ڪخ ۜڬۀۓ ے۟ڔت ۂ۟دزۓ -...
TRANSCRIPT
1
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
2
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
3
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
OFمی دانیم طول است . F نقطۀ O به نقطۀ dنزدیک ترین نقطۀ خط R دیگر از خط هر نقطۀوdه است و خارج دایر
مطالب فوق فاصله ی آن ها از مرکز دایره بیشتر از شعاع دایره است . قسمت )پ( با توجه به
وجود Mقطع نکند پس نقطه ی دیگری مانند Fقطع می کند.اگر فرض کنیم که در F در نقطۀ
dروی خط Nنقطه ی دیگری مانند پای عمود است.Mعمود است.و dبر خط OM د که دار
FMقرار دارد و Fو Nبین Mهست که MN: در نتیجه
Fپس خط مماس در نقطۀ بر دایره تناقض دارد. dنیز روی دایره است و این با فرض مماس بودن خط Nبنا براین نقطه ی
عمود است.OFبر
این خط مماس بر دایره می باشد. عمود می شود رسم کنیم .OFبر Fبا توجه به مطلب فوق کافی است خطی را که در نقطۀ
OMباشد چون dروی خط Fی غیر از نقطۀ دیگر Mفرض کنیم OF در نتیجه
فقط یک نقطه مشترک دارد. Cبا دایرۀ dاست . بنا براین خط Cبرون دایره Mنقطۀ
بر دایره مماس است. dدر نتیجه خط
FM MN
ˆ ˆM M OM N OM F ON OF R
OM OM
1 2
4
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
AB
BB
A
AA
B
1 11 1
6 236 2 2 3
636 2 1 3
1طول کمان قطاع یک درجه 36
r2ره است یعنی محیط دای 36در نتیجه طول کمان نظیر قطاع . درجهr
L18
است
1مساحت قطاع یک درجه 36
r2مساحت دایره است یعنی
36 در نتیجه مساحت قطاع . درجهr
A2
36
.است
طول
طول
طول
طول
3
23
6
6
5
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
ABفرض : CD : حکمAB CD
AB CD O O
OA OC R OAB OCD AB CD
OB OD R
1 2
ABفرض : CD : حکمAB CD
CDفرض: AB :حکمAH BH , AD BD
OA OB RAH BH
H H OA H OBHO O AD BD
OH OH
1 21 2
9
AHفرض: BH :حکمAD BD وCD AB
ADفرض: BD :حکمAH BHوCD AB
عمودمنصف وتر دایره از مرکز دایره می گذرد.نتیجه :
بنامیم کافی است این دو نقطه را به هم وصل کنیم Hو وسط وتر را Mاگر وسط کمان را
.قطر عمود بر این وتر است MN 5و 4.با توجه به قطع کند N در نقطۀ امتداد دهیم تا دایره را Hسمتو از
اجزای نظیر ض زض
AB CD
OA OC R OAB OCD O O AB CD
OB OD R
1 2
ای نظیراجز ض ض ض
اجزای نظیر وتر و یک ضلع قائمه زاویه مرکزی
اجزای نظیر ض ض ض
زاویه مرکزی
زاویه مرکزی اجزای نظیر ض ز ض
OA OB R
H HAD BD O O OA H OBH
AH BHOH OH
1 21 29
OA OB RH H
AH BH OAH OBHO O AD BDOH OH
1 2
1 2
9
6
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
OA BOB DODB ODB2
7
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
.با هم برابر هستند این دو زاویه بنا بر قضیه خطوط موازی
پس بایکدیگر برابرند. ،دو کمان روبه رو به زوایای محاطی برابر هستنداین
EG FHEG FH EHG FEH
2 2
باهم موازی هستندبنا بر عکس قضیه خطوط موازی
زاویه محاطی
8
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
CF AD و AE مورب بنا بر قضیه خطوط موازیˆ ˆDAE FCE
FCEˆیعنی محاطی است پس نصف کمان مقابل استFCEˆزاویه EF12
.
FCEˆباتوجه به شکل EF (DE BC)1 12 2
BC( می دانیم 1بنا بر فعالیت قبل بند ) DF
ˆپس داریم : ˆDAE FCE EF (DE BC) (DE BC)1 1 12 2 2
BF DC و BE مورب بنا بر قضیه خطوط موازیˆ ˆDAE FBE
FBEˆمحاطی است پس نصف کمان مقابل است یعنی FBEˆزاویه EF12
.
FBEˆباتوجه به شکل: EF (FD DE)1 12 2
BC( می دانیم: 1بنا بر فعالیت قبل بند ) DF
ˆپس داریم : ˆDAE FBE EF (FD DE) (BC DE)1 1 12 2 2
9
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
ثابت می شود که کمان های محصور بین یک مماس و وتر موازی در یک دایره باهم برابرند.
MACدر شکل مقابل بنا بر قضیه خطوط موازی BCA:
MAC ACBMAC AC
AC AB AC AB
ACB AB
11 122 21
2
AMBبنا برقضیه خطوط موازی راه اول : EBF
AE ADBEB ACB AE ACB ADBAMB EBF AMB EBF
2 2 2
خارجی است پس : EBAˆزاویه AMBوصل می کنیم . در مثلث Bبه A از نقطه یراه دوم :
(ACB ADB)ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆEBA MAB M M EBA MAB M ACB ADB M
1 12 2 2
CMBبنا برقضیه خطوط موازی راه اول : EBF
CE ABEB BC CE BC ABCMB EBF CMB EBF
2 2 2
خارجی است پس : BACˆزاویه AMBوصل می کنیم . در مثلث Bبه A از نقطه یراه دوم :
(BC AB)ˆ ˆ ˆ ˆBAC MBA M M BAC MBA M BC AB M1 12 2 2
y xM y x
y xN y x
y xy y x
y x
2 312
2 912
622 244 122 6
182
ظلی ظلی
یظل محاطی
ظلی
محاطی
11
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
(y z t) x(y z t) x
(y x t) z(y x t) z
y z t x(y t) y t
y x t z
y tˆ ˆA A
7 142
8 182
143 2 15
16
15 752 2
(x x) x
x x
CD x CD
75 15 3 52
18 2 18 1 8
AC BD AD BC
ACB ADB
ACB BC ADB AD AC BD AC BD
18
متساوی الساقین هستند.OABوOAMبا توجه به فرض مسئله، مثلث های
2 داریم: OBMدر مثلث 3
متساوی االضالع است . و برای پیدا کردن فاصله ی وتر از مرکز باید از OAB می دانیم که مثلث
را به دست آوریم. قطر عمود بر وتر ، آن OHبر وتر عمود کنیم سپس طول پاره خط O نقطه ی
AHوتر را نصف می کند بنا بر این 5 پس در مثلث قائم الزاویۀOAH : داریم
OH OA AH OH2 2 2 21 5 75 5 3
11
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
OH OH حکم:AB CD فرض:
( )
( ) OH
OH
O BH : H BH R OH
OCH : H CH R OH
AB CDAB CD BH CH BH CH
R OH R OH OH O
AB
H OH OH OH
CDOB OC R , BH H )
O
, C (
H
1
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 21 2
9
9
12
2
2
2
AB CD حکم: OH OHفرض:
( ) BH ( )
CH
OBH : H OH R BH
OCH : H OH R CH
OH OH R BH R CH
BH CH BH CH BH CH AB C
OB OC R , BH AB , CH CD ( )
D
2 2 2
2 2 2
2
1 1
2 2 2
2 2 2 2
2 2
9
9
1
تشابه برابری دو زاویه متشابه هستند. 1این دو مثلث بر قضیه
R
R
ˆ ˆM M
A M D CM BABˆ ˆD B
1 2
2
12
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
تشابه برابری دو زاویه متشابه هستند. 1 این دو مثلث بر قضیه
تشابه برابری دو زاویه متشابه هستند. 1این دو مثلث بر قضیه
ATˆMTAˆ ˆMTA TBM
ATˆTBM
2
2
ˆ ˆM M
A M D CM BBDˆ ˆA C2
ظلی
محاطی
ˆ ˆM MMTB MAT
ˆ ˆMTA TBM
13
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
OTبر دایره مماس است پس Tدر نقطۀ d با توجه به کادر فوق چون طبق فرض خط d در نتیجه مثلثOMT در
قائم الزاویه است . Tرأس
اندازۀ در هر مثلث قائم الزاویه »است .OMTمیانه ی مثلث قائم الزاویه TNباشد در نتیجه OMوسط پاره خط Nاگر
MN. بنا براین کتاب هندسه دهم( 06) صفحه .«وتر استاندازۀ وارد بر وتر نصف میانۀ NO TN .
ˆMTO:T MT OM OT MT d R2 2 2 2 29
MTˆو MTOˆزاویه های O محاطی روبه رو به قطر هستند بنا براین اندازه ی هرکدام
9 پاره خط های بر نقطۀ تماس س شعاع است . پ MT وMT عمود است.
بر دایره مماس هستند. MTو MT درنتیجه
به حالت وتر و یک ضلع زاویه قائمه باهم همنهشتOMTو OMTدو مثلث
MTهستند. و بنا براجزای متناظر MT .
هستند. و بنا براجزای متناظر به حالت وتر و یک ضلع زاویه قائمه باهم همنهشتOMTو OMTدو مثلث راه اول :
ˆ ˆOMT OMT .
روی نیمساز O به یک فاصله است پس بنا بر خاصیت نیمساز زاویه نقطۀ TMTاویه از دوضلع ز Oفاصلۀ نقطۀ راه دوم :
است.TMTنیمساز زاویه MOاین زاویه است. یعنی نیم خط
14
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
15
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
Oو OTشعاع های T بر خط m در نقاطTو T
Oعمودند. و چون H موازی خطm است پس بنا بر
Tˆقضیه خطوط موازی O 9 وˆ ˆT H 9
TTبنا بر این چهار ضلعی OH . چهار زاویه قائمه دارد پس مستطیل است
OO d وOT R وO T R و با توجه به بند الفOH TT
O H TT
OT R ,O T R
ˆOO H : H O H OH OO O H OO OH
O H d (OT OT ) TT d (R R )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
9
نیمساز OMالس قبل یکدیگر را قطع کنند. با توجه به بند )ب ( کار در ک Mفرض کنیم این دو مماس مشرک در نقطه ی
بر هم OMو OMاست و چون هر زاویه یک نیمساز دارد در نتیجه Mهم نیمساز زاویه OMاست . همچنین Mزاویه
قرار دارد. OOمنطبق هستند در نتیجه نقطۀ تقاطع مماس ها روی خط
Oپاره خط H . بر این دایره مماس است
16
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
قطع کند. سپس از این نقطه خطی موازی Tرا در نقطۀ (C)رۀ وصل می کنیم و امتداد می دهیم تا دای Hبه Oاز نقطۀ
O H رسم می کنیم. این خط در نقطۀT بر دایرۀ(C ).مماس می شود
THOبا توجه به شکل چهارضلعی T مستطیل است پسTT OH همچنین .
TH OT R : و در نتیجه OH R R .
TT O H
OH R R ,OO dO O H: H O H OO OH TT d (R R )2 2 2 2 29
داریم: AOOا توجه به نامساوی مثلث در مثلث ب
OA OB R وO A O B R بنا بر خاصیت عمودمنصف نقاط O وO روی عمود منصفAB قرار دارد و چون
است.ABعمود منصف وتر مشترک OOعمود منصف هر پاره خط یکتا است در نتیجه پاره خط
d R RTT d (R R ) TT (R R ) (R R )
TT R R RR (R R RR ) R R RR R R RR
TT RR TT RR
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
4 2
( ) , ( )
OO R R ( )
R OO R OO R ROO R R OO R R OO ( )
R OO R R R OO
R R OO R R1 2
1
2
17
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
AM x
DM DM DMDM MC
MC DC
DM.MC AM.BM x( x) x x
(x )(x ) x , x
AM
MB
2
1 1 1 3 62 3 9 3
3 6 11 11 189 2 2 9
29
PA PB.PC ( ) x(x ) x x
(x )(x ) x , x
PB , PC
2 2 21 3 2 2 31 3 1 31 3
OB.OM ON.ON R(R ) (R )(R )
R R R R R R
MB RR R R
2 2
16 1 1
16 2 1 4 1 25
2 16 5 16 172 2 2
می دانیم که از هر نقطه خارج دایره طول مماس های 11با توجه به کار درکالس ص
باهم برابرند. بنابراین داریم : رسم شده
MT MT
MT MTMT MT MT MT MT
MT MT
MT MT
2
41 2 3 4
1
2
غ ق قباتوجه به شکل
غ ق ق
18
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
TT d (R R ) (R R )
TT d (R R ) (R R )
R RR R R
R R
2 2 2 2
2 2 2 2
63 64
15 64
12 8 4 3
7
درجه تشکیل یک دایره کامل می دهد بنا براین داریم : 12مجموع سه قطاع با زاویۀ
r r6 2 محیط یک دایرهr r r2 2 2 طول نخ
تشکیل یک نیم دایره می دهد بنا بر این داریم :درجه 6مجموع سه قطاع با زاویه
یه هاشور خوردهمساحت ناح ABCمساحت مثلث -نیم دایرهمساحت
r r( r) r r ( )
2 22 2 23 4 32 3
4 2 4 2 2
مساحت ناحیه هاشور خورده
OAبا توجه به شکل R وOA R : در نتیجه
OO R R
R R R R (R R )(R R )
(R R ) R R
R RR R , R
R R
2 2
2
2 216 16 16
2 16 8
82 1 5 3
2
O متساوی الساقین است که و OABمثلث 6 .پس این مثلث متساوی االضالع است
( Aدرجه =مساحت قسمت رنگی ) 6مساحت قطاع –OABثمساحت مثل
rA r A
223 16 86 4 3 4 3
36 4 36 3
12 12
12
r2
r2 r2
مساحت ناحیه محدود بین دودایره
19
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
عمود منصف ها ی همه ی ضلع ها ی آن در یک نقطه همرسند.حکم : چند ضلعی محاطی است . فرض :
باتوجه به تعریف چند ضلعی محاطی و فرض واضح است که فاصله ی همۀ رأس های چند ضلعی تا مرکز دایره به یک اندازه
ست ، ا) شعاع دایره ( به یک فاصله در نتیجه بنا برخاصیت عمود منصف فاصلۀ مرکز دایره از دوسر هر ضلع)شعاع دایره( است
) مرکز پس مرکز دایره روی عمود منصف این اضالع قرار دارد.در نتیجه عمود منصف ها ی همه ی ضلع ها ی آن در یک نقطه
همرسند.دایره (
ست . چند ضلعی محاطی احکم : عمود منصف ها ی همه ی ضلع ها ی چندضلعی در یک نقطه همرسند. فرض :
باتوجه به فرض و خاصیت عمود منصف همه ی رأس های چند ضلعی از نقطه ی همرسی عمود منصف ها به یک فاصله اند
این فاصله ی ثابت قرار داردند و بنا بر تعریف چند ضلعی و در نتیجه این نقاط بنا بر تعریف دایره ، روی دایره ای به شعاع
محاطی است .محاطی این چند ضلعی
21
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
شعاع های دایره اند.
باهم برابرند . زیرا شعاع نقطه تماس بر خط مماس عمود است .
مماسنقطۀ تماس بر خط در اضالع چند ضلعی بر دایره مماس هستند و می دانیم شعاعچند ضلعی محاطی ، بنا به تعریف
بنا برخاصیت .همگی با هم برابرند چند ضلعی هستند و این شعاع ها همان فاصله ی مرکز دایره از اضالع پس ، عمود است
داخلی چند ضلعی است به عبارتی مرکز دایره محل برخورد نیمساز نیمساز مرکز این دایره روی نیمساز هر یک از زاویه های
های داخلی چند ضلعی است.
OH :روی نیمساز زوایای داخلی است پس بنا بر خاصیت نیمساز ها O نقطۀ OH OH OH OH1 2 3 4
رسم می کنیم OHدایره ای به شعاع همگی بر اضالع عمود هستند. در نتیجه وقتی OH4و OH3وOH2و OH1همچنین
شعاع ها بر اضالع عمود هستند پس اضالع بر دایره در نقطۀ تماسشان عمودند یعنی دایره بر اضالع چندضلعی مماس است در
دایره محاطی است. بنا به تعریف نتیجه
H1H2
H3
H4
n n
n n
S r.A A r.A A r.A A r.A A .... r.A A
r(A A A A ... A A ) r P S rp
1 2 2 3 3 4 4 5 1
1 2 2 3 1
1 1 1 1 12 2 2 2 21 1 22 2
21
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
OTاست پس Aروی نیمساز زاویه Oۀ نقط OT (1)
OTاست پس Cروی نیمساز زاویۀخارجی Oنقطۀ OT (1)
OT( نتیجه می گیریم که : 1( و )1از ) OT پس نقطۀO روی نیمساز زاویۀ خارجیB
به یک فاصله است. ABو ACو خط های BCنیز هست . به عبارتی این نقطه از خط
T
22
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
نقطۀ همرسی عمود منصف های و مرکز دایره ی محیطی هر چندضلعی ند زیرا عمود منصف های اضالع یک مثلث همرس
اضالع است.
زیرا در هر مثلث هر زاویه خارجی از زاویه داخلی غیر مجاورش بزرگ تر است.
a b c a b c a2
S
p b
S
p c
18 18
23
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
IMاست پس Bروی نیمساز زاویۀ Iنقطۀ IN (1)
IPاست پس Cروی نیمساز زاویۀ Iنقطۀ IN(1)
IP( نتیجه می گیریم که :1( و )1از ) IN IM نقطۀ پسI از سه ضلعCD،BC
به یک فاصله است. ABو
زیرا این شعاع ها در نقاط اشتراک با دایره بر آن عمود هستند.
AB( همین قضیه نتیجه می گیریم : 1بنا بر بند ) محیطی است پس ABCEچهار ضلعی CE AE BC
AB CD AD BC
CD CE AD AE CD CE AE AD DE AE ADAB CE AE BC
DEداریم : ADEبنا بر نامساوی مثلثی در مثلث AE AD پس رابطه ی فوق امکان ندارد؛مگر این کهE همانD .باشد
24
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
ذوزنقه در حالت کلی محاطی نیست زیرا زوایای مقابل آن مکمل نیستند.
داریم: ذوزنقه متساوی الساقین باشد اما اگر
محاطی استABCDذوزنقه ˆ ˆC D
ˆ ˆA B
ˆ ˆ ˆˆA D A C
ˆ ˆ ˆ ˆA D B D
18 18
18 18
به شرط می تواند محیطی باشددر حالت کلی محیطی نسیت اما یک ذوزنقه
.آن که نیمساز های داخلی همرس باشند
مانند شکل مقابل:
آن قائمه باشند می تواند محاطی باشد.گر دو زاویه مقابل ت ولی انیسمحاطی در حالت کلی یک کایت
ˆ ˆB Dˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA B C D A C
1836 18
محاطی است. ABCDپس بنا برقضیه کایت
با هم برابرند.یطی است زیرا مجموع اضالع مقابل یک کایت حتما مح
EF EH
EF GH EH GFGH GF
زیرا : نیست ؛محاطی االضالع در حالت کلی یک متوازی
18زاویه های مقابل نمی توانند مساوی .باشند
ˆ ˆ ˆ ˆA C , B D18 18
ل دو به دو برابرند و مجموع آن ها با هم برابر نیست .زیرا اضالع مقاب نیست؛محیطی االضالع در حالت کلییک متوازی
ABبا توجه به شکل فوق : DC AD BC .
25
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
همیشه زاویه های مقابل زیرا مجموع است ؛ یک مستطیل محاطی
18برابر با .است
هاآن و مجموع مقابل برابرندزیرا اضالع نیستیک مستطیل محیطی
باهم برابر نیست.
ABبا توجه به شکل : DC AD BC
18زیرا مجموع زاویه های مقابل نیست ؛یک لوزی محاطی . نیست
زیرا مجموع اضالع مقابل باهم برابر هستند. لوزی محیطی است ؛یک
18را هم مجموع زاویه های مقابل زی یک مربع هم می تواند محیطی و هم محاطی باشد. است و هم مجموع اضالع مقابل
باهم برابر هستند.
دو مثلث به حالت )ض ض ض ( همنهشت هستند.
OBA OBC
ABC OBA OBC OBA
OAB OBA OBC OCB
2 2
BCD OCB OCD OCD OCD2
OC OC
BC DC OCD OCB OD OB
OCD OCB
OD OBOA OB OC OD
OA OB OC
اجزای نظیر
26
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
ذوزنقه محاطی است.حکم : ذوزنقه متساوی الساقین است. فرض :
محاطی استABCDذوزنقه ˆ ˆC D
ˆ ˆA B
ˆ ˆ ˆˆA D A C
ˆ ˆ ˆ ˆA D B D
18 18
18 18
است. ذوزنقه متساوی الساقینحکم : ذوزنقه محاطی است.فرض :
ˆ ˆAB DC , AD A D ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆA D A C D C A Bˆ ˆA C
18
18
در این ذوزنقه زاویه های مجاور به ساق برابرند درنتیجه ذوزنقه متساوی الساقین است .
محل برخورد عمود منصف های اضالع مثلث است و چون مثلث Oمرکز دایره ی محیطی نقطۀ
هاهم هست. بنا براین :محل برخورد میانه O متساوی االضالع است نقطۀ
راه اول :
ABC ABC ABC
OA R ROH OH AH R R
Ra R a a R
AH AC CH A
aAB BC AC a , BH C
H a
S
H
ACH : H
S a (R ) S R
2 2
22 2
32 2 2 2 3 3 3 3
2 2 332
3 3 334 4
2
9
34
)ض ز ض(این مثلث های به حالت از شش مثلث همنهشت ساخته شده است . ABCباتوجه به شکل مثلث راه دوم:
همنهشت هستند.
ق خطوط موازی ق زاویه های مکمل مورب
ABC OBH ABC ABC
R RBH R ( )
R RS S S S R
OBH : H 2 2
2
32 2
1 3 36 6 32 2 2 4
9
27
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
قطع کند: Dر نقطۀ دایرۀ محیطی را د BACفرض کنیم نیمساز زاویۀ
BAD CAD BD CD BD CD
به یک اندازه است پس بنا بر خاصیت عمود منصف Cو Bاز دونقطۀ Dفاصلۀ نقطۀ
قرار دارد.نیز BCروی عمود منصف پاره خط D نقطۀ
محاطی است پس متساوی الساقین است و و چون محیطی است ABCD چون ذوزنقۀ
cبا مجموع دو ضلع مقابل دیگر برابر است.در نتیجه: مجموع دو ضلع مقابل a b2
قائم الزاویه است. ADFمثلث و
ABC AD BCD
a b b ac a b c , b x a x
a b b a abh c x h ( ) ( ) h h ab
S ( S (ab) h aa b) b
2 2 2 2 2 2 2
2 22 2
42 2 4
12
12
aa
bb
cc
a b c
a b c
pS rp
r S
S p ar
p a r S
S p br
p b r S
S p cr
p c r S
p a p b p c p (a b c) p p p
r r r S S S S S S r
r r r r
1
1
1
1
1 1 1 3 3 2 1
1 1 1 1
مساوی ها و وترهایق کمان محاطی
28
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
AM AN
CM CP,BN BPa
AN c BNAM AN b c (BN CM)
AM b CM
AM b c (BP CP) b c a
AM p a AM AN p a
2
2 2 2
BP BN
AN AM , CP CMb
BN c ANBN BP a c (AN CP)
BP a CP
BN a c (AM CM) a c b
BN p b BN BP p b
2
2 2 2
CM CP
AN AM , BP BNc
CM b AMCM CP b a (AM BP)
CP a BP
CM b a (AN BN b a c
CM p c CM CP p c
2
2 2 2
AT AT
BT BQ,CT CQa
AT AT c BT b CT AT c b BQ CQ c b a p
AT p AT AT p
2 2
2 2
a aa
b bb a b c
c cc
a b c
S aS ah h
a h S
S b a b c a b c p pS bh h
b h S h h h S S S S S S r
S cS ch h
c h S
h h h r
1 2 12 21 2 1 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2 21 2 12 2
1 1 1 1
29
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
OD r
HD CD
HD HDˆOH D: H sin sinn r n r
CD r sinn
2
2
18 18 29 2
182
OM r
MB AB
MB MBˆOM B: M tan tann r n r
AB r tann
2
2
18 18 29 2
182
12هر زاویه داخلی شش ضلعی منتظم اندازه ست . بنا بر این زاویه های خارجیا
6 ریم کهیتوجه به شکل و مجموع زوایای داخلی هر مثلث نتیجه می گ . بات اس
ˆ ˆ ˆM N P 6 و در نتیجه مثلثMNP .متساوی الساقین است
قطر های شش ضلعی منتظم را رسم کنیم آن را به شش مثلث متساوی االضالع تقسیماگر
مثلث همنهشت ایجاد می شود . MNP ،9کنیم و در مثلث می
MAB
MNP MAB
S S
S S
6 6 29 9 3
فواصل هر نقطه درون مثلث متساوی االضالع مقداری ثابت است و این مقدار با وع مجم
ارتفاع مثلث برابر است: طول
TH TH TH MM
6
12
12
12
12
12
12
6
6
6 6
6 6 6 6
ضلعیشش
31
تهیه و تنظیم : عطیه تبریزی
TAF TDE TBC
TAF TDE TBC
h
TAF TDE TBC
M N P M N P
TAF TDE TBC
AF ED BC a
MN a
TAF TDE
MN
TB
P
C
S S S AF.TH DE.TH BC.TH
S S S a(TH TH TH) ah
S S S ah
S MN.h S a.h
ahS S S
S
S
a.h
S S
3
1 1 12 2 2
1 12 2
12
1 32 2
1232
MNPS
13
1مثل های آبی رنگ مساحت 3
2است ومساحت شش ضلعی MNPمساحت مثلث 3
مساحت مثلث MNPمساحت مثلث
2است پس مساحت مثلث های سفید هم برابر با های سفید و آبی برابر با مساحت شش ضلعی 1 13 3 3 است بنا براین
مساحت مثلث های آبی با مساحت مثلث های سفید برابر است.
TBC TDE TA TF AB TEF TCDS S S S SS
باهم برابرندپس مستطیل و قطر همدیگر را نصف می کنند ABCDچهار ضلعی ر د
نتیجه می گیریم که مربع است.چون قطر ها برهم عمودند و است
منصف هر ضلع نیمساز رأس مقابل نیز هست. پس:عمود
AM MB BQ QC CP
O O
PD DN NA
AM MB BQ QC CP P
O O O O O
DN NA
O
D
1 2 3 4 5 6 7 8 45