М.Холл КОМБИНАТОРИКА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1970 Известный американский математик М. Холл уже знаком советскому

читателю по изданным в русском переводе книгам — «Теория групп» (ИЛ, 1962) и «Комбинаторный анализ» (ИЛ, 1963). Настоящая книга является наиболее полным изданием в области комбинаторного анализа. Она состоит из трех основных частей: проблемы перечисления, теоремы выбора и связанные с ними вопросы и проблемы существования и построения блок-схем. Книга написана на высоком научном уровне и освещает самые новейшие достижения в области комбинаторики.

Она доступна весьма широкому кругу читателей и, несомненно, заинтересует математикой различных специальностей.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 7 Глава 1. Перестановки и сочетания 9 1.1. Определения 9 1.2. Приложения к теории вероятностей 13 Задачи 16 Глава 2. Формулы обращения 18 2.1. Принцип включения и исключения. Обращение Мёбиуса 18 2.2. Частично упорядоченные множества и их функции Мёбиуса 26 Задачи 32 Глава 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения 33 3.1. Правила и свойства 33 3.2. Комбинаторные задачи 37 Задачи 42 Глава 4. Разбиения 45 4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства 45 4.2. Асимптотические свойства p (n) 59 Задачи 63 Глава 5. Системы различных представителей 64 5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига 64 Задачи 78 Глава 6. Теорема Рамсея 79 6.1. Формулировка и доказательство теоремы 79 6.2. Одно приложение теоремы Рамсея 81 Задачи 83 Глава 7. Некоторые экстремальные задачи 85 7.1. Задача о назначениях 85 7.2. Теорема Дилуорса 90 Задачи 94 Глава 8. Выпуклые пространства и линейное программирование 95

8.1. Выпуклые пространства. Выпуклые конусы и двойственные им пространства

95

8.2. Линейные неравенства 1028.3. Линейное программирование. Симплексный метод 110Глава 9. Графические методы. Последовательности де Брёйна 1289.1. Полные циклы 1289.2. Теоремы о графах 1309.3. Доказательство теоремы де Брёйна 134Глава 10. Блок-схемы 14010.1. Предварительное обсуждение 14010.2. Элементарные теоремы о блок-схемах 14410.3. Теорема Брука — Райзера — Човла 14910.4. Формулировка теоремы Хассе — Минковского. Приложения 155Глава 11. Разностные множества 16711.1. Примеры и определения 16711.2. Конечные поля 17211.3. Теорема Зингера 17811.4. Теорема о множителе 18311.5. Разностные множества в группах общего вида 18911.6. Некоторые семейства разностных множеств 196Глава 12. Конечные геометрии 23012.1. Основания 23012.2. Конечные геометрии как блок-схемы 23512.3. Конечные плоскости 23812.4. Некоторые типы конечных плоскостей 248Глава 13. Ортогональные латинские квадраты 26113.1. Ортогональность и ортогональные таблицы 26113.2. Основные теоремы 26313.3. Построение ортогональных квадратов. 26913.4. Опровержение предположения Эйлера 277Глава 14. Матрицы Адамара 28314.1. Конструкции Пэли 28314.2. Метод Уильямсона 29914.3. Три новых метода 305Глава 15. Общие методы построения блок-схем 30815.1. Методы построения 30815.2. Основные определения. Теоремы Ханани 30815.3. Прямые методы построения 31815.4. Системы троек 32715.5. Блок-схемы с k>3 343Глава 16. Теоремы о пополнении и вложении 34816.1. Метод Коннора 34816.2. Коположительные и вполне положительные квадратичные формы 36516.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности 378

16.4. Целые решения уравнений инцидентности 389Приложение I. Уравновешенные неполные блок-схемы с числом

повторений каждого элемента от 3 до 15 398

Приложение II. Матрицы Адамара типа Уильямсона 410Библиография 413Предметный указатель 419

Предметный указатель Автоморфизм блок-схемы 167 Адамара матрица 283 Аксиомы проективной геометрии 230 — — плоскости 238 Аффинное пространство 235 База 319 Базисная точка 169 Биномиальный коэффициент 10, 12 Блок 65 — критический 66 Блок-схема 140, 309 — дополнительная 347 — остаточная 144 — производная 143 — разрешимая 274 — с делимостью на группы 275 — связь с ортогональными

таблицами 275, 276 — симметричная 143 — уравновешенная относительно пар

элементов 271 — — неполная 140 — центрально разрешимая 312 — циклическая 168 де Брейна последовательности 128 де Брейна теорема 136 Брука теорема 190 Брука — Райзера теорема 241 Брука — Райзера — Човла теорема

149 Бхаттачария теорема 337 Веблена — Веддербёрна система 250 Веддербёрна теорема 234 Ведущий главный минор 159 m-вершина 131 Витта теорема 381

Включения и исключения принцип (метод) 18, 19

Вполне положительная квадратичная форма 367

Выделенные блоки 312 Выпуклая оболочка множества 81 Выпуклое множество 95 — пространство 95 — тело 81, 95 Выпуклый конус 97 Галуа поле 175 Гаусса — Якоби тождество 53 Гиперплоскость 96, 179, 234 Голоморф группы 198 Граничная гиперплоскость 96 Граф 129 2-граф 135 Групповое кольцо 191 — разностное множество 170 Гуда теорема 134 Дважды связанные блоки 356 Двойственное пространство 101 Двойственности теорема 105 Двойственные задачи линейного программирования 105, 110, 111 Двойственный граф 135 Дезарга теорема 231 Дезаргова плоскость 233 Диаграммы разбиения 48, 50 Дилуорса теорема 90 Дирихле производящая функция 43 Дзета-функция 29 Дополнение блок-схемы 347 Допустимость задачи линейного

программирования 105, 111 Евклидово пространство 95 Задача о беспорядках 19

— — встречах 20 — — гостях 24 — — кёнигсбергских мостах 133 — — назначениях 85, 108—109 — — супружеских парах 24 — — школьницах 335 Замыкание множества 96 Зингера теорема 179 Зингеровы разностные множества

196 Изоморфные блок-схемы 167 Инцидентности матрица 141 — отношение 230 — система 140 Йонсена теорема 388 Квадратичный вычет 155 — закон взаимности 156 — невычет 155 Кёнига теорема 72 Киркмана задача 335, 336 Класс разности 321 Конгруэнтность 381 Конечная геометрия 230 Конечное поле 172 Коннора метод 349 Конфигурация 231 Коположительная квадратичная

форма 367 — — — тест для проверки 378 Кососимметрического типа матрица

290 Лангранжа теорема 151 Латинский квадрат 74 — прямоугольник 73, 74 Лежандра символ 156 Линейное программирование 104,

105 Линейно упорядоченное множество

27 Линия в матрице 72 Локально конечное частично

упорядоченное множество 27 Макнейша теорема 263 Манна теорема 267

Матрица инцидентности 141 — кососимметрического типа 290 H-матрица см. Адамара матрица Мёбиуса функция 21 Множитель разностного множества

183, 184, 190 Модулярность 231 Недезаргова плоскость 233 Независимые элементы 91 Неприводимый полином 175 Несравнимые элементы 90 Нормализованная матрица Адамара

283 Норма точки 95 Общих представителей система 75 Опорная гиперплоскость 96 Опорное решение 119 Оптимальное назначение 85 Орбита 319 Ориентированный граф 129 Ортогональная таблица 262 Ортогональные векторы 262 — латинские квадраты 244 — матрицы 261 Осевое преобразование 115, 116 Оси правило выбора 120 Основное матричное соотношение

144 Остаточная блок-схема 144 Отделяющая гиперплоскость 96 Паппа теорема 231 Параллельное множество

трансверсалей 310 Параллельные блоки 243 Первообразный элемент 177 Перестановка 9, 10 Петля 129 Поле 172 Полиномиальный коэффициент 13 Полный цикл 128 Полуполе 254 Порядок конечной проективной

плоскости 241 Почти-поле 253

Представление квадратичной формы 381

Примитивный корень (первообразный элемент) 177

«Принцип ящиков» 174 Проективная геометрия 178, 230 Производная блок-схема 143 Производящая функция 33 — — экспоненциальная 34 Прямая сумма матриц 383 — — полей Галуа 227 Прямое произведение матриц 288 Путь 129 Равноблочная компонента 271 Разбиения целого числа 45, 48, 50 — — — арифметический свойства 56 Разбиения целого числа

производящая функция 49 Различных представителей система

64, 66 — — — алгоритм нахождения 70, 71 Размерность проективного

пространства 230 (v, k, λ)-разностное множество 168 Разностных множеств типы 196, 197 Разрешимая блок-схема 274 Райзера теорема 146 Рамсея теорема 79 Свободное множество блоков 271 Свойство «здоровой

наследственности» 334 — «нездоровой наследственности»

334 Связанные блоки 356 Связный граф 129 Символ норменного вычета

Гильберта 158 — Хассе 159 Симметричная блок-схема 143 Симплексный метод 110, 119 T -система (трансверсальная система)

309 Система троек 327 Скалярное произведение 100

Смешанная разность 321 Сопряженные разбиения 48 Сочетание 9, 11 Сравнимые элементы 90 Стирлинга числа второго рода 42 — — первого рода 42 Строго зависимое подмножество 93 Структурная матрица St 352 Тактическая конфигурация 140 Тернар 249 Тернарная операция 249 Трансверсальная система 309 Уильямсона метод 299 Уравновешенная неполная блок-

схема 140 Условие С 65, 69 Фаркаша теорема 102 Ферма теорема о классах вычетов 174 Фибоначчи числа 42 Фишера неравенство 144 Формула обращения Мёбиуса 22 Ханани теорема 337 Характер 289 Характеристическая матрица блоков

350 Характеристический полином

рекуррентного соотношения 35, 37

Хассе символ 159 Хассе—Минковского теорема 160 Холла системы 251 Холла Ф. теорема 65 Хорна форма 376 Центр блок-схемы 312 Центральная разрешимость блок-

схем 312 Цепь 26 Цикл 128, 129 Циклическая блок-схема 168 Циклические последовательности 22 Циклическое разностное множество

168

Частично упорядоченное множество 26

Чистая разность 321 Штейнера система троек 328 — — — метод построения Мура 330 Эйлера предположение 265, 277 Эйлера теорема 131 — — обобщение см. Гуда теорема

Эйлера тождество 50 Эквивалентность матриц Адамара

283 — ортогональных таблиц 263 Экстремальная точка 96 — — выпуклого конуса 97 Якоби тождество 55