Исследовательская работа

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Автор: Цубикова Валерия Игоревна МБОУ СОШ № 45 г.Сургут 7 в класс

Руководитель: Гордеева Светлана Николаевна МБОУ СОШ № 45 г.Сургут учитель математики

Содержание

1. Введение. Историческая справка. 4 стр.

2. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать?

2.1. Теоретические основы о кругах Эйлера. 5стр.

2.2. Решение задач с помощью кругов Эйлера. 7 стр.

3. Зачем нужны круги Эйлера? 13 стр.

4. Заключение. 14 стр.

5. Литература. 15 стр.

6. Приложение. 16 стр.

2

Аннотация

Цель моей исследовательской работы:

1) Выявление задач, которые можно решать с помощью кругов Эйлера;

2) Научиться решать задачи, используя круги Эйлера;

Задачи исследования:

1) Изучить теоретические сведения по теме "Круги Эйлера";

2) Посмотреть применение "кругов Эйлера" в реальной жизни.

Объект исследования:

Задачи на множества различных элементов (чисел и других объектов)

Предмет исследования:

Множества и действия с ними.

Методы исследования:

1) Наблюдение;

2) Анализ решения готовых задач;

3) Решение задач, применяя арифметический метод и круги Эйлера;

4) Составление задач;

5) Анкетирование.

Гипотеза:

Применение кругов Эйлера позволяет решать задачи, которые обычным путём

разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими

неизвестными.

3

1. Введение. Историческая справка.

Леонард Эйлер ( 1707 - 1783 ) (Иллюстрация 1)

Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей

Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время

на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из

Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с

братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и

вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев.

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего

человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и

логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую

математику под руководством, первыми образцами которых явились классические

монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на

которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил

важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики,

астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в

которых трудился великий учёный.

Его называли идеальным математиком 18 века.

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились

круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал

тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн (Иллюстрация 2) —

британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот

приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях:

теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею

изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-

Венна».

4

Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе

изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Во многих учебниках математики множество всех действительных чисел

Эйлер изображено с помощью кругов, изображённых на рисунке (Иллюстрация 3) :

N - Множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество

рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.

2. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать?

2.1.Теоретические основы о кругах Эйлера.

Эйлеровы круги (круги Эйлера) — это принятый в логике способ

моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с

помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером (1707–1783).

Обозначение отношений между объемами понятий посредством кругов было

применено еще представителем афинской неоплатоновской школы —

Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля.

Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь

понятия. Объем же понятия отображает совокупность предметов того или иного

класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить

посредством точки, помещенной внутри круга, как это показано на рисунке

(Иллюстрация 4 а).

Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов,

изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, как это

сделано на рисунке (Иллюстрация 4б).

Такое именно отношение существует между объемами понятий «небесное

тело» (А) и «комета» (B). Объему понятия «небесное тело» соответствует больший

круг, а объему понятия «комета» — меньший круг. Это означает, что все кометы

являются небесными телами. Весь объем понятия «комета» входит в объем понятия

«небесное тело».

5

В тех случаях, когда объемы двух понятий совпадают только частично,

отношение между объемами таких понятий изображается посредством двух

перекрещивающихся кругов, как это показано на рисунке (иллюстрация 4в):

Такое именно отношение существует между объемом понятий «студент» и

«спортсмен». Некоторые (но не все) студенты являются спортсменами; некоторые

(но не все) спортсмены являются студентами. Незаштрихованная часть круга А

отображает ту часть объема понятия «студент», которая не совпадает с объемом

понятия «спортсмен»; незаштрихованная часть круга B отображает ту часть объема

понятия «спортсмен», которая не совпадает с объемом понятия «студент».

3аштрихованиая часть, являющаяся общей для обоих кругов, обозначает студентов,

являющихся спортсменами, и спортсменов, являющихся студентами.

Другой пример пересекающихся множеств. Пусть множество А – это ребята из

нашего класса, которые зарегистрированы в социальной сети ВКонтакте.ru и

множество В ребят, которые пользуются другой сетью – Facebook. Есть ребята,

которые пользуются одновременно двумя сетями – это множество А и В. Данное

множество образуется пересечением (общей частью) двух или более множеств.

Когда же ни один предмет, отображенный в объеме понятия A, не может

одновременно отображаться в объеме понятия B, то в таком случае отношение

между объемами понятий изображается посредством двух кругов, нарисованных

один вне другого. Ни одна точка, лежащая на поверхности одного круга, не может

оказаться на поверхности другого круга (Иллюстрация 4г).

Такое именно отношение существует, например, между понятиями

«тупоугольный треугольник» и «остроугольный треугольник». В объеме понятия

«тупоугольный треугольник» не отображается ни один остроугольный треугольник,

а в объеме понятия «остроугольный треугольник» не отображается ни один

тупоугольный треугольник.

Отношения между равнозначащими понятиями, объемы которых совпадают,

отображаются наглядно посредством одного круга, на поверхности которого

написаны две буквы, обозначающие два понятия, имеющие один и тот же объем

(Иллюстрация 4д).

6

Такое отношение существует, например, между понятиями "автор и

композитор песни "Пять причин" и исполнитель песни "Пять причин". Объемы этих

понятий одинаковы, в них отобразилось одно и то же известное лицо — российский

композитор и певец Игорь Николаев.

Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу

несколько видовых понятий, которые в таком случае называются соподчиненными.

Отношение между такими понятиями изображается наглядно посредством одного

большого круга и нескольких кругов меньшего размера, которые нарисованы на

поверхности большего круга (Иллюстрация 4ж).

Такое именно отношение существует между понятиями «скрипка», «флейта»,

«пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере подчинены одному

общему родовому понятию «музыкальные инструменты».

Круги, изображающие соподчиненные понятия, не должны касаться друг

друга и перекрещиваться, так как объемы соподчиненных понятий несовместимы; в

содержании соподчиненных понятий имеются, наряду с общими, различающие

признаки. Эта схема отображает общее, что характерно для отношения любых

соподчиненных понятий, взятых из различных областей знания. Это применимо к

понятиям: «дом», «сарай», «ангар», «театр», подчиненных понятию «постройка»; к

понятиям: «муха», «комар», «бабочка», «жук», «пчела», подчиненных понятию

«насекомое» и т. д.

2.2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением

кругов Эйлера на уроках математики.

Задача 1.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки.

Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не

увлекаются коллекционированием.

Решение.

7

В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится

больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды,

а именно тех, которые собирают и значки, и марки.

чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме

(Иллюстрация 5):

На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг З

изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М - школьников,

собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 - это

те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 - 16 = 7

человек, только марки собирает 35 - 16 = 19 человек. Всего марки и

значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 - 42 = 10 человек, не

увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле

круга.

Ответ: 10 человек.

Задача 2.

В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом.

Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?

Решение.

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера (Иллюстрация 6а). Этот рисунок

подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число

в каждую из образовавшихся на диаграмме частей (Иллюстрация 6б).

Только баскетболом занимается 15 - 10 = 5 мальчиков; только волейболом

занимается 15 - 9 = 6 мальчиков; в двух секциях занимается 15 - (5+6) = 4 человека.

Ответ: 4 человека.

Задача 3.

8

В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке круг С

изображает жильцов с собаками, круг К - жильцов с кошками. Сколько жильцов

имеют собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни

кошек, ни собак?

Решение.

Иллюстрация 7.

Собак имеют 15 + 8 = 23 человека; кошек 23 + 8 = 31 человек ; не имеют ни кошек,

ни собак 120 - (15 + 8 +23) = 94 человека.

Ответ: 94 человека.

Задача 4.

В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию а Москву, 52 хотят посетить

Большой театр, 30 - Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные

в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти а театр?

Решение.

Только большой театр посетят: 52-12=40 туристов;

только художественный театр посетят

30-12=18 туристов;

80-(40+18+12)=10 туристов не собираются идти в театр (Иллюстрация 8).

Ответ: 10 человек.

Задача 5:

При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78 человек есть планшет, у

85 - смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников

есть и планшет, и смартфон?

Решение.

9

Имеют планшеты и смартфоны

100 - 8 = 92ученика;

имеют только смартфон 92 - 78 = 14 учеников 6-х классов;

имеют только планшет 92 - 85 = 7 учеников;

имеют и планшет, и смартфон 92 - (14+7)=71 ученик (Иллюстрация 9).

Ответ: 71 ученик.

Задача 6.

На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром -

60 человек, с ветчиной - 40 человек, с сыром и колбасой - 30 человек, с колбасой и

ветчиной = 15 человек, с сыром и ветчиной - 25 человек, 5 человек взяли с собой все

три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки.

Сколько человек взяли с собой пирожки?

Решение. (Иллюстрация 10).

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера.

Сначала отметим 5 человек, которые взяли с собой все три вида бутербродов;

затем вычислим:

15 - 5 = 10 человек взяли 2 вида бутербродов с колбасой и ветчиной;

25 - 5 = 20 человек взяли два вида бутербродов с сыром и ветчиной;

30 - 5 = 25 человек взяли два вида бутербродов с сыром и колбасой;

50 - (10 + 5 + 25) = 10 человек взяли бутерброды только с колбасой;

60 - (25 + 5 + 20) = 10 человек взяли бутерброды только с сыром;

40 - (10 + 5 + 20) = 5 человек взяли бутерброды только с ветчиной.

Пирожки взяли 92 - (10 + 25 + 10 + 10 + 5 + 20 + 5) = 7 человек.

10

Ответ: 7 человек.

Задача 7.

Школа представила отчёт: "Всего в школе 60 шестиклассников, из них 37

отличников по математике, 33 - по русскому языку и 42 - по физкультуре. При этом

у 21 человека "пятёрки" и по математике и по русскому, у 23 - по математике и по

физкультуре, у 22 - по русскому и по физкультуре. При этом 20 человек учатся на

"отлично" по всем трём предметам. Верен ли отчёт школы?

Решение. (Иллюстрация 11).

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера.

Сначала отметим 20 человек, которые учатся на "отлично" по всем трём предметам.

Затем выясним, сколько человек имеет отличные оценки по двум предметам.

21 - 20 = 1 ученик имеет "пятёрки" по русскому и по математике;

22 - 20 = 2 ученика имеют " пятёрки" по русскому языку и физкультуре;

23 - 20 = 3 ученика имеют пятёрки по математике и физкультуре.

Далее выясним, сколько учеников имеют "пятёрки" только по одному из трёх

предметов.

37 - (3 +20 +1) = 13 учеников имеют отличные оценки только по математике;

33 - (1 + 20 + 2) = 10 учеников учатся на "отлично" по русскому языку;

42 - (3 + 20 +2) = 17 учеников имеют "пятёрки" по физкультуре.

Выясним, совпадает ли количество учеников - отличников с количеством

шестиклассников в школе.

13 + 1 + 10 +2 + 20 + 3 +17 = 66 учеников учатся на отлично.

66>60

11

Ответ: отчёт школы неверен.

Задача 8.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение. (Иллюстрация 12).1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек

пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуютсятолько метро и троллейбусом – (10 – х) человек, только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек, только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30, отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Задача 9.

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах,

созданных киностудией "Мельница". В частности, вопросы были о мультфильмах,

повествующих о приключениях трёх самых известных богатырей - Алёши

Поповича, Добрыни Никитича и Ильи Муромца.

Оказалось, что большинству из них нравятся "Три богатыря и Шамаханская

царица", "Три богатыря на дальних берегах" и "Три богатыря. Ход конём". В

анкетировании принимали участие 38 учеников. Мультфильм "Три богатыря на

дальних берегах, нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и "Три

12

богатыря. Ход конём", шестерым - "Три богатыря и Шамаханская царица. ", а один

ребенок одинаково любит все три мультфильма. У мультфильма "Три богатыря. Ход

конём" 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо

определить, скольким шестиклассникам нравится мультфильм "Три богатыря и

Шамаханская царица".

Решение. (Иллюстрация 13 )

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по

ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет

выглядеть так:(Иллюстрация 13а).

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма "Три богатыря. Ход конём" пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу: (Иллюстрация 13б)

Выходит, что (Иллюстрация 13в):

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только "Три богатыря на дальних берегах"

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят в последнее время смотрят только "Три богатыря: Ход конём"

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только "Три богатыря и Шамаханская царица" (Иллюстрация 13 г).

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

Ответ: 17 человек.

13

3. Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале работы.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:(Иллюстрация 14.)

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором: (Иллюстрация 15)

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия,

которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Например (Иллюстрация 16):

4. Заключение.

В результате работы над данной темой я изучила теоретический материал по

теме "Круги Эйлера" и пришла к следующим выводам:

1. Круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма

полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьных

14

уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии,

например.

2. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить

задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех

уравнений с тремя неизвестными. Таким образом, моя гипотеза подтвердилась.

Автор метода - ученый Леонард Эйлер, говорил о названных его именем схемах:

«круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Я согласна с его

словами. Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно

сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Литература.

1. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие

для учащихся 5 – 6 кл. Текст/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999.

2. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.Текст / А.В.

Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.

3. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для

учителей Текст/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского.

М.: МИРОС, 1993.

4. Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для

семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я.

Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.

5. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие

для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. –

95 с.: ил.

6. Математика: 6 класс: Дидакт. материалы для общеобразова. учеб.

заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.- М.: Дрофа, 1996.

7. Интернет-ресурс:

1) http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera;

2) http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html;

3) http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html;15

Приложение.

Иллюстрация 1. Иллюстрация 2.

Иллюстрация 3.

Иллюстрация 4.

4а) 4б) 4в)

4г) 4д) 4ж)

Иллюстрация 5.

16

Иллюстрация 6.

6а) 6б)

Иллюстрация 7. Иллюстрация 8.

17

Иллюстрация 9. Иллюстрация 10.

Иллюстрация 11. Иллюстрация 12.

Иллюстрация13.

а) б)

18

в) г)

Иллюстрация 14.

19

Иллюстрация 15.

Иллюстрация 16.

а) б)

20