שיטת קינר לדירוג קבוצות ספורט מתחרות

THE KEENER METHOD FOR RANKING

COMPETING SPORTS TEAMS

( Sc.Bפרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים )במתמטיקה שימושית

סטודנטית: אמאל זרקאמנחה: ד"ר חגי כתריאל

תוכן ענייניםהשיטה של קינר

ליגת העל

היישום על ליגת העל

תוצאות

שיטת מרחק טאו של קנדל

סיכום

השיטה של קינרנניח שאנו מעוניינים לדרג קבוצות שמתחרות בזוגות

בספורטכלשהו.

אם נתון לנו:o:N.מספר המשתתפות הכולל בתחרות o מספר המשחקים ששיחקה קבוצה : i .ob מטריצת התוצאות, לדוגמה, עבור כדורגל אפשר :

,j ניצחה את קבוצה i אם קבוצה 1לבחור את להיות אם0.5

אחרת. 0 המשחק הסתיים בתיקו, ו-o r ווקטור שרכיביו החיוביים מציינים את החוזק של :

קבוצה .j מס '

דוגמא קבוצות מתחרות בכדורגל, כל אחת 6 נניח שיש

15משחקת נגד שאר הקבוצות ולכן בסה"כ יהיו משחקים, לפי השיטה מספר המשתתפות בתחרות

N=6 מספר המשחקים ששיחקה כל קבוצה , n=5 , את מטריצת התוצאות בחרתי באופן אקראי:

005.0005.01015.0105.00005.05.015.01011105.00005.015.0010

b

על-ידי:iנגדיר את הציון של קבוצה

קינר טוען שהחוזק של כל קבוצה צריך להיות פרופורציונאלי לציון

שלה. כלומר ש- כאשר - הוא מספר חיובי כלשהו.

ולכן:=

במילים אחרות, אם נגדיר מטריצה , אז:

.A הוא ווקטור עצמי של המטריצה rכלומר משפט פרון-פרובניוס אומר לנו מתי לבעיה זו יש פתרון.

משפט פרון-פרובניוס

יש איברים אי-שליליים, אז קיים A אם למטריצה עם איברים אי-שליליים, המתאים לערך rווקטור עצמי

היא Aעצמי חיובי . יתר על-כן, אם המטריצה יש רכיבים חיוביים ממש, והוא rבלתי-פריקה, לווקטור

יחיד )עד כדי הכפלה בסקלר חיובי( ופשוט, והערך Aהעצמי המתאים הוא הערך העצמי הגדול ביותר של

בערכו המוחלט.

אם אנו מנחשים את ווקטור החוזקים של הקבוצות, נוכל להגיע לווקטור הציונים הסופי בשתי דרכים:

דרך מתמטית, נחפש את וקטור עצמי וערך עצמי של ווקטור הציונים הוא יהיה הווקטור Aהמטריצה

המתאים לערך העצמי החיובי.

דרך שיטת החזקה: סדרה של שיפורים בהערכה שלהחוזק של הקבוצות, סדרה של איטרציות לפי הנוסחה

הבאה:

כאשר הנורמה מוגדרת:

מציאת ווקטור הציונים לפי דרך מתמטית נחזור לדוגמא שלנו:

מציאת ערכים עצמיים של המטריצה, ואחר כך מציאת הווקטור העצמי המתאים לערך העצמי החיובי.

𝐴= 𝑏𝑛 = 15

005.0005.01015.0105.00005.05.015.01011105.00005.015.0010

נעזרתי במטל"ב וקיבלתי את הערכים העצמיים:

רואים שיש לנו ערך עצמי חיובי יחיד, וקטור עצמי המתאים לאותו ערך עצמי הוא:

v=[0.4539 0.1564 0.6764 0.2146 0.4828 0.1812]

הווקטור אחרי נרמול:

ערך עצמי0.3689

-0.0908+0.1781i

-0.0908-0.1781i0.0062-

-0.0905+0.0526i

-0.0905-0.0526i

כלומר הדירוג הוא:

מיקום מספר קבוצה רכיב הווקטור העצמי המנורמל

מקום ראשון 3 0.3124מקום שני 5 0.2230

מקום שלישי 1 0.2096מקום רביעי 4 0.0991מקום חמישי 6 0.0837מקום שישי 2 0.0722

מציאת ווקטור הציונים דרך שיטת החזקה אני הנחתי פעם אחת שכל הקבוצות באותו חוזק ואתחלתי את ווקטור החוזק

:6ההתחלתי כווקטור אחדים בגודל

ופעם שנייה שהחוזק של הקבוצה דומה למספרה, ואתחלתי את ווקטור החוזק הבא:6ההתחלתי לווקטור בגודל

ואחר כך התחלתי בסדרה של שיפורים בהערכה לפי הנוסחה:

ספרות אחרי הנקודה 4 עד שהווקטור נעשה קבוע ולא משתנה בדיוק של העשרונית.

14 אחרי הרצת התוכנית במטל"ב, קיבלתי שהווקטור לא משתנה החל מאיטרציה והוא שווה ל-:

ליגת העלמבנה הליגה:

קבוצות. במהלך העונה כל קבוצה 16בליגה משתתפות משחקת נגד כל אחת מהקבוצות האחרות בליגה, פעם אחת באצטדיונה הביתי ופעם אחת באצטדיון היריבה,

מחזורים. לאחר שני הסיבובים הראשונים 30ובסך הכל מתקיים פלייאוף אשר במסגרתו מחולקות הקבוצות לשני

הקבוצות אשר סיימו במקומות הראשונים ייקחו 8בתים. הקבוצות אשר סיימו במקומות 8חלק בפלייאוף העליון, ו-

האחרונים ייקחו חלק בפלייאוף התחתון. קבוצה לא יכולה לרדת או לעלות מפלייאוף אחד לשני. במסגרת כל

פלייאוף כל קבוצה משחקת מול שאר הקבוצות פעם משחקים.7אחת, סך הכל

מיקומים: נקודה 1 נקודות עבור כל ניצחון ו-3הקבוצות מקבלות

עבור תוצאת תיקו. במקרה של הפסד הקבוצה המפסידה איננה מקבלת נקודות. מיקום הקבוצות נקבע לפי מספר

הנקודות הכולל שכל קבוצה השיגה. במצב של שוויון נקודות המיקום יקבע לפי הפרש השערים, במקרה של שיוון בהפרש יקבע ע"פ מספר הניצחונות, ובמקרה של

שוויון גם כאן המיקום הסופי יקבע על פי מספר השערים אשר הובקעו לזכות כל קבוצה. בתום העונה הקבוצה

אשר ממוקמת במקום הראשון בפלייאוף העליון מוכתרת כאלופה.

היישום על ליגת העל:2011/2012אני בחרתי ליישם את השיטה על ליגת העל לכל קבוצה נתתי מספר שמסמן את הקבוצה ולא קשור לתוצאות:

מספר קבוצה הקבוצה

1 הפועל חיפה2 הפועל עכו3 מכבי נתניה4 עירוני ראשל"צ5 הפועל פ"ת6 הפועל ת"א7 הפועל ב"ש8 מ.ס אשדוד9 עירוני ק.שמונה

10 בני יהודה11 מכבי חיפה12 בני סכנין13 מכבי ת"א14 מכבי פ"ת15 בית"ר ירושלים16 עירוני רמה"ש

סיכום נתוני הליגה:o מספר המשתתפות הכוללN=16o מספר המשחקים ששיחקה כל קבוצהn=37o:מטריצת התוצאות

בליגה הקבוצות שיחקו בזוגות למשך שלוש סיבובים.

:מטריצת הסיבוב הראשון

01110010015.05.0015.01005.01000001005.05.01105.0000015.015.005.05.0101001015.05.00110115.0001110015.05.0010105.0011115.0005.0005.005.011100105.05.05.000105.011001115.015.01105.0115.05.001111001105.00111115.05.0005.0005.010000010015.0111115.0001011015.05.015.0005.005.001005.05.05.0015.05.001005.00005.00005.005.005.05.00110115.01015.05.001110105.0105.01001000101005.005.015.05.000

1b

:מטריצת הסיבוב השני

010105.05.005.05.05.05.05.00000015.00011105.01015.001001005.0000105.005.05.005.0001005.001111011111005.05.005.015.0110105.01115.005.005.01000115.05.005.015.05.0005.015.0110111015.011105.05.05.0111115.00115.05.05.05.0005.05.0105.015.01100005.0105.0010115.05.0005.015.05.05.05.00111105.001001005.01000105.05.015.000100100105.05.001011101011005.005.05.015.05.0000005.00015.05.001115.0015.0000015.015.000

2b

:מטריצת הסיבוב השלישי

005.00000005.0011005.01010000000011015.05.0000000000011011000010015.005.000100000000010000000000011001105.00000000011101005.00010000000000105.0001000005.01010000000005.011000000005.010000005.015.05.05.0100000000000000005.0001010000000000000000000001100101000001000000001001005.05.05.00000000101105.00

3b

מטריצה של שלושת הסיבובים היא סכום שלושת

המטריצות...

תוצאותאיחדתי בין התוצאות בעזרת טבלה אחת בכדי להשוות ולהבין את ההבדל בין

§התוצאות השונות: ±£̈� ¢£³ £®¦ ²£� � � � �´£̈ ³ ² �

¦³ ¢£³ £®¦ ²£� � � � �´³ ¦³ ¤̈ «¦¬²ª£±�

§£ £«� � � �

¦³ ¢£³ £®¦ ²£� � � � �£« ¤̈ «¦¬²ª£±� � � �

©³ ²� � � 1 ª¨³� � .±£ª ²£¬� )9( ª¨³� � .±£ª ²£¬�)9( ª¨³� � .±£ª ²£¬� )9( 2 � "´¦¬®� � )6( � "´¦¬®� �)6( ³ «� � � � .¨ )8( 3 £� � � � -£ª� )10( £ª́ ª£ ¥̈� � )3( � "´¦¬®� � )6( 4 £ª́ ª£ ¥̈� � )3( £� � � � -£ª� )10( £ª́ ª£ ¥̈� � )3( 5 ®£¡£ ¥̈� � )11( ®£¡£ ¥̈� � )11( ©£ª¥«-£ª� )12( 6 � "´£ ¥̈� )13( ³ «� � � � .¨ )8( ³ " ¨²£ª ²£¬� � )16( 7 ³ «� � � � .¨ )8( � "´£ ¥̈� )13( ¥¬¦¬®� � � )2( 8 ©£ª¥«-£ª� )12( ©£ª¥«-£ª� )12( ®£¡£ ¥̈� � )11( 9 §£¦³ ²£²� "´£� )15( §£¦³ ²£²� "´£� )15( � "´£ ¥̈� )13(

10 ¥¬¦¬®� � � )2( ³ " ¨²£ª ²£¬� � )16( £� � � � -£ª� )10( 11 ³ � "¨²£ª ²£¬� )16( ¥¬¦¬®� � � )2( ´"®£ ¥̈� )14( 12 ®£¡ ¦¬®� � � )1( ®£¡ ¦¬®� � � )1( ®£¡ ¦¬®� � � )1( 13 ³ " ¦¬®� � � )7( ´"®£ ¥̈� )14( (´"®¦¬®� �5( 14 ´"®£ ¥̈� )14( ³ " ¦¬®� � � )7( §£¦³ ²£²� "´£� )15( 15 (° "¦³ ²£ª ²£¬� �4( (´"®¦¬®� �5( (°"¦³ ²£ª ²£¬� �4( 16 (´ "®¦¬®� �5( (°"¦³ ²£ª ²£¬� �4( ³ " ¦¬®� � � )7(

ניתן להתרשם מהטבלה שהתוצאות קרובות יחסית, אבל אי

אפשר להחליט עד כמה הן קרובות, לכן מעניין אותנו להשוות

בעזרת מדד סטטיסטי. לפי כך בחרתי בשיטת "טאו של קנדל" על

מנת להשוות בין התוצאות.

שיטת מרחק טאו של קנדלשיטה זו סופרת את מספר ההסכמות בין שני דירוגים,

כלומר עבור כל זוג בודקת אם הדירוג ביניהן בשתי הרשימות הוא זהה, ואם כן היא מוסיפה אחד. בסוף הבדיקות התוצאה שאפשר לקבל היא בין אפס אם רשימה אחת היא דומה לרשימה השנייה אבל בסדר

הוא אורך הרשימות( אם שתי nהפוך, לבין )כאשר הרשימות זהות.

ואחרי שספרתי את n=16עבור ההשוואות שאני ביצעתי, בכדי לקבל 100מספר ההסכמות, חילקתי ב- וכפלתי ב-

את התוצאה באחוזים.

התוצאות שקיבלתי:אחוז ההתאמה בין הדירוג הרשמי לבין הדירוג על פי

95.8333%שלושת הסיבובים לפי שיטת קינר הוא: אחוז ההתאמה בין הדירוג לפי שיטת קינר על פי סיבוב

ראשון לבין הדירוג לפי שיטת קינר על פי שלושת 80.8333%הסיבובים הוא:

סיכום חקרנו את שיטת קינר לדירוג קבוצות מתחרות, בחרנו

בכדורגל ובליגת העל ספציפית ליישום השיטה. קיבלנו תוצאות מעניינות ודי קרובות למציאות, ראינו איך

אפשר וכבר אחרי סיבוב ראשון לנחש מי תנצח בעונה נוכחית, וכך אפשר להמר ולהרוויח כסף.

אם אנו מאמינים בשיטת קינר ובהיגיון שלה, והיא נותנתתוצאות כל כך קרובות לתוצאות של השיטה הרשמית

זה אומר שהשיטה הרשמית היא הוגנת וטובה. ועכשיו אתם מוזמנים ליישם את השיטה עבור כל ספורט

שבו יש קבוצות מתחרות ומעניין אתכם.

תודה רבה תודה רבה לד"ר חגי כתריאל על ההנחיה ועל

התמיכה והעידוד לאורך כל הדרך.