授课教师：授课教师： pyg zhhpxpyg zhhpx

————20042004 年年 55 月月 1010 日日————

一 .引入

.C

.B.A

引例：引例：

为了测定河岸为了测定河岸 AA点到对岸点到对岸 CC 点的点的距离，在岸边选定距离，在岸边选定 11 公里长的基线公里长的基线 ABAB ，，并测得并测得∠∠ ABCABC=120=120oo ，∠，∠ BACBAC=45=45oo ，，如何如何求求 AA 、、 CC 两点的距离？两点的距离？

Asin

aBsin

b

Csin

c

Asin

a

Bsin

b

Csin

c

c

b

c

a

1. 特例 : 在 Rt ABC△ 中 , C=9∠0° ，

= = ，是否成立 ?

初中学过锐角三角函数定义 :

sinA= sinB=

∠C= 90°, 易证 = =

B C

A

cb

a

2 ．能否推广到斜三角形？

证明一（传统证法）在任意斜△ ABC 当中： AbcBacCabS ABC sin

2

1sin

2

1sin

2

1

两边同除以 abc2

1即得：

.sinsinsin C

c

B

b

A

a

3 ．用向量证明：证二：过 A 作单位向量 j垂直于 ,AC AC CB AB

两边同乘以单位向量 ,j AC( )CB ABj j

则： AC CB ABj jj)90cos()90cos(90cos AABjCCBjACj ooo

AcCa sinsin .

sinsin C

c

A

a

同理：若过 C 作 垂直于 j CB

得： .sinsin C

c

B

b .

sinsinsin C

c

B

b

A

a

j A C

B

图

当△ ABC 为钝角三角形时， 设 A>90 过 A 作单位向量 j垂直于向量 ,AC

j

A C

B

图

则 j与 ,AB 的夹角为 A- 90,

j与 ,BC 的夹角为 90-C.

同样可证得

.sinsinsin C

c

B

b

A

a

这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立 . 因此 . 我们得到下面的定理 .

二 .正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

.sinsinsin C

c

B

b

A

a

1 正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所.

sinsinsin C

c

B

b

A

a对角的正弦比相等，即：

它适合于任何三角形。 2 可以证明 .2

sinsinsinR

C

c

B

b

A

a

（ R 为△ ABC 外接圆半径） 3 每个等式可视为一个方程：知三求一

三、正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1 ．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2 ．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例一、在△ ABC 中，已知 10c A=45 C=30

A=45 C=30 求 b （保留两个有效数字） .

sinsin C

c

B

b解：

00000 105)3045(180)(180 CAB

1930sin

105sin10

sin

sin0

0

C

Bcb

例二、在△ ABC 中，已知 20a b=28 A=40

求 B ( 精确到 1) 和 c （保留两个有效数字）

8999.020

40sin28sinsin

0

a

AbB解：

.116,64 02

01 BB

.76)4064(180)(180,64 00001

01

01 ABCB 时当

.3040sin

76sin20

sin

sin0

01

1 A

Cac

.24)40116(180)(180,116 00002

02

02 ABCB 时当

.1340sin

24sin20

sin

sin0

02

2 A

Cac

例三、在△ ABC 中，已知 60a b=50 A=38 求 B ( 精确到 1) 和 c （保留两个有效数字）

解：已知 b <a ，所以 B<A ，因此 B 也是锐角 .

a

AbB

sinsin

60

36sin50 0

5131.0031B

00000 111)3138(180)(180 BAC

.9138sin

111sin60

sin

sin0

0

A

Cac

三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解

或一解（见图示） C

CC

C

A B AAA BB

b ab

bb a a aa

1B2B

a=bsinA 一解

bsinA<a<b 两解 一解

a=bsinA 一解

讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：

AA为钝角或直角为钝角或直角

AA为锐角为锐角

aa ＞＞ bb

aa≤≤bb

aa≥≥bb

aa ＜＜ bbsinsinAA

aa==bbsinsinAA

aa ＞＞ bbsinsinAA

一解一解无解无解一解一解无解无解一解一解两解两解

AA的范围的范围 a,ba,b关系关系 解的情况解的情况

（按角（按角 AA分类）分类）

11 、、判断题判断题 :: 根据已知条件判断△根据已知条件判断△ ABCABC 解的情解的情况况 ..

(1) (1) bb=1 =1 ，， aa=2=2 ，， BB=30=30o o 有一解有一解； ； .

(2)(2)bb=1=1 ， ， aa=3=3 ，， B=30B=30oo 无解无解； ； .

(3)(3)bb=1=1 ，， aa= = ，， BB=30=30oo 有一解有一解； ； .

(4)(4)bb=1=1 ，， aa= = ，， BB=150=150oo 有一解有一解；； .

(5)(5)bb= = ，， aa=1=1 ，， BB=120=120oo 有两解有两解 . . .

33

33

33

五、作业

P 134 1, 2,3

2004.5