 S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.

所以 5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.

解得 a1＝7，所以 S6＝－3，a1＝7.

(2)方法一 ∵ S5S6＋15＝0，

∴ (5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.

因为关于 a1的一元二次方程有解，所以

Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥ 0，

解得 d≤－2 2或 d≥ 2 2. 方法二 ∵ S5S6＋15＝0，

∴ (5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a2

1＋9da1＋10d2＋1＝0.

故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以 d2≥ 8.

故 d的取值范围为 d≤－2 2或 d≥ 2 2.

已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前 k项和 Sk＝－35，求 k的值．

变式训练 2

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d.

由 a1＝1，a3＝－3，可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2.

从而 an＝1＋(n－1)× (－2)＝3－2n.

(2)由(1)可知 an＝3－2n，

所以 Sn＝n[1＋3－2n]

2 ＝2n－n2.

由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35，

即 k2－2k－35＝0，解得 k＝7或 k＝－5.

又 k∈N*，故 k＝7.

例 3 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n项和为 Sn，且

S10＝S15，求当 n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最

大值；

(2)已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－25，求数列{|an|}的前

n项和．

等差数列的前等差数列的前 nn 项和及综合应用项和及综合应用

解 方法一 ∵ a1＝20，S10＝S15，

∴ 10× 20＋10× 9

2 d＝15× 20＋15× 14

2 d，∴ d＝－53.

∴ an＝20＋(n－1)×

－53 ＝－

53n＋

653 .

∴ a13＝0，即当 n≤ 12时，an>0，n≥ 14时，an<0，

∴ 当 n＝12或 13时，Sn取得最大值，且最大值为 S13＝S12＝12× 20

＋12× 11

2 ×

－53＝130.

方法二 同方法一求得 d＝－53.

∴ Sn＝20n＋nn－1

2 ·

－53＝－

56n

2＋1256 n＝－

56

n－252

2＋3 125

24 .

∵ n∈N*，∴ 当 n＝12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为 S12＝

S13＝130.

方法三 同方法一得d＝－53.

又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.

∴ 5a13＝0，即a13＝0.

∴ 当n＝12或13时，Sn有最大值．

且最大值为S12＝S13＝130.

(2)∵ an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，

∴ an＋1－an＝4＝d，又a1＝4× 1－25＝－21.

所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．

令 an＝4n－25<0， ①

an＋1＝4n＋1－25≥ 0， ②

由①得n<614；由②得n≥ 5

14，所以n＝6.

即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从

第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，

而|a7|＝a7＝4× 7－24＝3.

设{|an|}的前n项和为Tn，则

Tn＝

21n＋nn－1

2 × －4 n≤ 6

66＋3n－6＋n－6n－7

2 × 4 n≥ 7

＝ －2n2＋23n n≤ 6，2n2－23n＋132 n≥ 7.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2 009＝0.

(1)求Sn的最小值及此时n的值；

(2)求n的取值集合，使an≥ Sn.

变式训练 3

∵ a1<0，n∈N*，

∴ 当n＝1 004或1 005时，Sn取最小值1 005

2 a1.

解 方法一 (1)设公差为d，则由S2 009＝0

⇒ 2 009a1＋2 009× 2 008

2 d＝0⇒ a1＋1 004d＝0，

d＝－1

1 004a1，a1＋an＝2 009－n

1 004 a1，

∴ Sn＝n2(a1＋an)＝

n2·

2 009－n1 004 a1＝

a1

2 008(2 009n－n2)．

(2)an＝1 005－n

1 004 a1，

Sn≤ an⇔a1

2 008(2 009n－n2)≤1 005－n

1 004 a1.

方法二 (1)设公差为d，则

Sn＝na1＋nn－1

2 d＝d2n

2＋

a1－d2 n，

∵d2，a1－

d2是常数，∴ Sn是n的二次函数(d≠ 0时)．

∵ S2 009＝0，S0＝0，∴ 顶点的横坐标为0＋2 009

2 ＝1 00412.

又由a1<0，S2 009＝0⇒ d＝－a1

1 004>0，又n∈N*.

故当n＝1 004或1 005时，Sn取最小值S1 004＝1 005

2 a1.

∵ a1<0，

∴ n2－2 011n＋2 010≤ 0，即(n－1)(n－2 010)≤ 0，

解得：1≤ n≤ 2 010.

故所求n的取值集合为{n|1≤ n≤ 2 010，n∈N*}．

(2)an＝a1＋(n－1)d

＝dn＋(a1－d)，

∵ d>0，d和a1－d均为常数，

∴ an是n的一次函数．

又由S2 009＝0⇒ a2 010＋S2 009＝a2 010，即S2 010＝a2 010.

由图可知，an≥ Sn的解集为{n|1≤ n≤ 2 010，n∈N*}．

故方程Sn＝an有两个实数解n＝1和n＝2 010.