Теорија електричних колаtek.etf.rs/teorijaekola04_resavanje_vezbe.pdfдр...

др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.

Теорија електричних кола

Милка Потребић 1


Решавање у временском домену

2


Трансформатори

Идеалан трансформатор,

Индуктиван линеаран

трансформатор

3


Једначине и шема ИТ

221

221

10

0

im

ui

iumu

1i 2i

1u 2u

1:m

p1 p2

Једначине важе за произвољне

временске промене напона и струја

реципрочан елемент

1det a

4


Преносни број ИТ

• Преносни број је параметар ИТ,

вредност елемента, и представља

однос броја завојака намотаја

примара и секундара

• Преносни број је реалан позитиван број

• Улазна снага ИТ је идентички

једнака нули у сваком тренутку времена

2

1

N

Nm

02211 iuiup 5


Својство претварања (конверзије)

отпорности ИТ

1:m

R Rm2

Идеалан трансформатор чији је секундар затворен отпорником се понаша,

гледано са стране примара, као отпорник чија је отпорност сразмерна

квадрату преносног броја

1i 2i

1u 2u

21

21

1i

mi

umu

Rmi

um

im

um

i

uR 2

2

22

2

2

1

113 1

6


Својство претварања (конверзије)

отпорности ИТ

1:m

R2m

R

21

21

1i

mi

umu

2

1

1

2

1

1

2

224

1

m

R

i

u

mmi

m

u

i

uR

1i 2i

1u 2u

7


а-параметри мреже

1:1m

1:2m

'

2

1

1

'

211

1i

mi

umu

2

2

'

1

22

'

1

1i

mi

umu

'

1

'

2

'

1

'

2

ii

uu

1i 2i

1u 2u

'

2i'

1i

'

1

'

2 uu

2

21

'

1

1

'

2

1

1

221221

'

11

'

211

111i

mmi

mi

mi

ummummumumu

21

21

10

0

mm

mm

a8


Једначине и шема линеарног

индуктивног трансформатора

t

iL

t

iLu

t

iL

t

iLu

d

d

d

d

d

d

d

d

22

1122

212

111

1i 2i

1u 2u

p1 p2

1L 2L

12L

21

12

LL

Lk

9


Заменска (еквивалентна) шема

• Две мреже су заменске (или

еквивалентне) ако имају исти број

приступа и ако и једна и друга мрежа,

када се повежу у коло, узрокују исте

напоне и струје у остатку кола

• Заменске шеме уводимо да би

поједноставили шему кола или да би

представили коло у подеснијем облику

10


Заменска шема са Т-мрежом

калемова који нису у спрези

1:1121 LL 122 LL

12L

Ова шеме нема спрегнуте калемове Служи за раздвајање приступа

(галванско распрезање)

1i 2i

1u 2u

'

1i

'

11 ii '

1u

2

'

1

2

'

1

ii

uu

11

t

iL

t

iL

t

iLL

t

iiL

t

iLL

t

iiLuu

t

iL

t

iL

t

iiL

t

iLL

t

iiL

t

iLLu

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

22

112

2122

2112

'

1122

'

1112

'

12

212

11

2112

1121

'

1112

11211


Заменска шема са индуктивним

савршеним трансформатором

12L121 mLL 122

1L

mL

12mL12

1L

m

Калемови који нису у спрези (редни калемови)

представљају расипно магнетско поље

1i 2i

1u 2u

t

iL

t

iL

t

iL

t

iL

mt

iL

mLu

t

iL

t

iL

t

iL

t

imL

t

imLLu

d

d

d

d

d

d

d

d1

d

d1

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

22

112

112

212

21222

212

11

212

112

11211

12


Заменска шема са идеалним

трансформатором

121 mLL 1221

Lm

L

12mL

1:m

Ова шеме наглашава преносни број

1i 2i

1u 2u

'

1i

'

11 ii '

2u'

1u

2

'

1

'

2

'

1

1i

mi

muu

13

t

iL

t

iL

t

iL

mL

t

iimL

mt

iL

mL

m

u

t

iL

mLuu

t

iL

t

iL

t

im

i

mLt

imLL

t

iimL

t

imLLu

d

d

d

d

d

d1

d

d1

d

d1

d

d1

d

d

d

d

d

1d

d

d

d

d

d

d

22

112

2122

'

1112

2122

'

12122

'

22

212

11

21

121

121

'

1112

11211


Питања

14


Стање електричног кола

• Стање ел. кола је информација у посматраном тренутку времена, која заједно са познатим побудама омогућава да се одреди понашање кола после посматраног тренутка времена.

• Струје калемова и напони кондензатора чине стање кола.

• Напони кондензатора и струје калемова не могу да се тренутно промене ако у колу нема делта-импулса напона и струја.

• Каже се да ове величине памте (меморишу) стање кола.

C

iu

q

L

iu

15


Једначине стања

• Једначине стања су једначине кола по

струјама калемова и напонима кондензатора, и

побудама, написане у договореном облику

(Кошијева нормална форма).

• Са леве стране једнакости је први извод

струје калема или напона кондензатора.

• Са десне стране једнакости су алгебарски

чланови струја калемова, напона кондензатора

и побуда (струја и напона извора).

State equations

L

iu

C

iu

q

16


Ред кола

• Једначине стања у општем случају чине нехомоген систем линеарних диференцијалних једначина првог реда са константним коефицијентима.

• Ред кола је број диференцијалних једначина у систему једначина стања.

• Ред кола је једнак или мањи од броја динамичких елемената.

17


• Ако постоје алгебарске једначине у којима се

појављују само струје калемова, или напони

кондензатора, или побуде, ред кола ће бити

мањи од броја динамичких елемената.

• Ред кола је једнак разлици броја динамичких

елемената и броја оваквих независних

алгебарских једначина, које чине да одређени

број диференцијалних једначина стања

дегенерише у алгебарске једначине.

Када је ред кола мањи од броја

динамичких елемената?

18


Кондензаторске контуре и

калемски пресеци • Контуре које садрже кондензаторе,

кратке везе и напонске изворе су

кондензаторске контуре и оне везују

почетне услове кроз једначине КЗН

• Пресеци који садрже калемове, отворене

везе и струјне изворе су калемски

пресеци и они везују почетне услове кроз

једначине КЗС.

L

iu

C

iu

q

19


Пример смањеног реда кола

• Краткоспојени кондензатор

• Паралелна веза кондензатора

• Просто редно коло од калема и

струјног извора

• Просто редно коло од кондензатора и

напонског извора

• Редна веза калемова

20


Природни почетни услови

• Струје калемова и напони кондензатора у почетном тренутку кола су природни почетни услови кола.

• Сви остали почетни услови су изведени почетни услови.

• Природни почетни услови се задају у тренутку непосредно пре почетног тренутка.

00 )( ItiL

00 )( UtuC

Initial conditions, IC, Initial state 21


Описивање укључивања извора

• Стварни извори почињу да обезбеђују потребан напон и струју после неког тренутка времена који је тренутак укључивања извора.

• Пре тренутка укључивања извора, побуда је једнака нули.

• Укључивање описујемо Хевисајдовом функцијом а те изворе зовемо каузалним.

22


Примери каузалних побуда

)()(g tUtu

)()(g tT

Itti

)(e)(g tUtu ta

)()sin(2)(g ttIti

)()cos(e)( mg ttUtu t

23


Потпуни одзив

• Потпуни одзив је напон или струја

приступа, за тренутке времена после

t-нула-плус, наста(о)ла услед

природних почетних услова и побуда.

• Потпуни одзив је збир два сабирка:

одзива на природне почетне услове,

сакупљену енергију, и одзива на побуду.

Ово је последица линеарности диференцијалних једначина и

константности њихових коефицијената. 24


Одзив на сакупљену енергију

• Oдзив на природне почетне услове

(одзив на сакупљену енергију, одзив на

акумулисану енергију) је напон или

струја приступа, за тренутке времена

после t-нула-плус, у колу у коме су

• независни извори искључени.

• То је одзив настао због почетних услова.

Zero-input response 00 )( ItiL 00 )( UtuC 25


Одзив на побуду

• Oдзив на побуду (одзив на екситацију, одзив на укључење извора) је напон или струја приступа, за тренутке времена после t-нула-плус, у колу у коме су

• почетни услови једнаки нули.

• То је одзив настао због извора (независних генератора, стимулуса, екситација, инпута, побуда).

Zero-state response 26


Суперпозиција одзива

• Суперпозиција (преклапање, сабирање) одзива

је последица линеарности диференцијалних

једначина и константности њихових

коефицијената.

• Потпуни одзив је збир одзива на почетне

услове и побуде када делују појединачно.

• Одзив је увек каузалан, не може почети пре

побуде, и једнак је нули када нема сакупљене

енергије и побуда.

27


Пример суперпозиције

• Посматрајмо коло са напонским и струјним извором и калемом и кондензатором који имају енергију (почетни услови нису једнаки нули).

• Потпуни одзив у колу ће бити једнак збиру четири одзива:

• Одзив на енергију калема

• Одзив на енергију кондензатора

• Одзив на напонски извор

• Одзив на струјни извор

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

28

У свим

случајевима је

исти упоредни

смер одзива


Импулсни и одскочни одзив

• Посматрајмо коло без енергије (почетни услови једнаки нули) са једним извором.

• Импулсни одзив (Гринова функција) је одзив на јединичну импулсну побуду (Диракову делта побуду).

• Одскочни одзив (индициона функција) је одзив на јединичну одскочну побуду (Хевисајдову побуду).

)(tg

)(tf

Импулсни одзив се уобичајено обележава и са h(t). 29


x

x

1

1

1

11 2

( ) ( ) ( ) ( )

d ( ) d ( ) d ( ) d ( )( ) ( )

d d d d

d ( ) d ( ) d ( )( ) (0 ) ( )

d d d

d ( ) d ( ) ( )( ) (0 ) ( )

d d

g t t h t H t

g t t h t th t t H

t t t t

g t t th t t H

t t t

t t th t t H

t t R C

1 2

1

2

2

2

2

2

1 g

4 3

g

1

2

2

g

21

g

1 2

1 2

0

d

d

d

d

d

d

d ( ) ( )

d

R C

R

C

C

C

C

C

V u

V V

i i

ui

R

ui C

t

V u

uuC

R t

u u

t R C

g t t

t R C

1 2 1 2

1 2

1

d ( ) 1 1( ) : 0 ( ) const ( ) ( )

d

1( ) : (0 )

d ( ): 0

d

th t t K g t h t

t R C R C

tR C

tH

t

1 2

1( ) ( )g t h t

R C

t

30


1 2

2 3

g C C

C C

u u u

u m u

+ + + uC1 -

-

uC2

-

uC3

2 алгебарске једначине

3*C + 1*L = 4 динамичка елемента

4 – 2 = 2 ред кола

31


1( ) ( ) ( ) ( )f t t h t H t

g21

2

2 1 2

1 2

d

d

d ( )

d

( ) ( )

uVC

R t

h tV C R

t

f t C R t

2 1

1 2 1

( ) : ( ) 0 ( ) ( )

( ) :

h t t f t R C t

t H R C

1 2

2

1

1

1 3 g

4 5

2

2

g

1 1

0

d d

d d

C R

R

C

C

V V u

V V

i i

Vi

R

u ui C C

t t

1 1 2( ) ( ) ( ) ( )t h t H t C R t

2 1( ) ( )f t R C t

t

x

x

32


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t g t Ah t

t T g t T Ah t T

B t T Bg t T ABh t T

33


Задаци

34


Задатак (2)

35


Задатак (2)

VCCS (OTA) 1

VCCS (OTA) 2

R

ug

C

u1 u1g

u2u2g

0 0 0

0

p1

p2

p3

p4 p5

p6

p7

uC

36


Граф електричног кола

p4

p1 p7

p2

p6

p5

0

p3

ν1 ν2

ν3

37


Својства одзива на побуду

Временски непроменљивог

линеарног кола

без сакупљене енергије

38


Својство линеарности

• Нека једна побуда ствара одзив у линеарном временски непроменљивом колу у коме нема сакупљене енергије

• Линеарна трансформација побуде ће стварати исту линеарну трансформацију одзива

• Пример линеарних трансформација су множење константом, извод по времену и интеграл по времену

• Ако је побуда дата збиром више сабирака, одзив је збир одзива на сваки сабирак понаособ

)()( eg tuti )()( eg tuKtiK constK39


Својство померања у времену

• Нека једна побуда ствара одзив у

линеарном временски непроменљивом

колу у коме нема сакупљене енергије

• Временски померена побуда ће стварати

одзив на исти начин померен у времену

• Ово својство се примењује у решавању

кола са сложеним обликом побуде

)()( eg tuti )()( eg TtuTti 40


Линеарност и померање у времену

)()( eg tuti

t

tu

t

ti

d

)(d

d

)(deg

tt

ui

0

e

0

g d)(d)(

)()( eg TtuTti

• Коло је линеарно

• временски непроменљиво

• без сакупљене енергије

(почетни услови су

једнаки нули)

• делује само један

каузалан извор (генератор)

)()( eg tuKtiK

constK

41



t

uC

guug

t

uCi

uu

CCC

C

d

d1

d

d11

2

g22 11

d

du

RCu

RCt

u

2g2

d

d1ugRu

t

uC

g

2g1 ugRuu

Једначина одзива 42


Својства једначине одзива

• Линеарна нехомогена

диференцијална једначина са

константним коефицијентима

• Ред једначине је једнак реду кола

• За коло од пасивних елемената

(отпорника, калемова, кондензатора, ...)

сви коефицијенти имају исти знак

43


Општи облик једначине одзива

)(d

d

d

d

d

d

d

d012

2

21

1

1 tFiat

ia

t

ia

t

ia

t

i

r

r

rr

r

0012

21

1 asasasas r

rr

Карактеристична једначина

Нуле (корени) карактеристичне једначине су

сопствене учестаности (природне учестаности,

сопствене вредности, својствене вредности,

eigenvalues) 44


Решење једначине одзива

t

tHtHttti

d

)(d)()()()( 21

const,, 21 HH

Елементарна (обична)

функција од

полинома, триг, експ,

..., функција

Број импулсних сабирака

зависи од реда кола и

нехомогеног дела 45


Импулсни и одскочни одзив

• Посматрајмо коло без енергије (почетни услови једнаки нули) са једним извором

• Импулсни одзив (Гринова функција) је одзив на јединичну импулсну побуду (Диракову делта побуду)

• Одскочни одзив (индициона функција) је одзив на јединичну одскочну побуду (Хевисајдову побуду)

)(tg

)(tf

Импулсни одзив се уобичајено обележава и са h(t). 46



g22 11

d

du

RCu

RCt

u

tUftutUhtu 2g

thtztf

tzth

t

tz

t

tf

ttztht

tz

t

tf

t

thtzth

t

tz

t

tf

0d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

47



g22 11

d

du

RCu

RCt

u tfuthu 2g

thtztf

th

RCthtz

RCtzth

t

tz 110

d

d

RCtz

RCt

tz 1)(

1

d

)(d

0)0( z

th

RCtf

RCt

tf 11

d

d

tztht

tz

t

tf 0

d

d

d

d

48



tUfutUhu 2g

RCtz

RCt

tz 1)(

1

d

)(d 0)0( z

tztztz ph

111

0const 111p KRC

KRC

Ktz

t

RCeKtzRC

sRC

ssA

1

2h

10

1

1001 2

1

2ph

KzeKtztztzt

RC

thethtztft

RC

1

1

theUtUfutUhut

RC

1

2g 1 49



theUtUfutUhut

RC

1

2g 1

thegUtgutitit

RCR

1

22 1

gUtiR

50


Осцилатор са Виновим мостом (1)

2

51



52



2

53


LC-реализација филтра

54


Коло са електроенергетским

трансформатором

55


Резонантни одзив

56

Теорија електричних колаtek.etf.rs/teorijaekola04_resavanje_vezbe.pdfдр...

Documents