ВЫПУСК МЕХАНИКА ТВЕРДОГОiamm.su › upload › iblock › 718 ›...

ГУ “ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ”

ВЫПУСК

46 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Межведомственный сборник научных трудов Основан в 1969 г.

ДОНЕЦК 2016

Содержание Горр Г.В., Ковалев А.М. Методы истолкования движения твердого тела,

имеющего неподвижную точку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Применение параметров Родрига–Гамильтона в

частных решениях уравнений динамики тяжелого твердого тела . . . . .

14 Горр Г.В., Мазнев А.В. Об интегрировании уравнений динамики твердого тела

на инвариантных многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 Котов Г.А. О полурегулярных прецессиях гиростата, несущего два ротора . . 37 Горр Г.В., Кошель Ю.В. Один класс прецессионно-изоконических движений

гиростата, несущего два ротора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 Зыза А.В., Ткаченко Д.Н. Полиномиальные решения в задаче о движении

гиростата в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 Ковалев А.М., Неспирный В.Н. Синхронизация динамических систем в классе

импульсных управлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Достаточное условие глобальной

устойчивости модели синхронного электромотора . . . . . . . . . . . . .

72 Андрюхин А.И., Судаков С.Н. Динамика жидкого эллипсоида с массово-

геометрическими параметрами черной дыры . . . . . . . . . . . . . . . .

90 Щепин Н.Н. Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел

конфигурации “роза” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 Волчков Вит. В., Сторожев C. В. Нечеткие оценки для скоростей

поверхностных волн релеевского типа в упругом полупространстве . . .

111

Волчков Вит.В., Вуколов Д.С., Сторожев В.И. Дифракция волн сдвига на внутренних туннельных цилиндрических неоднородностях в виде полости и включения в упругом слое со свободными гранями . . . . . .

119 Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в

функционально-градиентных трансверсально-изотропных полых цилиндрах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 Юбилейные даты Мария Ефимовна Лесина (к 70-летию со дня рождения) . . . . . . . . . . . . . .

147

ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2016. Вып. 46

УДК 531.38

c©2016. Г.В. Горр, А.М. Ковалев

МЕТОДЫ ИСТОЛКОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА,ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

Предложен комплексный подход в истолковании движения твердого тела, имеющего не-подвижную точку. Дан анализ результатов исследований движения свободного твердоготела, полученных Л. Пуансо, И. Мак-Куллагом, К. Якоби, Ж. Сильвестром, Г. Дарбу.Предложен модифицированный метод годографов. Указаны аналитические зависимостимежду углами Эйлера, параметрами Родрига–Гамильтона и переменными неподвижногогодографа.

Ключевые слова: метод Пуансо, кинематические уравнения Харламова, углы Эйлера,параметры Родрига–Гамильтона.

Введение. Заключительным этапом в исследовании случая интегриру-емости дифференциальных уравнений задач динамики твердого тела служитгеометрическое истолкование движения тела. Важность такого истолкованияотмечали многие ученые. Л.Пуансо [1] говорил о том, что получение аналити-ческих решений недостаточно для того, чтобы представить движение тела втечение всего времени наблюдения. Н.Е.Жуковский [2] утверждал, что лю-бой аналитический результат должен быть объяснен в наглядной форме спомощью существующих в теоретической механике методов моделированияи истолкования. В связи с актуальностью проведения геометрических иссле-дований в аналитической механике проблемами истолкования движения телс неподвижной точкой занимались многие ученые. Г.К.Суслов [3] с исчер-пывающей полнотой проанализировал движение свободного твердого тела вслучае Эйлера. Особый успех в истолковании движения тела в общем случаебыл достигнут благодаря уравнениям неподвижного годографа, полученнымП.В.Харламовым [4]. С помощью метода годографов П.В.Харламова теоремаПуансо была реализована во многих решениях уравнений движения тяжело-го гиростата и тяжелого твердого тела. Получена обширная информация освойствах движения в задачах динамики твердого тела (см. [5–8]).

В последние годы предложены новые модифицированные методы истол-кования движения тела с неподвижной точкой. В [9] получен метод годо-графов, позволяющий представить движение тела качением без скольженияподвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости, понеподвижному годографу этого вектора. Этот метод позволяет, например, вкачестве неподвижного годографа данного вектора выбрать плоскую кривуюи получить картину движения тела, близкую по наглядности к истолкованиюПуансо случая Эйлера. На основе метода [9] в [10] предлагается истолкованиедвижения тела с помощью качения без скольжения подвижного годографавектора, коллинеарного вектору угловой скорости, по неподвижному, при-няв в качестве подвижного годограф вектора, конец которого принадлежитэллипсоиду инерции тела.

3

Г.В. Горр, А.М.Ковалев

В [11] предложен комплексный подход в истолковании движения твердоготела с неподвижной точкой. Данная статья посвящена описанию различныхметодов истолкования движения твердого тела с неподвижной точкой.

1. Постановка задачи. Случай Эйлера. Запишем уравнения движе-ния твердого тела с неподвижной точкой:

ω = F(ω,ν), ν = ν × ω, (1)

где ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичныйвектор оси симметрии силовых полей, в которых происходит движение тела;F(ω,ν) – вектор-функция переменных ω(t),ν(t).

Например, уравнения (1) для задачи о движении тяжелого твердого тела,имеющего неподвижную точку, имеют вид

Aω = Aω × ω + s(e× ν), ν = ν × ω, (2)

где e = (e1, e2, e3) – единичный вектор, направленный из неподвижной точкиO в центр тяжести тела C; s = mg|OC| (m – масса тела, g – ускорениесвободного падения); A = (Aij) – тензор инерции тела в неподвижной точке;точка над ω, ν обозначает дифференцирование по t в подвижной системекоординат.

Полагаем, что в результате интегрирования уравнений (1), (2) найденывектор-функции

ω(t) =

3∑

j=1

ωj(t)ij , ν(t) =

3∑

j=1

νj(t)ij. (3)

Здесь i1, i2, i3 – единичные векторы подвижной системы координат Oxyz. Че-рез 1, 2, 3 обозначим единичные векторы неподвижной системы координатOξηζ.

Случай Л.Эйлера характеризуется условием s = 0, т. е. в этом случаецентр масс неподвижен. Кинематическим истолкованием движения тела врешении Эйлера занимались многие ученые (см. [3, 5–7]). Дадим краткуюхарактеристику результатов, полученных в исследовании движения тела вэтом решении.

Л.Пуансо [1] ввел понятие эллипсоида инерции и дал следующее истол-кование движения тела в случае Эйлера: эллипсоид инерции тела для точкиопоры во время движения катится без скольжения по неподвижной в про-странстве касательной плоскости, перпендикулярной к главному моменту ко-личества движения тела, мгновенная угловая скорость по величине пропор-циональна радиусу-вектору точки касания, а по направлению с ним совпада-ет.

Л.Пуансо предлагал и вторую интерпретацию, на основе которой Г.Дарбуи Ж.Кениг построили прибор, названный ими герполографом, с помощьюкоторого воспроизводится движение тела по инерции.

4

Методы истолкования движения твердого тела, имеющего неподвижную точку

Обобщением геометрических результатов Л.Пуансо является его теорема:движение твердого тела с неподвижной точкой можно представить качениембез скольжения подвижного годографа вектора угловой скорости по неподви-жному годографу этого вектора.

Интерпретация И.Мак-Куллага основана на введенном им понятии гира-ционного эллипсоида тела. Он доказал, что гирационный эллипсоид, постро-енный в точке опоры, проходит во все время движения через неподвижнуюточку в пространстве, лежащую на неизменном главном моменте количествадвижения; при этом мгновенная ось направлена по перпендикуляру, опущен-ному из точки опоры на касательную плоскость к гирационному эллипсоидув этой неподвижной точке и мгновенная скорость тела обратно пропорцио-нальна величине этого перпендикуляра.

Ж.Сильвестр доказал теорему о том, что вращение Пуансо, будучи сло-жено с постоянным вращением около перпендикуляра из точки опоры наплоскость катания, дает снова вращение Пуансо.

К.Якоби установил, что всякое вращение Эйлера может быть разложенона постоянное вращение около нормали, опущенной из неподвижной точкина плоскость катания, и на некоторое колебательное движение Пуансо (по-следнее представляется катанием однополостного гиперболоида по плоско-сти, параллельной плоскости катания во вращении Эйлера). Следует отме-тить его результат для случая Лагранжа: движение гироскопа Лагранжа мо-жет быть разложено на два движения Пуансо.

Заметим, что многие ученые не ограничивались теоретическими исследо-ваниями, а предлагали конкретные конструкции для интерпретации движе-ния: отмеченный выше прибор Дарбу и Кенига; прибор Боненбергера, демон-стрирующий некоторые движения гироскопа Лагранжа; модель Г.Шварца,описывающая гироскоп Ковалевской, и другие. Остановимся более подробнона приборе Г.Шварца. Он представляет собой следующую модель: тело, со-стоящее из двух цилиндров, оси которых параллельны и находятся на рас-стоянии 2b одна от другой и у которых окружности оснований в одной и тойже плоскости имеют одинаковые диаметры. Н.Б.Делоне дал более простойпример. Его утверждение таково: “Примером такого движения служит дви-жение прямоугольного параллелепипеда размером 2a×2b×2c, подчиненногоусловию c = b

√3 и подпертого в точке, лежащей на прямой, проходящей

через центр тяжести параллельно ребру 2a и отстоящей от центра тяжести

на расстоянии x0 =

√

b2 − a2

3. Такая опора может быть сделана посредством

спицы, пропущенной сквозь параллелепипед”.Н.И.Мерцалов построил гироскоп, удовлетворяющий приближенно усло-

виям Н.Б.Делоне и сфотографировал движение светящейся точки, помещен-ной на оси Oz.

В монографии [6] изложен подход в истолковании движения тела, кото-рый предложил Н.Е.Жуковский. Он основан на свойствах момента количе-ства движения.

Таким образом, в период становления геометрических методов в динами-

5


ке твердого тела применялись различные подходы истолкования движениятвердого тела с неподвижной точкой.

2. Истолкование движения с помощью углов Эйлера. Если най-дены вектор-функции (3), то из соотношений [12]

ω1(t) = ψ sin θ sinϕ+ θ cosϕ, ω2(t) = ψ sin θ cosϕ− θ sinϕ,

ω3(t) = ϕ+ ψ cosϕ;(4)

ν1(t) = sin θ sinϕ ν2(t) = sin θ cosϕ ν3(t) = cos θ (5)

можно определить функции θ(t), ϕ(t), ψ(t). Используя векторную запись, изравенств (4), (5) получим

ϕ(t) = arctgν(t) · i1ν(t) · i2

, θ(t) = arccos(ν(t) · i3),

ψ(t) =

t∫

t0

(ω(t)× i3) · (ν(t)× i3)

(ν(t) × i3)2dτ.

(6)

Функции (6) имеют геометрический смысл углов Эйлера. Они позволяютопределить положение тела в любой момент времени. Матрица ориентацииB(θ, ϕ, ψ) приведена во многих книгах по теоретической механике (см., на-пример, [12]). Существенным моментом в ее использовании является заданиефункций ϕ(t), ψ(t), θ(t) в начальный момент времени t0.

Как показано Г.Дарбу, нахождение функций ϕ(t), ψ(t), θ(t) только че-рез компоненты вектора угловой скорости ωi(t) из (4) приводит к решениюуравнения класса Рикатти. Следовательно, в общем случае определение ори-ентации тела в пространстве через компоненты угловой скорости не пред-ставляется возможным [12,13].

3. Параметры Родрига–Гамильтона. В задачах ориентации твердо-го тела с неподвижной точкой используют численные алгоритмы [14,15]. По-скольку использование углов Эйлера в этом случае может привести к осо-бенностям, то применяются параметры Родрига–Гамильтона. Если известныфункции ϕ(t), ψ(t), θ(t), то параметры Родрига–Гамильтона находятся из со-отношений [12]

λ0 = cosθ

2cos

ψ + ϕ

2, λ1 = sin

θ

2cos

ψ − ϕ

2, (7)

λ2 = sinθ

2sin

ψ − ϕ

2, λ3 = cos

θ

2sin

ψ + ϕ

2. (8)

Параметры λ0, λ1, λ2, λ3 удовлетворяют кинематическому соотношению

λ20 + λ21 + λ22 + λ23 = 1. (9)

6


Укажем зависимости углов Эйлера и компонент ωi(t) и νi(t) от параметровλi (i = 0, 3) [12, 13]:

tgϕ =λ1λ3 − λ0λ2λ0λ1 + λ2λ3

, tgψ =λ0λ2 + λ1λ3λ0λ1 − λ2λ3

, cos θ = λ20 + λ23 − λ21 − λ22, (10)

ω1 = 2(λ0λ1 − λ1λ0 + λ3λ2 − λ2λ3),

ω2 = 2(λ1λ2 − λ2λ1 + λ1λ3 − λ3λ1), ω3 = 2(λ2λ3 − λ3λ2 + λ2λ1 − λ1λ2),(11)

ν1 = 2(λ1λ3 − λ0λ2), ν2 = 2(λ0λ1 + λ2λ3), ν3 = λ20 + λ23 − λ21 − λ22. (12)

Параметры Родрига–Гамильтона в задаче о движении твердого тела, имею-щего неподвижную точку, применялись в [12–17]. В этих параметрах можетбыть записана и матрица ориентации тела [12, 13].

4. Кинематические уравнения П.В.Харламова. Модифицирован-ная формула для полярного угла. В [4] П.В.Харламов получил урав-нения неподвижного годографа, которые оказались эффективными в методегодографов, основанном на теореме Пуансо. Первая формула из (3) определя-ет подвижный годограф вектора угловой скорости. В [4] указано следующееуравнение неподвижного годографа:

ω(t) = ωξ(t)1 + ωη(t)2 + ωζ(t)3, (13)

где

ωξ(t) = ωρ(t) cosα(t), ωη(t) = ωρ(t) sinα(t), ωζ(t) =3

∑

i=1

ωi(t)νi(t), (14)

ω2

ρ(t) =

3∑

i=1

ω2

i (t)− ω2

ζ (t), α(t) =

t∫

t0

1

ω2ρ(τ)

[

ω(τ) · (ν(τ) × ω(τ))]

dτ. (15)

Примеры кинематического истолкования движения твердого тела и гиро-стата по методу П.В.Харламова приведены в [5–8].

Определенную сложность в применении формулы для полярного угла из(15) представляет зависимость этого угла от производной угловой скорости –ω(t). В [9] получена более простая формула. Она основана на соотношении [9]

tg(α(t) − ψ(t)) = δ

(

ω(t)× ν(t))

·(

ν(t) × i3)

i3 ·(

ω(t)× ν(t)) , (16)

где δ = 0, если угол θ между векторами ν(t) и i3 постоянен и δ = 1 в против-ном случае. Если учесть в (16) выражение ψ(t) из (6), то получим формулу [9]

α(t) = α0 + δ arctg

(

ω(t)× ν(t))

·(

ν(t) × i3)

i3 ·(

ω(t)× ν(t)) +

t∫

t0

(

ω(τ) × i3)

·(

ν(t)× i3)

(

ν(τ)× i3)

2dτ.

(17)

7


Преимущество формулы (17) перед формулой для α(t) из (15) очевидно, таккак в (17) не входит производная ω(t). Формула (16) показывает, что функ-ции α(t) и ψ(t) связаны между собой алгебраической зависимостью от ω(t),ν(t). Данное обстоятельство можно использовать в задачах нахождения углапрецессии ψ(t) в тех многочисленных случаях кинематического истолкования[5–8], в которых свойства функции α(t) достаточно полно изучены. Получен-ные результаты могут быть использованы в кинематическом истолкованиидвижения тела с помощью углов Эйлера.

5. Комплексный подход в истолковании движения тела с не-подвижной точкой. Данный подход предложен в [11] и основан на фор-мулах (7)–(12), (16), (17) и на уравнениях (θ 6= const):

ωξ(t) = ψ(t) + ϕ(t) cos θ(t), ω2

ρ(t) = θ2(t) + ϕ2(t) sin2 θ(t), (18)

α(t) = ψ(t) + arctg( ϕ(t) sin θ(t)

θ(t)

)

, (19)

ωζ = 4[

(λ20 + λ23)(λ0λ3 − λ3λ0) + (λ21 + λ22)(λ1λ2 − λ2λ1)]

, (20)

ω2

ρ = 4Λ +[

(λ21+ λ2

2)•]

2, α = arctg

λ0λ2 + λ1λ3

λ0λ1 − λ2λ3+ arctg

2Λ

(λ21+ λ2

2)•, (21)

Λ = (λ21+ λ2

2)(λ0λ3 − λ0λ3) + (λ2

0+ λ2

3)(λ1λ2 − λ2λ1). (22)

Суть комплексного подхода в истолковании движения твердого тела, име-ющего неподвижную точку, состоит в том, что при рассмотрении диффе-ренциальных уравнений движения могут быть использованы различные пе-ременные задачи и различные формы уравнений движения. Первую формууравнений можно записать, используя (1):

ωi = Fi(ωi, νi), νi = ϕi(ωi, νi) (i = 1, 3). (23)

После интегрирования уравнений (23) углы Эйлера можно определить поформулам (6), параметры Родрига–Гамильтона – по формулам (7), (8), урав-нения неподвижного годографа вектора угловой скорости – по формулам(13)–(15) (с учетом представления угла α(t) в виде (17)).

Вторая форма уравнений движения твердого тела имеет вид [13, 17]:

ωi = Ui(ωi, λ0, ..., λ3), λj = Vj(ωi, λ0, ..., λ3) (i = 1, 3, j = 0, 3). (24)

Если известно решение уравнений (24), то углы Эйлера определяются из (10),уравнения неподвижного годографа находятся из (20)–(22).

Третья форма уравнений движения содержит в качестве переменныхуглы Эйлера и имеет второй порядок:

ϕ =W1(ϕ,ψ, θ, ϕ, ψ, θ), ψ =W2(ϕ,ψ, θ, ϕ, ψ, θ), θ =W3(ϕ,ψ, θ, ϕ, ψ, θ). (25)

8


Решение уравнений (25) может быть использовано для кинематическогоистолкования движения тела. Оно позволяет из (7), (8) найти параметрыλj (j = 0, 3), а с помощью уравнений (18), (19) применить теорему Пуансодля истолкования движения тела методом годографов.

6. Модифицированный метод Пуансо [9, 10]. Рассмотрим подви-жный и неподвижный годографы вектора ω(t) (см. формулы (3), (13)). Есличерез Ω0 обозначить начальную точку (при t = t0) на подвижном годографе,а через Ω′

0– на неподвижном годографе и Ω∗ – точку касания годографов в

момент времени t, то из равенства абсолютной и относительной производныхdω/dt = d′ω/dt следует, что ^ Ω0Ω

∗ =^ Ω′

0Ω∗. Из последнего равенства

и вытекает теорема Пуансо о том, что движение тела воспроизводится ка-чением без скольжения подвижного годографа вектора угловой скорости понеподвижному годографу.

Введем в рассмотрение вектор, коллинеарный вектору угловой скорости[5]

b(t) = b(t)ω(t) (b(t) > 0), (26)

где b(t) – дифференцируемая функция времени t. На основании условияdb(t)/dt = d′b(t)/dt, вытекающего из (26), следует, что подвижный и непо-движный годографы вектора b(t) имеют общую касательную, а длины дуг,описанных за одинаковый промежуток времени концом вектора b(t) на по-движном и неподвижном годографах, равны. Движение тела с неподвижнойточкой может быть представлено качением без скольжения подвижного годо-графа вектора b(t) по неподвижному годографу этого вектора [5]. Указанноесвойство позволяет для кинематического истолкования движения тела с не-подвижной точкой использовать вектор b(t).

Первый вариант. Пусть в уравнениях (14) функция ωζ(t) 6= 0. Выберемв (26) функцию b(t) в виде

b(t) =1

ωζ(t). (27)

В силу (13), (26), (27) неподвижный годограф вектора b(t) имеет представ-ление

b(t) =ωξ(t)

ωζ(t)1 +

ωη(t)

ωζ(t)2 + 3. (28)

Подвижный годограф вектора b(t) с учетом (3), (26), (27) запишем в виде

b(t) =1

ωζ(t)

3∑

j=1

ωj(t)ij. (29)

Движение тела воспроизводим качением без скольжения аксоида с на-правляющей (29) по аксоиду с направляющей (28). В силу (28) неподви-жный годограф вектора b(t) является плоской кривой. Использование векто-ра b(t) позволяет получить картину движения тела, близкую по наглядности

9


к картине движения, указанной Л.Пуансо. В [8] показано, что в решенииА.И.Докшевича [14] движение тела можно представить качением без сколь-жения двух плоских кривых.

Замечание. Указанный вариант интерпретации движения может бытьобобщен и на случай, когда подвижный годограф является плоской кривой.

Второй вариант. Представляется актуальным получение такого методав истолковании движения, который бы не содержал субъективных факторовконкретного подхода, а был бы универсальным для любых решений урав-нений динамики твердого тела. Так как при истолковании движения телане используется его конструктивное строение, то вполне естественно пред-ставляется применить объективный фактор в истолковании движения (какэто осуществил Л.Пуансо), а именно свойство движения эллипсоида инер-ции. Положим, что конец вектора b(t) принадлежит эллипсоиду инерции внеподвижной точке. Обозначим через A1, A2, A3 главные моменты инерциитела. Тогда уравнение эллипсоида инерции таково:

A1x2 +A2y

2 +A3z2 = σ2

0, (30)

где x, y, z – координаты точек, принадлежащих эллипсоиду, σ20

– постоян-ная. Потребуем, чтобы конец вектора b(t) из формулы (26) принадлежал эл-липсоиду (30). Для нахождения функции b(t) подставим в (30) вместо x, y, zвеличины bi = b(t)ωi(t). Тогда

b(t) =σ20

√

A1ω2

1(t) +A2ω

2

2(t) +A3ω

2

3(t). (31)

В силу (3), (26) подвижный годограф вектора b(t) запишем в виде

b(t) = b(t)(ω1(t)i1 + ω2(t)i2 + ω3(t)i3), (32)

а неподвижный годограф – в виде

b(t) = b(t)(ωρ(t) cosα(t)1 + ωρ(t) sinα(t)2 + ωξ(t)3). (33)

Функция b(t) определена выражением (31).Движение тела будем воспроизводить качением годографа (32) по годо-

графу (33).

7. Решение В.А. Стеклова. Рассмотрим для примера решениеВ.А.Стеклова [19] в обозначениях [20]:

ω1 = p10 cnχt, ω2 = −p20snχt, ω3 = p30dnχt; k1 =

√

b− 1

b− c, (34)

10


где

p10 = p30√1− 2c, p20 =

√

1− 2c

(1− c)(b− 1)(b− c), p30 =

√

2b− 1

(1− c)2(b− 1),

χ =

√

1

(1− c)k1, b =

A2

A1

, c =A3

A1

.

(35)

Следовательно, решение Стеклова выражается эллиптическими функциямиЯкоби (34), модуль которых k1 определен последним равенством из (34).Величины p10, p20, p30 из (35) характеризуют вид подвижного годографавектора угловой скорости.

В [10] дано истолкование движения гироскопа Стеклова с помощью мето-да годографов на основе первого способа (см. п. 6). Движение было представ-лено качением без скольжения векторов

b(t) =p10cnχt

dnχti1 −

p20snχt

dnχti2 + p30i3, (36)

b(t) = p301 +p20snχt

dnχt2 −

p10cnχt

dnχt3 (37)

и показано, что кривые (36), (37) являются эллипсами.Рассмотрим второй способ представления движения гироскопа Стеклова.

Запишем вектор b(t) для случая (31) и решения (34). С точностью до посто-янного множителя, который не влияет на общность задачи, получим

b(t) =β0

√

1 + µ0sn2χt(p10cnχt,−p20snχt, p30dnχt), (38)

где β0 = const, µ0 =2(1 − b)

(2b− 1), pi0 (i = 1, 3) имеют значения из (35).

Из равенства (38), которое определяет годограф b(t) в теле, вытекает, чтокомпоненты b1, b2 удовлетворяют уравнению

b21p220

+ (1 + µ0)b2

2p210

= β20p210p220. (39)

Второе уравнение, которому удовлетворяют компоненты bi для случая Стек-лова, найдем из соотношения (30):

b21+ bb2

2+ cb2

3= σ2

1, (40)

где σ1 – постоянная. Таким образом, подвижный годограф вектора b(t) яв-ляется линией пересечения цилирдра (39) и эллипсоида инерции (40).

Неподвижный годограф вектора b(t) в силу (13) и формулы (26) имеетвид

b(t) =β0

√

1 + µ0 + sn2χt(p30dnχt, p20snχt, −p10dnχt). (41)

11


Движение гироскопа Стеклова [15] можно воспроизвести качением безскольжения годографа (38) по годографу (41), который в силу (41) явля-ется также линией пересечения эллипсоида инерции и цилиндра. Следо-вательно, движение эллипсоида инерции в рассматриваемом случае мож-но представить как качение по другому эллипсоиду. Нетрудно установить,что для данного способа сохраняется свойство симметричности аксоидоввектора относительно касательной к ним плоскости.

8. Выводы. В статье представлены методы истолкования движения те-ла с неподвижной точкой. Особое внимание уделено обсуждению новых под-ходов в представлении движения тела на основе годографа вектора, колли-неарного вектору угловой скорости. Авторы полагают, что эти подходы по-зволят получить новые свойства движения в динамике твердого тела с не-подвижной точкой.

1. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps // J. Math. Pur et Appl. – 1851. –Bd. 1, 16. – P. 289–336.

2. Жуковский Н.Е. О значении геометрического истолкования в теоретической механике// Собр. соч.: в 7 т. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950. – Т. 7. – С. 9–15.

3. Суслов Г.К. Теоретическая механика. – М.; Л.: Гостехиздат, 1946. – 655 с.4. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную

точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 502–507.5. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. Ч. I. – Новосибирск: Изд-во Ново-

сиб. ун-та, 1965. – 221 с.6. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого

тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.7. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого

тела. – Киев: Наук. думка, 2012. – 402 с.8. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.9. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истол-

кования движения тела с неподвижной точкой // Механика твердого тела. – 2012. –Вып. 42. – С. 26–36.

10. Горр Г.В., Синенко А.И. О кинематическом истолковании движения тяжелого твердо-го тела с неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. – 2014. – 20, вып. 3.– С. 334–345.

11. Горр Г.В., Ковалев А.М. Применение параметров Родрига–Гамильтона при истолкова-нии движения твердого тела с неподвижной точкой // Прикл. математика и механика.– 2015. – 79, вып. 5. – С. 635–643.

12. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.13. Кошляков В.Н. Параметры Родрига–Гамильтона и их приложения в механике твер-

дого тела. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. – 176 с.14. Ткаченко А.И. О применении параметров Родрига–Гамильтона в алгоритмах опреде-

ления ориентации объекта // Кибернетика и вычислительная техника. – Киев: Наук.думка, 1986. – Вып. 69. – С. 47–52.

15. Челноков Ю.Н. К теории гирогоризонткомпаса в параметрах Родрига–Гамильтона //Прикл. механика. – 1984. – 20, 1. – С. 111–116.

16. Козлов В.В. Уравнения Гамильтона задачи о движении твердого тела с неподвижнойточкой в избыточных координатах // Теор. и прикл. механика. – Белград: Югославскоеоб-во механики. – 1982. – 8. – С. 59–65.

17. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Линейные нормальные колебания твердого тела в пара-метрах Родрига–Гамильтона // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 3–9.

18. Докшевич А.И. Решение в конечном виде уравнений Эйлера–Пуассона. – К.: Наук.думка, 1992. – 168 с.

12


19. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения твер-дого тела, имеющего неподвижную точку // Тр. отд-ния физ. наук О-ва любителейестествознания. – 1899. – 10, 1. – С. 1–3.

20. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Исследование решения В.А. Стеклова уравненийдвижения тела, имеющего неподвижную точку // Мат. физика. – 1968. – Вып. 5. –С. 194–202.

G.V.Gorr, A.M.Kovalev

The interpretation methods for the motions of the rigid body with the fixedpoint

The complex approach of the interpretation of the motion of the rigid body with fixed point wasproposed. The analysis of the results along the research the free rigid body movements, obtainedby Louis Poinsot, J. MacCullagh, C.G.J. Jacobi, J.J. Sylvester, G. Darboux, was done. Themodified method of hodographs was proposed. The analytical dependences between the Eulerangles, Rodrigues–Hamilton parameters and parameters of the fixed hodograph were indicated.

Keywords: Poinsot method, Kharlamov equations, Euler angles, Rodrigues–Hamilton parame-ters.

ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк

[email protected]

Получено 04.03.16

13


УДК 531.38

c©2016. А.М. Ковалев, Д.А. Данилюк

ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНАВ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Исследована зависимость от времени параметров Родрига–Гамильтона в решениях Бо-былева–Стеклова, Лагранжа, Гриоли и Гесса уравнений движения тела с неподвижнойточкой. Получены типы инвариантных соотношений в указанных решениях.

Ключевые слова: параметры Родрига–Гамильтона, решения уравнений Эйлера–Пуассона,инвариантные соотношения, твердое тело с неподвижной точкой.

Введение. В динамике твердого тела для изучения свойств движе-ния применяются различные методы и параметры (метод инвариантных со-отношений (ИС) [1, 2], углы Эйлера [3–6], параметры Родрига–Гамильтона(Р.–Г.) [7–12] и др.). На их базе получена значительная информация о движе-нии твердого тела под действием силы тяжести [4, 5] и под действием потен-циальных и гироскопических сил [6]. Использование параметров Р.–Г. акту-ально не только в задачах ориентации движущихся объектов [7, 8], но и приизучении колебаний тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [9]. Поэто-му представляет интерес исследование свойств параметров Р.–Г. в частныхрешениях уравнений Эйлера–Пуассона.

Данная статья посвящена изучению зависимостей от времени параметровР.–Г. в решениях Бобылева–Стеклова, Лагранжа, Гриоли и Гесса и исследо-ванию в этих решениях ИС, которые зависят только от параметров Р.–Г.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения твердого те-ла под действием силы тяжести [3–5]

Aω = Aω × ω + s(e× ν), ν = ν × ω. (1)

Здесь обозначено: ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости; ν = (ν1, ν2, ν3)– единичный вектор, указывающий направление силы тяжести; A = (Aij) –

тензор инерции; e = (e1, e2, e3) – единичный векторOC

|OC| , где O – непод-

вижная точка, C – центр тяжести тела; s = mg |OC|, где m – масса тела, g –ускорение свободного падения.

Уравнения (1) имеют первые интегралы

Aω · ω − 2s(e · ν) = 2E, ν · ν = 1, Aω · ν = k, (2)

где E и k – произвольные постоянные.

14

Применение параметров Родрига–Гамильтона в частных решениях уравнений динамики

Введем углы Эйлера θ, ϕ, ψ таким образом, что θ = ∠ (e,ν), ϕ – скорость

собственного вращения твердого тела вокруг вектора e, ψ – скорость прецес-сии вокруг вектора ν. Тогда [11]

ω1 = ψ sin θ sinϕ+ θ cosϕ, ω2 = ψ sin θ cosϕ− θ sinϕ, ω3 = ϕ+ ψ cos θ, (3)

ν1 = sin θ sinϕ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = cos θ. (4)

Если известно решение уравнений (1)

ωi = ωi(t), νi = νi(t) (i = 1, 3), (5)

то углы Эйлера можно определить из (3), (4):

θ = arccos ν3, ϕ = argtgν1ν2, ψ =

∫ t

t0

ω1(t)ν1(t) + ω2(t)ν2(t)

ν21(t) + ν2

2(t)

dt. (6)

Параметры Р.–Г. выражаются через углы Эйлера (6) следующим образом[11]:

λ0 = cosθ

2cos

ψ + ϕ

2, λ1 = sin

θ

2cos

ψ − ϕ

2,

λ2 = sinθ

2sin

ψ − ϕ

2, λ3 = cos

θ

2sin

ψ + ϕ

2.

(7)

Они удовлетворяют тождеству

λ20+ λ2

1+ λ2

2+ λ2

3= 1.

Если известны параметры Р.–Г., то углы Эйлера определим из (7) по фор-мулам

tgϕ =λ1λ3 − λ0λ2λ0λ1 + λ2λ3

, tgψ =λ0λ2 + λ1λ3λ0λ1 − λ2λ3

,

cos θ = λ20+ λ2

3− λ2

1− λ2

2,

(8)

а νi – из равенств

ν1 = 2(λ1λ3 − λ0λ2), ν2 = 2(λ0λ1 + λ2λ3), ν3 = λ20+ λ2

3− λ2

1− λ2

2. (9)

Для записи уравнений (1) в параметрах Р.–Г. необходимо в эти уравненияподставить значения (9). Например, в главной подвижной системе координатуравнения Эйлера–Пуассона (1) принимают вид

A1ω1 = (A2 −A3)ω2ω3 + s[

e2(

λ20+ λ2

3− λ2

1− λ2

2

)

− 2e3(

λ0λ1 + λ2λ3)]

,

A2ω2 = (A3 −A1)ω3ω1 + s[

2e3(

λ1λ3 − λ0λ2)

− e1(

λ20+ λ2

3− λ2

1− λ2

2

)]

,

A3ω3 = (A1 −A2)ω1ω2 + 2s[

e1(

λ0λ1 + λ2λ3)

− e2(

λ1λ3 − λ0λ2)]

,

(10)

15

А.М. Ковалев, Д.А. Данилюк

2λ0 = − (ω1λ1 + ω2λ2 + ω3λ3) ,

2λ1 = ω1λ0 + ω3λ2 − ω2λ3,

2λ2 = ω2λ0 + ω1λ3 − ω3λ1,

2λ3 = ω3λ0 + ω2λ1 − ω1λ2.

Уравнения (10) с помощью формул [7]

ω1 = 2(

λ0λ1 − λ1λ0 + λ3λ2 − λ2λ3)

,

ω2 = 2(

λ0λ2 − λ2λ0 + λ1λ3 − λ3λ1

)

,

ω3 = 2(

λ0λ3 − λ3λ0 + λ2λ1 − λ1λ2

)

можно привести к системе трех дифференциальных уравнений на параметрыλ1, λ2, λ3 [7, 9]. Интегралы (2) преобразуются очевидным образом с учетом(9).

2. Решение Бобылева–Стеклова. Это решение подробно исследо-вано в [1, 3]. Следуя [3], положим в уравнениях (1) e = (1, 0, 0), A == diag (2A2, A2, A3) , а в интегралах (2) значения постоянных таковы:

E = A2χ2 −H, k =

2A2Hχ

s,

где χ,H – параметры. Тогда уравнения (1) допускают решение (посколькуформулы (3), (9) для параметров Р.–Г. записаны в другой системе коорди-нат по сравнению с рассматриваемым решением, то для новых переменныхиспользуем “∼”):

ω1 = χ,dω2

dt= − 1

A2

√

f (ω2), ω3 = 0,

ν1 =1

s

(

A2

2ω2

2+H

)

, ν2 = −A2χ

sω2, ν3 =

1

s

√

f (ω2),

(11)

где

f (ω2) = −A2

2

4ω4

2−A2

(

A2χ2 +H

)

ω2

2+ s2 −H2. (12)

Из (11) следует, что подвижный годограф вектора угловой скорости – отрезокпрямой.

Опуская знак “∼”, представим решение (11), (12) в эллиптических функ-циях, используя систему координат, в которой записаны соотношения (3)–(6),т. е. полагаем e = (0, 0, 1). Тогда

ν1 = −χ√

2A2

s(ν

(2)

1− ν

(1)

1) cn (αt) , (13)

16


ν2 =

√

(

ν(2)

1− ν

(3)

1

)(

ν(2)

1− ν

(1)

1

)

dn (αt) sn (αt) , (14)

ν3 = ν(2)

1−

(

ν(2)

1− ν

(1)

1

)

sn2 (αt) , (15)

ω1 =

√

2s

A2

(ν(2)

1− ν

(1)

1) cn (αt) , ω2 = 0, ω3 = χ,

где

ν(1)

1=H

s, ν

(2, 3)1

=1

s

(

−A2χ2 ±

√

A2

2χ4 + 2A2Hχ2 + s2

)

,

α =

√

s(

ν(2)

1− ν

(3)

1

)

/(2A2), −s < H < s,

а переменная ν3 изменяется в промежутке[

ν(1)

1, ν

(2)

1

]

. Эллиптические функ-ции в формулах (13)–(15) имеют модуль

k1 =

√

(

ν(2)

1− ν

(1)

1

)

/(

ν(2)

1− ν

(3)

1

)

.

Для нахождения значений параметров Р.–Г. в решении Бобылева–Стеклова воспользуемся соотношениями (6) и (13)–(15):

cos θ(t) = ν(2)

1−

(

ν(2)

1− ν

(1)

1

)

sn2(

αt)

, (16)

tgϕ(t) =ν1(t)

ν2(t)= − χ

√2A2 cn (αt)

√

s(ν(2)

1− ν

(3)

1) dn

(

αt)

sn(

αt)

, (17)

ψ(t) = − s

A2

∫ t

0

dτ

1 +(

ν(2)

1− ν

(1)

1

)

ctg2ϕ(τ). (18)

Зависимость параметров λi(

i = 0, 3)

от времени найдем из соотношений(7) с учетом формул (16)–(18).

Из равенств (13) – (15) определяем ИС на параметры Р.–Г. для случаяБобылева–Стеклова:

2s(λ1λ3 − λ0λ2)2 −A2χ

2(

λ20+ λ2

3− λ2

1− λ2

2− ν

(1)

1

)

= 0,

4(λ0λ1 + λ2λ3)2 + h(λi)

(

h(λi)− ν(2)

1+ ν

(3)

1

)

= 0,(19)

где

h(λi) = ν(2)

1− λ20 − λ23 + λ21 + λ22.

Итак, ИС (19) являются многочленами по параметрам Р.–Г. четвертого по-рядка.

17


Формула (18) представляет интерес, поскольку из нее следует достаточнонаглядное представление зависимости скорости прецессии от угла собствен-ного вращения тела:

ψ(t) = − s

A2

[

1 +(

ν(2)

1− ν

(1)

1

)

ctg2 ϕ(τ)]

.

ИС для компонент вектора угловой скорости в силу (11) имеет линейныйхарактер.

3. Решение Лагранжа (изоконические движения сферическогогироскопа). Рассмотрим тяжелое твердое тело, эллипсоид инерции кото-рого является сферой: A3 = A2 = A1. Выбором системы координат можнопринять e1 = e2 = 0. Тогда из (1), (2) имеем

ω1 = − s

A1

ν2, ω2 =s

A1

ν1, ω3 = 0, (20)

ν = ω3ν2 − ω2ν3, ν2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν3 = ω2ν1 − ω1ν2, (21)

ω2

1+ ω2

2+ ω2

3= 2(sν3 + E)/A1, ν2

1+ ν2

2+ ν2

3= 1, (22)

ω1ν1 + ω2ν2 + ω3ν3 = k/A1. (23)

Изучим изоконические движения сферического гироскопа [4,6]. Для этихдвижений подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скоростисимметричны относительно касательной плоскости к аксоидам. При этом не-обходимым и достаточным условием является ИС

ω · (ν − c) = 0, (24)

где c – единичный вектор, неизменно связанный с телом. Положим c == (0, 0, 1) [6]. Тогда из (24) следует

ω1ν1 + ω2ν2 + ω3(ν3 − 1) = 0. (25)

Уравнения (20), (21) и интегралы (22), (23) описывают движение гиро-скопа Лагранжа для случая сферического распределения масс. Из третьегоуравнения системы (20) получим ω3 = c∗, где c∗ – произвольная постоянная.Потребуем, чтобы (25) было следствием (23). Тогда для ω3 имеем следующеезначение

ω3 = k/A1. (26)

В [6] показано, что, если компоненты угловой скорости заданы в виде (3),

то (25) выполняется при условии, когда в соотношениях (3) ψ = ϕ. Сравнивая(3) и (26), получим

ϕ = k/(A1(1 + cos θ)). (27)

18


Для нахождения уравнения на функцию θ(t) воспользуемся первым урав-нением из (22) и соотношениями (3)

θ =

√

a2 cos2 θ + a1 cos θ + a01 + cos θ

, (28)

гдеa2 = 2s/A1, a1 = 2(s + E)/A1, a0 = 2(EA1 − k2)/A2

1.

При преобразовании решения уравнения (28) к эллиптическим функциям за-пишем его в виде

ν3 = −√

(1− ν3)(a2ν23 + a1ν3 + a0). (29)

Без ограничения общности считаем s > 0. Тогда переменная ν3 изменяетсяв промежутке

ν(1)

3≤ ν3 ≤ 1, ν

(1)

3=

−a1 +√

a21− 4a0a2

2a2.

Из уравнения (29) в силу (27) получим

ν3 = 1−(

1− ν(1)

3

)

sn2 (gt), (30)

где sn (gt) – эллиптическая функция с модулем k2 и параметром g, имеющимиследующие значения:

k2 =

√

√

√

√

1− ν(1)

3

1− ν(2)

3

, ν(2)

3=

−a1 −√

a21− 4a0a2

2a2, g =

√

s(

1− ν(2)

3

)

2A1

. (31)

Таким образом, на основании (30) и равенства ν3 = cos θ можно записать

sin2θ

2=

1

2

(

1− ν(1)

3

)

sn2(gt), cos2θ

2=

1

2

(

2−(

1− ν(1)

3

)

sn2(gt))

. (32)

Функцию ϕ(t) определим из (27) в силу (30):

ϕ(t) =k

A1

∫ t

0

dt

2−(

1− ν(1)

3

)

sn2 (gt). (33)

В случае изоконических движений сферического гироскопа для пара-метров Р.–Г. из (7) получим

λ0 = cosθ

2cos ϕ, λ1 = sin

θ

2,

λ2 = 0, λ3 = cosθ

2sin ϕ,

(34)

19


где функции sin θ2, cos θ

2находятся из (32), а функция ϕ(t) – из (33), в кото-

рых необходимо учесть равенства (31). Таким образом, для рассматриваемыхдвижений найдены зависимости параметров Р.–Г. от времени: соотношения(34) с учетом (32), (33). Из них следует, что одно ИС имеет линейный вид.Другое ИС для уравнений (10) тоже линейное, но оно линейно по отношениюк компоненте ω3. Следовательно, в случае сферического гиростата для этихуравнений имеем два линейных ИС по отношению к переменным задачи.

4. Решения, описывающие прецессионные движения тела. В ди-намике твердого тела особую роль играют решения, которые характеризу-ются прецессионными движениями тела. В [6] показано существование пре-цессий тела относительно оси, не совпадающей с вектором ν.

Пусть ось l1 с единичным вектором a и с началом в неподвижной точкенеизменна по отношению к телу и составляет постоянный угол θ0 с осью l2 ,которая неподвижна в пространстве. Обозначим через γ единичный вектороси l2. Для прецессий выполняются следующие кинематические уравнения[6]:

a = 0, γ = γ × ω, ν = ν × ω, (35)

гдеa · a = 1, ν · ν = 1, γ · γ = 1, ν · γ = c0 = cos χ0. (36)

Класс прецессий твердого тела, имеющего неподвижную точку, характеризу-ется инвариантными соотношениями [6]

a · γ = a0, ω = ϕa+ ψγ (a0 = cos ∠ (a,γ)). (37)

Если неподвижную систему координат связать с вектором a, т. е. третьюось ее направить по вектору a = (0, 0, 1), то имеют место cоотношения

γ1 = a′0 sin ϕ, γ2 = a′0 cos ϕ, γ3 = a0. (38)

где a0 = cos θ0, a′

0=

√

1− a20.

Они удовлетворяют кинематическому уравнению для вектора γ из (35)и соотношению γ

2 = 1 из (36). Для вектора ν в [6] получено следующееразложение:

ν = (c0 + a0b′

0sin ψ)γ − b′

0a sin ψ − b′

0(γ × a) cos ψ, (39)

где b′0 =

√

1− c20

1− a20

. Когда вектор ν имеет вид (39), а вектор γ – (38), то

кинематическое уравнение для ν из (35) становится тождеством.При рассмотрении прецессий относительно наклонной оси параметры Р.–

Г. можно найти по аналогии с (3), (4), (7), т. е. в дальнейшем полагаем

λ0 = cosθ02cos

ψ + ϕ

2, λ1 = sin

θ02cos

ψ − ϕ

2,

λ2 = sinθ02sin

ψ − ϕ

2, λ3 = cos

θ02sin

ψ + ϕ

2,

(40)

20


где углы θ0, ψ, ϕ – углы Эйлера, введенные с помощью неподвижной системыкоординат, которая связана с вектором γ (но не с вектором ν, как ранее).

Пример 1. Решение Д. Гриоли . Пусть в уравнениях (1) e = (0, 0, 1),компоненты тензора A удовлетворяют равенствам

A23 = 0, A12 = 0, A13 6= 0, A22 = A11, (41)

параметр s имеет значение

s = m2

√

A2

13+A2

33. (42)

Тогда при выполнении (41), (42) уравнения (1) допускают решение Д. Гриоли[13], которое запишем в обозначениях [6]:

ω1 = m sin mt, ω2 = m cos mt, ω3 = m, (43)

ν1 = cos χ0 sinmt− sin χ0 cos2mt,

ν2 = cosχ0 cosmt+1

2sinχ0 sin 2mt,

ν3 = − sinχ0 sinmt (tgχ0 = A13/A33),

(44)

характеризующееся регулярной прецессией тела относительно наклонной осиl2 (угол между этой осью и вектором ν приведен выше, а угол θ0 = π/2).

Указанное свойство можно доказать следующим образом. На основаниирешения (43), (44) получим, что вектор γ с компонентами в подвижном про-странстве

γ1 = sinmt, γ2 = cosmt, γ3 = 0 (45)

не изменяет своего положения в неподвижном пространстве. В процессе дви-жения выполняется инвариантное соотношение e·γ = 0, т. е. вектор e перпен-дикулярен вектору γ (θ0 = π/2). Угловая скорость тела в силу соотношений(45) в векторном виде такова:

ω = m(e+ γ). (46)

Из формулы (46) следует, что в (37) ϕ = ψ = m. Выберем неподвижнуюсистему так, что ϕ = ψ = mt (t – время). Подставив θ0 = π/2, ϕ = ψ = mt всоотношения (40), имеем

λ0 =

√2

2cos mt, λ1 =

√2

2, λ2 = 0, λ3 =

√2

2sinmt. (47)

Из (47) следует, что имеют место два линейных ИС на параметры Р.–Г. Для получения зависимостей компонент вектора ν от параметров Р.–Г.подставим cosmt, sinmt из (47) в (44):

ν1 =√2(

λ3 cos χ0 −√2λ2

0sin χ0

)

, ν2 =√2λ0

(

cos χ0 +√2λ3 sin χ0

)

,

ν3 = −√2λ3 sin χ0,

(48)

21


при этом компоненты ωi из (43) выражаются через параметры Р.–Г. следую-щим образом:

ω1 =√2mλ3, ω2 =

√2mλ0, ω3 = m. (49)

Соотношения (48), (49) с учетом (47) являются решением уравнений (1)при условиях (41), (42).

Пример 2. Решение В. Гесса . Как показал А. Брессан [14], в решенииВ. Гесса [15] при нулевом значении постоянной интеграла моментов из (2)имеет место прецессия относительно горизонтальной оси, т. е.

a = e, e · γ = 0, ν · γ = 0

и в формуле (39) χ0 = π/2, θ0 = π/2. Для записи решения, описывающегоданную прецессию, воспользуемся введенной выше системой координат e == (0, 0, 1). Пусть компоненты тензора Aij удовлетворяют условиям [6]

A12 = 0, A23 = 0, A2

13 = A33(A11 −A22).

Следуя обозначениям [6], имеем

γ = (sin ϕ, cos ϕ, 0) , ω =(

ψ sin ϕ, ψ cos ϕ, ϕ)

, (50)

Aω =(

A11ψ sin ϕ+A13ϕ, A22ψ cos ϕ,A13ψ sin ϕ+A33ϕ)

, (51)

ν = (− cos ϕ cos ψ, sin ϕ cos ψ,− sin ψ) , (52)

где

ϕ = −A13

A33

ψ sin ϕ, ψ =

√

2

A22

(E − s sin ψ). (53)

Выпишем решение уравнений (53). Из первого уравнения данной системыимеем [6]

sin ϕ =1

ch u, u =

A13

A33

ψ + c, (54)

где c – произвольная постоянная. Формулами (50)–(52) определены все пере-менные задачи (1). Для нахождения зависимости ψ(t) от времени из второгоуравнения системы (53), положив

µ =

√

E + s

2A22

, k3 =

√

2s

E + s, ψ = 2α− π

2, (55)

получимdα

√

1− k23sin2 α

= µt.

22


Тогда с учетом (55) имеем

ψ = 2 amµt− π

2, sin

ψ

2=

1√2(snµt− cnµt), cos

ψ

2=

1√2(snµt+ cnµt), (56)

где amµt, snµt, cnµt – эллиптические функции с модулем k3 из (55). Пара-метры Р.–Г. имеют вид

λ0 =

√2

2cos

ψ + ϕ

2, λ1 =

√2

2cos

ψ − ϕ

2,

λ2 =

√2

2sin

ψ − ϕ

2, λ3 =

√2

2sin

ψ + ϕ

2,

(57)

где функции ψ(t), ϕ(t) выражаются по формулам (54), (56). Представляетинтерес вид ИС для прецессий Брессана–Гесса. Используя (8), (57) и (54),(56), найдем

λ20 + λ23 =1

2, λ21 + λ22 =

1

2, (58)

λ0λ1 + λ2λ3λ1λ3 − λ0λ2

= sh

[

A13

A33

arctgλ0λ2 + λ1λ3λ0λ1 − λ2λ3

+ c

]

. (59)

Таким образом, в случае прецессии относительно горизонтальной оси ги-роскопа Гесса для параметров Р.–Г. имеют место два квадратичных ИС (58)и одно ИС трансцендентного вида (59).

Выводы. Исследованы свойства параметров Р.–Г. в решениях уравне-ний Эйлера–Пуассона в случаях Бобылева–Стеклова, Лагранжа, Гриоли иГесса. Полученные результаты могут быть применены в истолковании дви-жения тела.

1. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб.ун-та, 1965. – 221 с.

2. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных урав-нений // Механика твердого тела. – 1969. – Вып. 6. – С. 15–24.

3. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердоготела. – Киев: Наук. думка, 2012. – 402 с.

4. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.5. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого

тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-

нецк: ДонНУ, 2010. – 364 с.7. Кошляков В.Н. Параметры Родрига–Гамильтона и их приложения в механике твер-

дого тела. – Киев: Ин-т математики НАНУ, 1994. – 176 с.8. Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига–Гамиль-

тона по его угловой скорости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1977. – 3. – С. 11–20.

9. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Линейные нормальные колебания твердого тела в пара-метрах Родрига–Гамильтона // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 3–9.

23


10. Данилюк Д.А. Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона // Ме-ханика твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – С. 39–45.

11. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.12. Козлов В.В. Уравнения Гамильтона задачи о движении твердого тела с неподвижной

точкой в избыточных координатах // Теор. и прикл. механика. – Белград: Югослав-ское об-во механики. – 1982. – 8. – С. 59–65.

13. Grioli G. Esistenza e determinazione della precessioni regolari dinamicamente possibili perun solido pesante asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. – 1947. – XXVI, Ser. IV. –P. 271–281.

14. Bressan A. Sulle precessioni d’un corpo rigido costituenti moti di Hess // Rendiconti delSeminario Matematico della Universita di Padova. – 1957. – 27. – P. 276–283.

15. Hess W. Uber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und uber eine neue particulare Losungdes Problems der Bewegung eines starren Korpers um einen festen Punkt // Math.Annalen. – 1890. – 37, 2. – P. 153–181.

D.A. Daniljuk, A.M. Kovalev

Properties of the Rodrigues–Hamilton parameters of partial solutionsof equations of a heavy rigid body dynamics

The paper studies the time dependence of Rodrigues–Hamilton parameters in Bobylev–Steklov,Lagrange, Grioli and Hess solutions to differential equations of motion of a rigid body with afixed point. Types of invariant relations obtained in these solutions.

Keywords: Rodrigues–Hamilton parameters, solutions of the Euler–Poisson equations, invari-ant relations.


[email protected]


24


УДК 531.38

c©2016. Г.В. Горр, А.В.Мазнев

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛАНА ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

Рассмотрены дифференциальные уравнения обобщенной задачи о движении твердого те-ла под действием потенциальных и гироскопических сил. Изучено интегрирование этихуравнений на инвариантных многообразиях, описываемых тремя инвариантными соотно-шениями. Получены новые классы решений и первых интегралов уравнений Пуассона.

Ключевые слова: инвариантные соотношения, первые интегралы, уравнения Пуассона.

Введение. Уравнения Д. Гриоли [1] являются наиболее общими уравне-ниями движения твердого тела под действием потенциальных и гироскопиче-ских сил, которые допускают три первых интеграла. При решении обратнойзадачи о нахождении условий существования у этих уравнений трех инва-риантных соотношений [2, 3] специального вида задача сводится к интегри-рованию уравнения Пуассона произвольной структуры. Различные случаинахождения решения уравнений Пуассона приведены в статьях [2–6]. Резуль-таты указанных статей были получены при исследовании задачи о движе-нии твердого тела в жидкости [4, 7, 8] и задачи о движении гиростата поддействием потенциальных и гироскопических сил [5,6]. В данной статье ука-заны новые случаи интегрирования уравнений Пуассона в квадратурах, ко-торые могут быть использованы при решении обратной задачи об условияхсуществования трех инвариантных соотношений уравнений Д. Гриоли. Этисоотношения описывают в пространстве основных переменных задачи инва-риантное множество по Леви-Чивите [9], т. е. производные от инвариантныхсоотношений в силу уравнений Гриоли–Пуассона обращаются в нуль на дан-ных соотношениях. Рассмотрена задача интегрирования уравнений Пуассонав квадратурах для разного вида инвариантных соотношений.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения твердого те-ла с неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопическихсил, указанных Д.Гриоли [1]:

Aω = Aω × ω +[

µ(ν1, ν2, ν3)ν +∂L(ν1, ν2, ν3)

∂ν

]

×ω +∂U(ν1, ν2, ν3)

∂ν× ν,

ν = ν × ω,

(1)

где ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости тела; ν = (ν1, ν2, ν3) – еди-ничный вектор оси симметрии силовых полей; A = (Aij) – тензор инерции;µ(ν1, ν2, ν3), L(ν1, ν2, ν3), U(ν1, ν2, ν3) – дифференцируемые функции перемен-

25

Г.В. Горр, А.В.Мазнев

ных ν1, ν2, ν3;∂L

∂νи∂U

∂ν– градиенты функций L(ν1, ν2, ν3), U(ν1, ν2, ν3). Урав-

нения (1) имеют интегралы

ν · ν = 1, Aω · ν + L(ν1, ν2, ν3) = k, Aω · ω − 2U(ν1, ν2, ν3) = 2E, (2)

k и E – произвольные постоянные.Следуя [2,3], поставим задачу об исследовании у уравнений (1) инвариант-

ных соотношений (ИС)

σ : ω1 = ω1(ν1, ν2, ν3), ω2 = ω2(ν1, ν2, ν3), ω3 = ω3(ν1, ν2, ν3), (3)

где функции заданы в пространстве R3(ν1, ν2, ν3). Будем предполагать, чтосоотношения (3) являются инвариантными соотношениями по Леви-Чивите[10], т. е. производные от соотношений (3) обращаются в нуль на всем множе-стве σ при ν ∈ R3. Для нахождения условий существования ИС (3) уравнений(1), (2) необходимо вначале подставить ω из (3) во второе уравнение системы(1):

ν = ν × ω(ν), (4)

а затем изучить решения первого уравнения из (1) на ИС (3) с учетом (4). В(4) введено обозначение ω(ν) =

(

ω1(ν1, ν2, ν3), ω2(ν1, ν2, ν3), ω3(ν1, ν2, ν3))

.Будем предполагать, что решается обратная задача исследования ИС (3)

для уравнений (1). Тогда с помощью интегралов (2) найдем [2, 3]

L(ν1, ν2, ν3) = k −Aω(ν) · ν, U(ν1, ν2, ν3) =1

2(Aω(ν) · ω(ν)

)

− E. (5)

Подставляя выражения (5) в первое уравнение из (1) и учитывая (4),получим, полагая A = (Ai),

µ(ν1, ν2, ν3) = A1

∂ω1(ν1, ν2, ν3)

∂ν1+A2

∂ω2(ν1, ν2, ν3)

∂ν2+A3

∂ω3(ν1, ν2, ν3)

∂ν3. (6)

Если ввести обозначение g =(

A1ω1(ν1, ν2, ν3), A2ω2(ν1, ν2, ν3), A3ω3(ν1, ν2, ν3))

,то условие (6) можно записать в виде

µ(ν1, ν2, ν3) =∂g1(ν1, ν2, ν3)

∂ν1+

∂g2(ν1, ν2, ν3)

∂ν2+

∂g3(ν1, ν2, ν3)

∂ν3= divg, (7)

где gi(ν1, ν2, ν3) = Aiωi(ν1, ν2, ν3). Таким образом, задача интегрированияуравнений (1) на ИС (3) сведена к интегрированию уравнения (4), т. е. урав-нения Пуассона из (1) на ИС (3).

В данной статье приведены результаты интегрирования уравнения (4) ипредложены новые случаи разрешимости этих уравнений в квадратурах, ко-торые могут быть применены для решения задачи (1).

26

Об интегрировании уравнений на инвариантных многообразиях

2. Линейные инвариантные соотношения. Положим в (1)

U(ν1, ν2, ν3) = s · ν − 1

2(Cν · ν), L(ν1, ν2, ν3) = λ · ν − 1

2(Bν · ν), (8)

где s = (s1, s2, s3) и λ = (λ1, λ2, λ3) – постоянные векторы, B и C – постоянныесимметричные матрицы третьего порядка. Тогда в силу (8) из (1) получимуравнения класса Кирхгофа–Пуассона

Aω = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + ν × (Cν − s), ν = ν × ω. (9)

Уравнения (9) можно рассматривать как уравнения движения гиростата поддействием заданного класса сил, или как уравнения движения твердого телав жидкости [7].

Примем в качестве ω три линейных ИС. В векторной форме имеем

ω(ν1, ν2, ν3) = g(0) +Gν, (10)

где в общем случае матрица G не симметрична:

G =

g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

. (11)

Здесь gij – постоянные параметры. Исследование ИС (10) для уравне-ний класса (9) проводилось С.А.Чаплыгиным [4], П.В.Харламовым [8],Х.М.Яхьей [5], Г.В. Горром и Е.К.Узбек [6, 10], Л.Н.Орешкиной [3], Г.В.Мо-залевской и М.Е.Лесиной [11]. Приведем некоторые результаты по исследо-ванию ИС (10), которые можно обобщить на случай уравнений (1).

Пример С.А.Чаплыгина [4] с обобщением [11]. Пусть ИС (10)заданы в виде

ω1 = b1ν1 + b2ν2 + b0, ω2 = c2ν2 − b2ν1 + c0, ω3 = d3ν3. (12)

Подставим выражения (12) в уравнение (4):

ν1 = ν3[

(d3 − c2)ν2 + b2ν1 − c0]

, ν2 = ν3[

(b1 − d3)ν1 + b2ν2 + b0]

,

ν3 = (c2 − b1)ν1ν2 − b2(ν2

1+ ν2

2)− b0 + c0.

(13)

При обобщении решения С.А.Чаплыгина [4] в препринте [11] вводятся новыепеременные

γ1 = ν1 + h1, γ2 = ν2 + h2.

Интегрирование уравнений (13) в [11] проведено для двух вариантов. В пер-вом варианте получено

(γ2 + cγ1)µ+1 − c2(γ2 − cγ1)

µ−1 = 0, (14)

27


где

µ = − b2κ(d3 − c2)

, κ2 =

d3 − c2b1 − d3

> 0, c = const.

Во втором варианте полагается, что параметры таковы:d3 − c1d3 − b1

= ν2. Ре-

зультат интегрирования уравнений (13) запишем так [11]:

γ1 =c

√

1 + ν2ξ2e

b2

(b1−d3)νarctg(1+ν2ξ2)

, (15)

где ξ =γ2γ1

, c = const. Следовательно, интегралы (14), (15) можно запи-

сать в виде F (γ1, γ2, c) = 0, где c – произвольная (неаддитивная) постоянная,а функция F относительно γ1, γ2 – трансцендентна. Это обстоятельство за-трудняет получение решения уравнений (13) в квадратурах.

В [4–6] изучены некоторые частные случаи интегрируемости уравнения(4), которые характеризуются либо дробно-линейным первым интегралом,либо квадратичным первым интегралом, не зависящим от интеграла ν2

1+

+ν22+ ν2

3= 1.

Пример Г.В. Горра и Е.К. Узбек [6, 10]. Условия существованиядробно-линейного первого интеграла для уравнения

ν = ν × g(0) + ν ×Gν, (16)

где матрица G имеет вид (11), найденного в результате подстановки ω из (10)в уравнение (4), в общем случае изучены в [10]. Полагая в (16) G = G++G−,где G+ – симметричная матрица, G− – антисимметричная матрица, получимуравнение

ν = ν × (g(0) +G+ν +G−

ν). (17)

Если параметры ИС (10) удовлетворяют условию G+ = 0, то уравнение (17)можно записать в виде

ν = ν × g(0) + (ν · ν)n − (ν · n)ν, (18)

где n = (−g23, g13,−g12). В [10] показано, что при выполнении условия

g(0) · n = 0 уравнение (18) допускает дробно-линейный первый интеграл

(g(0))2 + ν · (n × g(0))

g(0) · ν = c0. (19)

Здесь c0 – произвольная постоянная. На основании геометрического инте-грала ν · ν = 1 и интеграла (19) в статье [10] выполнено интегрированиеуравнения (18) в квадратурах.

28


Интеграл (19) при g(0) = 0 имеет особенность. В этом случае, выбираянекоторый вектор a так, чтобы a · n = 0 , первый интеграл уравнения (18)получим в виде

ν · (a× n)a · ν = c0 (c0 = const). (20)

С помощью соотношения ν · ν = 1 и нтеграла (20) можно получить решениеуравнения (18) в элементарных функциях времени.

В [6] также показано, что при выполнении условия g(0) × n = 0 урав-нение (18) интегрируется. Однако дополнительный первый интеграл имееттрансцендентную структуру.

Установленные выше результаты могут быть применены и к уравнени-ям Д.Гриоли (1), в которых функции µ(ν1, ν2, ν3), L(ν1, ν2, ν3), U(ν1, ν2, ν3)выбираются в виде (5), (6).

3. Нелинейные инвариантные соотношения. Рассмотрим примеры,в которых одно из ИС уравнений (9) имеет нелинейную структуру.

Примеры П.В.Харламова [8] и С.В.Скрыпник [12]. Они характе-ризуются следующими ИС:

ω1 = b1ν1 + b3ν3, ω2 = b1ν2 + c3ν3, ω3 =1

ν3(l0 + d0ν

2

3). (21)

Подставим ωi из (21) в скалярные уравнения, вытекающие из (4)

ν1 =1

ν3

[

ν2(l0 + (d0 − b1)ν2

3 )− c3ν3

3

]

,

ν2 =1

ν3

[

− ν1(l0 + (d0 − b1)ν2

3) + b3ν

3

3

]

,

ν3 = ν3(c3ν1 − b3ν2).

(22)

Непосредственной проверкой можно установить, что уравнения (22) допуска-ют первый интеграл

b3ν1 + c3ν2 −l0ν3

+ (d0 − b1)ν3 = c, (23)

где c – произвольная постоянная. Параметризация: ν1 = sin θ cosϕ,ν2 = sin θ sinϕ, ν3 = cos θ позволяет на основании (23) достаточно простонайти решение уравнений (22) в квадратурах.

Примеры Г.В. Горра, А.В.Мазнева [13, 14] для уравнений Кирх-гофа с переменным гиростатическим моментом. Пусть заданы ИС

ω1 = eν3, ω2 = dν3, ω3 =a+ bν3 + cν2

3

ν3. (24)

29


Из уравнения (4) в случае (24) имеем

ν1 =1

ν3

[

ν2(a+ bν3 + cν23)− dν3

3

]

,

ν2 =1

ν3

[

− ν1(a+ bν3 + cν23) + eν33

]

,

ν3 = ν3(dν1 − eν2).

(25)

Уравнения (25) имеют первый интеграл

eν1 + dν2 + cν3 + b ln |ν3| −a

ν3= c∗ (c∗ = const). (26)

Первый интеграл (26) принципиально отличается от первого интеграла(23), так как он содержит слагаемое с ln |ν3|. Данное свойство влияет на на-хождение решения уравнений (25), поскольку в процессе приведения этогорешения к квадратурам приходится обращать нестандартные интегралы.

4. Новые классы решений уравнений Пуассона. Изложенные вп. 2, 3 результаты позволяют сделать некоторые обобщения в выборе трех ИСдля уравнений Пуассона.

Первое обобщение. Пусть ИС имеют вид

ω1 = β1ν3, ω2 = β2ν3, ω3 =ϕ(ν3)

ν3(ν3 6= 0). (27)

Запишем для ИС (27) уравнения Пуассона

ν1 =1

ν3

(

ν2ϕ(ν3)− β2ν3

3

)

,

ν2 =1

ν3

(

− ν1ϕ(ν3) + β1ν3

3

)

,

ν3 = ν3(β2ν1 − β1ν2).

(28)

Уравнения (28) допускают следующее интегральное соотношение:

β1ν1 + β2ν2 +

∫

ϕ(ν3)

ν23

dν3 = c, (29)

где c – произвольная постоянная. Формула (29) позволяет при заданной функ-ции ϕ(ν3), например, при

ϕ(ν3) = α0 + α1ν3 + α2ν2

3 + . . .+ αnνn3 (30)

получить первый интеграл уравнений (28):

β1ν1 + β2ν2 −α0

ν3+ α1 ln |ν3|+ α2ν3 + . . . + αnν

n−1

3= c. (31)

С помощью геометрического интеграла ν ·ν = 1 и (31) интегрирование урав-нений (28) сводится к нахождению квадратур (см. п. 5).

30


Второе обобщение. Инвариантное соотношение для ω3, указанное всистеме (27), имеет особенность ν3 = 0. Поэтому представляет интерес рас-смотрение следующих ИС

ω1 = β1ν3, ω2 = β2ν3, ω3 = ν3f(ν3). (32)

При наличии ИС (32) уравнения Пуассона принимают вид

ν1 = ν3(ν2f(ν3)− β2ν3),

ν2 = ν3(−ν1f(ν3) + β1ν3),

ν3 = ν3(β2ν1 − β1ν2).

(33)

В силу (29), (33) получим

β1ν1 + β2ν2 +

∫

f(ν3)dν3 = c, (34)

где c – произвольная постоянная. Если f(ν3) – полином

f(ν3) = σ0 + σ1ν3 + . . . + σnνn3 , (35)

то из (34), (35) получим первый интеграл уравнений (33):

β1ν1 + β2ν2 + σ0ν3 +σ12ν23+ . . .+

σnn+ 1

νn+1

3= c. (36)

Отличие первого интеграла (36) от интеграла (31) очевидно, посколькудля (36) допустимы нулевые значения ν3.

Третье обобщение. Добавим в первых двух ИС системы (32) линейныеслагаемые, содержащие переменные ν1 и ν2 соответственно:

ω1 = β0ν1 + β1ν3, ω2 = β0ν2 + β2ν3, ω3 = ν3f(ν3). (37)

Подставим выражения (37) в уравнение (4). В скалярном виде получим

ν1 = ν3[

ν2(f(ν3)− β0)− β2ν3]

,

ν2 = ν3[

− ν1(f(ν3)− β0) + β1ν3]

,

ν3 = ν3(β2ν1 − β1ν2).

(38)

В силу (34) интегральное соотношение для (38) очевидно:

β1ν1 + β2ν2 +

∫

(f(ν3)− β0)dν3 = c, (39)

где c – произвольная постоянная. Для практического использования (38) мо-жно функцию f(ν3) задавать, например, в виде многочлена (35). Тогда пер-вый интеграл уравнений (38) получим по аналогии с первым интегралом (36).При рассмотрении ИС (37) следует принимать во внимание то обстоятель-ство, что аналитический характер формул (37) более общий, чем формул(32).

31


Четвертое обобщение. Оно характеризуется тем, что ИС (3) содержатдве произвольные функции g(ν3), f(ν3), т. е.

ω1 = β1g(ν3), ω2 = β2g(ν3), ω3 = g(ν3)f(ν3). (40)

Уравнения Пуассона для ИС (40) принимают вид:

ν1 = g(ν3)(

ν2f(ν3)− β2ν3)

,

ν2 = g(ν3)(

− ν1f(ν3) + β1ν3)

,

ν3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).

(41)

По аналогии с (34) из (41) получим

β1ν1 + β2ν2 +

∫

f(ν3) d ν3 = c, (42)

где c – произвольная постоянная. При получении из (42) первого интеграладостаточно задать функцию f(ν3) таким образом, чтобы для интеграла в (42)можно установить аналитическую формулу. В частности, для f(ν3) из (35)можно найти первый интеграл (36).

Пятое обобщение. Пусть ИС имеют вид

ω1 = β1g(ν3), ω2 = β2g(ν3), ω3 = h(ν3). (43)

Внесем (43) в уравнение (4). В скалярной записи получим

ν1 = ν2h(ν3)− β2g(ν3)ν3,

ν2 = −ν1h(ν3) + β1g(ν3)ν3,

ν3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).

(44)

На основании (42), (43) установим следующее интегральное соотношениеуравнений (44):

β1ν1 + β2ν2 +

∫

h(ν3)

g(ν3)dν3 = c. (45)

Здесь c – произвольная постоянная. Несмотря на формальное обобщение,

оно может быть применено, например, к случаю, когда функции h(ν3),1

g(ν3)являются многочленами по ν3, либо к случаю h(ν3) = g′(ν3). Для последнеговарианта из (45) найдем первый интеграл в следующем представлении:

β1ν1 + β2ν2 + ln |g(ν3)| = c, (46)

где c – произвольная постоянная. В (45) должно выполняться условиеg(ν3) 6= 0.

32


Шестое обобщение. Рассмотрим три ИС более общего вида

ω1 = β0ν1 + β1g(ν3), ω2 = β0ν2 + β2g(ν3), ω3 = ν3f(ν3). (47)

Подставим выражения (47) в уравнение (4):

ν1 = ν3[

ν2(f(ν3)− β0)− β2g(ν3)]

,

ν2 = ν3[

− ν1(f(ν3)− β0) + β1g(ν3)]

,

ν3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).

(48)

Интегральное соотношение для системы (48) таково:

β1ν1 + β2ν2 +

∫

ν3(f(ν3)− β0)

g(ν3)dν3 = c. (49)

Здесь c = const. Применение формулы (49) для нахождения первого интегра-ла уравнений (48) очевидно.

Седьмое обобщение. Это обобщение носит теоретический характер.Пусть

ω1 = ν1l(ν3) + β1g(ν3), ω2 = ν2l(ν3) + β2g(ν3), ω3 = f(ν3)g(ν3). (50)

Уравнения Пуассона для случая (50) принимают вид

ν1 = ν2(

f(ν3)g(ν3)− ν3l(ν3))

− β2ν3g(ν3),

ν2 = −ν1(

f(ν3)g(ν3)− ν3l(ν3))

+ β1ν3g(ν3),

ν3 = g(ν3)(β2ν1 − β1ν2).

(51)

Для уравнений (51) интегральное соотношение очевидно:

β1ν1 + β2ν2 +

∫

f(ν3)g(ν3)− ν3l(ν3)

g(ν3)d ν3 = const. (52)

Если функции f(ν3), g(ν3), l(ν3) удовлетворяют равенству f(ν3)g(ν3)−l(ν3) == 0, то из (52) следует линейный первый интеграл β1ν1 + β1ν2 = c (c –произвольная постоянная).

Замечание. В приведенных выше обобщениях предполагается, чтоиспользуемые функции определены и непрерывно дифференцируемы наR3(ν1, ν2, ν3).

33


5. Специальный класс нелинейных ИС. Следуя [2], рассмотрим триинвариантных соотношения

ω1 = ϕ1(ν1), ω2 = ν2ϕ2(ν1), ω3 = ν3ϕ3(ν1), (53)

где ϕi(ν1) – дифференцируемые функции переменной ν1. В статье [2] из урав-нения Пуассона (4) в случае (53) получено

ν1 = ν2ν3(

ϕ3(ν1)− ϕ2(ν1))

, (54)

ν22(ν1) = 2

∫

ϕ1(ν1)− ν1ϕ3(ν1)

ϕ3(ν1)− ϕ2(ν1)dν1, (55)

ν23(ν1) = 2

∫

ν1ϕ2(ν1)− ϕ1(ν1)

ϕ3(ν1)− ϕ2(ν1)dν1. (56)

Из (54)–(56) следует, что уравнения Пуассона (4) могут быть проинтегриро-ваны в квадратурах при соответствующем выборе функций ϕi(ν1). Исследуемслучай, когда функции ϕi(ν1) – дробно-линейные:

ϕ1(ν1) =α0 + α1ν1ε0 + ε1ν1

, ϕ2(ν1) =β0 + β1ν1ε0 + ε1ν1

, ϕ3(ν1) =γ0 + γ1ν1ε0 + ε1ν1

, (57)

а α0, α1, β0, β1, γ0, γ1, ε0, ε1 – постоянные параметры. Подставляя выражения(57) в уравнение (55), получим первый интеграл уравнений Пуассона

1

2ν22 +

γ12σ1

ν21 −κ0σ1 + σ0γ1

σ2

1

− 1

σ3

1

(α0σ2

1 −κ0σ0σ1−γ1σ2

0) ln |σ1ν1+σ0| = c, (58)

где c – произвольная постоянная, κ0 = α1 − γ0, σ0 = γ0 − β0, σ1 = γ1 − β1.Геометрический интеграл ν2

1+ν2

2+ν2

3= 1 и интеграл (58) позволяют найти об-

щее решение уравнения (4), в котором вектор ω имеет компоненты (53). Приэтом целесообразно вместо формулы (56) для ν3 использовать соотношениеν23= 1−ν2

1−ν2

2. Отметим, что решение, которое характеризуется ИС (57), для

уравнений Кирхгофа–Пуассона построено Е.К.Узбек [15]. Она рассмотреласлучай, когда в первом интеграле (58) отсутствует слагаемое, содержащееln |σ1ν1 + σ0|. Поэтому общий вариант (57), (58) остается не исследованным.

6. Об интегрировании уравнений Пуассона. Приведенные вышепримеры обладают двумя характерными свойствами: линейностью по ν1, ν2правой части уравнения для ν3 (см. (22), (25), (28), (33), (38), (41), (44), (48),(51)) и линейностью по ν1, ν2 первых интегралов (см. (23), (26), (31), (38),(46)). На основании этих свойств интегрирование уравнений Пуассона можнопровести единым методом. Рассмотрим данную задачу на примере (27)–(31)(см. п. 4). Введем вместо ν1, ν2, ν3 две новые переменные θ, ϕ:

ν1 = sin θ sinϕ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = cos θ. (59)

34


Обозначим

F (θ) = c+α0

cos θ− α1 ln | cos θ| − α2 cos θ − . . . − αn(cos θ)

n−1. (60)

Из (31), (60) имеем β1ν1 + β2ν2 = F (θ). В силу (59) отсюда получим

sin(ϕ+ β0) =F (θ)

κ0 sin θ, (61)

где κ0 =√

β2

1+ β2

2, β0 = arctg

β1β2

. Подставим выражения (58) в третье урав-

нение системы (28):

θ = κ0 cos θ cosϕ. (62)

Внесем sin(ϕ+ β0) из (61) в уравнение (62):

θ = ctgθ√

κ2

0sin2 θ − F 2(θ). (63)

Таким образом, в силу (63) функцию θ(t) найдем обращением интеграла

θ∫

θ0

dθ

ctgθ√

κ2

0sin2 θ − F 2(θ)

= t− t0. (64)

Для нахождения функции ϕ(t) используем формулу (61):

ϕ(t) = −β0 + arcsinF(

θ(t))

κ0 sin θ(t). (65)

Функции νi определим из (59):

ν1 = sin θ(t) sinϕ(t), ν2 = sin θ(t) cosϕ(t), ν3 = cos θ(t).

Компоненты вектора угловой скорости найдем из (27).Отметим, что для получения θ(t), ϕ(t) из (64), (65) приходится в силу

(60) обращать нестандартные интегралы. Это обстоятельство в определен-ной степени затрудняет исследование решений уравнений Пуассона в общемслучае. Однако оно показывает разнообразный характер решений уравненияПуассона.

Выводы. В статье показано, что при решении обратной задачи понахождению условий существования трех инвариантных соотношений вида(3) уравнений Д. Гриоли приходится интегрировать уравнения произвольнойструктуры, вытекающие из уравнения Пуассона (4). Дан анализ результатов,полученных ранее в интегрировании, и найдены новые классы первых инте-гралов этих уравнений в зависимости от типа ИС. Приведен пример интегри-рования уравнений Пуассона в квадратурах на трех ИС уравнений Гриоли–Пуассона.

35


1. Grioli G. Questioni di dinamica del solido pesante asimmetrico // Atti. Accad. Naz. Lincei,Rend. Cl. sci. fis., mat. e natur. – 1963. – 35, 1–2. – P. 35–39.

2. Горр Г.В., Узбек Е.К. К постановке задачи о решении уравнений Д. Гриоли–М.П.Хар-ламова в специальной форме // Механика твердого тела. – 1997. – Вып. 29. – С. 133–139.

3. Орешкина Л.Н. Об уравнениях М.П. Харламова // Механика твердого тела. – 1987.– Вып. 19. – С. 30–33.

4. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статьяпервая // Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей естествознания. – 1894. – 6, вып. 2. –С. 20–42.

5. Яхья Х.М. Об одном классе движений гиростата в ньютоновском, электрическом имагнитном полях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. – 1986. – 1.– С. 89–90.

6. Горр Г.В., Узбек Е.К. Об интегрировании уравнений Пуассона в случае трех линей-ных инвариантных соотношений // Прикл. математика и механика. – 2002. – 66,вып. 3. – С. 418–426.

7. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверх-ностью // Журн. прикл. механики и техн. физики. – 1963. – 4. – С. 17–29.

8. Харламов П.В. О решениях уравнений динамики твердого тела // Прикл. математикаи механика. – 1965. – 29, вып. 1. – С. 124–129.

9. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. – В 2-х т. – М.: Изд-воиностр. лит., 1951. – Т. 2, ч. 2: Динамика систем с конечным числом степеней свободы.– 555 с.

10. Горр Г.В., Узбек Е.К. Дробно-линейный интеграл уравнений Пуассона в случае трехинвариантных соотношений // Междунар. МФНА-АНН журнал. Проблемы нели-нейн. анализа в инженерных системах. – 2004. – 10, 2 (21).– С. 54–63.

11. Мозалевская Г.В., Лесина М.Е. О линейных инвариантных соотношениях уравненийКирхгофа. – Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, 2001. –25 с. – (Препринт ИПММ НАН Украины: 01.02).

12. Скрыпник С.В. Об одном классе двух линейных инвариантных соотношений в обоб-щенной задаче динамики // Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28. – С. 31–40.

13. Горр Г.В., Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений дви-жения гиростата в случае переменного гиростатического момента // Динамическиесистемы. – 2012. – 2 (30), 1, 2. – С. 23–32.

14. Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движениягиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных игироскопических сил // Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 51–60.

15. Узбек Е.К. О новом решении уравнений Г. Кирхгофа задачи о движении гиростатапод действием потенциальных и гироскопических сил // Прикл. математика и меха-ника. – 2004. – 68, вып. 6. – С. 964–970.

G.V. Gorr, A.V. Maznev

Integration of the rigid body dynamics on the invariant manifold

The differential equation of the generalized problem of the motion of a rigid body under theaction of potential and gyroscopic forces are considered. The integration of these equations onthe invariant manifolds described by three invariant relations is studied. Novel classes of firstintegrals of Poisson’s equation are receiver.

Keywords: invariant relations, first integrals, Poisson’s equation.

ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк;ГОУ ВПО “Донецкий национальный ун-т”

[email protected], [email protected]


36


УДК 531.38

c©2016. Г. А. Котов

О ПОЛУРЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ ГИРОСТАТА,НЕСУЩЕГО ДВА РОТОРА

Изучены условия существования полурегулярных прецессий второго типа гиростата поддействием потенциальных и гироскопических сил в случае, когда несомые тела – два вра-щающихся гироскопа. Указаны условия на распределение масс гиростата при которых ре-дуцированные уравнения имеют решение в элементарных функциях времени.

Ключевые слова: гиростат, два ротора, прецессионные движения.

Введение. Постановка задачи о движении гиростата под действием за-данного класса сил в случае переменного гиростатического момента описа-на в статьях [1, 2]. При исследовании условий существования программныхдвижений в этой задаче использована классификация движений гиростатас постоянным гиростатическим моментом. Например, результаты П.В. Хар-ламова, полученные им в случае постоянного гиростатического момента ипосвященные анализу равномерных вращений гиростата, послужили приме-ром для рассмотрения таких движений в задаче о движении неавтономногогиростата [3]. Прецессионные движения гиростата имеют более сложный ха-рактер, чем равномерные вращения, так как они являются суперпозициейдвух вращений тела-носителя относительно осей, одна из которых неизменносвязана с телом, а другая неподвижна в пространстве [4]. При изучении этогокласса движений гиростата также установлены многочисленные результаты(см. обзоры [4, 5]).

В настоящей статье рассмотрен случай, когда тело-носитель содержитдва ротора, вращающихся вокруг ортогональных осей. На основании метода,предложенного в [6], для уравнений движения гиростата класса Кирхгофа–Пуассона, найдено решение, которое является полурегулярной прецессиейвторого типа гиростата.

1. Постановка задачи. Запишем уравнения движения гиростата поддействием потенциальных и гироскопических сил [4]:

Aω = −(λ1(t)α+λ2(t)β)+(

Aω+λ1(t)α+λ2(t)β)

×ω+ω×Bν+ν×(Cν−s), (1)

ν = ν × ω, (2)

где ω = (ω1, ω2, ω3) — угловая скорость тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3)— единичный вектор оси симметрии силовых полей; α = (α1, α2, α3),β = (β1, β2, β3) — единичные ортогональные векторы, фиксированные втеле-носителе, являющиеся ортами вектора гиростатического момента λ(t) == λ1(t)α+λ2(t)β; λ1(t), λ2(t) — компоненты гиростатического момента, диф-ференцируемые функции времени; s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный

37

Г. А. Котов

с вектором обобщенного центра масс гиростата; A = (Aij) — тензор инерциигиростата; B = (Bij) и C = (Cij) — симметричные постоянные матрицы тре-тьего порядка; точка над переменными обозначает производную по времениt.

Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла

ν · ν = 1, (Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β) · ν − 1

2(Bν · ν) = k, (3)

где k — произвольная постоянная.Для прецессионных движений угловая скорость тела-носителя представи-

ма в виде (см. напр. [5]) ω = ϕa+ ψν, где переменные ϕ, ψ являются угламиЭйлера, вектор a – фиксирован в теле, вектор ν – фиксирован в пространстве.Рассмотрим полурегулярные прецессионные движения второго типа гироста-та относительно вертикали, тогда

ϕ = n, ψ 6= const, (4)

где n – некоторая константа, отличная от нуля. Из (4) следует, что ϕ = nt+ϕ0

и выбором начальной фазы движения добьемся ϕ0 = 0.Свяжем подвижную систему координат с единичным вектором a =

= (0, 0, 1), который образует постоянный угол θ0 с вектором ν. Тогда име-ем [4]

a · ν = a0 = cos θ0, ν = (a′0sinnt, a′

0cosnt, a0), ω = na+ ψν, (5)

где a′0= sin θ0.

Подстановка соотношений (5) в уравнение (2) дает тождество. Подставимω из (5) в (1):

ψAν + nψ[

Sp(A)(

ν × a

)

− 2(

Aν × a

)

]

− n2(

Aa× a

)

−

− ψ2(

Aν × ν

)

+ n(

Bν × a

)

+ ψ(

Bν × ν

)

− λ1(t)[

n(

α× a

)

+ ψ(

α× ν

)

]

−

− λ2(t)[

n(

β × a

)

+ ψ(

β × ν

)

]

+ λ1(t)α+ λ2(t)β − s× ν − ν × Cν = 0,

(6)

где Sp(A) — след матрицы A.Для исследования уравнения (6) будем использовать ортонормированный

базис α, β и γ = α × β, причем из свойства ортонормированности для век-торов α, β и γ следуют соотношения

αiαj + βiβj + γiγj =

0, если i 6= j,1, если i = j,

i, j = 1, 2, 3.

38

О полурегулярных прецессиях гиростата, несущего два ротора

Умножив левую часть уравнения (6) скалярно соответственно на α,β,γ, по-лучим

λ1(t)− λ2(t)[

nγ3 +(

a′0γ1 sinnt+ a′0γ2 cosnt+ a0γ3)

ψ]

+ F1(t) = 0,

λ2(t) + λ1(t)[

nγ3 +(

a′0γ1 sinnt+ a′

0γ2 cosnt+ a0γ3

)

ψ]

+ F2(t) = 0,

λ2(t)[

nα3 +(

a′0α1 sinnt+ a′

0α2 cosnt+ a0α3

)

ψ]

−

− λ1(t)[

nβ3 +(

a′0β1 sinnt+ a′

0β2 cosnt+ a0β3

)

ψ]

+ F3(t) = 0,

(7)

где введены обозначения

Fi(t) =(

d′1,i sinnt+ d1,i cosnt+ a0d0,i

)

ψ +A0,in2−

−(

A2,i cos 2nt+A′

2,i sin 2nt+ a0A1,i cosnt+ a0A′

1,i sinnt+ κ0A0,i

)

ψ2+

+ nψ[

(

d′1,i −A1,i

)

cosnt−(

d1,i +A′

1,i

)

sinnt+ 2a0A0,i

]

+ n(

h′1,i sinnt+

+ h1,i cosnt+ a0h0,i)

+(

B2,i cos 2nt+B′

2,i sin 2nt+ a0B1,i cosnt+

+ a0B′

1,i sinnt− κ0h0,i

)

ψ + C2,i cos 2nt+ C ′

2,i sin 2nt+ δ1,i cosnt+

+ δ′1,i sinnt+ δ0,i,

ei = (e1,i, e2,i, e3,i), (i = 1, 2, 3), (e1 = α,e2 = β,e3 = γ)

d0,i = e1,iA13 + e2,iA23 + e3,iA33, d′1,i = a′

0

(

e1,iA11 + e2,iA12 + e3,iA13

)

,

d1,i = a′0

(

e1,iA12 + e2,iA22 + e3,iA23

)

, A0,i = e2,iA13 − e1,iA23,

A1,i = a′0

[

e1,i(

A22 −A33

)

− e2,iA12 + e3,iA13

]

,

A′

1,i = a′0

[

e2,i(

A33 −A11

)

+ e1,iA12 − e3,iA23

]

,

A2,i =a′20

2

(

2e3,iA12 − e1,iA23 − e2,iA13

)

,

A′

2,i =a′20

2

[

e2,iA23 − e1,iA13 + e3,i(A11 −A22)]

,

h1,i = a′0(

e1,iB22 − e2,iB12

)

, h′1,i = a′0(

e1,iB12 − e2,iB11

)

,

h0,i = e1,iB23 − e2,iB13, κ0 =1

2(a′20 − 2a20),

B1,i = a′0

[

e1,i(

B22 −B33

)

− e2,iB12 + e3,iB13

]

,

B′

1,i = a′0

[

e2,i(

B33 −B11

)

+ e1,iB12 − e3,iB23

]

,

B2,i =a′20

2

(

2e3,iB12 − e1,iB23 − e2,iB13

)

,

(8)

39

Г. А. Котов

B′

2,i =a′20

2

[

e2,iB23 − e1,iB13 + e3,i(B11 −B22)]

,

C2,i =a′20

2

(

2e3,iC12 − e1,iC23 − e2,iC13

)

,

C ′

2,i =a′20

2

[

e2,iC23 − e1,iC13 + e3,i(C11 − C22)]

,

δ′1,i = a′

0

[

a0(

e2,iC33 − e2,iC11 − e1,iC12 − e3,iC23

)

+ e3,is2 − e2,is3

]

,

δ1,i = a′0

[

a0(

e1,iC22 − e1,iC33 − e2,iC12 + e3,iC13

)

+ e1,is3 − e3,is1

]

,

δ0,i = κ0

(

e2,iC13 − e1,iC23

)

+ a0(

e2,is1 − e1,is2)

.

В [6] показано, что компоненты гиростатического момента с помощью ин-теграла момента количества движения из (3) представимы в виде

λ1(t) =NF3(t)− F4(t)(α3n+Mψ)

n(α3M + β3N) + ψ(M2 +N2),

λ2(t) = − MF3(t) + F4(t)(β3n+Nψ)

n(α3M + β3N) + ψ(M2 +N2),

(9)

где

F4(t) = (A′

1sinnt+A1 cosnt+ a0A33)n+

+ (A2 cos 2nt+A′

2 sin 2nt+ 2a0A1 cosnt+ 2a0A′

1 sinnt+A0)ψ−

− 1

2(B2 cos 2nt+B′

2sin 2nt+ 2a0B1 cosnt+ 2a0B

′

1sinnt+B0 + 2k),

M = a′0α1 sinnt+ a′

0α2 cosnt+ a0α3, N = a′

0β1 sinnt+ a′

0β2 cosnt+ a0β3,

A2 =a′20

2(A22 −A11), A′

2= a′2

0A12, A′

1= a′

0A13, A1 = a′

0A23,

B2 =a′20

2(B22 −B11), B′

2= a′2

0B12, B′

1= a′

0B13, B1 = a′

0B23,

A0 =a′20

2(A22 +A11) + a2

0A33, B0 =

a′20

2(B22 +B11) + a2

0B33.

Для получения замкнутой системы к уравнениям (9) присоединим первоеуравнение системы (7).

2. Случай ортогональности гиростатического момента λ(t) осисобственного вращения тела-носителя. Положим

α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0), γ = (0, 0, 1). (10)

Тогда выражения для компонент гиростатического момента из (9) примутвид:

λ1(t) =P1ψ + P2ψ2 + P3ψ + P4

8a′0ψ

, λ2(t) =Q1ψ +Q2ψ2 +Q3ψ +Q4

8a′0ψ

, (11)

40


где с учетом (8), (11) введены обозначения:

P1 = 4(a′0A23 cos 2nt+ a′

0A13 sin 2nt+ 2a0A33 cosnt+ a′

0A23),

P2 = 4(

a′0a0(A13 cos 2nt−A23 sin 2nt)− 2a′2

0A12 cosnt−

− 2(a′20 A11 + a20A33) sinnt− 3a0a′

0A13

)

,

P3 = a′20 (B11 −B22) sin 3nt+ 2a′20 B12 cos 3nt+

+ 4a′0n(A13 cos 2nt−A23 sin 2nt) + (a′20 (5B11 −B22) + 4a20B33) sinnt+

+ 6a′20B12 cosnt+ 8(k − a0nA33) sinnt+ 4a′

0(2a0B13 − nA13),

P4 = 2a′20(C11 − C22) sin 3nt+ 4a′2

0C12 cos 3nt+ 2a′2

0(C11 −C22) sinnt+

+ 4a′0

(

(s2 − a0C23) sin 2nt− (s1 − a0C13) cos 2nt)

+ 4a′20C12 cosnt−

− 4a′0(s1 − a0C13);

Q1 = −4(a′0A23 sin 2nt− a′0A13 cos 2nt+ 2a0A33 sinnt+ a′0A13),

Q2 = −4(

a′0a0(A23 cos 2nt+A13 sin 2nt) + 2a′20 A12 sinnt+

+ 2(a′20A22 + a2

0A33) cos nt+ 3a0a

′

0A23

)

,

Q3 = a′20 (B11 −B22) cos 3nt− 2a′20 B12 sin 3nt−− 4a′0n(A23 cos 2nt+A13 sin 2nt) + (a′20 (5B22 −B11) + 4a20B33) cosnt+

+ 6a′20 B12 sinnt+ 8(k − a0nA33) cosnt+ 4a′0(2a0B23 − nA23),

Q4 = 2a′20 (C11 − C22) cos 3nt− 4a′20 C12 sin 3nt− 2a′20 (C11 − C22) cosnt+

+ 4a′0(

(s1 − a0C13) sin 2nt+ (s2 − a0C23) cos 2nt)

+ 4a′20 C12 sinnt−− 4a′

0(s2 − a0C23).

(12)

Рассмотрим случай, при котором в формулах (11) возможно избавиться

от функции ψ в знаменателе. Для этого потребуем выполнения равенств P1 == P4 = 0 и Q1 = Q4 = 0, что приводит к ограничениям на параметры:

a0 = 0, A13 = A23 = 0, C11 = C22, C12 = 0, s1 = s2 = 0. (13)

Соотношения (11) с учетом (12), (13) запишутся в следующем виде:

λ1(t) = −ψ(A11 sinnt+A12 cosnt) +1

8(2B12 cos 3nt+ (B11 −B22) sin 3nt)+

+1

8(6B12 cosnt+ (5B11 −B22) sinnt) + k sinnt, (14)

λ2(t) = −ψ(A12 sinnt+A22 cosnt) +1

8(−2B12 sin 3nt+ (B11 −B22) cos 3nt)+

+1

8(6B12 sinnt+ (5B22 −B11) cosnt) + k cosnt.

41

Г. А. Котов

Подставляя выражение для λ1(t) из (16) в первое уравнение системы (7),

определим функцию ψ:

ψ =n(

(B22 −B11) cos 2nt+ 2B12 sin 2nt−B22 −B11

)

2(nA33 −B23 cosnt−B13 sinnt)+

+C13 sinnt+ C23 cosnt− s3

nA33 −B23 cosnt−B13 sinnt.

(15)

Функции λ1(t), λ2(t) из (14) и ψ из (15) обращают все уравнения системы(7) в тождества.

Таким образом, при условиях (10), (13) компоненты гиростатического мо-мента определяются равенствами (14), функция ψ(t) находится интегрирова-нием выражения (15) и является элементарной функцией времени. Угол ну-

тации равенπ

2, третья ось подвижной системы координат является главной

осью, вектор обобщенного центра масс коллинеарен вектору a и ортогоналенплоскости, содержащей гиростатический момент. Компоненты векторов ν иω таковы

ν1 = sinnt, ν2 = cosnt, ν3 = 0,

ω1 = ψ sinnt, ω2 = ψ cosnt, ω3 = nt.

3. Один класс полурегулярных прецессионно-изоконическихдвижений гиростата второго типа. Пусть выполняются условия (10),которые определяют расположение роторов в теле-носителе, а скорость пре-цессии задана в виде

ψ =ϕ

µ1 sinϕ+ µ0=

n

µ1 sinnt+ µ0, (16)

где µ1, µ0 – некоторые константы, причем µ20= 1+µ2

1. Подставим выражение

для скорости прецессии (16) в равенства (11)

λ1(t) =n2(P2 − P1µ1 cosnt) + (µ1 sinnt+ µ0)(P3n+ P4(µ1 sinnt+ µ0))

8a′0n(µ1 sinnt+ µ0)

,

λ2(t) =n2(Q2 −Q1µ1 cosnt) + (µ1 sinnt+ µ0)(Q3n+Q4(µ1 sinnt+ µ0))

8a′0n(µ1 sinnt+ µ0)

,

(17)

где Pj и Qj из (12). Первое уравнение из (7) с учетом (16) и (17) представимов виде

5∑

j=0

Hj cos jnt+Gj sin jnt = 0

и должно быть тождеством по t, что может быть эквивалентно системе изодиннадцати уравнений

H0 = 0, Hj = 0, Gj = 0, j = 1, 5.

42


Выпишем явный вид этих уравнений

C12 = 0, C11 = C22, a0C23 + nB23 = 0, µ0(µ0 − 1)(3µ21− 4µ2

0)(B11 −B22) = 0,

2s1µ1 + a′0n(B22 −B11)− 2a0µ1C13 = 0, −s2µ1 + a′

0nB12 + a0µ1C23 = 0,

(a0 − 5µ0)(s2µ1 − a′0nB12 − a0µ1C23) + a′0(a′

0µ1C23 − nµ0B12) = 0,

(a0 − 5µ0)(2s1µ1 + a′0n(B22 −B11)− 2a0µ1C13) + a′0(2a′

0µ1C13− (18)

− nµ0(B22 −B11)) = 0, −µ21[2s3 + n(B11 +B22) + 2a0(C11 − C33)]+

+ µ0(B22 −B11)(2nµ0 − a0n) + 2a′0µ1(nB13 + 2µ0C13) = 0,

− 2a0µ2

1k − µ21[2a′

0nµ1A13 − 2n(1 + a0µ0)A33 − a0(a′2

0 B22 − a20B33−− 2a′20 B33)] + a′20 µ

2

0(B22 −B11)(2µ0 − 2− a0) + 2a′30 µ1µ0B13 = 0.

Решением алгебраической системы (18) являются равенства

C12 = 0, C11 = C22, B12 =C23(B11 −B22)

2C13

, B23 =−a0C23

n,

µ0 =2a′

0C13

√

4a′20C2

13− n2(B22 −B11)2

, µ1 =n(B11 −B22)

√

4a′20C2

13− n2(B22 −B11)2

,

s1 =a′0n(B11 −B22)

2µ1+ a0C13, s2 =

C23(a0µ0 + a′20)

µ0, (19)

s3 =µ21

[

2a0(C33 − C11)− n(B11 +B22)]

+ n[

2a′0µ1B13 − a0µ0(B22 −B11)

]

2µ21

,

k =1

2a0µ21

(

a′20 µ0[

µ0(B22 −B11)(2µ0 − 2− a0) + 2a′0µ1B13

]

+

+ µ21[

2nA33(1 + a0µ0)− 2na′0µ1A13) + a0(a′2

0 B22 − a20B33 − 2a′20 B33)]

)

.

Таким образом, при выполнении ограничений (11) на расположение ро-торов в теле-носителе и соотношений (19), связывающих параметры задачи,гиростат совершает прецессионно-изоконические движения с постоянной ско-ростью собственного вращения n, подчиняющейся условию

−∣

∣

∣

∣

2a′0C13

B11 −B22

∣

∣

∣

∣

< n <

∣

∣

∣

∣

2a′0C13

B11 −B22

∣

∣

∣

∣

,

и скоростью прецессии, заданной в виде (16). Положение центра масс и ско-рость прецессии не зависят от компонент тензора инерции. Компоненты ги-ростатического момента задаются формулами (17) с учетом (12), (19).

Выводы. Для случая полурегулярной прецессии гиростата второго ти-па дифференциальные уравнения движения (1), (2) редуцированы к системетретьего порядка (7) на компоненты гиростатического момента и скоростьпрецессии. Построены два новых решения этих равнений, описывающих по-лурегулярные прецессионные и прецессионно-изоконические движения вто-рого типа.

43

Г. А. Котов

1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-родной капельной жидкостью // Собр. соч. – Т. 1. – М., 1949. – С. 31–152. (Изд. 1-е:Журн. Рус. физ.-хим. о-ва. Часть физ. – 1885. – 17, отд. 1, вып. 6. – С. 81–113; вып. 7.– С. 145–149; вып. 8. – С. 231–280).

2. Румянцев В. В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. – 1970. – 2. – С. 83–96.

3. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-е НГУ, 1965.– 221 с.

4. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-нецк: ДонНУ, 2012. – 364 с.

5. Горр Г. В., Ковалев А.М. Движение гиростата – Киев: Наук. думка, 2013. – 407 с.6. Котов Г.А. Прецессии общего вида гиростата, несущего два маховика // Механика

твердого тела. – 2013. – Вып. 43 – С. 79-89.

G.A. Kotov

On the semi-regular precession motions of gyrostat carrying two rotors

The existence of conditions of semi-regular precession motions of the second type under theaction of potential and gyroscopic forces of gyrostat with two rotors were studied. Conditionsfor gyrostat’s mass distribution for which reduced equations have solution in elemental functionswere obtained.

Keywords: gyrostat, two rotors, precession motions.

ГОУ ВПО “Донбасская национальная акад.строительства и архитектуры”, г.Макеевка

kotov [email protected]


44


УДК 531.38

c©2016. Г.В. Горр, Ю.В.Кошель

ОДИН КЛАСС ПРЕЦЕССИОННО-ИЗОКОНИЧЕСКИХДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА, НЕСУЩЕГО ДВА РОТОРА

Рассматривается задача о движении гиростата, несущего два ротора, под действием по-тенциальных и гироскопических сил. Получена специальная форма дифференциальныхуравнений движения гиростата, предназначенная для исследования его прецессионно-изоконических движений относительно вертикали. Указано новое решение этих уравненийдля случая, когда на гиростат действует сила тяжести.

Ключевые слова: гиростат, прецессионные и изоконические движения.

Введение. Моделирование движения системы связанных твердых телкласса гиростат проводилось в аналитической механике с помощью раз-личных подходов. Н.Е.Жуковский [1] получил уравнения движения гиро-стата, имеющего полости, заполненные жидкостью, и указал новый случайинтегрируемости данных уравнений. В.В.Румянцев [2] изучал задачи управ-ления и ориентации при движении спутника. П.В.Харламов [3], рассматри-вая движение системы связанных твердых тел, вывел наиболее общие урав-нения движения гиростата под действием заданного класса сил и моментов.Определение гиростата он получил в наиболее общем случае по сравнению сранее указанными в литературе определениями. В монографии [4] приведе-ны результаты исследования движения гиростата, имеющего неподвижнуюточку, в случае постоянного гиростатического момента. В динамике твердо-го тела и гиростата большое значение имеет классификация движений этихобъектов. При анализе движений гиростата выделены многие классы движе-ний [4, 5]: равномерные вращения, маятниковые движения, прецессионные ипрецессионно-изоконические движения, асимптотически-периодические дви-жения. В последние годы интенсивно изучается задача о движении гиростатас переменным гиростатическим моментом. Так, например, в [6, 7] рассмотре-ны прецессионные и прецессионно-изоконические движения в случае, когдагиростатический момент направлен по некоторой оси, неизменно связанной стелом-носителем. Более общая задача – задача о движении гиростата, несу-щего два вращающихся ротора, рассмотрена в [5].

Актуальность изучения условий существования прецессионно-изокони-ческих движений гиростата, несущего два вращающихся ротора, обусловленатем, что при условии постоянства гиростатического момента получены мно-гочисленные классы таких движений [4]. Однако они существуют при неко-торых условиях на параметры распределения масс и параметры, характери-зующие правые части дифференциальных уравнений движения гиростата.Показано, что учет переменности гиростатического момента позволяет полу-чить условия существования рассматриваемых движений с меньшим числомограничений на параметры движения по сравнению со случаем постоянного

45

Г.В. Горр, Ю.В. Кошель

гиростатического момента.В настоящей статье изучается задача о движении гиростата под действи-

ем потенциальных и гироскопических сил, которая описывается уравнени-ями класса Кирхгофа–Пуассона. На основании этих уравнений выполненомоделирование прецессионно-изоконических движений гиростата, несущегодва ротора. Получены три дифференциальных уравнения на компоненты ги-ростатического момента и угол собственного вращения гиростата. Найденыновые решения редуцированных уравнений для случая, когда на гиростатдействует только сила тяжести.

1. Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим зада-чу о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопическихсил. Предполагая, что гиростат несет два вращающихся ротора, уравнениядвижения запишем в виде

Aω+λ1(t)α+λ2(t)β = (Aω+λ1(t)α+λ2(t)β)×ω+ω×Bν+s×ν+ν×Cν, (1)

ν = ν × ω. (2)

В (1), (2) введены обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скоро-сти; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей;λi(t) (i = 1, 2) – значения гиростатических моментов, имеющих единичныевекторы α,β (|α| = 1, |β| = 1, α · β = 0); A = (Aij) – тензор инерции;B = (Bij) и C = (Cij) (i, j = 1, 3) – постоянные симметричные матрицытретьего порядка; точка над переменными обозначает дифференцированиепо времени t. Уравнения (1), (2) имеют два интеграла

ν · ν = 1, (Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β) · ν − 1

2(Bν · ν) = k, (3)

где k – произвольная постоянная.Система (1), (2) не замкнута, если функции λi(t) не предполагаются

известными. В силу этого исследование движение гиростата проводится приразличных условиях на характер движения тела-носителя. Наиболее зна-чительные результаты получены в изучении прецессионных, прецессионно-изоконических движений, равномерных вращений, маятниковых и другихдвижений гиростата [9–12].

Исходя из уравнений (1), (2), будем искать условия существования прецес-сионно-изоконических движений гиростата.

Пусть a – единичный вектор, неизменно связанный с телом-носителем(всегда можно принять a = (0, 0, 1)). Движение гиростата называется пре-цессией относительно вертикали, если выполняются инвариантные соотно-шения [5]

a · ν = a0, ω = ϕa+ ψν, (4)

где a0 = cos θ0, θ0 = ∠(a,ν) – постоянный угол. Рассмотрим случай, ко-гда, кроме свойства прецессионности, выполняется свойство изоконичности

46

Один класс прецессионно-изоконических движений гиростата, несущего два ротора

(подвижный аксоид вектора угловой скорости симметричен неподвижномуаксоиду относительно касательной к ним плоскости). Как показано в [5], в

качестве условия изоконичности может быть принято равенство ψ = ϕ. Тогдаиз второго соотношения (4) следует

ω = ϕ(a+ ν). (5)

При выполнении равенств (4) уравнение Пуассона (2) интегрируется:

ν1 = a′0sinϕ, ν2 = a′

0cosϕ, ν3 = a0. (6)

Здесь a′0= sin θ0. В скалярном виде из (5) в силу (6) получим

ω1 = a′0ϕ sinϕ, ω2 = a′

0ϕ cosϕ, ω3 = ϕ(a0 + 1). (7)

Внесем выражение (5) в уравнение (1):

λ1(t)α+ λ2(t)β = −ϕA(a+ ν) + ϕ2[

− Sp(A)(ν × a) + 2(Aν × a)+

+(Aa× a) + (Aν × ν)]

+ ϕ[(a×Bν) + (ν ×Bν)]+

+λ1(t)ϕ(α× a+α× ν) + λ2(t)ϕ(β × a+ β × ν) + s× ν + ν × Cν.

(8)

Умножим скалярно обе части (8) на векторы α,β,γ = α× β:

λ1(t) = λ2(t)ϕ(

a′0γ1 sinϕ+ a′

0γ2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3

)

− p1(ϕ)ϕ+

+ϕ2A(1)

2(ϕ) + ϕB

(1)

2(ϕ) + C

(1)

2(ϕ),

(9)

λ2(t) = −λ1(t)ϕ(

a′0γ1 sinϕ+ a′

0γ2 cosϕ+ (a0 + 1)γ3

)

− q1(ϕ)ϕ+

+ϕ2A(2)

2(ϕ) + ϕB

(2)

2(ϕ) + C

(2)

2(ϕ),

(10)

ϕ

λ1(t)[

a′0β1 sinϕ+ a′

0β2 cosϕ+ (a0 + 1)β3

]

−

−λ2(t)[

a′0α1 sinϕ+ a′

0α2 cosϕ+ (a0 + 1)α3

]

−

−r1(ϕ)ϕ+ ϕ2A(3)

2(ϕ) + ϕB

(3)

2(ϕ) + C

(3)

2(ϕ) = 0.

(11)

В уравнениях (9)–(11) введены обозначения

γ1 = α2β3 − α3β2, γ2 = α3β1 − α1β3, γ3 = α1β2 − α2β1, (12)

p1(ϕ) = ε(1)

1cosϕ+ ε

(1)

2sinϕ+ ε

(1)

0, q1(ϕ) = ε

(2)

1cosϕ+ ε

(2)

2sinϕ+ ε

(2)

0,

r1(ϕ) = ε(3)

1cosϕ+ ε

(3)

2sinϕ+ ε

(3)

0,

(13)

ε(1)

1= a′

0(α1A12 + α2A22 + α3A23), ε

(2)

1= a′

0(β1A12 + β2A22 + β3A23),

ε(3)

1= a′

0(γ1A12 + γ2A22 + γ3A23),

(14)

47


ε(1)

2= a′

0(α1A11 + α2A12 + α3A13), ε

(2)

2= a′

0(β1A11 + β2A12 + β3A13),

ε(3)

2= a′

0(γ1A11 + γ2A12 + γ3A13),

(15)

ε(1)

0= (1 + a0)(α1A13 + α2A23 + α3A33),

ε(2)

0= (1 + a0)(β1A13 + β2A23 + β3A33),

ε(3)

0= (1 + a0)(γ1A13 + γ2A23 + γ3A33).

(16)

A(1)

2(ϕ) = b2 cos 2ϕ+ b′

2sin 2ϕ+ b1 cosϕ+ b′

1sinϕ+ b0, (17)

A(2)

2(ϕ) = c2 cos 2ϕ+ c′

2sin 2ϕ+ c1 cosϕ+ c′

1sinϕ+ c0, (18)

A(3)

2(ϕ) = d2 cos 2ϕ+ d′2 sin 2ϕ+ d1 cosϕ+ d′1 sinϕ+ d0, (19)

b2 =1

2a′0

2(2α3A12 − α2A13 − α1A23),

b′2 =1

2a′0

2[α3(A11 −A22) + α2A23 − α1A13],

b1 = a′0

α1[(a0 + 1)(A22 −A33)−A11]− α2(a0 + 2)A12 + α3a0A13

,

b′1= a′

0

α1(a0 + 2)A12 + α2[(a0 + 1)(A33 −A11) +A22]− α3a0A23

,

b0 =1

2(a0 + 1)(3a0 + 1)(α1A23 − α2A13),

(20)

c2 =1

2a′0

2(2β3A12 − β2A13 − β1A23),

c′2 =1

2a′0

2[β3(A11 −A22) + β2A23 − β1A13],

c1 = a′0

β1[(a0 + 1)(A22 −A33)−A11]− β2(a0 + 2)A12 + β3a0A13

,

c′1= a′

0

β1(a0 + 2)A12 + β2[(a0 + 1)(A33 −A11) +A22]− β3a0A23

,

(21)

c0 =1

2(a0 + 1)(3a0 + 1)(β1A23 − β2A13),

d2 =1

2a′0

2(2γ3A12 − γ2A13 − γ1A23),

d′2=

1

2a′0

2[γ3(A11 −A22) + γ2A23 − γ1A13],

d1 = a′0

γ1[(a0 + 1)(A22 −A33)−A11]− γ2(a0 + 2)A12 + γ3a0A13

,

d′1= a′

0

γ1(a0 + 2)A12 + γ2[(a0 + 1)(A33 −A11) +A22]− γ3a0A23

,

d0 =1

2(a0 + 1)(3a0 + 1)(γ1A23 − γ2A13),

(22)

B(1)

2(ϕ) = g2 cos 2ϕ+ g′

2sin 2ϕ + g1 cosϕ+ g′

1sinϕ+ g0, (23)

B(2)

2(ϕ) = f2 cos 2ϕ+ f ′2 sin 2ϕ+ f1 cosϕ+ f ′1 sinϕ+ f0, (24)

48


B(3)

2(ϕ) = h2 cos 2ϕ+ h′2 sin 2ϕ+ h1 cosϕ+ h′1 sinϕ+ h0, (25)

g2 =1

2a′0

2(

α1B23 + α2B13 − 2α3B12

)

,

g′2 =1

2a′0

2[

α3(B33 −B11)− α2B23 + α1B13

]

,

g1 = a′0

α1[a0B33 − (1 + a0)B22] + α2(1 + a0)B12 − a0α3B13

,

g′1= a′

0

− (1 + a0)α1B12 + α2[(a0 + 1)B11 − a0B33] + a0α3B23

,

g0 =1

2(a0 + 1)(3a0 − 1)(α2B13 − α1B23),

(26)

f2 =1

2a′0

2(β1B23 + β2B13 − 2β3B12),

f ′2=

1

2a′0

2[β3(B33 −B11)− β2B23 + β1B13],

f1 = a′0

β1[a0B33 − (1 + a0)B22] + β2(1 + a0)B12 − a0β3B13

,

f ′1= a′

0

− (1 + a0)β1B12 + β2[(a0 + 1)B11 − a0B33] + a0β3B23

,

f0 =1

2(a0 + 1)(3a0 − 1)(β2B13 − β1B23),

(27)

h2 =1

2a′0

2(γ1B23 + γ2B13 − 2γ3B12),

h′2=

1

2a′0

2[γ3(B33 −B11)− γ2B23 + γ1B13],

h1 = a′0

γ1[a0B33 − (1 + a0)B22] + γ2(1 + a0)B12 − a0γ3B13

,

h′1= a′

0

− (1 + a0)γ1B12 + γ2[(a0 + 1)B11 − a0B33] + a0γ3B23

,

h0 =1

2(a0 + 1)(3a0 − 1)(γ2B13 − γ1B23),

(28)

C(1)

2(ϕ) = u2 cos 2ϕ+ u′

2sin 2ϕ+ u1 cosϕ+ u′

1sinϕ+ u0, (29)

C(2)

2(ϕ) = v2 cos 2ϕ+ v′2 sin 2ϕ+ v1 cosϕ+ v′1 sinϕ+ v0, (30)

C(3)

2(ϕ) = w2 cos 2ϕ+ w′

2 sin 2ϕ+ w1 cosϕ+ w′

1 sinϕ+ w0, (31)

u2 =1

2a′0

2(α1C23 + α2C13 − 2α3C12),

u′2=

1

2a′0

2[α1C13 − α2C23 + α3(C22 − C11)],

u1 = a′0

[

− α1(s3 − a0(C33 −C22)) + α2a0C12 + α3(s1 − a0C13)]

,

u′1= a′

0

[

− α1a0C12 + α2(s3 − a0(C33 − C11))− α3(s2 − a0C23)]

,

u0 =1

2α1

[

2a0s2 + (a′0

2 − 2a20)C23

]

− 1

2α2[2a0s1 + (a′

0

2 − 2a20)C13],

(32)

49


v2 =1

2a′0

2(β1C23 + β2C13 − 2β3C12),

v′2 =1

2a′0

2[β1C13 − β2C23 + β3(C22 − C11)],

v1 = a′0

[

− β1(s3 − a0(C33 − C22)) + β2a0C12 + β3(s1 − a0C13)]

,

v′1= a′

0

[

− β1a0C12 + β2(s3 − a0(C33 − C11))− β3(s2 − a0C23)]

,

v0 =1

2β1

[

2a0s2 + (a′02 − 2a20)C23

]

− 1

2β2[2a0s1 + (a′0

2 − 2a20)C13],

(33)

w2 =1

2a′0

2(γ1C23 + γ2C13 − 2γ3C12),

w′

2=

1

2a′0

2[γ1C13 − γ2C23 + γ3(C22 − C11)],

w1 = a′0

[

− γ1(s3 − a0(C33 −C22)) + γ2a0C12 + γ3(s1 − a0C13)]

,

w′

1= a′

0

[

− γ1a0C12 + γ2(s3 − a0(C33 − C11))− γ3(s2 − a0C23)]

,

w0 =1

2γ1[

2a0s2 + (a′02 − 2a20)C23

]

− 1

2γ2[2a0s1 + (a′0

2 − 2a20)C13].

(34)

Таким образом, исследование прецессионно-изоконических движений ги-ростата сводится к изучению решения уравнений (9)–(11). Уравнения (9), (10)представляют систему линейных дифференциальных уравнений на функцииλi(t) (i = 1, 2), если функция ϕ(t) задана. Уравнение (11) является соотно-шением на функции λi(t) (i = 1, 2), которые удовлетворяют уравнениям (9),(10). Поэтому это соотношение должно быть инвариантным по отношениюк системе (9), (10). В силу метода инвариантных соотношений необходимовычислить производную от (11) в силу (9), (10). Однако такой путь приводитк весьма громоздким вычислениям.

В данной статье изучение прецессионно-изоконических движений гиро-стата будем проводить с помощью интеграла моментов из (3).

2. Первый случай прецессионно-изоконических движений тяже-лого гиростата. Рассмотрим уравнения (9)–(11) с обозначениями (12)–(34)при условии Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3), α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0),γ = (0, 0, 1), Aij = 0 (i 6= j):

λ1(t) = (a0 + 1)ϕλ2(t)− ϕ a′0A11 sinϕ+ ϕ2b1 cosϕ+ a0s2 − a′0s3 cosϕ, (35)

λ2(t) = −(a0 + 1)ϕλ1(t)− ϕ a′0A22 cosϕ+ ϕ2c′1 sinϕ+ a′0s3 sinϕ− a0s1, (36)

ϕa′0(λ1(t) cosϕ−λ2(t) sinϕ)−ϕ(1+a0)A33+ϕ2d ′

2 sin 2ϕ+a′

0(s1 cosϕ−s2 sinϕ) = 0,(37)

где

b1 = a′0[(a0 + 1)(A22 −A33)−A11], c′

1= a′

0[(a0 + 1)(A33 −A11) +A22],

d′2=

1

2a′0

2(A11 −A22).

50


Важность данного случая состоит в том, что здесь пока не конкретизированафункция ϕ(t).

Преобразуем интеграл моментов из (3) на основании принятых условий сучетом (6), (7):

a′0(λ1(t) sinϕ+ λ2(t) cosϕ) = k − ϕ(κ0 − d′

2cos 2ϕ). (38)

Из соотношений (37), (38) определим λ1(t), λ2(t):

λ1(t) =1

a′0ϕ

[

(1 + a0)A33ϕ cosϕ− σ0ϕ2 sinϕ+ kϕ sinϕ+

+a′0(s2 sinϕ− s1 cosϕ) cosϕ

]

,

λ2(t) =1

a′0ϕ

[

− (1 + a0)A33ϕ sinϕ− σ′0ϕ2 cosϕ+ kϕ cosϕ−

−a′0(s2 sinϕ− s1 cosϕ) sinϕ

]

.

(39)

Здесь обозначено

σ0 = a0(1 + a0)A33 + a′0

2A11, σ′

0= a0(1 + a0)A33 + a′

0

2A22.

Подставим (39) в уравнение (35):

(1 + a0)A33ϕ...ϕ + a′

0ϕ2

[

(1− a0)(s1 sinϕ− s2 cosϕ) + a′0s3]

−

−ka0ϕ3 + (1 + a0)A33ϕ4 − a′

0ϕ(s2 sinϕ− s1 cosϕ)− (1 + a0)A33ϕ

2 = 0.(40)

Полагая ϕ = u(ϕ) и обозначая дифференцирование по ϕ штрихом, из (40)имеем

(1 + a0)A33u2(ϕ)u′′(ϕ)− a′

0u′(ϕ)(s2 sinϕ− s1 cosϕ) + (1 + a0)A33u

3(ϕ)−−ka0u2(ϕ) + a′

0u(ϕ)[(1 − a0)(s1 sinϕ+ s2 cosϕ) + a′

0s3] = 0.

(41)

Рассмотрим условия существования решения уравнения (41) в классе три-гонометрических функций

u(ϕ) = l0 + l1 cosϕ+ l′1sinϕ. (42)

Подставим (42) в уравнение (41) и потребуем, чтобы полученное соотношениебыло тождеством по ϕ:

2l0l′

1[l0(1 + a0)A33 − ka0] + a′

0l0(1− a0)s1 + a′

0

2s3l

′

1= 0, (43)

2l0l1[l0(1 + a0)A33 − ka0] + a′0l0(1− a0)s2 + a′02s3l1 = 0, (44)

l1l′

1[l0(1 + a0)A33 − ka0]−

1

2a′0a0(s1l1 + s2l

′

1) = 0, (45)

51


[l0(1 + a0)A33 − ka0](l2

1− l′

1

2) + a0a

′

0(l′1s1 − l1s2) = 0, (46)

2(l20+1

2(l21+l

′

1

2))[l0(1+a0)A33−ka0]+(2−a0)a′0(l1s2+l′1s1)+2a′0

2s3l0 = 0. (47)

Примером разрешимости уравнений (43)–(47) может служить следующий ва-риант

s1 = s3 = 0, a0 = 0, l0 = l1 = 0. (48)

В (48) приведены условия существования решения ϕ = l′1sinϕ уравнения

(40). Учтем в формулах (39) соотношения (48):

λ1 =1

l′1

(

A33l′

1

2cos2 ϕ− σ0l

′

1

2sin2 ϕ+ kl′1 sinϕ+ s2 cosϕ

)

,

λ2 =1

l′1

[

− l′12(A22 +A33) sinϕ cosϕ+ kl′1 cosϕ− s2 sinϕ

]

.

(49)

Из (6), (7) имеем

ν1 = sinϕ(t), ν2 = cosϕ(t), ν3 = 0,

ω1 = l′1 sin2 ϕ(t), ω2 = l′1 sinϕ(t) cosϕ(t), ω3 = l′1 sinϕ(t),

(50)

где в силу (48)

ϕ(t) = arccosc0e

u − 1

c0eu + 1, (51)

а u = −2 l′1(t− t0), c0 – постоянная интегрирования.

Таким образом, при выполнении условий s1 = s3 = 0, a0 = 0, l0 = l1 = 0уравнения (35), (36) допускают решение (49)–(51). Из условия a0 = 0 следу-ет, что ось собственного вращения гиростата ортогональна вектору ν. Привыполнении равенств s1 = 0, s3 = 0 центр тяжести гиростата лежит в глав-ной плоскости эллипсоида инерции, которая ортогональна оси собственноговращения.

3. Второй случай прецессионно-изоконических движений тяже-лого гиростата. Положим в уравнении (41) si = 0 (i = 1, 3). Тогда

(1 + a0)A33(u′′(ϕ) + u(ϕ))− ka0 = 0. (52)

Общее решение уравнения (52) таково:

ϕ = u(ϕ) = C1 cosϕ+ C2 sinϕ+ka0

(1 + a0)A33

, (53)

где C1, C2 – произвольные постоянные. Из (53) следует, что ϕ(t) – элементар-ная функция времени.

52


В рассматриваемом случае из (1) получим

d

dt(Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β) = 0. (54)

На основе (54) можно сделать вывод, что вектор момента количества движе-ния гиростата постоянен:

Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β = c. (55)

В силу (55) в качестве вектора ν может быть взят векторc

|c| . Основным свой-

ством решения (53) является условие a0 6= 0. Компоненты гиростатическогомомента определим из (39)

λ1(t) =1

a′0

[

(1 + a0)A33(C2 cosϕ(t)− C1 sinϕ(t))−

−σ0u(ϕ(t)) sinϕ(t) + k sinϕ(t)]

,

λ2(t) =1

a′0

[

− (1 + a0)A33(C2 cosϕ(t)− C1 sinϕ(t))−

−σ′0u(ϕ(t)) cos ϕ(t) + k cosϕ(t)

]

,

(56)

а вектора ν и угловой скорости ω из (6), (7):

ν1 = a′0sinϕ(t), ν2 = a′

0cosϕ(t), ν3 = a0,

ω1 = a′0u(ϕ(t)) sinϕ(t), ω2 = a′

0u(ϕ(t)) cos ϕ(t), ω3 = (a0 + 1)u(ϕ(t)).

(57)

В равенствах (56), (57) функция ϕ(t) находится в результате интегрированияуравнения (53). Из приведенных выше формул следует, что в решении (56),(57) уравнений (35), (36) отсутствуют ограничения на моменты инерции ипараметр a0.

4. Третий случай прецессионно-изоконических движений тяже-лого гиростата. Пусть в уравнении (41) выполняются условия

s1 = 0, s2 = 0. (58)

Преобразуем (41) к виду∫

du√

c0 − (1 + a0)A33u2 + 2ka0u− 2a′0

2s3ln|u|=

1√

A33(1 + a0)(ϕ− ϕ0). (59)

Обозначим левую часть (59) через F (u), тогда u(ϕ) можно получить путемобращения интеграла из (59):

u(ϕ) = F−1

( ϕ− ϕ0√

A33(1 + a0)

)

. (60)

53


Учитывая равенство ϕ = u(ϕ), из (60) найдем ϕ(t). Подставляя эту функциюв формулы (6), (7), (39), получим решение, которое описывает прецессионно-изоконическое движение гиростата.

1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-родной капельной жидкостью // Журн. Рус. физ.-хим. о-ва. Часть физ. – 1885. – 17,отд. 1, вып. 6. – С. 81–113.

2. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. – 1970. – 2. – С. 83–96.

3. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердоготела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.

4. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердоготела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.

5. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк:ДонНУ, 2010. – 394 с.

6. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.7. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-

ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердоготела. – 2010. – Вып. 40. – С. 91–104.

8. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецессионно-изоконические движения второго типа в зада-че о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Biсн. Донецьк.ун-ту. Сер. А. Природничi науки. – 2012. – Вып. 1. – С. 79–83.

9. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Полурегулярные прецессии тяжелого гиростата, несущегодва ротора // Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. – С. 16–26.

10. Котов Г.А. Регулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два вращающихсягироскопа // Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. – С. 59–66.

11. Мазнев А.В., Белоконь Т.В. Один случай трех инвариантных соотношений в задачео движении симметричного гиростата // Механика твердого тела. – 2014. – Вып. 44. –С. 27–33.

12. Горр Г.В., Котов Г.А. О маятниковых движениях гиростата, несущего два ротора //Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45. – С. 40–50.

G.V.Gorr, Yu.V.Koshel

One class of precessionally isoconical motions of a gyrostat carrying two rotors

In the article, the subject of consideration is the problem on motion of a gyrostat carrying tworotors under the action of potential and gyroscopic forces. A special form of differential equationsof motion of the gyrostat is obtained, it is meant for investigation of precessionally isoconicalmotions. A new solution of these equations is found in the case when the gyrostat is under theaction of the force of gravity.

Keywords: gyrostat, precessional and isoconical motions.


[email protected]


54


УДК 531.38

c©2016. А.В. Зыза, Д.Н. Ткаченко

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕО ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрена задача об условиях существования полиномиальных решений уравнений дви-жения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Найдены двановых решения.

Ключевые слова: гиростат, полиномиальные решения, эффект Барнетта–Лондона.

1. Введение. Математическая постановка задачи о движении гиростатав магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона сводится к интегри-рованию шести обыкновенных дифференциальных уравнений, которые допу-скают два первых интеграла. Наличие только двух первых интегралов отли-чает рассматриваемую задачу от классической задачи о движении гироста-та под действием потенциальных и гироскопических сил, уравнения которойимеют три первых интеграла. Дополнительные интегралы уравнений движе-ния в магнитном поле были предложены В.В. Козловым [1] и В.А. Самсоно-вым [2]. Неинтегрируемость в общем случае уравнений движения гиростатаобосновывает актуальность построения частных решений этих уравнений.

В динамике твердого тела известны частные решения, которые описыва-ются полиномиальной структурой основных переменных задачи от вспомо-гательной переменной. В классической задаче о движении тяжелого твер-дого тела такие решения получены В.А. Стекловым [3], Д.М. Горячевым [4],Н. Ковалевским [5]. П.В. Харламов получил новые решения класса Стеклова–Горячева–Ковалевского для уравнений движения тяжелого гиростата [6].Условия существования полиномиальных решений уравнений движения ги-ростата под воздействием потенциальных и гироскопических сил изучалисьв работах Г.В. Горра и А.В. Зызы [7–9].

Решение С.А. Чаплыгина [11] позволяет надеяться в задаче о движениигиростата в магнитном поле найти решения в виде многочленов по вспомо-гательной переменной, зависящей от времени [10]. В данной статье в зада-че о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона изучены условия существования полиномиальных решений обоб-щенного класса С.А. Чаплыгина. Получены два новых решения, которыевыражаются в виде полиномов, зависящих от функции, которая может бытьнайдена путем обращения эллиптических интегралов.

2. Постановка задачи. Гиромагнитные явления играют важную рольв исследовании движений приборов в магнитных полях. Одно из таких яв-лений обусловлено эффектом Барнетта–Лондона, суть которого состоит вследующем. Если нейтральный ферромагнетик (первоначально ненамагни-ченный) поместить в магнитное поле и придать ему вращение, то в силу

55

А.В. Зыза, Д.Н. Ткаченко

эффекта Барнетта он становится намагниченным вдоль оси вращения. По-добное явление имеет место при вращении сверхпроводящего твердого тела(эффект Лондона).

Магнитный момент тела при взаимодействии с внешним магнитным по-лем будет стремиться по направлению вектора напряженности магнитногополя. Взаимодействие вызванной вращением тела намагниченности с внеш-ним магнитным полем приводит к прецессии вектора кинетического моментавокруг вектора поля.

Изучение движения тела под действием указанного магнитного моментаимеет важное значение при определении предельной точности навигационныхсистем, использующих неконтактный подвес. Поэтому при математическоммоделировании движения тела в магнитном поле следует учитывать магнит-ный момент, который возникает в результате эффекта Барнетта–Лондона.

Это обстоятельство приводит к тому, что уравнения движения твердоготела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона не допускаютинтеграла энергии из-за диссипации энергии: перехода энергии магнитногополя в кинетическую энергию вращательного движения твердого тела.

Рассмотрим движение гиростата в магнитном поле с учетом эффектаБарнетта–Лондона. Уравнения движения такого гиростата с учетом моментаньютоновских сил запишем в векторном виде [1, 2]

Aω = (Aω + λ)× ω +Bω × ν + ν × (Cν − s), ν = ν × ω, (1)

где A− тензор инерции гиростата, построенный в неподвижной точке;ω = (ω1, ω2, ω3)− угловая скорость гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3)− единичныйвектор, характеризующий направление магнитного поля; λ− гиростатиче-ский момент; s− вектор, коллинеарный вектору обобщенного центра масс;B и C − постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка надпеременными означает относительную производную.

Уравнения (1) допускают два интеграла

ν · ν = 1, (Aω + λ) · ν = k0, (2)

k0 − постоянная интеграла площадей.Изменение полной энергии гиростата определяется соотношением

[(Aω · ω − 2(s · ν) + C(ν · ν)]• = 2(Bω × ν) · ω, (3)

поэтому уравнения (1) не имеют интеграла энергии.Дифференциальные уравнения (1) в общем случае допускают только гео-

метрический интеграл и интеграл площадей (см. (2)). Если же имеет месторавенство B = αE (E− единичная матрица, α− некоторый параметр),то из соотношения (3) вытекает интеграл энергии для уравнений (1). Тогдауравнения (1) будут описывать задачу о движении гиростата под действи-ем потенциальных и гироскопических сил и относятся к уравнениям классаКирхгофа–Пуассона. В дальнейшем этот случай исключаем из рассмотрения.

Поставим задачу о нахождении условий существования у уравнений (1)решений следующей структуры:

56

Полиномиальные решения в задаче о движении гиростата в магнитном поле

ω1 = σ2, ω2

2 = Q(σ) =

n∑

j=0

bjσj , ω2

3 = R(σ) =

m∑

i=0

ciσi,

ν1 = ϕ(σ) =

l∑

j=0

ajσj , ν2 =

ψ(σ)

σω2, ν3 =

κ(σ)

σω3,

ψ(σ) =

n1∑

i=0

giσi, κ(σ) =

m1∑

j=0

fjσj ,

(4)

предварительно предположив

A = diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3),

λ2 = 0, λ3 = 0, s2 = 0, s3 = 0.(5)

В соотношениях (4) n, m, l, n1, m1 − натуральные числа или нули; bj, ci, aj,gi, fi, − неизвестные, подлежащие определению.

Подставим выражения (4) с учетом предположений (5) в уравнения (1) игеометрический интеграл из (2), получим

σ = (ϕ′(σ)σ)−1Φ(σ)√

Q(σ)R(σ), Φ(σ) = ψ(σ) − κ(σ); (6)

(Q(σ)ψ2(σ)σ−2)′Φ(σ) = 2ϕ′(σ)ψ(σ)(σκ(σ) − ϕ(σ)),

(R(σ)κ2(σ)σ−2)′Φ(σ) = 2ϕ′(σ)κ(σ)(ϕ(σ) − σψ(σ)),

2σ2A1Φ(σ) = ϕ′(σ)[(C3 − C2)ψ(σ)κ(σ) + (B2κ(σ) −B3ψ(σ))σ + (A2 −A3)σ2],

A2Q′(σ)Φ(σ) = 2ϕ′(σ)[(C1 −C3)ϕ(σ)κ(σ) +B3ϕ(σ)σ −B1κ(σ)σ

2+ (7)

+ (A3 −A1)σ3 − λ1σ − s1κ(σ)],

A3R′(σ)Φ(σ) = 2ϕ′(σ)[(C2 − C1)ϕ(σ)ψ(σ) −B2ϕ(σ)σ +B1ψ(σ)σ

2+

+ (A1 −A2)σ3 + λ1σ + s1ψ(σ)];

σ2(ϕ2(σ)− 1) +Q(σ)ψ2(σ) +R(σ)κ2(σ) = 0. (8)

В уравнениях (6), (7) штрихом обозначена производная по вспомогательнойпеременной σ. После интегрирования уравнений (7) зависимость σ от вре-мени t устанавливается из дифференциального уравнения (6).

3. Первое новое частное решение уравнений (1) Рассмотрим слу-чай, когда максимальные степени полиномов из (4) таковы: n = m = 4,l = 2, n1 = m1 = 1. Тогда, согласно (4),

ω1 = σ2, ω2

2 = Q(σ) = b4σ4 + b3σ

3 + b2σ2 + b1σ + b0, ω

2

3 = R(σ) = c4σ4+

+ c3σ3 + c2σ

2 + c1σ + c0, ν1 = ϕ(σ) = a2σ2 + a1σ + a0, (9)

ν2 =ψ(σ)

σ

√

Q(σ), ν3 =κ(σ)

σ

√

R(σ), ψ(σ) = g1σ + g0, κ(σ) = f1σ + f0.

57


Подставим предполагаемое решение (9) уравнений (1) в (7), (8) и потребу-ем тождественного выполнения полученных равенств для всех σ при a1 6=6= 0, g0 6= 0, f0 6= 0. В результате получим систему условий на параметрызадачи и искомые коэффициенты полиномиальных решений (9)

β = C1 − C3, µ = B2f1 −B3g1 +A2 −A3, C2 = C3, B2f0 −B3g0 = 0,

b0 = 0, b1 = 0, c1 = 0, c0 = 0, A1(g1 − f1)− a2µ = 0,

2A1(g0 − f0)− a1µ = 0, 4f1µ−A1(a2 − g1) = 0, (3c3f1 + 2c4f0)µ = 0,

(2c2f1 + c3f0)µ − 4A1a0 = 0, (2b2g1 + b3g0)µ + 4A1a0 = 0,

(3b3g1 + 2b4g0)µ = 4A1(f0 − a1), b4g1µ−A1(f1 − a2) = 0,

A2µb4 −A1(βa2f1 +B3a2 −B1f1 +A3 −A1) = 0,

A2b1µ− 4A1(βa0f0 − s1f0) = 0, (10)

3b3µA2 − 4A1(β(a2f0 + a1f1) +B3a1 −B1f0) = 0,

A2b2µ− 2A1(β(a1f0 + a0f1) +B3a0 − λ1 − s1f1) = 0,

A3µc4 −A1(−βa2g1 −B2a2 +B1g1 +A1 −A2) = 0,

3A3µc3 − 4A1(−β(a2g0 + a1g1)−B2a1 +B1g0) = 0,

A3c2µ− 2A1(−β(a1g0 + a0g1)−B2a0 + λ1 + s1g1) = 0,

A3c1µ− 4A1(s1g0 − βa0g0) = 0, a20 − 1 + b2g2

0 + c2f2

0 = 0.

Система алгебраических уравнений (10) разрешима относительно параметровA1, A2, A3, g1, g0. Считая g1/f1 = k, A3/A1 = m0, A2/A1 = p0 и обозначая

µ0 = (m0 − 1)k + 1− p0,

µ1 = −8km2

0+ ((p0 − 1)k2 + 2(5p0 + 2)k + 5p0 − 3)m0 − 2p0(2(k + 1)p0 + k − 1),

µ2 = −4km2

0+ ((p0 − 1)k2 + (6p0 + 1)k + p0)m0 − p0((4p0 − 1)k + 1),

µ3 = 4km2

0+ ((p0 − 8)k − p0)m0 + 3(k − 1)− 4p0(p0 − 2),

µ4 = 3(1− k) + 4(m0k − p0),

µ5 = 4k(k + 1)m2

0+ (−(5p0 + 2)k2 + 2(1 − 5p0)k − p0)m0+

+p0(4(2p0 − 1)k + 3k2 + 1),

запишем решение системы (10) в виде

a2 = µ0f1/(m0 − p0), a1 = 2µ0µ2g0/(µ1k(m0 − p0)), a0 = δ1/f1;

B1 = −A1(4µ2µ4k(k − 1)f1(m0 − p0))−1[−128k3m5

0+ 8k2(3(p0 − 1)k3+

+ 11(p0 − 1)k2 + (33p0 + 23)k + 3(11p0 − 3))m4

0 − 2k((19p0 + 8)(p0 − 1)k4+

+ 4(24p0 + 5)(p0 − 1)k3 + 2(111p20+ 3p0 + 32)k2 + 12(18p2

0+ 11p0 − 3)k+

58


+ 3(29p0 − 17)p0)m3

0 + p0(39(p0 − 1)k5 + 3(p0 − 1)(58p0 + 9)k4+

+ 6(72p20 − 23p0 + 7)k3 + 6(74p20 + 23p0 + 27)k2 + 3(64p20 + 49p0 − 49)k+

+ 38p20− 39p0 + 9)m2

0− p0(9(p0 − 1)k5 + 3(p0 − 1)(34p0 − 15)k4+

+ 6(44p20(p0 − 1) + 3(9p0 − 5))k3 + 6(44p30 − 2p20 + 7p0 + 15)k2+

+ (88p30 + 152p20 − 27p0 − 45)k + 24p30 + 22p20 − 39p0 + 9)m0+

+ 8p30(9(p0 − 1)k3 + (16p2

0− 23p0 + 16)k2 + (11p0 − 5)k + 3p0 − 2)],

B2 = µ1(m0k − p0)A1/(µ0µ4(k − 1)f1),

B3 = −µ5(m0k − p0)A1/(µ0µ4k(k − 1)f1); (11)

b0 = 0, b1 = 0, b2 = δ3/f2

1 , b4 = −µ0(m0 − 1)/(k(m0 − p0)2),

b3 = −2µ0(k − 1)(m0 − 1)(p0 − 1)((k − 1)m0 − 2p0)g0/(µ1k2(m0 − p0)

2f1);

c0 = 0, c1 = 0, c2 = δ2/f2

1 , c4 = µ0(p0 − 1)/(m0 − p0)2,

c3 = 2µ0(k − 1)(m0 − 1)(p0 − 1)(2km0 − p0(k + 1))g0/(µ1k(m0 − p0)2f1);

β = −3(k − 1)(m0 − 1)(p0 − 1)A1(4µ0µ2µ4kf2

1 )−1[8k2(k + 1)m3

0−− 2k((3p0 + 2)k2 + 2(7p0 − 1)k + 7p0)m

2

0+ p0(3k

3 + (14p0 − 1)k2+

+ (28p0 + 1)k + 3(2p0 − 1))m0 − 4p20(2p0(k + 1) + k − 1)],

f0 = −µ5g0/(µ1k), s1 = βa0, λ1 =1

2A1

[µA3c2 + 2A1(βa1g0 +B2a0)].

Здесь f21= δ2

1+ δ2f

2

0+ δ3g

2

0,

δ1 = − µ0(k − 1)(m0 − 1)(p0 − 1)g20

2µ21µ3k2(m0 − p0)(m0k − p0)

[32k3(k + 3)(k + 1)m5

0 − 16k2((5p0 + 1)k3+

+ 2(12p0 + 1)k2 + (37p0 − 3)k + 14p0)m4

0 + 2kp0((19p0 + 34)k4 + 2(118p0+

+ 7)k3 + 2(257p0 − 19)k2 + 2(214p0 + 13)k + 83p0 − 36)m3

0 − p0((36p0 + 15)k5+

+ (166p20+ 148p0 − 51)k4 + 2(428p2

0− 120p0 + 27)k3 + 2(514p2

0+ 120p0 − 3)k2+

+ (472p20− 148p0 − 21)k + 38p2

0− 36p0 + 9)m2

0+ p2

0(9k5 + 3(24p0 − 7)k4+

+ 2(112p20 − 26p0 − 3)k3 + 2(296p20 + 38p0 + 27)k2 + (384p20 − 28p0 − 51)k+

+ 80p20 − 68p0 + 15)m0 − 16p40(3k + 1)((2p0 + 1)k + 2p0 − 1)],

59


δ2 =µ0(m0 − 1)(p0 − 1)g2

0

µ21µ3k2(m0 − p0)2(m0k − p0)

[−128k4(k + 1)m6

0+ 32k3((p0 − 1)k3 + 5(2p0+

+ 1)k2 + (25p0 − 1)k + 3(4p0 − 1))m5

0− 8k2((p0 − 1)(4p0 + 5)k4 + (54p2

0+

+ 18p0 + 13)k3 + (174p20 + 44p0 − 11)k2 + (194p20 − 26p0 + 3)k + p0(54p0−

− 37))m4

0 + k((p0 − 1)(5p20 + 35p0 + 12)k5 + (243p30 + 198p20 − 51p0 + 36)k4+

+ 2(633p30+ 134p2

0+ 73p0 − 18)k3 + 2(13p0 + 3)(79p2

0− 3p0 + 2)k2+

+ p0(1337p2

0− 618p0 − 187)k + p0(215p

2

0− 274p0 + 81))m3

0− p0(3(p0 − 1)(p0+

+ 3)k6 + (33p30 + 151p20 − 95p0 − 6)k5 + (531p30 + 204p20 − 67p0 + 69)k4+

+ 2(685p30 + 159p20 + 285p0 − 36)k3 + (1334p30 − 21p20 − 544p0 − 3)k2+

+ (533p30− 581p2

0+ 85p0 + 30)k + 39p3

0− 74p2

0+ 45p0 − 9)m2

0+

+ p20(3(5p2

0 − 2p0 − 11)k5 + (60p30 + 137p20 − 184p0 + 81)k4+

+ 2(208p30 + 43p20 + 222p0 − 15)k3 + 2(300p30 + 89p20 − 116p0 − 33)k2+

+ (384p30− 277p2

0− 102p0 + 63)k + 76p3

0− 139p2

0+ 80p0 − 15)m0+

+ p30(9k5 − 3(2p0 − 1)(2p0 − 7)k4 + 2(−16p3

0− 8p2

0− 52p0 + 3)k3+

+ 2(−48p30 − 36p20 + 20p0 + 9)k2 + (−96p30 + 48p20 + 40p0 − 15)k−

− (2p0 − 1)(16p20 − 18p0 + 3))],

δ3 =µ0(m0 − 1)(p0 − 1)g2

0

µ21µ3k3(m0 − p0)2(m0k − p0)

[32(k(k + 1))3m6

0−

− 4k2((19p0 + 13)k4 + 12(8p0 + 1)k3 + 6(25p0 − 3)k2 + 4(26p0 − 1)k+

+ 3(5p0 − 1))m5

0+ k((39p2

0+ 139p0 + 24)k5 + (533p2

0+ 277p0 − 40)k4+

+ 2(667p20 − 89p0 − 20)k3 + 2(685p20 − 43p0 + 52)k2 + (531p20 − 137p0 − 48)k+

+ 3p0(11p0 − 5))m4

0 + (−(74p20 + 80p0 + 3)k6 + (−215p30 − 581p20 + 102p0 + 15)k5+

+ (−1337p30− 21p2

0+ 232p0 − 18)k4 + 2(−1027p3

0+ 159p2

0− 222p0 − 3)k3+

+ (−1266p30 + 204p20 + 184p0 + 21)k2 + (−243p30 + 151p20 + 6p0 − 9)k+

+ p20(−5p0 + 3))m3

0 + p0(15(3p0 + 1)k6 + (274p20 + 85p0 − 63)k5 + 2(216p30+

60


+ 309p20 − 272p0 + 33)k4 + 2(776p30 − 198p20 + 285p0 + 15)k3 + (1392p30−

− 268p20− 67p0 − 81)k2 + (432p3

0− 198p2

0− 95p0 + 33)k + 2p0(16p

2

0−

− 15p0 + 3))m2

0− p2

0(9k6 + 3(27p0 − 10)k5 + (296p2

0− 187p0 + 3)k4+

+ 2(192p30 + 104p20 + 17p0 + 36)k3 + (800p30 − 352p20 + 146p0 − 69)k2+

+ (320p30 − 144p20 − 51p0 + 6)k + 32p30 − 8p20 − 23p0 + 9)m0+

+ 4p30(2p0(k + 1) + k − 1)(4p0 + 3(k − 1))((4p0 − 1)k + 1)].

Зависимость σ от времени t найдем из дифференциального уравнения (6)

σ =µσ

2A1

√

(b4σ2 + b3σ + b2)(c4σ2 + c3σ + c2). (12)

Приведем численный пример решения (5), (9), (11), (12) уравнений (1).

A1 = 5a, A2 = 4a, A3 = 3a, k =1

3, g0 = g, γ =

√1222 (a > 0, g > 0),

C2 = C3, B1 = −198γa

47g2, B2 =

2916γa

611g2, B3 =

7290γa

611g2, β = C1 − C3 = −268272a

611g4,

λ = (−28836a

611g2; 0; 0), s = (

19852128γa

373321g4; 0; 0), ω1 = σ2, ω2

2= σ2Q∗(σ), (13)

ω2

3 = σ2R∗(σ), Q∗(σ) = 2σ2 +216γ

611gσ − 11016

611g2, R∗(σ) = −1

3σ2 − 60γ

611gσ +

108

611g2,

ν1 = −γg2

324σ2 − 3g

2σ − 74γ

611, ν2 = (

γg2

324σ + g)

√

Q∗(σ), ν3 = (γg2

108σ +

5

2g)√

R∗(σ).

Функцию σ = σ(t) находим из дифференциального уравнения (12). Поли-номы Q∗(σ) и R∗(σ) положительны при

−18√611

611g(5√2 +

√51) < σ < −18

√611

611g(3√2 +

√35).

Зависимость σ = σ(t) найдем из (12) обращением эллиптического интеграла.

3. Второе новое частное решение уравнений (1). Случай n = m == 4, l = 2, n1 = 1, m1 = 0. Пусть теперь решение (4) имеет вид

ω1 = σ2, ω2

2 = Q(σ) = b4σ4 + b3σ

3 + b2σ2 + b1σ + b0,

ω2

3= R(σ) = c4σ

4 + c3σ3 + c2σ

2 + c1σ + c0,

ν1 = ϕ(σ) = a2σ2 + a1σ + a0, ν2 = ψ(σ)σ−1ω2,

ν3 = κ(σ)σ−1ω3, ψ(σ) = g1σ + g0, κ(σ) = f0.

(14)

61


Для нахождения коэффициентов полиномов (14) воспользуемся системойусловий (10) при m1 = 0. Рассматриваемая система алгебраических урав-нений будет совместна. Принимая в качестве независимых параметровB1, B2, B3, A3, запишем решение этой системы

A1 = A2 = 2A3, C2 = C3, β = C1 − C3 = −(B1 +B2 − 4B3)B3/A3,

a0 = −((5B2 − 16B3 + 2B1)B2 + 2(4B3 −B1)B3)f2

0 /(3B3A3),

a1 = 2(B2 −B3)f0/B3, a2 = −A3/B3,

b0 = b1 = 0, b2 = −((4B1 + 7B2 − 26B3)B2 + 4(4B3 −B1)B3)f2

0 /(3A2

3),

b3 = 2(B2 − 2B3)f0/A3, b4 = −1, (15)

c0 = c1 = 0, c2 = 2(11B3

2 + 2(4B1 − 25B3)B2

2 − 4(3B1 − 13B3)B2B3+

+ 4(B1 − 4B4)B2

3)f2

0/(3B3A

2

3), c3 = −4((2B1 + 5B2 − 16B3)B2+

+ 2(4B3 −B1)B3)f0/(3B3A3), c4 = 2(B2 − 2B3)/B3,

g0 =B2f0B3

, g1 = −A3/B3, f0 =√

6√µ0(B2 −B3)B3A3/(2

√µ0(B2 −B3)),

λ1 = −4(B2 −B3)(B1 +B2 − 4B3)f2

0/(3A3), s1 = βa0.

Здесь µ0 = (B1 + B2 + 2B3)(B1 + B2 − 4B3). Зависимость вспомогательнойпеременной σ от t установим из уравнения (6)

σ = 2−1σ√

(b4σ2 + b3σ + b2)(c4σ2 + c3σ + c2). (16)

Численный пример решения (5), (6), (15), (16) уравнений (1) таков:

A1 = A2 = 2a, A3 = a, B1 = −100b, B2 = 9b,

B3 = 4b, C2 = C3, β = C1 − C2 =428b2

a, (a > 0, b > 0),

λ = (2140(f0b)

2

3a; 0; 0), s = (

111601f20b3

3a2; 0; 0),

ω1 = σ2, ω2 = σ√

Q∗(σ), ω3 = σ√

R∗(σ),

Q∗(σ) = −σ2 + 2f0b

aσ +

2113f20b2

3a2,

R∗(σ) =1

2σ2 +

1043f0b

3aσ − 29717f2

0b2

6a2,

ν1 = − a

4bσ2 +

5f02σ +

1043f20b

12a,

ν2 = (− a

4bσ +

9

4f0)

√

Q∗(σ), ν3 = f0√

R∗(σ).

(17)

Здесь

f0 =

√6

4√222025

√

a

b.

62


Вспомогательную переменную σ = σ(t) найдем из уравнения

σ = 2−1σ√

Q∗(σ)R∗(σ) (18)

при σ ∈ (σ1;σ2), где σ1 =(10

√11770 − 1043)f0b

3a, σ2 =

(3 + 46√3)f0b

3a.

Решение (17), (18) уравнений (1), в отличие от решения (12), (13), содер-жит только четыре независимых параметра, а не пять. Оно выражается черезэллиптические функции времени.

1. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН.Механика твердого тела. – 1985. – 6. – С. 28–33.

2. Самсонов А.В. О вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН. Механикатвердого тела. – 1984. – 4. – С. 32–34.

3. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тя-желого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Тр. Отд-ния физ. наук о-валюбителей естествознания. – 1899. – 10, вып. 1. – С. 1–3.

4. Горячев Д.Н. Новое частное решение задачи о движении тяжелого твердого телавокруг неподвижной точки// Тр. Отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания.– 1899. – 10, вып. 1. – С. 23–24.

5. Kowalewski N. Eine neue partikuldre lusung der Differenzialgleichnungen der Bewegungeines schweren starren Kurpers um einen festen Punkt // Math. Ann – 1908. – 65. –S. 528–537.

6. Харламов П.В. Полиномиальные решения уравнений движения тела, имеющего не-подвижную точку // Прикл. математика и механика. – 1965. – 29, вып. 1. – С. 26–34.

7. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростатас неподвижной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – 6 – С. 12–21.

8. Зыза А.В. Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона// Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40 – С. 103–109.

9. Зыза А.В. Полиномиальные решения с линейным инвариантным соотношением урав-нений Кирхгофа–Пуассона // Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45 – С. 63–69.

10. Зыза А.В. О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотноше-нием уравнений движения гиростата // Механика твердого тела. – 2013. – Вып. 43 –С. 29–38.

11. Чаплыгин С.А. Новое частное решение в задаче о вращении тяжелого твердого телавокруг неподвижной точки // Тр. Отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания.– 1904. – 12, вып. 1. – С. 1–4.

A.V.Zyza, D.N.Tkachenko

Polynominal solutions of gyrostat in the problem of gyrostat motionin magnetic field

The problem of existing of conditions for polynomial solutions of gyrostat motion equations inmagnetic field in view of Barnett–London effect has been considered.

Keywords: gyrostat, polynomial solutions, Barnett–London effect.


[email protected]


63


УДК 62-50+517.91

c©2016. А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный

СИНХРОНИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМВ КЛАССЕ ИМПУЛЬСНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

Исследована задача синхронизации по выходу двух динамических систем одинаковойструктуры. Показано, что эта задача может быть сведена к задаче стабилизации по ча-сти переменных или к задаче построения управляющего воздействия, обеспечивающегоасимптотическую устойчивость некоторого инвариантного множества объединенной систе-мы. Рассмотрены особенности, возникающие при решении данной задачи в классе импульс-ных управлений. В качестве примера использована система Чуа, для которой построенысинхронизирующие импульсные управления.Ключевые слова: задача синхронизации, импульсное управление, система Чуа.

Введение. Ключевая идея целого ряда современных методов защитыинформации в телекоммуникационных технологиях, которые основаны надинамических системах с хаотическими траекториями, состоит в том, чтосигнал сообщения маскируется и модулируется с помощью некоторых функ-ций от фазовых переменных передающей системы. Передающее устройствосодержит аналогичную хаотическую систему, которая используется для рас-шифровки. Впервые подобная схема кодирования в задачах передачи инфор-мации была предложена в работе [1]. Поскольку начальные условия пере-дающей и принимающей системы могут различаться, а для хаотических си-стем даже незначительное возмущение в начальных данных может приводитьк существенным изменениям траектории, возникает потребность в построе-нии управления с обратной связью по выходу, которое обеспечит, по крайнеймере, асимптотическое сближение траекторий систем. Таким образом, зада-ча синхронизации двух систем, имеющих одинаковую структуру, с помощьюуправления, которое вводится в принимающей системе, является актуальной.

1. Постановка задачи. Рассмотрим передающую систему, котораяописывается уравнениями

x = f(x), x(0) = x0, (1)

y = h(x), (2)

где x ∈ Rn – фазовый вектор передатчика, y ∈ Rm – выход системы, x0 –начальные значения фазовых переменных, которые заранее неизвестны.

Вектор y передается через канал связи на принимающее устройство, ди-намика которого описывается системой

z = F (z, y, u), z(0) = z0, (3)

где z ∈ Rn – фазовый вектор приемника, управление u = u(z, y), завися-щее лишь от фазового вектора принимающей и выхода передающей системы,предназначено для обеспечения подстройки параметров системы (1).

64

Синхронизация динамических систем в классе импульсных управлений

Задача синхронизации систем (1), (2) и (3) может быть сформулированаследующим образом. Требуется построить управление u(z, y) таким образом,что, каковы бы ни были начальные значения x0, z0 ∈ Rn, для решений x(t)системы (1) и z(t) системы (3) при всех t > 0 выполнялось условие ‖z(t)−−x(t)‖ ≤ K(‖z0−x0‖), где K – функция класса Хана, и при этом lim

t→+∞

‖z(t)−−x(t)‖ = 0.

В инженерных приложениях требуют, как правило, большего. Требуют,чтобы для заданного уровня затухания d < 1 существовало время установ-ления T такое, что для любого момента времени t > T выполняется условие‖z(t)− x(t)‖ ≤ d‖z0 − x0‖.

Без ограничения общности можно считать, что d = 1/2. Тогда при выпол-нении указанного свойства со временем установления T1/2 для любого друго-го меньшего уровня затухания d время установления можно будет выразитьформулой Td = −T1/2 log2 d.

Предполагается, что система (3) имеет схожую с системой (1) структуруи при попадании на траекторию системы (1) в дальнейшем двигается вдольнее, т. е.

F (z, h(z), u(z, h(z))) ≡ f(z). (4)

Выполнив замену переменных u(z, y) = u(z, y) − u(z, h(z)), можно до-биться того, что соответствующий режим синхронного движения будет обес-печиваться нулевым управлением. Переобозначив введенное таким образомуправление снова буквой u и заменив соответствующим образом функцию F ,можно условие (4) переписать в виде

u(z, h(z)) ≡ 0, F (z, h(z), 0) ≡ f(z). (5)

Условия (5) обеспечивают инвариантность множества, задаваемого соотно-шениями z = x, при u ≡ 0.

Таким образом, задача синхронизации систем (1), (2) и (3) сводится кзадаче о построении управления, обеспечивающего глобальную асимптоти-ческую устойчивость инвариантного множества z = x.

Также эту задачу можно свести к задаче стабилизации системы ошибок.Для этого введем вектор ошибок e = z − x, который характеризует откло-нение фазовых координат системы (3) от фазовых координат системы (1).Изменение этого вектора со временем описывается системой

e = F (e, z, u), (6)

где F (e, z, u) = F (z, h(z − e), u) − f(z − e).Можно убедиться в том, что при условиях (5) система (6) имеет нулевое

решение e ≡ 0 (при управлении u ≡ 0). Таким образом, задача синхронизациисистем (1), (2) и (3) эквивалентна задаче стабилизации системы, состоящейиз уравнений (3) и (6), по части переменных e. Важно отметить, что пере-менные e не являются наблюдаемыми (или наблюдаемой может быть частьиз них), в связи с чем управление u должно зависеть лишь от переменных z иy = h(z − e).

65

А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный

2. Имульсное управление в задачах синхронизации. Импульсныеуправления в линейной теории управления были впервые использованы в ра-боте [2]. Их возникновение было связано с тем, что при некоторых определе-ниях интенсивности управления (целевого функционала) оптимальное управ-ление не существовало в классе ограниченных измеримых функций, в связи счем потребовалось введение обобщенных (импульсных) управлений. Несмот-ря на то, что расширение класса допустимых управлений за счет включенияимпульсных воздействий не позволило расширить классы управляемых илистабилизируемых линейных систем управления, введение новых управленийпривлекло внимание многих исследователей. Благодаря чему была построенаобщая теория систем дифференциальных уравнений с импульсными воздей-ствиями [3, 4], предложена общая форма записи таких систем и разработанаппарат для анализа их устойчивости.

При использовании импульсных управлений система (3) примет следую-щий вид:

z = F (z, y, u), при (z, y, t) 6∈ S,∆z = G(z, y,∆U), при (z, y, t) ∈ S,z(0) = z0.

(7)

Функция скачков G при этом, как правило, не является произвольной, авычисляется по функции F как предел реакции системы (3) на последова-тельность измеримых управлений, приближающих импульсное воздействие вфиксированный момент времени. Для некоторых достаточно общих классови импульсных воздействий различных степеней и порядков выражения дляфункции G были получены в работе [5].

Полученная система (7) обладает более богатой динамикой, поскольку мо-жет иметь даже разрывные траектории. При решении задачи синхронизациимогут выбираться подходящим образом не только управления u и ∆U , но иповерхность S в расширенном пространстве наблюдаемых переменных.

Важное значение имеют следующие частные случаи:

1. S = p(z, y) = 0. В этом случае скачки системы задаются на поверхно-сти в пространстве наблюдаемых переменных, что обеспечивает авто-номность заданной системы, а, значит, и независимость траекторий отвыбора начального момента времени.

2. S =+∞⋃

i=1

t = τi, где τi – неограниченно возрастающая последователь-

ность моментов времени, в которые траектория системы терпит разры-вы. В этом случае имеем систему с фиксированными моментами им-пульсных воздействий, которые наиболее полно изучены в литературепо устойчивости импульсных систем.

3. ∆U ≡ 0. Случай, когда сам объект имеет разрывные траектории и приэтом используются обычные непрерывные управления. Этот случай вы-рождается в случай с классическим управлением (3), если функция G

66


вычисляется по функции F , поскольку при этом имеет место G(z, y, 0) ≡≡ 0. Однако, если функция G строилась из иных соображений, данныйслучай может представлять интерес.

4. u ≡ 0. Случай чисто импульсного управления. В этом случае система додостижения ею некоторого множества S не подвергается управляющемувоздействию, а при достижении – импульсным воздействием мгновенноперебрасывается в другое положение. Такой подход может обеспечиватьминимальное время работы управляющего устройства, однако можетпотребовать использования сигналов большой интенсивности.

3. Метод решения задачи синхронизации. Для решения задачисинхронизации систем (1), (2) и (3) воспользуемся методом функций Ляпу-нова. Поскольку задача синхронизации эквивалентна задаче стабилизацииэтой системы по переменным e, подберем некоторую функцию V (e, z) такимобразом, чтобы выполнялось:

• V (0, z) = 0 при любом z;

• V (e, z) > 0 при любых z и e 6= 0.

Вычислим производную этой функции в силу системы (3), (6)

V (e, z, u) =∂V

∂eF (z, h(z − e), u) +

∂V

∂zF (e, z, u).

Выберем некоторую функцию K класса Хана в Rn. Определим u для задан-ных значений z и y таким образом, чтобы максимальное из значений отно-шения V /K(‖e‖) на множестве y = h(z − e) было минимально возможным

V (e, z, u(y, z))/K(‖e‖) = infw

supy=h(z−e)

V (e, z, w)/K(‖e‖).

Если при этом окажется, что функция V отрицательно определена по e, топостроенное таким образом управление будет решать задачу синхронизации.

В импульсном случае описанная выше схема применяется всюду, за ис-ключением множества S, а на множестве S она применяется для функции∆V

∆V (e, z,∆U) = V (e+ G(e, z,∆U), z +G(e, z,∆U)) − V (e, z).

4. Система Чуа. Рассмотрим электрическую цепь, предложенную вработе [6] и изображенную на рис. 1. Введем следующие обозначения: v1, v2– разности потенциалов на обкладках конденсаторов с емкостями C1 и C2

соответственно, i3 – сила тока на участке цепи с катушкой индуктивности Lи источником тока.

Уравнения, которые описывают изменение состояния контура Чуа со вре-менем, имеют вид

67


Рис. 1. Электрический колебательный контур Чуа.

dv1dt

=1

C1

[G(v2 − v1)− f(v1)] ,

dv2dt

=1

C2

[G(v1 − v2) + i3] ,

i3dt

=1

L[−v2 −R0i3] .

(8)

Член R0i3 добавлен в последнее уравнение, чтобы учесть малое сопротивле-ние источника тока. Здесь G = R−1, а f(v) – вольт-амперная характеристикадиода Чуа, которая выражается формулой

f(v) = Gbv +1

2(Ga −Gb)(|v + E| − |v − E|),

где Ga и Gb – отрицательные постоянные, удовлетворяющие неравенствуGa < Gb < 0.

Выполнив замену переменных v1 = Ex, v2 = Ey, i3 = EGz, t = C2G−1τ в

системе (8), получим канонический вид системы Чуа

x = α(y − x− f(x)),y = x− y + z,z = −βy − γz,

(9)

где α =C1

C2

, β = − C2

G2L, γ = −R0C2

GL, a =

Ga

G, b =

Gb

G(a < b < 0),

f(x) = bx+a− b

2(|x+1| − |x− 1|). В системе (9) и далее вместо τ используем

в качестве безразмерного времени исходное обозначение t.

5. Импульсная синхронизация двух систем Чуа. Пусть система(9) установлена на передающем устройстве, которое передает в канал связифазовую переменную x (т. е. h(x, y, z) = x). Запишем эту систему в матрич-ной форме

d

dt

xyz

= A

xyz

− α

f(x)00

, (10)

68


где A =

−α α 01 −1 10 −β −γ

.

На принимающeм устройстве используем такую же систему, добавив вправую часть управления u1, u2, u3:

d

dt

xyz

= A

xyz

− α

f(x)00

+

u1u2u3

. (11)

Вычисляя реакцию системы (11) на импульсные воздействия ∆Ui по каж-дой из управляющих переменных и используя формулу из [5] для аффинныхсистем управления, получим для скачков траекторий следующие формулы:

∆x = ∆U1(x, x, y, z),

∆y = ∆U2(x, x, y, z),

∆z = ∆U3(x, x, y, z).

(12)

Следует отдельно подчеркнуть, что даже при использовании импульсныхуправлений их величина и множество S, на котором они определяются, долж-ны зависеть только от наблюдаемых переменных. Так, например, в работе [7]была предложена схема импульсной синхронизации, обеспечивающая хоро-шие показатели робастности по отношению к неточностям в параметрах си-стемы, но при этом управляющие воздействия зависели от полного вектораошибок. Однако, использование всех компонент вектора ошибок противоре-чит тому, что наблюдаемой является лишь переменная x передатчика.

Будем искать синхронизирующее управление в классе чисто импульсныхуправлений. Это значит, что все непрерывные управления считаем нулевыми:u1 = u2 = u3 = 0. Введем вектор ошибок e = (ex, ey, ez)

T , где ex = x − x,ey = y − y, ez = z − z. Запишем систему, которая описывает динамикуизменения этого вектора,

d

dt

exeyez

= A

exeyez

− α

f(x)− f(x)00

. (13)

Рассмотрим теперь функцию Ляпунова V =1

2

(

βe2x + αβe2y + αe2z)

. По-

скольку все постоянные α, β, γ являются строго положительными, функцияV является положительно определенной по переменным e. Вычислим ее про-изводную в силу системы (13):

V = αβex(−ex + ey − [f(x)− f(x)]) + αβey(ex − ey + ez)− αez(βey + γez) =

= −α[β(ex − ey)2 + γe2z]− αβ(x− x)(f(x)− f(x)).

Обозначим W1(ex, ey, ez) = −α[β(ex − ey)2 + γe2z], W2(x, x) = −αβ(x−

−x)(f(x) − f(x)). Нетрудно видеть, что W1 – функция отрицательно-постоянная, при этом, когда ex = 0, можно дать оценку W1(0, ey , ez) ≤

69


≤ −min(β, γ)α(e2y + e2z). В силу того, что f(x) – строго убывающая функция,

W2 будет вносить в V некоторую положительную поправку, которая будеттем больше, чем большее значение будет принимать ex. Таким образом, мыне можем говорить об определенности знака производной функции ЛяпуноваV на всем фазовом пространстве (более того, она оказывается знакоперемен-

ной). Но существует окрестность множества x = x, в которой функция Vбудет определена отрицательно.

Выберем некоторое ε > 0. Зададим на множестве S, определенном нера-венством

−α[β(ex − ey)2 − γe2z]− αβ(x− x)(f(x)− f(x)) ≥ −εe2x, (14)

импульсное управление

∆U1 = −ex = x− x, ∆U2 = ∆U3 = 0, (15)

которое обеспечивает сбрасывание траектории на множество x = x. Темсамым будет гарантировано, что вдоль траектории движения производнаяфункции Ляпунова V будет отрицательной и отделенной от нуля, обеспечи-вая тем самым решение задачи синхронизации.

Однако, построенное таким способом управление не является решениемзадачи с неполной информацией, поскольку множество (14) зависит не толькоот наблюдаемой переменной x передатчика, но и от ненаблюдаемых y и z(посредством компонент вектора ошибок e). Получить автономную обратнуюсвязь в этом случае не представляется возможным, но можем использоватьимпульсные управления в фиксированные моменты времени.

Теорема 1. Для каждых значений параметров α > 0, β > 0, γ > 0,a < b < 0 существует T ∗ такое, что для любого T ∈ (0;T ∗] управление(15) в фиксированные моменты времени τi = iT (i = 0, 1, . . .) обеспечиваетсинхронизацию систем (10) и (11).

Доказательство. Пусть q – наибольшее собственное значение матрицыA. Тогда, если в момент времени t = τi значение ex равно 0, то для каждогомомента времени t в течение промежутка времени длительности T значениеe2x не превзойдет величины (e2y+e2z)[exp(2(q+α|a|)(t−τi))−1]. Чтобы V былоотрицательным, достаточно потребовать выполнения условия

exp((2q + α|a|)(t − τi)) ≤ 1 + |a|−1 min(γ/β, 1/2).

Выполнение указанного неравенства обеспечивается выбором

T ∗ = (2q + α|a|)−1 ln(1 + |a|−1 min(γ/β, 1/2)).

Тогда для каждого t из промежутка (τi, τi + T ) величина V вдоль траекто-рии будет отрицательной. Кроме того, импульсное воздействие (15) в моментвремени t = τi будет переводить вектор ошибок e из положения (ex, ey , ez) вположение (0, ey , ez), что обеспечивает уменьшение значения функции V навеличину e2x. Таким образом, функция V на произвольной траектории мо-нотонно убывает и стремится при t → +∞ к нулю. Тем самым доказанаасимптотическая устойчивость множества e ≡ 0.

70


Несмотря на то, что в закон управления (15) явно не входит время, синхро-низацию нельзя считать автономной, поскольку моменты импульсных воздей-ствий выбираются фиксированными. Однако благодаря тому, что системы(10) и (11) являются автономными, а синхронизация гарантируется при про-извольных начальных условиях, построенное управление будет обеспечиватьасимптотическое сближение траекторий и при использовании его, начиная спроизвольного момента времени (не обязательно нулевого).

Заключение. В статье рассмотрена задача синхронизации автономныхсистем дифференциальных уравнений. Предложен метод решения этой зада-чи в классе ограниченных управляющих воздействий и в классе импульсных.В качестве примера изучена задача стабилизации двух систем Чуа и постро-ено неавтономное синхронизирующее импульсное управление, которое обес-печивает асимптотическое сближение траекторий для произвольного выбораначальных значений и любого начального момента времени.

1. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. – 1990.– 64 (8). – P. 821-824.

2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. – М.: Наука, 1968. – 476 c.3. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воз-

действием. – К.: Вища школа, 1987. – 288 с.4. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential

Equations. – Singapure: World Scientific, 1989. – 275p.5. Ковалев А.М., Кравченко Н.В., Неспирный В.Н. Задачи управления и стабилизации

динамических систем с импульсным управлением и неголономные механические си-стемы // Автоматика и телемеханика. – 2007. – 8. – С. 163–179.

6. Matsumoto T. A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit // IEEE Transactions on Circuitsand Systems. – 1984. – CAS-31, 12. – P. 1055–1058.

7. Yang T. A survey of chaotic secure communication systems // Int. J. of Comp. Cognition.– 2002. – 1, 1. – P. 1-41.

A.M. Kovalev, V.N. Nespirnyy

Synchronization of dynamical systems in class of impulsive controls

The output synchronization problem for two dynamical systems of same structure is investi-gated. It is shown that this problem can be reduced to the partial stabilization problem or tothe problem of feedback control synthesis, ensuring the asymptotic stability of some invariantset for the combined system. The features arising under solving this problem in the class of im-pulsive controls are considered. As an example, it is taken the Chua’s circuit, and synchronizingimpulsive controls for this system are constructed.

Keywords: synchronization problem, impulsive control, Chua’s circuit.


[email protected], [email protected]


71


УДК 531.36+531.31

c©2016. Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИМОДЕЛИ СИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОМОТОРА

В основу исследования положена многотоковая модель синхронного электромотора. Пред-полагается, что момент нагрузки имеет диссипативный характер и является линейной фун-кцией угловой скорости вращения ротора относительно статора. Получено эффективноедостаточное условие, при котором любое движение синхронного электромотора с течениемвремени стремится к стационарному вращению.

Ключевые слова: синхронный электромотор, глобальная устойчивость, метод сведе-ния, принцип инвариантности Ла-Салля.

Введение. В зависимости от конструкции синхронного электромотораего динамика описывается различными системами дифференциальных урав-нений, которые определяют изменение электрических токов в обмотках ро-тора и изменение переменной γ – угла рассогласования между вращающимсямагнитным полем статора и магнитным полем ротора. Такие системы урав-нений периодичны по переменной γ, в связи с чем они имеют счетный наборстационарных решений, соответствующих рабочему режиму равномерноговращения ротора с угловой скоростью, равной угловой скорости вращениямагнитного поля в статоре.

Практически важной задачей является установление достаточных усло-вий, при которых любое решение системы дифференциальных уравненийдвижения синхронного электромотора стремится с течением времени к одно-му из стационарных решений. Если при этом на периоде изменения угла γсуществует только одно локально асимптотически устойчивое стационарноерешение, то систему называют глобально устойчивой.

В [1, 2] для широкого класса синхронных машин предложен подход, на-званный методом сведения и позволяющий вывести свойство глобальной ус-тойчивости многомерной системы из свойства глобальной устойчивости одно-го дифференциального уравнения второго порядка специального вида. Дляэтого уравнения условие глобальной устойчивости найдено Ф. Трикоми [3].Получаемые таким путем критерии глобальной устойчивости электрическихмашин включают неопределенные математические параметры и требуют про-верки выполнения частотных неравенств.

В [4, 5] предложена конкретизированная математическая модель синхрон-ного электромотора, включающая любое число токов в демпферной обмотке,и на ее основе рассмотрен ряд задач динамики такого электромотора. В ча-стности, отмечена глобальная устойчивость данной модели при отсутствиинагрузки.

Эта модель принята и в настоящей работе. Вместо обычно используемо-го предположения о постоянстве момента нагрузки предполагается, что этот

72

Достаточное условие глобальной устойчивости электромотора

момент является диссипативным и представляется в виде линейной функцииугловой скорости вращения ротора относительно статора. С помощью ме-тода сведения и принципа инвариантности Ла-Салля получено достаточноеусловие глобальной устойчивости получаемой таким образом системы диф-ференциальных уравнений. Оно сведено к условию Трикоми для дифферен-циального уравнения второго порядка, которое не содержит неопределенныхпараметров. Приведены результаты компьютерного моделирования.

1. Математическая модель синхронного электромотора. Эле-ктромотор состоит из двух основных частей — статора и ротора. В статореимеются обмотки, на которые подается переменный электрический ток. Онсоздает магнитное поле, вектор напряженности которого постоянен по моду-лю и вращается с постоянной угловой скоростью ω > 0 вокруг оси ротора.

В роторе синхронного электромотора имеются две обмотки — демпфернаяобмотка и обмотка возбуждения. Демпферная обмотка обычно выполнена ввиде “беличьего колеса”, то есть в виде двух колец, соединенных перпенди-кулярными к ним стержнями. Обмотка возбуждения может иметь разнуюконструкцию и содержит большое число витков электрического провода. Наэту обмотку через угольные щетки подается постоянное напряжение.

Динамика синхронного электромотра описывается в [4, 5] системой диф-

ференциальных уравнений с фазовым вектором (θ, θ, i0, i1, . . . , in2), где i0 –

ток в обмотке возбуждения, in (n = 1, 2, . . . , n2) – токи в стержнях дем-пферной обмотки, θ – угол между радиус-вектором к стержню с током in2

и

вектором напряженности вращающегося магнитного поля статора, θ – прои-зводная угла θ по времени t. Уравнения синхронного электромотора содержатследующие постоянные параметры: u – постоянное напряжение на обмоткевозбуждения, R1 и L1 – активное и индуктивное сопротивления обмотки во-збуждения, R2 и L2 – активное и индуктивное сопротивления демпфернойобмотки, B — напряженность магнитного поля, n1 — число витков в обмоткевозбуждения, n2 — число стержней в демпферной обмотке, S1 — площадьвитка обмотки возбуждения, S2 — площадь диаметрального сечения дем-пферной обмотки, m — коэффициент сильного регулирования (m > 0), J —осевой момент инерции ротора вместе с присоединенными к нему вращающи-мися частями, M — момент сил, действующих на ротор (момент нагрузки).

В уравнении, определяющем θ, откорректируем знак перед mθ и коэф-фициент при i0 sin(θ + π/4), домножив его на 4. Для того, чтобы из этихуравнений при n2 = 1 формально следовали приведенные в [6] уравнениядвухтоковой модели, изменим знаки величин u, i0, in (n = 1, 2, . . . , n2) на про-

тивоположные, а в уравнении, определяющем θ, добавим множитель β в ко-эффициенты членов с токами i0, in.

Введем вместо тока i0 переменную x по формуле i0 = x + u/R1, вместоугла θ будем использовать угол γ = θ+π/4. Обозначим через ϕ угол поворотаротора относительно статора. Углы γ и ϕ связаны соотношением ϕ = γ+ωt++const. Поэтому ϕ = γ + ω.

Момент нагрузки M предполагается в [4, 5] постоянной отрицательной

73

Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич

величиной, и с учетом этого вместо M там сразу берется −M , где M > 0— постоянная. На практике этот момент можно считать постоянным толь-ко в отдельных случаях, например, при работе подъемного крана, но чащеон зависит от угловой скорости ротора ϕ. В данной работе рассматриваетсяслучай линейного диссипативного момента M = −kϕ, k > 0 — постоянная.Поскольку ϕ = γ + ω, получаем для этого момента выражение

M = −kγ − kω, (1)

которое содержит постоянный отрицательный член −kω.В результате, с учетом (1), имеем следующую систему дифференциальных

уравнений, описывающую работу синхронного электромотора:

Jγ = −(m+ k)γ − a1βx sin γ − a2β

n2∑

n=1

in cos(γ +2πn

n2

)− b0 sin γ − c0,

L1x = −R1x+ a1γ sin γ,

L2in = −R2in + a2γ cos(γ +2πn

n2

), n = 1, 2, . . . , n2.

(2)

Здесь

a1 = 4n1S1B√2, a2 =

1

2S2B, b0 =

4

R1

un1βS1B√2, c0 = kω (3)

— положительные постоянные, in — производные токов in по времени.

2. Стационарные решения. Нормальным режимом работы синхрон-ного электромотора является равномерное вращение его ротора относительностатора с постоянной угловой скоростью ϕ = ω, равной угловой скорости вра-щения магнитного поля в статоре. Этот режим соответствует стационарномурешению системы (2), то есть решению вида

γ = γ0, γ = 0, x = x0, in = i0n (n = 1, 2, . . . , n2), (4)

где γ0, x0, i0n — постоянные. В результате подстановки выражений (4) в урав-нения (2) находим

x0 = 0, i0n = 0 (n = 1, 2, . . . , n2),

а для γ0 получаем уравнение

b0 sin γ + c0 = 0. (5)

Опуская особый случай, когда c0/b0 = 1, будем далее предполагать, что

c0/b0 < 1. (6)

74


Тогда система (2) имеет два счетных набора стационарных решений

(γ, γ, x, i1, . . . , in2) = (ds, 0, 0, 0, . . . , 0), s = 0,±1,±2, . . . , (7)

(γ, γ, x, i1, . . . , in2) = (es, 0, 0, 0, . . . , 0), s = 0,±1,±2, . . . , (8)

где стационарные значения ds, es угла γ определены формулами

ds = γ(0) + 2πs, es = γ(1) + 2πs, s = 0,±1,±2, . . . , (9)

γ(0) = − arcsin c0/b0 ∈ (−π/2, 0), γ(1) = −π − γ(0) ∈ (−π,−π/2). (10)

3. Энергетические соотношения. Рассмотрим следующие функциифазовых переменных системы (2):

W (γ, x, i1, . . . , in2) =

1

2

(

Jγ2 + βL1x2 + βL2

n2∑

n=1

i2n

)

,

U(γ) =

γ∫

0

(b0 sinα+ c0) dα = b0(1 − cos γ) + c0γ,

V (γ, γ, x, i1, . . . , in2) = W (γ, x, i1, . . . , in2

) + U(γ).

(11)

Производная функции W по времени в силу системы уравнений (2) равна

W (γ, x, i1, . . . , in2) = −(m+ k)γ2 − βR1x

2 − βR2

n2∑

n=1

i2n − γ(b0 sin γ + c0). (12)

Воспользовавшись определениями (11) функций U, V , получаем

V (γ, x, i1, . . . , in2) = −(m+ k)γ2 − βR1x

2 − βR2

n2∑

n=1

i2n. (13)

Согласно определению (11) функции W , она является определенно поло-жительной по отношению к переменным γ, x, i1, . . . , in2

. Ее можно интерпре-тировать как кинетическую энергию рассматриваемой системы, а функциюU — как ее потенциальную энергию. Тогда функция V является полной энер-гией системы, а формула (13) выражает теорему об изменении энергии.

4. Устойчивость стационарных решений. Как показано в п. 2, приусловии (6) на каждом промежутке [−π + 2πs, π + 2πs] (s = 0,±1,±2, . . . )длины 2π существуют два значения ds, es угла γ, которым соответствуют двастационарных решения (7), (8) системы (2). Эти значения ds, es определеныформулами (9), (10).

Теорема 1. Стационарные решения (7) системы (2) асимптотическиустойчивы, а стационарные решения (8) — неустойчивы.

75


Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения (11) функции U(γ) следует, чтопри условии (6) значения ds и es являются, соответственно, точками локаль-ных минимумов и локальных максимумов этой функции. Поэтому каждаяиз функций V1s = V − U(ds) (s = 0,±1,±2, . . . ) определенно положительнапо отношению к возмущениям γ − ds, γ, x, i1, . . . , in2

для стационарного ре-шения (7), а каждая из функций V2s = V − U(es) принимает отрицательныезначения в сколь угодно малой окрестности стационарного решения (8).

Производные V1s, V2s этих функций по t в силу уравнений (2) совпадаютс производной (13) функции V и поэтому неположительны. Эти производныеобращаются в нуль только при γ = 0, x = 0, i1 = ... = in2

= 0, то есть только встационарных точках (7), (8). Поскольку стационарные точки изолированы,то в некоторой окрестности каждой из двух стационарных точек (7), (8) сданным номером s не существуют другие решения системы (2), для которых

V1s = 0 или V2s.Отсюда, согласно приведенным в [7] теоремам 5.2 и 6.3 Е.А. Барбаши-

на и Н.Н. Красовского, следует, что стационарные решения (7) системы (2)асимптотически устойчивы, а стационарные решения (8) неустойчивы.

5. О принципе инвариантности Ла-Салля. Для получения условийглобальной устойчивости системы (2) воспользуемся принципом инвариан-тности Ла-Салля в формулировке теоремы VIII из книги [8].

Теорема 2 (Ла-Салль). Пусть задана автономная система

x = X(x), X(0) = 0, x ∈ Rn. (14)

Пусть V (x) — скалярная функция, частные производные первого порядкакоторой непрерывны при всех x. Предположим, что выполнены следующиеусловия:

а) V (x) > 0 при всех x 6= 0;

б) V (x) ≤ 0 во всем пространстве.

Обозначим через M0 множество точек пространства, в которых V (x) == 0, а через M – максимальное положительно инвариантное множество,содержащееся в M0.

Тогда каждое решение системы (14), остающееся ограниченным при t ≥≥ 0, неограниченно приближается к M при t → ∞.

Сделаем два комментария по поводу этой формулировки.Во-первых, условие X(0) = 0 является излишним, так как точка x = 0

ничем не выделяется среди других возможных положений равновесия систе-мы (14).

Во-вторых, по этой же причине, вместо условия а) V (x) > 0 (x 6= 0) доста-точно предположить, что функция V (x) ограничена снизу при всех x. Тогда,вычитая из этой функции нижнюю грань ее значений, получим функцию,удовлетворяющую неравенству V (x) ≥ 0 при всех x.

В настоящей работе “кандидатом” на роль функции Ляпунова в теоремеЛа-Салля выступает функция V , указанная в (11). Однако она не является

76


ограниченной снизу во всем фазовом пространстве, так как в ее определениевходит функция U , которая, согласно (11), содержит линейный по γ член cγ.Поэтому для исследования нелокальной динамики синхронного электромото-ра нельзя непосредственно применить принцип Ла-Салля с функцией Ляпу-нова V вида (11). Такая трудность, связанная с неограниченностью функцииЛяпунова по угловой переменной, является характерной в теории фазовыхсистем [2, 6].

Чтобы преодолеть ее, достаточно заметить, что в доказательстве прин-ципа Ла-Салля используется ограниченность функции V не во всем фазо-вом пространстве, а только на решениях изучаемой системы. Поэтому дляприменимости в рассматриваемом случае теоремы 2 с функцией V вида (11)достаточно, чтобы угол γ был ограничен снизу на всех решениях системы (2).

Таким образом, для того, чтобы найти условия глобальной устойчивостисистемы (2) при помощи принципа Ла-Салля, достаточно:

1) вывести условия ограниченности угла γ снизу на решениях системы (2);2) при этих условиях установить ограниченность всех фазовых перемен-

ных γ, γ, x, i1, . . . , in2на решениях данной системы;

3) доказать, что притягивающее множество M точек фазового пространс-тва, состоящее из фазовых траекторий решений, определенных на полуосиt ≥ 0 и удовлетворяющих равенству V = 0, совпадает с множеством стацио-нарных точек (7), (8) системы (2).

6. Эталонное уравнение второго порядка. Чтобы получить доста-точные условия ограниченности угла γ в любом решении системы (2), во-спользуемся подходом [1, 2], который позволяет вывести свойство ограни-ченности угловой переменной для многомерной системы из свойства ограни-ченности такой переменной для эталонного дифференциального уравнениявторого порядка. Далее будут использоваться эталонные уравнения вида

Jγ = −a0γ − b0 sin γ − c0, (15)

где постоянные b0, c0 > 0 определены формулами (3), а постоянная a0 > 0выбирается специальным образом.

Уравнение вида (15) с положительными коэффициентами a0, b0, c0 деталь-но изучено [1, 3, 9]. Приведем основные результаты этого исследования.

Стационарные решения (γ, γ) = (γ0, 0), γ0 = const, уравнения (15) опреде-ляются тригонометрическим уравнением (5). Поэтому в предположении (6)уравнение (15) имеет два счетных набора стационарных решений, которыеопределяются указанными в (9), (10) значениями ds, es постоянной γ0.

С помощью локального анализа по линейному приближению нетрудноустановить, что стационарные точки (γ, γ) = (ds, 0) являются для уравнения(15) асимптотически устойчивыми особыми точками типа “фокус” или “узел”,а точки (γ, γ) = (es, 0) — неустойчивые особые точки типа “седло”.

Глобальный анализ уравнения вида (15), проведенный Ф. Трикоми [3],показывает, что оно может иметь три качественно различных типа фазовых

77


e

e e e

e e

e e

)b

)a

)с

Рис. 1. Фазовые портреты эталонного уравнения.

78


портретов, изображенных на рис. 1 [6]. Введя безразмерные параметры

a = a0/√

b0J, c = c0/b0, (16)

Ф. Трикоми установил, что существует критическое значение параметра a,которое является функцией acr(c) параметра c ∈ (0, 1) и обладает следующи-ми свойствами [6, 9].

• В случае a > acr каждое решение уравнения (15) стремится к одной изего стационарных точек при t → +∞ (рис. 1, а).

• При a ≤ acr кроме решений, стремящихся к стационарным точкам, су-ществуют решения, вдоль которых угол γ неограниченно убывает с течениемвремени. Поэтому при a ≤ acr множество стационарных точек уравнения (15)не является глобально притягивающим (рис. 1, б, в). При a = acr существуютсепаратрисы, соединяющие соседние седловые точки.

Для функции acr(c) не существует явного выражения, но разными авто-рами получены ее аналитические оценки сверху и снизу (см. [9], с. 122-123).При получении этих оценок вместо угла γ используют угол θ = −γ и, вводянезависимую переменную τ = t

√

b0/J , приводят уравнение (15) к уравнениюd2θ/dτ2 = −a dθ/dτ − sin θ + c, содержащему два параметра (16). Тогда ука-

занному в (10) главному стационарному значению γ(0) ∈ (−π/2, 0) угла γ со-ответствует значение θ0 ∈ (0, π/2) угла θ. Так как θ0 = arcsin c, то c = sin θ0, ивеличину acr(c) можно рассматривать как функцию acr(θ0) угла θ0 ∈ (0, π/2).В [10] при помощи компьютера построен график функции acr = acr(θ0) ипоказано, что линейная и синусоидальная аппроксимации acr L = 0.76 · θ0 иacr S = 2.766222 · sin(0.2838860 · θ0) обеспечивают вычисление acr(θ0) с абсолю-тной погрешностью не больше, чем 1.5 · 10−2 и 3.4 · 10−5 соответственно.

7. Условия ограниченности угла γ. Достаточные условия ограни-ченности угла γ сверху и снизу дает следующая теорема.

Теорема 3. Если существуют значения постоянных параметровλ, ε ≥ 0 такие, что

1) любое решение дифференциального уравнения

Jγ + 2√λεγ + b0 sin γ + c0 = 0, (17)

где b0, c0 определены в (3), ограничено при t ≥ 0,2) при всех значениях фазовых переменных γ, γ, x, i1, . . . , in2

выполненонеравенство

W (γ, γ, x, i1, . . . , in2)+2λW (γ, x, i1, . . . , in2

)+εJ−1γ2+γ(b0 sin γ+c0) ≤ 0, (18)

где функция W определена в (11), то в любом решении

γ(t), γ(t), x(t), i1(t), . . . , in2(t) (19)

системы (2) функция γ(t) ограничена на полуоси t ≥ 0.

79


Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы, приведенное ниже, следуетдоказательству теоремы 4.4.1 из [2].

1. Определение и свойства функций Fs(γ) (s = 0,±1,±2, . . . ). Согласноизложенным в п. 6 результатам Ф. Трикоми, условие 1 теоремы 3 означает,что для уравнения (17) имеет место случай a > acr (рис. 1, а). Он характерентем, что через каждую седловую точку (γ, γ) = (es, 0) (s = 0,±1,±2, . . . )этого уравнения проходит интегральная кривая γ = Fs(γ), которая не имеетдругих точек пересечения с осью абсцисс, кроме данной седловой точки, иуходит на плюс или минус бесконечность при стремлении γ к минус или плюсбесконечности:

Fs(γ) → ±∞ (γ → ∓∞). (20)

Вследствие 2π-периодичности уравнения (17) по γ, график функции Fs(γ)получается из графика функции F0(γ) параллельным сдвигом на 2πs вдольоси абсцисс. Поэтому при любом γ выполняются соотношения

Fs(γ + 2πs) = F0(γ) (s = 0,±1,±2, . . . ).

Полагая здесь σ = γ+2πs, приходим к равенству Fs(σ) = F0(σ−2πs). Заменивв нем букву σ буквой γ, получаем

Fs(γ) = F0(γ − 2πs) (s = 0,±1,±2, . . . ). (21)

Согласно определению функций Fs(γ), они удовлетворяют уравнению

Jγdγ

dγ= −2

√λεγ − b0 sin γ − c0

интегральных кривых γ(γ) уравнения (17), то есть они обращают уравнениеинтегральных кривых в тождество по γ:

JFs(γ)dFs(γ)

dγ= −2

√λεFs(γ)− b0 sin γ − c0 (s = 0,±1,±2, . . . ). (22)

Подставив сюда вместо γ функцию γ(t) из решения (19) системы (2), получимтождество по t.

2. Функции Vs и неравенство Vs + 2λVs ≤ 0. Рассмотрим набор функций

Vs(γ, γ, x, i1, . . . , in2) = W (γ, x, i1, . . . , in2

)− 1

2JF 2

s (γ) (s = 0,±1,±2, . . . ).

(23)Покажем, что во всем фазовом пространстве для любого номера s выполня-ется неравенство

Vs(γ, γ, x, i1, . . . , in2) + 2λVs(γ, γ, x, i1, . . . , in2

) ≤ 0, (24)

где Vs — производная функции Vs по t в силу системы (2).

80


Обозначая штрихом дифференцирование по γ и пользуясь формулой (22),получаем из (23) выражение

Vs = W − γJFsF′

s = W + γ(2√λεFs + b0 sin γ + c0).

Поэтому с учетом (23) имеем

Vs + 2λVs = W + 2λW + γ(b0 sin γ + c0) + 2γ√λεFs − λJF 2

s . (25)

Так как λ, ε ≥ 0, то

εJ−1γ2 − 2γ√λεFs + λJF 2

s = J−1(√

εγ −√λJFs

)

2 ≥ 0,

и поэтому

2γ√λεFs − λJF 2

s ≤ εJ−1γ2. (26)

Из соотношений (25), (26) и (18) следует, что

Vs + 2λVs = W + 2λW + γ(b0 sin γ + c0) + εJ−1γ2 ≤ 0.

Неравенство (24) доказано.3. Ограниченность переменной γ снизу. Докажем, что при условиях те-

оремы 3 в любом решении системы (2) функция γ(t) ограничена снизу приt ≥ 0. Допустим, что эта система имеет решение (19), в котором функция γ(t)неограничена снизу на полуоси t ≥ 0. Так как γ — угловая переменная, безограничения общности будем предполагать, что начальное значение γ0 = γ(0)принадлежит промежутку (e0, e1] длины 2π. Тогда в неограниченном снизурешении непрерывная функция γ(t) при t ≥ 0 принимает все значения esс номерами s ≤ 0. Для каждого номера s ≤ 0 обозначим через ts моментвремени, когда функция γ(t) в первый раз принимает значение es. ФункцияFs(γ(t)) в этот момент времени обращается в ноль:

Fs(γ(ts)) = Fs(es) = 0 (s = 0,−1,−2, . . . ). (27)

В начальный момент t = 0 функция Fs(γ(t)) принимает значение Fs(γ0).Из формулы (25) получаем равенство Fs(γ0) = F0(γ0−2πs). Его правая часть,согласно (20), стремится к −∞ при γ0 − 2πs → +∞, то есть при s → −∞.Таким образом,

Fs(γ0) → −∞ (s → −∞). (28)

Рассмотрим формулы (23), (24) на выбранном решении с неограниченнойснизу функцией γ(t). Воспользовавшись свойством (28), выберем номер s == s0 ≤ 0 так, чтобы правая часть формулы (23) оказалась отрицательной приt = 0, то есть чтобы для функции Vs0(t) выполнялось неравенство Vs0(0) < 0.

Тогда из неравенства (24): Vs0(t) + 2λVs0(t) ≤ 0, согласно лемме 4.3.1 из [2]следует, что

Vs0(t) ≤ Vs0(0) exp(−2λt) < 0, t ≥ 0. (29)

81


С другой стороны, полагая s = s0 в (27), имеем Fs0(γ(ts0)) = Fs0(es0) == 0. Отсюда с учетом определения (23) функций Vs следует, что Vs0(ts0) == W (ts0). Но функция W неотрицательна по ее определению (11). Поэтомусправедливо неравенство Vs0(ts0) ≥ 0, которое противоречит (29). Получен-ное противоречие означает, что допущение о неограниченности функции γ(t)снизу неверно.

4. Ограниченность переменной γ сверху. Чтобы доказать ограниченностьфункции γ(t) сверху в любом решении системы (2), допустим противное, тоесть что у этой системы существует решение с функцией γ(t), неограниченнойсверху при t ≥ 0. Далее по той же схеме, что и выше, устанавливаем, что приусловиях теоремы 3 это допущение приводит к противоречию.

8. Область изменения математических параметров в теореме обограниченности угла γ. В этом и следующем пунктах рассмотрен во-прос о существовании значений параметров λ, ε, при которых выполняютсяусловия 1, 2 теоремы 3. В п. 8 построена область D изменения параметровλ, ε, в которой λ, ε ≥ 0 и выполнено условие 2. В п. 9 в указанной обла-сти однозначно выбраны значения этих параметров, при которых легче всегоудовлетворить условию 1.

Условием 2 теоремы 3 является неравенство (18). После подстановки в

него выражений (11), (12) функций W, W оно принимает вид

(−m− k + λJ + εJ−1)γ2 + β(−R1 + λL1)x2 + β(−R2 + λL2)

n2∑

n=1

i2n ≤ 0.

Для его выполнения при всех γ, x, i1, . . . , in2необходимо и достаточно, чтобы

параметры λ, ε удовлетворяли трем неравенствам

−m− k + λJ + εJ−1 ≤ 0, −R1 + λL1 ≤ 0, −R2 + λL2 ≤ 0. (30)

Пусть точки X,Y,Z,Z0 плоскости (λ, ε) определены равенствами

X = (0, ε1), Y = (λ1, 0), Z = (λ2, 0), Z0 = (λ2, ε1(λ1 − λ2)/λ1), (31)

гдеε1 = (m+ k)J, λ1 = (m+ k)J−1, λ2 = min (R1/L1, R2/L2). (32)

Рассмотрим на плоскости (λ, ε) прямую ε = −J2λ + (m + k)J , котораяопределена первым из соотношений (30), если взять в нем знак равенства.Данная прямая пересекает координатные оси Oε, Oλ в точках X,Y . Поэтомуее уравнение записывается в виде ε/ε1 + λ/λ1 = 1, или

ε =ε1λ1

(λ1 − λ). (33)

Первому из неравенств (30) удовлетворяют точки плоскости (λ, ε), лежащиена прямой (33) и ниже этой прямой. Поэтому, с учетом условия λ, ε ≥ 0,

82


первому неравенству (30) удовлетворяют точки плоскости (λ, ε), лежащиевнутри треугольника OXY и на его сторонах.

Второе и третье неравенства (30) эквивалентны одному неравенству λ ≤≤ λ2, которое вместе с условием λ, ε ≥ 0 определяет на плоскости (λ, ε) по-луполосу между двумя лучами, направленными из точек O и Z = (λ2, 0)вертикально вверх.

Возможны два случая. В случае A, когда λ1 ≤ λ2, прямая (33) не име-ет общих точек с вертикальным лучом, выходящем вверх из точки Z, илиимеет с ним только общую точку Y на оси Oλ. В случае B, когда λ1 > λ2,вертикальный луч, выходящий вверх из точки Z, пересекается с прямой (33)в точке Z0, расположенной выше оси Oλ. Поэтому в случае A треугольникOXY целиком лежит в полуполосе между этими двумя лучами, а в случае Bчасть данного треугольника вместе с вершиной Y выходит за правую границуполуполосы. В результате приходим к такому выводу.

Рис. 2. Область D допустимых значений параметров λ, ε.

Лемма 1. Пусть D — множество значений параметров λ, ε, удовле-творяющих условию λ, ε ≥ 0 и второму условию теоремы 3. Пусть то-чки X,Y,Z,Z0 плоскости (λ, ε) и значения ε1, λ1, λ2 определены по формулам(31), (32).

В случае A, когда λ1 ≤ λ2, множество D состоит из точек плоскости(λ, ε), лежащих внутри треугольника OXY , и точек отрезка XY , исклю-чая его концы (рис. 2, A). В случае B, когда λ1 > λ2, множество D состоитиз точек, лежащих внутри трапеции OXZ0Z, и точек ломаной XZ0Z,исключая ее концы (рис. 2, B).

Лемма 1 позволяет заменить в теореме 3 предположение о существованиизначений параметров λ, ε, обеспечивающих выполнение условия 2 этой тео-ремы, конкретным указанием области изменения этих параметров, в которойвыполнено данное условие. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть замкнутая выпуклая область D изменения параме-тров λ, ε определена, как указано в лемме 1, и пусть в области D существу-ют значения этих параметров такие, что все решения дифференциальногоуравнения (17) ограничены на полуоси t ≥ 0.

83


Тогда в любом решении (19) системы (2) функция γ(t) ограничена приt ≥ 0.

9. Выбор параметров в теореме об ограниченности угла γ. Урав-нение (17) в теоремах 3, 4 отличается от уравнения (15) тем, что в нем вкачестве коэффициента демпфирования вместо a0 выступает величина

d(λ, ε) = 2√λε. (34)

Поэтому определение (16) параметров a, c для уравнения (17) принимает вид

a = d(λ, ε)/√

b0J, c = c0/b0.

Согласно изложенным п. 6 результатам, условие ограниченности решенийуравнения (17) в теоремах 3, 4 означает, что для этого уравнения имеет местослучай a > acr(c) (рис. 1, а), то есть выполнено неравенство

d(λ, ε)/√

b0J > acr(c). (35)

Функция d(λ, ε) достигает своего максимального значения dmax в некото-рой точке (λmax, εmax) замкнутой ограниченной области D. Если неравенство(35) не выполнено в точке (λmax, εmax), то оно не выполнено и во всех точкахобласти D. Поэтому для того, чтобы неравенство (35) выполнялось в какой-либо точке области D, необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялсь вточке (λmax, εmax), то есть чтобы имело место неравенство

dmax/√

b0J > acr(c), (36)

Найдем dmax. При любом K = const > 0 функция d(λ, ε) = 2√λε строго

монотонно возрастает вдоль луча ε = Kλ, λ ≥ 0, идущего на плоскости(λ, ε) из начала координат в первый квадрант. Поэтому свое максимальноезначение dmax в допустимой области D функция (34) принимает на ее “северо-восточной” границе, то есть на отрезке XY в случае A и на ломаной XZ0Zв случае B (рис. 2). Но в случае B функция d(λ, ε) на вертикальном отрезкеZZ0 становится монотонно возрастающей функцией d(λ2, ε) = 2

√λ2ε одной

переменной ε. Поэтому в случае B функция d(λ, ε) не может достигать своегомаксимума dmax внутри отрезка ZZ0. Следовательно, в обоих случаях A и Bмаксимум функции d(λ, ε) в области D достигается на прямой (33), а точнее,на отрезке XY этой прямой в случае A и на отрезке XZ0 в случае B.

На отрезке XY функция d(λ, ε) становится функцией

d0(λ) = 2

√

ε1λ1

λ(λ1 − λ), λ ∈ [0, λ1], (37)

одной переменной λ. Производная функции (37) по λ равна

d′0(λ) =ε1(λ1 − 2λ)

λ1

√

ε1λ(λ1 − λ)/λ1

.

84


Она обращается в ноль при λ = λ1/2. При этом слева от точки λ = λ1/2производная d′

0(λ) положительна, а справа — отрицательна.

В случае A значение λ1/2 принадлежит области определения [0, λ1] пара-метра λ. Следовательно, это значение соответствует точке максимума фун-кции d0(λ) при λ ∈ [0, λ1], а значит, и точке максимума функции d(λ, ε) вдопустимой области D. Подставив λ = λ1/2 в (37), находим максимум фун-кции d0(λ), равный максимуму dmax функции d(λ, ε) в случае A: dmax ==

√ε1λ1, или, с учетом (32), dmax = m+ k.В случае B возможны два подслучая B1, B2 в зависимости от того, при-

надлежит ли значение λ1/2 области определения [0, λ2] параметра λ или непринадлежит. В подслучае B1, когда λ1/2 ∈ [0, λ2], максимум dmax функцииd(λ, ε) остается равным m+k, как и в случае A. В подслучае B2 значение λ1/2аргумента функции d0(λ), соответствующее точке ее абсолютного максиму-ма, строго больше правой границы допустимого промежутка [0, λ2]. Поэтомумаксимум функции d0(λ) на допустимом промежутке достигается в его пра-

вой граничной точке λ2 и этот максимум dmax = 2√

ε1λ2(λ1 − λ2)/λ1 меньше

абсолютного максимума функции d0(λ), равного√ε1λ1 = m+ k.

Резюмируя, приходим к такому выводу.Лемма 2. Точка (λ, ε) ∈ D, в которой для эталонного уравнения (17)

выполнено неравенство (35), существует в том и только в том случае,когда справедливо неравенство (36), где

dmax =

m+ k, 0 < λ1 ≤ 2λ2;

2√

ε1λ2(λ1 − λ2)/λ1, λ1 > 2λ2,(38)

значения ε1, λ1, λ2 определены по формулам (32).Пользуясь леммой 2, получаем из теоремы 3 достаточный критерий огра-

ниченности угла γ, в котором вместо коэффициента демпфирования d(λ, ε),зависящего от двух параметров, используется его максимальное возможноезначение dmax.

Теорема 5. Пусть все решения дифференциального уравнения

Cγ + dmaxγ + b0 sin γ + c0 = 0, (39)

где b0, c0, dmax определены по формулам (3), (38), ограничены при t ≥ 0.Тогда1) в любом решении (19) системы уравнений (2) функция γ(t) ограничена

при t ≥ 0;2) величина dmax является максимально возможным коэффициентом

демпфирования для уравнения вида (17) с коэффициентом демпфирования

d(λ, ε) = 2√λε.

10. Ограниченность всех фазовых переменных. Докажем теперь,что для любого решения системы (2) в случае ограниченности угла γ имеетместо ограниченность остальных фазовых переменных γ, x, i1, . . . , in2

. Для

85


обеспечения ограниченности угла γ достаточно принять условия одной изтеорем 3 – 5. Таким образом, необходимо доказать следующую лемму.

Лемма 3. Пусть выполнены условия одной из теорем 3 – 5. Тогда любоерешение (19) системы (2) ограничено по всем переменным при t ≥ 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения (11) функции U(γ) и формул(9), (10) следует, что при условии (6) значения γ = ds (s = 0,±1,±2, . . . )соответствуют точкам локальных минимумов этой функции, а значения γ == es (s = 0,±1,±2, . . . ) — точкам ее локальных максимумов.

В доказательстве теоремы 3 для функции γ(t) получена оценка снизуγ(t) ≥ es0 (t ≥ 0), номер s0 ≤ 0 определен в ходе доказательства. Слева исправа от точки локального максимума γ = es0 функции U(γ) расположеныточки γ = ds0−1 и γ = ds0 ее локальных минимумов. При этом значениеγ = ds0 является точкой минимума функции U(γ) на всей полуоси γ ≥ es0 .Следовательно, на рассматриваемом решении (19) системы (2) функция

∆U(γ) = U(γ)−U(ds0) =

γ∫

ds0

(b0 sinσ+ c0) dσ = b0(cos ds0 − cos γ) + c0(γ − ds0)

(40)неотрицательна на этой полуоси: ∆U(γ) ≥ 0, γ ≥ es0 .

Рассмотрим функцию

v(γ, γ, x, i1, . . . , in2) = W (γ, x, i1, . . . , in2

) + ∆U(γ).

Она лишь на константу отличается от функции V (γ, γ, x, i1, . . . , in2), опре-

деленной в (11), и поэтому имеет такую же производную (13) по t в силусистемы (2):

v(γ, x, i1, . . . , in2) = −(m+ k)γ2 − βR1x

2 − βR2

n2∑

n=1

i2n.

Поскольку v ≤ 0, то на решении системы (2) функция v не превосходит своегоначального значения, то есть фазовые переменные принадлежат множеству

Ω =

(γ, γ, x, i1, . . . , in2) : W (γ, x, i1, . . . , in2

) + ∆U(γ) ≤ v0

, (41)

где

v0 = W (γ0, x0, i10, . . . , in20) + ∆U(γ0)

— значение функции v в начальный момент t = 0. Из неотрицательностифункций W,∆U следует, что v0 ≥ 0, и тогда из (41) следует выполнение нарешении системы (2) двух неравенств

W (γ, x, i1, . . . , in2) ≤ v0, ∆U(γ) ≤ v0. (42)

86


Согласно определению (11), функция W является определенно положитель-ной квадратичной формой переменых γ, x, i1, . . . , in2

. Поэтому первому из не-равенств (42) удовлетворяют только значения этих переменных, лежащие вшаре γ2 + x2 + i2

1+ . . . + i2n2

≤ ρ2 конечного радиуса ρ. Второе неравенство(42) с учетом выражения (40) для ∆U приводит к еще одному доказательствуограниченности функции γ(t) сверху.

11. Структура притягивающего множества. Перейдем к третьемупункту плана, намеченного в конце п. 5, и докажем следующую лемму.

Лемма 4. Пусть функция V определена по формуле (11), и пусть M— множество точек фазового пространства, состоящее из фазовых трае-кторий всех решений системы (2), определенных на полуоси t ≥ 0 и удов-

летворяющих условию V = 0. Тогда множество M состоит только изстационарных точек системы (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из формулы (13) для V следует, что множествоM образовано фазовыми траекториями, для которых γ = 0, x = 0, i1 = . . . == in2

= 0, то есть оно состоит из стационарных точек γ = γ0, γ = 0, x == 0, i1 = . . . = in2

= 0 системы (2). В п. 2 установлено, что при c = c0/b0 << 1 множество стационарных точек данной системы состоит из двух счетныхподмножеств, соответствующих значениям (9) постоянной γ0.

12. Теорема о глобальной устойчивости. В каждой из теорем 3 – 5даны условия ограниченности решений системы уравнений (2) по переменнойγ. Далее, в лемме 3 установлено, что из ограниченности решений системы (2)по γ следует их ограниченность по всем переменным.

Тогда из принципа Ла-Салля (см. п. 5) с функцией Ляпунова V , опреде-ленной в (11), следует, что при выполнении условий любой из теорем 3 – 5всякое решение системы уравнений (2) с течением времени неограниченноприближается к инвариантному множеству M. Согласно лемме 4, множествоM — это множество стационарных точек системы (2). Поскольку расстояниямежду любыми двумя точками множества M ограничены снизу положитель-ной постоянной min(d0−e0, e1−d0) > 0, то стремление решения к M означает,что оно стремится к одной из стационарных точек. При этом, как показываеттеорема 1, на 2π-периоде изменения угла γ существует одна локально асим-птотически устойчивая и одна неустойчивая стационарная точка.

Таким образом, доказана следующая теорема.Теорема 6. Пусть выполнены условия любой из теорем 3 – 5. Тогда си-

стема уравнений (2), описывающая динамику синхронного электромотора,глобально устойчива, то есть каждое ее решение с течением времени стре-мится к одному из двух стационарных решений, существующих на 2π-периоде изменения угла γ.

13. Результаты численного моделирования. Чтобы продемонстри-ровать полученные результаты на числовых примерах, рассмотрим два ва-рианта 1, 2 выбора параметров, входящих в систему уравнений (2). Эти ва-рианты отличаются один от другого только коэффициентом сильного регу-

87


лирования m, а все остальные параметры в обоих вариантах одинаковы. Длякаждого из вариантов 1, 2 рассмотрим два набора начальных данных, ко-торые отличаются один от другого только знаком начального значения γ0угловой скорости γ. В результате имеем четыре набора параметров и началь-ных данных, которые обозначаем 1a, 1b, 2a, 2b.

Приведем выбранные значения параметров и начальных данных в системеединиц сантиметр, грамм, секунда, ампер, наименования единиц измеренияпри этом опускаем. Неизменяемые параметры: J = 104, k = 7.5, ω = 1000,R1 = 0.03, R2 = 0.003, L1 = 6 · 10−4, L2 = 6 · 10−5, n2 = 6, β = 1, a1 = 5.6250,a2 = 0.0011, b0 = 75000, c0 = 7500. Неизменяемые начальные данные: γ0 = 0,x0 = 0.5, i10 = 0.1, i20 = 0.2, i30 = −0.1, i40 = −0.2, i50 = −0.3, i60 = −0.2.Изменяемые значения m и γ0 для случаев 1a, 1b, 2a, 2b указаны в таблице.

Величина 1a 1b 2a 2bm 3219.6 3219.6 536.6 536.6γ0 8 -8 8 -8

Выбор параметров здесь не связан с параметрами реальных электромото-ров и обусловлен стремлением дать иллюстрацию полученных результатов.

С помощью приведенной в п. 6 синусоидальной аппроксимации крити-ческого значения параметра a получаем acr = 0.0786 для обоих вариантов1, 2. Проверка условия Трикоми a > acr для эталонного уравнения (39) по-казывает, что a = 0.1178 для варианта 1, и условие Трикоми выполнено. Дляварианта 2 имеем a = 0.0199, так что это условие не выполнено. Поэтому дляварианта 1, согласно теореме 6, система уравнений (2) глобально устойчива,и все ее решения должны стремиться к стационарным. Для варианта 2 гло-

Рис. 3. Графики кривых (γ(t), V (t)) и функции U(γ).

бальная устойчивость системы уравнений (2) не гарантирована, и она можетиметь как решения, стремящиеся к стационарному, так и неограниченныерешения. Эти выводы иллюстрирует рис. 3.

88


На нем изображены график потенциальной энергии U(γ) и кривые(γ(t), V (t)), полученные путем численного интегрирования системы (2) дляслучаев 1a, 1b, 2a, 2b. Здесь V (t) — функция V , взятая на решении систе-мы (2). Так как W ≥ 0, то V = W + U ≥ U , и поэтому в процессе убыванияV (t) графики кривых (γ(t), V (t)) не могут опуститься ниже графика U(γ). Изрисунка видно, что в случаях 1a, 1b, когда, по теореме 6, имеет место глобаль-ная устойчивость, решение с течением времени попадает в “потенциальнуюяму”, соответствующую одной из асимптотически устойчивых стационарныхточек, а затем притягивается к этой точке. В случаях 2a, 2b, когда глобаль-ная устойчивость не гарантирована, существуют решения, как стремящиесяк стационарному (кривая 2a), так и неограниченные по γ (кривая 2b).

1. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // Прикл.математика и механика. – 1976. – 40, вып. 2. – С. 238–244.

2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неедин-ственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

3. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentasi in electrotechnica // Annal.della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa. – 1933. – 2, no. 2. – P. 1–20.

4. Leonov G.A., Zaretskiy A.M. Global stability and oscillations of dynamical systems descri-bing synchronous electric machines // Vestnik St. Petersburg University. Math. – 2012. –45, no. 4. – P. 157–163.

5. Леонов Г.А., Зарецкий А.М. Циклы дифференциальных уравнений синхронных эле-ктрических машин // Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2012.– 4. (Электронный журнал.)

6. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телеме-ханика. – 2006. – 10. – С. 47–85.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 224 с.8. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. –

М.: Мир, 1964. – 168 с.9. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым

пространством. – М.: Наука, 1969. – 300 с.10. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Аппроксимация критического значения параметра

демпфирования для синхронного электромотора // Тр. Ин-та прикл. математики имеханики. – 2014. – 29. – С. 121–126.

B.I. Konosevich, Yu.B. Konosevich

Sufficient condition for global stability of the model of the synchronouselectric motor

This investigation is based on the multi-current model of the synchronous electric motor. Theload moment is assumed to be dissipative and linear with respect to the angular velocity of therotor. Effective sufficient condition is obtained guaranteeing that any motion of the synchronouselectric motor tends with time to its steady rotation.

Keywords: synchronous electric motor, global stability, reduction method, LaSalle invariancepriciple.


[email protected]


89


УДК 521:531

c©2016. А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков

ДИНАМИКА ЖИДКОГО ЭЛЛИПСОИДАС МАССОВО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИЧЕРНОЙ ДЫРЫ

Получены уравнения движения для задачи двух тел, одно из которых – жидкий эллипсоидпеременной вязкости, совершающий однородное вихревое движение, а другое – твердыйоднородный шар. Для решения уравнений использован численный метод Рунге–Кутта. Вкачестве примера приведен расчет движения системы с массово-геометрическими пара-метрами гипотетической черной дыры, взаимогравитирующей с обычной звездой.

Ключевые слова: задача двух тел, жидкий гравитирующий эллипсоид, однородное вих-ревое движение, двойная звезда, черная дыра.

Введение. Начиная с Ньютона, задача о вращении жидких гравити-рующих эллипсоидов привлекала внимание многих ученых и была подробноисследована [1–6]. Гораздо менее изучены важные для астрономии задачи одвижении нескольких взаимогравитирующих жидких и твердых тел. Здесьшироко известна проблема Роша об определении формы Луны [4]. Е.В. Пет-кевичем [7, 8] получены уравнения движения для задачи двух жидких тел.В работе [9] получены уравнения движения эллипсоидальной массы несжи-маемой жидкости переменной вязкости, взаимогравитирующей с твердымоднородным шаром. Используя эти уравнения, была рассмотрена задача одвижении системы Земля–Луна, где Земля моделировалась эллипсоидаль-ной массой жидкости, а Луна – твердым однородным шаром. В работе [10]аналогичная задача рассмотрена для системы Юпитер–Солнце, где Юпитермоделировался жидким телом, а Солнце – твердым однородным шаром.

В предлагаемой работе рассматривается задача о движении двойной зве-зды, одна компонента которой является черной дырой, а другая – обычнойзвездой. Черная дыра моделируется эллипсоидальной массой жидкости, а со-путствующая ей звезда – твердым однородным шаром. Жидкость считаетсянесжимаемой и обладающей переменной вязкостью, что делает возможнымсуществование однородного вихревого движения жидкости [11].

Системы координат. Будем считать, что общий центр масс O рас-сматриваемой механической системы неподвижен. Обозначим через Oξ1ξ2ξ3неподвижную инерциальную систему координат, начало которой совпада-ет с общим центром масс рассматриваемой механической системы. ЧерезO1η1η2η3 обозначим прямоугольные оси, начало которых O1 совпадает сцентром масс жидкого эллипсоида, а сами оси параллельны соответствую-щим осям системы Oξ1ξ2ξ3. Через O1x1x2x3 обозначим подвижную систе-му координат, оси которой являются главными осями жидкого эллипсоида(см. рис. 1).

90

Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометрическими параметрами черной дыры

Координаты, скорости и ускорения центра масс жидкости. По-ложение точки O1 определим сферическими координатами r1, ϕ1, θ1, где θ1 –угол между плоскостью Oξ1ξ2 и радиусом-вектором OO1; ϕ1 – угол между по-луосью Oξ1 и проекцией вектора OO1 на плоскость Oξ1ξ2. Тогда координатыточки O1 в осях Oξ1ξ2ξ3 выразятся формулами

ξ1 = r1 cosϕ1 cos θ1, ξ2 = r1 sinϕ1 cos θ1, ξ3 = r1 sin θ1. (1)

Рис. 1. Используемые системы координат.

Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости центра массжидкости (точки O1) на оси Oξ1ξ2ξ3

u1 = r1 cosϕ1 cos θ1 − ϕ1r1 sinϕ1 cos θ1 − θ1r1 cosϕ1 sin θ1,

u2 = r1 sinϕ1 cos θ1 + ϕ1r1 cosϕ1 cos θ1 − θ1r1 sinϕ1 sin θ1,

u3 = r1 sin θ1 + θ1r1 cos θ1.

(2)

Дифференцируя равенства (2) по t, находим проекции ускорения точки O1

на оси Oξ1ξ2ξ3

w1 = r1 cosϕ1 cos θ1 − 2r1ϕ1 sinϕ1 cos θ1 − 2r1θ1 cosϕ1 sin θ1−−r1ϕ1 sinϕ1 cos θ1 − r1θ1 cosϕ1 sin θ1−

−r1(ϕ2

1+ θ2

1) cosϕ1 cos θ1 + 2r1ϕ1θ1 sinϕ1 sin θ1,

w2 = r1 sinϕ1 cos θ1 + 2r1ϕ1 cosϕ1 cos θ1 − 2r1θ1 sinϕ1 sin θ1+

+r1ϕ1 cosϕ1 cos θ1 − r1θ1 sinϕ1 sin θ1−−r1(ϕ

2

1+ θ2

1) sinϕ1 cos θ1 − 2r1ϕ1θ1 cosϕ1 sin θ1

w3 = r1 sin θ1 + 2r1θ1 cos θ1 + r1θ1 cos θ1 − r1θ2

1sin θ1.

(3)

Положение осей O1x1x2x3 относительно O1η1η2η3 определим углами Кар-дана α, β, ϕ. Матрица перехода A = (aij) от осей O1η1η2η3 к O1x1x2x3 имеет

91

А.И. Андрюхин, С.Н. Судаков

вид

cos β cosϕ cosα sinϕ+ sinα sin β cosϕ sinα sinϕ− cosα sinβ cosϕ

− cos β sinϕ cosα cosϕ− sinα sin β sinϕ sinα cosϕ+ cosα sin β sinϕ

sin β − sinα cosβ cosα cosβ

.

Используя матрицу перехода A, находим проекции ускорения точки O1 наоси O1x1x2x3

wxi=

3∑

j=1

aijwj, i = 1, 2, 3. (4)

Координаты центра масс шара. Центр масс шара обозначим черезO2. Предполагая, что внешние силы на систему не действуют и центр масссистемы неподвижен, получаем соотношение

m1r1 = m2r2, (5)

где m1 – масса жидкого эллипсоида, m2 – масса шара, ri = |OOi|, i = 1, 2.Точки O, O1, O2 при движении будут лежать на одной прямой. Используя(5), находим координаты точки O2 в осях O1η1η2η3:

η21 = −m−1r1 cosϕ1 cos θ1,

η22 = −m−1r1 sinϕ1 cos θ1,

η23 = −m−1r1 sin θ1,

(6)

где m =m2

m1 +m2

. Тогда в осях O1x1x2x3 точка O2 будет иметь координаты

x2i =3

∑

j=1

aijη2j , i = 1, 2, 3. (7)

Гравитационные силы, действующие на жидкость со сторонышара. Проекции на оси O1x1x2x3 силы, действующей на единичный объемжидкости со стороны шара, определяются формулами

fi = Gρm2

x2i − xi

r2[(x21 − x1)2 + (x22 − x2)2 + (x23 − x3)2]3/2, i = 1, 2, 3,

где G — гравитационная постоянная, ρ — плотность жидкости, r2 = x221

++x2

22+ x2

23, x2i = x2i/r, xi = xi/r, x1, x2, x3 — координаты рассматриваемой

точки жидкости в осях Ox1x2x3.

92


Линеаризация. В дальнейшем будем рассматривать только те случаи,когда расстояние r между точками O1 и O2 настолько велико, что можнопровести линеаризацию величин fi по xi, i = 1, 2, 3. Такая линеаризациянеобходима для существования однородного вихревого движения жидкостии сохранения ее эллипсоидальной формы. После линеаризации будем иметь

f1 = Gρm2

x21r3

+Gρm2

r5(3x221+r2)x1+3Gρm2

x21x22r5

x2+3Gρm2

x21x23r5

x3 (123),

где символ циклической перестановки индексов (123) не применяется к вели-чине m2 и к первому индексу величин x21, x22, x23.

Уравнения гидродинамики. Движение жидкости переменной вязко-сти описывается уравнениями [11]

∂v

∂t+ (v · ∇)v = −1

ρ∇p+ ν(x, c)∆v + 2σ∇ν−

−w− ω × x −ω × (ω × x)− 2ω × v −∇Φ+1

ρf,

divv = 0,

(8)

где v = (v1, v2, v3) — скорость движения жидкости относительно осейO1x1x2x3, x = (x1, x2, x3) — координатный вектор, ρ — плотность жидкости,p — давление, ω — угловая скорость осей O1x1x2x3, c = (c1, c2, c3) — полу-длины главных осей жидкого эллипсоида, w = (wx1

, wx2, wx3

) — абсолютноеускорение точки O1, f = (f1, f2, f3).

Кинематическая вязкость ν(x, c) определяется выражением

ν = ν0

(

1− x21

c21

− x22

c22

− x23

c23

)

,

где ν0 = const. Граница жидкости в осях O1x1x2x3 задается уравнением

x21

c21

+x22

c22

+x23

c23

= 1.

Следовательно, на границе жидкости ν = 0.Компоненты тензора скоростей деформаций жидкости σ имеют вид

σij =1

2

(

∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)

, i, j = 1, 2, 3.

Потенциал Φ гравитационных сил, порождаемых жидкостью, в ее внутреннихточках описывается формулой [2]

Φ = πρG(α1x2

1 + α2x2

2 + α3x2

3 − χ0),

93


где

αi = c1c2c3

∞∫

0

dλ

(c2i + λ)D, i = 1, 2, 3; χ0 = c1c2c3

∞∫

0

dλ

D,

D = [(c21+ λ)(c2

2+ λ)(c2

3+ λ)]1/2.

Замечание. Задание кинематической вязкости как функции координат,на первый взгляд, может показаться неестественным. Однако, в дальней-шем будут рассматриваться только однородные вихревые движения эллип-соидальной массы жидкости, при которых вязкость имеет одно и то же зна-чение на каждом эллипсоиде из семейства соосных концентрических эллип-соидов, подобных границе жидкости. Частицы жидкости, лежащие в какой-томомент времени на одном из таких эллипсоидов, никогда не сходят с него.Следовательно, вязкость каждой частицы жидкости остается постоянной.

Уравнения движения. В случае однородного вихревого движениякомпоненты скорости жидкости v1, v2, v3 и давление p ищем в виде

v1 =c1c1x1 −

c1c2ω∗

3x2 +

c1c3ω∗

2x3 (123), p = −p0(t)

(

x21

c21

+x22

c22

+x23

c23

− 1

)

, (9)

где ω∗

1, ω∗

2, ω∗

3и p0(t) — неизвестные функции времени t. Подставляя (9) в

уравнения движения жидкости (8), получаем

ki0 + ki1x1 + ki2x2 + ki3x3 = 0, i = 1, 2, 3, (10)

где

ki0 = wxi−Gm2

x2ir3

, i = 1, 2, 3,

k11 =c1c1

− ω∗

3

2 − ω∗

2

2 − 2p0ρc2

1

+ 4ν0c1c31

− ω2

2− ω2

3− 2

c3c1ω∗

2ω2 − 2

c2c1ω∗

3ω3+

+ 2πρGα1 −Gm2

r5(3x2

21− r2) (123),

k12 = − c1c2ω∗

3− c1

c2ω∗

3− c1

c2ω∗

3+

c1c2ω∗

1ω∗

2+ (11)

+2ν0c22

c22− c2

1

c2c1ω∗

3− ω3 + ω1ω2 + 2

c3c2ω∗

1ω2 − 2

c2c2ω3 − 3Gm2

x21x22r5

(123),

k13 =c1c3ω∗

2 +c1c3ω∗

2 +c1c3ω∗

2 +c1c3ω∗

1ω∗

3+

+2ν0c23

c21− c2

3

c1c3ω∗

2 + ω2 + ω1ω3 +2c3c3

ω2 +2c2c3

ω∗

1ω3 − 3Gm2

x21x23r5

(123),

94


а символ циклической перестановки индексов (123) не распространяется наm2 и первые индексы символов x21, x22, x23.

Равенства (10) должны выполняться при любых значениях x1, x2, x3 изобласти, занимаемой жидкостью. Отсюда следуют уравнения

kij = 0, i = 1, 2, 3, j = 0, 1, 2, 3, (12)

где kij определены выражениями (11). Из условия несжимаемости следует

c1c2c3 = R3 = const. (13)

Движение осей O1x1x2x3 относительно осей O1η1η2η3 описывается кинемати-ческими уравнениями вида

α = (ω1 sinϕ− ω2 cosϕ)/ cos β,

β = ω1 sinϕ+ ω2 cosϕ,

ϕ = ω3 − (ω1 sinϕ− ω2 cosϕ)tgβ,

(14)

где ω1, ω2, ω3 – проекции угловой скорости осей O1x1x2x3 на себя.Соотношения (12)– (14) представляют собой систему шестнадцати обыкно-

венных дифференциальных уравнений относительно шестнадцати неиз-вестных ω∗

i , ωi, ci, i = 1, 2, 3, p0, α, β, ϕ, r1, ϕ1, θ1 и после задания начальныхусловий, полностью описывают движение системы.

Уравнения движения в нормальной форме. Уравнения k23 = 0,k32 = 0 (123) представим в виде

c2c3ω∗

1+ ω1 = f23,

c3c2ω∗

1+ ω1 = f32 (123), (15)

где

f23 = −2c2c3

ω∗

1+

c2c3ω∗

2ω∗

3+ ω2ω3 + 2

c1c3ω∗

2ω3 − 2

c3c3ω1+

+2ν0c23

(

c3c2

− c2c3

)

ω∗

1 − 3Gm2

x22x23r5

(123),

f32 = −2c3c2

ω∗

1− c3

c2ω∗

2ω∗

3− ω2ω3 − 2

c1c2ω∗

3ω2 − 2

c2c2ω1−

−2ν0c22

(

c3c2

− c2c3

)

ω∗

1 + 3Gm2

x22x23r5

(123).

(16)

Разрешая систему (15) относительно ω∗

1, ω1, получаем

ω∗

1=

c2c3c22− c2

3

(f23 − f32), ω1 =c22f32 − c2

3f23

c22− c2

3

(123). (17)

95


Теперь исключим переменные p0 и c3 из уравнений k11 = 0, k22 = 0. Изуравнения k33 = 0 находим

2p0ρ

= c3c3 + c23f33, (18)

где

f33 = −ω∗

1

2 − ω∗

2

2 − ω2

1 − ω2

2 − 2c2c3ω∗

1ω1 − 2c1c3ω∗

2ω2+

+4ν0c3c33

+ 2πρGα3 −Gm2

r5(3x223 − r2) (123).

Из условия (13) следуют равенства

c3 = R3c−1

1c−1

2, c3 = −R3(c−2

1c−1

2c1 + c−1

1c−2

2c2), (19)

c3 =R3

c1c2

(

− c1c1

− c2c2

+2c2

1

c21

+2c1c2c1c2

+2c2

2

c22

)

. (20)

Используя (20), представим выражение (18) в виде

2p0ρ

=R6

c21c22

(

− c1c1

− c2c2

+2c2

1

c21

+2c1c2c1c2

+2c2

2

c22

)

+ c23f33. (21)

Используя (21), представим уравнения k11 = 0 и k22 = 0 в виде

(

1 +R6

c41c22

)

c1c1

+R6

c41c22

c2c2

= F1,R6

c21c42

c1c1

+

(

1 +R6

c21c42

)

c2c2

= F2, (22)

где

F1 =2R6

c41c22

(

c21

c21

+c1c2c1c2

+c22

c22

)

+c23

c21

f33 − f11,

F2 =2R6

c21c42

(

c21

c21

+c1c2c1c2

+c22

c22

)

+c23

c22

f33 − f22.

(23)

Разрешая систему (22) относительно c1/c1 и c2/c2, получаем

c1c1

=

[(

1 +R6

c21c42

)

F1 −R6

c41c22

F2

]

∆−1,c2c2

=

[(

1 +R6

c41c22

)

F2 −R6

c21c42

F1

]

∆−1,

(24)

∆ = 1 +R6

c41c22

+R6

c21c42

.

Уравнения k0i = 0, i = 1, 2, 3, записываем в виде

wxi= Gm2

x2ir3

, i = 1, 2, 3, (25)

96


где wxi, i = 1, 2, 3 – проекции абсолютного ускорения точки O1 на

оси O1x1x2x3, которые определяются формулами (3), (4). Величины x2i,i = 1, 2, 3, определены формулами (7). Умножая уравнения (25) слева наматрицу AT , обратную матрице A, приводим их к виду

wi =Gm2

r3

3∑

j=1

ajix2j , i = 1, 2, 3.

Учитывая (7), перепишем эти уравнения так

wj =Gm2

r3η2j , j = 1, 2, 3,

где η2j определены формулами (6). Используя (3) и (6), запишем последниеуравнения в виде

r1 cosϕ1 cos θ1 − r1ϕ1 sinϕ1 cos θ1 − r1θ1 cosϕ1 sin θ1−−r1(ϕ

2

1+ θ2

1) cosϕ1 cos θ1 + 2r1ϕ1θ1 sinϕ1 sin θ1 − 2r1ϕ1 sinϕ1 cos θ1−

−2r1θ1 cosϕ1 sin θ1 = −Gm2

mr3r1 cosϕ1 cos θ1,

r1 sinϕ1 cos θ1 + r1ϕ1 cosϕ1 cos θ1 − r1θ1 sinϕ1 sin θ1−−r1(ϕ

2

1+ θ2

1) sinϕ1 cos θ1 − 2r1ϕ1θ1 cosϕ1 sin θ1 + 2r1ϕ1 cosϕ1 cos θ1−

−2r1θ1 sinϕ1 sin θ1 = −Gm2

mr3r1 sinϕ1 cos θ1,

r1 sin θ1 + θ1r1 cos θ1 − θ21r1 sin θ1 + 2r1θ1 cos θ1 = −Gm2

mr3r1 sin θ1.

Разрешая эти уравнения относительно r1, ϕ1, θ1, получаем

r1 = r1(ϕ2

1 cos2 θ1 + θ21)−

Gm2

mr3r1,

ϕ1r1 cos θ1 = 2r1ϕ1θ1 sin θ1 − 2r1ϕ1 cos θ1,

θ1r1 = −r1ϕ2

1cos θ1 sin θ1 − 2r1θ1.

(26)

Уравнения (26) представляют собой уравнения движения в задаче двухтел. Второе из этих уравнений может быть проинтегрировано и представленов виде

ϕ1r2

1 cos2 θ1 = const.

Уравнения (14), (17), (24), (26) разрешены относительно старших про-изводных и представляют собой систему четырнадцати обыкновенных диф-ференциальных уравнений относительно четырнадцати неизвестных α, β, ϕ,ω∗

i , ωi, i = 1, 2, 3, c1, c2, r1, ϕ1, θ1, которая, после задания начальных условий,полностью описывает движение рассматриваемой механической системы.

97


Для численного решения уравнений (14), (17), (24), (26) вводим безраз-мерные переменные τ = t/T , ζi = ci/R, ui = dζi/dτ , ω∗

i = Tω∗

i , ωi = Tωi,i = 1, 2, 3, r1 = r1/R, где T – размерность времени, R = 3

√c1c2c3. Значения

параметров жидкого эллипсоида выбирались так, чтобы выполнялось усло-вие R < rS. Здесь rS – гравитационный радиус, определяемый по формуле

rS =2Gm1

c2, где c – скорость света.

Рис. 2

Для решения уравнений был использован численный метод Рунге–Кутта 4–5. Размерность времени – земные сутки. Временной интервал былравен 8000 годам и R = 20190.5м (вторым телом является тело с массойСолнца). Расчет производился для

T = 24 · 602 с, m1 = 1.3597 · 1031 кг, m2 = 1.988686458 · 1030 кг,

G = 6.673 · 10−11 м3/(кг · с2), ν0 = 3.17 · 1036 м2/с

и следующих начальных данных при τ = 0:

ζ1 = 1.00646, ζ2 = 1.00641,dζ1dτ

= 0,dζ2dτ

= 0, ϕ1 = 0, θ1 = 0,

dϕ1

dτ= 0,

dθ1dτ

= 0, α = 0, β = 0, ϕ = 0, r1 = 2.29 · 1015, dr1dτ

= 0,

ω∗

1 = 0, ω∗

2 = 0, ω∗

3 = 0.0661335, ω1 = 0, ω2 = 0, ω3 = 0.

98


Основным вопросом, решаемым при расчетах, была оценка измене-ния разности полуосей c1, c2 эллипсоида черной дыры при вариации:1) кинематической вязкости (см. графики на рис. 2); 2) соотношения масс тел(см. графики на рис. 3); 3) начального значения r1, обозначаемого в даль-нейшем через r0 (см. графики на рис. 4). На рис. 2 представлены резуль-таты расчетов разности полуосей при следующих значениях ν0: a) ν0 = ν∗,б) ν0 = 3.5 ν∗, в) ν0 = 4 ν∗, г) ν0 = 4.05 ν∗, где ν∗ = 3.17 · 1036 м2/с.

Рис. 3

На рис. 3 а, 3 б, 3 в, 3 г представлены результаты расчетов при со-отношении масс жидкого эллипсоида и однородного твердого тела с мас-сой Солнца 15, 100, 50, 20 соответственно. На рис. 4 представлены резуль-таты расчетов разности полуосей при следующих значениях r0: a) r0 = r∗,б) r0 = 2 r∗, в) r0 = 20 r∗, г) r0 = 200 r∗, где r∗ = 1.145 · 1015.

Выводы. Первые компьютерные расчеты, в которых использоваласьмодель, представленная в [10, 11], и значения параметров, характерные длятел солнечной системы, показали аномальный рост разности между полуося-ми ζ1(t) и ζ2(t), который можно интерпретировать как распад черной дырыза 10−3− 10−4 секунды. Длительное существование двух тел в рамках нашеймодели возможно только с определенных значений кинематической вязко-сти и расстояния между ними. Значения этих параметров были определены

99


Рис. 4

опытным путем на основе компьютерных экспериментов и использованы вприведенных расчетах. Подчеркнем, что используемые нами значения кине-матической вязкости, расстояния между телами значительно превосходят со-ответствующие значения параметров тел солнечной системы. Но именно притаких значениях возможно существование рассматриваемых тел в рамкахпринятой нами модели. Представленные расчеты и вышесказанное указыва-ют на необходимость дальнейших компьютерных экспериментов с представ-ленной выше моделью.

1. Борисов А.В., Мамаев И.С. (ред.) Динамика жидких и газовых эллипсоидов. – М.;Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2010. – 364 с.

2. Ламб Г. Гидродинамика. – М.-Л.: Гостехиздат, 1947. – 928 с.3. Стеклов В.А. Работы по механике. – М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований,

2011.– 492 с.4. Субботин М.Ф. Курс небесной механики. Т. 3. – М.: Гостехиздат, 1949. – 280 с.5. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. – М.: Мир, 1973. – 288 с.6. Ядрицкий В.С. Теория фигур небесных тел. – М.; Ижевск: Институт компьютерных

исследований, 2011. – 298 с.7. Петкевич Е.В. Задача двух жидких тел // Письма в Астрон. журн. – 1977. – 3, 9. –

С. 424–428.8. Петкевич Е.В. Уравнения внешней задачи двух тел // Письма в Астрон. журн. –

1977. – 3, 11. – С. 522–525.9. Андрюхин А.И., Судаков С.Н. О движении жидкого эллипсоида и сферически сим-

метричного твердого тела, гравитирующих друг с другом // Космические исследова-ния. – 2016. – 54, 5. – С. 427–431.

100


10. Андрюхин А.И., Судаков С.Н. Динамика жидкого эллипсоида с массово-геометричес-кими параметрами планеты Юпитер // Труды ИПММ. – 2015. – 29. – С. 141–144.

11. Судаков С.Н. О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов пе-ременной вязкости // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 217–226.

A.I. Andruckin, S.N. Sudakov

The dynamics of liquid ellipsoid with the mass-geometrical parametersof black hole

The problem of two bodes, one of which is the liquid ellipsoid and other is the homogeneousrigid ball, is investigating in this paper. The motion of liquid ellipsoid assumes to be permanentrotational flow and liquid has the stratified viscosity that make possible such motion. Theequations of motions were obtained and solved by Runge–Kutta method for mass-geometricparameters of hypothetical black whole.

Keywords: the problem of two bodies, ellipsoidal mass of liquid, permanent rotational flow,binary stars, black whole.

ГОУ ВПО “Донецкий национальный техн. ун-т”,ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк

[email protected]


101


УДК 531.38

c©2016. Н.Н. Щепин

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗАМКНУТОЙСИСТЕМЫ ТЕЛ КОНФИГУРАЦИИ “РОЗА”

Рассмотрена замкнутая система n твердых тел, связанных упругими сферическими шарни-рами в предположении отсутствия действия внешних сил и моментов. Записаны уравненияравновесия рассматриваемого объекта. Изучен частный случай равновесной конфигура-ции системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной плоскости. В случае(n = 6) построено решение типа “роза”, которое является конечномерным аналогом реше-ния Е.Л. Старостина, полученного для упругого изотропного стержня. Найдены областигеометрических параметров, в которых изучаемое решение существует. Рассмотрена устой-чивость полученных решений.

Ключевые слова: система твердых тел, устойчивость положения равновесия, доста-точные условия устойчивости.

Введение. В настоящее время системы связанных твердых и упругихтел широко используются для моделировании механических объектов в ра-зличных отраслях науки и техники. Популярность данного подхода обуслов-лена использованием хорошо разработанного аппарата аналитической меха-ники для исследования статики и динамики систем с конечным числом сте-пеней свободы. В ряде задач использование систем связанных твердых телпозволило получить обозримые аналитические результаты. Важной особен-ностью постановок таких задач является выбор выражения связи в упругихшарнирах системы, с целью адекватного моделирования соотношений междувеличинами, описывающими поля напряжений и деформаций в распределен-ных системах.

В последние годы стержневые системы интенсивно использовались в мо-делировании биологических объектов, при этом особое значение играет изуче-ние равновесных конфигураций. Этой задаче посвящены, в частности, рабо-ты [1–4]. Интерес представляет точное решение уравнений равновесия упру-гого замкнутого стержня класса “роза”, предложенное в работе [5]. В [6] про-веден численный анализ этого решения. Сложность дальнейшего использова-ния решений, полученных в [1–6], для аналитического анализа равновесныхконфигураций заключается в громоздкости полученных выражений.

В настоящей статье упругий стержень в плоском случае моделировалсясистемой n твердых тел, связанных упругими цилиндрическими шарнира-ми, что позволило учесть геометрическую нелинейность поведения упругогостержня. Для случая шести твердых тел продолжено исследование решениятипа “розы” , начатое в работе [7], которое является конечномерным анало-гом решения Е.Л. Старостина [5, 6]. Выделены области геометрических па-раметров, допускающих существование полученного решения, исследованыдостаточные условия устойчивости формы оси исследуемой системы.

102

Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза”

1. Постановка задачи. Пусть система состоит из n гироскопов Ла-гранжа Sj, связанных в точках Oj+1 пересечения осей симметрии тел Sj иSj+1 упругими цилиндрическими шарнирами. Полагаем, что оси симметрииOjOj+1 = hj тел Sj лежат в одной плоскости OXZ, а оси всех шарниров ейперпендикулярны. Система тел – замкнута.

Для учета геометрической нелинейности поведения упругого стержня мо-мент в шарнирах выбирался равным [7]

Lj = c2 sin(ψj − ψj−1), j = 1, n, (1)

где c2− жесткость на изгиб, ψj− угол поворота тела Sj вокруг оси (j − 1)-гошарнира, угол ψ0 в случае замкнутых систем (O1 = On+1), аналогично [8],считаем равным ψn, т. е. ψ0 = ψn.

Как и в работах [9, 10], полагаем, что на систему не действуют внешниесилы и моменты, вследствие чего ее центр масс неподвижен. Тогда с учетомсоотношения (1) находим потенциальную энергию системы

Π = −c2n∑

j=1

cos(ψj − ψj−1). (2)

Как показано в [9], для замкнутых систем выполняется следующее соо-тношение:

n∑

j=1

hjexj = 0, (3)

где exj− единичный орт оси OjOj+1, составляющий угол ψj с осью OX. По-

скольку exj = cosψje

x+sinψjez (ex, ez – соответственно орты осей OX и OZ),

то из (3) имеем два скалярных соотношения, которым должны удовлетворятьуглы ψj

f1 =

n∑

j=1

hj cosψj = 0, f2 =

n∑

j=1

hj sinψj = 0. (4)

Для систем с дополнительными связями положения равновесия могутбыть найдены из условия [11,12] стационарности функции L = Π+λ1f1+λ2f2,т.е.

δL = δΠ+ λ1δf1 + λ2δf2 = 0, (5)

где λ1, λ2 – неопределенные множители Лагранжа.Подставляя выражения (2), (4) в соотношение (5), получаем систему урав-

нений

c2(sin(ψj+1 − ψj)− sin(ψj − ψj−1)) = hj(λ2 cosψj − λ1 sinψj), j = 1, n,

ψn+1 = ψ1, ψ0 = ψn,(6)

которая вместе с равенствами (4) позволяет определить неизвестные величи-ны поставленной задачи, а именно, углы ψj и множители Лагранжа λ1, λ2.

103

Н.Н. Щепин

Как показано в [10], множители Лагранжа λ1, λ2 при этом играют роль реа-кций связей в цилиндрических шарнирах.

В случае конечномерной системы, моделирующей конфигурацию осистержня типа “роза”, решение было описано в [8].

Рис. 1. Конфигурация типа “роза”.

2. Стационарное решение типа “роза”. В простейшем случае та-кая конфигурация может быть представлена системой шести тел (рис. 1).Полагаем, что фигура симметрична относительно оси OZ. При этом длиныOkOk+1(k = 1, 6, O7 = O1) осей симметрии тел равны

O1O2 = h1, O2O3 = O6O1 = h2, O3O4 = O5O6 = h3, O4O5 = h4, (7)

а углы ψ0

k (k = 1, 6) между осью симметрии тела Sk и осью OX таковы:

ψ0

1 = ψ0

4 = 0, ψ0

2 = π + ϕ, ψ0

3 = π − ψ, ψ0

5 = π + ψ, ψ0

6 = π − ϕ. (8)

Полагаем, что ϕ и ψ – острые углы. Подставляя соотношения (7), (8) в условиезамкнутости (4), получаем условие, которому должно удовлетворять решениезадачи

cosϕ = b− c cosψ, (9)

где

c =h3h2

; b =h1 + h42h2

. (10)

Решение (8) удовлетворяет уравнениям равновесия (6) в случае λ2 = 0. Послеисключения из уравнений (6) множителя λ1 получаем

sin(ϕ+ ψ)− sinψ

sin(ϕ+ ψ)− sinϕ= c

sinψ

sinϕ. (11)

Таким образом, получены два уравнения (9) и (11) для определения угловϕ и ψ стационарного решения (8) изучаемой системы.

104


Для дальнейшего исследования уравнений введем дополнительный пара-метр p следующим образом

sinϕ = pc sinψ. (12)

Так как углы ϕ и ψ предполагались острыми и c > 0, то и параметр p > 0. Изпостановки задачи (см. рис. 1) следует, что h2 sinϕ = OO3 sinψ, а посколь-ку OO3 < h3, имеем p < 1. Таким образом, для определения параметра pполучаем следующий интервал:

0 < p < 1. (13)

Подставляя равенства (9), (12) в уравнение (11) и учитывая, что sinψ 6= 0,имеем

cosψ =b− p(b+ c− 1)

c(p− 1)2. (14)

Из неравенства 0 < cosϕ < 1 с учетом соотношения (9) получаем следу-ющие ограничения на величину cosψ

max(0,b− 1

c) < cosψ < min(1,

b

c). (15)

Из неравенств (15) следует, что область существования решения задачираспадается на четыре подобласти:

1) 0 < cosψ < b/c, при 0 < b < 1, b < c;2) 0 < cosψ < 1, при 0 < b < 1, b ≥ c;3) (b− 1)/c < cosψ < b/c, при b ≥ 1, b < c;4) (b−1)/c < cosψ < 1, при b ≥ 1, b ≥ c.

Кроме того, из соотношений (9), (12) следует

c2(1− p2) cos2 ψ − 2bc cosψ + c2p2 + b2 − 1 = 0. (16)

Исключая из уравнения (16) с помощью равенства (14) cosψ, получимследующее выражение для определения параметра b = b(p, c):

b =p2(p3 − 3p2 + 2p− 2)c2 + 2p2(p + 1)c − 2p3 + 2p2 − 3p + 1

2p2(1− p)(1− c). (17)

Подставляя выражения (14) и (17) в неравенства, описывающие область су-ществования решения, получим следующее представление подобластей в па-раметрах c и p:

1) p ∈ (0, 1); c ∈ (p+ (1− p)

√

2(1− p)

p(p2 − 2p+ 2);2p+ (1− p)

√

3p2 − 4p+ 2

p(2− 2p+ 3p2 − p3));

2) p ∈ (0, 1); c ∈ ∅;

105

Н.Н. Щепин

3) p ∈ (0, 1); c ∈ [2p + (1− p)

√

3p2 − 4p + 2

p(2− 2p+ 3p2 − p3);2p + (1− p)

√

2p2 − 4p + 3

p2(3− p));

4) p ∈ (0, 1); c ∈ [2p + (1− p)

√

2p2 − 4p + 3

p2(3− p);1

p2).

Окончательно область существования решения имеет вид

p ∈ (0, 1); c ∈ (p+ (1− p)

√

2(1 − p)

p(p2 − 2p+ 2);1

p2). (18)

Она представлена на рис. 2.

Рис. 2. Область существования решения (8).

3. Исследование устойчивости положения равновесия “розы”.Устойчивость изолированного положения равновесия консервативной систе-мы с голономными и стационарными связями может быть определена из усло-вия минимума потенциальной энергии системы. В случае нелинейности свя-зей, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжаи находить минимум функции L = Π+λ1f1+λ2f2, в которой множители λ1, λ2находятся из условий стационарности функции L [11, 12].

В данной задаче, как отмечалось выше, λ2 = 0 и условия устойчивостиположения равновесия будут выполнены в области [13,14]

δ2L = δ2Π+ λ1δ2f1 > 0, δf1 = 0, δf2 = 0. (19)

В возмущенном движении будем полагать ψj = ψ0

j + ξj и из соотношений (4)получим

n∑

j=1

hjξj sinψ0

j + ... = 0,

n∑

j=1

hjξj cosψ0

j + ... = 0. (20)

106


Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка малости попеременной ξj.

Введем новые переменные Xj = ξj − ξj−1. Тогда, учитывая соотношения(4) и полагая ξ0 = ξn, имеем

ξj =

j∑

i=1

Xi + ξn,n∑

i=1

Xi = 0. (21)

Из равенств (20), (21) получаем

n−1∑

i=1

Xi

n−1∑

j=i

hj sinψ0

j + ... = 0,n−1∑

i=1

Xi

n−1∑

j=i

hj cosψ0

j + ... = 0. (22)

Подставляя равенства (21), (22) в выражение (19), получаем функцию δ2L ввиде

2δ2L =

n−1∑

k=1

cos(ψ0

k − ψ0

k−1)X2

k − hkµ cosψ0

k

k∑

j=1

Xj

2

+

+cos(ψ0

n − ψ0

n−1)

(

n−1∑

k=1

Xk

)2

,

(23)

где µ = λ1/c2.

С учетом равенств (12), (14) и (17) из уравнений (6) находим выражениедля µ

µ =cp− 1

(p − 1)ch2. (24)

Для нахождения области выполнения достаточных условий устойчивости по-ложения равновесия системы необходимо определить область положительнойопределенности квадратичной формы (23), из которой могут быть исключе-ны две переменные согласно (22).

Рассмотрим устойчивость решения (8). Подстановка (8) в (22) с учетом(10) позволяет найти выражения для X1 и X5:

X1 = X2 +2(p(b+ c− 1)− b)(pX3 + (p− 1)X4)

p(p− 1)(c− 1),

X5 = −(p(X1 +X2) +X4),

(25)

где параметр b определен выражением (17).Из (23) и (25) получаем квадратичную форму δ2L, зависящую от перемен-

ных X2, X3 и X4. Записывая критерий Сильвестра для этой квадратичнойформы, получим следующие условия ее положительной определенности:

107

Н.Н. Щепин

G1 > 0, G2 > 0, G3G4 > 0 (26)

где G1 =3∑

i=0

g1ici, G2 =

10∑

i=0

g2ici, G3 =

8∑

i=0

g3ici, G4 =

2∑

i=0

g4ici, а gij равны

g13 = −p3(

4 p3 − 13 p2 + 15 p − 4)

, g12 = 2 p2(

2 p4 − 6 p3 + 6 p2 + 3 p− 2)

,

g11 = −8 p3 − 4 p2 + 9 p − 3, g10 = 10 p2 − 12 p + 4, g42 = p2(

p2 − 2 p+ 2)

,

g38 = p8(

2 p4 − 7 p3 + 9 p2 − 8 p + 2)

(p− 2)2 , g40 = 2 p − 1, g41 = −2 p2,

g37 = −2 p7 (p− 2)(

p6 − 5 p5 + 5 p4 + p3 − 3 p2 + 14 p − 4)

,

g36 = −p5(16 p7 − 72 p6 + 120 p5 − 191 p4 + 257 p3 − 80 p2 + 28 p − 8),

g35 = 2 p4(4 p8 − 16 p7 + 11 p6 − 35 p5 + 73 p4 + 54 p3 − 14 p2 + 4 p − 4),

g34 = −p2(4 p9 − 40 p8 + 4 p7 + 76 p6 + 156 p5 + 34 p4 − 7 p3 − 11 p2−−8 p+ 2), g31 = 8 p7 + 24 p6 + 16 p5 − 24 p4 + 24 p3 − 30 p2 + 14 p − 2,

g33 = −2 p2(

4 p8 + 12 p7 − 40 p6 − 16 p5 − 97 p4 + 55 p3 − 27 p2 + 23 p − 5)

,

g32 = 12 p9 − 28 p8 − 20 p7 − 84 p6 − 4 p5 + 12 p4 + 12 p3 + 8 p2 − 7 p+ 1,

g30 = −4 p2 (2 p− 1)(

p3 − p2 + 2 p − 1)

, g29 = −4 p9 (p− 2) (p9 − 8 p8+

+26 p7 − 49 p6 + 58 p5 − 28 p4 − 32 p3 + 58 p2 − 20 p + 4), g210 = p10(4 p7−−25 p6 + 70 p5 − 117 p4 + 124 p3 − 80 p2 + 24 p − 4) (p− 2)2 ,

g28 = −4 p7(6 p10 − 45 p9 + 164 p8 − 423 p7 + 818 p6 − 1080 p5 + 844 p4−−333 p3 + 118 p2 − 28 p + 4), g27 = 8 p6(2 p11 − 15 p10 + 54 p9 − 149 p8+

+312 p7 − 412 p6 ++253 p5 − p4 ++29 p3 − 13 p2 − 2 p + 2),

g26 = −2 p4(4 p12 − 36 p11 + 60 p10 + 16 p9 − 20 p8 − 428 p7 + 725 p6+

+358 p5 − 371 p4 + 192 p3 − 134 p2 + 64 p − 10), g25 = −8 p4(2 p11−−3 p10 − 4 p9 + 21 p8 − 39 p7 + 136 p6 − 478 p5 + 362 p4 − 219 p3 + 155 p2−

−71 p+ 12), g24 = 4 p2(7 p12 − 34 p11 + 106 p10 − 208 p9+

+328 p8 − 648 p7 + 227 p6 − 64 p5 + 141 p4 − 38 p3 − 50 p2 + 26 p − 3),

g23 = −8 p2(6 p10 − 17 p9 + 19 p8 − 43 p7 − 132 p6 + 138 p5 − 55 p4+

+78 p3 − 82 p2 + 32 p − 4), g22 = 16 p11 − 40 p10 − 112 p9 − 24 p8−−608 p7 + 1024 p6 − 472 p5 + 72 p4 − 108 p3 + 99 p2 − 30 p + 3,

g21 = 4 (2 p− 1) (4 p8 − 6 p7 + 44 p6 − 50 p5 + 30 p4 − 27 p3 + 22 p2−−8 p + 1), g20 = −4 p2

(

p4 − 2 p3 + 6 p2 − 6 p+ 2)

(2 p− 1)2 .

Численные исследования позволили построить области решений нера-венств (26). На следующих рисунках представлены области решений нера-венств G1 > 0. и G2 > 0.

108


Рис. 3. G1 > 0 и G2 > 0.

Линиями 1 и 2 отмечены границы области существования решения задачи.Область решения неравенства G1 > 0 обозначена цифрой I, а неравенстваG2 > 0 – цифрой II.

Сравнение областей решений неравенств (26) и области существованиярешения (18) показывает, что пересечения указанных областей нет.

Таким образом, для системы, состоящей из шести тел, найдена область су-ществования положения равновесия конфигурации “розы” (см. рис. 2) и опре-делено, что для данной системы достаточные условия устойчивости положе-ния равновесия не выполняются.

1. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. – 1986. – 21D. – P. 213–226.

2. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК // Вкн.: Математические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999.– С. 308–338.

3. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Meccanica 31. – 1996. – 3. –P. 235–271.

4. Кугушев Е.И., Пирогова Е.Е., Старостин Е.Л. Математическая модель образованиятрехмерной структуры ДНК. – 1997. – 24 с. – (Препринт РАН ИПМ им. М.В. Кел-дыша, 77).

5. Starostin E.I. Equilibrion configurations of a thin elastic rod with self contacts // Proc.Appl. Math. Mech. – 2002. – 1. – P. 137–138.

6. Starostin E.I. Symmetric equilibria of a thin elastic rod with self contacts // Phil. Teans.K. Soc. Lon., A,. – 2004. – 362. – P. 1317–1334.

7. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. О новом решении уравнений равновесия системы телс упругой связью // Прикл. математика и механика. — 2014. – 78, вып. 25. — С. 671–680.

8. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопе-ресечениями // Механика твердого тела. – 2007. – Вып. 37. – С. 145–151.

9. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 33–39.

109

Н.Н. Щепин

10. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твер-дых тел // Механика твердого тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 94–103.

11. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. – 408 с.12. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах

и задачах. – М.: Наука, 1968. – 304 с.13. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Достаточные условия устойчивости положения рав-

новесия замкнутой системы тел // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. –С. 151–160.

14. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1976. – 534 с.

N.N.Shchepin

Stability of equilibrium of a closed system of rigid bodies in “rose”configuration

The closed system in “rose” configuration of the n Lagrange gyroscopes connected with elasticcylindrical joints, is considered in this paper in supposition of the lack of exterior forces andmoments. Equilibrium positions and values of geometrical parameters for their stability aredefined for the system of six gyroscopes. Such system can serve as a finite-dimensional model ofthe elastic rod with plane axis.

Keywords: system of rigid bodies, stability of equilibrium position, sufficient conditions of sta-bility.


[email protected]


110


УДК 539.3:534.1

c©2016. Вит.В. Волчков, С.В. Сторожев

НЕЧЕТКИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СКОРОСТЕЙПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН РЕЛЕЕВСКОГО ТИПАВ УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

На основе эвристического принципа обобщения построены нечетко-множественные оценкидля фазовых скоростей ультраакустических поверхностных упругих волн релеевского типав изотропных и трансверсально-изотропных полупространствах со свободной граничнойповерхностью из материалов с разбросом в экспериментально определяемых значенияхфизико-механических постоянных. Представлен пример конкретной численной реализациисинтезированной методики.

Ключевые слова: изотропные и трансверсально-изотропные упругие полупростран-ства; поверхностные ультраакустические волны релеевского типа; факторы неопреде-ленности физико-механических параметров; аппарат теории нечетких множеств; эв-ристический принцип обобщения; нечеткие оценки фазовых скоростей.

Введение и постановка проблемы. Прикладное использование эф-фектов распространения ультраакустических поверхностных упругих волн(ПАВ) получило самое широкое применение в ряде важных научно-техничес-ких отраслей, к которым относятся ультраакустическая дефектоскопия, гор-ная сейсмоакустика, акустоэлектроника [1–6]. Основные подходы и поэта-пные достижения в исследованиях свойств ПАВ, составляющих теоретиче-скую основу перечисленных направлений, с высокой степенью полноты изло-жены в монографиях, обзорных и обобщающих публикациях [7–11].

Вместе с тем, можно констатировать, что данные исследования базиру-ются на классических детерминистических подходах и четких моделях в ис-следованиях акустических поверхностных волн в твердых деформируемыхтелах. В этой связи существует актуальная потребность в распространениитеоретических методик исследования на реальные ситуации наличия факто-ров неопределенности в особенностях протекания и параметрах моделиру-емых волновых процессов. В первую очередь это касается учета влияниянеопределенностей в виде разброса экспериментальных значений физико-механических постоянных рассматриваемых сред на эндогенные параметрыфазовых и групповых скоростей, а также на кинематические и энергетиче-ские характеристики ПАВ [12]. В качестве методологии учета такого роданеопределенностей в теоретических моделях волновых деформационных про-цессов могут применяться методы стохастического анализа [13], однако сле-дует учитывать, что корректность их использования обусловлена требовани-ями к вероятностному характеру экспериментальной информации, подлежа-щей получению на основе обработки выборок большой мощности по даннымизмерений. В случае же экспертной либо не имеющей выраженной вероятно-стной природы неопределенной исходной информации для учета разбросаэкзогенных данных в моделях волновой механики деформируемых сред мо-

111

Вит.В. Волчков, С.В. Сторожев

гут быть применены методы теории нечетких множеств. Такие исследованияпредставлены в [14–17] применительно к проблемам теории линейных объем-ных упругих волн в изотропных и анизотропных средах с нечеткими физико-механическими характеристиками; в [18] применительно к проблеме описаниянелинейных ангармонических возмущений в анизотропной среде кубическойсистемы с имеющими экспериментальный разброс значениями упругих по-стоянных второго и третьего порядка; в [19–20] применительно к проблемеоценивания фазовых и групповых скоростей нормальных упругих волн в ани-зотропных пластинах из ортотропных материалов с нечеткими значениямипараметров механических свойств при смешанных краевых условиях на гра-нях.

В настоящей работе данный подход распространяется на проблемы не-четкого оценивания скоростей ПАВ Релея в изотропном упругом полупро-странстве и ПАВ релеевского типа в анизотропном полупространстве из ма-териала гексагональной системы с экспериментальным разбросом в значени-ях параметров плотности и модулей упругости.

1. Получение нечетких оценок для скоростей волн Релея в изо-тропном полупространстве со свободной границей. Фазовая скоростьϑ распространения бездисперсных поверхностных волн Релея в характеризу-емом постоянными Ламе λ, µ и параметром плотности ρ изотропном упругомполупространстве со свободной границей, занимающем координатную подо-бласть V = (x1, x2) ∈ R2, x3 ≤ 0, в рамках детерминистического подхода[4] может быть определена из трансцендентного уравнения

(2− η)2 − 4((1 − η)(1− γη))1/2 = 0, (1)

в котором η = (ρ/µ)ϑ2, γ = µ/(λ + 2µ). На основе преобразования (1) вполиномиальное уравнение

η3 − 8η2 + 8(3− 2γ)η + 16(γ − 1) = 0 (2)

и использования квадратурных формул для корней кубического уравнения(2) могут быть записаны в явном виде три ветви явных представлений дляϑ:

ϑ = ϑ1(ρ, λ, µ) = [(

2µ/(3ρ))(

4− 2(1− 6γ)/φ(λ, µ) + φ(λ, µ))

]1/2,

ϑ = ϑ2(ρ, λ, µ) =

= [(

µ/(3ρ))(

8 + 2(1 + i√3)(1 − 6γ)/φ(λ, µ) − (1− i

√3)φ(λ, µ)

)

]1/2,

ϑ = ϑ3(ρ, λ, µ) =

= [(

µ/(3ρ))(

8 + 2(1 − i√3)(1 − 6γ)/φ(λ, µ) − (1 + i

√3)φ(λ, µ)

)

]1/2,

(3)

где

φ(λ, µ) = [45γ − 17 + 3(3(11 − 62γ + 107γ2 − 64γ3))1/2

]1/3

. (4)

112

Нечеткие оценки для скоростей поверхностных волн

В рамках задачи описания разброса значений скоростей волн Релея принечетко заданных экспериментальных значениях физико-механических пара-метров среды полагается, что упругие постоянные λ, µ материала полупро-странства и его плотность ρ описываются нормальными трапецеидальныминечеткими интервалами λ, µ, ρ с функциями принадлежности µ

λ, µµ, µρ,

характеризуемыми кортежами реперных точек

λ = (λ1, λ2, λ3, λ4), µ = (µ1,µ2, µ3, µ4), ρ = (ρ1, ρ2, ρ3, ρ4). (5)

Нечеткие оценки для скоростей рассматриваемых ПАВ формируются наоснове применения эвристического принципа обобщения теории нечеткихмножеств [21–22], позволяющего расширить области определения классиче-ских функциональных отображений на нечеткие подмножества универсаль-ного множества. При реализации данного принципа в рассматриваемой за-даче выделяется та ветвь ϑ = ϑ(ρ, λ, µ) явных аналитических представлений(3), (4), которая является действительнозначной в рассматриваемом диапазо-не изменения параметров и используются разложения нечетко-интервальныхвеличин физико-механических постоянных (5) по множествам α-срезов

λ =⋃

α∈[0,1]

(λα, λα) =⋃

α∈[0,1]

((1 − α)λ1 + αλ2, αλ3 + (1− α)λ4),

µ =⋃

α∈[0,1]

(µα, µα) =

⋃

α∈[0,1]

((1 − α)µ1 + αµ2, αµ3 + (1− α)µ4),

ρ =⋃

α∈[0,1]

(ρα, ρα) =

⋃

α∈[0,1]

((1 − α)ρ1 + αρ2, αρ3 + (1− α)ρ4).

В этом случае неопределенные значения скоростей ПАВ Релея соответствен-но описываются нечетким множеством ϑ, также представляемым в формеразложения по α-срезам и имеющим вид

ϑ = ∪α∈[ 0,1]

[ϑα, ϑα],

ϑα = infρ ∈ [ρ

α, ρα]

λ ∈ [λα, λα]µ ∈ [µ

α, µα]

ϑ(ρ, λ, µ), ϑα = supρ ∈ [ρ

α, ρα]

λ ∈ [λα, λα]µ ∈ [µ

α, µα]

ϑ(ρ, λ, µ).(6)

Представление (6) непосредственно используется для формированиявычислительного алгоритма в случае, когда не применима описываемая в[22] модификация α-уровневой формы принципа обобщения, связанная с воз-можностями оценивания знакоопределенности частных производных анали-тического представления ϑ = ϑ(ρ, λ, µ) по аргументам во всех интервалах ихизменения.

2. Получение нечетких оценок для скоростей поверхностныхволн релеевского типа у границы свободного трансверсально-изотропного полупространства. В случае, когда материал полупро-странства V является трансверсально-изотропным, имеет ориентированную

113


вдоль координатного направления Ox3 ось изотропии и характеризуется на-бором физико-механических постоянных ρ, c11, c12, c13, c33, c44, дисперсионноеуравнение для ПАВ релеевского типа, локализованных у свободной границыx3 = 0 полупространства, может быть записано в форме [23]

R(ϑ, ρ, c11, c12, c13, c33, c44) = 0, (7)

где

R(ϑ, ρ, c11, c12, c13, c33, c44) = (1− θζ)[

(c13/c44)α−1

2(1− ζ)+

+2α1(θα2)−1 − (θα2)

−1(α2 + θ)ζ+

+θ−1(α4 − θ−1(1− θζ))]

+

+δ1δ2[θ−1(1− θζ)− (c13/c44)(α4 − θ−1(1− θζ))],

ζ = (ρ/c44)ϑ2, θ = c44/c11, α1 = (2c11c44)

−1(c11c33 − c13(c13 + 2c44)),

α2 = c33/c11, α3 = 2c44/(c11 − c12), α4 = c13(c13 + c44)/(c33c44),

δj = (α2)−1/2[α1 − (α2 + θ)ζ/2 + (−1)j+1×

×((α1 − (α2 + θ)ζ/2)2 − α2(1− ζ)(1− θζ))1/2

] (j = 1, 2).

В данном случае для получения нечетких оценок скорости ПАВ подле-жит использованию алгоритм применения эвристического принципа обобще-ния для неявных функциональных зависимостей. В предположении о том,что упругие постоянные cij материала трансверсально-изотропного полупро-странства и его плотность ρ описываются нормальными трапецеидальныминечеткими интервалами cij , ρ с реперными точками cij = (c1ij , c2ij , c3ij , c4ij),ρ = (ρ1, ρ2, ρ3, ρ4) и представляются разложениями по множествам α-срезов

cij =⋃

α∈[0,1]

(cijα, cijα) =⋃

α∈[0,1]

((1 − α)c1ij + αc2ij , αc3ij + (1− α)c4ij),

ρ =⋃

α∈[0,1]

(ρα, ρα) =

⋃

α∈[0,1]

((1− α)ρ1 + αρ2, αρ3 + (1− α)ρ4),

нечеткая оценка параметра фазовой скорости ПАВ ϑ имеет вид (6), где вели-чины ϑα и ϑα при каждом α ∈ [0, 1] в данном случае соответственно определя-ются как наименьшее и наибольшее значения корней трансцендентных урав-нений (7) с параметрами cij , ρ, варьируемыми в пределах cijα ≤ cij ≤ cijα,ρα≤ ρ ≤ ρα. При численной реализации количество рассматриваемых для

этого α-уровней выбирается из соображений обеспечения необходимой точно-сти вычислений.

3. Численная реализация методики нечеткого оценивания скоро-стей ПАВ. Примером реализации описываемой методики является получе-ние нечеткой оценки для скорости ультраакустических поверхностных волн

114


Релея, локализующихся у свободной плоской поверхности конструкционно-го элемента из титана. Исходя из усредненных данных экспериментальныхизмерений [24], согласно которым λ ≈ 7.360n∗, µ ≈ 4.140n∗, ρ ≈ 4.505ρ∗,а также в рамках гипотезы о разбросе ±2% для в максимальной степенивозможных значений физико-механических характеристик и о разбросе ±5%для предельно возможных отклонений в указанных значениях, для реперныхточек нечетких трапецеидальных интервалов λ, µ, ρ, описывающих физико-механические характеристики титана, задаются величины

λ1 = 6.992n∗, λ2 = 7.213n∗, λ3 = 7.507n∗, λ4 = 7.728n∗,

µ1 = 3.933n∗, µ2 = 4.057n∗, µ3 = 4.223n∗, µ4 = 4.347n∗,

ρ1 = 4.280 ρ∗, ρ2 = 4.415 ρ∗, ρ3 = 4.595 ρ∗, ρ4 = 4.730 ρ∗,

n∗ = 1010 Н/м2, ρ∗ = 103 кг/м3.

Функции принадлежности µλ, µµ, µρ для нечетко-множественных характери-

стик λ, µ, ρ соответственно представлены на рис. 1 – 3.

Рис. 1. Функция принадлежности λ. Рис. 2. Функция принадлежности µ.

В соответствии с алгоритмом формирования нечетких оценок для фазо-вой скорости исследуемых ПАВ в рассматриваемом случае получена оценка ϑв виде нечеткого множества ϑ с функцией принадлежности, представленнойна рис. 4 и описывающей степень возможности принятия различных значенийфункцией ϑ при задаваемом характере разброса в экспериментальных зна-чениях физико-механических параметров среды. При реализации алгоритма(6) в контексте необходимости выбора действительнозначной ветви представ-лений (3) в рассматриваемом диапазоне изменения параметров использова-лась ветвь ϑ = ϑ2(ρ, λ, µ). Анализируя полученную нечеткую оценку можноотметить, что по отношению к значению ϑсредн, получаемому для усреднен-ных экспериментальных значений физико-механических постоянных, разброс

115


Рис. 3. Функция принадлежности ρ. Рис. 4. Функция принадлежности ϑ.

для в предельно наибольшей степени возможных значений нечеткой фазовойскорости ϑ составляет ±1.9% · ϑсредн, а предельно возможные отклонения

в значениях получаемой оценки для нечеткой характеристики ϑ от ϑсреднлежат в диапазоне [−4.6% · ϑсредн, 4.9% · ϑсредн].

Выводы. С применением аппарата теории нечетких множеств для ис-следования проблемы учета факторов неопределенности в математическихмоделях волновых процессов в деформируемых упругих телах и на базеиспользования эвристического принципа обобщения получены нечеткие оцен-ки для фазовых скоростей поверхностных упругих волн релеевского типав изотропных и трансверсально-изотропных полупространствах со свобод-ной граничной поверхностью из материалов с разбросами в эксперименталь-но определяемых значениях физико-механических постоянных. Представленпример численной реализации изложенной теоретической методики приме-нительно к получению нечетких оценок фазовой скорости волн Релея в изо-тропном полупространстве из титана. Полученные результаты могут бытьиспользованы как элементы теоретической базы разработок в области тех-нологий геоакустики, ультраакустической диагностики, ультразвукового не-разрушающего контроля.

1. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработкисигналов. – М.: Наука, 1982. – 424 с.

2. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – К.: Наук. думка,1981. – 284 с.

3. Шутилов В.А. Основы физики ультразвука. – Л.: Изд.-во Ленинград. ун-та, 1980. –280 с.

4. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – М.: Наука, 1981.– 288 с.

5. Фильтры на поверхностных акустических волнах / под ред. Г. Мэттьюза. – М.: Радиои связь, 1981. – 472 с.

6. Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах. –М.: Радио и связь, 1990. – 415 с.

7. Поверхностные акустические волны / под ред. А. Олинера. – М.: Мир, 1981. – 384 с.

116


8. Бугаев А.С., Дмитриев В.Ф., Кулаков С.В. Устройства на поверхностных акустиче-ских волнах. – С.-Петербург: ГУАП, 2009. – 187 с.

9. Орлов B.C. Бондаренко B.C. Фильтры на поверхностных акустических волнах. – М.:Радио и связь, 1984. – 272 с.

10. Речицкий В.И. Радиокомпоненты на поверхностных акустических волнах. – М.: Сов.радио, 1984. – 112 с.

11. Бирюков С.В., Гуляев Ю.В., Крылов В.В., Плесский В.П. Поверхностные акустиче-ские волны в неоднородных средах. – М.: Наука, 1991. – 414 с.

12. Слободник А. Дж. Поверхностные акустические волны и материалы для устройствна поверхностных акустических волнах // ТИИЭР. – 1976. – 64, 5. – С. 10–26.

13. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. – М.:Наука, 1970. – 139 с.

14. Сторожев С.В. Нечеткие оценки некоторых характеристик процессов распростране-ния, отражения и преломления волн деформаций // Современные тенденции разви-тия математики и ее прикладные аспекты. – 2015: Матер. IV Междунар. науч.-практ.Интернет-конф. (Донецк, 25 мая 2015). – Донецк: ДонНУЭТ, 2015. – С. 60–62.

15. Storozhev S.V. Uncertainty in the models of the theory of volume elastic waves throughthe use of the theory of fuzzy sets // Modeling and information technologies: selectedpapers of the international scientific school “Paradigma” (Summer-2015, Varna, Bulgaria)/ Compiling editor dr. sc., prof. O. Ja. Kravets. – Yelm, WA, USA: Science Book PublishingHouse, 2015. – P. 45–52.

16. Сторожев С.В. Нечеткие оценки характеристик упругих волн в анизотропных средах// Х Всерос. школа-семинар “Математическое моделирование и биомеханика в сов-ременном университете” (пос. Дивноморское, 25–30 мая 2015 г., Россия): Тез. докл. –Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. – С. 112.

17. Сторожев В.И., Сторожев С.В. Нечетко-множественные оценки в моделях теорииобъемных волн деформаций // Механика твердого тела. – 2015. – Вып. 45. – С. 103–111.

18. Сторожев С.В., Номбре С.Б. Нечеткие оценки для характеристик нелинейных вто-рых гармоник объемных волн сдвига в трансверсально-изотропной упругой среде //Вестн. Дон. национального ун-та. Сер. А. Естественные науки. – 2015. – 2. – С. 38–43.

19. Сторожев С.В., Номбре С.Б. Нечеткие оценки для фазовых скоростей нормальныхупругих волн в ортотропном слое с проскальзывающими закреплениями граней // IМеждунар. науч. конф. “Донецкие чтения-2016. Образование, наука и вызовы совре-менности” (Донецк, 16–18 мая 2016 г.): Матер. конф. – Т. 1. Физ.-мат., техн. науки иэкология. – Ростов-на-Дону: Изд.-во ЮФУ, 2016. – С. 43–46.

20. Сторожев С.В., Номбре С.Б. Модель нечеткого оценивания значений фазовых ско-ростей нормальных упругих волн в мембранированных ортотропных пластинах //Междунар. науч.-метод. конф. “История и методология науки”, посвящ. 100-летию содня рожд. А.И. Бородина: Матер. конф. – Донецк: Изд-во ДонНУ, 2016. – С. 81–83.

21. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечеткихусловиях. – Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000. – 352 с.

22. Ротштейн А.П., Штовба С.Д., Козачко А.Н. Моделирования и оптимизация наде-жности многомерных алгоритмических процессов. – Винница: УНIВЕРСУМ, 2007. –215 с.

23. Белубекян М.В., Мгерян Д.Э. Пространственная задача распространения поверхно-стных волн в трансверсально-изотропной среде // Изв. Национальной акад. наукАрмении. – 2006. – 59, 2. – С. 3–9.

24. Химическая энциклопедия: в 5 т. – М.: Сов. энциклопедия, 1995. – Т. 4. – С. 590–592.

117


Vit.V. Volchkov, S.V. Storozhev

Fuzzy evaluation for the velocities of surface waves of Rayleigh typein an elastic half-space

On the basis of the heuristic principle of generalization, fuzzy multiple estimates are built for thephase velocities of ultrasonic surface elastic waves of Rayleigh type in isotropic and transverselyisotropic half-spaces with a free boundary surface in the case of variation in the experimen-tally determined values of physical and mechanical constants of materials. An example of theimplementation of the synthesized technique is presented.

Keywords: isotropic and transversely isotropic elastic half-space; surface ultrasonic waves ofRayleigh type; uncertainties of physical and mechanical parameters; theory of fuzzy sets; heuristicprinciple of generalization; fuzzy evaluation phase velocities.

ГОУ ВПО “Донецкий национальный ун-т”,ГОУ ВПО “Донбасская национальная акад. строительстваи архитектуры”, г.Макеевка

[email protected]


118


УДК 539.3:534.1

c©2016. Вит.В. Волчков, Д.С. Вуколов, В.И. Сторожев

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН СДВИГА НА ВНУТРЕННИХТУННЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ НЕОДНОРОДНОСТЯХВ ВИДЕ ПОЛОСТИ И ВКЛЮЧЕНИЯ В УПРУГОМ СЛОЕСО СВОБОДНЫМИ ГРАНЯМИ

С использованием метода изображений построены численно-аналитические решения дву-мерных краевых задач о дифракционном рассеянии бегущих симметричных нормальныхволн продольного сдвига на протяженной туннельной цилиндрической полости круговогосечения, а также на внутреннем круговом цилиндрическом изотропном упругом включе-нии с осями, лежащими в срединной плоскости плоскопараллельного изотропного дефор-мируемого слоя со свободными от напряжений плоскими гранями. Рассмотрены случаинормального падения на неоднородности волн из произвольной моды дисперсионного спек-тра. Решение задач сведено к бесконечным системам линейных алгебраических уравненийотносительно коэффициентов представлений волновых полей в областях сечения слоя ивключения рядами по соответствующим базисным частным решениям волновых уравне-ний в цилиндрических функциях. Представлены результаты численных исследований, ха-рактеризующие ряд ведущих закономерностей в распределениях волновых перемещений вближнем и дальнем дифракционном поле при варьировании относительного радиуса поло-сти, относительного радиуса включения, относительной длины падающей волны из низшеймоды дисперсионного спектра, а также соотношения модулей сдвига для материалов слояи включения.

Ключевые слова: изотропный упругий слой; свободные плоские грани; центрально рас-положенная внутренняя туннельная неоднородность; цилиндрическая полость; цилин-дрическое включение; дифракционное рассеяние нормальных волн сдвига; метод изобра-жений; ряды по базисным решениям волновых уравнений; варьирование геометрическихи механических параметров; закономерности распределений волновых перемещений.

Введение и постановка задачи. Проблемы теоретического анализапроцессов рассеяния стационарных волн механических деформаций на не-однородностях в виде цилиндрических полостей и включений в упругих те-лах, несмотря на длительный период обширных исследований, отраженных вмонографиях [1–4], сохраняют ряд открытых, актуальных в фундаменталь-ном и прикладном отношении аспектов. К ним относятся вопросы о струк-туре двумерных дифракционных полей, формирующихся при рассеянии нор-мальных сдвиговых волн на внутренних туннельных цилиндрических не-однородностях в виде полостей и жестких либо деформируемых включений,расположенных в толще слоя параллельно его граням. Задачи данного типарассматривались лишь в ограниченном числе работ, к которым, в частности,относятся публикация [5], содержащая теоретические результаты по методи-ке построения дисперсионных соотношений для волн сдвига вдоль изотро-пного слоя с периодическим рядом перпендикулярных направлению распро-странения и параллельных граням внутренних туннельных цилиндрическихполостей; публикации [6–10], в которых рассмотрены задачи о дифракци-онных полях сдвиговых магнитоупругих волн в приграничном градиентно-неоднородном слое изотропного полупространства с внутренней туннельной

119

Вит.В. Волчков, Д.С. Вуколов, В.И. Сторожев

цилиндрической полостью; работа [11], посвященная исследованию эффектоврассеяния упругих продольно-сдвиговых волн на круговом отверстии в изо-тропной полосе. В работах [12–14] задача о дифракционном рассеянии волнпродольного сдвига на туннельных цилиндрических полостях и включени-ях в изотропном и анизотропном слое с жестко закрепленными плоскимигранями рассматривалась на основе численно-аналитической методики, бази-рующейся на концепции зеркального отражения (методе изображений [15]),на точном аналитическом интегрировании уравнений движения в полярныхкоординатах и введении представлений для искомых полей в виде рядов с не-определенными коэффициентами по множествам базисных частных решенийволновых уравнений.

В настоящей работе подобный подход распространяется на случай ди-фракционного рассеяния волн продольного сдвига на туннельных цилиндри-ческих полостях и включениях в слое со свободными от напряжений плоски-ми гранями. Рассматривается изотропный упругий слой (рис. 1) толщины 2h,занимающий в прямоугольных координатах Ox1x2x3 область VL = −∞ << x1, x3 < ∞, |x2| ≤ h. Грани слоя x2 = ±h свободны от напряжений, а вну-три слоя имеется занимающая область VI = x2

1+ x2

2≤ R2, −∞ < x3 < ∞

туннельная неоднородность в виде цилиндрической полости либо цилиндри-ческого жесткого или упругого включения. Материалы слоя и включениясоответственно характеризуются параметрами плотности ρ1, ρ2 и модулямисдвига µ1, µ2. Полагается, что в слое вдоль положительного координатногонаправления Ox1 распространяется нормальная симметричная по координа-те x2 поляризованная вдоль Ox3 волна продольного сдвига c круговой часто-той ω из произвольной моды дисперсионного спектра, характеризующаясяфункцией упругих волновых перемещений U (пад)(x1, x2, t).

Рис. 1. Сечение слоя с туннельной цилиндрической неоднородностью.

В случае слоя с неоднородностью в виде упругого включения искомыекомплексные амплитудные функции для волновых перемещений U (отр)(x1,

x2, t) в отраженных волнах и волновых перемещений U (прел)(x1, x2, t) в пре-ломленных во включении волнах подлежат определению из краевой задачидля уравнений стационарных сдвиговых упругих колебаний материалов слоя

120

Дифракция волн сдвига на внутренних туннельных неоднородностях

и включения, которые после отнесения всех характеристик с линейной раз-мерностью к нормирующему параметру h принимают вид

(∇2 +Ω2

j)U(j) = 0 (j = 1, 2),

Ω1 = (ρ1ω2/µ1)

1/2, Ω2

2= Ω2

1µ1ρ2/ (µ2ρ1) ,

(1)

гдеU (1) = U (пад) + U (отр), U (2) = U (прел). (2)

Краевые условия рассматриваемой задачи в случае неоднородности в видеупругого включения имеют вид

(σ(1)

23)x2=±h = 0, (U (1))

Γ= (U (2))

Γ, (σ

(1)

r3 )Γ = (σ(2)

r3 )Γ, (3)

где Γ – цилиндрическая граница контакта материалов слоя и включения;

(σ(j)r3 )Γ – отнесенные к нормирующему параметру µ∗ = µ1 амплитудные ха-

рактеристики касательных напряжений на поверхности Γ в материалах слояи включения.

В случае неоднородности в виде абсолютно жесткого фиксированноговключения подлежащая анализу краевая задача имеет вид

(∇2 +Ω2

1)U (1) = 0, (σ

(1)

23)x2=±h = 0, (U (1))

Γ= 0, (4)

а для неоднородности в виде цилиндрической полости со свободной границей– вид

(∇2 +Ω2

1)U (1) = 0, (σ

(1)

23)x2=±h = 0, (σ

(1)

r3 )Γ = 0. (5)

1. Построение численно-аналитических решений рассматривае-мых вариантов задачи. На исходном этапе построения решения примени-тельно ко всем рассматриваемым вариантам задачи для функции волновыхупругих перемещений в падающей нормальной упругой SH-волне вводитсяисходное представление

U(пад)

3(x1, x2) = U30 cos(αnx2)e

−i(ωt−knx1), (6)

в котором αn = nπ/h, kn =(

Ω2

1− α2

n

)

1/2, n – номер моды нормальных бегу-

щих симметричных SH-волн в свободном по плоским граням слое. Представ-ление (6) априори удовлетворяет первому из соотношений в группах краевыхусловий (3)–(5).

Для записи поля волн, отраженных от неоднородности и удовлетворяю-щих краевому условию на свободных от напряжений гранях слоя, согласноконцепции метода изображений, вводится счетное множество вспомогатель-ных локальных прямоугольных и полярных координатных систем с полюсамиOk, имеющими в Ox1x2 координаты x1,k = 0, x2,k = 2kh (k = ±1, ±2, . . .).Соответственно записывается представление

121


U(отр)

3=

∞∑

n=0

AnHn(Ω1r0) cos(nθ0)+

+∞∑

k=1

∞∑

n=0

An (Hn(Ω1rk) cos(nθk) +Hn(Ω1r−k) cos(nθ−k)).(7)

После применения теорем сложения цилиндрических функций оно преобра-зуется к виду

U(отр)

3=

∞∑

n=0

[

AnH(1)

n (ΩR) + δ0n∞∑

p=0

Ap (ip−n + i−p+n)Jn (ΩR)×

×∞∑

k=1

[

H(1)

p−n (2Ωhk) +H(1)

n+p (2Ωhk)]

]

cos(nθ),

(8)

и при использовании обозначения Sp,n =∞∑

k=1

H(1)

p−n (2Ωhk) приобретает окон-

чательную форму записи в полярных координатах, связанных с центромвключения,

U(отр)

3=

∞∑

n=0

[

AnH(1)

n (ΩR) +

+δ0n∞∑

p=0

Ap (ip−n + i−p+n)Jn(ΩR) (Sp,n + Sp,−n)

]

cos(nθ).(9)

Контурное представление на Γ для комплексной амплитудной составляю-щей функции перемещений в падающей волне записывается с использованиемформулы обобщенного разложения Якоби

eν1x1+ν2x2 =∑

(p)

Qpeipθ, Qp = Jp

(

−i r(

ν21+ ν2

2

)1/2)

(

(i ν1 + ν2)(

ν21+ ν2

2

)

1/2

)p

(10)

и после ряда преобразований принимает вид

U(отр)

3= (11)

= U30

∞∑

p=0

δ0pJp

(

r√

k2n + α2n

)

ip

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)p/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)p/2)

cos(pθ),

δ0p =

1/2 , p = 0;1, p 6= 0.

При рассмотрении варианта задачи о рассеянии нормальных волн на не-однородности в виде цилиндрического упругого включения для преломлен-ных во включении волн вводится представление вида

U(прел)

3=

∞∑

n=0

BnJn(Ω2r) cos(nθ), (12)

122


в котором Bn – подлежащие определению коэффициенты в разложении по-ля преломленных во включении волн рядом по базисным цилиндрическимстоячим волнам; Jn (Ω2r) – цилиндрические функции Бесселя первого родаиндекса n; (r, θ) – полярные координаты с полюсом в центре сечения вклю-чения.

При использовании представлений (9), (11), (12) для записи функциональ-ных уравнений, следующих из краевых условий (3) на контактной поверхно-сти Γ, и их последующей алгебраизации с применением метода ортогональ-ных рядов, для неизвестных коэффициентов в указанных представленияхполучена бесконечная система из двух групп линейных алгебраических урав-нений

BnJn (Ω2R)−AnH(1)

n (Ω1R)− δ0n

∞∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

Jn (Ω1R)×

×∞∑

k=1

[

H(1)

p−n (2Ω1hk) + H(1)

n+p (2Ω1hk)]

=

= U30δ0

nJn

(

R√

k2n + α2n

)

in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)n/2)

,

Bnµ2

µ1

( n

RJn (Ω2R)− Ω2Jn+1 (Ω2R)

)

−

−An

( n

RH(1)

n (Ω1R)− Ω1H(1)

n+1(Ω1R)

)

−

−δ0n

∞∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

( n


)

×

×∞∑

k=1

[

H(1)

p−n (2Ω1hk) + H(1)

n+p (2Ω1hk)]

=

= U30δ0

n

( n

RJn

(

R√

k2n + α2n

)

−√

k2n + α2nJn+1

(

R√

k2n + α2n

))

×

×in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)n/2)

(n = 0,∞).

(13)

После исключения в указанных группах коэффициента Bn система (13) пре-образуется к следующему, используемому при редукции и численных иссле-дованиях, виду:

An

(

µ1

µ2

nRH

(1)

n (Ω1R)− Ω1H(1)

n+1(Ω1R)

nRJn (Ω2R)− Ω2Jn+1 (Ω2R)

− H(1)

n (Ω1R)

Jn (Ω2R)

)

+

+δ0n

(

µ1

µ2



− Jn (Ω1R)

Jn (Ω2R)

)

×

×∞∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

[

H(1)

p−n (2Ω1hk) + H(1)

n+p (2Ω1hk)]

=

123


= U30δ0

n

Jn

(

R√

k2n + α2n

)

Jn (Ω2R)−

−µ1

µ2

nRJn

(

R√

k2n + α2n

)

−√

k2n + α2nJn+1

(

R√

k2n + α2n

)


×

× in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)n/2)

(n = 0,∞). (14)

В случае варианта задачи о рассеянии нормальной волны на абсолютножестком фиксированном туннельном цилиндрическом включении в слое сосвободными от напряжений плоскими гранями получаемая аналогичнымобразом система алгебраических уравнений, к которой сводится краевая за-дача (4), имеет вид

AnH(1)

n (Ω1R) + δ0n

∞∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

Jn (Ω1R)×

×∞∑

k=1

[

H(1)

p−n (2Ω1hk) + H(1)

n+p (2Ω1hk)]

=

= −U30δ0

nJn

(

R√

k2n + α2n

)

in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)n/2)

(n = 0,∞).

(15)

Наконец, в случае рассеяния нормальной волны на неоднородности в ви-де туннельной цилиндрической полости со свободной границей соответству-ющая алгебраическая система имеет вид

An

( n

RH(1)

n (Ω1R)−Ω1H(1)

n+1(Ω1R)

)

+

+ δ0n

∞∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

( n


)

×

×∞∑

k=1

[

H(1)

p−n (2Ω1hk) + H(1)

n+p (2Ω1hk)]

=

= −U30δ0

n

( n

RJn

(

R√

k2n + α2n

)

−√

k2n + α2nJn+1

(

R√

k2n + α2n

))

in×

×(

(

kn + iαn

kn − iαn

)n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)n/2)

(n = 0,∞).

(16)

В результате определения из приведенных алгебраических систем (13)–(16) искомых коэффициентов может быть реализована фаза численного ана-лиза основных закономерностей, свойственных исследуемым волновым по-лям.

124


2. Результаты численных исследований. С использованием постро-енных теоретических решений осуществлен анализ ряда эффектов в распре-делениях дифракционных полей волновых перемещений для моментов вре-мени, соответствующих началу периодов волновых колебаний, при падениисимметричных нормальных волн сдвига с варьируемой относительной длинойλ = (2π/kn) h

−1 из низшей моды n = 0 дисперсионного спектра на включе-ния и полости с различными относительными радиусами. В первую очередьисследовалось влияние рассматриваемого типа краевых условий на плоскихгранях слоя в сравнении с ранее изучавшимся в работах [12,13] случаем жест-кого закрепления граней. Результаты расчетов представлены в виде тониро-ванных изображений на рис. 2 (а, б ) – 10 (а, б ), на которых переход от тем-ных тонов к светлым отвечает нарастанию интенсивности характеризуемогополя. Представлены картины распределения уровней волновых перемещенийвнутри включений различных относительных радиусов R и в подобласти про-дольного сечения слоя x1 ∈ [−4h; 8h], x2 ∈ [−h; h] вне включений либо по-лостей. Варьируемыми параметрами являлись также соотношения модулейсдвига для материалов слоя и включения. Фрагменты а) представленных ри-сунков характеризуют распределения интенсивностей дифракционных полейдля слоя с жестким закреплением граней, а фрагменты б ) относятся к случаюслоя со свободными от напряжений гранями. При анализе эффектов рассея-ния на неоднородности в виде упругого цилиндрического включения полага-лось, что материал включения имеет большую, либо меньшую, по сравнениюс материалом слоя, сдвиговую жесткость, а плотности указанных материа-лов равны. Приведенные на рисунках картины рассеяния волн на включенияхотвечают случаям µ1 = 2µ2 (рис. 2, 4, 5) и µ1 = 0.5µ2 (рис. 3, 6, 7, 8).

a)

б)

Рис. 2. Картина распределения волновых перемещений для случая

R = 0.75h; λ = 0.5h; µ1 = 2µ∗; µ2 = µ

∗.

Приведенные картины распределений интенсивностей дифракционныхполей обнаруживают значительное качественное влияние на их структурутипа граничных условий на плоских гранях слоя. Это заключение в рав-ной степени относится к случаям включений с повышенной и пониженнойсдвиговой жесткостью. Степень различий в структурах анализируемых по-лей возрастает по мере увеличения относительной длины рассеиваемых волн.В большей мере это влияние относится к картинам полей в тыльной зоне за

125


a)

б)


R = 0.75h; λ = 0.5h; µ1 = µ∗; µ2 = 2µ

∗.

a)

б)


R = 0.75h; λ = 0.4h; µ1 = 2µ∗; µ2 = µ

∗.

a)

б)


R = 0.75h; λ = 0.3h; µ1 = 2µ∗; µ2 = µ

∗.

рассеивающей неоднородностью. Можно также констатировать, что в случаеслоя со свободными гранями снижается относительная интенсивность волн,отражаемых от включений с обоими рассматриваемыми показателями отно-сительной жесткости, и уменьшается их вклад в искажение картины распре-деления интенсивности падающей волны в лицевой области взаимодействия.Можно также указать на эффекты наличия зон более высокой интенсивностирассеянных волн в тыльной зоне взаимодействия в случае жесткого закрепле-ния граней слоя по сравнению со случаем свободных граней.

126


a)

б)


R = 0.75h; λ = 0.3h; µ1 = µ∗; µ2 = 2µ

∗.

a)

б)


R = 0.75h; λ = 0.2h; µ1 = µ∗; µ2 = 2µ

∗.

a)

б)


R = 0.25h; λ = 0.2h; µ1 = µ∗; µ2 = 2µ

∗.

В рассеянном поле за полостью в слое со свободными плоскими граня-ми также выделяются явно выраженные интенсивные огибающие потоки инаблюдается специфический эффект возникновения зон фокусировки волн втеневой области на очень больших расстояниях от включения.

На рис. 9 – 16 в аналогичной форме представлены некоторые результатырасчетов дифракционных полей, формирующихся при рассеянии нормаль-ных волн на расположенных в слое со свободными граничными поверхностя-ми неоднородностях в виде цилиндрических полостей с жесткозакрепленной

127


граничной поверхностью (полостей с фиксированными абсолютно жесткимивключениями) либо полостей со свободной границей. Здесь также приведенысходные распределения для случая слоя с закрепленными плоскими граня-ми, содержащиеся в работе [13]. Фрагменты а) этих рисунков характеризуютдифракционные поля вне полости со свободной границей для жесткозакре-пленного по граням слоя, а фрагменты б ) соответствуют случаю закреплен-ной границы полости для случая жесткозакрепленного слоя. Фрагменты в) иг), соответственно, аналогичны фрагментам а) и б ) по характеру условия награнице полости, но относятся к случаю слоя со свободными от напряженийгранями.

a)

б)

в)

г)


R = 0.3h; λ = 0.5R.

Для данного типа рассеивающих неоднородностей влияние типа краевыхусловий на гранях слоя также носит качественный характер. Для рассеиваю-щих полостей малого размера при варьируемой относительной длине падаю-щей нормальной волны, как показывают рис. 9 – 11, картины распределенийдля слоя с закрепленными и со свободными гранями качественно различа-ются, однако влияние характера краевых условий на контуре полости в слу-чае свободного по граням слоя является весьма малым.

Специфический эффект в структуре дифракционного поля для слоясо свободными гранями характеризуют распределения, представленные нарис. 12 – 14. Он заключается в том, что при рассеянии волн рассматривае-мых длин на закрепленных либо свободных по границе полостях с R > 0.5hполя рассеиваемых волн в тыльной зоне за неоднородностью приобретают

128


a)

б)

в)

г)


R = 0.3h; λ = R.

a)

б)

в)

г)


R = 0.3h; λ = 2R.

129


a)

б)

в)

г)


R = 0.5h; λ = 2R.

a)

б)

в)

г)


R = 0.9h; λ = 0.5R.

130


a)

б)

в)

г)


R = 0.9h; λ = R.

a)

б)

в)

г)


R = 0.9h; λ = 2R.

131


регулярный характер, отвечающий картинам распределения интенсивностейпадающих волн, в то время как в лицевой области взаимодействия возникаютинтенсивные искажения, генерируемые отражаемыми волнами. Это объясня-ется высокой отражающей способностью полостей в указываемых случаях инизкой интенсивностью огибающих рассеиваемых волн, почти не вносящихискажений в картины распределения интенсивности исходной падающей нор-мальной волны. В то же время полость с R = 0.9h в слое с закрепленнымигранями независимо от краевых условий на ее поверхности, как свидетель-ствуют рис. 13 – 15, создает эффект практически полного затенения в тыль-ной области взаимодействия за неоднородностью, в то время, как в слое сосвободными гранями в этом случае эффекты огибания волнами полостей исо свободной, и с закрепленной поверхностями являются гораздо более ин-тенсивными.

Выводы. В итоге проведенных теоретических исследований с исполь-зованием метода изображений получены численно-аналитические решениядвумерных краевых задач о дифракционном рассеянии бегущих симмет-ричных нормальных волн продольного сдвига в плоскопараллельном дефор-мируемом слое на внутренних цилиндрических туннельных неоднородностяхв виде цилиндрического изотропного упругого включения кругового сече-ния, туннельной цилиндрической полости со свободной либо закрепленнойграничной поверхностью. Рассматриваемые задачи сведены к бесконечнымсистемам линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентовпредставлений волновых полей в областях сечения слоя и включения рядамипо базисным частным решениям соответствующих волновых уравнений в ци-линдрических функциях. Представлены результаты численных исследованийдля случаев рассеяния на неоднородностях волн низшей моды дисперсионно-го спектра с варьируемыми относительными длинами. В результате исследо-ваний описан ряд закономерностей и различий в распределениях волновыхперемещений в ближнем и дальнем дифракционном поле при варьированииотносительного радиуса включений и полостей, относительной длины пада-ющей волны, а также соотношения модулей сдвига для материалов слоя ивключения применительно к случаям задания на гранях однородных усло-вий в динамических напряжениях либо перемещениях.

1. Pao Y.-H., Mow C.C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations. –New York: Crane Russak, 1973. – 308 р.

2. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – К.: Наук.думка, 1972. – 254 с.

3. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка,1978. – 308 с.

4. Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости дляанизотропных сред. – Киев: Наук. думка, 1985. – 176 с.

5. Golovchan V.T., Guz A.N. Shear-wave propagation in an elastic layer perforated by aseries of cylindrical cavities // Soviet Appl. Mech. – 1976. – 12, Iss. 9. – P. 888–892.

6. Fang X.-Q. Multiple scattering of electro-elastic waves from a buried cavity in a functi-onally graded piezoelectric material layer // Int. J. Solids Struct. – 2008. – 45. – P. 5716–5729.

132


7. Fang X.-Q., Liu J.-X., Wang X.-H. et al. Dynamic stress from a cylindrical inclusionburied in a functionally graded piezoelectric material layer under electro-elastic waves //Compos. Sci. Technol. – 2009. – 69. – P. 1115–1123.

8. Fang X.-Q., Liu J.-X., Wang X.-H., Zhang L.-L. Dynamic stress around two holes in afunctionally graded piezoelectric material layer under electro-elastic waves // Phil. Mag.Lett. – 2010. – 90. – P. 361–380.

9. Fang X.-Q., Liu J.-X., Zhang L.-L., Kong Y.-P. Dynamic stress from a subsurface cyli-ndrical inclusion in a functionally graded material layer under anti-plane shear waves //Mater. Struct. – 2011. – 44. – P. 67–75.

10. Yang Y.-H., Wu L.-Z., Fang X.-Q. Non-destructive detection of a circular cavity in a finitefunctionally graded material layer using anti-plane shear waves // J. Nondestructive Eval.– 2010. – 29. – P. 233–240.

11. Itou S. Diffraction of a stress wave by a cylindrical cavity in an infinite elastic strip //Lett. Appl. Engng. Sci. – 1984. – 22, No. 4. – P. 475–490.

12. Вуколов Д.С., Сторожев В.И. Дифракционное рассеяние нормальных волн сдвигана туннельном цилиндрическом включении в упругом слое с закрепленными гранями// Вестн. Донецк. национального ун-та. Сер. А. Естествен. науки. – 2014. – 1. –С. 14–21.

13. Вуколов Д.С. Дифракция сдвиговых волн на туннельной цилиндрической полости сосвободной либо закрепленной границей в упругом слое // Теорет. и прикл. механика.– 2014. – 8 (54). – С. 123–132.

14. Вуколов Д.С., Сторожев В.И. Дифракционное рассеяние нормальных волн сдвигана внутреннем цилиндрическом ортотропном включении эллиптического сечения вортотропном упругом слое с закрепленными гранями // Механика твердого тела. –2014. – Вып. 44. – С. 109–121.

15. Taraldsen G. The complex image method // Wave Motion. – 2005. – 43. – P. 91–97.

Vit.V. Volchkov, D.S. Vukolov, V.I. Storozhev

Diffraction of shear waves on internal tunnel cylindrical inhomogeneities inthe form of a cavity and inclusion in the elastic layer with free face

Numerical-analytical solutions of two-dimensional boundary problems of diffraction scatteringof symmetric normal shear waves on cylindrical cavity or on isotropic elastic inclusion in plane-parallel deformable layer with free faces are obtained using the method of images. Solution ofthe problem is reduced to an infinite system of linear algebraic equations for the coefficientsof representations of wave fields in the areas of cross-section of layer and inclusion in rows bythe basic set of particular solutions of wave equations in cylindrical functions. The results ofnumerical investigation are presented, which characterize a number of leading effects in thedistribution of the wave motion in the near- and far- field diffraction under varying the relativeradius of cavities and inclusions, the relative length of the incident wave from the lowest modeof dispersion spectrum, and the ratio of the shear modulus for the material layer and inclusion.

Keywords: isotropic elastic layer with free faces; centrally located inner cylindrical cavity orinclusion; diffractive scattering of normal shear waves; numerical-analytical study; the method ofimages; the series of basic solutions of wave equations; variation of geometrical and mechanicalparameters; effects of distribution of wave motion fields.

ГОУ ВПО “Донецкий национальный ун-т”

[email protected]


133


УДК 539.3:534.1

c©2016. И.А. Моисеенко

СПЕКТРЫ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НОРМАЛЬНЫХУПРУГИХ ВОЛН В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРАХ

Волновое движение описывается на основе полной системы уравнений линейной динами-ческой теории упругости. Модули упругости и плотность материала цилиндра задаютсяэкспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Общее решение системыдифференциальных уравнений модели построено для произвольного окружного волновогочисла в матричной форме в виде разложений радиальных составляющих решения в рав-номерно и абсолютно сходящиеся ряды по обобщенной кольцевой координате. Полученытакже дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник неосесимметричныхнормальных волн для случаев одновременно свободных или жестко закрепленных гра-ничных поверхностей. Изучены эффекты влияния параметров радиальной неоднородно-сти на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростейраспространяющихся нормальных волн.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы; трансверсально-изотроп-ный полый цилиндр; распространение волн; дисперсионные кривые.

Введение. Главной сложностью при рассмотрении моделей волноводовс радиальной неоднородностью физико-механических свойств является су-щественная ограниченность примеров задач, допускающих построение ана-литических решений уравнений теории упругости. Поэтому учет радиальнойнеоднородности, в доминирующем числе исследований, проводится с при-влечением численных или численно-аналитических методов, таких, как мето-ды численного трехмерного моделирования волновых полей, методы теориивозмущений, а также методы, основанные на применении матричного урав-нения Риккати. Отмеченная сложность актуализирует каждое новое анали-тическое решение в рассматриваемом классе задач, с одной стороны, позво-ляющее провести новые численные исследования влияния неоднородностина топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповыхскоростей распространяющихся нормальных волн, с другой стороны, обеспе-чивающее возможность верификации результатов, полученных с привлече-нием численных или численно-аналитических методов.

Как известно, при исследовании задачи о распространении нормаль-ных упругих волн вдоль трансверсально-изотропного полого цилиндра во-прос сводится к построению общего решения системы обыкновенных диффе-ренциальных уравнений с переменными коэффициентами. В классическомслучае эти уравнения разрешимы через цилиндрические функции [1], чтостановится невозможным при переходе к рассмотрению нового поколенияфункционально-градиентных материалов. Одним из подходов, обеспечива-ющих возможность построения общих аналитических решений указанной си-стемы дифференциальных уравнений, является задание специального вида

134

Спектры неосесимметричных волн в трансверсально-изотропных полых цилиндрах

функционального закона радиального изменения физико-механических ха-рактеристик материала волновода и привлечение аппарата рядов по обоб-щенной радиальной координате. Указанный подход в осесимметричном слу-чае использован для построения в аналитическом виде общих решений мо-дели и исследования эффектов влияния фактора радиальной неоднородно-сти трансверсально-изотропных материалов на характеристики дисперсион-ных спектров и фазовых скоростей распространяющихся нормальных волнв полых цилиндрах применительно к волнам крутильного [2] и продольно-сдвигового [3] типов.

В данной работе методика построения общих решений математическоймодели, описывающей распространение нормальных упругих волн вдоль про-тяженных цилиндров кольцевого сечения, изготовленных из радиально не-однородных трансверсально-изотропных материалов, распространена на слу-чай неосесимметричных волн с произвольными окружными волновыми чис-лами.

1. Постановка задачи. Рассматривается протяженный трансверсаль-но-изотропный цилиндр концентрического кольцевого сечения с внутреннимрадиусом R1 и внешним радиусом R2. Область волновода занимает в отне-сенных к нормирующему параметру R∗ = (R1 +R2)/2 безразмерных цилин-дрических координатах Orθz область

V = r ∈ [1− h, 1 + h] ; 0 ≤ θ ≤ 2π; z ∈ (−∞,∞) ,

где 2h = (R2 −R1)/R∗ – нормированная толщина стенок волновода. Нижеприведенные соотношения формулируются для проекций безразмерного век-тора динамических упругих волновых перемещений на оси цилиндрическойсистемы координат, а также для безразмерных характеристик напряженно-деформированного состояния на основных площадках цилиндрической коор-динатной системы, отнесенных к нормирующему параметру c∗.

Основные соотношения модели задачи анализа спектров и свойств нор-мальных упругих волн вдоль рассматриваемого волновода, с учетом со-отношений пространственной линейной математической модели динамиче-ского напряженно-деформированного состояния упругих тел с усложнен-ными физико-механическими свойствами, включают:

– систему дифференциальных уравнений движения в цилиндрической си-стеме координат

∂rσrr + r−1∂θσrθ + ∂zσrz + r−1 (σrr − σθθ)−(

ρR2∗/c∗

)

∂2t ur = 0,

∂rσrθ + r−1∂θσθθ + ∂zσθz + 2r−1σrθ −(

ρR2∗/c∗

)

∂2t uθ = 0,

∂rσrz + r−1∂θσθz + ∂zσzz + r−1σrz −(

ρR2∗/c∗

)

∂2t uz = 0,

(1)

где (ur, uθ, uz) – компоненты безразмерного вектора динамических упру-гих волновых перемещений, отнесенных к нормирующему параметру R∗;

135

И.А.Моисеенко

(σrr, σθθ, σzz, σθz, σrz, σrθ) – отнесенные к нормирующему параметру c∗ ком-поненты тензора динамических напряжений; ρ – плотность материала вол-новода; t – время; ∂j = ∂/∂j (j = r, θ, z, t);

– определяющие соотношения обобщенного линейного закона Гука дляслучая трансверсально-изотропного материала:

σrr = c11εrr + c12εθθ + c13εzz,

σθθ = c12εrr + c11εθθ + c13εzz,

σzz = c13εrr + c13εθθ + c33εzz,

σθz = c44εθz, σrz = c44εrz, σrθ = c66εrθ,

(2)

где (εrr, εθθ, εzz, εθz , εrz, εrθ) – компоненты тензора малых упругих дефор-маций; c11, c12, c13, c33, c44, c66 = (c11 − c12)/2 – отнесенные к нормирующе-му параметру c∗ модули упругости трансверсально-изотропного материалаволновода;

– уравнения связи между компонентами тензора малых упругих деформа-ций и компонентами вектора динамических упругих волновых перемещений

εrr = ∂rur, εθθ = r−1ur + r−1∂θuθ, εzz = ∂zuz,

εθz = ∂zuθ + r−1∂θuz, εrz = ∂zur + ∂ruz,

εrθ = r−1∂θur +(

∂r − r−1)

uθ;

(3)

– граничные условия на внутренней и внешней поверхностях цилиндра,которые в случае одновременно жестко закрепленных или свободных поверх-ностей, соответственно, имеют вид

ur|r=1±h = uθ|r=1±h = uz|r=1±h = 0; (4)

σrr|r=1±h = σrθ|r=1±h = σrz|r=1±h = 0. (5)

Полагается, что материал цилиндра является функционально-неоднород-ным в радиальных направлениях по всем своим физико-механическим свой-ствам, а его плотность и нормированные модули упругости, соответственно,описываются представлениями

ρ = ρ exp (fλ,q (r)) , cj = cj exp (fλ,q (r)) (j ∈ 11, 12, 13, 33, 44, 66) ,fλ,q (r) = λ ((r − 1)/h )q,

(6)

в которых λ (λ ∈ R) и q (q ∈ 0 ∪ N) – параметры функциональной неодно-родности.

136


2. Интегрирование уравнений волнового деформирования и по-лучение дисперсионных уравнений. В исследуемых нормальных вол-нах с круговой частотой ω, окружным волновым числом n и нормированнымпараметром R∗, продольным волновым числом k, следуя методу разделенияпеременных, вводятся комплексные представления

ur (r, θ, z, t) = u(n)r (r) exp (−fλ,q (r)/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) ,

uθ (r, θ, z, t) = iu(n)

θ (r) exp (−fλ,q (r)/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) ,

uz (r, θ, z, t) = iu(n)z (r) exp (−fλ,q (r)/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) .

(7)

Последовательная подстановка представлений (6), (7) в соотношения моде-ли (1) – (3) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравненийс переменными коэффициентами относительно амплитудных составляющихкомпонент безразмерного вектора динамических упругих волновых переме-

щений(

u(n)r , u

(n)

θ , u(n)z

)

(

c11(

r2d2r + rdr − 1)

− n2c66 +(

Ω2 − k2c44)

r2+

+λqh−qr(r − 1)q−2 ((1− qr − λqh−qr(r − 1)q/2 ) c11/2 + (r − 1) c12))

u(n)r +

+(n/2)(

λqh−qr(r − 1)q−1 (c13 − 3c12)/2 + 3c11 − c12 − (c11 + c12) rdr

)

u(n)

θ −

−kr(

(c13 + c44) rdr + λqh−qr(r − 1)q−1 (c13 − c44)/2)

u(n)z = 0,

(n/2)(

(c11 + c12) rdr + λqh−qr(r − 1)q−1 (c13 − 3c12)/2 + 3c11 − c12

)

u(n)r +

+(

c66(

r2d2r + rdr − 1)

− n2c11 +(

Ω2 − k2c44)

r2+

+λqh−qr(r − 1)q−2(3− (q + 2) r − λqh−qr(r − 1)q/2 ) c66/2)

u(n)

θ −

−kn (c13 + c44) ru(n)z = 0,

(8)

kr(

(c13 + c44) (rdr + 1)− λqh−qr(r − 1)q−1 (c13 − c44)/2)

u(n)r −

−kn (c13 + c44) ru(n)

θ +(

c44(

r2d2r + rdr)

− n2c44 +(

Ω2 − k2c33)

r2 +

+λqh−qr(r − 1)q−2 (1− qr − λqh−qr(r − 1)q/2 ) c44/2)

u(n)z = 0.

Здесь Ω2 = ρR2∗ω2/c∗, dr = d/dr. В качестве метода построения общего реше-

ния уравнений (8) используем подход, основанный на представлениях иско-мых решений в виде рядов по обобщенной кольцевой координате [4]. Вводитсязамена переменных r = hx+1 (x ∈ [−1, 1]). С учетом физической модели рас-

137


сматриваемой задачи для искомых решений вводятся представления

u(n)r (x) =

∞∑

m=0

am xm+δ, u(n)

θ (x) =∞∑

m=0

bm xm+δ,

u(n)z (x) =

∞∑

m=0

dm xm+δ (|a0|+ |b0|+ |d0| 6= 0)(9)

с допустимыми значениями параметра δ: δ ∈ 0, 1 либо Re (δ) > 1. Подста-новка разложений (9) в уравнения (8) порождает систему рекуррентных урав-нений относительно коэффициентов разложений (9). Для каждого окружноговолнового числа n указанная система рекуррентных уравнений имеет шестьнезависимых базисных решений, которые в матричной форме представля-ются в виде двух матричных базисных решений

U(n,δ) (x) =

∞∑

m=0

xm+δX

(n,δ)m (δ = 0, 1) , (10)

где

X(n,0)0

= X(n,1)0

= E, X(n,0)1

= O,

X(n,1)1

=

−h/2 nh (c11 + c12)/(4c11) kh (c13 + c44)/(2c11)

−nh (c11 + c12)/(4c66) −h/2 0

−kh (c13 + c44)/(2c44) 0 −h/2

,

X(n,δ)m =

4∑

j=1

A(n,δ)m,j X

(n,δ)m−j +

3∑

j=0

A(n,δ)m,5+jX

(n,δ)m−q−j +

2∑

j=0

A(n,δ)m,9+jX

(n,δ)m−2q−j

(m = 2, 3, ...) .

Тогда общее решение уравнений (8) с использованием базисных решений (10)записывается в виде

u(n)r (x)

u(n)

θ (x)

u(n)z (x)

= U(n,0) (x)

p1

p2

p3

+U

(n,1) (x)

p4

p5

p6

, (11)

где pj(

j = 1, 6)

– произвольные постоянные. Выше использованы обозна-чения для квадратных матричных объектов размерности 3: E – единичная

матрица; O – нулевая матрица; X(n,δ)j = O

(

j = −max(2, 2q),−1)

; A(n,δ)m,j

(

m = 2,∞; j = 1, 11;)

– матрицы, ненулевые элементы которых имеют сле-дующий вид:

[

A(n,δ)m,1

]

1,1=

[

A(n,δ)m,1

]

2,2=

[

A(n,δ)m,1

]

3,3= −h (2m+ 2δ − 3)/(m+ δ),

138


[

A(n,δ)m,1

]

1,2= nh (c11 + c12)/(2 (m+ δ) c11),

[

A(n,δ)m,1

]

2,1= −nh (c11 + c12)/(2 (m+ δ) c66),

[

A(n,δ)m,1

]

1,3= kh (c13 + c44)/((m+ δ) c11),

[

A(n,δ)m,1

]

3,1= −kh (c13 + c44)/((m+ δ) c44),

[

A(n,δ)m,2

]

1,1= −h2

(

(m+ δ − 3) (m+ δ − 1) c11 +Ω2 − k2c44 − n2c66)

/

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c11),[

A(n,δ)m,2

]

2,2= −h2

(

(m+ δ − 3) (m+ δ − 1) c66 +Ω2 − k2c44 − n2c11)

/

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c66),[

A(n,δ)m,2

]

3,3= −h2

(

(m+ δ − 2)2c44 +Ω2 − k2c33 − n2c44

)

/

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),[

A(n,δ)m,2

]

1,2= nh2 ((m+ δ − 3) (c11 + c12)− 4c66)/

/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),[

A(n,δ)m,2

]

2,1= −nh2 ((m+ δ − 1) (c11 + c12) + 4c66)/

/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c66),[

A(n,δ)m,2

]

1,3= 2kh2 (m+ δ − 2) (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,2

]

3,1= −kh2 (2m+ 2δ − 3) (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,2

]

2,3= knh2 (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c66),

[

A(n,δ)m,2

]

3,2= knh2 (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,3

]

1,1= −2h3

(

Ω2 − k2c44)

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,3

]

2,2= −2h3

(

Ω2 − k2c44)

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c66),

[

A(n,δ)m,3

]

3,3= −2h3

(

Ω2 − k2c33)

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,3

]

1,3= kh3 (m+ δ − 3) (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

139


[

A(n,δ)m,3

]

3,1= −kh3 (m+ δ − 2) (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,3

]

2,3= knh3 (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c66),

[

A(n,δ)m,3

]

3,2= knh3 (c13 + c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,4

]

1,1= −h4

(

Ω2 − k2c44)

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,4

]

2,2= −h4

(

Ω2 − k2c44)

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c66),

[

A(n,δ)m,4

]

3,3= −h4

(

Ω2 − k2c33)

/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,5

]

1,1=

[

A(n,δ)m,5

]

2,2=

[

A(n,δ)m,5

]

3,3=

= −λq (q − 1)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1)),[

A(n,δ)m,6

]

1,1= λqh ((2q − 1) c11 − 2c12)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,6

]

2,2= λqh (2q + 1)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1)),

[

A(n,δ)m,6

]

3,3= λqh (2q − 1)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1)),

[

A(n,δ)m,6

]

1,2= −λqkh (c11 − 3c12)/(4 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,6

]

2,1= −λqkh (c11 − 3c12)/(4 (m+ δ) (m+ δ − 1) c66),

[

A(n,δ)m,6

]

1,3= λqkh (c13 − c44)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,6

]

3,1= λqkh (c13 − c44)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,7

]

1,1= λqh2 (qc11 − 2c12)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,7

]

2,2= λqh2 (q + 2)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1)),

[

A(n,δ)m,7

]

3,3= λq2h2/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1)),

[

A(n,δ)m,7

]

1,2= −λqnh2 (c11 − 3c12)/(4 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,7

]

2,1= −λqnh2 (c11 − 3c12)/(4 (m+ δ) (m+ δ − 1) c66),

140


[

A(n,δ)m,7

]

1,3= λqkh2 (c13 − c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,7

]

3,1= λqkh2 (c13 − c44)/((m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,8

]

1,3= λqkh3 (c13 − c44)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c11),

[

A(n,δ)m,8

]

3,1= λqkh3 (c13 − c44)/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1) c44),

[

A(n,δ)m,9

]

1,1=

[

A(n,δ)m,9

]

2,2=

[

A(n,δ)m,9

]

3,3= λ2q2/(4 (m+ δ) (m+ δ − 1)),

[

A(n,δ)m,10

]

1,1=

[

A(n,δ)m,10

]

2,2=

[

A(n,δ)m,10

]

3,3= λ2q2h/(2 (m+ δ) (m+ δ − 1)),

[

A(n,δ)m,11

]

1,1=

[

A(n,δ)m,11

]

2,2=

[

A(n,δ)m,11

]

3,3= λ2q2h2/(4 (m+ δ) (m+ δ − 1)).

По аналогии с (7) вводятся представления

σj (r, θ, z, t) = σ(n)j (r) exp (fλ,q (r)/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz)

(j = rr, θθ, zz, θz) ,

σj (r, θ, z, t) = iσ(n)j (r) exp (fλ,q (r)/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz)

(j = rθ, rz) ,

(12)

и на основании (2), (3), (7), (10), (11) с учетом замены переменных r = hx+1определяются два базисных матричных решения:

S(n,δ) (x) =

∞∑

m=0

xm+δQ

(n,δ)m (x)X(n,δ)

m (δ = 0, 1) (13)

для представления амплитудных составляющих компонент безразмерноготензора напряжений

[

σ(n)rr (x) , σ

(n)

θθ (x) , σ(n)zz (x) , σ

(n)

θz (x) , σ(n)rz (x) , σ

(n)

rθ (x)]T

=

= S(n,0) (x)

p1p2p3

+ S(n,1) (x)

p4p5p6

.(14)

В (13) Q(n,δ)m (x) – матричные функции размерности 6× 3, элементы которых

имеют вид

[

Q(n,δ)m (x)

]

1,1=

(

(m+ δ)/x − λqxq−1/2)

c11/h + c12/(hx+ 1),

141


[

Q(n,δ)m (x)

]

1,2= −nc12/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

1,3= −kc13,

[

Q(n,δ)m (x)

]

2,1=

(

(m+ δ)/x − λqxq−1/2)

c12/h + c11/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

2,2= −nc11/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

2,3= −kc13,

[

Q(n,δ)m (x)

]

3,1=

(

(m+ δ)/x − λqxq−1/2)

c13/h + c13/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

3,2= −nc13/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

3,3= −kc33,

[

Q(n,δ)m (x)

]

4,1= 0,

[

Q(n,δ)m (x)

]

4,2= −kc44,

[

Q(n,δ)m (x)

]

4,3= −nc44/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

5,1= kc44,

[

Q(n,δ)m (x)

]

5,2= 0,

[

Q(n,δ)m (x)

]

5,3=

(

(m+ δ)/x − λqxq−1/2)

c44/h,

[

Q(n,δ)m (x)

]

6,1= nc66/(hx+ 1),

[

Q(n,δ)m (x)

]

6,3= 0,

[

Q(n,δ)m (x)

]

6,2=

(

(m+ δ)/x − λqxq−1/2)

c66/h − c66/(hx+ 1).

Специальный вид комплексных представлений для функций нормирован-ных упругих перемещений в форме (7) обуславливает при m → ∞ спра-ведливость оценок∥

∥

∥A

(n,δ)m,j

∥

∥

∥≤ κj

(

j = 1, 2)

,∥

∥

∥A

(n,δ)m,3

∥

∥

∥≤ κ3/m,

∥

∥

∥A

(n,δ)m,j

∥

∥

∥≤ κj/m

2(

j = 4, 11)

,

непосредственным следствием которых является заключение об абсолютнойи равномерной сходимости разложений (10), (13) на отрезке x ∈ [−1, 1].

Для амплитудных составляющих компонент безразмерного тензора на-пряжений на площадках цилиндрических граничных поверхностей волноводавводится представление

σ(n)rr (x)

σ(n)

rθ (x)

σ(n)rz (x)

= S(n,0)

(cyl)(x)

p1

p2

p3

+ S

(n,1)

(cyl)(x)

p4

p5

p6

, (15)

где S(n,δ)

(cyl)(x) – квадратные матричные функции размерности 3, составленные

из соответствующих строк базисных матричных решений S(n,δ) (x). Подста-

новка представлений (11) или (15) в граничные условия соответственно (4)

142


или (5) приводит к однородной системе линейных алгебраических уравненийшестого порядка относительно произвольных постоянных pj

(

j = 1, 6)

, по-рождающей искомые дисперсионные уравнения, соответственно, для жесткозакрепленных

FU (Ω, k) = det

U(n,0) (−1) U

(n,1) (−1)

U(n,0) (1) U

(n,1) (1)

= 0

и свободных

FS (Ω, k) = det

S(n,0)

(cyl)(−1) S

(n,1)

(cyl)(−1)

S(n,0)

(cyl)(1) S

(n,1)

(cyl)(1)

= 0

граничных поверхностей цилиндра.

3. Анализ результатов численного эксперимента. При числен-ном исследовании факторов влияния параметров радиальной неоднородно-сти (λ, q) и значений окружного волнового числа n на топологическую кар-тину спектра бегущих нормальных волн в качестве базового радиально одно-родного (λ, q) = (0, 0) был выбран конкретный трансверсально-изотропныйматериал цилиндра Zn

(

c∗ = 1010 Н/м2)

c11 = 16, 35; c12 = 2, 64; c13 = 5, 17; c33 = 5, 31; c44 = 3, 78; ρ = 7134кг/м3

.

Расчет фрагментов спектров бегущих нормальных волн в полом свободномцилиндре проводился для окружного волнового числа n = 1 в диапазонахизменения нормализованной частоты ω a/ct ∈ [0; 20] и нормализованного про-дольного волнового числа k a ∈ [0; 30] (a = R∗) для случаев однородного инеоднородного (λ, q) ∈ (ln (2) , 6) , (− ln (2) , 6) , (ln (2) , 7) материала цилин-дра нормированной толщины 2h = 0, 4 со свободными граничными поверх-ностями. На рис. 1 и рис. 2 представлены спектры распространяющихся нор-мальных волн для неоднородных волноводов с параметрами, соответственно,(λ, q) = (ln (2) , 6) и (λ, q) = (− ln (2) , 6).

Нормирующий параметр ct с размерностью скорости для всех рисунковпредставленного исследования имеет фиксированное значение, определяемоеиз условия равенства единице низшей ненулевой нормализованной критиче-ской частоты (мода с порядковым номером в спектре 2) в случае однородного

волновода(

Ω(2)

0,0 (0) ≈ 1.956596)

. Сравнительный анализ спектров для рас-смотренных параметров неоднородности материала показывает относитель-ную стабильность общей качественной топологической картины мод распро-страняющихся волн, при этом отмечается локальное количественное влия-ние на характер поведения отдельных мод. Для анализа указанных коли-чественных различий используется функция сравнения парных по номеру в

143


Рис. 1. Дисперсионный спектр длянеоднородного свободного цилиндра(λ, q) = (ln (2) , 6) при n = 1, h = 0.2.

Рис. 2. Дисперсионный спектр длянеоднородного свободного цилиндра(λ, q) = (− ln (2) , 6) при n = 1, h = 0.2.

соответствующих спектрах мод ∆Ω(k) = (ωλ,q (k)− ω0,0 (k)) a/ct. Резуль-таты для участвующих в сравнении пар волноводов однородный – неодно-родный цилиндр представлены для пяти низших мод, порядковый номер со-поставляемых мод визуализировался своим типом линии. Ниже приведенырезультаты сравнений для пар волноводов, когда неоднородный материал всоответствующей паре задавался параметрами (λ, q) = (ln (2) , 6) (рис. 3) и(λ, q) = (ln (2) , 7) (рис. 4).

Рис. 3. Сравнительный анализдисперсионных спектров дляоднородного и неоднородного(λ, q) = (ln (2) , 6) цилиндров.

Рис. 4. Сравнительный анализдисперсионных спектров дляоднородного и неоднородного(λ, q) = (ln (2) , 7) цилиндров.

В качестве основных результатов отмечается, что неоднородность вида(λ, q) = (± ln (2) , 6) практически не сказывается на поведении трех низшихмод в длинноволновом диапазоне k a ∈ [0; 2], в то время, как на старшие модывлияние существенным образом сказывается на всем исследованном диапа-зоне волнового числа. При этом отмеченное влияние проявляется, в первую

144


очередь, в системном смещении указанных мод в область меньших частот(λ, q) = (ln (2) , 6) и, соответственно, больших частот (λ, q) = (− ln (2) , 6).Влияние неоднородности вида (λ, q) = (ln (2) , 7) выявлено в гораздо мень-шей степени, преимущественно для двух низших мод и только, начиная сk a > 14. На рис. 5 и рис. 6 представлены графики нормализованных фа-зовых скоростей бегущих нормальных волн в цилиндрах, материал кото-рых имеет параметры неоднородности, соответственно, (λ, q) = (ln (2) , 6) и(λ, q) = (− ln (2) , 6).

Рис. 5. Расчет фазовых скоростей длянеоднородного свободного цилиндра(λ, q) = (ln (2) , 6) при n = 1, h = 0.2.

Рис. 6. Расчет фазовых скоростей длянеоднородного свободного цилиндра(λ, q) = (− ln (2) , 6) при n = 1, h = 0.2.

Наибольшее влияние радиальной неоднородности на картину распреде-ления фазовых скоростей выявлено в случаях (λ, q) = (± ln (2) , 6) для мод,начиная с четвертой, в то время, как для случая неоднородности (λ, q) == (ln (2) , 7) в исследованной области частот визуальных различий с картинойраспределения фазовых скоростей для однородного цилиндра не наблюда-лось. На рис. 7 и рис. 8 представлены графики нормализованных групповыхскоростей бегущих нормальных волн в цилиндрах, материал которых имеетпараметры (λ, q) = (ln (2) , 6) и (λ, q) = (− ln (2) , 6) соответственно.

Наибольшее влияние неоднородности материала волновода проявилосьна распределении групповых скоростей мод на участках существования об-ратной волны именно для представленных типов неоднородности. Так, дляшестой моды область отрицательных значений групповой скорости при лока-лизованном увеличении физико-механических параметров материала цилин-дра к его граничным поверхностям (рис. 7) сместилась в сторону уменьше-ния частоты с одновременным увеличением абсолютных значений групповойскорости, в то время, как локализованное уменьшение физико-механических

145


Рис. 7. Расчет групповых скоростей длянеоднородного свободного цилиндра(λ, q) = (ln (2) , 6) при n = 1, h = 0.2.

Рис. 8. Расчет групповых скоростей длянеоднородного свободного цилиндра(λ, q) = (− ln (2) , 6) при n = 1, h = 0.2.

параметров материала цилиндра к его граничным поверхностям (рис. 8) при-вело к обратному эффекту. Асимметричный относительно серединной по-верхности цилиндра характер радиальной неоднородности (λ, q) = (ln (2) , 7)практически не сказался на топологической картине распределения группо-вых скоростей в исследованном диапазоне частот.

Выводы. В форме абсолютно и равномерно сходящихся степенных ря-дов с определяемыми из явных рекуррентных соотношений матричными ко-эффициентами построено общее решение системы дифференциальных урав-нений математической модели, описывающей неосесимметричные нормаль-ные волны в протяженных полых цилиндрах концентрического кольцевогосечения с экспоненциально-степенной радиальной неоднородностью физико-механических параметров трансверсально-изотропного материала. Получе-ны дисперсионные уравнения, определяющие спектры указанных волн дляслучаев одновременно жестко закрепленных и свободных граничных поверх-ностей. Изучены эффекты влияния параметров радиальной неоднородностина топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповыхскоростей распространяющихся нормальных волн. Областями использованиярезультатов представленного исследования являются прочностные расчетыдеталей машин, технологии ультраакустической диагностики, акустоэлектро-ника.

1. Mirsky I. Wave propagation in transversely isotropic circular cylinders. Part I: Theory.Part II: Numerical Results // J. Acoust. Soc. Am. – 1965. – 37. – P. 1016–1026.

2. Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспоненциально-неоднородного транс-версально-изотропного цилиндра с закрепленными границами // Механика твердоготела. – 2014.– Вып. 44. – С. 132–139.

146


3. Моисеенко И.А., Моисеенко В.А. Спектры продольных волн в функционально-градиентных трансверсально-изотропных цилиндрах с жидкостным заполнением //Вестн. Донецк. национального ун-та. Сер. А: Естеств. науки. – 2016. – 2. – С. 17–28.

4. Шульга Н.А. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном поломцилиндре // Прикл. механика. – 1974. – 10, 9. – С. 14–18.

I.A. Moiseyenko

The spectra of non-axisymmetric normal elastic waves in functionally gradedtransversely isotropic hollow cylinders

The wave motion is described on the basis of a complete system of linear dynamical equationsof elasticity theory. The elastic modules and density of the cylinder material are taken as aexponentially-power function of the radial coordinate. The general solution of a system of dif-ferential equations of the model is constructed for an arbitrary wavenumber circular in the formof expansions of radial components of the solution in a uniformly and absolutely convergentmatrix series on generalized ring coordinate. Dispersion relations describing the harmonic spec-tra of non-axisymmetric normal waves for both cases of free or rigidly fixed boundary surfacesare obtained. The effect of radial non-homogeneity ratios on the topology of the dispersionspectrums, distribution of the phase and group velocities of normal propagating waves studied.

Keywords: FGMs; transversely isotropic; hollow cylinder; wave propagation; dispersion curves.

ГОУ ВПО “Донецкий национальный ун-т”

[email protected]


147

147

Юбилейные даты_______________________________________________________

Мария Ефимовна Лесина

(К 70-летию со дня рождения)

В 2016 г. исполнилось 70 лет со дня рождения известного ученого-механика, доктора физико-математических наук, профессора Марии Ефимовны Лесиной.

М.Е. Лесина родилась 5 декабря 1946 г. в Донецкой области. После окончания в 1964 г. с золотой медалью Донецкой школы 77 она поступила на физический факультет Донецкого государственного университета, который с отличием закончила в 1969 г. Дальнейшая трудовая жизнь Марии Ефимовны протекает в стенах Донецкого политехнического института (ныне Донецкий национальный технический университет). Здесь на кафедре высшей математики она прошла путь от ассистента (1969–1977) до доцента (1980–1994) и профессора (с 2005 г.). Мария Ефимовна училась в аспирантуре Института прикладной математики и механики АН УССР (1977–1979) и в докторантуре Донецкого политехнического института (1994–1996). В 1980 г. она защитила кандидатскую диссертацию, а в 1996 г. – докторскую. С 2010 г. М.Е. Лесина работает по совместительству ведущим научным сотрудником в Институте прикладной математики и механики.

148

Основные научные интересы М.Е. Лесиной лежат в области динамики систем твердых тел и механики гироскопических систем. Среди ее научных результатов необходимо отметить постановку задачи о влиянии на движение тела-носителя конструктивных несовершенств носимого тела, а также полученную ею новую форму уравнений движения двух твердых тел без априорных ограничений на распределение масс и достаточно общей структуре связей между этими телами. В задаче о стабилизации неустойчивого равновесия тела, имеющего неподвижную точку и несущего быстро вращающийся ротор, ею изучено движение носителя в окрестности рассматриваемого равновесного положения. М.Е. Лесиной поставлены и изучены две новые задачи аналитической динамики систем связанных взаимодействующих тел, которые являются математическими моделями гироприборов. Она получила решения задачи о движении гиросферы при различных уровнях идеализации конструкции, а также набор точных решений в задаче о пространственном движении по инерции системы гироскопов Лагранжа, соединенных упругим сферическим шарниром.

М.Е Лесина опубликовала более 100 научных работ, в том числе пять монографий. Под ее руководством выполнены две кандидатские диссертации.

Редколлегия сборника “Механика твердого тела”, коллеги и друзья сердечно поздравляют Марию Ефимовну Лесину с 70-летием и желают крепкого здоровья и новых творческих успехов.

ВЫПУСК МЕХАНИКА ТВЕРДОГОiamm.su › upload › iblock › 718 ›...

Documents