Доля В.К., Митько В.Н.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Учебное пособие

Ростов – на – Дону

2009

Содержание

Часть 1

Введение

1. Простейшие типы электромеханических преобразователей.

Классификация преобразователей

1.1. Электродинамический преобразователь

1.2. Электростатический (конденсаторный) преобразователь

1.3. Пьезоэлектрический преобразователь

2. Основные понятия теории колебаний электромеханических систем.

Простейший осциллятор

2.1. Простейший механический осциллятор

3. Метод электромеханических аналогий

4. Основные параметры электромеханического преобразования

4.1. Электромеханическая схема

4.2. Основные соотношения электромеханического преобразования

4.3. Режим излучения

Заключение

Список используемой литературы

Часть 2

1. Системы с распределенными параметрами

1.1. Сплошная среда, основные понятия теории упругости

1.2. Численные методы решения краевых задач. Метод конечных элементов

1.3. Программа ANSYS

2. Основные типы пьезоэлементов, применяемые в пьезопреобразователях

2.1. Уравнения пьезоэффекта

2.2. Расчет колебаний пьезоэлементов

2.2.1. Продольные колебания стержня в поле, перпендикулярном его длине

2.2.2. Продольные колебания стержня в поле, параллельном его длине

3. Численные расчеты пьезопреобразователей

3.1. Продольные колебания стержня в поле, перпендикулярном его длине

3.2. Продольные колебания стержня в поле, параллельном его длине

3.3. Высоковольтный пьезотрансформатор

Литература

Приложения

Введение

В современном обществе трудно найти продукты, которые охватывали бы также

глобально все стороны жизнедеятельности, как электромеханические преобразователи.

Эти широко распространенные устройства, выполняющие огромное количество

функций, используются человеком в науке, технике, производстве и быту. При этом с

физической точки зрения все используемые электрофизические преобразователи

решают всего лишь 2 задачи: преобразования электрической энергии в механическую

(или акустическую) и наоборот – механической в электрическую. Действительно,

невозможно сегодня представить медицину, приборостроение, автомобильную,

авиационную и ракетную технику без ультразвуковых приборов, основой которых

является электромеханический преобразователь. Системы навигации морских

надводных и подводных судов, мониторинга технического состояния и аварийной

защиты энергетического оборудования, автоматического управления технологическими

процессами в различных отраслях техники, акустические системы, телевидение и

телефония – все это в принципе не может функционировать без электромеханических

преобразователей.

По результатам исследований, проведенных группой радиоинженеров Британии

(«Прогноз развития Британской техники. Стратегия в области датчиков до 2015

г.»/Датчики и системы, №11, 2003 г., с.51-65) глобальный рынок электромеханических

датчиков оценивается в 300 млрд. долл. США с ежегодным приростом в 15-20%.

Указанная оценка не охватывает объемы продаж громкоговорителей для акустических

систем, микрофонов и телефонов современной техники связи, которые оцениваются в

300-500 млрд. Как видно, на современном этапе развития техники, проблема изучения

механизмов электромеханического преобразователя является весьма актуальной.

В настоящем учебном пособии представлены общие положения и физическая основа

функционирования электромеханических преобразователей, приведена их

классификация, описаны методы расчета и оптимизации конструкций

преобразователей, приведены области практического использования.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов, специализирующихся в области

пьезоэлектрического приборостроения.

1: Простейшие типы электромеханических преобразователей.

Классификация преобразователей.

Электромеханическим преобразователем будем называть устройство,

обеспечивающее преобразование электрической энергии в механическую или

механической – в электрическую. Как правило, такие устройства обладают свойством

обратимости, т.е. обеспечивают преобразование энергии в обоих направлениях.

Принципиальным фактором, определяющим конструктивные отличия и области

применения, является физический принцип взаимосвязи электрической и механической

энергий, реализуемый конкретным электромеханическим преобразователем. Поэтому в

современной науке и технике принят единый подход к классификации

преобразователей, заключающийся в их группировании по типу физического закона,

отражающего механизм преобразования энергий. В современной практике наиболее

часто используются следующие типы электромеханических преобразователей:

электродинамические, электростатические (конденсаторные), пьезоэлектрические,

магнитострикционные. Рассмотрим более подробно механизмы превращения энергии в

указанных преобразователях.

1.1. Электродинамический преобразователь.

Электродинамический преобразователь выполняется в самых разнообразных

конструктивных формах, но в принципе устройство его сводится всегда к системе

проводников, могущей перемещаться в постоянном однородном магнитном поле.

Если индукция в магнитном поле есть В, а общая длина проводника e, то мы можем

сразу выписать два основных закона, управляющих действием электродинамического

преобразователя

F = e[Bi] (1.1) (закон Био-Савара)

U = -(e[Bv]) (1.2) (закон индукции),

где [Bv] – сила действующая на проводник, U – напряжение на концах проводника,

где i – ток протекающий в проводнике или скорость движения проводника

Для наилучшего использования обоих эффектов конструктивно оформляют

электродинамический преобразователь так, чтобы направления поля, тока и движения

были взаимно перпендикулярны. Тогда предыдущие выражения запишутся в

скалярной форме

F = Bli, U = Blυ. (1.3)

При этом нужно иметь в виду, что закон Био-Савара дает выражение силы,

обусловленной только током (т. е. при неподвижном проводнике, когда отсутствуют

реакции, обусловленные движением), а закон индукции дает напряжение

холостого хода, т. е. э. д. с. Приняв это во внимание, получаем из (1. 3) взаимное

соотношение

Bli

FUi ==−

=

=

0

0

υυ (1.4)

Считая электрическую сторону входной, можем записать уравнения

электродинамического преобразователя в виде

U = Z0i = Blυ, F = Bli+ZMυ (1.5)

где Zo и ZM — соответственно собственные сопротивления электрической и

механической сторон.

Уравнения (1.5) представляют собой формализованную запись, устанавливающую

математическую закономерность взаимного преобразования энергии в

электродинамического преобразователя.

Применение электродинамического преобразователя очень обширно. К этому

классу относятся все машины постоянного тока и многие машины переменного тока.

Их устройство общеизвестно, и мы не будем на нем останавливаться. Не менее широкое

применение имеет электродинамический преобразователь в приборостроении. В области

электрометрии типичным представителем электродинамического преобразователя

является магнитоэлектрический прибор типа Депре-д'Арсонваля с подвижной рамкой.

Струнные гальванометры также относятся к этому классу преобразователей и

представляют пример осуществления электродинамического принципа в простейшей

конструктивной форме: они имеют одну единственную проволочку, помещенную в

однородное магнитное поле. В автоматике и телемеханике применяются много-

численные электродинамические реле самых разнообразных конструкций.

Очень широкое применение находят электродинамические преобразователи в

электроакустике. Важнейший тип громкоговорителей — электродинамический.

Широко распространены также электродинамические микрофоны. Излюбленная

конструктивная форма — это подвижная катушка цилиндрической формы, помещенная

в радиальное магнитное поле в кольцевом воздушном зазоре магнитной цепи.

Применяются также и одиночные проводники в продольном зазоре между

полюсными наконечниками. Электродинамический принцип находит использование

также и в гидроакустической аппаратуре. В известном осцилляторе Фессендена этот

принцип осуществлен в своеобразной форме: подвижной проводник выполнен в виде

массивного медного кольца, образующего замкнутую накоротко вторичную обмотку

трансформатора.

1 — схема машины постоянного

тока:

а — якорь,

б — полюсные наконечники, в — коллектор; г —

магнитоэлектрический прибор

Депре-д'Арсонваля: а — рамка,

б — полюсные наконечники, в — центральный

сердечник;

3 — осциллографический шлейф:

а — ленточки,

б — зеркальце, в — магнит;

4 — обычный электродинамический

громкоговоритель: а — подвижная катушка, б —

магнитная цепь, в — коническая диафрагма;

5 — громкоговоритель «Blatthal-

ler»:

а — плоская диафрагма,

6 — проводник в форме ленты,

поставленной на ребро, согнутой зигзагом и жестко скрепленной с

диафрагмой,

в — магнитная цепь;

в — ленточный микрофон:

а — подвижной проводник в форме легкой гофрированной ленты, б — полюсные наконечники, в — магнит

Р и с. 1.1. Примеры конструктивных форм электродинамических преобразователей

Преимущество такой системы состоит в отсутствии выводов от подвижной части

устройства. Электродинамические приборы применяются также в качестве шлейфов

в электромеханических осциллографах, в рекордерах для фотооптической и

механической записи, в звукоснимателях и в других весьма разнообразных по

назначению и устройству аппаратах.

Такое большое распространение электродинамических преобразователей в

приборостроении обусловлено, во-первых, легко достигаемой высокой степенью

линейности, а, во-вторых, относительной простотой конструкции и несложностью

технологии производства. На рис. 1.1. схематически представлены наиболее известные

конструктивные формы электродинамических преобразователей.

1.2. Электростатический (конденсаторный) преобразователь

Электростатический преобразователь представляет собой в принципе конденсатор,

одна из обкладок которого подвижна.

Напишем выражение для потенциальной энергии конденсатора, расстояние между

обкладками которого есть и, упругость подвижной обкладки s0, емкость С и заряд q.

Величины и и q выберем в качестве аргументов. Мы имеем

)1

(2

1),( 22

0 qC

usquCC +=′=′

(здесь C' — потенциальная энергия системы.

Но емкость С зависит от расстояния между обкладками

u

AC

ε= , где А — площадь обкладок; ε — диэлектрическая проницаемость.

Таким образом, получаем следующие выражения: энергия

+=′ 22

02

1q

A

uusC

ε (1.6)

механическая сила

20

2

1q

Aus

du

CdF

ε+=

′= (1.7)

напряжение на обкладках

qA

u

dq

CdU

ε=

′= (1.8)

Для линеаризации рассматриваемой системы зафиксируем начальные значения

u=u0, q=q0. При этом можно ввести еще начальную емкость

С0 = εА/u0,

начальное напряжение

U0 = q0/C0 = uoq0/εA

и начальное электрическое поле

Э0 = U0/u0 = q0/εA.

Если перейти при описании действия электростатического преобразователя от

смещения и заряда к скорости и току (при условии U0>>U), то уравнения

преобразования напишутся в виде (знаки 8 отброшены)

ipCp

ЭUi

p

Э

p

sF

0

00 1, +=+= ϑϑ (1.8)

Электростатический преобразователь применяется в измерительной технике в виде

разного рода электрометров, а в электроакустике главным образом в виде

конденсаторного микрофона.

Существуют (но имеют меньшее распространение) конденсаторные телефоны. Еще

меньшее значение имеют конденсаторные громкоговорители. Наибольшее значение

имеет конденсаторный преобразователь в применении к измерению вибраций и

переменных давлений. Исключительная простота конструкции, механическая

прочность и неизменность заставляют в большинстве случаев отдать

конденсаторному преобразователю предпочтение перед другими индикаторами.

1.3 Пьезоэлектрический преобразователь

Явление пьезоэлектричества, открытое Кюри в 1880 г., состоит в том, что

некоторые кристаллы при сжатии электризуются.

Липпман (1881 г.) предсказал существование открытого вскоре обратного

эффекта, состоящего в деформации кристалла при помещении его в электрическое

поле. Этот обратный пьезоэлектрический эффект называют также

электрострикцией.

Если характеризовать механическое и электрическое состояния элемента

объема кристалла четырьмя переменными: механическим напряжением а,

деформацией, электрическим полем Э и поляризацией Р, то количественное

выражение обоих вышеназванных эффектов образует взаимное соотношение

следующего вида:

00

=

==

σ

ξ

σ ξ Э

P(1.9)

(Напомним, что мы считаем деформацию положительной, если она совершается

в направлении вызывающих ее усилий: например, при напряжении сжатия

положительной будет деформация, проявляющаяся в сокращении размеров.)

Удобнее пользоваться в качестве переменной не поляризацией, а индукцией D.

Тогда мы можем переписать соотношение (1.9) в виде

00

=

==

σ

ξ

σ Э

DЭ

(1.10)

Уравнения (1.9) и (1.10) полностью описывают механизм превращения энергии в

пьезоэлектрическом преобразователе. Области применения пьезоэлектрических

преобразователей охватывают практически все стороны науки и техники. Поэтому

принципы их построения будут рассмотрены отдельно.

2: Основные понятия теории колебаний электромеханических

систем. Простейший осциллятор.

Основной технической задачей, решаемой электромеханическими

преобразователями, генерации и механической энергии. Как правило, решать

указанную задачу необходимо в динамическом режиме. В этом случае преобразователь

(его механические части) совершают механические колебания. Поэтому изучение

электромеханического преобразователя целесообразно начинать с его колебательной

системы.

Реальные колебательные системы обладают в общем случае распределенными

постоянными, т. е. бесконечным числом степеней свободы. Однако анализ

механических систем целесообразно начать с системы, имеющей одну степень свободы

и сосредоточенные постоянные и называемой п р о с т е йшим о сциллятором. На его

примере можно рассмотреть механизм колебаний, основные понятия и

характеристики, а также установить качественные закономерности колебаний.

2.1 Простейший механический осциллятор

Модель простейшего осциллятора представляется в виде невесомой пружины s,

закрепленной на одном конце и нагруженной на другом конце сосредоточенной массой

т (рис. 2.1). В колебательных системах всегда имеется трение (или

другое сопротивление движению), которое вызывает затухание. На

модели элемент r, часто называемый демпфером, отражает наличие

трения.

Свободные колебания. Учитывая упругую (восстанавливающую)

силу F=—sξ, пропорциональную рис.2.1 малому смещению ξ от

положения равновесия, силу сопротивления FTP = - rξ,

пропорциональную малой скорости ξ смещения, и силу инерции, имеем

дифференциальное уравнение движения осциллятора

mξ+rξ+sξ= 0, (2.1)

где s — упругость пружины, Н/м; r — активное механическое

сопротивление, Н-с/м = = кг/с; r/2m = δ — множитель затухания; s/m

=ω02. Решение уравнения (2.1) запишем в форме

ξ(t)=De-δt

cos(ω0’t-φ), (2.2)

Рис. 2.1. Модель про-стейшего осцилля-

тора.

где

220

,0 δωω −= (2.3)

Функция (2.2) описывает непериодический процесс, однако при малой величине δ

(δ<<ω0) можно говорить о почти периодическом процессе колебаний и применять к

нему термины «частота», «период» в общепринятом смысле. Из-за активного со-

противления амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону е-δt

, а

собственная частота системы незначительно уменьшается. (ω0'<ω0). Мерой быстроты

затухания колебаний является п о с т о я н н а я в р е м е н и τ — промежуток времени,

за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз; легко видеть, что τ=1/δ.

Убывание амплитуды за один период составляет еδT

', а натуральный логарифм

отношения двух соседних амплитуд, называемый л о г а р и фм и ч е с к и м

д е к р е м е н т о м з а т у х а н и я (υ), равен

41

2,0

,

−==Τ=

Q

π

ω

πδδϑ (2.4)

Величина Q=ω0/2δ=ω0m/r называется д о б р о т н о с т ь ю

с и с т е мы и показывает число периодов, по истечении которых

амплитуда колебаний уменьшается в еπ ≈ 23 раза. Действительно, через Q периодов

амплитуда будет меньше начальной в eδQT'

=

= eυQ

≈ eπ раз, что справедливо при Q>>1. При малых значениях

декремента

msr

f

T

Q

11

0

πττ

πϑ ===≈ (2.5)

его влияние на частоту колебаний осциллятора пренебрежимо, в то время как

амплитуда колебаний существенно зависит от υ. В частном случае осциллятора без

потерь (δ = 0) решение (2.2) описывает периодический процесс: система совершает сво-

бодные гармонические колебания с собственной круговой частотой

m

s=0ω (2.6)

Вынужденные колебания. Пусть на осциллятор непрерывно действует внешняя

периодическая сила F = Fmeiωt

. Уравнение движения имеет вид

tim em

F

m

s

m

r ωξξξ =++ (2.7)

и его общее решение складывается из двух функций, одна из которых описывает

свободные колебания, другая — вынужденные:

( ) ( )( )

timtite

smiri

FeDet

ωϕωδ

ωωωξ

−++= −− 1/

0 (2.8)

где iωm, -is/ω и r— соответственно инерционное, упругое и активное сопротивления.

Комплексную величину r + i(ωm — s/ω) = =z, называемую п о л ны м

м е х а н и ч е с к и м с о п р о т и в л е н и ем или ме х а н и ч е с к и м и м п е д а н с о м

осциллятора, можно представить так:

Выражение (2.8) характеризует полное движение осциллятора с момента

приложения силы и содержит два члена, описывающих сумму двух гармонических

колебаний. Процесс такого сложного движения называется переходным.

Переходный процесс. Выясним характер движения, которое возникло бы в

системе только от приложения внешней силы в момент t= 0 при нулевых

начальных условиях.

Вещественную часть решения (2.8) запишем в виде

( ) ( ) ( )ψωω

ωωξ δ −++= −t

z

FetAtAt mt

sin||

sincos 0201 (2.11)

z=|z|e iψ

(2.9)

r

x

r

smtg =

−=

ωωψ (2.10)

Постоянные А1 и А2 определяются начальными смещением ξ0 и скоростью ξ0. Но и

при нулевых начальных условиях одна из постоянных не равна нулю, т. е. движение

с собственной частотой ω'0 существует.

Рис. 2.2. График переходного процесса в осцилляторе при наличии потерь.

Оно, однако, быстро затухает и по истечении некоторого времени становится

исчезающе малым. Движение системы приобретает стационарность и является

гармоническим колебанием с частотой вынуждающей силы.

Используя условие ξ0=0 и принимая ω=ω0'≈ω0, находим A2=-F0/ω0r, A1=0 и после

подстановки в (2.11) получаем

( ) ( ) ter

Ft

tm0

0

sin1 ωω

ξ δ−−= (2.12)

Выражение (2.12) описывает процесс нарастания (раскачивания) колебаний

осциллятора, т. е. движения его с момента воздействия гармонической силы на

резонансной частоте (рис. 2.2). Амплитуда колебаний нарастает примерно по

экспоненциальному закону. В. момент τ=1/δ (τ — постоянная времени) амплитуда

достигает 1 - e-1≈0,63 полного (установившегося) значения. С ростом амплитуды

возрастают потери энергии на преодоление сил трения, но в определенный момент

работа вынуждающей силы будет компенсировать потери энергии в системе и

установятся вынужденные колебания с максималь ной амплитудой. Время t1

устанавливания колебаний для достижения определенного уровня, например

составляющего 95% максимума, найдем из уравнения 1 — е-δt

= 0,95, откуда

01

333

3

f

QTt

πϑτ

δ==== (2.13)

Число колебаний за этот промежуток равно n = t/T=3/υ = 3Q/π.

С момента прекращения действия вынуждающей силы колебания затухают по

закону е-δt

, осциллятор возвращается в состояние покоя и тем быстрее, чем больше

декремент.

В гидроакустических устройствах часто применяется импульсный режим.

Длительность импульса tи должна быть согласована с постоянной времени τ (или

декрементом) колебательной системы, чтобы за время tи колебания установились. Из

(2.13) следует, что чем меньше τ (больше υ), тем скорее установятся колебания.

Наименьшая величина декремента затухания υ = 3/foti=1/foτ. Для разделения двух

соседних импульсов необходимо, чтобы к началу следующего импульса колебания

практически прекратились. Так, амплитуда колебаний составит 0,01

установившегося значения-при времени спадания tсп = 4,6 τ « 1,5t1.

Установившиеся колебания. Известно, что акустическая мощность определяется

скоростью колебаний излучающей поверхности, поэтому более существенной

величиной, чем смещение, является скорость вынужденного колебательного

движения. Продифференцировав второе слагаемое выражения (5.8), с учетом (5.9)

получим

( )ψωωξ −== timtim ez

Fe

z

F (2.14)

Видно, что между вынуждающей силой и колебательной скоростью существует

фазовый сдвиг, зависящий от параметров системы и частоты.

Действительная часть выражения (2.14)

( ) ( )

( )22

coscos

ωω

ψωψωξ

str

tFt

z

F mm

−

−=−= (2.15)

представляет собой фактически наблюдаемый процесс установившихся колебаний

осциллятора; его амплитуда, частота и фаза зависят от постоянных системы, а

также от амплитуды и частоты вынуждающей силы. Амплитуда колебательной

скорости достигает максимального значения Fm/r при ω = ω0, т. е. при совпадении

частоты силы и собственной частоты системы, лишенной потерь. Условие ω0m —

s/ω= 0, при котором скорость колебаний резко возрастает, называется условием

р е з о нанса. График зависимости амплитуды скорости колебаний от частоты

представляет собой хорошо известную резонансную кривую; чем меньше

затухание или чем больше добротность, тем острее резонанс, т. е. тем сильнее

изменения амплитуды скорости вблизи резонансной частоты.

Определим мощность колебаний осциллятора в установившемся режиме, для

чего найдем среднее значение произведения внешней силы на вызываемую ею

колебательную скорость за один период:

( ) ( )

ψϑ

ψωϑωϑ

cos2

1

coscos1

0

mm

m

T

m

F

dtttFT

FP

=

=−== ∫

Подставляя значения υm=Fm/|z|, cosψ=r/|z| получаем

На резонансной частоте z=r и мощность равна

r

FrP m

m22

1 22

0== ϑ (2.17)

r

FrP m

m22

12

20 0

== υ (2.18)

Частотная зависимость мощности. Исследуем, как изменяется колебательная

мощность осциллятора с частотой при неизменной амплитуде внешней силы. Для

удобства сравнения разных осцилляторов или характеристик одного осциллятора при

изменении его параметров представим частотную зависимость мощности

безразмерной функцией

( )22

2

2

2

0 || ωω smr

r

z

r

P

P

−+==

которая после преобразований и подстановки добротности приобретает вид

( )2

002

0 1

1

ωωωω −+=

QP

P (2.19)

Последнее выражение равно отношению квадратов амплитуд скорости на текущей

частоте и резонансе.

Из (2.19) следует, что форма характеристики (острота резонансной кривой вблизи

максимума) зависит от добротности: чем она больше, тем кривая уже. По

резонансной кривой, измеренной в стационарном режиме, можно рассчитать

декремент и добротность, характеризующие систему в неустановившемся режиме.

График функции (2.19) изображен на рис. 2.3.

Вблизи резонансной частоты примем ω = ω0 + ∆ω, причем ∆ω<ω0; тогда ω + ω0 ≈

2ω и

( )2

00 21

1

ωω∆+=

QP

P

выражение (2.20) устанавливает взаимосвязь отношения мощ-юстей и относительной

полосы частот 2∆ω/ω0. При 2Q∆ω/ω0=1 юотношение Р/Ро равно 0,5 или — 3 дБ. На

этом уровне условно финято определять полосу пропускания системы, так называе-

мую ширину р е з о н а н с н о й к р и в о й , равную [с учетом (2.5)]

00

12

fQ π

δ

π

ϑ

ω

ω===

∆ (2.21)

Ширина резонансной кривой есть мера избирательности колеэрательной системы,

и так как она функционально связана с добротностью (или декрементом), то Q (или υ)

характеризует избирательность системы. При больших значениях добротности резо-

нансная кривая почти симметрична относительно ω/ω0 = 1 для значений Р/Ро от 1 до

0,5.

Определим полосу пропускания

осциллятора в зависимости от

длительности импульса силы, для чего

введем в формулу (2.13) υ

(или Q) из (2.21):

11

132

ttf ≈=∆

π (2.22)

Рис. 2.3 Частотная зависимость

мощности преобразователя

Если время устанавливания колебаний составляет 1/n длительности импульса, т. е.

t1 = tи/n, то полоса пропускания должна быть

иt

nf =∆2 (2.22')

Равенство (2.22) показывает, что, чем короче воздействующий на осциллятор импульс

гармонических колебаний, тем шире должна быть полоса пропускания, чтобы

снизить частотные искажения, вносимые резонансной колебательной системой. Со-

гласно (2.22') наименьшая полоса равна l/t1.

Рассмотрим физическую трактовку добротности системы при резонансе. На

резонансной частоте вынуждающая сила Fm уравновешивается силой активного

сопротивления rξm max, поскольку на упругом элементе сила инерции Fи компенсирует

силу упругости Fу. Амплитуда силы, действующей на упругость, равна

Fm y = sξm max/ ω0=Fm и = ω0mξm max и определяет механическое напряжение упругого

элемента. Согласно (2.5) Fm y = Fm и=QFm. Таким образом, добротность показывает, во

сколько раз амплитуда силы упругости на резонансе больше амплитуды внешней

силы. Колебательные системы подводных преобразователей, работающих при

резонансе, могут подвергаться значительным уси-

лиям, так как добротность их может достигать нескольких десятков. В некоторых

случаях, например при импульсном режиме работы, с целью уменьшения

длительности переходных процессов добротность сознательно уменьшают.

2.2 Метод электромеханических аналогий

Метод электромеханических аналогий заключается в том, что элементы заданной

механической системы рассматриваются как аналоги элементов некоторой

определенной электрической схемы; такую электрическую схему называют

э к в и в а л е н т н ой данной механической системе. Решение эквивалентной схемы

производится по законам анализа электрических цепей, причем колебательные

процессы в них описываются аналогичными уравнениями.

Сравнивая дифференциальное уравнение напряжений в контуре R — L — С

∫ =++ eIdtC

RIdt

dIL

1 (2.23)

и уравнение движения простейшего осциллятора

∫ =++ FdtC

rdt

dm

M

ϑϑϑ 1

(2.24)

убеждаемся в их подобии; естественно, аналогичны и их решения для тока и

скорости. Можно составить следующую систему взаимных аналогов — механических

и электрических:

переменные

сила F, H→э. д. с. (напряжение) и, В; скорость υ, м/с→ток I, А;

смещение ξ, м→заряд q, Кл;

параметры и сопротивления масса m, кг→ индуктивность L,

Г; гибкость См, м/Н→ емкость С, Ф;

коэффициент трения r, кг/с→ активное сопротивление R, Ом; инерционное

сопротивление ωm, кг/с→ индуктивное сопротивление ωL, Ом;

упругое сопротивление 1/ωСM, кг/с→ емкостное сопротивление

1/ωС, Ом; механический импеданс z, кг/с→ электрический импеданс Z, Ом.

Этот метод широко используется при анализе различных механических систем, так

как электромеханические аналогии, вытекающие из формального подобия уравнений

(2.23) и (2.24), отражают физическое соответствие процессов в механической системе

и эквивалентной ей электрической цепи. Например, инерция массы препятствует

мгновенному изменению скорости при воздействии (прекращении) силы, равно как

индуктивность препятствует мгновенному изменению тока при включении (вы-

ключении) источника э. д. с. Подобно тому, как часть колебательной электрической

энергии безвозвратно расходуется (превращается в тепловую энергию) на активном

сопротивлении цепи, в механической системе благодаря трению часть энергии

механических колебаний превращается в тепло.

В случаях сложных механических систем с произвольным числом степеней

свободы схема аналогий имеет столько же замкнутых электрических контуров,

сколько и степеней свободы; при этом элементы, содержащиеся в двух соседних

замкнутых цепях, следует рассматривать как элементы связи.

Эквивалентные схемы. Чтобы практически использовать метод

электромеханических аналогий, необходимо, во-первых, условиться о графическом

изображении механических элементов колебательных систем и, во-вторых, установить

основные закономерности сочетаний элементов. Поскольку R, L, С — двухполюсники,

изобразим элементы r, m, См в виде м е х а н и ч е с к и х , концы которых имеют

скорости смещения ξ1 и ξ2; у элемента массы т одним полюсом служит

изображающая его материальная точка, другим полюсом — неподвижная опора,

т. е. тело большой по сравнению с т массы (например, корпус преобразователя),

относительно которого отсчитывается смещение данного элемента. Если свойство,

которым обладает механический элемент не конкретизируется, то его изображают

произвольным двухполюсником z. Один конец двухполюсника, изображающего силу

F, представляет собой собственно силу, приложенную к элементу, а второй — это

реакция в сторону опоры.

Элементы механической системы могут быть соединены «цепочкой»(рис. 2.6, а)

и «в узел» (рис. 2.6,б). В первом случае на основании закона равенства

действия и противодействия на все элементы действует одна и та же сила; сумма

относительных скоростей концов отдельных двухполюсников равна относительной

скорости концов всей цепочки:

(ξ0 — ξ1)+ (ξ1 — ξ2) +....+ (ξn-i — ξn) =ξ0—ξn. Из этого следует, что электрическим

эквивалентом цепочки является параллельное

соединение аналогичных электрических

элементов.

Во втором случае все механические

двухполюсники имеют одинаковые

относительные скорости концов, а развиваемые

ими усилия складываются. Следовательно, электрический эквивалент соединения

«в узел» представляет собой схему последовательного соединения аналогичных

электрических двухполюсников.

Пользуясь этими правилами, можно составлять эквивалентные электрические

схемы несложных механических систем.

При этом рекомендуется проверять правильность включения элементов схемы

сравнением поведения механической системы и электрической цепи, давая

бесконечно малые или бесконечно 'большие значения элементам системы (схемы).

Рис. 2.6. Соединения механических

двухполюсников

На рис. 2.7 представлен пример составления эквивалентной электрической схемы.

Сила F действует на диаграмму корпуса, т. е. на элементы m0 и Со. В схеме аналогий

сила представлена источником э. д. с, действующей непосредственно на массу m0.

Трение в системе предполагаем сосредоточенным в элементах упругости и

соединенным с ними «в узел». Следовательно, в эквивалентной схеме элементы С1С2 и

r1r2 должны включаться последовательно. Так как параметры m0, Со и r0 также

соединены «в узел», то в схеме аналогий (рис. 2.7, в) они образуют последовательную

цепочку.

Рис. 2.7. Колебательная система (а), ее условное изображение (б) и эквивалентная

схема (е).

Сделаем проверку этого узла схемы. Пусть гибкость Со стремится к пулю, тогда

упругое сопротивление диафрагмы будет стремиться к бесконечности 1/ω0Со—

>∞ и тока в цепи не будет; для механической системы (рис. 5.7, а) это означает, что

под действием силы F система не может колебаться, если диафрагма имеет

бесконечную жесткость.

Далее, элемент С1 (вместе с r1) соединен с элементами диафрагмы цепочкой и,

следовательно, должен быть включен в параллельную ветвь схемы. Масса m1

соединена «в узел» с другими элементами, поэтому она находится в последовательной

ветви схемы, приведенной на рис. 5.7, а. Действительно, пусть m1→∞, тогда в системе

возможны лишь колебания диафрагмы и пружины C1. В переводе на язык

электротехники это означает, что при бесконечно большом индуктивном

сопротивлении ωm1 ток будет проходить через цепь т0—С0—С1 и не будет

проходить через остальную часть цепи. Элементы m2 и С2—r2 соединены цепочкой,

в схеме аналогий они соединены параллельно; эти элементы с m1 соединены «в узел» и

потому их аналоги в схеме (см. рис. 2.7, в) включены последовательно. Придавая

параметрам С2 и т2 предельные значения, аналогичными рассуждениями убедимся в

правильности схемы, изображенной на рис. 2.7,в.

Механическая трансформация сил и скоростей. Как известно, электрические

трансформаторы используются для согласования сопротивлений цепей. В

механических системах трансформация сил и скоростей осуществляется при помощи

рычагов. В технической акустике применяются сходные устройства для согласования

механических или акустических сопротивлений колебательных систем с целью

создания оптимальных условий передачи энергии.

Пусть рычаг с фиксированной осью вращения и

плечами l1 и l2 осуществляет энергообмен между

системами с механическими сопротивлениями z1 и

z2 (рис. 2.8, а). Момент инерции

рычага относительно оси вращения равен J, масса

рычага равномерно распределена по его длине,

отношение плеч l1/ l2=n.

Из механики известны соотношения для сил и

Рис.2.8.Рычаг(а),невесомый рычаг

с приведенной массой на конце (б)

и электрический аналог рычага (в).

скоростей на концах жесткого невесомого

рычага

ξ1/ξ2=F2/F1=n. (2.25)

Известно также, что весомый рычаг можно заменить невесомым, сосредоточив

на одном из его концов эквивалентную массу m1 = J/l12 или m2=J/l2

2.

Применяя уравнение (2.25) к рычагу (рис. 2.8,6), получим

формулу для пересчета сопротивлений к одному концу ры z'=F1/ξ1=F2/n2ξ2=z2/n

2

(2.26)

На основании выражений (2.25) и (2.26) можно заключить, что электрическим

аналогом рычага является идеальный (без потерь) трансформатор, связывающий

двухполюсники z1 и z2 (рис. 2.8,в).

3: Основные параметры электромеханического преобразования.

3.1 Электромеханическая схема.

Представим обратимый электроакустический преобразователь структурной схемой

(рис. 3.1), в узле 1 которой подводимая электрическая энергия частично превращается

в энергию механических колебаний подвижной системы (узел 2), а в узле 3

1 2 J

Прием

Рис. 3.1. Структурная схема

обратимого

электроакустического

преобразователя

происходит также частичное преобразование механической

энергии в энергию звукового поля. Определение последней

составляет задачу расчета режима излучения

преобразователя. В режиме приема превращения энергии происходят по тем же

этапам в обратном направлении и здесь требуется определить эффект на

электрической стороне, например напряжение при единичном звуковом давлении на

акустической стороне, т. е. на приемной поверхности.

Познакомимся с процессом электромеханического взаимодействия по существу,

для чего рассмотрим электродинамический преобразователь. В однородном

магнитном поле кольцевого постоянного магнита 1 (или электромагнита) помещена

катушка 2, жестко скрепленная с диафрагмой 3; по катушке пропускается переменный

ток. Согласно закону взаимодействия магнитного поля постоянного магнита и тока

на катушку будет действовать сила

[ ] IlBIBlf oo == ,* (3.1)

где l — длина провода катушки; Во — постоянная магнитная индукция в зазоре; I —

ток в катушке. При переменном токе в катушке сила f вызовет колебания катушки (и

диафрагмы) с частотой тока и в окружающую среду будет излучаться звуковая

энергия.

При движении катушки со скоростью υ в ней согласно закону индукции возникает

э. д. с.

[ ] ϑϑ oo lBBle −=−= , (3.2)

Общее электрическое напряжение в установившемся режиме преобразователя

будет равно

u = Z0I – lВ0 υ = Z0I — Kυ. (3.3)

Здесь Zo — электрическое сопротивление преобразователя при заторможенной

механической системе (υ = 0); K = u/υ при разомкнутой электрической цепи (I = 0).

Модуль отношения напряжения на разомкнутой электрической стороне к скорости ко-

лебаний механической системы (диафрагмы с катушкой) называют

ко эффициен том э л е к т р о м е х а н и ч е с к о г о п р е о б р а з о в а н и я ; он равен

К=В0l и измеряется в вольт-секундах на метр (В • с/м).

Составим уравнение движения механической системы преобразователя. Сила F,

действующая на колеблющуюся со скоростью υ катушку в отсутствие магнитного поля

и равная zυ (z — механическое сопротивление подвижной части системы),

уравновешивается реакцией механической нагрузки. Полная реакция катушки

учитывает и силу f магнитного взаимодействия [см. (3.1)]

F = zυ + lB0I = zυ + KI, (3.4)

где коэффициент электромеханического преобразования равен отношению силы на

заторможенной механической стороне к току на электрической стороне, т. е.

K=\F/I\ при υ = 0.

Уравнения (3.3) и (3.4) связывают механические и электрические величины

электродинамического преобразователя и позволяют определить две из величин и, I,

F, υ, если известны две другие и параметры z, Z0 , К.

Если к преобразователю не приложены механические силы (F = 0), то,

подставляя значение υ из (3.4) в (3.3), найдем

( )IZZIz

KZu M+=

+= 0

2

0 (3.5)

Выражению (6.5) соответствует схема, изображенная на рис. 6.3 и являющаяся

эквивалентной электрической схемой, преобразователя-излучателя.

Как видно, в рабочем режиме полное (входное) электрическое сопротивление

преобразователя-излучателя складывается из электрического сопротивления при υ =

0 и д и н а м и ч е ского с о п р о т и в л е н и я , обусловленного колебаниями ме-

ханической нагрузки. Действительно, когда 0, →∞→ ϑz , механическая сторона

заторможена, 0→MZ и ZBX = Z0 , т. е. механическая сторона не оказывает реакции на

электрическую сторону преобразователя. При конечной величине z динамическое со-

противление 0≠MZ и ZBX = Z0 + ZM.

Рис.3.3 Эквивалентная электрическая

Схема преобразователя-приемника

Поскольку механическое сопротивление преобразователя г, как правило, является

комплексным, то ZM также имеет активную и реактивную составляющие. Если z чисто

реактивное, то и ZM также будет реактивным, причем в случае z=iωm (инерционный

характер) ZM=K2/iωm=-iK

2/ωm=-i/ωC

’M, т. е. динамическое сопротивление оказывается

емкостным; при z=l/iωCM (упругий характер) последовательно с Zo включается

индуктивное сопротивление механической упругой реакции. На резонансе

механической системы, когда z = r (активный характер), динамическое сопротивление

максимально и, следовательно, потребляемый преобразователем ток минимален.

Аналогичное рассмотрение преобразователя-приемника, выход которого накоротко

замкнут, дает следующее выражение:

(3.6)

( )ϑϑ эzzZ

KzF +=

+=

2

Выражению (3.6) отвечает эквивалентная механическая система преобразователя-

приемника, состоящая из соединенных в узел сопротивлений z и zэ. Сопротивление

реакции электрической стороны на механическую увеличивает полное механическое

сопротивление преобразователя и потому представляет собой сопротивление

электродинамического торможения.

Уравнения (3.3) и (3.4) являются у р а в н е н и я м и

э л е к т р о м е х а н и ч е с к о г о п ре о б р а з о в а н и я электродинамического излучателя

и приемника соответственно. Коэффициент электромеханического преобразования

определяется соотношениями |u/υ|I=0=|FI|υ=0.

Уравнения (6.5) и (6.6) показывают, что электродинамическую колебательную систему

можно рассматривать как простой осциллятор (контур) соответственно механический

или электрический со сложным импедансом, учитывающим взаимные связи. Каждый

контур имеет одну степень свободы и одну обобщенную силу.

Такие же рассуждения можно привести и для других типов электромеханического

преобразования энергии.

Формально простейшая электромеханическая система с одной степенью свободы

может быть представлена как электромеханический четырехполюсник.

3.2 Основные соотношения электромеханического преобразования

Приведем сведения из общей теории линейного обратимого преобразования.

Уравнения двустороннего электромеханического преобразования представляются

следующими комплексными зависимостями между переменными величинами на

входе и на выходе:

u =ZI ± Kυ (3.7)

F = zυ + KI.

Верхний знак относится к так называемым иидуктивным, нижний — к

е м к о с т н ы м преобразователям: в первых движение вызывается

электродинамическими силами взаимодействия токов и их магнитных полей, а токи

создаются э. д. с, возбуждаемыми движением магнитных полей или проводников; во

вторых — движение обусловлено электростатическими силами взаимодействия

между заряженными телами, а разности потенциалов вызываются изменением

относительного расположения заряженных тел.

Полное входное сопротивление преобразователя-излучателя

BНн

BX ZZzz

KZZ +=

++= 0

0

2

0 (3.8)

Полное входное сопротивление преобразователя-приемника

внн

BX zzZZ

Kzz +=

++=

0

2

(3.9)

Здесь через zн обозначено сопротивление механической па-грузки (частью

которого, например, является сопротивление излучения), через Zн — сопротивление

электрической нагрузки (частью которого,., например, является входное

сопротивление усилителя); слагаемые ZBH и zвн носят название внесенных

с оп р о т и в л е ни й .

Теорема электромеханической взаимности внешних воздействий записывается в

виде

I

Fu±=

ϑ (3.10)

и формулируется следующим образом: если к электрической стороне

преобразователя приложено напряжение, вызывающее на механической стороне

скорость, а при действии на механическую сторону силы на электрической стороне

протекает ток, то имеет место равенство модулей отношений напряжения к ско-

рости и силы к току.

Соотношения электромеханической взаимности. Уравнения (3.7)

электромеханического преобразования можно рассматривать как уравнения

некоторого обобщенного четырехполюсника с

разнородными сторонами —

Рис.3.5 Электромеханический

Четырехполюсник механической и электрической. На электрической стороне

действуют напряжение и ток, на механической стороне — сила и колебательная

скорость (рис. 3.5).

Независимо от типа преобразования и конкретного исполнения преобразователя-

излучателя, если только он линейный, описывающие его исходные (электрические)

и выходные (механические) переменные величины связаны линейными

уравнениями:

+=

+=

.

;

2221

1211

IauaF

Iauaϑ (3.11)

где aik — линейные параметры четырехполюсника.

Соответствующую систему уравнений для преобразователя-приемника

(входная сторона — механическая), т. е. для обращенного четырехполюсника,

получим, решая систему (3.11) относительно и и I. В соответствии с известным

свойством линейных параметров пассивного четырехполюсника определитель ∆

равен a11a22-a21a12=±1 (плюс относится к индуктивным, минус — к емкостным

преобразователям). Соблюдая правило знаков (в связи с обращением

преобразователя знаки изменяются у I, F или у υ, и — для индуктивного, у I, υ

или и, F — для емкостного преобразователя), находим

+=

+=

.

;

1121

1222

FaaI

Faau

ϑ

ϑ (3.12)

Коэффициенты aik можно определить опытным путем при режимах короткого

замыкания и холостого хода работы преобразователя. Если, например, прямой и

обращенный преобразователи работают в режиме холостого хода, т. е. I = 0 на

входной стороне излучателя и υ = 0 на входной стороне приемника, то из

уравнений (3.11) и (3.12) получаем

110

0 aF

I

uI ==

==

ϑ

ϑ (3.13)

При коротком замыкании излучателя (u = 0) и заторможенном входе

приемника (υ = 0) находим соотношение

120

0 aF

u

Iu ==

==

ϑ

ϑ (3.14)

Когда электрическая сторона излучателя накоротко замкнута (u=0), а входная

сторона приемника свободна (F = 0), имеем

220

0 au

I

F

Fu ==

== ϑ

(3.15)

И, наконец, когда излучатель и приемник работают в режиме холостого хода, т. е. I

= 0 и F=0, получаем

210

0 aI

u

F

FI ==

== ϑ

(3.16)

Любое из равенств (3.13) — (3.16) можно принять в качестве характеристики

электромеханического преобразования. Эти

равенства называются соотношениями эл ектромехани -

ч е с к о й в з а имн ос т и . Наиболее употребительными оцен-

ками являются к о э ффи ц и е н т э л е к т роме ханиче с ко г о

п р е о б р а з о в а н и я , определяемый соотношением

Рис. 6.6. Эквивалентная

схема преобразователя с

электромеханическим

трансформатором.

00,

== ==

ϑϑ ϑ I

FuK II , (3.17)

и к о эффици ен т т р ан сформации , оп р е д е л я емый с о о т н ошением

0

0,=

= ==ϑ

ϑϑ u

FIN Iu (3.18)

и измеряемый в ампер-секундах на метр (А*с/м) или ньютонах на вольт

(Н/В). Индексы у К и N означают режимы работы преобразователя в прямом и

обратном направлениях. Соотношения (3.15) и (3.16) также определяют

коэффициенты преобразования KU,F и трансформации NI,F, измеряемые в условиях

ненагруженной механической стороны и соответственно короткого замыкания и

холостого хода электрической стороны.

Термин «коэффициент трансформации» для величины N оправдывается тем, что

согласно равенствам (3.14) и (3.16) обе стороны преобразователя можно считать

связанными посредством некоторого фиктивного трансформатора с коэффициентом

трансформации N (рис. 3.6).

3.3 Режим излучения

Важными техническими характеристиками электромеханического

(электроакустического) преобразователя являются его сопротивления, измеренные

как со стороны входа, так и со стороны выхода. Входное сопротивление

преобразователя-излучателя определяет согласование его с источником

возбуждения, а его выходное сопротивление — согласование с акустической средой.

Если источник возбуждения обладает большим внутренним сопротивлением, то при

непосредственном подключении к нему преобразователя с малым входным

сопротивлением отдаваемая излучателю мощность окажется малой. Входное и вы-

ходное сопротивления преобразователя-приемника играют аналогичную роль.

Сопротивление преобразователя. Определим сначала электрическое Z и

механическое z сопротивления электромеханического четырехполюсника. Значения

их, естественно, зависят как от свойств преобразователя, так и от условий измерения.

Если механическая сторона сначала заторможена (υ = 0), а затем свободна (F=0), TO ИЗ

уравнений (6.12) и с учетом выражений (3.17) и (3.18) находим электрические

сопротивления:

FI

Fu

FF

u

I

N

K

I

uZ

N

K

I

uZ

,

,

0,

,0 ; ====

==

ϑ

ϑϑϑ

Принимая холостой ход (I = 0) и короткое замыкание (u = 0) электрической стороны, из

уравнений (6.11) получаем механические сопротивления:

FIuu

uIFII KNF

zKNF

z ,,0

,,01 ; ϑϑϑϑ

=====

= (3.20)

Когда выходная сторона преобразователя нагружена на сопротивление конечной

величины, то измеренное при этом сопротивление с входной стороны изменится. В

этом случае полное входное сопротивление преобразователя следует рассчитывать

по формулам (3.8) или (3.9), учитывающим влияние колебаний другой стороны; в этих

формулах K=KI,υ, Z0 = Zυ, z=zI.

Если выходное сопротивление преобразователя-излучателя определено в режиме

холостого хода электрической стороны, т. е. zвых = z1 = z, то при наличии нагрузки zн

выходное сопротивление будет равно сумме z + zн и в общем случае имеет активную и

реактивную составляющие, т. е.

Zвых=z+zн=r+ix (3.21)

Подставив (6.21) в (6.8), найдем внесенное электрическое сопротивление

внвнвн iXRixr

KZ =

+=

2

(3.22)

где Rвн=|K2|r/|zвых|

2; Xвн= - |K

2|x/|zвых|

2 .

Входное сопротивление излучателя Z0, измеренное при заторможенной

механической стороне, также комплексное, т. е. Z0 = R0 + iX0. Таким образом,

входной импеданс преобразователя будет равен

ZВХ = Z0+ ZВН+ i (X0 + XВН) = RВХ + i XВХ (3.23)

Мощность преобразователя. Согласно эквивалентной электрической схеме

преобразователя-излучателя (см. рис. 3.3) можно записать u = I(Z0+ZM), где ZM=Zвн,

откуда u = IZвх = I (Rвх + iXвх)- Умножив обе части этого равенства на величину,

комплексно-сопряженную току, протекающему через преобразователь, получим

полную потребляемую преобразователем электрическую мощность.

Действительная часть произведения, т. е. 0,5 Re (ul*), учитывающая выделение

энергии на активных элементах R0 и Rвн будет выражать потребляемую от источника

возбуждения активную мощность, равную

Рэ = I2(Ro + Rвн) = I

2R0 + I

2Rвн. (3.24)

Здесь первое слагаемое представляет собой мощность, рассеиваемую во входной

части в форме тепла на активных электрических сопротивлениях, т. е. является

мощностью электрических потерь

Pэ.п = I2R0 (3.25)

Мощность Pэ.п может быть обусловлена омическим сопротивлением, вихревыми

токами, магнитным и электрическим гистерезисом, несовершенством диэлектрика.

Чтобы выяснить характер второго слагаемого выражения (3.24), допустим, что

механическая сторона преобразователя заторможена и колебания отсутствуют, тогда

|zвых|=∞, Rвн = 0 и мощность, определяемая вторым слагаемым в (3.24), равна нулю.

Таким образом, мощность

Pм = I2Rвн (3.26)

расходуется на движение механической части, или, иначе, это мощность, преобразуемая в

механическую. Активную мощность Рм, развиваемую преобразователем-излучателем на

выходной стороне, называют механической мощностью излучателя.

Коэффициент полезного действия преобразователя. Для оценки эффективности

излучателя как преобразователя подводимой к его входу активной электрической

мощности в активную механическую, развиваемую на его выходе, служит элек-

тромеханический к. п. д. ηэм. С учетом (3.24) и (3.26) имеем

вн

вн

э

мэм

RR

R

Р

P

+==

0

η

Заключение

Представленный материал освещает теоретические и практические вопросы

функционирования электромеханических преобразователей. Рассмотрены общие

основы анализа электромеханических преобразователей, присущие преобразователям

всех типов. Особое внимание уделено современным методам проектирования и

компьютерного моделирования, которые представлены в виде конкретных примеров

численных расчетов пьезоэлектрических преобразователей стержневого типа.

Список используемой литературы

1. Е. Кикучи. Ультразвуковые преобразователи. М.: Мир. 1979, 189 с.

2. Свердлин Г.М. Прикладная гидроакустика. Л.: Судостроение. 1980, 232 с.

3. Харкевич А.А. Теория электроакустических преобразователей. Волновые

процессы. М.: Наука, 1973.

4. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1976.

5. Аронов Б.С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической

керамики. Л.: Энергоатомиздат. 1990, 271 с.

33

1. Системы с распределенными параметрами

1.1. Сплошная среда, основные понятия теории упругости

При распространении волн среду распространения удобно описывать как

континуум, т.е. как сплошную среду. Для описания процессов в сплошной среде

вводится понятие полей: поле плотности, поле смещений, скоростей и ускорений, поле

механических напряжений, электрических потенциалов, температур и т.д. Таким

образом, все величины, описывающие процессы в среде, являются функциями

координат и времени.

Эти поля должны удовлетворять основным законам сохранения, или баланса:

массы, заряда, импульса, момента количества движения и энергии.

Кроме того, имеются некоторые специальные соотношения, характеризующие

конкретные свойства той или иной среды – определяющие соотношения среды. Они

устанавливают связь между механическими величинами, определяют поток

немеханической (например, тепловой) энергии, связывают друг с другом различные

термодинамические величины и т.д. Примерами таких соотношений являются закон

Гука, закон Ньютона для вязкости, закон Фурье для теплопроводности, уравнения

состояния газа, уравнения пьезоэффекта и многие другие. Подчеркнем, что в отличие от

универсальных законов сохранения, определяющие соотношения являются

эмпирическими и справедливы лишь для рассматриваемой модели среды.

Конкретные уравнения динамики процессов в конкретной среде, например, для

вязких или идеальных жидкостей, для упругих или вязкоупругих тел и т.д., могут быть

получены при подстановке определяющих соотношений в основные уравнения баланса.

Уравнения баланса могут быть представлены в интегральной и

дифференциальной формах.

В последнем случае они представляют собой систему дифференциальных

уравнений в частных производных. Для получения однозначного решения задачи о

колебаниях ограниченного тела нужно добавить граничные условия, т.е. ограничения,

накладываемые на полевые величины на границе расчетной области, а также, если

34

необходимо, значения величин в начальный момент времени и также, зависимость от

времени внешних нагрузок внутри области, например, сил, температуры и т.д. Таким

способом формируется так называемая краевая задача, а перечисленные условия

составляют содержание теорем единственности, т.е. однозначности решения краевых

задач.

Остановимся несколько подробнее на понятиях, используемых в механике

твердых тел, поскольку именно такие тела используются в конструкциях

пьезопреобразователей.

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошная среда, составляет

содержание теории упругости.

Под влиянием приложенных сил твердые тела деформируются, т.е. изменяют

свою форму и объем. Рассмотрим способы описания деформированного состояния тела.

Положение каждой точки недеформированного тела описывается ее радиусом -

вектором rrс компонентами: zxyxxx === 321 ,, . При деформировании тела все его

точки в общем случае смещаются. Пусть – ur

- вектор смещения точки. Тогда, новое

положение точки описывается вектором с компонентами: iii uxx +=′ . Вектор ur

называется вектором деформации, он зависит от координат i

x точки. Задание вектора ur

как функции ix для каждой точки тела полностью определяет деформацию тела.

При деформировании изменяются расстояния между точками тела. Для описания

этих изменений вводится тензор деформаций. Рассмотрим две близкие точки тела.

Радиус – вектор между ними до деформирования был rdr

, а после деформации

udrdrdrrr

+=′ . Тогда квадрат расстояния между точками до деформирования равен

2

3

2

2

2

1

2dxdxdxdl ++= . При оперировании с векторными и тензорными выражениями

часто используется следующее соглашение: по дважды повторяющимся индексам

подразумевается суммирование от 1 до 3, а знаки суммирования опускаются. Таким

образом,

2

3

1

2

iiii

ii dxdxdxdxdxdl ===∑=

Квадрат расстояния между точками в деформированном теле равен

35

22 )( ii dudxld +=′

Для дифференциала смещения используем формулу конечных приращений

k

k

i

i dxx

udu

∂

∂=

Окончательно получим

kiik

dxdxudlld 222 +=′ ,

где

)(2

1

k

l

i

l

i

k

k

i

ikx

u

x

u

x

u

x

uu

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= (1)

Величина ik

u называется тензором деформаций. Как видно из (1) тензор

деформации симметричен, т.е. kiik uu = .

Для малых деформаций изменение расстояний мало по сравнению с самими

расстояниями. В этом случае третьим слагаемым в выражении (1) пренебрегают, и

тензор малых деформаций имеет вид:

)(2

1

i

k

k

i

ikx

u

x

uu

∂

∂+

∂

∂= (2)

В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его

теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в

механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь

объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других

частей, равна нулю. При деформировании расположение молекул изменяется, и тело

выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В

результате в нем возникают силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия.

Эти возникающие при деформировании силы называются внутренними напряжениями.

Внутренние напряжения обуславливаются молекулярными силами. Для теории

упругости существенным является то обстоятельство, что влияние этих сил

простирается на расстояния порядка межмолекулярных. С другой стороны, в теории

упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния,

большие по сравнению с межмолекулярными. Отсюда следует, что силы, оказываемые

36

на какую-нибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, действуют

непосредственно через поверхность этой части.

Выделим в теле какой-нибудь объем и рассмотрим действующую на него

суммарную силу. С одной стороны, эта сила равна сумме всех сил, действующих на

каждый элемент рассматриваемого объема, т.е. она может быть представлена в виде

объемного интеграла

dVF∫r

где Fr

- сила, действующая на единицу объема. Силы, с которыми действуют друг на

друга различные части выделенного объема, в силу закона равенства действия и

противодействия в сумме уничтожаются. Поэтому искомая результирующая сила

может быть представлена в виде суммы сил, действующих на элементы поверхности

объема, т.е. в виде некоторого интеграла по всей поверхности выделенного объема.

Таким образом, для любого объема тела каждая из трех компонент dVFi∫

равнодействующей всех внутренних напряжений может быть преобразована в интеграл

по поверхности этого объема. Как известно из векторного анализа, интеграл от скаляра

по произвольному объему может быть преобразован в интеграл по поверхности в том

случае, если этот скаляр является дивергенцией некоторого вектора. В данном случае

вместо скаляра мы имеем дело с тремя компонентами вектора. Это значит, что вектор

iF должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т.е.

k

ik

ix

F∂

∂=

σ (3)

Тогда,

∫∫ ∫ =∂

∂= kik

k

ik

i dfdVx

dVF σσ

(4)

где kdf - компоненты вектора fdr

элемента поверхности, направленного по внешней

нормали к поверхности.

Тензор ik

σ называется тензором напряжений. Как видно из (4) kik

dfσ - есть i–я

компонента силы, действующая на элемент поверхности fdr

. Выбирая разные

направления элементарных площадок, получим, что компонента ikσ тензора

37

напряжений есть i–я компонента силы, действующей на единичную поверхность,

перпендикулярную к оси k

x . Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси x ,

действует нормальная к ней сила xxσ и тангенциальные силы yx

σ и zxσ .

Аналогично, момент сил, действующих на некоторый объем со стороны

остальных частей тела, должен выражаться в виде интеграла по поверхности объема.

Исходя из этого, доказывается, что тензор напряжений – симметричный тензор, т.е.

kiik

σσ = (5)

Определяющие отношения для упругой среды имеют вид закона Гука,

выражающего линейную связь между компонентами тензора напряжений и тензора

деформаций:

jlikjlik uc=σ (6)

В выражении (6) по дважды повторяющимся индексам j и l производится

суммирование, а коэффициенты пропорциональности ikjlc представляют собой модули

упругости – компоненты тензора 4 ранга. Исходя из симметричности тензора

деформаций и тензора напряжений, получим, что тензор упругих модулей симметричен

относительно перестановки индексов как внутри первой и так и второй пары, а из

условия положительности внутренней энергии получим симметрию относительно

перестановки первой и второй пар индексов.

Уравнение движения упругой среды получается, если, исходя из закона Ньютона,

приравнять произведение ускорения i

u&& на массу единицы объема тела, т.е. на его

плотность ρ , сумме сил внутренних напряжений k

ik

x∂

∂σ и сторонних объемных сил iF ,

если таковые имеются (например, сила тяжести):

=i

u&&ρk

ik

x∂

∂σ+

iF (7)

(7) представляет собой систему трех дифференциальных уравнений в частных

производных.

В большинстве конструкций преобразователей используются, кроме

пьезоэлектрика, изотропные материалы, например, различные металлы. Упругие

38

свойства изотропных материалов могу быть выражены через две константы. Наиболее

часто используется пара: модуль Юнга E и коэффициент Пуассона σ . Запишем закон

Гука с коэффициентами, выраженными через эти константы:

)]()1[()21()1(

zzyyxxxx uuuE

++−−+

= σσσσ

σ

)]()1[()21()1(

zzxxyyyy uuuE

++−−+

= σσσσ

σ (8)

)]()1[()21()1(

yyxxzzzz uuuE

++−−+

= σσσσ

σ

yzyzxzxzxyxy

uE

uE

uE

σσ

σσ

σσ

+=

+=

+=

1,

1,

1

1.2. Численные методы решения краевых задач.

Метод конечных элементов

Представление уравнений баланса в интегральной форме используется для

формулировки различных вариационных принципов. С помощью вариационных

принципов краевая задача представляется в виде, удобном для реализации численного

алгоритма решения задачи. Существуют различные численные методы, например,

метод конечных разностей, метод граничных элементов, метод конечных элементов и

т.д. Наибольшего развития, доведенного до уровня готовых программных продуктов,

реализующих его, получил метод конечных элементов [1,2].

Приведем краткую характеристику метода на примере задач теории упругости.

Расчетная область разбивается на конечное число подобластей – элементов. Соседние

элементы контактируют в вершинах элементов – узлах сетки. Поскольку конечный

элемент представляет собой часть расчетной области, то ему присущи свойства этой

области, определяемые набором констант, входящих в материальные соотношения

среды. Исходная задача теории упругости, как упоминалось выше, решается

относительно поля вектора смещений i

u . Вместо этого, в методе конечных элементов

находятся компоненты вектора смещений в дискретных точках – узлах сетки. Эти

39

переменные называются степенями свободы конечного элемента. Таким образом,

задачам разного физического содержания соответствуют разные конечные элементы с

разными наборами степеней свободы и различными определяющими соотношениями.

Значение искомых величин внутри элемента аппроксимируется через из значения в

узлах элементов с помощью полиномов разного порядка. Обычно – это полиномы

первого или второго порядков. Далее используя тот или иной вариационный принцип,

для задач теории упругости - это принцип минимума потенциальной энергии, краевая

задача сводится к решению системы линейных уравнений – т.е. к матричной

формулировке. Точность решения может быть улучшена не за счет повышения порядка

аппроксимирующих полиномов, а за счет увеличения числа конечных элементов, т.е.

уменьшения их характерных размеров.

1.3. Программа ANSYS

Среди программ, реализующих метод конечных элементов, наиболее развитым и

всеобъемлющим является пакет ANSYS [3, 4], который, среди прочего, позволяет

учитывать и пьезоэлектрические свойства материалов, являющихся ключевым

материалом для преобразователей.

Перечислим основные этапы решения задач в рамках ANSYS и коротко

охарактеризуем каждый из них:

1. Построение конечно-элементной модели задачи.

2. Выбор типа проводимого анализа и его опций, задание возбуждающих и прочих

нагрузок, граничных и ограничивающих условий и, собственно, получение

решения.

3. Просмотр и обработка результатов.

Построение конечно-элементной модели начинается с построения геометрии

расчетной области. Программа представляет множество удобных механизмов

построения: создание ключевых точек, линий и замкнутых областей в одномерном,

двумерном и трехмерном пространстве. Для построения двумерных и трехмерных

40

областей также применяются геометрические примитивы: круги, цилиндры

параллелепипеды и т.д., а также набор булевских операций по сложению, вычитанию,

пересечению и т.д. построенных областей.

Далее с каждой построенной областью нужно связать свойства среды,

определяющие физику рассматриваемых в ней явлений. Это достигается выбором типа

конечных элементов для данной области. Библиотека ANSYS содержит большое число

типов конечных элементов, предназначенных для решения различных задач. Среди них,

например, имеются элементы, предназначенные для моделирования систем с

сосредоточенными параметрами, такие как грузики на пружинках, элементы для

решения температурных, электрических, упругих и других задач. Большинство

элементов требуют задания материальных свойств среды, динамику процессов в

которой они моделируют. Некоторые элементы требуют задания дополнительных

параметров, так называемых реальных констант. Это может быть, например, площадь

поперечного сечения одномерного элемента и другие параметры. Как правило, с

каждым типом элементов связан определенный набор его степеней свободы. Для

некоторых типов элементов, например, для элементов, описывающих связанные поля,

существует несколько наборов степеней свободы. Выбор нужного набора

осуществляется с помощью специальных ключевых опций элемента (KEYOPT).

Среда может обладать изотропными или анизотропными свойствами. Каждый тип

элемента имеет свою собственную элементную систему координат, определенным

образом ориентированную относительно глобальной декартовой системы координат.

Для анизотропной среды материальные свойства описываются тензорами различного

ранга. Число ненулевых компонент, а также отличных друг от друга компонент, зависит

от системы координат, в которой они описываются. Наиболее простой вид

материальные тензорные величины имеют в системе координат, отражающей

симметрию свойств среды. Это – элементная система координат. Подчеркнем, что

именно в этой системе координат и задаются свойства анизотропной среды. Если

ориентация элементной системы координат отличается от принятой по умолчанию, то

при задании свойств анизотропного материала в ANSYS, необходимо задать эту другую

ориентацию. Программа затем преобразует вводимые тензорные величины к

41

глобальной декартовой системе координат, в которой рассматривается решение всей

задачи.

Набор материальных свойств, набор реальных констант, тип конечного элемента

и, если необходимо, элементная система координат составляют так называемые

атрибуты расчетной области, которые задаются с помощью различных команд ANSYS.

Следующий шаг в создании модели – это построение конечно-элементной сетки

во всей расчетной области. Существуют различные механизмы управления этим

процессом, например, сетка может быть регулярной, произвольной или адаптивной.

Можно изменять длину ребра элемента, включать и отключать контроль за формой

элементов в сетке и т.д. Отметим, что построение приемлемой сетки, особенно для

трехмерных областей, является трудоемким и сложным процессом и во многом зависит

от опыта программиста. После задания атрибутов сетки мы даем указание программе

построить сетку в расчетной области. На этом процесс создания конечно-элементной

модели можно считать завершенным.

Программа ANSYS позволяет применять различные типы анализа построенной

модели. Наиболее часто используемые типы анализа:

• статический анализ – получение установившегося решения при независящих от

времени нагрузках и граничных условиях;

• гармонический анализ – получение установившегося решения при гармонически

изменяющихся во времени с определенной частотой нагрузках и граничных

условиях;

• модальный анализ – нахождение собственных частот и соответствующих им

собственных форм колебаний тел конечных размеров – решение однородной

краевой задачи;

• анализ переходных процессов – получение решения при произвольно зависящих

от времени нагрузках и граничных условиях.

Выбор типа анализа осуществляется специальными командами ANSYS. Кроме того,

необходимо задать опции анализа, разные для разных типов анализа. Например, в

гармоническом анализе необходимо задать частотный интервал, а также число точек в

частотном интервале, для которых будет получено решение.

42

Следующий шаг – это задание граничных условий, условий закрепления

различных частей рассчитываемой конструкции, возбуждающие колебания нагрузки,

условия симметрии задачи и т.д. После чего задача отправляется на выполнение.

В программе ANSYS предусмотрено множество средств для просмотра и

обработки результатов расчетов. Постобработка производится в основном в двух

постпроцессорах;

POST1 – просмотр результатов в определенный момент времени или, например, на

определенной частоте для гармонического анализа.

POST26 – просмотр результатов во времени или, например, диапазоне частот для

гармонического анализа.

POST1 содержит мощное средство визуализации во времени динамики полей и

деформаций – анимацию. Анимация может быть неоценимым помощником инженера

при конструировании устройств различной сложности и различного направления.

2. Основные типы пьезоэлементов, применяемые в пьезопреобразователях

2.1. Уравнения пьезоэффекта

В некоторых кристаллах, например, кварце, турмалине, существует связь между

механическими и электрическими величинами. При сдавливании кристалла в

определенном направлении на его поверхностях появляется заряд – это прямой

пьезоэффект. И, наоборот, при создании между определенными гранями кристалла

разности потенциалов наблюдается его деформация – обратный пьезоэффект.

Обязательным условием существования пьезоэффекта в кристаллах является наличие в

них полярного направления, или односторонней оси симметрии. Коэффициент

пропорциональности между силой и зарядом получил название пьезомодуля.

Пьезоэффектом обладает и другая группа кристаллов -сегнетоэлектрики,

например, титанат бария, а также, что особенно важно для практики, ряд материалов,

полученных по керамической технологии, например, твердые растворы системы

цирконата титаната свинца (ЦТС). Именно эти материалы и рассматриваются ниже.

43

При понижении температуры ниже определенной, называемой температурой Кюри, в

них происходит фазовый переход из неполярной параэлектрической фазы в полярную

сегнетоэлектрическую фазу, характеризующуюся наличием спонтанной поляризацией,

т.е. существованием асимметрии в расположении связанных отрицательных и

положительных электрических зарядов. Однако, перестройка кристаллической

структуры ячеек происходит в обычных условиях кусочно – однородно. Векторы

спонтанной поляризации кристаллических ячеек имеют одинаковое направление лишь

в малых областях, так называемых доменах, а поляризация доменов равномерно

распределена по всем направлениям. Таким образом, суммарный вектор поляризации

керамической заготовки равен нулю, и пьезоэффект не проявляется. Для того, чтобы

такие материалы обладали пьезоэлектрическими свойствами, их подвергают процессу

поляризации – предварительной обработке постоянным электрическим полем при

повышенной температуре. Под действием электрического поля происходит перестройка

доменной структуры так, что их спонтанная поляризация будет направлена

преимущественно вдоль направления поляризующего поля. После снятия поля

преимущественное расположение векторов поляризации сохраняется и, следовательно,

в среднем все тело будет иметь ненулевую поляризацию – остаточную поляризацию.

Полярное направление в таком предварительно обработанном материале совпадает с

направлением оси остаточной поляризации, а материал теперь будет обладать

пьезоэффектом.

Определяющие соотношения пьезоэлектрической среды имеют вид:

kkuvstuvstE

uv

jijT

uviuvi

Edsu

EdD

+=

+=

σ

εσ (9)

где

i

D - вектор индукции электрического поля;

iE - вектор напряженности электрического поля;

uvid - тензор третьего ранга пьезомодулей. В силу симметричности тензора

напряжений тензор пьезомодулей симметричен относительно перестановки

второго и третьего индексов;

44

ijTε - симметричный тензор второго ранга диэлектрических проницаемостей,

измеренных для свободного элемента (T=const);

uvstE

s - симметричный тензор четвертого ранга упругих податливостей,

измеренных в режиме короткого замыкания (E=const).

Как уже указывалось выше, по дважды повторяющимся индексам в уравнениях

(9) предполагается суммирование от 1 до 3.

Второй член в первом уравнении (9) описывает связь электрических величин в

диэлектрике, а первый член во втором уравнении описывает закон Гука в упругих

телах. Перекрестные члены в уравнениях (9) описывают прямой и обратный

пьезоэффект.

Для удобства на практике используется матричная форма записи тензорных

уравнений типа (9) [5]. Будем различать «электрические» индексы – kji ,, и

«механические» индексы – tsvu ,,, . Заменим пары «механических» индексов,

пробегающих значения 1, 2, 3, на матричные индексы, пробегающие значения 1, 2,…,6,

по правилу:

6,5,4,3,2,1 →→→→→→ xyzxyzzzyyxx (10)

Тогда уравнения (9) перепишутся в виде:

jijT

mimi ETdD ε+= (11)

jmj

t

nmnE

m EdTsS +=

Здесь:

индексы i,j пробегают значения от 1 до 3, а m,n – от 1 до 6;

mj

td - транспонированная матрица пьезомодулей;

mT - вектор-столбец механических напряжений с 6 компонентами;

mS - вектор-столбец деформаций с 6 компонентами;

mnE

s - квадратная симметричная матрица упругих податливостей размером 6x6.

Как уже упоминалось выше, симметрия свойств материала уменьшает число

ненулевых коэффициентов матриц коэффициентов. Для поляризованной

45

пьезокерамики, имеющей ось симметрии бесконечного порядка, направленную по оси

остаточной поляризации, отличны от нуля лишь следующие коэффициенты:

упругие: 665544331223132211 ,,,,, sssssssss ===

пьезоэлетрические: 2415323133 ,, ddddd ==

диэлектрические: 332211 , εεε =

Рассматривая другие сочетания независимых электрических и механических

величин в правой части уравнений (11), получим еще три системы определяющих

уравнений пьезоэлектрической среды:

jijS

mim

kmkt

nmnE

m

ESeDi

EeScT

ε+=

−= (12)

jijT

mimi

kmkt

nmnD

m

DTgE

DgTsS

β+−=

+= (13)

jijS

mimi

kmkt

nmnD

m

DShE

DhScT

β+−=

−= (14)

Рассмотрим следствия определяющих соотношений (11) на примере кубика,

поляризованного по оси Z), находящегося при простых механических и электрических

условиях.

Если кубик находится под действием одностороннего механического напряжения

по оси Z, т.е. отлична от нуля лишь одна компонента напряжений 3T , то на

поверхностях кубика, перпендикулярных оси Z, индуцируется заряд с плотностью

333Td . Этот эффект принято называть продольным эффектом. Если одностороннее

напряжение действует по оси X (или оси Y), т.е. отлична от нуля лишь одна компонента

напряжений 1T , то на поверхностях кубика, перпендикулярных оси Z, индуцируется

заряд с плотностью 131Td . Этот эффект принято называть поперечным эффектом.

Наконец, если отлична от нуля лишь сдвиговая компонента 5T механических

напряжений, то на поверхностях кубика, перпендикулярных оси X, индуцируется заряд

с плотностью 515Td . Этот эффект принято называть сдвиговым эффектом.

46

Рассмотрим теперь реакцию на однородное электрическое поле, т.е. проявления

обратного пьезоэффекта. Если кубик находится под действием однородного

электрического поля по оси Z, т.е. 3E , то отличны от нуля относительная деформация

по оси Z 3333 EdS = - продольный эффект, и относительные деформации по осям X, Y

33121 EdSS == - поперечный эффект. Если однородное электрическое поле задано по

оси X (или Y) )( 21 EE , то отлична от нуля сдвиговая деформация )()( 211545 EEdSS = .

Обратный пьезоэффект используется обычно для возбуждения колебаний в

устройствах, а прямой пьезоэффект – для регистрации колебаний. В соответствии с

выше сказанным, электроды пьезоэлементов наносятся либо на поверхности,

перпендикулярные направлению остаточной поляризации, либо на поверхности,

параллельные этому направлению. Возможны и применяются на практике и более

сложные варианты, в которых может быть осуществлена неоднородная поляризация

или сложная конфигурация и форма электродов.

Как правило, применяемые в различных устройствах пьезоэлементы,

ориентированы на использование рассмотренных выше проявлений пьезоэффекта и

имеют простую геометрическую форму и простые электроды,. Это, например:

• тонкие пластинки круглого или прямоугольного сечения, поляризованные по

высоте и имеющие электроды, нанесенные на большие поверхности элемента;

• сплошные цилиндры, поляризованные по высоте с электродами, нанесенными на

горизонтальные поверхности;

• пустотелые цилиндры, поляризованные по высоте или в радиальном направлении,

с электродами, нанесенными или на горизонтальные поверхности, или на

внутреннюю и внешнюю цилиндрические поверхности;

• тонкие прямоугольного стержни с разным направлением вектора остаточной

поляризации относительно оси стержня и с электродами, нанесенными на разные

поверхности;

• прямоугольные параллелепипеды со сравнимыми размерами по трем

направлениям, имеющие различное направление остаточной поляризации и

различные электродированные поверхности;

47

• сферические сегменты, поляризованные по радиусу с электродами, нанесенными

на внутреннюю и внешнюю сферическую поверхность сегмента.

Форма элемента, направление остаточной поляризации, форма и расположение

электродов определяются функциональным назначением проектируемого устройства,

диапазоном его рабочих частот и зависят также от ряда других и, в - частности,

технологических факторов.

2.2. Расчет колебаний пьезоэлементов

Волны в ограниченных телах значительно отличаются от волн в неограниченной

среде. Вследствие наложения многократно отраженных от границ волн установившиеся

колебания в теле имеют вид стоячих волн. Как следствие, скорость распространения

волн в ограниченном теле отличается от скорости волн в бесконечной среде. Другим

следствием ограниченности тел является существование в них дискретного набора

частот собственных колебаний и, соответствующим им, собственных форм колебаний.

При возбуждении колебаний в теле внешними источниками при приближении частоты

возбуждения к собственной частоте колебаний тела наблюдается резкое (для

идеального тела бесконечное) возрастание амплитуд ряда полевых величин. Этот

эффект называется резонансом. Резонансный режим работы часто используется на

практике в различных устройствах, использующих пьезоэлементы в качестве активных

элементов конструкции.

Для некоторого прояснения этих понятий, а также для сравнения аналитических

результатов с приводимыми далее численными результатами, рассмотрим некоторые

простые пьезоэлементы, поддающиеся относительно простому аналитическому

расчету.

2.2.1. Продольные колебания стержня в поле,

перпендикулярном его длине

Рассмотрим тонкий стержень, ось которого совпадает с осью X. Стержень

поляризован по оси Z, электроды нанесены на поверхности, перпендикулярные оси Z,

рисунок 1. Оба поперечных размера малы по сравнению с длиной.

48

Рисунок 1 – Модель стержня

На электродированных гранях 012 == EE . Поскольку толщина стержня h мала,

то это соотношение выполняется во всем объеме стержня. Аналогично, напряжения

065432 ===== TTTTT на боковых свободных поверхностях стержня. Поскольку

размеры a и h малы, то эти напряжения будут равны нулю и во всем объеме стержня.

Таким образом, в данном случае задача оказывается существенно одномерной и

координаты x и y исключаются из рассмотрения.

Уравнения состояния (11) принимают вид:

3311111

3331313

EdTsS

ETdD

E

T

+=

+= ε (15)

а уравнение движения (7) имеет вид

x

T

t

u

∂

∂=

∂

∂ 1

2

1

2

ρ (16)

Для описания колебаний в пьезоэлектрической среде добавляются еще уравнения

квазистатического электрического поля в отсутствии свободных зарядов:

0, =∂

∂=−=

i

i

x

DDdivgradErr

ϕ (17)

Из второго уравнения (15) выразим 1T через 1S и 3E и подставим в (17):

x

E

s

d

x

u

st

uEE ∂

∂−

∂

∂=

∂

∂ 3

11

31

2

1

2

112

1

21

ρ (18)

Поверхности с электродами являются эквипотенциальными поверхностями,

вытянутыми вдоль оси X, следовательно, 03 =∂

∂

x

E.

49

Введем скорость распространения продольных волн в стержне при постоянном

электрическом поле

11

2 1)(

El

E

sv

ρ= (19)

Тогда, уравнение (18) принимает вид:

2

1

22

2

1

2

)(x

uv

t

ul

E

∂

∂=

∂

∂ (20)

При гармоническом возбуждении tieEE ω03 = . Тогда, решение

дифференциального уравнения (20) имеет вид:

ti

lE

lE

ev

xB

v

xAu

ωωω]cossin[1 += (21)

На свободных концах стержня ),0( lxx == напряжение 1T равно нулю. Отсюда

найдем постоянные интегрирования:

)/sin(

1)/cos(, 031031

lE

lE

lE

lE

vl

vlEdvB

EdvA

ω

ω

ωω

−== (22)

Полная комплексная проводимость колеблющегося стержня определяется

выражением:

∫

∫==

h

l

dzE

dxDa

U

IY

0

3

0

3&

(23)

Индукция 3D находится из уравнений (15):

ti

lE

lE

lE

lEEE

TeE

v

x

v

lv

l

v

x

s

d

s

dD

ωωω

ωω

ε 011

2

31

11

2

31333 ]}sin

sin

cos1

[cos){(

−++−= (24)

Подставив (24) в (23) и производя тригонометрические преобразования, получим

выражение для проводимости стержня:

]2/

)2/()[(

11

2

31

11

2

3133

lE

lE

EE

T

vl

vltg

s

d

s

d

h

laiY

ω

ωεω +−= (25)

50

В отсутствие потерь на частоте резонанса проводимость стержня обращается в

бесконечность:

∞=l

E

r

v

ltg

2

ω

Для частоты резонанса тогда получим соотношение

l

v lE

r

πω = ,

l

vf

lE

r

r22

==π

ω (26)

Амплитуда смещений точек стержня при приближении к частоте резонанса

неограниченно возрастает.

Длина волны рассмотренных колебаний равна f

v lE

=λ . Отсюда видно, что на

частоте резонанса на длине стержня умещается половина длины волны.

Частота антирезонанса для стержня без потерь определяется условием обращения

в ноль проводимости стержня. Тогда, из (25) следует уравнение для определения

частоты антирезонанса:

)1(22

2

31

1133

d

s

f

f

f

ftg

ET

r

a

r

a εππ−= (27)

Это трансцендентное уравнение может быть решено численно. Здесь интересно

отметить, что решением уравнения (27) является отношение частот антирезонанса и

резонанса, которое определяется константами материала, но не зависит от размеров

стержня.. Это означает, например, что для стержня из того же материала, но с другой

длиной (при условии сохранения одномерности колебаний), частота резонанса будет

другой, но отношение частот резонанса и антирезонанса остается неизменным.

2.2.2. Продольные колебания стержня в поле,

параллельном его длине

Этот случай отличается от предыдущего видом электрических граничных

условий, однако это различие существенно изменяет электромеханические свойства.

51

Рассмотрим пьезоэлектрический стержень, ось которого совпадает с осью Z,

поляризованный вдоль оси. Электроды нанесены на концевые грани, перпендикулярные

оси Z. Поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной. Для получения

одномерного приближения предположим, что поскольку диэлектрическая

проницаемость пьезокерамики на несколько порядков превышает диэлектрическую

проницаемость среды, то электрические поля рассеяния отсутствуют, и электрические

силовые линии параллельны оси стержня. Поэтому 021 == DD . Из второго уравнения

(17) получим 0/3 =∂∂ zD . Аналогично предыдущему случаю при малых поперечных

размерах стержня получим, что все компоненты механических напряжений, кроме 3T ,

равны нулю. В этих условиях удобно использовать систему определяющих

соотношений (13):

3333333

3333333

DTgE

DgTsS

T

D

β+−=

+= (27)

Введем скорость продольных колебаний при постоянной индукции

33

2 1)(

Dl

D

sv

ρ= (28)

Тогда волновое уравнение имеет вид:

2

3

2

2

2

3

2

)(z

uv

t

ul

D

∂

∂=

∂

∂ (29)

При гармоническом возбуждении решение (29) имеет вид:

ti

lD

lD

ev

z

v

zAu

ωωω)cossin(3 +=

На свободных концах стержня, при lz ,0= , имеем 03 =T . Тогда,

ti

lD

lD

lD

ev

z

v

zDgvu

ωωω

ω]cos[sin033

3 += (30)

Определим импеданс стержня IUZ /= .

333

2

3333

33

2

33

0

3 ]2

2)([ D

v

ltg

s

vg

s

gldzEU

lDD

lD

T

D

l ω

ωβ −+== ∫

52

3

3 ahDit

DahI ω=

∂

∂=

Тогда,

]2

2)([

1

33

2

3333

33

2

33

lDD

lD

T

Dv

ltg

s

vg

s

gl

ahiZ

ω

ωβ

ω−+= (31)

Условию резонанса для идеального стержня соответствует условие равенства

нулю электрического импеданса стержня, а условию антирезонанса – обращение

импеданса в бесконечность. Тогда из (31) получим:

для антирезонанса - l

vf

lD

a2

= (32)

для резонанса - 3333

2

33

332

33

/

/

22 TD

D

a

r

a

r

sg

sg

f

fctg

f

f

β

ππ

+= (33)

Таким образом, в отличие от первого случая частота антирезонанса определяется

из условия, чтобы на длине стержня отложилась половина длины волны продольных

колебаний, а частота резонанса находится как корень трансцендентного уравнения.

3. Численные расчеты пьезопреобразователей

Рассмотрим далее расчет некоторых типов преобразователей методом конечных

элементов с использованием программы ANSYS. Предварительно сделаем несколько

замечаний.

При рассмотрении идеальных материалов резонансная область недоступна для

исследования, поскольку амплитуды различных величин стремятся к бесконечности.

Однако для практики использования пьезоустройств чрезвычайно важны именно

численные значения этих величин, например, амплитуд механических напряжений,

определяющих прочность конструкций на резонансе. Различного рода потери энергии в

реальном материале приводят к конечным значениям этих величин. В области низких и

средних частот наибольший вклад в твердом теле дают механические потери энергии.

Для количественного описания этого вида потерь энергии вводят понятие механической

добротности материала MQ .

53

Мощность потерь в пьезоэлектрике прямо пропорциональна его активной

проводимости. Определим ширину резонансной кривой ∆ω как разность частот,

соответствующих уровню половинной мощности на частоте резонанса 0ω . Тогда

добротность определяется как

∆ω = MQ

0ω (34)

В ANSYS для описания потерь механической энергии вводится коэффициент

затухания β . Можно показать, например, используя метод эквивалентных схем, что

вводимый коэффициент связан с шириной резонансной кривой соотношением:

2

0/ωωβ ∆= (35)

Тогда, используя (34), получим

MQ0

1

ωβ = (36)

Отметим, что обратное вычисление механической добротности по ширине

рассчитанной частотной характеристики активной проводимости по формуле (34) с

коэффициентом затухания, определенным выражением (36), приводит к тому же

значению M

Q , что доказывает корректность определения коэффициента затухания (36).

3.1. Продольные колебания стержня в поле,

перпендикулярном его длине

Проведем гармонический анализ стержня, рассмотренного в разделе 2.2.1.

Стержень изготовлен из пьезокерамики ЦТС-19 со следующими константами:

плотность ρ = 7400 кг/м3,

cE

11 = 12,2 1010

Н/м2,

cE

12 = 7,4 1010

Н/м2,

cE

13 = 7,1 1010

Н/м2,

cE

33 = 11,0 1010

Н/м2,

cE

44 = 2,8 1010

Н/м2,

54

cE

66 = 3,5 1010

Н/м2,

e31 = -3,7 Кл/м2,

e33 = 11,5 Кл/м2,

e15 = 10,3 Кл/м2,

εS11 = 913,

εS33 = 873,

200=MQ .

Длина стержня 50=l мм, поперечные размеры 2== ha мм.

Рассчитанные по формулам (26) и (27) значения частот резонанса и антирезонанса

равны:

ГцfГцf arrr 30875,30000 == .

Последовательность команд ANSYS для решения этой задачи приведена в

Приложении 1. Мы рассмотрим этот первый пример подробно.

Вызываем препроцессор командой

/prep7.

Построим прямоугольный параллелепипед с заданными выше размерами по осям

координат. Построение осуществляется одной командой ANSYS - block,,l,,a,,h.

Для решения трехмерной задачи с пьезоэлектриком выбираем элемент SOLID5 с

помощью команды ET,1,SOLID5,3. Значение KEYOPT(1)=3 в этой команде

соответствует следующему набору степеней свободы элемента:

компоненты смещения в узлах по трем осям координат 321 ,, uuu ;

электростатический потенциал в узлах volt .

В качестве определяющих соотношений пьезоэлектрика выбирается система

уравнений (12).

Материальные свойства задаются с помощью последовательности команд:

плотность материала

mp,dens,1,ro

упругие константы

tb,anel,1

tbdata,1,c11,c12,c13

55

tbdata,7,c11,c13

tbdata,12,c33

tbdata,16,c66

tbdata,19,c44

tbdata,21,c44

пьезоэлектрические константы

tb,piez,1

tbdata,3,e31

tbdata,6,e31

tbdata,9,e33

tbdata,14,e15

tbdata,16,e15

диэлектрические константы

mp,perx,1,eps11

mp,pery,1,eps11

mp,perz,1,eps33

коэффициент затухания материала

mp,damp,1,beta

Задаем длину ребра элемента 0,5 мм командой

esize,0.5e-3,

и даем указание программе построить конечно-элементную сетку

vmesh,all.

Отбираем все узлы, находящиеся на нижней большой поверхности пьезоэлемента.

Поскольку эти узлы находятся на эквипотенциальной поверхности, объединяем их по

степени свободы volt . Полученной совокупности узлов припишем название

переменной oe – отрицательный электрод. Соответствующая последовательность

команд ANSYS имеет вид:

nsel,s,loc,z,0

CP,1,VOLT,ALL

*GET,oe,NODE,,NUM,MIN

56

nsel,all

Аналогичным образом задается положительный электрод (pe):

nsel,s,loc,z,h

CP,2,VOLT,ALL

*GET,pe,NODE,,NUM,MIN

nsel,all

На этом завершается построение конечно-элементной модели

пьезоэлектрического стержня. Закроем препроцессор

finish.

Построенная модель представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Конечно-элементная модель пьезоэлектрического

стержня, совершающего продольные колебания,

в поле, перпендикулярном его оси

На рисунке видны оба электрода пьезоэлемента.

Приступим к решению задачи. Вызываем процессор решения:

/solu

Зададим значение потенциала на отрицательном электроде, равное нулю, а на

положительном электроде, равное 1 В:

d,oe,volt,0

d,pe,volt,1

Выберем гармонический анализ, начальную и конечную частоту анализа, число

точек по частоте, указываем, что изменение частоты пошаговое и даем команду на

проведение вычислений:

ANTYPE,HARMIC

HARFRQ,FBEG,FEND

57

NSUBST,FINC

KBC,1

SOLVE

Закроем процессор решения

finish

Далее мы используем процедуру стандартной постобработки для задач с

пьезопреобразователями.

Вызываем постпроцессор

/POST26

и строим графики амплитудно-частотных характеристик модуля полной и активной

проводимостей пьезоэлемента:

RFORCE,4,pe,AMPS

PROD,5,4,1,,ADMIT,,,PI

IMAGIN,6,5

/GRID,1

/COLOR,curve,1,1

/COLOR,curve,5,2

/XRANGE,fbeg,fend

PLVAR,5,6

Для анализа работы пьезоустройств важна эффективность преобразования

энергии, которая оценивается по эффективному коэффициенту электромеханической

связи:

2

2

1a

r

ef

fk −= (37)

Следующий фрагмент последовательности команд рассчитывает ek по формуле

(37):

ABS,7,5

*GET,fr,vari,7,extrem,tmax

*GET,fa,vari,7,extrem,tmin

ke=sqrt(1-fr*fr/fa/fa)

58

Закроем постпроцессор

FINISH

Постпроцессор POST1 удобнее использовать с помощью графического

интерфейса пользователя (GUI).

Рассчитанные АЧХ проводимостей представлены на рисунке 3.

Значение частоты резонанса, соответствующее максимуму проводимости, равно

29800 Гц, значение частоты антирезонанса, соответствующее минимуму проводимости

равно 30670 Гц. Эффективный коэффициент электромеханической связи равен 0,24.

1 – модуль полной комплексной проводимости,

2 – активная проводимость

Рисунок 3 – АЧХ проводимостей пьезоэлемента вблизи резонанса

Полученные значения частот несколько меньше аналитических значений. Однако

погрешность составляет менее одного процента. Уменьшение поперечных размеров с

целью большего приближения модели пьезоэлемента к одномерной, а также

измельчение сетки практически не отражается на результатах. Таким образом, можно

59

сделать вывод, что погрешность вычисления определяется погрешностями в

определении численных значений констант пьезокерамики.

Отметим, что при увеличении поперечных размеров до размеров, сравнимых с

длиной стержня, значения рассчитанных параметров значительно отличаются от

аналитических, что указывает на неприменимость одномерных соображений для

аналитических расчетов стержня с такими размерами.

На следующем рисунке 4 приведена форма деформации стержня при колебаниях

на резонансе, а на рисунке 5 зависимость смещений )(1 xu для точек, расположенных на

оси стержня, на резонансной частоте.

Рисунок 4 – Форма колебаний стержня на резонансе

Рисунок 5 - Зависимость смещений )(1 xu для точек, расположенных на оси стержня, на

резонансной частоте

60

Видно, что стержень совершает антисимметричные движения, при которых

точки, расположенные на противоположных концах стержня движутся в противофазе.

Легко проверить непосредственными вычислениями, что на резонансе на длине

стержня укладывается ровно половина длины волны.

3.2. Продольные колебания стержня в поле,

параллельном его длине

Рассмотрим теперь гармонические колебания стержня, поляризованного по

длине. Последовательность необходимых команд приведена в Приложении 2 и мы не

будем подробно разбирать эти команды.

Конечно-элементная модель стержня с электродами представлена на рисунке 6, а

амплитудно-частотные характеристики проводимостей – на рисунке 7.

Рисунок 6 – Конечно-элементная модель стержня

1 – модуль полной комплексной проводимости,

2 – активная проводимость

Рисунок 7 – АЧХ проводимостей пьезоэлемента вблизи резонанса

61

В соответствии с рисунком 7 модель имеет следующие параметры:

51.0

,33740

,28980

=

=

=

e

a

r

k

Гцf

Гцf

Как видим, эффективный коэффициент связи значительно выше, чем в

предыдущем случае.

На рисунке 8 показана зависимость смещений )(3 zu для точек, расположенных на

оси стержня при частоте возбуждения, равной частоте резонанса, а на рисунке 9 – на

частоте антирезонанса.

Рисунок 8 - Зависимость смещений )(3 zu для точек, расположенных на оси стержня, на

частоте резонанса

Рисунок 9 - Зависимость смещений )(3 zu для точек, расположенных на оси стержня, на

частоте антирезонанса

62

Данные представленные на этих рисунках соответствуют качественно

аналитическим выводам раздела 2.2.2. Прямой постановкой показывается, что на

частоте антирезонанса на длине стержня укладывается половина длины волны на этой

частоте.

3.3. Высоковольтный пьезотрансформатор

Основная идея пьезоэлектрического трансформатора состоит в использовании

механически связанных двух типов рассмотренных выше пьезоэлектрических

стержней. Секция возбуждения представляет собой стержень первого типа, на который

подается напряжение, возбуждающее колебания стержня, а генераторная секция

представляет собой стержень второго типа. За счет связи энергия механических

колебаний из первого стержня передаются во второй, возбуждая в нем переменное

электрическое поле. Интеграл от величины напряженности поля по длине стержня

представляет собой выходное напряжение трансформатора. За счет большого пути

интегрирования, а также использования резонансных свойств системы, можно получить

значительное увеличение амплитуды выходного напряжения по сравнению с входным.

На практике пьезоэлектрический трансформатор получают из одной заготовки в

виде стержня или пластины. Часть этой заготовки поляризуется вдоль малого размера, а

вторая часть – вдоль оси стержня. Продольные размеры частей выбираются такими,

чтобы, во-первых, обеспечить резонанс всей системы на требуемой рабочей частоте, и,

во-вторых, необходимо, чтобы в генераторной секции фаза напряженности

электрического поля вдоль оси (т.е. вдоль пути интегрирования) не изменяла знак.

Одним из способов удовлетворения этим требованиям является выбор длин секций,

равных каждая четверти длины волны продольных колебаний на заданной частоте в

каждой секции. Как было показано выше, длины волн в секциях различны.

Перечень команд для расчета устройства приведен в Приложении 3, и мы не

будем его подробно обсуждать. Отметим лишь следующее. Ось Z глобальной системы

координат мы направим перпендикулярно электродам возбудительной части, которая,

таким образом, поляризована по оси Z. Ось X глобальной системы координат направим

вдоль оси трансформатора. Таким образом, генераторная секция будет поляризована

вдоль оси X. Поскольку полярное направление определяет направление оси Z системы

координат элемента, то это означает, что элементная система координат в генераторной

части повернута относительно глобальной декартовой системы на угол 90 градусов

вокруг оси Y. Ориентация элементной системы координат описывается с помощью

63

команды LOCAL. А ссылка на эту систему задается четвертым параметром команды

VATT при задания атрибутов области.

Конечно-элементная модель пьезотрансформатора представлена на рисунке 10.

Рисунок 10 – Конечно-элементная модель трансформатора с электродами

Одним из режимов работы пьезотрансформатора является режим холостого хода

выходного электрода. Этот режим используется, например, для подачи большого

потенциала на электронно-лучевую трубку. Можно показать, что в этом режиме

коэффициент трансформации, т.е. отношение амплитуд выходного напряжения к

входному, достигает максимального значения. Для задания режима холостого хода на

выходном электроде ve используется команда

F, n, ve, AMPS, 0.

На рисунке 11 показаны амплитудно-частотные характеристики полной и

активной проводимостей входной секции трансформатора, а на рисунке 12 – частотная

зависимость коэффициента трансформации по напряжению.

1 – модуль полной проводимости;

2 – активная проводимость

Рисунок 11 – АЧХ проводимостей входной секции

64

Рисунок 12 – Частотная зависимость коэффициента трансформации

по напряжению

Длины секций трансформатора ммlммl 28,25 21 == выбраны так, чтобы в каждой

секции укладывалась четверть соответствующей длины волны.

На следующем рисунке 13 представлено соответствующее этому случаю

распределение смещений )(1 xu вдоль оси трансформатора. На границе секций смещение

1u равно нулю, а производная dxdu /1 испытывает скачок.

Рисунок 13 – Распределение )(1 xu на частоте резонанса

65

В этом случае всю конструкцию трансформатора закрепляют по контуру границы

секций.

На практике часто используют вторую моду колебаний пьезотрансформатора, при

которой на длине каждой секции умещается половина длины волны на частоте

резонанса. В этом случае противоположные торцы трансформатора движутся в одной

фазе – рисунок 14.

Рисунок 14 – Колебания пьезотрансформатора на втором резонансе

На рисунке 15 приведено распределение горизонтальных смещений точек. Точки,

расположенные на половине длины каждой секции ( 21, xx ), не смещаются в

горизонтальном направлении.

Рисунок 15 – Распределение горизонтальных смещений вдоль оси трансформатора

Крепление трансформатора в таком случае осуществляется по двум контурам

вертикальных сечений с горизонтальной координатой 1x и 2x и является более

надежным, чем крепление по одному контуру.

66

В заключение кратко рассмотрим работу пьезотрансформатора при включении

его на конечную нагрузку.

Сосредоточенные элементы электрической цепи можно смоделировать с

помощью конечного элемента ANSYS CIRCU94, совместимого с элементом SOLID5.

Элемент имеет два или три узла со степенью свободы VOLT. Тип моделируемого

элемента электрической цепи задается значением KEYPOT(1):

0 – сопротивление;

1 – индуктивность;

2 – емкость,

а значение соответствующей величины (сопротивления, индуктивности или емкости)

задается реальной константой 1R элемента CIRCU94.

Выберем в качестве нагрузки трансформатора сопротивление, равное 1 МОм.

Соответствующие команды имеют вид:

ET,2,circu94,0

R,2,1000000

После построения конечно-элементной модели и определения электродов в

модели, построим между выходным электродом ve и земляным электродом oe элемент

CIRCU94:

TYPE,2

REAL,2

E,ve,oe

Конечно-элементная модель вместе с сопротивлением показана на рисунке 16:

Рисунок 16 – Модель трансформатора, нагруженного на сопротивление

Подключение сопротивления к выходу трансформатора уменьшает частоту

резонанса и амплитуду выходного напряжения.

67

Коэффициент полезного действия равен отношению активных мощностей на

выходе и входе трансформатора. Можно показать, что к.п.д. определяется по формуле:

%100Re

2

⋅=vn

tr

YR

kη (38)

где

tr

k - коэффициент трансформации по напряжению,

nR - сопротивление нагрузки,

v

YRe - активная проводимость на входе трансформатора.

На рисунке 17 представлена частотная зависимость коэффициента полезного

действия, рассчитанного по формуле (38).

Значение к.п.д. в максимуме зависит от величины нагрузочного сопротивления.

Наибольшее значение достигается при согласовании нагрузки с сопротивлением

выходной секции трансформатора на резонансе.

68

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. – 349 с.

2. П. Сильвестер, Р. Феррари. Метод конечных элементов для радиоинженеров и

инженеров – электриков. М.: Мир, 1986, - 229 с.

3. А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева. ANSYS в руках инженера.

Практическое руководство. М.: УРСС, 2003, - 269 с.

4. К.А. Басов. ANSYS в примерах и задачах / Под общ. ред. Д.Г. Красковского. М.:

КомпьютерПресс, 2002, - 224 с.

5. Методы и приборы ультразвуковых исследований, часть А. Физическая акустика /

Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966, - 592 с.

69

Приложение 1 – Гармонический анализ продольных колебаний стержня в поле,

перпендикулярном его длине

!!Секция параметров

PI=8*ATAN(1)

!< Частоты

fr0=29.8e3

fbeg=29500

fend=31000

finc=50

!< Параметры пьезокерамики

!< ЦТС-19

RO1=7.4e3

C11=12.2e10

C12=7.4e10

C13=7.1e10

C33=11.0e10

C66=(C11-C12)/2

C44=2.8e10

E31=-3.7

E33=11.5

E15=10.3

EPS0=8.85e-12

EPS11=913*EPS0

EPS33=873*EPS0

q1=100

beta=1/fr0/pi/q1

S11=15e-12

! Размеры стержня

l=50e-3

h=2e-3

70

a=2e-3

v=1/sqrt(ro1*S11) ! Скорость волн

/prep7

ET,1,SOLID5,3

! Задание свойств пьезокерамического материала

mp,dens,1,ro1

tb,anel,1

tbdata,1,c11,c12,c13

tbdata,7,c11,c13

tbdata,12,c33

tbdata,16,c66

tbdata,19,c44

tbdata,21,c44

mp,damp,1,beta

tb,piez,1

tbdata,3,e31

tbdata,6,e31

tbdata,9,e33

tbdata,14,e15

tbdata,16,e15

mp,perx,1,eps11

mp,pery,1,eps11

mp,perz,1,eps33

! Построение геометрии

block,,l,,a,,h

! Задание атрибутов областей

vsel,s,volu,,1

vatt,1,,1

vsel,all

! Построение конечно-элементной сетки

71

esize,0.5e-3

vmesh,all

nsel,all

esel,all

! Определение электродов модели

nsel,s,loc,z,0

CP,1,VOLT,ALL

*GET,oe,NODE,,NUM,MIN

nsel,all

nsel,s,loc,z,h

CP,2,VOLT,ALL

*GET,pe,NODE,,NUM,MIN

nsel,all

finish

! Проведение анализа

/solu

d,oe,volt,0

d,pe,volt,1

ANTYPE,HARMIC

OUTRES,ALL,ALL

HARFRQ,FBEG,FEND

NSUBST,FINC

KBC,1

LSEL,ALL

NSEL,ALL

SOLVE

finish

!Постобработка

/POST26

72

RFORCE,4,pe,AMPS

PROD,5,4,1,,ADMIT,,,PI

imagin,6,5

/GRID,1

/color,curve,1,1

/color,curve,5,2

/xrange,fbeg,fend

PLVAR,5,6

abs,7,5

*get,fr,vari,7,extrem,tmax

*get,fa,vari,7,extrem,tmin

ke=sqrt(1-fr*fr/fa/fa)

*get,fra,vari,6,extrem,tmax

FINISH

Приложение 2 – Гармонический анализ продольных колебаний стержня в поле,

параллельном его длине

PI=8*ATAN(1)

!< Частоты

fr0=30.5e3

fbeg=30000

fend=42000

finc=50

!< Параметры пьезокерамики

!< ЦТС-19

RO1=7.4e3

C11=12.2e10

C12=7.4e10

C13=7.1e10

C33=11.0e10

73

C66=(C11-C12)/2

C44=2.8e10

E31=-3.7

E33=11.5

E15=10.3

EPS0=8.85e-12

EPS11=913*EPS0

EPS33=873*EPS0

q1=100

beta=1/fr0/pi/q1

S33=10.1e-12

!< Параметры пьезокерамики

!< PZT-4

RO1=7.5e3

C11=13.9e10

C12=7.78e10

C13=7.43e10

C33=11.5e10

C66=3.06e10

C44=2.56e10

E31=-5.2

E33=15.1

E15=12.7

EPS0=8.85e-12

EPS11=733*EPS0

EPS33=635*EPS0

q1=500

beta=1/fr0/pi/q1

l=50e-3

h=2e-3

74

a=2e-3

v=1/sqrt(ro1*S33)

/prep7

ET,1,SOLID5,3

mp,dens,1,ro1

tb,anel,1

tbdata,1,c11,c12,c13

tbdata,7,c11,c13

tbdata,12,c33

tbdata,16,c66

tbdata,19,c44

tbdata,21,c44

mp,damp,1,beta

tb,piez,1

tbdata,3,e31

tbdata,6,e31

tbdata,9,e33

tbdata,14,e15

tbdata,16,e15

mp,perx,1,eps11

mp,pery,1,eps11

mp,perz,1,eps33

block,,h,,a,,l

vsel,s,volu,,1

vatt,1,,1

vsel,all

esize,0.5e-3

vmesh,all

nsel,all

esel,all

75

nsel,s,loc,z,0

CP,1,VOLT,ALL

*GET,oe,NODE,,NUM,MIN

nsel,all

nsel,s,loc,z,l

CP,2,VOLT,ALL

*GET,pe,NODE,,NUM,MIN

nsel,all

finish

/solu

d,oe,volt,0

d,pe,volt,1

ANTYPE,HARMIC

OUTRES,ALL,ALL

HARFRQ,FBEG,FEND

NSUBST,FINC

KBC,1

LSEL,ALL

NSEL,ALL

SOLVE

finish

/POST26

RFORCE,4,pe,AMPS

PROD,5,4,1,,ADMIT,,,PI

imagin,6,5

/GRID,1

/color,curve,1,1

/color,curve,5,2

/xrange,fbeg,fend

PLVAR,5,6

76

abs,7,5

*get,fr,vari,7,extrem,tmax

*get,fa,vari,7,extrem,tmin

ke=sqrt(1-fr*fr/fa/fa)

*get,fra,vari,6,extrem,tmax

FINISH

Приложение 3. Анализ высоковольтного пьезотрансформатора

PI=8*ATAN(1)

!< Частоты

fr0=59.8e3

fbeg=50000

fend=70000

finc=50

!< Параметры пьезокерамики

!< ЦТС-19

RO1=7.4e3

C11=12.2e10

C12=7.4e10

C13=7.1e10

C33=11.0e10

C66=(C11-C12)/2

C44=2.8e10

E31=-3.7

E33=11.5

E15=10.3

EPS0=8.85e-12

EPS11=913*EPS0

EPS33=873*EPS0

q1=100

77

beta=1/fr0/pi/q1

S11=15e-12

l1=25e-3

l2=25e-3+3e-3

h=2e-3

a=2e-3

v1=1/sqrt(ro1*S11)

/prep7

ET,1,SOLID5,3

local,11,0,,,,,,90

csys,0

mp,dens,1,ro1

tb,anel,1

tbdata,1,c11,c12,c13

tbdata,7,c11,c13

tbdata,12,c33

tbdata,16,c66

tbdata,19,c44

tbdata,21,c44

mp,damp,1,beta

tb,piez,1

tbdata,3,e31

tbdata,6,e31

tbdata,9,e33

tbdata,14,e15

tbdata,16,e15

mp,perx,1,eps11

mp,pery,1,eps11

mp,perz,1,eps33

block,,l1,,a,,h

78

block,l1,l1+l2,,a,,h

vglu,all

numcmp,volu

vsel,s,volu,,1

vatt,1,,1

vsel,all

vsel,s,volu,,2

vatt,1,,1,11

vsel,all

esize,0.5e-3

vmesh,all

nsel,all

esel,all

asel,s,area,,1

nsla,s,1

CP,1,VOLT,ALL

*GET,oe,NODE,,NUM,MIN

asel,all

nsel,all

asel,s,area,,2

nsla,s,1

CP,2,VOLT,ALL

*GET,pe,NODE,,NUM,MIN

asel,all

nsel,all

nsel,s,loc,x,l1+l2

CP,3,VOLT,ALL

*GET,ve,NODE,,NUM,MIN

nsel,all

finish

79

/solu

d,oe,volt,0

d,pe,volt,1

f,ve,amps,0

ANTYPE,HARMIC

OUTRES,ALL,ALL

HARFRQ,FBEG,FEND

NSUBST,FINC

KBC,1

LSEL,ALL

NSEL,ALL

SOLVE

finish

/POST26

RFORCE,4,pe,AMPS

PROD,5,4,1,,ADMIT,,,PI

imagin,6,5

/GRID,1

/color,curve,1,1

/color,curve,5,2

/xrange,fbeg,fend

PLVAR,5,6

abs,7,5

*get,fr,vari,7,extrem,tmax

*get,fa,vari,7,extrem,tmin

ke=sqrt(1-fr*fr/fa/fa)

*get,fra,vari,6,extrem,tmax

nsol,8,ve,volt

plvar,8

FINISH