Тольятти 2006

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

Ахметжанова Г.В., Бабенко Н.Г., Иванов О.И.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть II

Учебно-методическое пособие для студентов очно-заочного, заочного

и дистанционного обучения

2

УДК 517.518.15(076) ББК 22.161.1 П14 Ахметжанова Г. В., Бабенко Н. Г., Иванов О. И. Учебно-методическое пособие по курсу

«Высшая математика». Тольятти: ТГУ, 2006 – 93с. Учебно – методическое пособие охватывает программу по «Высшей математике» второго

курса учебного заведения технического профиля. Данное пособие предназначено для студентов очно-заочной, заочной и дистанционной формы обучения и может быть использовано преподавателями высшей математики при дополнительной работе над курсом.

Пособие содержит необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач,

тренировочные упражнения – математические диктанты, тестовые задания, а также контрольные вопросы – тесты для проверки усвоения теоретического материала и библиографические сведения.

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор Чернова Ю.К. доктор педагогических наук, профессор Ярыгин А.Н.

Научный редактор: доктор технических наук, профессор Зибров П. Ф.

Утверждено Научно – методическим советом факультета математики и информатики

Тольяттинского государственного университета

УДК 517.518.14(076) ББК 22.161.1

© Ахметжанова Г. В., Бабенко Н. Г., Иванов О. И.

© Тольяттинский государственный университет, 2006.

3

Содержание Предисловие ......................................................................................................................................................................4 Общие рекомендации студенту заочнику.......................................................................................................................5

Работа с учебником .....................................................................................................................................................5 Решение типовых задач ..............................................................................................................................................5 Ответы на тестовые задания.......................................................................................................................................6 Установочные лекции и практические занятия ........................................................................................................6 Контрольные вопросы.................................................................................................................................................6 Зачеты и экзамены.......................................................................................................................................................6 Требования к выполнению контрольных работ .......................................................................................................7

1. Неопределенный интеграл ...........................................................................................................................................8 1.1. Основные понятия и свойства .............................................................................................................................8 1.2. Способы нахождения интегралов .......................................................................................................................9

1.2.1. Табличное интегрирование .........................................................................................................................9 1.2.2. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала .....................................................11 1.2.3. Подведение (внесение) под знак дифференциала ...................................................................................12 1.2.4. Замена переменной в неопределенном интеграле ..................................................................................14 1.2.5. Интегрирование по частям........................................................................................................................15

1.3. Интегрирование рациональных выражений ....................................................................................................17 1.4. Интегрирование иррациональных выражений ................................................................................................21 1.5. Интегрирование тригонометрических выражений..........................................................................................27 1.6. Тесты (теория) ....................................................................................................................................................33

2. Определенный интеграл .............................................................................................................................................35 2.1. Основные свойства и определения ...................................................................................................................35 2.2. Замена переменной в определенном интеграле ...............................................................................................38 2.3. интегрирование по частям в определенном интеграле ...................................................................................41 2.4. Несобственные Интегралы ................................................................................................................................43

2.4.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (I рода) ...........................................................43 2.4.2. Несобственный интегралы от неограниченных функций (II рода) .......................................................45 2.5. Тесты (теория)...............................................................................................................................................50

4

Предисловие Настоящее пособие содержит методические указания и контрольные задания по следующим

разделам математического анализа: неопределенному интегралу, определенному интегралу и его приложениям, комплексным числам.

В начале каждой главы приведены краткие сведения из теории, необходимые для решения типовых задач.

В конце каждой главы имеются тесты для самопроверки изученного материала и практического решения задач.

Данное учебно-методическое пособие может быть использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса высшей математики студентами очно-заочной, заочной и дистанционной форм обучения.

Особенностью данного пособия является разработка заданий для пошагового овладения программой. Студент получает возможность комфортного доступа к теоретическому и практическому материалу по изучаемой теме и эффективного усвоения материала.

Пособие предназначено для студентов очно-заочной, заочной и дистанционной форм обучения и необходимо для выполнения контрольных работ и успешной сдачи экзаменов.

5

Общие рекомендации студенту заочнику Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов: • изучение теоретического материала по учебникам; • решение типовых задач; • ответы на тестовые задания; • установочные лекции; • практические занятия; • контрольные работы; • зачеты и экзамены.

Работа с учебником Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после

правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.

Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен разбирать примеры, которые объясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

Необходимо помнить, что каждая теория состоит из предположения и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательства сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих или не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при изучении конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником студенту.

Решение типовых задач 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется

завести специальную тетрадь. 2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических

положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый оптимальный. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3. Решение задач следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями задачи.

4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа в общем виде с выводом формул. Затем в полученную формулу подставляются числовые значения (если они даны).

6

5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Если возможно, надо решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

Ответы на тестовые задания Этот пункт самостоятельной работы представляет наиболее важную часть деятельности

студента. В пособии приведены тесты для самопроверки по каждой изучаемой теме. Только после ответа на теоретические вопросы студент может приступить к решению контрольных практических заданий.

Установочные лекции и практические занятия Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются лекции и

практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

Контрольные вопросы 1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных

работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление работы, помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю – рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.

4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.

5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается университетом в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно.

Зачеты и экзамены На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, отчетливое усвоение всех теоретических и

практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению

7

практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполнятся без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой курса.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.

Требования к выполнению контрольных работ Перед выполнением контрольного задания студент должен изучать соответствующие

разделы курса по учебникам, рекомендуемым данным методическим пособием. Учебники обозначаются номерами в квадратных скобках. Например, [1] означает ссылку на учебник И. И. Баварина «Высшая математика». В «Методическом пособии» даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического и практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационном пункте.

Номера вариантов контрольных задач определяются с помощью табл.1 причем номера контрольных заданий 1, 4, 7, 10 и т.д. находятся по первой букве фамилии студента, номера контрольных заданий 2, 5, 8, 11 и т.д. находятся по первой букве имени студента, номера контрольных заданий 3, 6, 9, 12 и т.д. находятся по первой букве отчества студента.

Таблица 1

Буква А, Ю, Я Б В, Ц, Щ Г, Э, Ю Д, Ш Е, Ж, З № варианта 1 2 3 4 5 6

Буква И, Р К Л, Х М Н, О П Ш, Ч С Т, У, Ф № варианта 7 8 9 10 11 12 13 14 15

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже

правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил считаются не зачтенными и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку синими или черными чернилами.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя и отчество студента, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров.

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. Если условие задачи имеет общую формулировку, то переписывая его следует общие данные заменить конкретными, взятыми из своего варианта.

5. В прорецензированной зачетной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. Зачетные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

8

1. Неопределенный интеграл

1.1. Основные понятия и свойства Как известно, основной задачей дифференциального исчисления является нахождение для

заданной функции )(xF ее производной )()(' xfxF = или ее дифференциала dxxfdxxFxdF )()(')( == . Обратная задача, состоящая в нахождении функции )(xF по

известной производной )(xf или дифференциалу dxxf )( , представляет собой основную задачу интегрального исчисления. Операции дифференцирования и интегрирования взаимообратны.

Определение: Первообразной функции )(xf на ],[ ba называется функция )(xF , производная которой равна )(xf для ],[ bax∈∀ , т.е.

)()(' xfxF = или dxxfxdF )()( = (1.1.1)Теорема: Если есть две первообразные функции )(xf , то они отличаются друг от друга на

постоянную величину. Определение: Множество всех первообразных функций )(xf называется неопределенным

интегралом.

∫ += CxFdxxf )()( (1.1.2),где ∫ - знак интеграла, )(xf - подынтегральная функция, dxxf )( - подынтегральное

выражение, С – произвольная постоянная. Равенство (1.1.2) дает общий вид первообразной функции. На вопрос о том, имеет ли данная функция )(xf первообразную, дает ответ основная теорема интегрального исчисления.

Теорема: Непрерывная на отрезке ],[ ba функция )(xf интегрируема в ],[ bax∈∀ . Определение: Процесс нахождения первообразной функции для заданной непрерывной

функции )(xf называется интегрированием. Свойства неопределенного интеграла.

1. ∫ += CxFxdF )()( . (1.1.3) 2. ∫ = dxxfdxxfd )()( . (1.1.4) 3. ∫ ∫= dxxfdxxf )()( αα . (1.1.5) 4. dxxfdxxfdxxfxf )([)()]()([ 2121 ∫∫∫ +=+ (1.1.6) 5. )(]')([]')([ xfCxFdxxf =+=∫ . (1.1.7)

6. Если ∫ += CxFdxxf )()( , то ∫ += CuFduuf )()( , где )(xuu = - ∀ дифференцируемая функция (1.1.8)

Таблица основных интегралов элементарных функций ( )(xuu = ):

)1(,1

1

−≠++

=+

∫ ααα

α Cuduu . ∫ += Cudu . (1.1.9)

Cuduu

+=∫ ln1 . (1.1.10)

Caaduau

u +=∫ ln . Cedueuu +=∫ . (1.1.11)

∫ +−= Cuudu cossin . (1.1.12)

9

∫ += Cuudu sincos . (1.1.13)

Ctguududuu

+== ∫∫ 22 seccos1 . (1.1.14)

Сctguuduecduu ∫∫ +−==

22 cossin

1 . (1.1.15)

СauC

audu

ua+−=+=⋅

−∫arccosarcsin1

22. (1.1.16)

∫ +−=+=⋅+ Cauarcctg

aC

auarctg

adu

au111

22 . (1.1.17)

Cuaua

adu

ua+

−+=

−∫ ln211

22 . (1.1.18)

Cbuudubu

+++=+∫

2

2ln1 . (1.1.19)

Каждая из формул приведенной таблицы справедлива на любом отрезке, находящегося в области определения соответствующей подынтегральной функции.

1.2. Способы нахождения интегралов

1.2.1. Табличное интегрирование

Интегрирование с помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов элементарных функций.

Пример 1. Найти интеграл: dxx∫ 4 36 и проверить дифференцированием полученный результат.

Решение:

CxCxdxxdxx +=+== ∫∫ 4 747

43

4 3

724

47

666 .

Проверка:

4 343

43

47

4 7 6647

724'

724'

724 xxxCxCx ==⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + .

Ответ: Cx +4 7724 .

Пример 2. Найти интеграл: dxx

xxxx∫

+−+−3

3 224 6753 .

Решение:

CxxxxxCxx

xxxdxxxxxdxx

xxxx

++−+−=++−

+−=+−+−=+−+− ∫∫−

)95215

89

143(9

521

589

143)6753(6753

3243 232

35

38

314

31

32

35

311

3

3 22

.

10

Указание: в данном интеграле числитель делим на знаменатель 3 x почленно и затем интегрируем. при вычислении интеграла от суммы нескольких функций сумму произвольных постоянных,

которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной, обозначаемой обычно буквой С.

Ответ: Cxxxxx ++−+− )95215

89

143( 3243 2 .

Пример 3. Найти интегралы:

1) ∫+ dxxx 3)1( ; 2) dx

xxx

∫++

3 2

3 )3)(24( .

Указание: в первом интеграле необходимо сначала числитель возвести в куб, полученный многочлен

разделить на знаменатель x и после этого проинтегрировать; во втором интеграле в числителе перемножить многочлены, произведение разделить на

знаменатель 3 2x , после чего выполнить интегрирование.

Ответ: 1) Cxxxxx ++++2

2322

; 2) Cxxxxxx ++++∫ 6 536 5333 12602312

56 .

Пример 4. Найти интегралы, используя свойства неопределенных интегралов:

1) ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + dx

xx

22 ; 2) dx

xx

x∫ ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−− 4

32

2cos

3

.

Решение:

1) ∫∫ +−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + C

xxxdx

xxx

xdxx

x 443

42223

22

2

.

2)

Cx

xtgx

Cx

xtgxdxxxx

dxx

xx

+−−

=+−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ∫∫ −

33 4

334

431

243

2

32

433

32

4332

cos132

cos3

.

Ответ: 1) Cx

xx +−+ 443

3

; 2) Cx

xtgx +−− 33 4

32

433 .

Пример 5. Найти интегралы:

1) ∫ +14 2xdx ; 2) ∫ − 252x

dx .

Решение:

1) CxarctgCxarctgx

dxxdx +=+⋅=

+=

+ ∫∫ 221

21

211

41

414

114 22

.

2) CxxC

xx

xdx +

+−=+

+−

⋅=

−∫ 55ln

101

55ln

521

252.

11

Ответ: 1) Cxarctg +221 ; 2) C

xx +

+−

55ln

101

1.2.2. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала

Если известен интеграл ∫ += CxFdxxf )()( , то следующие интегралы могут быть вычислены с помощью линейного преобразования выражения под знаком дифференциала:

1. ∫ ∫ ++=++=+ CbxFbxdbxfdxbxf )()()()( . (1.2.1)

2. ∫ ∫ +== CaxFaaxdaxfadxaxf )(1)()(1)( . (1.2.2)

3. ∫ ∫ ++=++=+ CbaxFabaxdbaxfadxbaxf )(1)()(1)( . (1.2.3)

Пример 6. Найти интеграл: ∫ − dxx )87sin( . Решение:

∫∫ +−−=−−=− Cxxdxdxx )87cos(71)87()87sin(

71)87sin( .

Ответ: Cx +−− )87cos(71 .

Пример 7. Найти интегралы:

1) ∫ + dxxx 32 )8(2 ; 2) dxxx∫ + 92 2 ; 3) dxxx∫ +3 32 16 . Решение:

1) Cxxdxdxxx ++=++=+ ∫∫ 4223232 )8(41)8()8()8(2 .

2) CxCxxdxdxxx ++=++=++=+ ∫∫ 3223

222

122 )9(

32

23

9)9()9(92 .

3) CxCxxdxdxxx ++=++=++=+ ∫∫ 3 4334

333

133 32 )16(

41

34

)16(31)16()16(

3116 .

Ответ: 1) Cx ++ 42 )8(41 ; 2) Cx ++ 32 )9(

32 ; 3) Cx ++3 43 )16(

41 .

Пример 8. Найти интегралы:

1) ∫ + dxbx21 ; 2) ∫ + dxx

x2cos1

2sin ; 3) ∫ − dxxb 31 ;

4) ∫ + dxxx

4

3

314; 5) ∫ + dxe

ex

x

2

2

25; 6) ∫ dxxx 3ln

1 .

Решение:

1) ∫∫ ++=++=

+Cbx

bxbxddx

bx)2ln(

21

2)2(

21

21 .

12

2) ∫∫ ++−=++−=

+Cx

xxddx

xx )2cos1ln(

21

2cos1)2cos1(

21

2cos12sin .

3) ∫∫ +−−=−−−=

−Cxb

xbxbddx

xb)3ln(

31

3)3(

31

31 .

4) Cxxxddx

xx ++=

++=

+ ∫∫4

4

4

4

3

314ln121

314)314(

121

314.

5) Ceeeddx

ee x

x

x

x

x

++=++=

+ ∫∫2

2

2

2

2

25ln21

25)25(

21

25.

6) ∫∫∫ +−=== − Cxxxdxxddx

xx 23

33 ln21)(lnln

ln)(ln

ln1 .

Ответ: 1) Cbx ++ )2ln(21 ; 2) Cx ++− )2cos1ln(

21 ; 3) Cxb +−− )3ln(

31 ;

4) Cx ++ 4314ln121 ; 5) Ce x ++ 225ln

21 ; 6) C

x+− 2ln2

1 .

Пример 9. Найти интегралы:

1) ∫ +dx

xx

3

2

1; 2) ∫ + dxx

xcos215

sin ; 3) ∫ −dxxxx

2sin2cossin .

Решение:

1) ∫ ∫∫ ++=++=++=

+

−Cxxdx

xxddx

xx 332

13

3

3

3

2

132)1()1(

31

1)1(

31

1.

2) Cxxdx

xxddx

xx

++=++−

=++−=

+−

∫

∫∫

cos215)cos215()cos215(21

cos215)cos215(

21

cos215sin

21

.

3) Cxxdxxxddx

xxx +−−=−−−=

−

−−=−

−

∫∫∫ 2221

2

2

2

2sin2)sin2()sin2(

21

sin2)sin2(

21

sin2cossin .

Ответ: 1) Cx ++ 3132 ; 2) Cx ++ cos215 ; 3) Cx +−− 2sin2 .

1.2.3. Подведение (внесение) под знак дифференциала

Один из множителей подынтегральной функции можно подвести под знак дифференциала. Для этого необходимо вычислить первообразную этого множителя и записать ее под знаком дифференциала.

В дальнейшем все дополнительные вычисления и рассуждения будем записывать между двумя вертикальными чертами.

[ ] [ ]∫ ∫ +==⋅ CxYFxdYxYfdxxYxYf ))(()())(()('))('( (1.2.4)Совет. Если после внесения одного из множителей под знак дифференциала возникли

затруднения в дальнейших действиях, смело заменяйте полученное выражение под знаком дифференциала на новую переменную.

Пример 10. Найти интегралы:

13

1) ∫ xdxxcossin 5 ; 2) xdxx 9sin9cos8 ; 3) ∫ + dxxxacrtg

2

7

1;

4) ∫ dxxx2ln ; 5) ∫ − dxx

x21

arcsin .

Решение:

1) ∫∫ +== Cxxxdxdxx

6sin)(sinsincossin

655 .

2) CxCxxxdxdxx +−=+⋅−=−= ∫ 9cos811

99cos

91)9(cos9cos

919sin9cos 9

988 .

3) ∫∫ +==+ Cxarctgarctgxxdarctgdx

xxacrtg

8)(

1

87

2

7

.

4) ∫∫ +== Cxxxddx

xx

3ln)(lnlnln

32

2

.

5) Cxxdxdxxx +==

− ∫∫32

1

2 )(arcsin32)(arcsin)(arcsin

1arcsin .

Ответ: 1) Cx +6

sin6 ; 2) Cx +− 9cos811 9 ; 3) Cxarctg +

8

8

;

4) Cx +3

ln3 ; 5) Cx +3)(arcsin32 .

Пример 11. Найти интегралы:

1) ∫ − dxxx 24)23( ; 2) ∫ + dxxx )1sin( 32 ; 3) ∫ + dxxxdx

12;

4) ∫ − 22 axxdx ; 5) ∫ − 22 xax

dx ; 6) ∫ ++ 82xdx .

Решение:

1) CxxCtt

dtttdttttxdtdxxtdxxx

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=+=+=+==−==− ∫ ∫∫

250)23(2

26)23(

91

252

2691

)2(91)2(

91

32;

31;23)23(

25262526

24252424

.

2) Cx

Cttdtdtdxxdtdxxxtdxxx

++−=

=+−====+==+ ∫∫

)1cos(31

cos31sin

313;

31;1)1sin(

3

22332

.

3) Cx

CxCttdtdtxdxdtxdxxtdx

xxdx

++=

=++=+====+==+ ∫∫

)1ln(21

1ln21ln

21

212;

21;1

12

222

.

14

4)

Cxa

atdt

adt

ta

tat

tat

ata

taaxxx

atdttadx

tax

axxdx

+−=−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

=−

=−

=−

=−===−

∫∫

∫

arcsin11

11

111;;;

2222

2

22

2

22

222222

.

5)

CaxaCtCt

aa

tdt

aadt

taa

tata

tataaxaxadtdxaxattax

xaxdx

+−±=+±=+=−

−=−

−=

=−=−

=−−−⋅=−−=−=−==

−

∫∫

∫

arccosarccosarccos11

1)1(

)1()1(22;;);1(

2

22

222

222

2

.

Верхний знак (+) надо взять при 0>a , а нижний (-) при 0

15

Пример 12. Найти интеграл: ∫ + dxxx

)87( 32

.

Решение:

∫∫ ++−=+−===

=+=

=+

−− Cx

Ctdtt

dxxdt

dxxdtxt

dxxx

)87(841

841

211

211

21;87

)87( 345

2

2

3

3

2

.

Ответ: Cx

++

−)87(84

13 .

Замечание: При интегрировании выражений, содержащих квадратный трехчлен, главным

моментом является выделение полного квадрата:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++=++

ac

ab

abxa

ac

ab

abx

abxa

acx

abxacbxax

22

22222

2

22

2

.

После этого чаще всего необходимо делать замену: dtdxtabx ==+ ;2

.

Пример 13. Найти интеграл: ∫ −+− dxxxxx

2

2

623 .

Решение:

[ ] ( )[ ]

CxxxxxC

tttt

tdt

ttdtdtdt

tttdt

ttt

dtt

ttdtdxtxtx

xxxxxdxxxxx

+−−−−+−=++−−−−−=

=−

−−

−−=−

++−−=−

++−=

=−

++−+−==+==−

−−−=−+−−=−=−

+−

∫ ∫ ∫ ∫∫

∫∫

6ln6536ln

21793

33ln

6539ln

2173

953

9173

95317)9(3

926173

92)3()3(3

;3;393933*26

623

22

222

2

2

2

2

22222

2

2

.

Ответ: Cxxxxx +−−−−+− 6ln

6536ln

21793 2 .

1.2.5. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu , (1.2.6)где: )(),( xvvxuu == - непрерывные дифференцируемые функции. Случаи применения формулы интегрирования по частям:

1. dxxx

advxPudx

xx

axP

x

n

x

n

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

===⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅∫ββ

ββ

αα

cossin);(

cossin)( .

16

2. dxxPdv

xarcctgxarctgxxx

udx

xarcctgxarctgxxx

xP n

aa

n )(;arccosarcsin

log

arccosarcsin

log

)( =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅∫

ββββ

ββββ

.

3. =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∫ dxx

xa x

ββα

cossin

два раза интегрируем по частям, получаем уравнение относительно

исходного материала.

4. =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

∫ dxxabx

22

2

один раз интегрируем по частям, получаем уравнение относительно

исходного материала. Замечания:

)(xPn означает многочлен степени n , а в квадратных скобках перечислены функции, к которым применима данная формула.

Во втором пункте вместо многочлена можно подставлять и степенную функцию.

Пример 14. Найти интеграл: dxex x∫ ⋅− 22 )75( . Решение:

Cxxedxexexeevdxedv

dxduxu

dxxexe

vduvuudv

edxedvvdxedv

xdxduxu

dxex

xx

xx

xx

xxxxxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

==

===

=−−=

−⋅=

====

=−=

=⋅−

∫

∫∫ ∫

∫∫∫

25575

221

25)75(

21

21;

;

210)75(

21

21;

10;75

)75(

22

22

2222

222222

2

22

.

Ответ: Cxxex

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

25575

22

2

.

Пример 15. Найти интеграл: dxxx∫ 4log53 . Решение:

CxxxCxxxx

dxxxx

vduvuudv

xvdxxdv

xdxduxu

dxxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+⋅−=

=−=

−⋅=

==

==

=

∫ ∫∫

5ln434log

43

43

5ln434log

43

5ln434log

43

43;

5ln;4log

4log

533

53 4

35

3 43 43

5

53

.

Ответ: Cxxx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

5ln434log

43

53 .

17

Пример 16. Найти интеграл: dxx∫ 2ln . Решение:

∫

∫∫∫

++−=⋅+−===

===

=−=−===

⋅===

Cxxxxxxxdxxxxx

xvdxdvxdxduxu

xdxxxxdxxxxx

xvdxdvxdxxduxu

dxx

2ln2ln2ln2ln;

;ln

ln2lnln2ln;

ln2;lnln

22

222

2

.

Ответ: Cxxxxx ++− 2ln2ln2 .

Пример 17. Найти интеграл: ∫ xdxex cos . Решение:

CxxeCxexedxxe

Cxdxexexe

xvxdxdvdxedueu

dxxexe

vduvuudv

xvxdxdvdxedueu

xdxe

xxxx

xxx

xxxx

xx

x

++=++=

+−+=

=−==

===−=

−⋅=

====

=

∫

∫

∫∫ ∫

∫

)cos(sin21cossincos2

;coscossin

cos;sin;

sinsinsin;cos;

cos

.

Ответ: Cxxex ++ )cos(sin21 .

Пример 18. Найти интеграл: dxx∫ − 62 . Решение:

;6ln666

666666

66

6;;6

;6

6

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

CIxxxxxdxdxxxxdx

xx

xxxxdxxx

vduvuudv

xvdxdvxxdxduxu

dxxI

+−−+−−=−

−−−−=−+−−

−−=−

−−=

−⋅=

==−

=−=

=−=

∫∫∫

∫∫ ∫

∫.

Ответ: CxxxxI +−+−−= 6ln66 22 .

1.3. Интегрирование рациональных выражений Определение: Рациональным относительно x называется выражение, представляющее

собой отношение двух многочленов, зависящих от x (т. е. это дробь, числитель и знаменатель которой есть многочлен )(xPm и )(xQn ).

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена )(xPm числителя меньше степени многочлена )(xQn знаменателя ( nm < ).

Теорема: Всякая неправильная рациональная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.

18

О корнях многочлена Если при 1xx = многочлен nn

nnnn axaxaxaxaxQ +++++= −

−−1

22

110 ...)( обращается в нуль (т.

е. 0)( =xQn ), то число 1x называется корнем многочлена.

О разложении многочлена на множители Теорема: Любой многочлен ( )(xQn∀ ), степень которого выше 2 ( 2>n ) можно разложить

на простейшие множители по формуле (1.3.1): тn rr

nn qxpxqxpxaxaxaxaxaxQ )(...)()(...)()()()( 112

112

32101321 ++⋅⋅++⋅−⋅⋅−⋅−⋅−= αααα .

Если числа nn axaxax === ...;; 2211 являются действительными корнями многочлена )(xQn , а квадратичные множители не имеют действительных корней и на множители первой

степени с действительными коэффициентами не разлагаются. О разложении рациональной дроби на простейшие

Пусть )()(xQxP

n

m - правильная, несократимая рациональная дробь, а ее знаменатель после

разложения на множители имеет вид: nn rr

nn qxpxqxpxaxaxaxaxaxQ )(...)()(...)()()()( 112

112

32101321 ++⋅⋅++⋅−⋅⋅−⋅−⋅−= αααα , где:

21, aa … действительные корни, а квадратичные множители не имеют действительных корней. Определение: Дроби следующих типов называются простейшими:

I. axA−

;

II. ,...4,3,2;)(

=−

kaxA

k ;

III. 0;2

19

соответствующей степени многочлены с неопределенными коэффициентами. При этом множителю знаменателя кратности α будет соответствовать α простейших дробей, в знаменателях которых будут все степени множителя.

Контроль. Число неопределенных коэффициентов должно равняться степени многочлена в знаменателе исходной дроби.

Привести сумму простейших дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем является знаменатель исходной дроби.

Приравнять числители исходной и получившейся дроби, вычислить коэффициенты. Для этого можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в многочленах правой и левой части равенства.

Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших дробей, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении.

Вычисляя интегралы от простейших дробей, необходимо иметь в виду, что: 1) простейшие дроби первых двух типов – почти табличные:

∫ ∫ +−=−−=

−CaxA

axaxdAdx

axA ln)(

1;)(

11

)()()(

)()( 1

≠+−

⋅−

=−−=−

−=− −

−∫∫∫ kCaxkAaxdaxA

axaxdAdx

axA

kk

kk

2) при интегрировании простейшей дроби третьего (III) типа производим замену

переменной: ;2pxt += dxdt = и получаем, таким образом, два табличных интеграла:

=+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−+

+++=

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

−=

+=++=

+=

=++

+

∫

∫∫∫

Catarctg

aApBatA

atdtpAB

atatdAdt

at

BptA

pqa

atqpxxdxdt

pxt

dxqpxx

BAx

12

ln22

)(2

2

4

2

2222

22

22

22

22

2222

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+++=

4

2ln2 2

2

pq

pABqpxxA

3) если требуется проинтегрировать простейшую дробь четвертого (IV) типа

∫ +++

kqpxxBAx

)( 2, 0

20

Пример 19. Найти интеграл: ∫ +−+ dxxxx

22 )172(58 .

Решение: Так как дискриминант квадратного трехчлена знаменателя отрицательный, то имеем

простейшую дробь четвертого типа. Выделяем в числителе дроби производную трехчлена знаменателя: 13)22(458 +−=+ xx .

[ ]

[ ] [ ]∫∫∫

∫∫∫∫

++

+−−=

++=

==−

−=+−=

=

=+−

++−

−=−=+−

+

222222

2

222222

1613

1724

16134

1)1(2

;172

16)1(13

)172()22(4)22(4

)172(58

udu

xxudu

tdt

dudxux

dxxdtxxt

xdx

xxdxxxdx

xxx

.

Последний интеграл вычисляем с помощью рекуррентной формулы (1.3.2) при 16,2 2 == ak .

[ ]Cxarctg

xxx

Cuarctguu

udu

uu

udu

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

+−−=

=+⋅++

=+

⋅++

⋅⋅⋅

=+ ∫∫

41

41

1721

321

441

321

)16(32421

161

)16(16121

16

2

222222

.

Окончательно имеем:

Cxx

xarctgxx

xdxxxx +

+−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+

+−−=

+−+

∫ 1724

41

41

1721

3213

)172(58

2222 .

Ответ: Cxx

xarctgxx

x ++−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

+−−

1724

41

41

1721

3213

22 .

Пример 20. Найти интеграл: dxxx

∫ ++

4

2

)1(1 .

Решение:

Rx

DxCxBxAxD

xC

xB

xAdx

xx =

+++++++=

++

++

++

+=

++

∫ 423

4324

2

)1()1()1()1(

)1()1()1(1)1(1 .

Приравниваем числители: DCCxxxBxxxADxCxBxAx +++++++++=++++++=+ )12()133()1()1()1(1 223232 .

22

10

1230

310

0

1

2

3

=−=

==

+++=++=

+==

DCBA

DCBACBA

BAA

xxxx

Подставим полученные коэффициенты:

432 )1(2

)1(2

)1(1

++

+−

+=

xxxR .

21

Cxxx

dxxxx

dxxx +

+−

++

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

−+

=++

∫∫ 3243242

)1(32

)1(1

11

)1(2

)1(2

)1(1

)1(1 .

Ответ: Cxxx

++

−+

++

− 32 )1(32

)1(1

11 .

1.4. Интегрирование иррациональных выражений При интегрировании иррациональных выражений (в данном случае имеется в виду

выражения, содержащие корни) удается в некоторых случаях избавиться от иррациональности с помощью следующих замен:

1. ( )

∫ ∫

∫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

====+=+

−

−

dttRdttant

abtR

dttandx

abtxtbaxdxbaxxR

nn

nn

nn

)(*,

;;

1

11

. (1.4.1)

2. ( ) ( )

∫∫

∫

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

=

=

−==+

=

=+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−

−

dttRdttaktt

abtR

dttakdx

abtxtbax

nnHOKk

dxbaxbaxxR

knk

nkk

k

kk

r

n mn m

r

r r

)(*,,

;;

),...,(

,...,

1

1

1

1

1

1 11 1

. (1.4.2)

3.

∫∫ =

=

−−==

++

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−

R

dttakdx

actdtbxt

dcxbax

nnHOKk

dxdcxbax

dcxbaxxR

k

k

kk

r

nm

nm

r

r

;;

),...,(

,...,

1

1

111

1

.

(1.4.3)

Здесь в пунктах 2 и 3 k - наименьшее общее кратное показателей корней rnnn ,...,, 21 . R - рациональная функция.

4. Интегралы от дифференциальных биномов:

( ) dxbxax Pnm∫ ⋅+⋅ , где: Pnm ,, - рациональные числа, сводятся к интегралам от рациональных дробей только в трех случаях:

P - целое число, тогда ( ) ∫∫∫ =⋅⋅+====⋅+⋅ −− dttRdtktbtatdtktdxtxdxbxax kPnkmkkkPnm )(*)(; 11 (1.4.4) где k -

наименьшее общее кратное дробей m и n .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +nm 1 - целое число; в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью

подстановки kn tbxa =+ , где k - знаменатель дроби P .

Pnm +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +1 - целое число; в этом случае интеграл рационализируется с помощью

подстановки kn tbax =+− , где k - знаменатель дроби P .

22

5. Интеграл вида ∫ ++ cbxax

dx2

приводится к табличным интегралам X и XII путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

6. Интегралы вида dxcbxax

BAx∫ ++

+2

путем выделения в числителе производной квадратного

трехчлена, стоящего под знаком корня распадаются на сумму двух интегралов

( )+

++++=

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

=++

+∫∫∫ cbxax

cbxaxdaAdx

cbxaxaApBbax

aA

dxcbxax

BAx2

2

22

)(2

22

2∫ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

cbxaxdx

aApB

22,

которые фактически являются табличными интегралами.

7. Интегралы вида ∫ ++− cbxaxxdx

2)( λ приводятся к табличным интегралам с помощью

подстановки t

x 1=− λ .

8. Интегралы вида dxcbxax

dxxPn∫ ++2)( , где )(xPn - многочлен n

ой степени, находятся с

помощью тождества:

∫∫ +++++=

++−

cbxaxdxcbxaxxQdx

cbxaxdxxP

nn

2

212

)()( λ (1.4.5),

где )(1 xQn− - многочлен )1( −nй степени с неопределенными коэффициентами, λ - число.

Дифференцируя указанное тождество (1.4.5) и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена )(1 xQn− и число λ .

9. Интегралы вида ( ) ( ) ( )dxaxxRdxxaxRdxxaxR 221221221 ,, −+− ∫∫∫ с помощью надлежащих тригонометрических подстановок сводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций:

( ) ( )∫∫ ⋅⋅====− dttataRtdtadxtaxdxxaxR coscoscos;sin221 ; (1.4.6) ( ) dt

ta

taRdt

tadxtgtaxdxxaxR 22

221 coscoscos

; ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⋅==+ ∫∫ ; (1.4.7)

( ) dt

tta

ttaRdt

ttadx

taxdxaxxR ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅====− ∫∫ 22221 cos

sincossin

cossin;

cos.

(1.4.8)

Пример 21. Найти интеграл: ∫ + 3 xxdx .

Решение:

23

CxxxxCttttCtttt

dtt

tttdtt

ttdtt

ttxdttdx

ttx

txHOK

xxdx

++−+−=++−+−=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−+−=

+=

+=

===

==

==

=+ ∫∫∫∫

1ln66321ln66321ln23

6

1116

166

;6

;

;;6)3,2(

6632323

23

23

5

23 635

36

6

3

.

Ответ: Cxxxx ++−+− 1ln6632 663 .

Пример 22. Найти интеграл: dxxxx

∫ +++

3 11 .

Решение:

( ) ( )

CxxxCtttCttt

dttttdttt

tt

dttdxtx

txtxtxHOK

dxxxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++⋅+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=−+=⋅+−=

==+

−==+=+=

=+

++∫∫∫

41

71

101)1(6

41

7106

47106

661

6;1

;1;11;6)3,2(

11

3 236

44710

36952

36

523

26

3

3

.

Ответ: Cxxx +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++⋅+

41

71

101)1(63 2 .

Пример 23. Найти интеграл: ( )∫ + 104 1xxdx .

Решение:

( )

( ) ( ) CxxCtt

tdttdttdt

tdt

txdttdx

txtx

P

dxxxxx

dx

++

++

−=++

++

−=

=++−++=+

−+

=

=

==

==

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+

∫ ∫∫∫

∫∫

−−

−−

948498

109109

43

24

10

41

21

104

19

4

12

1)1(9

4)1(2

1

)1()1(4)1()1(4)1(

4)1(

4

;4

;

10

11

.

10−=P - целое число (случай 1) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4) (1.4.4)).

Ответ: ( ) ( ) Cxx ++++− 9484 194

12

1 .

Пример 24. Найти интеграл: ( )∫ −− 223

44 xxdxx .

Решение:

( ) ( ) ⇒−=−− ∫∫− dxxx

xxdxx

23

23

22

3

444

имеем 23,2,3 −=== Pnm , так как 2

2131 =+=+

nm -

целое число, то имеем случай 2) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4).

24

( )

CxxC

xxC

tt

Ct

ttdtdtdt

tttdttt

xt

tdtxdxtdtxdx

txtx

+−

−=+−

+−=++=

=++=−=−−=⋅⋅−−=

−=

−==−

−==−

⇒ ∫∫ ∫∫ −

2

2

2

22

22

232

2

2222

48

4444

4444

4

;;22

;4;4

.

Ответ: Cxx +

−−

2

2

48 .

Пример 25. Найти интеграл: ∫ + 24 1 xxdx .

Решение:

( ) ⇒+⋅=+ ∫∫

−− dxxxxx

dx21

24

241

1 имеем ,2,4 =−= nm ;

21−=P 21 −=++ P

nm - целое

число, то имеем случай 3) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4). Полагаем, что

tdtdxxèëètdtdxxtx

−==−=+

−−

−

33

22

221

.

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Cx

xxCxx

xxCxxCtt

dtttdtttdxxxxdxxxx

++⋅−=++

−+=++−+=++−

=−−=⋅⋅−=⋅+⋅=+⋅⋅⇒

−−

−−−−−−−− ∫∫∫∫

3

22

3

322322

3

212321

2221

224

31)12(

3111

311

3

1111.

Ответ: Cx

xx ++⋅− 322

31)12( .

Пример 26. Найти интеграл: ∫ ++ 942 xxdx .

Решение:

( ) ( )Cxxx

x

xd

x

dxxx

dx +++++=++

+=++

=++ ∫ ∫∫

94)2(ln52

)2(

52942

222.

Ответ: Cxxx +++++ 94)2(ln 2 .

Пример 27. Найти интеграл: ∫ −− 21)1( xxdx .

Решение:

( ) ( )x

xCx

CtCCttdt

tdt

tttdtt

tt

t

tdt

dtt

dx

tx

tx

xxdx

−+−=

−−−−=−−−=+−−−=−−−−−=

=−−

=−−

−+−

−=

−=

+==−=

−−

∫

∫∫∫∫

−

11

12121)21(2121

21

2122111

11;11

1)1(

21

21

2

2

2

2

.

25

Здесь учтено, что tt =2 , что подынтегральная функция определена в интервале

11

26

( ) ( )

( ) ( )

Cx

xxctgCtttctgtdtttctgt

tdtdtt

dtdtt

tttdttdt

tt

tdttttdt

tt

xt

tdtdxtx

dxxx

+−

−−=+−+−=−⋅+−−=

=+−=+−=−==

=⋅=⋅−

=

=

==

=−

∫

∫ ∫∫∫∫∫

∫∫∫

2arcsin2sin

2arcsin6

2arcsin42sin284)2cos1(

21484

sin48sin

4sin

sinsin214sinsin14

sincos4

cos2sin4cos8cos2

sin4sin44

2arcsin

cos2sin2

4

222

42

2

22

2

4

2

6

2

32

2

32

.

Ответ: Cxxxctg +−−2

arcsin2sin2

arcsin62

arcsin4 .

Пример 30. Найти интеграл: ∫ + 29 xxdx .

Решение:

Cx

x

xxtctgect

xctgtxtgt

Cctgtect

tdttgttdt

ttgttdt

ttgtgtdtt

xarctgt

dttdxtgtx

xxdx

+−+=+=+=

===+−=

====+

⋅=

=

⋅==

=+ ∫∫∫∫∫

39ln31

91cos

3;3

cosln31

sin31sec

31

sec3sec

993sec3

3

sec33

9

2

22

2

2

22

2

.

Ответ: Cx

x +−+ 39ln31 2 .

Пример 31. Найти интеграл: ∫ − 422

xdxx .

Решение:

⇒=⋅=⋅⋅⋅−

=⋅⋅=

==

− ∫∫∫∫tdtdt

tgttgttdttgtt

tt

dttgttdxtx

xdxx 33

2

2

2

2

sec4sec4sec24sec4

sec4sec2

;sec2

4

Используем рекуррентную формулу (1.4.9):

dttnt

tn

dtt nnn ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅=⋅ ∫∫ −+ 12212 sec2

11cossin

21sec (1.4.9.);

Тогда имеем:

ICtgtttt

tdt

ttdtt

tt =+++=+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅⇒ ∫∫ secln2

1cossin2

cos21

cossin2sec

21

cossin

214 222 .

27

Так как

24sin;2cos

24;

2sec

2

2

−==

−==

xtx

t

xtgtxt.

Следовательно:

Cxxxx

CxxxxxCtgtt

ttI

+−++−=

=+−++⋅−=+++=

24ln

21

24

24

2ln

21

442secln

21

cossin2

22

222

2

.

Ответ: Cxxxx +−++−2

4ln21

24 22 .

1.5. Интегрирование тригонометрических выражений Интегралы от тригонометрических выражений различного типа во многих ситуациях

удается рационализировать либо существенно упростить. Типы тригонометрических выражений и способы их интегрирования

1. Универсальная тригонометрическая подстановка 2utgt =

∫ ∫ ∫=++−

+=

+=

+−=

+===

= dttRtdt

tt

ttR

ttx

ttx

tdtdxtarctgxtxtg

dxxxR )(12)

11;

12(

12sin;

11cos

)1(2;2;

2)cos,(sin *222

2

22

2

2 (1.5.1)

Пример 32. Найти интеграл ∫ xdx

3sin3.

Решение

CxtgxtgxctgCttt

dtttt

dttt

ttt

dt

ttx

tdtdxtarctgxtxtg

xdx

+++−=+++−=++=

=+=

++

=

+=

+===

=

∫

∫∫∫

22ln

21

281ln

21

81)21(

41

)1(41

)1

2)(1(2

12sin

12;2;

23sin

22223

3

2

32

22

2

3

Ответ: Cxtgxtgxctg +++−22

ln21

281 22 .

Пример 33. Найти интеграл ∫ ++ xxdx

cos3sin25.

Решение

28

C

xtgarctgCtarctg

tdt

ttdt

ttttt

dt

tt

ttt

dt

ttx

ttx

tdtdxtarctgxtxtg

xxdx

++

=++=++

=++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−++++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

+++

=

+=

+−=

+===

=++

∫∫∫

∫∫

3

12

32

31

32

3)1(8422

133455)1(

2

133

145)1(

2

12sin;

11cos

)1(2;2;

2cos3sin25

22

2

222

2

2

22

22

2

2

Ответ: C

xtgarctg +

+

3

12

32

2. Применение замены tgxt = .

∫∫ =+

==+

=+

===+=⋅ dttR

tdtdxtarctgx

tx

ttxttgxpnm

dxxx nm )(

1;;

11cos

1sin;;2

cossin22

2

2

22

(1.5.2)

Пример 34. Найти интеграл ∫ xdx

4cos.

Решение

Cxtgxtg

Cttdtttdtt

tarctgxtdtdx

txtxtg

xdx

++=

=++=+=+

+==

+=

+=== ∫∫∫

3

32

2

2222

2

4

31

3)1(

1)1(

1;

11cos;

cos

Ответ: Cxtgxtg ++ 331 .

Пример 35. Найти интеграл ∫ dxxx

4

6

sincos .

Решение

CxxxctgxctgCxxxxctg

xtgxtgdxxxxctgx

xddxx

dxx

dxx

dxdxx

xxxdxxxdx

xx

+++−−=++−++

++++=−−+++

+=−

++−=−+−=−=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫∫

2sin41

25

312sin

41

2133

)2(31)2()2cos1(2

133)2(cos

)2(sin

3sin

3sinsin

sinsin3sin31sin

)sin1(sincos

3

34

2

244

642

4

32

4

6

πππ

π

Ответ: Cxxxctgxctg +++−− 2sin41

25

31 3 .

3. Внесение под знак дифференциала функции в нечетной степени

29

∫ ∫

∫=⋅−−=

=⋅

Rdttt

dxxx

np

nm

)1(

sincossin

2

,

(1.5.3)

т.е. m - нечетное число. Пример 36. Найти интеграл ∫ dxx5cos . Решение

Cxxx

xdxxxdxxdxdxx

++−=

=+−=−==∫ ∫ ∫ ∫53

42245

sin51sin

32sin

)(sin)sinsin21()(sin)sin1()(sincoscos.

Ответ: Cxxx ++− 53 sin51sin

32sin .

Пример 37. Найти интеграл ∫ xdx

sin.

Решение

∫ ∫∫ ++−=

−−== С

xx

xxd

xdxx

xdx

cos1cos1ln

21

cos1)(cos

sinsin

sin 22

Ответ: Сxx +

+−

cos1cos1ln

21 .

4). Понижение порядка выражения

∫=⋅

+=−=

≥≥=+

=⋅

xxx

xxxx

nmpnm

dxxx nm

2sin21cossin

)2cos1(21cos);2cos1(

21sin

0;0;2

cossin 22 (1.5.4)

Пример 38. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 5cos5sin 42 . Решение

Cxxx

xdxdxxdxxxdxx

dxxxdxxxxdxxx

++−=

=+−=⋅+

=+⋅=⋅⋅=⋅

∫ ∫∫∫

∫ ∫∫

10sin240120sin

3201

161

)10(sin10sin801)20cos1(

16110cos10sin

8110sin

81

2)10cos1(

410sin5cos)5cos5(sin5cos5sin

3

222

2242

Ответ: Cxxx ++− 10sin240120sin

3201

161 3 .

5). Случай четных степеней тригонометрических функций

30

∫ ∫

∫

=++++

=

=

+=

+=

+=

==

=⋅

dttRtdt

tt

tttR

tx

ttx

tdtdx

arctgtxttgx

dxxxxxR

)(12)

1;

11;

1(

11cos

1sin;

)1(

;

)cossin,cos,(sin

**2222

2

22

2

22

222

(1.5.5)

Пример 39. Найти интеграл ∫ + xxdx

22 sin10cos2.

Решение

∫ ∫∫ =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+=

+=

+=

+=

==

=+ 210

110

12)1(

11cos

1sin;

)1(

;

sin10cos2 22

2

22

22

2

22

222 tdt

tt

tt

dt

tx

ttx

tdtdx

arctgtxttgx

xxdx

∫ +=+⋅=+= CtgxarctgCtarctg

t

td2

201

510

101

21

)2()10(

)10(101

22

Ответ: C

xtgarctg +

+

3

12

32 .

6. Использование формул для преобразования произведений тригонометрических функций

от различных аргументов

[ ])sin()sin(21sinsin vuvuvu ++−−=⋅ (1.5.6)

[ ])cos()cos(21coscos vuvuvu ++−=⋅ (1.5.7)

[ ])cos()cos(21sinsin vuvuvu +−−=⋅ (1.5.8)

Пример 40. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx cos7cos . Решение

[ ]

∫

∫∫ ∫ ∫∫

++=+

+=+=++−=⋅

Cxxxxd

xxddxxxdxdxxxdxxx

8sin1616sin

121)8(8cos

161

)6(6cos1218cos

216cos

21)17cos()17cos(

21cos7cos

Ответ: Cxx ++ 8sin1616sin

121 .

Пример 41. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 4sin6sin .

31

Решение

[ ]

∫∫

∫ ∫ ∫∫

++−=+−

=+−=+−−−=⋅

Cxxxxdxxd

xdxxdxdxxxdxxx

10sin2012sin

41)10(10cos

201)2(2cos

41

10cos212cos

21)46cos()46cos(

214sin6sin

Ответ: Cxx ++− 10sin2012sin

41 .

Пример 42. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 6cos12sin . Решение

[ ]

Cxxxxdxxd

xdxxdxdxxxdxxx

+−−=+=

=+=++−=⋅

∫∫

∫ ∫ ∫∫

18cos3616cos

121)18(18sin

361)6(6sin

121

18sin216sin

21)612sin()612sin(

216cos12sin

Ответ: Cxx +−− 18cos3616cos

121 .

7). Интегралы вида ∫ ⋅ xdxxtg nm sec и ∫ ⋅ xdxecxctg nm cos , (где n - четное число вычисляются с помощью формул xtgx 22 1sec += или xctgxec 22 1cos +=

Пример 43. Найти интеграл ∫ dxxtg 5 . Решение

Cxxtgxtg

tgxdxx

dxtgxxtgtgxdxx

xtgtgxtgxdtgxxdtg

xdxtgxxtg

xdxxtgxdxtg

xxdxtgxtgdxxtg

+−−=

=+−=−−=−=

=⋅−=−=⋅=

∫ ∫ ∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫∫

cosln21

41

cos41)1

cos1(

41)()(

coscos)1

cos1(

24

24

243

22

233

2325

Ответ: Cxxtgxtg +−− cosln21

41 24 .

Пример 44. Найти интеграл ∫ dxxctg 3 . Решение

∫ ∫

∫∫ ∫ ∫ ∫∫

+−−=−−=−

−−=−=−=⋅=

Cxxctgxxdxctgdx

xx

ctgxctgxdctgxdxx

dxctgxctgxdxx

ctgxdxxctgdxxctg

sinln21

sin)(sin

21

sincos

)(sin

)1sin

1(

22

2223

8). Интегралы вида ∫ + xdxn 12sec и ∫ + xdxec n 12cos вычисляются по рекуррентным формулам как интегралы от нечетной положительной степени секанса и косеканса:

∫ ∫ −+ −+⋅= xdxnx

nxdx nn

n 122

12 sec)211(

cossin

21sec (1.5.10)

32

∫ ∫ −+ −+⋅−= xdxecnx

nxdxec nn

n 122

12 cos)211(

sincos

21cos (1.5.11)

Пример 45. Найти интеграл ∫ ⋅ xdxxtg 64 sec . Решение

Cxtgxtgxtg

tgxxdtgtgxxdtgtgxxdtgtgxdxtgxtgxtg

tgxdxtgxtgxdxxtgxtgxdxxtg

+++=

=++=++=

=+=+=⋅

∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫

975

864424

224222464

91

72

51

)()(2)()()21(

)()1(sec)1(sec

Ответ: Cxtgxtgxtg +++ 97591

72

51 .

Пример 46. Найти интеграл ∫ xdxec5cos . Решение

Cxtgxx

xxecxdx

xx

xx

nnxdxec

xx

nnформулу

юрекурентнуиспользуемxdxec

++⋅−⋅−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅−+⋅−=

===+

=+⋅−===+

=

∫

∫∫

2ln

83

sincos

83

sincos

41cos

21

sincos

21

43

sincos

41

1,312)11.5.1(

cos43

sincos

41

2,512)11.5.1(

cos

2424

34

5

Ответ: Cxtgxx

xx ++⋅−⋅−

2ln

83

sincos

83

sincos

41

24

Пример 47. Найти интеграл ∫ xdx3sec . Решение

Cxtgxx

xdx

xxxdx

xx

nnфомулу

юрекурентнуиспользуемxdx

+++⋅=

=+⋅=+⋅===+

= ∫∫∫

)42

(ln21

cossin

21

cos21

cossin

21sec

21

cossin

21

1,312)10.5.1(

sec

2

223

π

Ответ: Cxtgxx +++⋅ )

42(ln

21

cossin

21

2

π .

33

1.6. Тесты (теория) 1. Дать определение первообразной. 2. Чем отличаются две первообразные для одной и той же функции? 3. Для каких функций существует первообразная на заданном интервале? 4. Что называется неопределенным интегрированием? 5. Что называется неопределенным интегралом? 6. В чем заключается основное отличие операции интегрирования от операции

дифференцирования? 7. Каким знаком обозначается интеграл? 8. Какая функция называется подынтегральной функцией? 9. Какие выражения называются подынтегральными выражениями? 10. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла? 11. Перечислите основные способы вычисления интегралов 12. Назовите основные способы вычисления интегралов? 13. В чем заключается замена переменной в неопределенном интеграле? 14. Запишите и объясните формулу интегрирования по частям. 15. Приведите пример применения формулы интегрирования по частям. 16. Что называется рациональным выражением? 17. Какая рациональная дробь называется правильной? 18. Каким образом не правильная рациональная дробь переводится в правильную? 19. Какие правильные дроби называются простейшими? 20. Сколько типов простейших дробей вы знаете? 21. Какие числа называются корнями многочлена? 22. Можно ли правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших

дробей? 23. При каких условиях правильную рациональную дробь можно разложить на

простейшую? 24. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей 1, 2, 3 типов. 25. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие множители. 26. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в

случае простейших действительных корней знаменателя. Приведите пример. 27. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в

случае действительных кратных корней знаменателя. Приведите пример. 28. Изложите правило разложения правильной дроби на простейшие для случая, когда среди

корней знаменателя имеются пары простых комплексно-сопряженных корней. 29. Какие выражения называются иррациональными? 30. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных

и трансцендентных функций? 31. Приведите наиболее типичные случаи рационализации интегралов от иррациональных

функций. 32. Какого вида интегралы от иррациональных функций сводятся к интегралам от функций,

зависящих от тригонометрических функций? 33. В каких случаях интегралы от дифференциальных биномов сводятся к интегралам от

рациональных функций? 34. Перечислите типы тригонометрических выражений и способы их интегрирования?

34

35. Приведите интегралы от тригонометрических функций, которые рационализируются с помощью подстановки kxt sin= и kxt cos= .

36. Интегралы какого вида от тригонометрических функций целесообразно рационализировать с помощью подстановки tgkxt = .

37. Интегралы какого вида при помощи универсальной тригонометрической подстановки сводятся к интегралу от рациональной дроби новой переменной?

38. В каких случаях можно упростить подынтегральную функцию с помощью формул понижения четных степеней синуса и косинуса?

39. При вычислении интегралов какого вида используется тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму?

40. С помощью каких формул можно понизить степень тангенса или котангенса при интегрировании тригонометрических функций?

41. Приведите прием вычисления интегралов от нечетной положительной степени секанса или косеканса с помощью рекуррентных формул.

42. Интегралы какого вида можно упростить с помощью формул понижения четных степеней секанса и косеканса?

35

2. Определенный интеграл

2.1. Основные свойства и определения Пусть функция )(xfy = определена �