МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ ТА ЗВ’ЯЗКУ УКРАЇНИ

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна

Кафедра «Вища математика»

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Методичні вказівки і варіанти до виконання модульної роботи

Укладачі: Є. П. Кришко Є. А. Макаренков Н. Г. Наріус Г. А. Папанов В. І. Самарський

Для студентів І-го та ІІ-го курсу денної форми навчання усіх спеціальностей

Дніпропетровськ 2010

УДК 517.51(076.5)

Укладачі:

Є. П. Кришко, Є. А. Макаренков, Н. Г. Наріус, Г. А. Папанов, В. І. Самарський

Рецензенти:

канд. фіз.-мат. наук, доц. А. В. Сясєв (ДНУ) канд. фіз.-мат. наук, доц. З. М. Гасаноа (ДІІТ)

Функції багатьох змінних [Текст]: методичні вказівки і варіанти до вико-нання модульної роботи / уклад.: Є. П. Кришко, Є. А. Макаренков, Н. Г. На-ріус, Г. А. Папанов, В. І. Самарський; Дніпропетр. нац. ун-т залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. - Д.: Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, 2010. - 39 с.

Містять основний теоретичний матеріал із розділу вищої математики «Функції бага-

тьох змінних», велику кількість розв’язаних прикладів, 30 варіантів індивідуальних за-вдань.

Призначені для студентів І-го та ІІ-го курсів денної форми навчання усіх спеціальнос-тей.

Іл. 3.

© Кришко Є. П. та ін., укладання, 2010 © Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн.

трансп. ім. акад. В. Лазаряна, редагування, оригінал-макет, 2010

ВСТУП При застосуванні модульної системи навчання запропоновані методичні

рекомендації є модулем, який входить до системи модулів, в яких закладені основні розділи з дисципліни «Вища математика». Ці розділи (модулі) об’єднані за змістом із урахуванням відведених кредитів на вивчення усього курсу з вищої математики.

З метою контролю вивчення та опанування основ вищої математики ко-жен модуль є заліковим з обов’язковим оцінюванням якості засвоєння мате-ріалу студентами згідно прийнятої в університеті бальної системи.

Засобами діагностики успішності навчання є комплекти індивідуальних тестових завдань для складання контрольних заходів (залік, модульний конт-роль, екзамен).

І. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ. ОЗНАЧЕННЯ Нехай задано множину D упорядкованих пар чисел ( , )x y . Якщо кожній

парі чисел ( , )x y D∈ за певним законом відповідає число z , то кажуть, що на множині D визначено функцію z від двох змінних x та y , і записують її

( , )z f x y= . Змінну z називають залежною змінною (функцією), а змінні x та y - не-

залежними змінними (аргументами). Наведемо такі приклади: а) площу S прямокутника із сторонами a та b знаходять за формулою

S ab= . Кожній парі значень a і b відповідає єдине значення площі, тобто S - функція двох змінних: ( , )S f a b= ;

б) за законом Ома електрорушійна сила E , сила струму I та опір R за-мкнутого електричного кола пов’язані співвідношенням E IR= . Тут E є фу-нкцією змінних I та R : ( , )E f I R= .

Змінна величина u називається функцією n незалежних змінних 1x , 2x , …, nx , якщо кожній сукупності значень ( 1x , 2x , …, nx ) цих змінних з даної області їх зміни відповідає єдине значення величини u – 1 2( , ,..., )nu f x x x= .

ІІ. ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ Множину пар ( , )x y значень x та y , для яких функція ( , )z f x y= визна-

чена, називають областю визначення цієї функції і позначають ( )D f або D . Множину значень z позначають ( )E f або E . Областю визначення функції ( , )z f x y= є деяка множина точок ( , )x y

площини OXY . Графіком функції двох змінних є поверхня. Лінію, що обмежує область D , називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називаються внутрішніми. Область, яка містить тільки внутрішні точки, називають відкритою. Якщо ж до області визначення належать і всі точки межі, то така область

називається замкненою.

3

Для функцій трьох змінних ( , , )u F x y z= область визначення належить тривимірному простору і геометрично є деякою сукупністю точок простору.

Ми розглянули поняття області визначення функції двох змінних. Узагальнимо його на випадок більшої кількості незалежних змінних.

Нехай задано множину nD R∈ , де nR – n -вимірний простір. Якщо кож-ній точці x D∈ за певним законом відповідає одне і тільки одне дійсне число y , то кажуть, що на множині D визначено функцію від n змінних і запису-ють

1 2( , ,...., )ny f x x x= або ( )y f x= , де nx R∈ . Множину D при цьому називають областю визначення або областю іс-

нування функції. Приклад 1. Знайти область визначення та побудувати її, якщо

2 4 .z y x= − Розв’язання. Областю визначення є сукуп-

ність точок ( , )x y площини OXY (рис. 1), включаючи і точки самої кривої:

Приклад 2. Знайти область визначення фу-нкції та побудувати її, якщо arcsin( )z x y= + .

Розв’язання. Область визначення є сукуп-ність точок 2( , )x y R∈ , що задовольняють нерів-ностям 1 1x y− ≤ + ≤ . На площині XOY ця об-ласть пре

дставляє смугу, яка обмежена паралельни-ми прямими 1 0x y+ + = , 1 0x y+ − = (рис. 2), включаючи точки самих прямих.

Приклад 3. Знайти область визначення фу-нкції ( , , )u x y z та побудувати її, якщо

2 2ln( 2 ).u x y z= − − + Розв’язання. Заданий аналітичний вираз

існує в усіх точках 3( , , )x y z R∈ , в яких 2 2 2 0x y z− − + > , або 2 2 2x y z+ < . Цю нерівність

задовольняють точки ( , , )x y z , що містяться в се-редині параболоїда обертання 2 2 2x y z+ = (рис. 3), не включаючи його поверхню.

Питання на самоперевірку

1. Дати означення функції двох змінних. 2. Дати означення області визначення

функції двох змінних. 3. Що являє собою графік функції ( )yxfz ,= ?

4. Дати означення межі області визначення. 5. Дати означення функції n змінних.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

4

ІІІ. ГРАНИЦЯ. НЕПЕРЕВНІСТЬ ФУНКЦІЇ Означення. Число A називається границею функції двох змінних

),( yxfz = при прямуванні точки ( , )M x y до точки 0 0 0( , )M x y , якщо для будь-якого як завгодно малого числа 0ε знайдеться такий δ -окіл точки 0M , що для будь-якої точки ( , )M x y із цього околу (за винятком, можливо, самої точки 0M ) виконується нерівність | ( , ) |f x y A− < ε .

Границю функції ( , )z f x y= записують у вигляді

0

lim ( )M M

A f M→

= або 00

lim ( , )x xy y

A f x y→→

= .

Якщо границя функції існує, то вона не залежить від способу прямування 0M M→ .

Приклад. Знайти границю 05

sin( )limxy

xyx→

→

.

Розв’язання. Функція має невизначеність 00

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

при 0x → , 5y → , тому викорис-

товуємо першу чудову границю 0

sin( )lim 1a

aa→

= .

0 05 5

sin( ) sin( )lim lim 5 1 5.x xy y

xy xyyx xy→ →

→ →

= = ⋅ =

Означення. Нехай точка 0M та деякий її окіл належать області визначення функції ( )f M . Тоді функція ( )f M називається неперервною в точці 0M , як-що має місце рівність

00lim ( ) ( )

M Mf M f M

→= , при цьому точка M наближається

до точки 0M довільним чином, залишаючись в області визначення функції. Означення. Функція ( )f M , неперервна в кожній точці деякої області,

називається неперервною в цій області.

IV. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ Розглянемо функцію двох змінних ( , )z f x y= , визначену в деякому околі

точки ( , )x y . Зафіксуємо змінну y . Дістанемо функцію ( , )z f x y= однієї змінної x . Якщо ця функція має похідну (по змінній x ), то останню назива-

ють частинною похідною функції ( , )f x y по змінній x і позначають ( , )f x yx∂∂

або ( , )xf x y′ . Таким чином, якщо скористатися означенням похідної однієї змінної, то

дістанемо

0 0

( , )( , ) ( , )( , ) lim lim xx x

f x yf f x x y f x yx yx x x∆ → ∆ →

∆∂ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆. (1)

Величину ( , ) ( , ) ( , )x f x y f x x y f x y∆ = + ∆ − називають частинним приро-

5

стом функції ( , )f x y по змінній x в точці ( , )x y . Аналогічно вводять поняття частинної похідної по змінній y в точці

( , )x y , яку позначають ( , )f x yy∂∂

або ( , )yf x y′

0 0

( , )( , ) ( , )( , ) lim lim yy y

f x yf f x y y f x yx yy y y∆ → ∆ →

∆∂ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆. (2)

Величину ( , ) ( , ) ( , )y f x y f x y y f x y∆ = + ∆ − називають частинним приро-стом функції ( , )f x y по змінній y в точці ( , )x y .

Для довільної точки ( , )x y частинні похідні позначатимемо ,z zx y∂ ∂∂ ∂

, або

,x yz z′ ′ . Необхідно мати на увазі, що zx∂∂

та zy∂∂

визначають величину швидко-

сті, з якою відбувається зміна функції ( , )z f x y= при зміні тільки x або y , а знак xz ′ та yz′ вказує на характер цієї зміни (зростання чи спадання).

Частинні похідні обчислюються за відомими правилами диференціюван-ня функції однієї змінної.

Приклад 4. Знайти частинні похідні: а) 4 32 5z x xy y= + − + . Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки однієї змінної x ( consty = ) знахо-

димо 34 2z x yx∂

= +∂

. Аналогічно вважаючи z функцією тільки однієї змінної y

( constx = ), знаходимо 22 3z x yy∂

= −∂

.

б) 3 22 2z x y x= + . Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки однієї змінної x ( consty = ) отрима-

ємо 2 26 2z x yx∂

= +∂

. Аналогічно вважаючи z функцією тільки однієї змінної y

( constx = ) знаходимо 34z x yy∂

=∂

.

в) 25 x yz −= . Розв’язання. Застосуємо табличну похідну від показникової функції і вважаю-

чи z функцією тільки змінної x ( consty = ), потім тільки однієї змінної y ( constx = ),

отримаємо. 2 15 ln 52

x yzx x

−∂= ⋅

∂, 25 ln 5 ( 2)x yz

y−∂

= ⋅ ⋅ −∂

.

г) 2 arctgu x z xy= + . Розв’язання. В даному випадку маємо функцію трьох змінних ( , , )u f x y z= .

Вважаючи u спочатку функцією тільки змінної x ( , consty z = ), потім функцією тіль-ки змінної y ( , constx z = ), і наприкінці тільки z ( , constx y = ), отримаємо

212

1 ( )u xz yx xy∂

= +∂ +

, 21

1 ( )u xy xy∂

= ⋅∂ +

, 2u xz∂

=∂

.

6

д) sin 2 xz y y e= + ⋅ . Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки змінної x ( consty = ), потім тільки

однієї змінної y ( constx = ), отримаємо xz y ex∂

= ⋅∂

, 2cos22

xz eyy y∂

=∂

.

е) sin cosx yzy x

= ⋅ .

Розв’язання. Використовуючи правило диференціювання добутку функцій од-нієї змінної і вважаючи z функцією тільки змінної x ( consty = ), знаходимо

21 cos cos sin sinz x y y x y

x y y x y xx∂

= +∂

. Потім, вважаючи z функцією тільки однієї змінної y

( constx = ), отримаємо 21cos cos sin sinz x x y x y

y y x x y xy∂

= − −∂

.

Приклад 5. Знайти вказану частинну похідну від функції ( , )z f x y= в точці 0 0 0( , )M x y

а) 4 322yz x y= − . Знайти ( )z M

y∂∂

, (1;1)M .

Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки однієї змінної y ( constx = ) знахо-

димо 4 2 162

z x yy∂

= −∂

. Підставляємо в знайдену похідну координати точки M :

4 2( ) 16 5,52 M

z M x yy

∂ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠.

б) 2ln( 2 )z x y= + . Знайти ( )z Mx

∂∂

, (0;1)M .

Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки змінної x ( consty = ), знаходимо

212

zx x y∂

=∂ +

. Підставляємо в знайдену похідну координати точки M :

2( ) 1 1

22 M

z Mx x y

⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠

.

в) 5 22z xy x y= + − . Знайти ( )z My

∂∂

, (0;1)M .

Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки змінної y ( constx = ), знаходимо 410 1z xy

y∂

= −∂

. Підставляємо в знайдену похідну координати точки M :

4( ) (10 1) 1Mz M xy

y∂

= − = −∂

.

г) 2 sin3xz e y= ⋅ . Знайти ( )z Mx

∂∂

, 0;6

M π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Розв’язання. Вважаючи z функцією тільки змінної x ( consty = ), знаходимо 22 sin3xz e y

x∂

= ⋅∂

Підставляємо в знайдену похідну координати точки M .

2( ) (2 sin3 ) 2xM

z M e yy

∂= ⋅ =

∂.

7

Питання на самоперевірку

1. Чому дорівнює частинний приріст функції ( , )z f x y= за змінною x ? 2. Чому дорівнює частинний приріст функції ( , )z f x y= за змінною y ? 3. Дати означення частинної похідної першого порядку функції ( , )z f x y=

по змінній x . 4. 3. Дати означення частинної похідної першого порядку функції ( , )z f x y= по змінній y .

5. Як обчислюють частинні похідні функції ( , )z f x y= ?

V. ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ Повним приростом функції ( , )z f x y= , диференційованої в точці ( , )x y ,

будемо називати різницю ( , ) ( , )z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − .

Повним диференціалом функції ( , )z f x y= називається частина повного приросту z∆ , лінійна відносно приростів аргументів x∆ , y∆ , що обчислюєть-

ся у вигляді z zdz x yx y∂ ∂

= ∆ + ∆∂ ∂

.

Диференціали незалежних змінних ,x y∆ ∆ співпадають з їх приростом, тобто ,dx x= ∆ dy y= ∆ ,

тому .x ydz z dx z dy′ ′= +

Аналогічно обчислюється диференціал для функції трьох змінних ( , , )u u x y z= . Отже, x y zdu u dx u dy u dz′ ′ ′= + + . Повний диференціал застосовують у наближених обчисленнях у вигляді

z dz∆ ≈ або ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f ff x x y y f x y x y x x y yx y∂ ∂

+ ∆ + ∆ ≈ + ∆ + ∆∂ ∂

.

Рівність буде тим точніша ,чим менше будуть ,x y∆ ∆ .

Приклад 6. Знайти повні диференціали функцій: а) 3 2z x y= .

Розв’язання. Частинні похідні 2 23z x yx∂

=∂

, 32z x yy∂

=∂

підставляємо до формули

повного диференціалу функції двох змінних

2 2 33 2z zdz dx dy x y dx x ydyx y∂ ∂

= + = +∂ ∂

.

б) tg yzx

= .

Розв’язання. Аналогічно прикладу а).

8

22 2

1

cos cos

z y yy yx x xx x

∂= − ⋅ = −

∂;

2

1

cos

zyy xx

∂=

∂;

2 2 2

1

cos cos

ydz dx dyy yx xx x

−= + .

в) yz yx= .

Розв’язання. 2 1yz y xx

−∂=

∂; lnyz yx x

y∂

=∂

; 2 1 lny ydz y x dx yx xdy−= + .

Питання на самоперевірку

1. Що називають повним приростом функції ( )yxfz ,= ? 2. Дати означення повного диференціалу функції двох змінних і вказати

формулу для його знаходження. 3. За допомогою якої формули обчислюється наближене значення функції?

VІ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДЕНИХ ФУНКЦІЙ 1. Нехай функція ( , )z f x y= – диференційована функція аргументів x та

y , які у свою чергу є диференційованими функціями незалежної змінної t . Тоді складена функція [ ]( ), ( )z f x t y t= також диференційована і визначається за формулою

dz z dx z dydt x dt y dt

∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂

.

Приклад 7. Знайти dzdt

, якщо 2cos sin ,z x y= − 2 1x t t= + − , 3 2y t t= − .

Розв’язання. Оскільки проміжні змінні x і y є диференційованими функціями аргументу t , то функція z фактично є функцією однієї змінної

[ ]( ), ( )z f x t y t= . Тоді знайдемо частинні похідні по проміжним змінним:

2cos sin sin 2dz x x xdx

= − = − , cosdz ydy

= − ,

а також звичайні похідні від проміжних змінних по аргументу t : 2 1dx t

dt= + , 23 2dy t

dt= − .

Тоді 2 2 2 3(2 1)sin 2 (3 2)cos (2 1)sin 2( 1) (3 2)cos( 2 ).dz t x t y t t t t t tdt

= − + − − = − + + − − − −

2. Розглянемо складніший випадок. Нехай ( , )z f u v= , де ( , )u u x y= і ( , )v v x y= . Тоді ,x u x v x y u y v yz z u z v z z u z v′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ . Ці формули неважко узагальнити для функції більшої кількості змінних. Приклад 8. 2 2z u v uv= + , cosu x y= , sinv y x= .

Схема до розв’язання

9

Розв’язання. 2 2 22 2( cos ) ( sin ) sin (2 cos sin ) sinuz uv v x y y x y x x y y x y x′ = + = ⋅ + = + ;

2 22 ( cos ) cos sin cos ( cos 2 sin )vz u uv x y x y y x x y x y y x′ = + = + ⋅ = + ; cosxu y′ = ; sinyu x y′ = − ;

cosxv y x′ = ; sinyv x′ = ;

(2 cos sin ) sin cos cos ( cos 2 sin ) cosx u x v xz z u z v x y y x y x y x y x y y x y x′ ′ ′ ′ ′= + = + + + ; (2 cos sin ) sin sin cos ( cos 2 sin )siny u y v yz z u z v x y y x y x x y x y x y y x x′ ′ ′ ′ ′= + = − + ⋅ + + .

Питання на самоперевірку

1. За якою формулою обчислюється dzdt

?

2. Написати формулу знаходження похідних zx∂∂

і zy∂∂

, якщо ( , )z f u v= ,

( , )u x y= , ( , )v v x y= .

VIІ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ НЕЯВНО ЗАДАНИХ ФУНКЦІЙ Похідна неявної функції, заданої рівнянням ( , ) 0F x y = , де ( , )F x y - дифе-

ренційована функція змінних x і y й ( , ) 0yF x y′ ≠ дорівнює

( , )( , )

x

z

F x yzx F x y

′∂=−

′∂. (3)

Частинні похідні неявної функції двох змінних ( , )z f x y= , заданої рівнян-ням ( , , ) 0F x y z = , де ( , , )F x y z – диференційована функція змінних x , y і z й

( , ) 0zF x y′ ≠ , обчислюються за формулами:

( , )( , )

x

z

F x yzx F x y

′∂=−

′∂,

( , )( , )

y

z

F x yzy F x y

′∂=−

′∂. (4)

Приклад 9. Задана функція 2 2 3y xy− = . Знайти dydx

.

Розв’язання. Запишемо задану функцію у вигляді 2 2 3 0y xy− − = і скориста-ємося формулою (3):

2xF y′ = − , 2 2yF y x′ = − , 2

2 2dy y ydx y x y x

−= − =

− −.

Приклад 10. Задана функція 3 2 5 15 0x y xy xy y+ + + = . Знайти dydx

.

Розв’язання. Позначимо ліву частину рівняння через ( , )F x y і скористаємося формулою (3):

2 2 53 15xF x y y y′ = + + , 3 42 5 15 1yF x y xy y′ = + + + ,

Схема до розв’язання

10

2 2 5

3 43 15

2 5 15 1y x y y yx x y xy x∂ + +

= −∂ + + +

.

Приклад 11. Задана функція 44sin( ) ln 0x y z y z x− − + + − = . Знайти zx∂∂

, zy∂∂

.

Розв’язання. Позначимо ліву частину рівняння через ( , , )F x y z і скористаємо-ся формулою (4):

44cos( ) 1xf x y z′ = − − − , 44cos( ) 1yf x y z′ = − − − + ,

( )3 4 116 coszf z x y zz

′ = − − − + . 4

3 4

4cos( ) 11 16 cos( )

z x y zx z x y z

z

∂ − − −= −

∂ − − −,

4

3 4

1 4cos( ) 1 16 cos( )

z x y zy z x y z

z

∂ − − −= −

∂ − − −.

Питання на самоперевірку

1. За якою формулою можна знайти похідну функції однієї змінної, зада-ної в неявному виді (тобто у виді ( , ) 0F x y = )?

2. Якщо функція двох змінних задана в неявному виді, тобто

( , , ) 0F x y z = , то за якою формулою знаходять частинні похідні zx∂∂

і zy∂∂

?

VIIІ. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ Нехай функція декількох змінних ( , ,..., )u f x y t= має частинні похідні. В

загальному випадку вони є знову функціями декількох змінних. Тому від них можна знову знайти частинні похідні.

Частинними похідними другого порядку від функції ( , )z f x y= назива-

ють частинні похідні від її похідних першого порядку zx∂∂

, zy∂∂

.

Для функції двох змінних частинних похідних буде чотири. Вони позна-чаються таким чином:

– 2

2 ( , )xxz f x y

x∂ ′′= −∂

функція послідовно диференціюється двічі по х;

– 2

( , )xyz f x y

x y∂ ′′= −∂ ∂

функція спочатку диференціюється по х, а потім по у;

– 2

( , )yxz f x y

y x∂ ′′= −∂ ∂

функція диференціюється спочатку по у, а потім по х;

– 2

2 ( , )yyz f x y

y∂ ′′= −∂

функція диференціюється послідовно двічі по у.

Похідні другого порядку можна знову диференціювати.

11

Похідні 2z

x y∂∂ ∂

і 2z

y x∂∂ ∂

, що вирізняються послідовністю диференціювання

називаються мішаними. Мішані похідні, якщо вони неперервні, рівні між со-

бою: 2 2z z

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

.

Аналогічно визначаються частинні похідні вищих порядків, наприклад: 3 2

2 2z z

yx y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, 4 3

3 3z z z

yx y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

При цьому результат багаторазового диференціювання функції по різним змінним не залежить від послідовності диференціювання за цими змінними. Істотним є лише те, щоб обчислювані частинні похідні були неперервними.

Приклад 12. Знайти похідні другого порядку від функцій: а) 3 2 2z x x y y= − + .

Розв’язання. Маємо: 23 2z x xyx∂

= −∂

, 2 6 2z x yx∂

= −∂

,

2 2z x yy∂

= − +∂

, 2

2 2zy∂

=∂

, 2

2( 2 ) 2xz x y x

y x∂ ′= − + = −∂ ∂

, 2

2(3 2 ) 2yz x xy x

x y∂ ′= − = −∂ ∂

,

2 22z z x

y x x y∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂ ∂

.

б) 22xyz e= .

Розв’язання. Маємо: 22 22xyz e yx∂

= ⋅∂

, 22 42 4xyz e y

x∂

= ⋅∂

,

22 4xyz e xyy∂

= ⋅∂

, 2 2 22

2 2 2 2 2 22 16 4 (4 1) 4xy xy xyz e x y e x e xy x

y∂

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∂

,

( )2 2 2 222 2 3 2 2 24 8 4 4 (2 1)xy xy xy xy

x

z e xy e xy e y e y xyy x

′∂= ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +

∂ ∂,

( )2 2 2 222 3 2 3 2 2 22 8 4 4 (2 1)xy xy xy xy

y

z e xy e xy e y e y xyx y

′∂= ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +

∂ ∂,

2 2z zx y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

.

в) cos( )z xy= .

Розв’язання. Маємо: sin( )z y xyx∂

= −∂

, 2

22 cos( )z y xy

x∂

= −∂

,

sin( )z x xyy∂

= −∂

, 2

22 cos( )z x xy

y∂

= −∂

, 2 2

cos( ) sin( )z z xy xy xyy x x y∂ ∂

= = − −∂ ∂ ∂ ∂

.

Приклад 13. Обчислити частинну похідну 3

2z

x y∂∂ ∂

від функції

4 3 35 6 sin 2xz x y e y x−= + ⋅ + . Розв’язання. Послідовно знаходимо:

12

3 3 320 18 2cos2 ,xz x y e y xx

−∂= − ⋅ +

∂

23 2 360 18 ,xz x y e

x y−∂

= −∂ ∂

3

32 120 .z x y

x y∂

=∂ ∂

Приклад 14. Перевірити, чи виконується рівність xy yxz z′′ ′′= для функції

ln(4 )yz x e−= + .

Розв’язання. Обчислимо спочатку 4

4zx yx e′ =

−+, потім знайдемо 4

2(4 )xy

yez yx e

−′′ =

−+.

Диференціюємо в іншому порядку: yezy yx e

−−′ =−+

, 42( )

yezyx yx e

−′′ =

−+.

Отже xy yxz z′′ ′′= .

Приклад 15. Перевірити, чи задовольняє функція 2

arcsin( )3yz xyx

= + диференціа-

льному рівнянню: 2 2 0.z zx xy yx y∂ ∂

− + =∂ ∂

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні, які містяться в рівнянні: 2

2 2 2 2 2

2, .33 1 1

z y y z y xx y xx x y x y

∂ ∂= − + = +

∂ ∂− −

Підставляючи їх у рівняння здобудемо тотожність: 2

2 22 2 2 2 2

2 0.33 1 1

y y y xx xy yxx x y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Питання на самоперевірку

1. Що називається частинними похідними другого порядку від функції ( , )z f x y= ?

2. Як знаходити частинні похідні вищих порядків? 3. Скільки буде частинних похідних другого порядку від функції двох

змінних? 4. Сформулювати правило для мішаних похідних від функції ( , )z f x y= .

IХ. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ. ГРАДІЄНТ

Область простору, кожній точці M якої поставлено у відповідність значен-ня деякої скалярної величини ( )u M називають скалярним полем.

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Якщо функція ( )u M не залежить від часу, то скалярне поле називають ста-ціонарним, а скалярне поле, яке змінюється з часом – нестаціонарним.

Якщо скалярна функція ( )u M залежить тільки від двох змінних, то відпові-

13

дне скалярне поле ( , )u x y називають плоским. Якщо ж функція ( )u M залежить від трьох змінних, то скалярне поле ( , , )u x y z називають просторовим.

Для плоского скалярного поля розглядають лінії рівня, на яких функція ( , )u x y має стале значення. Рівняння лінії рівня – ( , )u x y C= , constC= . Поверхнею рівня скалярного поля, заданого функцією ( , , )u x y z називають

поверхню, на якій функція має стале значення. Рівняння поверхні рівня – ( , , )u x y z C= , constC= . Геометрично плоскі скалярні поля зображують за допомогою ліній рівня, а

просторові – за допомогою поверхонь рівня. Для характеристики швидкості зміни поля в заданому напрямі введемо по-

няття похідної за напрямом. Розглянемо на множині D диференційовану функцію ( , , )U f x y z= і точку

( , , ).M x y z Проведемо з точки M вектор { , , },x y zS S S S напрямні косинуси яко-

го cos , cos , cosyx zSS SS S S

α = β = γ = , тоді похідна від функції ( , , )U f x y z= в

точці ( , , )M x y z за напрямом вектора S буде обчислюватись за формулою:

cos cos cos .U U U US x y z

∂ ∂ ∂ ∂= α + β + γ

∂ ∂ ∂ ∂

Зазначимо, що будь-яка частинна похідна є окремим випадком похідної за

напрямом. Наприклад, якщо 0α = , 2π

β = γ = , то U US x

∂ ∂=

∂ ∂ (cos cos0 1,α = =

cos cos cos 02π

β = γ = = ). US

∂∂

Вектор, у якого проекціями на осі координат є значення частинних похід-них функції ( , , )U f x y z= в точці ( , , )M x y z , зветься градієнтом функції U .

grad .U U UU i j kx y z

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

Якщо кут між векторами gradU і S позначити через ϕ , то

grad cosU US

∂= ⋅ ϕ

∂.Тобто похідна U

S∂∂

дорівнює проекції gradU на вектор S .

Якщо 0=ϕ , то gradU US

∂=

∂ – найбільше значення похідної в точці M

(у цьому випадку напрям вектора S збігається з напрямом градієнта).

Якщо 2π

=ϕ cos 02π⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠, то похідна у напрямі вектора, перпендикулярного

вектору gradU завжди дорівнює нулю.

US

∂∂

14

Приклад 16. Від заданої функції 2 3 2U x xy y z= − + знайти: 1) похідну в точці (1,-2,-1)M у напрямку вектора {3,-1,2}S ; 2) градієнт функції U в точці M . Розв’язання. Знайдемо частинні похідні функції U і їх значення в точці M :

2 - ;U x yx

∂=

∂ ( ) (1,-2,-1) 4;U M U

x x∂ ∂

= =∂ ∂

2 23 ;U x y zy

∂= − +

∂ (1,-2,-1) 11;U

y∂

=∂

32 ;U y zz

∂=

∂ (1,-2,-1) 16.U

z∂

=∂

Знайдемо напрямні косинуси вектора S : 3 3cos ;

9 1 4 14xS

Sα = = =

+ + 1cos ;

14yS

Sβ = = − 2cos .

14zS

Sγ = =

Тоді похідна функції U у напрямку S в точці M буде дорівнювати числу: 3 ( 1) 2 334 11 16 .14 14 14 14

US

∂ −= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂

За формулою градієнта маємо: grad 4 11 16U i j k= + + . Питання на самоперевірку

1. Що називається скалярним полем? 2. Навести приклади скалярного поля. 3. Яке поле називають стаціонарним і нестаціонарним? 4. Записати формулу для похідної за напрямом від функції ( , , )u f x y z= . 5. У чому полягає фізичний зміст похідної за напрямом? 6. Дати означення градієнта скалярного поля.

7. Як визначається зв’язок між gradU і US

∂∂

?

Х. РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ПЛОЩИНИ ДО ПОВЕРХНІ. РІВНЯННЯ НОРМАЛІ

Нехай деяка поверхня S задана рівнянням 0),,( =zyxF . Якщо в точці

SzyxP ∈),,( всі три похідні , ,F F Fx y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

неперервні і хоча б одна з них не

дорівнює нулю, то точка P називається звичайною. Якщо всі три похідні дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує, то точка P називається особливою (вершина конічної поверхні). Якщо всі точки поверхні S є зви-чайними, то поверхня називається гладкою (простою).

Дотичною прямою до поверхні у звичайній точці називається дотична до деякої кривої, яка розміщена на цій поверхні і проходить через дану точку.

Теорема. Усі дотичні прямі до гладкої поверхні у звичайній точці лежать в одній площині.

Площина, яка містить усі дотичні до кривих, що розміщені на поверхні і проходять через дану точку, називається дотичною площиною.

15

Таким чином, якщо поверхню задано рівнянням у неявному виді 0),,( =zyxF , то рівняння дотичної площини до поверхні в точці

0000 ),,( PzyxP = має вигляд:

0)()(

)()(

)()(

00

00

00 =−

∂∂

+−∂

∂+−

∂∂

zzzPF

yyyPF

xxxPF

. (7)

Якщо рівняння поверхні задано в явній формі ),( yxfz = , то рівняння до-тичної площини записується у вигляді:

)()(

)()(

00

00

0 yyyPf

xxxPf

zz −∂

∂+−

∂∂

=− .

Пряма, яка проходить через точку 0000 ),,( PzyxP = перпендикулярно до дотичної площини, називається нормаллю до поверхні.

Якщо поверхня задана в неявній формі 0),,( =zyxF , то рівняння нормалі має такий вигляд:

0 0 00 0 0

.( ) ( ) ( )x x y y z zF P F P F P

x y z

− − −= =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(8)

Якщо поверхня задана рівнянням ),( yxfz = , то рівняння нормалі запи-шеться у вигляді:

0 0 00 0

.( ) ( ) 1x x y y z z

f P f Px y

− − −= =

∂ ∂− −

∂ ∂

Приклад 17. Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні 2 2 24 2 6x y z− + = в точці 0(2,1, 3)P P− = . Розв’язання. Запишемо рівняння площини у вигляді 2 2 24 2 6 0x y z− + − = . По-

значимо ліву частину рівняння через ( , , )F x y z , знайдемо частинні похідні та їх зна-чення в точці 0P :

2 2 2( , , ) 4 2 6;F x y z x y z= − + − 2 ;F x

x∂

=∂

0( ) 4;F Px

∂=

∂

8 ;F yy

∂= −

∂ 0( ) 8;F P

y∂

= −∂

4 ;F zz

∂=

∂ 0( ) 12.F P

z∂

= −∂

За формулою (7) маємо: 4( 2) 8( 1) 12( 3) 0x y z− − − − + = або 4 8 12 36 0x y z− − − = , або

2 3 9 0x y z− − − = – рівняння дотичної площини. Рівняння нормалі одержимо за фор-мулою (8):

2 1 34 8 12

x y z− − += =

− − або

2 1 3.1 2 3

x y z− − += =

− −

Питання на самоперевірку

1. Що називається дотичною площиною до поверхні ( , , ) 0F x y z = ? 2. Що називається нормаллю до поверхні ( , , ) 0F x y z = ?

16

3. Записати рівняння дотичної площини до поверхні ( , , ) 0F x y z = . 4. Записати рівняння нормалі до поверхні ( , , ) 0F x y z = .

ХІ. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ Нехай точка 0 0 0( , )P x y називається точкою максимуму (мінімуму) функ-

ції ),( yxfz = , якщо існує окіл точки 0 0 0( , )P x y такий, що для будь-якої точ-ки ( , )x y із цього околу виконується нерівність 0 0( , ) ( , )f x y f x y≥ ( 0 0( , ) ( , )f x y f x y≤ ).

Оскільки екстремум функції ( , )z f x y= визначається лише в малому око-лі точки 0 0 0( , )P x y , то його називають локальним.

Для функції двох змінних ( , )z f x y= необхідні і достатні умови мають наступний вигляд.

Теорема (необхідні умови): якщо функція ),( yxfz = має екстремум у точці 0 0 0( , )P x y , то в цій точці частинні похідні першого порядку дорівню-ють нулю, або не існують.

Тобто, 0zx∂

=∂

(або не існує), 0zy∂

=∂

(або не існує).

Точки, в яких частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю, або не існують, називаються стаціонарними точками функції ( , )z f x y= .

Теорема (достатні умови): нехай в деякому околі точки 0 0 0( , )P x y функ-ція ( , )f x y має неперервні частинні похідні до третього порядку включно і нехай, крім того, точка 0 0 0( , )P x y є стаціонарною точкою функції ( , )f x y і

20

2( )z PAx

∂=

∂;

20( )z PB

x y∂

=∂ ∂

; 2

02

( )z PCy

∂=

∂. Тоді в точці 0 0 0( , )P x y :

1) ),( yxf має максимум, якщо 2 0AC B− > ( 0A < або 0)C < ;

2) ),( yxf має мінімум, якщо 2 0AC B− > ( 0A > або )0>C ;

3) екстремум відсутній, якщо 2 0AC B− < ; 4) екстремум може бути, а може і не бути, якщо 02 =− BAC (в цьому

випадку потрібні подальші дослідження). Приклад 18. Дослідити на екстремум функцію 3 23 15 12z x xy x y= + − − . Розв’язання. Область визначення функції – всі дійсні значення змінних x та y ,

тобто xy

−∞ < < ∞⎧ ⎫⎨ ⎬−∞ < < ∞⎩ ⎭

.

Знайдемо частинні похідні першого порядку і складемо систему рівнянь:

17

2 ,yx

= 2 23 3 15z

x yx∂

= + −∂

, 6 12z xyy∂

= −∂

, 2 2 5 0,

2 0х уху

⎧⎪ + − =⎨

− =⎪⎩

0

0

zxzy

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩

.

Розв’яжемо систему і знайдемо стаціонарні точки: 2

24

5 0xx

+ − = , 4 25 4 0x x− + = , 21 4x = , 2

2 1x = .

Знайдемо частинні похідні другого порядку 2

2 6 ,z xx∂ =∂

2

6 ,z yx y∂ =∂ ∂

2

2 6 .z xy∂ =∂

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 1 2M , , M , , M , , M ,− − − − . Знайдемо 2 2 236 36АС В x y− = − . Тепер для кожної стаціонарної точки будемо знаходити знак 2АС В− : – для точки 1(2,1):М 2 236 2 36 1 0АС В− = ⋅ − ⋅ > . В цій точці екстремум є. Розгляне-

мо знак A (або C ). 6 6 2 12 0A x= = ⋅ = > , тому в точці 1M маємо мінімум, який дорів-нює min (2,1) 28z = − ;

– для точки 2 ( 2, 1):М − − 2 0АС В− > ( 0)А < . Отже, в т. 2M маємо максимум, який дорівнює max (2,1) 28z = + ;

– для точки 3(1,2):М 2 0АС В− < екстремуму немає; – для точки 4 ( 1, 2):М − − 2 0АС В− < екстремуму немає.

Питання на самоперевірку

1. 1. Сформулювати необхідні умови існування екстремуму функції ( , )z f x y= .

2. Сформулювати достатні умови існування екстремуму функції ( , )z f x y= .

3. Що називають стаціонарними точками функції ( , )z f x y= ? 4. Коли функція ( , )z f x y= має екстремум?

ХІІ. НAЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

Означення. Функція ( , )z f x y= , неперервна в обмеженій замкненій об-ласті D , обов’язково має в цій області найбільше і найменше значення.

Цих значень функція досягає або в стаціонарних точках (які знаходяться в середині D ), або в точках, які належать межі області D .

Тому, щоб знайти найбільше і найменше значення функції в області D , потрібно:

1) знайти стаціонарні точки, які розташовані всередині області і обчисли-ти значення функції в цих точках;

2) знайти найбільше і найменше значення функції на лініях, які утворю-ють межу області (на цих лініях функція двох змінних перетворюється у фун-

18

кцію однієї змінної); 3) із усіх знайдених значень функції вибрати найбільше і найменше. Зауваження. Найбільше (найменше) значення можуть бути не єдиними. Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції yxxyyxz 222 −−−+=

у замкненій області, яка обмежена лініями: 2 6 0,x y+ − ≤ 0,x ≥ 0.y ≥ Розв’язання.

2 1;

2 2

z x yxz y xy

∂⎧ = − −⎪∂⎪⎨∂⎪ = − −∂⎪⎩

2 1 0;

2 2 0x yy x− − =⎧

⎨ − − =⎩ 4 ;

3x = 5 .

3y =

Знайдемо стаціонарні точки (див. рис.). Таким

чином, єдина стаціонарна точка 14 5,3 3

М ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

належить

області D і значення функції в цій точці

( )14 5 7,3 3 3

z M z ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Проведемо дослідження функції на межах області. Розглянемо

межу AB . Її рівняння 2 6 0x y+ − = зв’язує між собою змінні x і y . Визначимо з цьо-го рівняння одну змінну через другу, наприклад 6 2x y= − , і підставимо у вираз фу-нкції z :

( ) ( ) ( )2 2 26 2 6 2 6 2 2 7 30 30z y y y y y y y y= − + − − − − − = − + . Таким чином, ми одержали функцію однієї змінної 2( ) 7 30 30,z y y y= − + де y

змінюється на відрізку [0,3]. Далі шукаємо найбільше і найменше значення функції ( )z y на [0,3], які і будуть найбільшим і найменшим значенням функції ( , )z f x y= на межі AB . Знаходимо стаціонарні точки функції ( )z y :

( ) 14 30z y y= − , 14 30 0y − = , 157

y = .

Ця точка розташована всередині відрізку [0,3], тому знайдемо значення функції ( )z y в цій точці і на кінцях цього відрізка, якщо: а) 0y ,= то 6x ,= ( ) (6 0) 302z M z ,= = ; б) 3y ,= то 0x ,= ( ) (0 3) 43z M z ,= = − ;

в) 157

y ,= то 127

x ,= 12 15 15( )4 7 7 7z M z ,⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Всі ці обчислення проводились за умови 6 2x y= − ,тому на цій межі маємо:

( ) ( )215 15 15 157 30 30 ; 0 30; 3 4

7 7 7 7z z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + = − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Розглянемо межу OA ; її рівняння 0y = . В цьому випадку функція ( , )z f x y= буде мати вигляд 2 ,z x x= − 0 6x≤ ≤ (ми знов одержали функцію однієї змінної).

Знайдемо найбільше і найменше значення цієї функції на відрізку [0,6],

( ) 2 1;z x x′ = − 2 1 0;x − = 1 .2

x =

Ця стаціонарна точка належить відрізку [0,6], тому знаходимо:

19

1 , (0)2

z z⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

і (6)z ,

21 1 1 1 ;2 2 2 4

z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(0) 0,z = (6) 30z = .

Всі ці обчислення проводились за умови 0y = , тому як і в попередньому випад-ку, якщо:

– 0=x , то 5( ) (0,0) 0z M z= = ;

– 21

=x , то 61 1( ) ,02 4

z M z ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Значення (6,0) 30z = не враховуємо, тому що на межі AB точка з такими коор-динатами вже була (точка 2M ).

Нарешті розглянемо межу OB : 0,x = 2( ) 2 ,z y y y= − 0 3,y≤ ≤ ( ) 2 2,z y y′ = − 2 2 0,y − = 1=y (стаціонарна точка належить відрізку [0,3]).

Перш ніж находити значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, відзначимо, що значення (0)z і (3)z можна не враховувати, тому що (0)z за умови

0x = , це 5(0,0) ( )z z M= , а (3)z за умови 0x = це 3(0,3) ( )z z M= .Тому знайдемо тільки (1) 1z = − або 7( ) (0,1) 1z M z= = − . Із знайдених значень функції вибираємо найбільше і найменше значення:

14 5 7( ) , ;3 3 3

z M z ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2( ) ( ) (6,0) 30;z M z A z= = =

3( ) ( ) (0,3) 4;z M z B z= = = − 412 15 15( ) , ;7 7 7

z M z ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

5( ) (0,0) 0;z M z= = 61 1( ) ,0 ;2 4

z M z ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

7( ) (0,1) 1.z M z= = −

Найбільше значення буде в точці 2M (тобто в точці A ): (6,0) 30z = .

Найменше – в точці 1M : 4 5 7, .3 3 3

z ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ХІІІ. ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ 1. Знайти області визначення функцій та схематично зобразити їх. 2. Знайти частинні похідні від функцій. 3. Знайти повні диференціали функцій. 4. Знайти похідні складених функцій. 5. Знайти похідні від неявно заданих функцій. 6. Довести, що задані функції задовольняють рівнянням. 7. Побудувати лінії рівня функції ( , )z f x y= . 8. Знайти похідну функції ( , )z f x y= в точці A у напрямку вектора S . 9. Знайти градієнт функції ( , )z f x y= в точці A . 10. Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в указаній

точці. 11. Дослідити на екстремум функцію двох змінних.

20

Варіант 1

1. 2 2 4z x y= + − .

2. а) 1lnzxy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠; б) 2cos xz

y⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 2

2x y

zx y

−=

+.

3. arctg( )z xy= . 4. а) 2sin( )z x y= − , 2tx e= , 2ty = ; б) 2ln( )z x y= − , x uv= , 2 2y u v= − .

5. а) 3 23 2z x z xy+ = ; б) 3 2 5 5 0x y xy x y− + + = .

6. xyz e= , 2 2

2 22 2 0z zx y

x y∂ ∂

− =∂ ∂

.

7. 2 2z x y= + . 8. 2 2z x xy y= + + , (1;1)A , (2;1)a . 9. 2 2z x y= + , (2;2)A . 10. 2 2z x y= + , (1;2;5)P . 11. 2 33 18 30z x y y x y= + − − .

Варіант 2 1. 2ln( )z x y= + .

2. а) 2sin xzy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠; б) 3 1lnz y

x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 24( 2)xz y= + .

3. ln tg xzy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4. а) sin(4 3 )z y xy= − , 5 24 tx += , 21y t= − ;

б) arcsin( )15 xyz = , 2ux

v= , 1y

uv= .

5. а) 2 33 2z x z xy+ = ; б) 2 3 5 5 0x y x y y x− + + = .

6. 2sin ( )z x y= − , 2 2

2 2z z

x y∂ ∂

=∂ ∂

.

7. 2 2z x y= − . 8. 3 2 3z x xy y= − − , (2;1)A , ( 3;1)a − . 9. 3 2 3z x xy y= − − , (1;2)A . 10. 2 2 2 169x y z+ + = , (3;4;12)P . 11. 2 2 6 9z x xy y x y= + + − − .

21

Варіант 3

1. lnz xy= .

2. а) xzy

= ; б) arcsinz x y= ; в) 216x

z y⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. 2 2z x y= + .

4. а) 2 2yz

x y=

+, siny x= ;

б) 3( )z u uv= + , 2 2yu

x y=

+, 2 2

x yvy x

+=

+.

5. а) ( )x y zx y z e− + ++ + = ; б) 2 ln 8 0yxe y x− − = .

6. cos( )x yu e− += , 2 2

2 2u u

x y∂ ∂

=∂ ∂

.

7. 2 24z x y= + .

8. 2 2ln(5 3 )z x y= + , (1;1)A , (3;2)a .

9. 3 2ln(5 3 )z x y= + , (2;1)A .

10. arctg yzx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1;1;4

P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11. 3 2 6z x xy xy= + + . Варіант 4

1. 1 11

zx y

= +−

.

2. а) 21tgz

xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠; б) 25 y xz −= ; в) 3 26z y x= + .

3. 2 2sin cosz x y= + .

4. а) cos xyzx y

=+

, 2 159xx −= ;

б) arccos( )z uv= , 115

uxy

=+

, xvy x

=+

.

5. а) ln( ) 02xyz x z+ − = ; б) 3 2 5 5 0x y xy x y− + + = .

6. yu yx

= , 2 2

2 22 2 0u ux y

x y∂ ∂

− =∂ ∂

.

22

7. 2 24xz

x y=

+.

8. 25 6z x xy= + , (2;1)A , (1;2)a . 9. 24 5z x xy= + , (1;2)A .

10. 2 ln xz yy

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1;1;1)P .

11. 2 6 3z x y x y x= + − + + . Варіант 5

1. arccosz x y= + .

2. а) arcsin xzy

= ; б) ln xzy

= ; в) 21z

x y=

+.

3. yz yx= .

4. а) 2

232

xzy x

+=

+, arcsin(1 )x t= + , 2arccos(2 )y t= ;

б) 2 5uz

v u=

+, arccos yu

x= , arcsin xv

y= .

5. а) 3 2 25( ) 2( ) 72x y z xy yz zx+ + − + + = ; б) 3 2 2 ln 8 0yx e y x− + = .

6. 2 2lnu x y= + , 2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2 22yz

x y=

+.

8. 25 6z x xy= + , (2;1)A , (1;2)a .

9. 24 5z x xy= + , (1;3)A .

10. 3 2 42 9x y z+ − = , (1; 2;2)P − .

11. 2( ) yz x y e= + . Варіант 6

1. 2 21 1z x y= − + − .

2. а) 32z x y= ; б) 3tg yzx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 2

2y xzx y

−=

+.

3. 2cos(arcsin ) yz x= .

4. а) ( )5z x y= + , arccos2tx e= , arcsin 4tx e= ;

23

б) 2vz

u= , ctg( )u xy= , cos xv

y= .

5. а) lnx xz y= ; б) 23 ln 7 0yx x y− + = .

6. arctg xzy

= , 2 2

2 2 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2z xy= .

8. 2arctg( )z xy= , (2;3)A , (4; 3)a − . 9. arctg( )z xy= , (3;2)A .

10. 4 21 02

x y xz+ − = , (3; 4;5)P − .

11. 2 2( 1) 2z x y= − + . Варіант 7

1. arcsin xzy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

2. а) 3 322y xz −= ; б) 3 2ctg ( )z xy= ; в)

2 2

3 3x yzx y

−=

−.

3. sinyx

z e= . 4. а) cos(4 5 )z x yx= + , 1 25 tx −= , 2 3y t= + ;

б) 24vz

u v=

+, sin yu

x= , cos xv

y= .

5. а) ln 0xyxe y x xyz− − = ; б) 21 ln( ) 0xy xy xy+ − + = .

6. 2 2ln( 2 1)z x y x= + + + , 2 2

2 2 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2 3z x y= − .

8. 2

arcsin xzy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1;2)A , (5; 12)a − .

9. 2

arcsin xzy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, (1;2)A .

10. 2 2 2

124 12 3x y z

+ + = , (3; 2; 1)P − − .

11. 2 2( 1) 2z x y= − − .

24

Варіант 8

1. 2 24 4z x y= − + − .

2. а) 3ln yzx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) arccos( )z y x= ; в) 48y

z x= − .

3. arctg yzx

= .

4. а) cos xyzx y

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

, 2 159xx −= ;

б) arccos( )z uv= , 115

uxy

=+

, 2xv

y x=

+.

5. а) cos cos 1 0x y y z+ − = ; б) 2 21 ln ln yx yx

+ − + = .

6. ln( )yz x e−= + , 2 2

2 0z z z zx x y y x∂ ∂ ∂ ∂

⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

7. 2 2z y x= + .

8. 2 2ln(3 4 )z x y= + , (1;3)A , (2; 1)a − .

9. 2 2ln(4 3 )z x y= + , (3;1)A .

10. 2 2

2 1 08 4x y z+ − − = , ( 3;2;1)P − .

11. 2 2 2z x xy y x y= + + − − . Варіант 9

1. sinz y x= .

2. а) 32 2 yz y xx

= + ; б) 23 3(1 3 )xz e y x= − − ; в) xz xy= .

3. 2 2lnz x y= − .

4. а) 3z x y= − , 21

4y

x=

−;

б) 2ln uzv

= , xuy

= , 2yv

x= .

5. а) cos( )x y z x y z+ − = + − ; б) 1 ln( ) 0xy x y xy− + + = .

6. xzy

= , 2

0z zxx y y∂ ∂

− =∂ ∂ ∂

.

7. 23 4z y x= − .

25

8. 4 2 33 2z x x y= + , (1;2)A , (4; 3)a − . 9. 5 23 2z x x y= − , (2; 1)A − .

10. 2 2 2

116 9 3x y z

+ + = − , (4; 3;3)P − .

11. 3 2(6 )z x y x y= − − . Варіант 10

1. 2 2ln( )z x y= − .

2. а) 4sin(5 ) yz xyx

= + ; б) 2

32 3yz

x−

= ; в) 2 2ctg 3z xy

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

3. 2sin xzy

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4. а) arccos xzy

= , 3 xy = ;

б) 2uz

v= , arcctg( )u xy= , arccos xv

y= .

5. а) 4sin( )x y z x y z+ + = + + ; б) 4 ln 16yxe y x− = .

6. yz x= , 2

(1 ln ) 0z zy x yx y x∂ ∂

− + ⋅ =∂ ∂ ∂

.

7. 2 2z x y= + . 8. 2 2 23 5z x y xy= + , (1;1)A , (2;1)a .

9. 2 2 23 5z x y xy= + , (2;1)A . 10. 2 0z xy− = , (1;1; 1)P − .

11. 2 2 231 ( )z x y= − + . Варіант 11

1. 2

1

4z

x y=

−.

2. а) 2tg 2 yz xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠; б) ( )3 5sinz x y y= + ; в)

4

322yxz

y= − .

3. 2 2

xzx y

=+

.

4. а) 3 4 2( )z x y= + , 2 42t tx −= ,

3 53t ty −= ;

26

б) 3uz

v u=

−, cos xu

y= , sin xv

y= .

5. а) 3 ln 0xye x y xyz− − = ; б) 2 24 ln y x yx

− = + .

6. /y xz xe= , 2 2 2

2 22 2 22 0z z zx xy y

x y y∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

.

7. 2 9z x= − . 8. 1z xy y= + + , (1; 3)A − , (4;3)a .

9. 2z x y y= − , ( 3;1)A − .

10. 2 2

29 4x y z+ = , (3; 2; 1)P − − .

11. (1 )z x y xy= − − . Варіант 12

1. 2 2sin( )z x y= + .

2. а) 2

2ln yzx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠; б) arccos( )z xy= ; в)

214xyz y= − .

3. arccos( )z xy= .

4. а) 3 2

xzy

=−

, 2(1 2 )tx = − , 23 ty = ;

б) cos( )z uv= , 1uxy

= , xvy

= .

5. а) ln( ) 0xzx x zy

− − = ; б) 3 2 5 15x y xy xy y+ + = − .

6. sin( )z x y= + , 2 2

2 2 0z zy x∂ ∂

− =∂ ∂

.

7. 2 2ln(3 4 )z x y= + .

8. 2 26z x xy y= + + , (4; 12)A − , (3; 5)a − . 9. 2 3z x xy y= + + , ( 5;3)A − .

10. 2 2

216 9x y z+ = , (4;0; 3)P − .

11. 2 2z x xy y x y= + + − − . Варіант 13

1. 1 13

zx y

= ++

.

27

2. а) 3 3z x xy y= − + ; б) 31

cos( )z

xy= ; в)

2

2x yzx y+

=−

.

3. 3 3

xzx y

=+

.

4. а) ln xzy

= , arccosy x= ;

б) sin( )5 uvz = , xuy

= , 1vxy

= .

5. а) 2 2( 2) 2 3x y z− + = − ; б) arccos arcsin 0y x y+ = .

6. cos ( )sinz y y x y= + − , 2

( ) 0z zx yx y x∂ ∂

− − =∂ ∂ ∂

.

7. 2 25 6z x y= + . 8. 3 2 23 6z x x xy y= + + + , (4; 12)A − , (3; 5)a − . 9. 2 6z x xy y= + + , (4; 11)A − . 10. 3 2 23 0x y zy− = , (1; 1; 1)P − − . 11. 3 3 4z x x yx= + + .

Варіант 14 1. 2ln( 4 )z x y= − .

2. а) 3

3x yzx y−

=+

; б) 2

2x xyz −= ; в) 2 2x yzx y+

=−

.

3. arccosz xy= .

4. а) 3( 1)z x y= − − , cos 2tx e= , sin 2ty e= ;

б) 3( )z u v= − , 2xuy

= , 2yvx

= .

5. а) 2 2xy zxyz e −− = ; б) 4 ln 16yxe x y− = .

6. arctg yzx

= , 2 2

2 2 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2z x y= − .

8. arctg yzx

= , (4;3)A , (2;5)a .

9. arctg yzx

= , (3;4)A .

10. 2 2 2 0zx y e+ − = , (1; 1;0)P − .

28

11. 2 2 3z x xy y x= − + + . Варіант 15

1. 2 21 1z

xx y= +

−.

2. а) 3ctg xzy

= ; б) 3 2ctg ( )z xy= ; в) arctgz xy= .

3. 21z

xy= .

4. а) 2 4xz

y=

−, arctgx x= ;

б) arctg uzv

= , 3u x y= − , 2 1v xy

= − .

5. а) 2 23sin( ) 0x y z y z x− − + + − = ; б) 2 24 y x yx

− = + .

6. 2 2ln( )z x y= + , 2 2

2 2 0z zyx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 23z y x= − . 8. 2z xy= , (1; 2)A − , (3; 2)a − . 9. 2 3z x y= , (1; 2)A − .

10. 2 2 2

125 16 9x y z

+ − = , (5; 4;3)P − .

11. 2 23z x x y= − − . Варіант 16

1. 11

zx y

=+ −

.

2. а) 2

( 3)yz x= − ; б) 2

cos yzx

= ; в) 2

2x yzx y+

=−

.

3. sinlncos

xzy

= .

4. а) arccos xzy

= , 2 4 23x xy − += ;

б) u vzv+

= , 1 xuy

= + , xvx y

=+

.

5. а) 4 2 ln 1 0xx xyzz

− + − = ; б) 4 ln 5xye x y+ = .

29

6. /x yz e= , 2

0z z zx y x y∂ ∂ ∂

− + =∂ ∂ ∂ ∂

.

7. 2 25 6z x y= + . 8. 2 3z x xy y= + + , (1;3)A , ( 1;1)a − . 9. 2 2 3z x xy x= + + , (1;3)A . 10. 3 2 23 0x y z y− = , (1; 1;1)P − . 11. 2 2( 2) 2z x y= − − .

Варіант 17

1. 2

1 1

9z

yx= +

−.

2. а) 3 3 2( )z x xy y= − + ; б) 31

cos( )z

xy= ; в) 5 xyz = .

3. 3 2 sin( ) xz x y= + .

4. а) 1zx y

=−

, 1lnxt

= , 42 ty −= ;

б) arcsin uzv

= , 3u x y= − , 2 1v xy

= − .

5. а) 2ln( ) 0xx y zy

− − = ; б) ln( ) 0xy xye e−+ = .

6. 2xyz

x y=

−,

2 2 2

2 222z z z

x y x yx y∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ −∂ ∂

.

7. 2z x y= − . 8. 2 1z x y y= + − , (1;2)A , (3;4)a . 9. 2 1z y x x= + − , (1;3)A . 10. 2 2 2 0zx y e+ − = , (1; 1;0)P − . 11. 4 24 2z x xy y= + − .

Варіант 18 1. 2ln( 2 )z x y= − .

2. а) 2 2

2 2x yzx y

−=

+; б)

22x xyz −= ; в) 5ctg xz

y= .

3. (sin ) yz x= .

4. а) 2ln1

xzy

=−

, 2cos (1 4 )y x= − ;

30

б) 3tg( )z v u= − , 2yux

= , xvy

= .

5. а) 2 2 3 0x y xy xz yz− + − = ; б) 3 22 3 0x y y xy− − = .

6. /x yz e= , 2z z zy

x y y x∂ ∂ ∂

= −∂ ∂ ∂ ∂

.

7. 23z y x= − .

8. 2 2ln(5 4 )z x y= + , (1;1)A , (2; 1)a − . 9. 2 35 4z x y= + , (1;1)A .

10. 2 2 2

125 16 9x y z

+ − = , (5; 4;3)P − .

11. 4 4 2 22 4 2z x y x xy y= + − + − . Варіант 19

1. 53z xy

= − .

2. а) 5 2z x xy y= + + ; б) 31

sin( )z

x y= ; в)

2

2y xzx y

−=

−.

3. 3 3yz

x y=

+.

4. а) 2 2xz

x y=

+, 3siny x= ;

б) 2( )z v uv= + , 2 2xu

x y=

+, x yv

x y+

=+

.

5. а) 2 22 2 2 ( )x zx y z e− ++ + = ; б) 2 5 4 0x y xy x y− + + = .

6. 2 3 2z x y xy x= − + , 2 2

2 23 0z zxx y∂ ∂

− + =∂ ∂

.

7. 22

yzx

=+

.

8. 2 2z x y xy= − + , (2;2)A , ( 2;1)a − .

9. 3 2z x y yx= − + , (2;2)A .

10. sin cosz x y= ⋅ , 1; ;4 4 2

P π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11. 2 24 2 4z x x y= − − + .

31

Варіант 20

1. 2 25z x y= − + .

2. а) 3

3y xzy x−

=+

; б) 2 22x xyz −= ; в) 2 2

y xzy x+

=−

.

3. 3arcsin( )z xy= .

4. а) sin xyzx y

=+

, 3 58xy −= ;

б) arcsin( )z uv= , 13

uxy

=+

, yvy x

=+

.

5. а) lnz zy x= ; б) 5 2 2 5 0x y xy x+ − = .

6. xyz e= , 2 2

2 22 2 0z zx y

x y∂ ∂

− =∂ ∂

.

7. 22

1yz

x=

−.

8. 2 3 7z xy y= + − , (1;1)A , (2; 1)a − . 9. 3 3 2z xy xy= + + , (1;1)A .

10. cosx yz e= , 11; ;Pe

⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11. 2 23 6z x y x xy y= + − − − . Варіант 21

1. 2 24z x y= − + .

2. а) 2ctg xzy

= ; б) 2ln yzx

= ; в) arcctgz xy= .

3. 1zy x

= .

4. а) 232

xzx y

+=

+, arccos(1 )x t= + , 2arcsin( )y t= ;

б) 2 5vz

u v=

+,

2yux

= , tg xvy

= .

5. а) 2 2 35 4 0x y xyz x y− + = ; б) 2 ln 7 0xye x y− + = .

6. sin( 4 )z x y= + , 2 2

2 216 0z zy x∂ ∂

− =∂ ∂

.

7. 2

23 1yz

x−

= .

32

8. 2 2 1z x y xy= + − + , ( 2;2)A − , (3;1)a . 9. 22 2z x y xy= + − + , (2; 2)A − . 10. ( )( ) 8 0x y z xy z+ − + = , (2;1;3)P . 11. 3 2 6z x xy xy= + + .

Варіант 22

1. 1zxy

= .

2. а) 2 1(sin )yz x −= ; б)

2tg xz

y= ; в) 2ln

1yz

x=

−.

3. cos2(sin ) yz x= .

4. а) arccos yzx

= , 5 xx = ;

б) 4

2vzu

= , arctg( )u xy= , arccos yvx

= .

5. а) 2 2 35 4 1x y xyz xy− + = ; б) 23 ln 7yx x y− = .

6. cos3 cos3 2z x y= − + , 2 2

2 2cos3 cos3 0z zy yx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2 5z x y= + . 8. 21z xy x y= − − + , (2;2)A , (0; 4)a − . 9. 2 24 5z xy xy= + , (1;1)A .

10. 2 2 24 9 6 36x y z+ + = , 112;1;6

P⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11. 3 2(6 )z x y x y= − − . Варіант 23

1. 2

2x yz

x y=

+.

2. а) 2 4(cos ) xz y += ; б) cos xzy

= ; в) 2 2lnz x x y⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. arctg5 xyz = .

4. а) 2 3 2( )z x y= + , 3 33t tx −= ,

2 54t ty −= ;

б) 3vz

v u=

−, sin yu

x= , cos xv

y= .

33

5. а) ln 2ln( ) 1 0x x z xyzy− − + − = ; б) 2 25 ln y x y

x+ = + .

6. cos( 3 )z y x= − , 2 2

2 29 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2 5z x y= − + . 8. 2 22z x y x y= − + + , (1;0)A , (2; 1)a − . 9. 3 2 22 5z x x xy y= + + + , (4; 12)A − .

10. 2 22 4z x y= + , (2;1;12)P . 11. (1 )z xy x y= − − .

Варіант 24

1. 1 13 4

zx y

= +− +

.

2. а) 3 2

3 2x yzx y

−=

+; б) 23 x yz −= ; в)

3sin xz

y= .

3. ( / )ctg x y

z e= .

4. а) 3

yzx

=−

, 2(1 2 )x t= − , 54 ty = ;

б) sin( )z uv= , 1uxy

= , xvy

= .

5. а) cos sin cos 1 0y x x y z x+ + − = ; б) 2 5 3 4 2x y xy xy+ + = .

6. 2z xy y x= + − , 2 2

2 2 2z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 24z y x= − .

8. 2 2ln(3 )z x y= + , (1;1)A , (2; 1)a − . 9. 2 22z x xy y= + + , (1;1)A . 10. 3 3 34 2 6x y z− + = , (2;2;3)P .

11. 3 3 9 27z x y xy= + − + . Варіант 25

1. 2 21 4z x y= − − .

2. а) 2sin(5 ) xz xyy

= + ; б) 2

32 3xz

y−

= ; в) 2 2ctg 3z yx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. 2x yxz e += .

34

4. а) 2 xz x y xyy

= − − , sin(1 3 )x t= − , 3y t= ;

б) 2 1xz

y=

−, sin( )x uv= , cos( )y u v= − .

5. а) ln 3ln( ) 14x y z xyzy− − + = ; б) 2 ln 5 0xy y x− + = .

6. yz x= , 2

(1 ln ) 0z zy xyx y x∂ ∂

− + =∂ ∂ ∂

.

7. 2

2 21

2xzx y

−=

+.

8. 2z x x y xy= − + , (1; 2)A − , (2;4)a .

9. 2z x x y xy= + − , (2; 1)A − . 10. 2 2 217 0x y z+ − = , (1;2; 1)P − . 11. 4 4 2 22 8 8z x y x y x y= + + + − − .

Варіант 26

1. 2 2

19 4x yz = − + .

2. а) 22 3( 4) y yz x −= − ; б) 3

2cos yzx

= ; в) 3arcsin yzx

= .

3. 2sin( )x yz e += .

4. а) cos( )z x y xy= − + , 1 tx e −= , 2y t= ;

б) 2

7x yz −= , sin( )y uv= , cos( )x uv= . 5. а) 2 2 3 2x y xy xz yz− + − = ; б) 23 ln( ) 0xy xy x y+ + + = .

6. 2sin 2( )z x y= − , 2 2

2 2z z

x y∂ ∂

=∂ ∂

.

7. 4z xy= − .

8. 3 2 2z x xy y= + + , (2;1)A , (2;2)a . 9. 2 2 3z x xy y= + + , (1;1)A . 10. 2 2 4( 5) 2 11x y z− + − = , (3;1;1)P .

11. 2 22 6 5 4 8z x xy y x y= + + − + − . Варіант 27

1. .( )

1ln

zx y

=+

35

2. а) ( )2 32 4

y yz x

+= − ; б)

2

2ln y xzy x

−=

+; в) arctg xz

y= .

3. 5 1ctgzxy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4. а) sin(1 )z xy= − , 2

4x xy −= ;

б) 3 2cosz u v= − , xuy

= , ln( )v xy= .

5. а) 3 0xyzxyz xy e+ − + = ; б) 2 21 ln ln xx yy

+ + = .

6. /x yz e= , 2

0z z zyx y x y∂ ∂ ∂

− + =∂ ∂ ∂ ∂

.

7. 2 22z x x y= − + .

8. 22 3z x y xy y= − + , (1;2)A , (1;0)a .

9. 2 3z xy xy x= − + , (2;1)A .

10. 2 2 43 2 2x y z z− + , (1;1;2)P .

11. 3 2 3z x y xy= + − . Варіант 28

1. 2ln( 3 )z x y= + .

2. а) 3(cos ) xz y= ; б) 1arccoszxy

= ; в) 2 2sin( )x yz e += .

3. 2cos xzy

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4. а) 2

212

xzy

+=

−, 2arcsinx t= , 2arccosy t= ;

б) sin( )z uv= , x yu e −= , /2x yv = .

5. а) 3sin( )x y z x y z+ + = + + ; б) 2 25 ln x x yy

+ = + .

6. 2z yx x y= + − , 2 2

2 22z zy x∂ ∂

= −∂ ∂

.

7. 23z x y= − . 8. 2z x xy y= + + , (1;1)A , (1;2)a .

9. 2 2z x y= + , (3;1)A .

36

10. 2 2 22 41x y x z+ + = , (2;3;1)P .

11. 2 2( 1) 4z x y= − + . Варіант 29

1. 1z x yx

= + + .

2. а) 2 x yz xyy x

= − + ; б) 2

22 4

4x yz

x y−

=+

; в) 2

5xy yz −= .

3. 2 2

yzx y

=+

.

4. а) 2(1 )z xy= − , 12

yx

=+

;

б) 2 1z uv

= − , 2

3xuy

= , 1lnvxy

= .

5. а) 3 ln 0yxe y x xyz− + = ; б) 2 5 4 0xy x y x y− + + = .

6. 2 2ln( )z x y= + , 2 2

2 2 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 1

xzy

=+

.

8. 3 3z x xy y= − − , (2;1)A , (1; 3)a − . 9. 3 2 3z x xy y= − − , (1;2)A . 10. 2xy z= , ( 2;1;4)P − . 11. 2 22 4 12z x y x y= + − + .

Варіант 30

1. 2

1 144

zxx y

= +−−

.

2. а) 3x xy

yz e

−

= ; б) 1arcsinzxy

= ; в) 33tg xz

y= .

3. arctgz xy= .

4. а) 3

6 y xz −= , 3 5 1y x x= + − ;

б) 2 1 cos uz uv

= − + , yux

= , ln( )v xy= .

5. а) lny xz z= ; б) 35 4 0xy xyz xy+ + = .

37

6. 2 2ln( 2 1)z x y x= + + + , 2 2

2 2 0z zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

.

7. 2 2 2z x y y= + − .

8. 2 2ln( 2 )z x y= + , (2;2)A , (3;2)a .

9. 24 5z x xy= + , (2;2)A .

10. 32xyz = , (3;1;4)P .

11. 2 2( 1)z x y= + − .

ТЕОРЕТИЧНІ ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ «ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ» 1. Що таке функція двох змінних? Що таке функція багатьох змінних? 2. Що таке область визначення функції двох змінних? 3. Що таке лінії рівня? (поверхні рівня?) 4. Що таке границя функції двох змінних? 5. Яка функція двох змінних називається неперервною в точці 0M ? 6. Чому дорівнює частинний приріст функції ( , )z f x y= за змінною x ?

Чому дорівнює частинний приріст функції ( , )z f x y= за змінною y ? 7. Що таке частинна похідна першого порядку функції двох змінних ( , )z f x y= по змінною x ? Що таке частинна похідна першого порядку функ-

ції двох змінних ( , )z f x y= по змінною y ? 8. За якою формулою обчислюється повний диференціал функції двох

змінних? 9. За якою формулою можна знайти похідну функції однієї змінної, зада-

ної в неявному виді (тобто в виді ( , ) 0F x y = )? 10. Якщо функція двох змінних задана в неявному виді, тобто

( , , ) 0F x y z = , то за якою формулою знаходять частинні похідні dzdx

і dzdy

?

11. Як знаходити частинні похідні вищих порядків? (Які похідні другого порядку рівні між собою?)

12. Які точки називають критичними (стаціонарними) точками функції ( , )z f x y= ?

13. Сформулюйте теорему (необхідні умови існування екстремуму функ-ції ( , )z f x y= .

14. Сформулюйте теорему (достатні умови існування екстремуму функції ( , )z f x y= .

15. Якщо поверхня задана рівнянням ( , , ) 0F x y z = , то який вид мають рів-няння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці 0M ?

16. За якою формулою знаходять похідну функції ( , , )u f x y z= за напря-мом вектора l ?

38

17. За якою формулою знаходять градієнт функції ( , , )u f x y z= ? 18. Якою формулою зв’язані похідна за напрямом і градієнт? 19. За яким напрямом похідна функції дорівнює нулю? За яким напрямом

функції має максимальне значення? 20. Як знаходять найбільше і найменше значення функції двох змінних ( , )z f x y= в області D ?

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК 1. Герасимчук, В. С. Вища математика [Текст]: повний курс у прикладах і зада-

чах / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. – К.: Книги України ЛТД, 2009. – 578 с.

2. Запорожец, Г. И. Руководство к решению задач по математическому аналізу [Текст] / Г. И. Запорожец. – М.: Высш. шк., 1966. – 440 с.

3. Овчинников, П. П. Вища математика. Ч. 1 [Текст]: підручник / П. П. Овчин-ников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – К.: Техніка, 2000. – 500 с.

4. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления т. 1 [Текст]: учеб. пособие для втузов / Н. С. Пискунов. – М.: Наука. 1980. – 560 с.

5. Смирнов, В. М. Курс высшей математики. Т. 1 [Текст] / В. М. Смирнов. – М.: Просвещение, 1974.

6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 [Текст] / П. Е. Данко, А. Г Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980.

ЗМІСТ

ВСТУП............................................................................................................................................3

І. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ. ОЗНАЧЕННЯ .................................................................3

ІІ. ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ.......................................................................................................3

ІІІ. ГРАНИЦЯ. НЕПЕРЕВНІСТЬ ФУНКЦІЇ...............................................................................5

IV. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ.............................................................................................................5

V. ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ....................................................................................8

VІ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДЕНИХ ФУНКЦІЙ ............................................................9

VIІ. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ НЕЯВНО ЗАДАНИХ ФУНКЦІЙ .............................................10

VIIІ. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ ..................................................................11

IХ. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ. ГРАДІЄНТ ..........................13

Х. РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ ПЛОЩИНИ ДО ПОВЕРХНІ. РІВНЯННЯ НОРМАЛІ.............15

ХІ. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ ......................................................................17

ХІІ. НAЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ.................18

ХІІІ. ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ ...................................................................20

ТЕОРЕТИЧНІ ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ «ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ»...................38

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК..................................................................................................39

39

Навчальне видання

Є. П. Кришко, Є. А. Макаренков, Н. Г. Наріус, Г. А. Папанов, В. І. Самарський

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Методичні вказівки і варіанти до виконання модульної роботи

Редактор Т. В. Мацкевич

Комп’ютерна верстка Т. В. Шевченко

Формат 60х84 1/16. Ум. друк. арк. 2,31. Обл.-вид. арк. 2,5. Тираж 100 пр. Зам. № 1935.

Видавництво Дніпропетровського національного університету

залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна Свідоцтво суб’єкта видавничої діяльності ДК № 1315 від 31.03.2003

Адреса видавництва та дільниці оперативної поліграфії: 49010, Дніпропетровськ, вул. Лазаряна, 2; www.diitrvv.dp.ua

40