Тольятти 2007

Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт

Кафедра «Общая и теоретическая физика»

Потемкина С.Н.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

3й семестр

Модуль 7

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

2

Содержание Глава 17. Колебательные процессы ................................................................................................................................3

§1. Гармонические колебания и их характеристики ................................................................................................3 §2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и дифференциальное уравнение гармонических колебаний ..........................................................................................................................................4

Вопросы для повторения.......................................................................................................................................6 §3. Энергия механических гармонических колебаний ............................................................................................6 §4. Гармонический осциллятор. Колебания пружинного, физического и математического маятников ............7

1. Колебания пружинного маятника ....................................................................................................................8 2. Колебания математического маятника ............................................................................................................8 3. Колебания физического маятника....................................................................................................................9

§5. Фазовый портрет маятника. Адиабатический инвариант................................................................................10 Вопросы для повторения.....................................................................................................................................11

§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре...................................................................12 §7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение ......................................................................................................................................................................15

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника .........................................................................17 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре..........................................18

§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электромагнитных колебаний и его решение ......................................................................................................................................................................18 §9. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний....................................................................................................22

Вопросы для повторения.....................................................................................................................................24 §10. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты ....................................24

Биения ...................................................................................................................................................................26 §11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний ........................................................................................27

Вопросы для повторения.....................................................................................................................................29 Глава 18. Упругие волны................................................................................................................................................29

§12. Волны. Плоская стационарная волна ..............................................................................................................29 §13. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость ...............................................................................................31 §14. Принцип суперпозиции. Групповая скорость ................................................................................................32 §15. Стоячие волны...................................................................................................................................................33

Глава 19. Электромагнитные волны..............................................................................................................................34 §16. Экспериментальное получение электромагнитных волн ..............................................................................34 §17. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн ...............................................................................35 §18. Энергия электромагнитной волны. Импульс электромагнитного поля .......................................................36

Вопросы для повторения.....................................................................................................................................37

3

Механические и электромагнитные колебания

Глава 17. Колебательные процессы

§1. Гармонические колебания и их характеристики Движения или процессы, характеризуемые определенной повторяемостью во времени назы-

ваются колебаниями. Примеры колебательных процессов: качание маятника часов, переменный электрический

ток. В первом случаи при колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, во втором – сила тока и напряжение в цепи.

В зависимости от физической природы колебаний различают колебания механические, электромагнитные и другие. Но различные колебательные процессы описываются одинаковы-ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Т.е. целесообразен единый подход к изуче-нию колебаний различной физической природы.

Единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся: анг-лийским физиком Д.У. Рэлеем ( 1842 - 1919 гг. ) русским физиком А. Г. Столетовым и русским инженером экспериментатором П. Н. Лебедевым ( 1866 - 1912 гг. ) Л. И. Мандельштамом и его учениками (1879 - 1944 гг.).

Колебания называются свободными (собственными), если они совершаются за счет перво-начально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колеба-тельную систему.

Колебательной системой - называется система, совершающая колебания. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания. Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (

косинуса ) называются гармоническими. Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1. колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гар-

моническому. 2. различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических

колебаний. Гармонические колебания величины S описываются уравнением:

)cos( 00 ϕω += tAS (1.1)или

)sin( 00 ϕω += tAS (1.1’)

)cos( 00max ϕω += tSS (1.1’’)или

)sin( 00max ϕω += tSS , (1.1’’’)

где AS =max – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой коле-бания

ωo – круговая ( циклическая ) частота, собственных (свободных) гармонических колебаний; ϕo – начальная фаза колебания в момент времени t = 0;

)( 00 ϕω +t – фаза колебания в момент времени t.

Что определяет фаза колебания?

4

Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Т.к. косинус изменяется от +1 до –1 , то S изменяется от +А до –А, или от + Smax до – Smax.

Периодом колебания называется промежуток времени Т, за который фаза получает при-ращение 2π , т.е. πϕωϕω 2)()( 0000 =+−++ tTt ωо(t + Т ) + ϕo - (ωot + ϕo ) = 2π ⇒

0

2ωπ

=T , (1.2)

отсюда

Tπω 2

0 = .

Определенное состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания.

В СИ [T] = 1 с [ωo ] = 1 рад/c = 1 c-1 Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

T1

=ν . (1.3)

В СИ [ν] = 1 Гц = 1 с-1 Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой. 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процес-

са. Сравнивая (1.2) и (1.3) получаем:

π

ων

20= (1.4)

или πνω 20 = . (1.5)

§2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и диффе-ренциальное уравнение гармонических колебаний

Найдем скорость и ускорение, с которым совершается данный колебательный процесс:

)2

cos()sin(' 000000πϕωωϕωω ++=+−=== tAtAS

dtdSV . (2.1)

0max ωAV = , (2.2)

амплитуда скорости , т.е. скорость изменяется от 0max ωAV +=+ до 0max ωAV −=− .

)cos()cos( 002000

202

2

πϕωωϕωω ++=+−=== tAtAdt

SddtdVa . (2.3)

20max ωAa = , (2.4)

амплитуда ускорения, т.е. ускорение изменяется от 20max ωAa +=+ до 2

0max ωAa −=−

Сравнивая (2.1) и (1.1) и (2.3) и (1.1) видим, что фаза скоростb отличается от фазы величины S на π/2, а фаза ускорения от фазы величины S на π, т.е. когда S = 0 , скорость Vmax, когда S ми-нимально, то аmax.

Построим графики зависимости )(tfS = , )(tfV = , )(tfa = (см. рисунки 2.1а, 2.1б, 2.1в).

5

S

+A

-A T/ 3T/4T/ T

0 t

а

a

+A

-A T/ 3T/4T/ T

0 t

б

V

+Aω2o

–Aω2o

T/4 3T/4 T/2 T 0 t

в

Рис. 2.1.

Перепишем (2.3) так:

Sdt

Sd 202

2

ω−= , (2.5)

следовательно 0'' 2

0 =+ SS ω . (2.6)Уравнение (2.6) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его

решением является уравнение (1.1) или (1.1′). Графически гармоническое колебание можно изобразить методом вращающегося вектора

амплитуды или методом векторных диаграмм.

Ā ωo

ϕо

Y

0 S

х

Рис. 2.2. Графическое изображение гармонического колебания методом вращающегося вектора амплитуды

6

Из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом ϕо, равным начальной фазе коле-бания, откладывается вектор ⎯ А , модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колеба-ния. Этот вектор вращают относительно оси, проходящей через точку О с угловой скоростью ωо, равной циклической частоте колебаний.

)cos(Пр S 00maxхосьна ϕω +== tSА . (2.7)

Проекция конца вектора ⎯А будет перемещаться по оси х и принимать значения от + А до –А, а колеблющаяся величина S будет изменятся с течением времени по закону:

)cos( 00 ϕω += tAS .

Т.е. гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно вы-бранную ось вектора амплитуды ⎯А, отложенного из некоторой произвольной точки О под уг-лом ϕо, и вращающегося со скоростью ωо вокруг этой оси.

Другой способ – представим колеблющуюся величину комплексным числом, по формуле Эйлера: ααα sincos iei += , (2.8)

где 1 i −= – мнимая единица/

Любое комплексное число αiepz = ; 22 yx +=p ; tg α = y / x , где ρ – модуль комплексного числа.

Тогда уравнение (1.1) запишем в комплексном виде:

)ϕ+= 00 tω i(AeS . (2.9)

В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая по оси ординат.

Вещественная часть выражения (2.7) ')cos()Re( 00 StωAS =+= ϕ . (2.10)или

)+= 00 tω i(AeS~ ϕ. (2.9)

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина S равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве (2.8) справа.

Вопросы для повторения

1. Что такое: колебания, свободные колебания, гармонические колебания? 2. Дайте определения: амплитуды, фазы, начальной фазы, периода, частоты, циклической

частоты колебания. 3. Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при гармонических

прямолинейных колебаниях? 4. От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических колебаний?

§3. Энергия механических гармонических колебаний Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси

координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда

7

)cos( 00 ϕω += tAx . (3.1)По определению

)sin( 000 ϕωω +−== tAdtdxV , (3.2)

xtAdt

xddtdVa 2

000202

2

)cos( ωϕωω −=+−=== . (3.3)

А по второму закону Ньютона: F = ma , и Fmax= mamax, тогда с учетом (3.3) получаем:

xmtmAF 2000

20 )cos( ωϕωω −=+−= . (3.4)

Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направ-лена в противоположную сторону (к положению равновесия ). 2

0max ωmAF −= . (3.5)Запишем выражения для кинетической, потенциальной и полной энергии материальной точ-

ки. По определению

2

)(sin2

0022

022

кϕωω +

==tmAmVW . (3.6)

Т.к. dx

dWF p

x = , то

2

)(cos2

20

2220

2

0

2202

00

0+∫ ==−−=∫−=

ϕωωωω txmAxmxdxmFdxpWxx

. (3.7)

Но W = Wк + Wp , тогда

2

mAW

20

2ω= , (3.8)

т. к. m = const, ωо = const, A = const, то следует вывод: Вывод: Полная энергия остаётся постоянной, так как при гармоническом колебании спра-

ведлив закон сохранении механической энергии и упругая сила консервативна.

§4. Гармонический осциллятор. Колебания пружинного, физического и ма-тематического маятников

Система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида:

0 S 20 =+ Sω (4.1)

называется гармоническим осциллятором. Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического дви-

жения и служат точкой или приближенной моделью во многих задачах классической и кванто-вой физики.

Примером гармонического осциллятора являются: пружинный, физический, математиче-ский маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно считать линейными).

8

1. Колебания пружинного маятника

Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и со-вершающий гармонические колебания под действием упругой силы : F = – kx, где k – жест-кость пружины, х – смещение груза от положения равновесия.

Получим дифференциальное уравнение гармонического колебания пружинного маятника: x m ma F ==

и F = – kx ,

тогда 0=+ kxxm (4.2)

0=+mkxx (4.2′)

Сравнив (4.2’) и (4.1)

20ω=

mk , (4.3)

тогда

mk

=0ω , (4.4)

отсюда, учитывая, что ωо=2π/Т, получим:

kmT π2= (4.5)

период колебаний пружинного маятника. Формула (4.5) выполняется для упругих колебаний, когда справедлив закон Гука, т.е. когда

mпр << mтела.

2

2kxWp = (4.6)

потенциальная энергия пружинного маятника. Fупр=-dWp/dx;

-Wp= -kxdx => Wp=kx2/2 Fт.упр консервативная сила, тогда

dA = - dWp;

∫ =−=∫ −−=x

p

x

pkxdxkxWdxkxdW

0

2

0 2)(,)( .

2. Колебания математического маятника

Идеализированная система, состоящая из математической точки массы m подвешенной на нерастяжимой невесомой нити и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Прим е р : небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

BFNgm += , где⎯N - сила реакции нити на натяжении.

угол ϕ - мал. х - путь, пройденный шариком. х = l ϕ или ϕ = х / l ; тогда Fв = - mgx / l

9

Но ωо = mk

, а Fупр = – kx , тогда mgx / l = kx ⇒ k = mg / l

gl

mgml

kmT πππ 222 === (4.6)

0 20 =+ xx ω , (4.7)

дифференциальное уравнение г.к. математического маятника.

_Fв

ϕ l

х

_ mg

Рис. 4.1. Колебания математического маятника

3. Колебания физического маятника

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С те-ла.

OC = l, OO′= L

α

α

1 L

х 0

_ Fr

_ mg

_ Fn

Рис.4.2. Колебания физического маятника

Если маятник отклонен из положения равновесия на угол α, то уравнение динамики враща-

тельного движения твердого тела можно записать так: М = Jε; ε = α ; M = Fr l

Вектор возвращающей силы Fr противонаправлен с положительным направлением оси x.

10

αmglM −= , (4.8)т.к. угол α мал, то α ≅ sin α.

Или – mgl α = J α ,

тогда

0 =+ ααJ

mgl (4.9)

mglJ

=0

1ω

или

J

mgl=0ω , (4.10)

тогда

mgl

JT π2фм = (4.11)

mlJL = (4.12)

приведенная длина маятника, т.е. L – длина такого математического маятника, период колеба-ний которого равен периоду колебаний физического маятника.

Точка О′, отстоящая от точки О на продолжении прямой ОС на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника.

По теореме Штейнера I = Ic + ml2 , тогда

lmlJl

mlmlJL cc >+=

+= , (4.13)

т.е. ОО′ всегда больше ОС. Точка качаний и точка подвеса обладают свойством взаимозаменяемости.

§5. Фазовый портрет маятника. Адиабатический инвариант Рассмотрим опять колебания пружинного маятника. Энергия системы определяется, как мы

уже видели, следующим выражением:

const22

22

кp =+=+=xmkxWWW . (5.1)

Введем вместо скорости импульс: р= mx´. Тогда равенство (5.1) можно переписать в таком виде:

Wkxm

p=+

22

22

. (5.2)

Разделим это равенство на W:

122

22

=+W

kxmWp , (5.3)

или

11

122

22

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

kWx

mWp

. (5.4)

В «пространстве» с координатными осями x и p это уравнение эллипса с полуосями mW2

и kW2 . Пространство с осями «координата - импульс» называется фазовым пространством

системы.

0 x

y

Рис 5.1. Траектория гармонического осциллятора в фазовом пространстве.

Таким образом, траектория гармонического осциллятора в фазовом пространстве представ-

ляет собой эллипс. А площадь эллипса, задаваемого уравнением: x²/a2+y²/b2=1. равна S = π a b, тогда площадь под фазовой траекторией определяется выражением:

ω

πππ WkmWabS 22 === , (5.5)

или

ωπWS

=2

. (5.6)

Величина площади S, заключенной внутри фазовой траектории частицы, деленная на 2π, имеет в физике специальное название- адиабатический инвариант. Для гармонического ос-циллятора адиабатический инвариант определяется выражением:

ωπWSI ==

2. (5.8)

Величина I была названа адиабатическим инвариантом потому, что мы рассматривали дви-жение при неизменных параметрах системы, то есть приколебаниях пружинного маятника (грузика на пружинке) неизменным параметрами были масса грузика и коэффиицент жесткости пружинки, т.е. величина k, а значит и частота ω.

Равенство (5.8) справедливо не только для колебаний грузика на пружинке, но и для любой другой системы, совершающей гармонические колебания, параметры которой испытывают медленные вариации со временем. Например, это может быть математический маятник, длина которого медленно меняется со временем.

Вопросы для повторения

1. Что называется: 2. гармоническим осциллятором? 3. Пружинным, физическим, математическим, маятником? 4. Приведенной длиной физического маятника, центром качений? 5. фазовым пространством системы?

12

6. Выведите и прокомментируйте формулы для расчета периода колебаний: а) пружинного, математического, физического маятников.

7. Выведите формулу: а) связи между циклической частотой и коэффициентом жесткости пружины; б) для расчета потенциальной энергии пружинного маятника; в) вращающего момента, вращающей силы для динамического маятника; г) для расчета приведенной длины физического маятника, д) адиабатического инварианта.

§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре Колебания, при которых электрические величины ( заряды, токи, электрическое поле, маг-

нитное поле ) изменяются периодически, называются электромагнитные колебания. Электро-магнитные колебания сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнит-ного поля.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используются определенные системы.

Простейшей такой системой является колебательный контур - цепь. состоящая из вклю-ченных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора, емкостью С, и резисто-ра, сопротивлением R.

+Q

-Q

I

t = 0 , Wэп= Q2 / 2C t = T / 4 , Wмп= L 2Q / 2 , Imax

а) б)

-Q

+Q

I

t = T / 2 , Wэп= Q2 / 2C t = 3T / 4 , Wмп= L 2Q / 2

в) г) Рис. 6.1.

Пусть R ≈ 0 ; тогда колебательный контур – идеализирован. Для возбуждения колебаний в

контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в на-чальный момент времени t=0 (рис.6.1 а) между обкладками конденсатора возникает электриче-ское поле, энергия которого равна Wэп= Q2 / 2C. Если замкнуть конденсатор на катушку индук-тивности , он начнёт разряжаться, и в контуре потечёт возрастающий со временем ток I. В ре-

13

зультате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (Wмп= L 2Q / 2 ) – возрастать.

Т.к. R=0, то согласно закону сохранения энергии, полная энергия

const22

22

=+=QL

CQW , (6.1)

т.к. она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент времени t=T/4, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля, а следовательно и ток, достигает наибольшего значения (см. рис. 6.1 б). Начиная с этого момента времени ток в контуре будет убывать, следовательно, магнитное поле катушки начнет ослабевать, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же на-правлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в конце концов обратиться в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (см. рис. 6.1.в). Далее процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 6.1.г) и система к моменту времени t=Т придёт в пер-воначальное состояние (рис. 6.1а).

После этого начнётся повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если потерь энергии нет, то в контуре совершаются периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменяются (колеблются) заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Электрические колеба-ния, возникшие в контуре, сопровождаются превращениями энергий электрического и магнит-ного полей. Электрические колебания в простейшем колебательном контуре можно сопоста-вить с механическими колебаниями математического маятника (рис. 6.2.а, 6.2.б,6.2.в, 6.2 г), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий ма-ятника.

Аналогично с механическими колебаниями:

Wp= kx2 / 2

Wк= mv2 /2

Wp= kx2 / 2 Wк=mv2/2

а) б) в) г)

Рис. 6.2.

Потенциальная энергия маятника играет такую же роль как энергия электрического поля

конденсатора, а кинетическая энергия маятника - энергия магнитного поля катушки: х g V Iконд.

Iинерц. маятн Lкат. Fтр Rконтура

Пусть имеется контур состоящий из: L, R, C (рис. 6.3.).

14

Рис. 6.3. Простейший колебательный контур и его схематическое изображение.

По второму правилу Кирхгофа:

siEUIR c =+ , (6.2)

cQU c = ;

dtdILEs −= ,

а

dtdQI = ;

тогда имеем:

2

2

dtQdL

CQ

dtdQR −=+ (6.3)

или

02

2

=++CLQ

dtdQ

LR

dtQd (6.4)

или

0=++CLQ

LRQQ (6.5)

дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре В данном контуре колебания являются свободными, так как внешние ЭДС отсутствуют. Если R = 0 , то имеем уравнение гармонических колебаний:

0=+CLQQ (6.6)

Решением этого уравнения (6.6) является уравнение: )cos( 00max ϕω += tQQ , (6.7)

где Qmax – амплитуда колебаний заряда, ωо – циклическая частота или собственная частота ко-лебательного контура.

LC1

0 =ω , (6.8)

тогда

LCT πωπ 22

0

== (6.9)

Формула (6.9) называется формулой Томпсона. Сила тока в контуре:

15

)2cos()sin( 00max000max πϕωϕωω ++=+−== tItQdtdQI , (6.10)

0maxmax ωQI = , (6.11)амплитуда силы тока.

)cos()cos(00max

00max ϕωϕω

+=+

== tUC

tQCQU c , (6.12)

C

QU maxmax = , (6.13)

амплитуда напряжения. Колебания тока опережают на π/2 по фазе колебания заряда. Свободные электромагнитные

колебания в контуре являются незатухающими. Когда ток достигает максимального значения, заряд и напряжение обращаются в ноль.

§7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за

потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Линейные системы - это идеализированные реальные системы, в которых параметры, оп-

ределяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейные системы это : пружинный маятник при малых растяжениях ( когда справедлив за-

кон Гука ), колебательный контур ( у которого индуктивность, емкость и сопротивление не за-висят ни от тока в контуре, ни от напряжения ).

Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

02 02

2

=++ SdtdS

dtSd ωδ , (7.1)

где S - колеблющаяся величина , описывающая тот или иной физический процесс ; δ = const - коэффициент затухания; ωо - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной систе-

мы, т.е. при δ = 0 ; ωо - называется собственной частотой колебательной системы. Рассмотрим решение уравнения (7.1) в виде:

UeS tδ−= , (7.2)

где U = U ( t ), найдем S и S. tt eUUeS δδδ −− +−= , (7.3)

( ) ttttt eUUUUeeUeUUeS δδδδδ δδδδδ −−−−− +−=−+−= 22 2 . (7.4)Подставив (7.3) и (7.4) в (7.1) получим:

( ) ( ) 0222 20

22 =++−++− −−− ttt eeUUeUUU δδδ ωδδδδ

0222 20

22 =+−+− ωδδδδ UUUUU

0222 20

22 =++−+− ωδδδδ UUUUU ( ) 022

0 =−+ δωUU . (7.5)

16

Решение уравнения (7.5) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рас-смотрим случай, когда этот коэффициент положителен

220 δωω −= ;

0>ω ;

0220 >−δω , (7.6)

то имеем 02 =+ UU ω . (7.7)

Решением уравнения (7.7) является функция: U = Ao cos ( ωt + ϕ ) Тогда решением уравнения (7.1) является функция

)cos(0 ϕωδδ +== −− teAUeS tt , (7.8)

если затухание мало, (δ2 << ω2о) то

teAA δ−= 0 , (7.9)амплитуда затухающих колебаний, Ао - начальная амплитуда.

Ao

- Ao

A = Ao e -δt T

S = Ao e -δt cos ( ωt + ϕ ) A1 A2

t

S,A

Рис.7.1. График зависимости амплитуды затухающих колебаний как функция от времени

Промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшает-

ся в е раз называется временем релаксации.

δ

τ 1= , (7.10)

А = Ао e -δt , Ао/A=e; -δτ =1 => 1/δ = τ Затухающие колебания не являются строго периодическими, и понятие периода можно вво-

дить только при малых затуханиях, как промежуток времени между двумя последующими мак-симумами или минимумами колеблющейся физической величины.

С учетом этого:

220

зк22

δω

πωπ

−==T . (7.11)

Логарифмическим декрементом затухания (λ) называется физическая величина числено равная логарифму натуральному отношению двух амплитуд, следующих друг за другом через период:

17

e

Tt

t

NTT

eAeA

TtAtA 1

)()(ln )(

0

0 ====⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= +−

−

τδλ δ

δ

. (7.12)

τ / Ne = T. В СИ [ λ ] = 1 - безразмерная величина, тогда из формулы связи :

Tδλ = . (7.13)[ Т ] = 1 с , [ δ ] = 1 / с = 1 с-1 λ - постоянная для данной колебательной системы величина. Ne - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности Q, которая при

λ << 0, равна:

δω

δπ

λπ

20

0

===T

Q . (7.14)

[Q] = 1 – величина безразмерная (так как δ2 << ωо

2, T = T0) Добротность, это физическая величина, обратно пропорциональная логарифмическому дек-

ременту затухания. Учтем, что λ = δТ = (1/τ)*(Т/1) = 1 / Ne, тогда Q = π / λ = πNe = π / δТо = ωо / 2δ Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы

для колебаний различной физической природы (механических, электромагнитных)

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника

Для пружинного маятника, совершающего малые гармонические колебания под действием упругой силы F = - kx, а еще на него действует сила трения xrrVF −=−=тр , (7.15)где r - коэффициент сопротивления, ( - ) показывает, что направления силы трения и скорости противоположны.

Тогда уравнение движения маятника будет иметь вид: xrxkmx −−= , (7.16)

Вспомним, что ω2о = k / m и обозначив r / m = 2δ получаем

02 20 =++ ωδxx , (7.17)

дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника, но его решение имеет вид: )cos(0 ϕωδ += − teAx t , (7.18)

где ω =2

220

m4r−ω

.

Добротность пружинного маятника:

rmk

kmrm

rTm

TQ =====

πππ

δπ

λπ

222 . (7.19)

mkr

mkrT ππδλ ===

222 . (7.20)

18

2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

Если в колебательном контуре R ≠ 0 , то дифференциальное уравнение свободного зату-хающего колебания заряда в контуре имеет вид:

0=++CLq

LRqq , (7.21)

сравнивая с уравнением x + 2δ x + ω2о = 0 имеем

L

R2

=δ , (7.22)

LC12

0 =ω . (7.23)

Решением (7.21) является функция: )cos(max ϕωδ += − teqq t , (7.24)a

2

222

0 41

LR

LC−=−= δωω , (7.25)

ω<ωо.

Если R = 0 , то ω = ωо = LC1

Логарифмический декремент определяется так:

LCR

LLCR ππλ ==

22 , (7.26)

а добротность

CL

RLCR

Q 1===

π

πλπ .

(7.27)

C ростом δ растет и период затухающих колебаний и при δ = ωо Т = =∞ , колеблющаяся ве-личина асимптотически приближается к 0, когда t → ∞. Процесс перестает быть периодиче-ским.

Оказывается возможно поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии в реальной колебательной системе. Особенно широко применяются автоколебания.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые в колебательной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, а свойства этих колебаний определяются са-мой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласо-ванность поступления энергии нужными порциями в нужный момент. Примером автоколеба-тельной системы могут служить часы. Механизм подталкивает маятник в такт с его колебания-ми. Энергия, передаваемая при этом берется либо за счет раскручивающийся пружины, либо за счет опускающегося груза. Автоколебательными системами являются также ДВС, паровые тур-бины, ламповый генератор.

§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электро-магнитных колебаний и его решение

19

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, не-обходимо компенсировать потери энергии. Это возможно с помощью периодически действую-щего, меняющегося по гармоническому закону фактора: txtx ωcos)( = . (8.1)

a) Для механических колебаний роль х( t ) играет внешняя вынуждающая сила: tFF ωcos0= . (8.2)

Для электромагнитных колебаний - роль х( t ) играет внешняя (подводимая) к контактам ЭДС (напряжение). U ( t ) = Uo cos ω t

Рассмотрим закон движения пружинного маятника: tFrxxkxm ωcos0+−−= , (8.3)преобразовав это уравнение получаем

tmFxxx ωωδ cos2 02

0 =++ . (8.4)

б) Для электрического колебательного контура роль х( t ) играет проводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС или напряжение (рис. 8.1):

Рис. 8.1. Колебательный контур, в котором возникают вынужденные электрические колебания.

tUU ωcosmax= . (8.5)

tL

UCLq

LRqq ωcosmax=++ (8.6)

Введем обозначения: R / L = 2δ,

1 / LC = ω2о

tL

Uqqq ωωδ cos2 max20 =++ . (8.7)

Вынужденными механическими колебаниями или вынужденными электромагнитными колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изме-няющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС. txSSS ωωδ cos2 0

20 =++ . (8.8)

уравнение описывающее вынужденные колебания величины S. Решением этого уравнения является сумма решений однородного дифференциального урав-

нения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения. Sобщее= Sр. о. д. у. + Sч. р. н. д. у.

tiexSSS ωωδ 0202 =++ . (8.9)

Решением однородного дифференциального уравнения является функция: )cos( 1101 ϕωδ += − teAS t . (8.10)

Частное решение уравнения (8.9) будем искать в виде:

20

ηiteSS −= 0 . (8.11)

Найдем S и S

S = i η So eitη

S = - η2 So eitη,

и подставим выражения S , S , S в уравнение (8.9), получим

tiit exieS ωη ωηδη 020

20 )2( =++−− . (8.12)

Равенство (8.12) должно выполнятся для любых моментов t. Тогда η = ω , а So (-η2 + 2δiη + ω2

о ) = хо

.4)(

)2()2)(2(

)2(2

222220

2200

220

220

2200

20

20

0

ωδωωωδωω

ωδωωωδωωωδωω

ωηδη

+−−−

=

=+−−−

−−=

++−=

ixii

ixi

xS (8.13)

Представим So в комплексной форме: So = А е-iϕ ,

тогда

222220

0

4)( ωδωω +−=

xA ; (8.14)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 220

2arctgωω

δωϕ ; (8.15)

Sч.р.н.д.у. = A e i( ωt - ϕ ) или вещественная часть, являющаяся частным решением уравнения (8.9) имеет вид: )Acos(S ϕω += t , (8.16)где А и ϕ определяются формулами (8.14), (8.15).

Частным решением неоднородного уравнения (8.9) является функция:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

= 220

222220

01

2arctgcos4)( ωω

δωωωδωω

txS , (8.17)

SSS += 1общее , (8.18)полное решение уравнения (8.9).

Слагаемое S1 играет существенную роль при установлении колебаний (в начальной стадии процесса), пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого (8.14).

Графически вынужденные колебания могут быть представлены так:

21

Установление колебаний

t

S

Рис. 8.2. Установление вынужденных колебаний.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются

гармоническими, амплитуда и фаза колебаний определяются формулами (8.14) и (8.15) и зави-сят от ω.

Запишем формулы (8.14) и (8.15) применительно к механическим и электромагнитным ко-лебаниям для установившегося режима:

1) механические колебания: ω2

о = k / m ; δ = r / 2m ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2

2222

0

4mr-

mk

mF

Aωω

, (8.19)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= 2arctg

ωωϕmk

r. (8.20)

2) электромагнитные колебания: ω2

о = 1 / LC ; δ = R / 2L ;

q = qmax cos (ωt - α);

.11

2

441

22

max2

2

max

242

22

222

max

2

22max

max

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

2

CLR

U

LC

R

U

LCL

CR

U

LR

LCL

Uq

ωωωω

ωω

ωωω

ωω

ωω

(8.21)

ωLωC

R

−=

1arctgα

По определению

22

)cos()2cos(

)sin())cos((

maxmax

maxmax

ϕωπαωω

αωωαω

−=+−=

=−−=−==

tItq

tqtqdtdqI

. (8.22)

22

max2

2

maxmax

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

=

LC

R

U

LC

R

UI

ωω

ωω

ω

ω , (8.23)

tg ϕ = tg( α - π / 2 ).

RC

L

LC

L

R ωω

παϕ

ωω

α

1

)2(tgtg1

tg−

=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= . (8.24)

Ток отстает по фазе от напряжения ( ϕ > 0 ) , если ωL > 1 / ωC , и опережает напряжение (ϕ < 0), если ωL < 1 / ωC.

§9. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний Рассмотрим, зависит ли амплитуда вынужденных колебаний А от частоты ω и как. Механи-

ческие и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно.

22222

0

0

4)( ωδωω +−= m

FA , (9.1)

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

=

LC

R

Uq mm

ωω

ω

. (9.2)

Найдем максимум формул (9.1), (9.2), т.е. реальную частоту, при которой амплитуда смеще-ния или заряда достигает максимума.

Продифференцируем подкоренное выражение (9.1) и (9.2) по ω и приравняем эти выраже-ния к 0. Получаем:

220

2

220

2

220

2

2220

2

02

0))(2(4

082)(2

δωω

ωωδ

ωωδω

ωδωωω

−=

=−−−

=−−−

=+−−. (9.3)

Равенство (9.3) выполняется при: ω = 0

220 2δωω −±= – физический смысл имеет значение 22

0 2δω −

Резонансная частота равна:

220рез 2δωω −= . (9.4)

Резонансом механическим или электрическим называется явление резкого возрастания ам-плитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ( частоты вынуждающего переменного напряжения ) к резонансной частоте.

Если δ2 << ω2 , то ωрез≅ ωо , тогда подставим (9.4) в (9.1).

23

220

022222

020

0

224)( δωδωδωωω −=

+−−=

xxAрез

Чем меньше δ , тем правее лежит максимум данной кривой. Графически зависимость А = f ( ω ) при различных значениях δ можно представить в виде

графика:

ωрез ωо

20

0xω

ω

δ растет

Ax

а)

ωo 2ωo 0

π 2

π

δ растет

б)

Рис. 9.1. Графики зависимостей амплитуды и фазы колебаний как функции от циклической частоты ω.

Если δ = 0 , то ϕ = 0 (фазы одинаковы) Если ω → 0, то все кривые приходят к одному и тому же предельному значению:

20

022222

020

0

4)( ωωδωωω

xxA ⇒+−−

= . (9.5)

эта величина называется статическим отклонением. А совокупность кривых – резонансными кривыми. Для механических колебаний:

kF

mFxA 0

20

020

0пр ===

ωω. (9.6)

24

Для электромагнитных колебаний:

CUC

ULUA max

max20

maxпр 1

===ω

. (9.7)

Если же ω → ∞ , то все кривые асимптотически стремятся к 0. Если затухание мало ( δ2 << ω2

о ), то

Арез = xoωо2

/ 2δLωо = δ

ω⋅

ω 2x 0

20

0 =xoQ/ωо2

Для мех. Арез=FoQ/mωо

2 Qмех=ωо

2 / 2δ Aрез=UoQLC/L

δ

ω2

0=Q (9.8)

добротность колебательного контура.

LCRπλ = , (9.9)

CL

RQ 1

==λπ . (9.10)

Добротность ( колебательной системы ) характеризует свойства колебательной системы, чем больше добротность, тем больше резонансная амплитуда.

Вопросы для повторения

1. Какие колебания называются затухающими? 2. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? 3. Какой зависимостью связаны: циклическая частота затухающих колебаний, частота соб-

ственных свободных колебаний и коэффициент затухания? 4. Какая величина называется декрементом затухания? 5. Какая величина называется логарифмическим декрементом затухания? 6. Какая величина называется добротностью колебательного контура? 7. Какая величина называется временем релаксации? 8. Являются ли затухающие колебания периодическими? 9. Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных ко-

лебаний системы? 10. Что такое автоколебания? 11. Чем отличаются автоколебания от вынужденных и свободных незатухающих колеба-

ний?

§10. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинако-вой частоты

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких процессах. Найдем результирующее

колебание, т.е. сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты.

25

Пусть складывается два колебания. Представим каждое гармоническое колебание методом вращающегося вектора амплитуды.

Пусть:

)cos(

)cos(

2022

1011

ϕωϕω

−=−=

tAxtAx

. (10.1)

Графически изобразим эти колебания. Т.к. вектора⎯А1 и⎯А2 вращаются с одинаковой угло-вой скоростью ωо, то разность фаз между ними ( ϕ2 – ϕ1 ) остается постоянной, и уравнение ре-зультирующего колебания будет иметь вид : )cos( 021 ϕω −=+= tAxxx . (10.1′)

y1

y2

ϕ1

⎯А

⎯А2

ϕ

y

х х2 х1

⎯А1 ϕ2-ϕ1

ϕ2

х

Рис.10.1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

⎯

21

21

21

yyyxxxAAA

+=+=+=

Из рисунка: 222

111

222

111

sinsin

coscos

ϕϕ

ϕϕ

AyAy

AxAx

==

==

По теореме косинусов А2 = А21 + А2

2 + 2А1А2 cos (ϕ2 - ϕ1)/

−++= )cos(2A A 122122

21 ϕϕAAA . (10.2)

2211

2211

21

21

coscossinsintg

ϕϕϕϕϕ

AAAA

xxyy

++

=++

= . (10.3)

Т.е., тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одной частоты, совершает также гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Как же будет изменяться величина амплитуды в зависимости от разности фаз (ϕ2 - ϕ1) 1) ϕ2 – ϕ1 = ± 2mπ ( m = 0,1,2,3,.....), то А = А1 + А2 – амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых

колебаний. 2) ϕ2 – ϕ1 = ± ( 2m + 1 )π ( m = 0,1,2,3,.....)

26

А = | А1 – А2 | – амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд склады-ваемых колебаний.

Биения

Если два складываемых гармонических колебаний одинакового направления мало отлича-ются по частоте, то возникают биения.

Биениями называют периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Пусть х1 = A1 cos ωt х2 = A2 cos (ω + Δω) t , тогда х = А′ cos ωt Амплитуду А′ найдем по теореме косинусов: если А1=А2 ϕ01 = ϕ02 = 0 тогда cos (x+y) = cos x·cos y – sin x·sin y 1 + cos2x = 2cos2x

Δ=Δ++= )2cos(2cos2A A 2122

21биен tAtAAA ωϕ . (10.4)

( ) ttAx ωω Δ= cos)2cos(2 (10.5)уравнение биений

Т. к. Δω / 2 << ω , то (10.5) почти не изменяется за то время, когда cos ω t совершит полное колебание частоты изменения амплитуды биения в два раза больше частоты изменения косину-са ( т. к. берется по модулю ). ωω Δ=биен , (10.6)тогда частота биений равна разности частот складываемых колебаний.

0

биен22ωπ

ωπ

=Δ

=T

T . (10.7)

График результирующего колебания дают жирные линии, а огибающие их – график измене-ния с течением времени амплитуды.

Тбиен Т

- 2А

+ 2А

х, Абиен

t

Рис. 10.2. Биения

Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха.

27

Любые сложные периодические колебания S = f (t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, началь-ными фазами, а также частотами кратными циклической частоте ωо:

)cos(...)2cos(

)cos(2)(

0202

1010

nn tnAtAtAAtfS

ϕωϕωϕω

++++++++==

(10.8)

Представление периодической функции в виде (10.8) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания или разложения Фурье (Фурье – французский ма-тематик).

Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ωо , 2ωо , 3ωо, ... называются первой (основной), второй, третьей, и т.д. гармониками сложного периодическо-го колебания.

§11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты ω, происходящие во вза-

имно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у.

⎩⎨⎧

+==

)cos(cos

ϕωω

tBytAx

, (11.1)

ϕ2 – ϕ1 = ϕ – 0 = ϕ – разность фаз складываемых колебаний. А и В – амплитуда складываемых колебаний. Чтобы найти уравнение траектории результирующего колебания у=f (х) необходимо исклю-

чить зависимость от t в системе уравнений (11.1). Пусть из (11.1)

х / А = cos ωt ; у /В = cos ( ωt + ϕ ) = cos ωt cosϕ – sinωt sinϕ ,

а 2

1sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Axtω

Подставив, получим:

ϕϕ sin1cos2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

Ax

Ax

By .

Возведем это уравнение в квадрат.

ϕϕ 222

sin1cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ax

Ax

By ;

ϕϕϕϕ 2222

2

2

2

sin)cos(sincos2 ++−=−Ax

BAyx

By ;

ϕϕ 22

2

2

2

sincos2 =+−By

BAyx

Ax . (11.2)

Уравнение (11.2) – это уравнение траектории результирующего колебания. Это уравнение эллипса с произвольно ориентированными относительно координатных осей осями.

Если: 1) ϕ = 2mπ/2 ( m = 0, ±1, ±2,...) то

28

0cos2 2

2

2

2

=+−By

BAyx

Ax ϕ ,

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

By

Ax . (11.3)

ABxy ±= . (11.4)

Эллипс вырождается в отрезок прямой, где «+» соответствует 0 и четным значениям m (сплошная линия), а «–» нечетным значениям m (пунктирная линия). Результирующее колеба-ние является гармоническими с частотой ω и амплитудой:

2222 cos2' BAmABBAA +=++= π . (11.5)

Колебание совершается вдоль прямой : у = ± х В / А , которая составляет с осью х угол ϕ

πϕ mAB cosarctg= . (11.6)

Колебания называются линейно поляризованными.

ϕ+А

- В

-А

+ В

х

у

ϕ

Рис 1

Рис 2

Рис 11.1 – сплошная линия. Рис 11.2 – пунктирная линия.

Траектории взаимно перпендикулярных колебаний

Если: 2) ϕ = ( 2m + 1 ) ( π / 2 ) ( m = 0, ±1, ±2,...) то уравнение имеет вид:

12

2

2

2

=+By

Ax (11.6)

это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответст-вующим амплитудам (рис. 11.3).

Если А = В, то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются поляризо-ванными по кругу или циркулярно-поляризованными.

0 x

y

Рис. 11.3

29

Если частоты складываемых, взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания имеем сложный вид и носит названия фигур Лиссажу. Ж. Лиссаж – (1822-1880) – французский физик (см. рис. 11.4.)

Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельным осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Метод фигур Лиссажу используют для анализа соотношений частот и разности фаз складывае-мых колебаний.

1:1

ϕ = 0 π/4 π/2 3π/4 π

1:2

Рис. 11.4. Виды фигур Лиссажу

Вопросы для повторения

1. Какие колебания называются вынужденными? 2. По какому закону изменяется амплитуда вынужденных колебаний? 3. Какой зависимостью связаны: циклическая частота вынужденных колебаний, частота

собственных свободных колебаний и коэффициент затухания? 4. Какое явление называется резонансом? 5. Какая величина называется статическим отклонением? 6. Что такое биения? 7. Когда они возникают? 8. По какому закону изменяется амплитуда биений? 9. Чему равен период биений? 10. Какова траектория точки, участвующей одновременно в дух взаимно перпендикулярных

колебаниях с одинаковыми периодами? 11. Какова траектория точки, участвующей одновременно в дух взаимно перпендикулярных

колебаниях с одинаковыми периодами и одинаковыми амплитудами? 12. Когда в качестве траектории при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний

получается прямая? 13. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношения частот складываемых коле-

баний?

Глава 18. Упругие волны

§12. Волны. Плоская стационарная волна Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

30

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и его энергия.

Основное свойство всех волн не зависимо от их природы: перенос энергии осуществляется без переноса вещества.

Волны могут быть упругими, электромагнитными и на поверхности жидкости. Упругими механическими волнами будем называть механические возмущения, распростра-

няющиеся в окружающей среде. Упругие механические волны делятся на продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В

поперечных - в направлениях, перпендикулярных распространению волны. В жидкостях и газах возникают только продольные механические волны, в твердых телах - и продольные и попереч-ные механические волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания являются гармоническими.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых дошли колебания в данный момент времени ( t ) .

Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс от области пространства, в которой колебания еще не возник-ли.

Волновой поверхностью можно назвать геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей существует бесконечно много, а волновой фронт для каждого мо-мента времени один.

Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоски-ми. Если волновая поверхность имеет сферическую форму, волна называется сферической.

Через ξ – ( кси ) обозначим смещение частицы из положения равновесия. Тогда

)(xf=ξ – будет график волны. ξ

х

Рис 12.1. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника в данный

момент времени.

Расстояние, на которое переместилась волна за 1 период, называется длиной волны.

VT=λ , (12.1)но

T1

=ν ;

31

νλ V

= ⇒

V=νλ . (12.2)

§13. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость Бегущей волной называется волна, которая переносит в пространстве энергию. Тогда смещение всех частиц среды для бегущей волны будет:

),,,( tzyxf=ξ . (13.1)Будем рассматривать плоскую волну, имеющую гармонический характер, распространяю-

щуюся в положительном направлении оси х. Пусть в начальный момент времени t смещение х = 0. Тогда

)cos(),0(),( ϕωξ +=== tAtftxf . (13.2)Пусть через время τ плоская волна приходит в точку с координатой х, а распространяется со

скоростью V. Тогда:

Vx τ= ; (13.3)

Vx

=τ ; (13.4)

))(cos())(cos(),( ϕωϕτωξ +−=+−== VxtAtAtxf . (13.5)Уравнение (13.5) является уравнением плоской волны, распространяющейся в положитель-

ном направлении оси х. Зафиксируем какое-либо значение фазы колебания. Пусть фаза колебания является постоян-

ной. Сначала выразим время t, а затем продифференцируем это выражение по времени:

ωω

ϕ const=+=

Vxt ; (13.6)

0=−Vdxdt ; (13.7)

Vdtdx

= . (13.8)

Из уравнения (13.8) следует, что V – скорость перемещения фазы волны (фазовая скорость). )cos(),( ϕωωξ +−= VxtAtx , (13.9)

)cos(),( ϕωωξ ++=− VxtAtx . (13.10)Волновое число k определяется соотношением (13.11).

VV

k ωπνλπ

===22 , (13.11)

)cos(),( ϕωξ +−= xktAtx . Распространение волн в однородной изотропной среде, в общем случаи, записывается урав-

нением в частных производных:

2

2

22

2

2

2

2

2 1tVzyx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ξξξξ . (13.12)

32

Уравнение (13.12) – волновое уравнение в частных производных.

2

2

2

1tV ∂

∂=Δ

ξξ , (13.13)

где Δ – оператор Лапласа, 2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ .

Пусть r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Тогда:

)cos(),( ϕωξ +−= xktrAtr , (13.14)

уравнение сферической волны.

§14. Принцип суперпозиции. Групповая скорость Cреда называется линейной, если ее свойства не изменяются под действием возмущений,

создаваемых волной. Для линейных сред применим принцип суперпозиции (наложения) волн: При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется

так, как будто других волн не было, а результирующее смещение частицы среды в любой мо-мент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Любую волну (согласно принципу суперпозиции и разложению Фурье) можно представить в виде суммы гармонических волн, или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Пусть простейший волновой пакет состоит из 2-x распространяющихся вдоль положительного на-правления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и вол-новыми числами, причем dω<< ω и dk<< k.

Рассмотрим случай, когда в среде распространяется несколько волн одновременно. Тогда колебание частицы среды оказывается геометрической суммой колебаний, совершаемых каж-дой из всех волн в отдельности.

Волны называются когерентными, если разность фаз остается постоянной или изменяют-ся по вполне определенному закону.

В результате наложения когерентных волн в разных точках пространства возникают макси-мумы и минимумы интенсивности, т.е. происходит перераспределение интенсивности.

⎩⎨⎧

+=+=

)cos()cos(

222

111

ϕωξϕωξ

tAtA

, (14.1)

)cos(2 122122

21

2 ϕϕ −++= AAAAA . (14.2)

Если cos ( ϕ2 - ϕ1) > 0 , то А2 > А21 + А2

2 Если cos ( ϕ2 - ϕ1) < 0 , то А2 < А2

1 + А22

2~ AI , (14.3)

)cos(2 1221212 ϕϕ −++= IIIII . (14.4)

33

§15. Стоячие волны Рассмотрим наложение двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Колебательный процесс, возникающий при наложении двух встречных плоских волн с оди-

наковой амплитудой, называется стоячей волной. Падающая на преграду волна отражается от преграды и накладывается на бегущую ей на-

встречу волну. Пусть ϕ1 = 0, ϕ2 = 0 . Тогда:

⎩⎨⎧

+=−=

)cos()cos(

2

1

xktAxktA

ωξωξ

. (15.1)

Первое из системы уравнений (15.1) – для колебаний в положительном направлении оси х; второе – для колебаний в отрицательном направлении оси х.

βαβαβα coscos2)cos()cos( =++− , cледовательно

λπωωξξξ xtAtxkA 2coscos2coscos221 ==+= , (15.2)

где λπxA 2cos2 – амплитуда стоячей волны.

В точках среды, для которых 2πх / λ кратен четному числу π / 2. 2πх / λ = 2mπ / 2 ( m = 0,1,2,...)

Аст = | Amax | = | 2A | В точках среды, для которых 2πх / λ кратен нечетному числу π / 2 :

2πх / λ = ( 2k + 1 )π /2 Acт = | Amin | = 0

Точки среды, в которых амплитуды стоячей волны максимальны, называется пучностями, точки среды, в которых амплитуды стоячей волны минимальны, называются узлами.

2πхпучн. / λ = ± 2mπ / 2,

4

2пучн

λmx ±= , (15.3)

4

)1(2узл

λ−±=

mx , (15.4)

хпучн.1 - хпучн.0 = λ/2 - 0 = λ/2 хузл.1 - хузл.0 = 3λ / 2 - λ / 4 = λ / 2

34

λ/2 A

x

пучности

Рис. 14.1. Стоячие волны

Если среда, от которой отражается стоячая волна, менее плотная, то вместо отражения по-

лучается пучность. Если наоборот – более плотная, то возникает узел. В случаи стоячей волны переноса энергии нет.

Глава 19. Электромагнитные волны

§16. Экспериментальное получение электромагнитных волн Существование электромагнитных волн – переменного электромагнитного поля, распро-

страняющегося с конечной скоростью, - вытекает из системы уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла сформулированы в 1865 году на основе обобщения эмпирических законов электри-ческих и магнитных явлений. Опыты Герца, доказавшие, что электрические и магнитные поля действительно распространяются в идее волн, поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла, сыграли решающую роль для утверждения максвелловской теории.

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме (16.1):

.0)4

,)3

,)()2

,)1

=

=

∂∂

+=

∂∂

−=

∫

∫∫

∫∫

∫∫

S

vS

SL

SL

SdB

dvSdD

SdtDjldH

SdtBldE

ρ

(16.1)

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними су-ществует связь.

Для изотропных, несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред запишем формулы свя-зи:

ED εε 0= , (16.2)

35

HB 0μμ= , (16.3)

EEjρ

δ 1== , (16.4)

где 0ε – электрическая постоянная, 0μ – магнитная постоянная,

ε – диэлектрическая проницаемость среды, μ – магнитная проницаемость среды,

ρ – удельное электрическое сопротивление, ρ

δ 1= – удельная электрическая проводимость.

Из уравнений Максвелла вытекает, что: 1. источником электрического поля могут быть либо электрические заряды, 2. либо изменяющиеся во времени магнитные поля, которые могут возбуждаться либо

движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями.

3. уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного по-лей. Это связано с тем, что в природе не существует магнитных зарядов.

Источником электромагнитных волн может быть любой колебательный контур. Для возбу-ждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменные электростати-ческое, магнитное или электромагнитное поле.

Излучательную способность источника характеризуем формулой, размерами и частотой ко-лебаний.

Таблица 1. Электромагнитные волны

Тип излучения Длина волны , м Частота , Гц Вид источника колебания Радиоволны

10-3 - 10-4 3×105 - 3×1012

Колебательный контур, виб-ратор Герца.

Световые волны

5×10-4 - 8×10-12 1011 - 1014 лазеры, лампы

Рентгеновское излу-чение

10-9 - 10-12 1017 - 1019

γ - излучение

λ<10-12 ν > 1019 радиоактивные распады, про-цессы, космические, ядерные процессы.

§17. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн

2

2

2

1tE

VE

∂∂

=Δ , (17.1)

2

2

2

1tH

VH

∂∂

=Δ , (17.2)

V – фазовая скорость распространения волны. Решениями уравнений (17.1) и (17.2) являются уравнения (17.3) и (17.4) соответственно:

)cos(0 xktEE −= ω , (17.3)

)cos(0 xktHH −= ω , (17.4)

36

μεμε 00

1=V , (17.5)

ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

00

1με

=c , (17.6)

ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянная. В вакууме: Vф = с Vф – фазовая скорость В среде: Vф.ср. < с Из теории Максвелла следует поперечность электромагнитных волн.

Рис. 16.1

Векторы ⎯Ε,⎯Η и⎯V образуют правовинтовую тройку. Векторы ⎯Ε и⎯Η всегда колеблются в электромагнитной волне в одинаковых фазах. Мгно-

венные значения векторов ⎯Ε и⎯Η:

2

2

22

2 1tE

VxEz

∂∂

=∂

∂ , (17.7)

2

2

22

2 1tH

VxH y

∂∂

=∂

∂, (17.8)

)cos(0 ϕω +−= xktEE zz ,

)cos(0 ϕω +−= xktHH yy .

§18. Энергия электромагнитной волны. Импульс электромагнитного поля

VW

=ω ,

2

20

эEεε

ω = , (18.1)

2

20

мHμμ

ω = , (18.2)

37

EHEEE

HE

μμεεεεεεεε

ωμμεε

ωωω

0000

20

э

20

20

мэ

22

222

===

==+=+=, (18.3)

VS ω= , (18.4)где S – модуль вектора плотности потока электромагнитной энергии (модуль вектора Умова-Пойнтинга).

Сам вектор Умова-Пойнтинга находится по формуле (18.5) [ ]HES ,= . (18.5)

Вектор ⎯S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль ра-вен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению распространения волны.

c

Wp = , (18.6)

где W – энергия электромагнитного поля, р – импульс электромагнитного поля, с – скорость распространения электромагнитной волны. Но: р = mс тогда

2mcW = , (18.7)Формула (18.7) – универсальная формула, по которой можно определить энергию.

Вопросы для повторения

1. Что такое волна? 2. Какая волна называется продольной? Когда она возникает? 3. Какая волна называется поперечной? Когда она возникает? 4. Что такое волновой фронт? 5. Что такое волновая поверхность? 6. Какая величина называется длиной волны? 7. Какова связь между длиной волны, скоростью распространения и периодом? 8. Что такое волновое число? 9. Какая волна называется бегущей? 10. Какая волна называется плоской? 11. Какая волна называется сферической? 12. Какая волна называется стоячей? 13. Когда образуются узлы стоячей волны при отражении от препятствия? 14. Когда образуются пучности стоячей волны при отражении от препятствия?