מצגת של powerpointestudy.openu.ac.il/opus/static/binaries/upload/bank183...2 2 tot du t a udu...
TRANSCRIPT
זרימת נוזלים ללא חיכוך1. משוואת הרציפות –מאזן מסה משוואת ברנולי –מאזן תנע
זרימה עם חיכוך –זרימת נוזלים צמיגים . 2 זרימה למינרית זרימה טורבולנטית הפסדי חיכוך באביזרים זרימה סביב גופים
כימיה בפעולה 3מפגש מספר חישובי זרימה
:ונבצע( מסה תנע ואנרגיה)נשתמש בחוקי השימור
מאזני מסה•
מאזני תנע•
מאזני אנרגיה•
הפיכת אנרגיה מסוגים שונים לאנרגיה קינטית= זרימה
נדון בזרימה חד כיוונית•
נתייחס לזורם כאל נוזל בלתי דחיס •
אך לצורך ההכללה נקרא לו פלואיד
משוואת הרציפות –מאזן מסה
זרימת נוזלים ללא חיכוך. 1
ρ1, U1, A1 ρ2, U2, A2
1 2 11 2 2
1 1 1 2 2 2
V UA
m m V V
U A U A
dmm
dt
dVV
dt
במערכת: iעבור אזור
iAשטח חתך הצינור -
iUמהירות הזרימה -
im
- מסה ליחידת זמן
iV
- נפח ליחידת זמן
iצפיפות -
UAV
משוואת ברנולי –מאזן תנע
שקול הכוחות החיצוניים הפועלים על גוף שווה לשינוי התנע שלו בזמן
AdPPP , הלחץ מימין ומשמאל ,שטח החתך
צפיפות הפלואיד
(הפרשי הלחצים הם הכוח המניע של הזרימה)
:מאזן התנע
מאזן הכוחות
(: הכוחות מחושבים לכיוון הזרימה)
:הכוח משמאל. 11F P A
:הכוח מימין. 2
2F P dP A
:כוח הכובד בכיוון הזרימה. 3
dhdx cos :והרי
1 2tot mF F F F P A P dP A dh g A
dP dh g A
m V A dx
coscos gdxAgmFm
:מאזן התנע :התנע הנכנס ליחידת זמן1.
:התנע היוצא ליחידת זמן 2.
.שווה למאזן הכוחות: הפרש התנע
:נכתוב אותו בצורה אחרת
:והרי לפי משוואת הרציפות
2_T in m U V U U A U U A
2 2_T out m U d m U U A d U A
2d U A
2d A U d A U U Ud A U A UdU
0d A U
2
2
tot
dUT A UdU A
F dP dh g A
:ונכתוב זאת בצורה הבאה
02
1 2 dUgdhdP
.היא למעשה משוואת שימור האנרגיה. זאת משוואת ברנולי
כל איבר בה נקרא עומד והוא מבוטא ביחידות של אנרגיה
ρאם מכפילים את שני האגפים בצפיפות )ליחידת מסה
(. שהן גם יחידות לחץ -אזי היחידות הן אנרגיה ליחידת נפח
02
12
1
2
2
1
2
1
u
u
h
h
P
P
dUgdhdP
2
1
2
2
2
12
12
UUU
hhh
PPP
02
1 2
UhgP
:ואם נבצע אינטגרציה בין שתי נקודות במערכת
02
1 2
g
Uh
g
P
:משוואת ברנולי ביחידות של אורך
כוון הזרימה
:שאלה לדוגמא. 1
.ליטר לדקה 20מים זורמים במערכת הנראית לעיל בספיקה של
אם אבודי החיכוך זניחים 1הערך את הלחץ בנקודה
02
2
hgUP
13131 3.33360
100020min20
scmscmliterQ
1
22
2
2
1
22
1
1
0.424
20.1
3.333
2
5.1698
25.0
3.333
2
scmD
QU
scmD
QU
cmmh 500050 31gr cm
:פתרון
:משוואת ברנולי
:חישוב המהירויות מתוך הספיקה (:הספיקה קבועה –שימו לב )
:הגובה
:צפיפות המים
atmPP
atmcmdynePPP
P
hgUP
5.45.315.3
5.39.3547436
050009802
5.16980.424
1
02
21
2
12
22
2
:נציב בנוסחה
המהירות ידוע ומוכתבת מראש ואינה, מכיוון שנתונה הספיקה
(ואולי יש משאבה בהמשך)תוצאה של הפרשי הגובה
:שאלה לדוגמא. 2
בגובה נמוך יותר . מים זורמים ממאגר עליון דרך צינור לטורבינה
.מהטורבינה ממשיכה הזרימה למטה בצינור בקוטר זהה
.מהירות הזרימה לא משתנהבקטע הצינור הנוכחי
. 207kPaמטר מהטורבינה הוא 100-הלחץ בנקודה הגבוהה ב
. 124kPaמטר מהטורבינה הוא 3-הלחץ בנקודה הנמוכה ב
.-1.00MWמה צריך להיות הספק הזרימה אם הספק הטורבינה הוא
(הסימן השלילי משום שזרימת המים מפעילה את הטורבינה)
m
P Wg h
Q
:פתרון
:משוואת ברנולי למקרה שבו ישנה משאבה או טורבינה במערכת
02 U
אין הפרשי מהירות)
במערכת
(קוטר הצינור אחיד
V
turbineQ
WP
Vm QQ
W טורבינההוא היחס בין הספק ה טורבינהעומד ה: הסבר
( נפח ליחידת זמן)לבין הספיקה הנפחית ( אנרגיה ליחידת זמן)
מתקבלת אנרגיה ליחידת נפח –
והרי היחס בין הספיקה המשקלית לספיקה הנפחית הוא
m
turbine
Q
WP
לכן
313 100011 mkgliterkgcmgr
MKSבגלל נתוני יחידות הלחץ נעבור ליחידות של
:צפיפות המים
:לכן
13
3
1
1212
1
3
6
915.01000
915
,
915
1038.91000
10207124
101
smmkg
skgQQ
hhhPPP
skg
hgP
WQ
mV
m
רימה עם חיכוךז –זרימת נוזלים צמיגים . 2
חיכוך וצמיגות
מהירות
הנוזל
מרחק
מהדופן
המגע בין נוזל הזורם בצינור לגוף הצינור מעכב את הזרימה
. כתוצאה מאינטראקציה בין שכבת הנוזל למוצק ממנו עשוי הצינור
שכבת נוזל רחוקה מתעכבת בגלל מעבר מולקולות וכוחות בין
.מולקולריים ולכן גם מהירות הזרימה שלה מואטת
.נובע מהפרש המהירויות בין השכבות( כוח החיכוך) כוח הגזירה
. במקביל ליחידה זו, הוא הכוח ליחידת שטח מאמץ הגזירה
והפוך למרחק בין השכבות ( dU)הוא פרופורציוני ישר להפרש זה
(dx .) קבוע הפרופורציהµ הוא הצמיגות.
dx
dU
dx
dU הוא קצב הגזירה
,היא גם . בטמפרטורה, תלויה בתכונות הנוזל, צמיגות הנוזל
.תלויה במאמץ הגזירה עצמו אלא אם מדובר בנוזל ניוטוני
צמיגותו אינה תלויה במאמץ הגזירה –נוזל ניוטוני
:יחידות
ppoisecm
grCGS
timedistance
mass
distance
time
distance
distancetime
distancemass
time
distancemassForce
distance
velocity
Area
Force
sec)(
,
22
2
זרימה למינרית
השכבות זורמות במקביל ואין ערבוב -זרימה למינרית בצינור
של חומר בין השכבות
R
r
P·r2 P+ΔP)·r2)
∙2rL
(:אין שינויי מהירות ואין הפרשי גבהים)מאזן הכוחות
הפרש לחצי הנוזל בכניסה וביציאה שווה לכוח הגזירה
rLrPrPP 222
L
rP
dr
dU
dr
dU
L
rPrLrPrPP
2
2222
אינטגרציה
r
R
U
drL
rPdU
20
22
4rR
L
PU
מהירות הזרימה כפונקציה של המרחק
:ממרכז הצינור
r=0:המהירות המרבית היא במרכז הצינור כאשר 2
max4
RL
PU
Pשלילי כי הלחץ יורד בכיוון הזרימה
:חישוב המהירות הממוצעת
:מכפלת המהירות בשטח החתך= ספיקה נפחית
r הספיקה הנפחית היא drוברוחב rבטבעת במרחק
rdrU 2
:הספיקה הכללית תחושב מתוך אינטגרל על פני כל החתך
L
PRrdrrR
L
PrdrUQ
RR
82
42
4
0
22
0
:והמהירות הממוצעת היא הספיקה מחולקת לשטח החתך
L
PR
RL
PR
R
QU
8
1
8
2
2
4
2
42
88
R
QL
R
LUP
:זהו העומד הנוסף בגלל חיכוך ומשוואת ברנולי תכתב לכן
02
1 2 PUhgP
:מפל הלחץ הנובע מהחיכוך בזרימה למינרית בצינור
זרימה טורבולנטית
בתנאים מסוימים הזרימה, אם מגדילים את מהירות זרימת הנוזל
אינה נעשית בקוים ישרים שאינם מתערבבים זה בזה אלא נוצרות
.מערבולות
במקרה זה פרופיל המהירויות
נהיה כמעט אחיד בחתך הצינור
:המדד למעבר מזרימה למינרית לטורבולנטית
:מספר ריינולדס
lUN
Re
- צפיפות הפלואיד ,µ - צמיגות הפלואיד ,
U - מהירות הפלואיד,
l בצינור זהו -ממד אופייני למערכתD - קוטר הצינור
אנו מחפשים דמיון בין מערכות שונות. מספר זה הוא חסר ממד
.כאשר מספר זה זהה
הזרימה הופכת מלמינרית NRE>2300כאשר , בצינור רגיל
.לטורבולנטית
:היתרונות של זרימה טורבולנטית
מהירות הזרימה כמעט זהה בחתך הצינור•
המערבולות משפרות את מעבר החום•
המערבולות משפרות את מעבר החומר•
מצב של זרימה מהירה•
:החסרון
יש להפעיל –חיכוך גבוה יותר מאשר בזרימה למינרית
.מפל לחץ גדול יותר כדי לאפשר זרימה
חישוב החיכוך בזרימה טורבולנטית נעשה אחרת מהחישוב
עבור זרימה למינרית
(fanning friction factor)גורם החיכוך של פנינג
LU
RPf
L
RP
Uf
2
22
,
2
:עומד החיכוך בזרימה טורבולנטית
R
LUfP
2
F vs NRe (including k/D dependance)
. שאלה לדוגמא:3 מטר וקוטר 300 את מפל הלחץ בגלל חיכוך בצינור באורך של ומצא0.05m של ספיקה מ"מ, כאשר מים זורמים בו ב150
3 s
-1 . נתון כי
. k=0.0015mmעבור צינור זה מידת החספוס היא:
פתרון:
נחשב את הגדלים הבאים עבור המערכת תוך שימוש ביחידות
:CGSשל
5
2
1
2
6
2
5
1025.410
283151Re
2835.7
1005.0
2
,101150
0015.0
UD
scmD
QU
D
k
0035.0fמנתונים אלו מראה הגרף כי מקדם החיכוך הוא:
מכאן, מפל הלחץ בגלל החיכוך הוא:
22
6 20.0035 1 283 300001.12 10 1.12
7.5
f U LP dyne cm atm
R
. שאלה לדוגמא:4
( נשאב ממיכל )השאיבה לא בעזרת משאבה אלא =50lbm·ft-3בנזין )
F=0.8ft·lbf·lbmבגלל הפרשי הגובה(. איבודי החיכוך בקו הם -1.
גלונים )ארה"ב(.5העריכו כמה זמן יקח לשאוב
)פני 1 זניח, וכי שתי הנקודות 1 הניחו כי השינוי בגובה הבנזין במיכל )יציאת הצינור( הן בלחץ של אטמוספרה אחת.2הבנזין במיכל( ו-
נחשב את מהירות הזרימה בצינור מתוך משוואת ברנולי. מתוך ידיעת
המהירות ושטח חתך הצינור נחשב את הספיקה. הספיקה תתן לנו
גלונים של בנזין.5אפשרות לחשב את הזמן לקבלת
:CGSנעבור ליחידות של
cmD
RcmcmD
cmcmgalonV
grerggrerg
kgJlblbftF
cmgrcmgrftlb
cmcmfth
mf
m
3175.02
635.054.225.0''25.0
1089.110007854.355
1039.21000
109890.28.0
9890.28.08.0
8.043.62
5050
2.7648.305.25.2
343
1417
11
333
נכתוב את משוואת ברנולי עם איבודי חיכוך:
02
2
FhgUP
והרי:
?,01039.2,2.76,0 212
12
2
214 UUUUUgrergFcmhP
נציב ערכים אלו במשוואה ונחשב את המהירות:
12
4
22
7.318
01039.22.769802
0
scmU
U
חישוב הספיקה:
1322 9.1003175.07.318 scmRUQ
חישוב הזמן הדרוש:
min12.33.1879.100
1089.1 4
sQ
Vt
הפסדי חיכוך באביזרים
:אביזרי צנרת שונים מעכבים את הזרימה
, שינויים בקוטר הצנרת, Tחיבורי , ברכיים
אביזרי מדידה, ברזים ושסתומים
:הרחבה
(:הצינור אופקי)בזרימה מצינור צר לרחב
Ai שטח החתך בנקודהi
Pi הלחץ בנקודהi
Ui המהירות בנקודהi
עיקר החיכוך נובע מהמערבולות שנוצרות מההרחבה
11 1, ,A P U 222 ,, UPA
:מאזן התנע
.הפרש הכוחות שווה לשינוי בתנע ליחידת זמן
:אם שינוי המסה ליחידת זמן הוא אזיdt
dmm
122221 UUmAPAP
:מאזן המסה
2211
222111
21
AUAU
AUAU
:משוואת ברנולי עם הפסדי חיכוךfeh
UUPP
2
21
2221
feh עומד החיכוך עבור הרחבה(e)
:ומקבלים מתוך מאזן התנע ומאזן המסה
2
122
21
2
2
1
21
2
21 Uk
A
AUUUh efe
מקדם ההפסד של ההרחבה הוא קבוע הפרופורציה בין עומד
החיכוך לעומד הקינטי 2
21U fehek
2
2
11
A
Ake
עבור הצרה בצנרת
2
1
21
14.0
2
A
Ak
Ukh
c
cfc
המתאימים kגם עבור אביזרים אחרים מחושבים מקדמי הפסד
:לעומד חיכוך
2
21U
kh f
Fitting K Fitting K
Valves: Elbows:
Globe, fully open 10 Regular 90°, flanged 0.3
Angle, fully open 2 Regular 90°, threaded 1.5
Gate, fully open 0.1
5 Long radius 90°, flanged 0.2
Gate 1/4 closed 0.2
6 Long radius 90°,
threaded 0.7
Gate, 1/2 closed 2.1 Long radius 45°,
threaded 0.2
Gate, 3/4 closed 17 Regular 45°, threaded 0.4
Swing check, forward
flow 2
Swing check, backward
flow
infin
ity Tees:
Line flow, flanged 0.2
180° return bends: Line flow, threaded 0.9
Flanged 0.2 Branch flow, flanged 1.0
Threaded 1.5 Branch flow, threaded 2.0
http://www.lmnoeng.com/surface.htm
. שאלה לדוגמא:5
gr cm 0.7 וצפיפותו cp 0.5תוצר של נפט שצמיגותו -3
נשאב דרך
100 מטר לתאי אחסון הנמצאים במרחק של 0.15צינור בקוטר של
)צינור אופקי(מטר
kN m 70מפל הלחץ בצינור הוא -2
.
לשאוב את הנוזל במסלול אלטרנטיבי וכן החליטוליש לתקן את הקוים
50 מ"מ ומיד אחריו 200 מטר של צינור בקוטר של 70המורכב מ-
מ"מ. 100מטר של צינור בקוטר של
300kN mהמשאבה הנוכחית יכולה לפתח לחץ מקסימלי של -2
.
מ"מ. 0.005 כי חספוס הצינורות הוא וחיהנ
האם ניתן יהיה להשתמש במשאבה זו במהלך התיקונים?
השאיבה בקוים החילופיים נעשית באותה ספיקה.
פתרון:
(CGSהנתונים שבידינו הם: )תורגם ליחידות
2
3
0 0
1
2 5 2
0
2 6 2
max
1 1
1
2 2
1
0.5 0.5
0.7
0.15 15 7.5
100 10000
70 7.0 10
300 3.00 10
200 20 10
70 7000
100 10 5
50 5000
0
mN s m cp
gr cm
D m cm R cm
L m cm
P kN m dyne cm
P kN m dyne cm
D mm cm R cm
L m cm
D mm cm R cm
L m cm
k
5 5 5
1 2 0
.005
2.5 10 , 5 10 , 3.33 10
mm
k k k
D D D
נמצא ביטוי למהירות הזרימה בעזרת מפל הלחץ מתוך הנחה שמפל נובע רק מחיכוך הנוזל עם הצינור, ואין אלמנטים בדרך.
2 2 57 10
100002 1 10.72 7.5 2
f U L U PP U
L f fRR
חדש f ונחשב את מספר ריינולדס ונתאים לו מספר ’fנניח מקדם חיכוך בהתאם למקדם החספוס שלו. נעשה מספר איטרציות עד אשר נמצא את
מקדם החיכוך המתאים. ואת המהירות המתאימה
ואכן חישוב של המהירות:f=0.0035לבסוף הגענו למסקנה כי
517 10
44010000 0.00351 0.7 0.5
7.52
PU cm s
L fR
ושל מספר ריינולדס המתאים:
5
2Re 103.9105.0
440157.0)0(
UDN
.f=0.0035ואכן לפי הגרף מתקבל
נוכל לחשב את מהירויות , מתוך יחסי שטח החתך של הצינורות החלופיים
.המתאימים ריינולדסולכן את מספרי , הזרימה בכל אחד מהם
(מניחים שהספיקה נשארת אותה ספיקה)
6
2
22Re
1
2
2
2
2
2
002
5
2
11Re
1
2
2
2
1
2
001
1038.1105.0
990107.0)2(
99010
15440
1094.6105.0
247207.0)1(
24720
15440
UDN
scmD
DUU
UDN
scmD
DUU
.לכל אחד מהם לפי הגרף fשוב נמצא את המקדמים
003.0
0035.0
2
1
f
f
R
LUfP
2
522
2
262
2
2
2
222
252
1
1
2
111
104.32
9907.0
2
1006.25
5000990003.07.0
1005.110
70002470035.07.0
UP
cmdyneR
LUfP
cmdyneR
LUfP
kin
2422
2
1
2 108.92
990
20
1014.0
214.0
cmdyne
U
A
APjunction
5 6 4 5
1 2
6 2 6 2
1.05 10 2.06 10 9.8 10 3.4 10
2.61 10 3.00 10
tot junction kinP P P P P
dyne cm dyne cm
נחשב מתוך המשוואה
את מפל הלחץ עקב חיכוך המתפתח בכל אחד מהצינורות הללו ונוסיף את מפל
:הלחץ בגלל העומד הקינטי
ונוסיף גם את מפל הלחץ שנובע ממעבר של צינור בקוטר רחב לצינור צר
(בספר הלימוד 3-41משוואה )ממנו
אם הוא קטן . סכום כל הלחצים הוא מפל הלחץ שצריכה לתת המשאבה
.המשאבה מתאימה, ממקסימום היכולת
,ניתן להזניח עומדים מסוימים שערכם קטן יחסית -שימו לב
.פתרו את הבעיה בהנחות אלו וראו אם יש הבדל ומהו
.לעיתים נתונה השפעת החיכוך של האביזרים כאורך אקווילנטי
מטר ואורכם האקויולנטי 50למשל אומרים שאורך הצינור הוא
.מטרים נוספים 23של האביזרים הוא
:במקרה זה עומד החיכוך מחושב כ
R
Uf
R
LLUfP )2350()'( 22
:שאלה לדוגמא. 6
כמהנדס . באילת קיים מפעל לגידול אצות הנמצא בסמוך לעיר
ים לתוך בריכות –המפעל תפקידך לתכנן מערכת אשר תשאב מי
.הגידול של האצות
ק לשעה"מ 24ספיקת מי הים הנדרשת הינה
אורך . סנטיפואז 5ק וצמיגותם "גרם לסמ 1.8צפיפות מי הים
4''קוטרו , מ"ק 2.2הצינור הנמשך ממפרץ אילת לבריכה הינו
.k=0.406mmומקדם החספוס שלו
.מטרים 1370סך אורכם האקויולנטי של אביזרי הצנרת הוא
מטר 5הגובה הטופוגרפי של פני המים בבריכות הגידול הינו
.מעל פני הים
?מהו הספק המשאבה הנדרש למערכת זו
:פתרון
wsJsergW
W
Q
W
R
LLUfhhg
UUPP
f
DUN
scmR
QU
sgrcmgrscmQ
scmscmhrmQ
D
k
cmLLL
cmRcmD
m
m
tot
5154515410154.5
102.108.5
1057.323.82008.0500980
2
23.820
'
2
008.0
10305.0
8.116.1023.82
23.8208.5
10667.6
102.18.110667.6
10667.63600
102424
004.016.10
0406.0
1057.31037.1102.2'
08.516.10''4
1110
4
522
2
12
21
2212
4
Re
1
2
3
2
143133
133136
13
555
זרימה סביב גופים
הכוח הפועל על חלקיק בכוון הזרימה עקב זרימת –כוח גרר
הנוזל סביבו
כוח גרר צורה
כוח גרר דופן
לרוב שילוב של שניהם
מוכפל CDהעומד המתאים במשוואת ברנולי הוא מקדם הגרר
בעומד הקינטי2
2
U
APמחולק בשטח החתך של הגוף FDעומד זה הוא כוח הגרר
:לכן( היטל הגוף על המישור הניצב לכוון הזרימה –יותר נכון )
P
DD
A
FUC
2
2
Uמהירות הפלואיד לפני שנתקל בגוף
:כאשר מתקיים חוק סטוקס, במהירויות נמוכות
(עבור זרימה סביב כדור)
Re
24
NCD
1.0Re N
DUFD 3ומהצבה מתקבל:
CD=0.4במהירויות גבוהות נמצא כי
מושגת מהירות סופית קבועה , כאשר חלקיקים שוקעים בפלואיד
:שבה ההפרש בין כוח העילוי לכוח הכובד שווה לכוח הגרר
Vg: כוח העלוי
PVg: כוח הכובד
F = ( P- )Vg: ההפרש ביניהם
- צפיפות הפלואיד ,V- נפח החלקיק ,g- התאוצה הגרביטציונית
P- צפיפות החלקיק- Ut – המהירות הסופית המתקבלת היא:
PD
Pt
t
PDP
AC
VgU
UACVg
2
2
2
:במקדם ריינולדס CDתלות
:תלות בחזקה ראשונה של המהירות –בתחום הלמינרי
(עבור זרימה סביב כדור)
:תלות בחזקה שנייה של המהירות –בתחום הטורבולנטי
.2-ל 1החזקה היא בין ( Nre>0.1<1000)בתחום הביניים
2
2
UACF PDD
UDFD 3