ĐỀ tÀi sÁng kiẾn kinh nghiỆm - wordpress.com · web viewmỤc lỤc trang các kí hiệu...

Sáng kiến kinh nghiệm “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

MỤC LỤC

TrangCác kí hiệu thường dùng ............................................................................................ 2

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ1/ Lí do chọn đề tài .................................................................................................... 32/ Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài .................................................................... 3PHẦN THỨ HAI: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI1/ Cơ sở lí luận ........................................................................................................... 42/ Cơ sở thực tiễn. ............................................................................... 43/ Nội dung của đề tài ................................................................................................ 6 3.1/ Các dạng phương trình đường thẳng ............................................................... 6 3.2/ Một số bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.... 7 3.3/ Một số bài toán thường gặp về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng..... 8 3.4/ Một số bài toán tham khảo về giải tam giác bằng PPTĐ trong mặt phẳng......19 3.5/ Bài tập tự luyện.................................................................................................20

PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ ........................................................................................................22 PHẦN THỨ TƯ: KẾT LUẬN........................................................................................................23 PHẦN THỨ NĂM: ĐỀ XUẤT ...........................................................................24PHẦN THỨ SÁU:TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................24

Giaùo vieân: Buøi Quang Boán -Tröôøng THPT Ñoàng Xoaøi - Naêm hoïc: 2010-2011 -Trang 1 -


CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNGĐể tiện cho quá trình đặt và giải quyết các bài toán về tam giác trong mặt phẳng

(xác định các yếu tố chưa biết thông qua các yếu tố đã biết của tam giác), ta sẽ gọi đó là quá trình giải một bài toán tam giác (hay là giải tam giác) trong mặt phẳng và ta coi như bài toán được giải quyết xong nếu như xác định được tọa độ 3 đỉnh hoặc phương trình ba cạnh của tam giác đó, các bài tập áp dụng phương pháp giải của các bài toán được đưa ra trong phần bài tập tự luyện.

Trong tài liệu này ta cũng sử dụng một số kí hiệu sau:

A, B, C: các đỉnh của tam giác ABC. AB, BC, CA: cạnh và phương trình các cạnh của tam giác ABC. hA, hB, hC: phương trình các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C. mA, mB, mC: phương trình các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C. lA, lB, lC: phương trình các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C. tAB, tAC, tBC: phương trình các đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. S, p: lần lượt là diện tích, nửa chu vi của tam giác ABC. R, r: lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC. M = d1 ∩ d2: Tọa độ M là giao điểm của d1 và d2. Vtcp: vectơ chỉ phương. Vtpt: vectơ pháp tuyến.



Phần thứ nhất : ĐẶT VẤN ĐỀ

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 10, các em

học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài toán cơ bản về lập phương trình một đường thẳng như: Lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài toán đã có đầy đủ giả thiết của các bài toán cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng công thức là có ngay kết quả, song trong thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải các bài toán về giải tam giác trong mặt phẳng (tức là phải xác định các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, lập phương trình các cạnh, các đường cao, các đường trung tuyến, trung trực và phân giác,…của tam giác khi đã biết một số các yếu tố tương ứng) và thực tế là khi gặp các bài toán dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cách trình bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa. Tại sao lại như vậy?

Lý do chính ở đây có thể là: trong chương trình SGK Hình Học 10 hiện hành, kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày ở học kì II và lượng các bài tập dạng này chưa được đề cập thường xuyên trong sách giáo khoa hoặc có thể chưa đề cập đến. Mặt khác nếu như trong các giờ dạy của mình, các thầy cô giáo không đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì các em học sinh không thể giải được các bài toán nói trên.

Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức cho học sinh tôi đã khai thác, tổng kết, hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản, đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” cũng ra đời từ đó để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh.

Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải các bài toán về giải tam giác trong mặt phẳng.2. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể.



Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một khối lượng lớn các bài toán với tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp thầy cô và các học sinh có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng nhất./.



Phần thứ haiQUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN

Những bài toán hình học cùng với sự phát triển của nó đã và sẽ không ngừng dẫn đến sự chuyển hóa một số hướng nào đó thành những lĩnh vực mới về tính chất của hình học.

Cùng một vấn đề của bài toán ta có thể sử dụng phương pháp hình học hoặc phương pháp giải tích hoặc bằng sự kết hợp của cả hai để giải quyết.

Với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta có thể làm cho hình học thoát ra khỏi lối tư duy trực quan nhằm hướng tới sự khái quát hóa của toán học trong các lĩnh vực khác.

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng với kiến thức gọn nhẹ, đơn giản giúp học sinh có thể giải bài toán giải tam giác một cách nhẹ nhàng. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng không những cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải quyết bài toán mà còn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy nâng cao khả năng suy luận, luôn biết nhìn nhận sự việc và hiện tượng xung quanh với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu tìm tòi khám phá tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh trong tương lai.

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN :Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế của học

sinh trước khi thực hiện đề tài. Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh, tôi đã đưa vào một số bài toán sau ( các câu hỏi trong mỗi bài toán được đưa ra theo trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm tra kiến thức của các em học sinh.

Bài toán 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5) a). Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA của tam giác?b). Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác?c). Lập phương trình các đường trung bình của tam giác?d). Lập phương trình các đường cao của tam giác?e). Lập phương trình các đường trung trực của tam giác?f). Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC?g). Lập phương trình đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC?h). Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC?i). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC?

Bài toán 2:



Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh B(-4,-5) và 2 đường cao có phương trình lần lượt là: 5x+3y-4 = 0, 3x+8y+13 = 0.a). Lập phương trình đường cao còn lại của tam giác?b). Tìm tọa độ 2 đỉnh A và C của tam giác?c). Lập phương trình 3 cạnh của tam giác?

Bài toán 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC, lập phương trình các đường phân giác trong còn lại của tam giác ABC, biết đỉnh A(1, 2), phân giác trong của góc B và trung tuyến từ đỉnh C có phương trình lần lượt là: x – y - 3 = 0, x + 4y + 9 = 0.

*Với bài toán 1: thì các câu hỏi a), b), c), d), e), h) là tương đối cơ bản bởi đây chính là các bài toán đã có phương pháp giải tổng quát:- câu a, b, c): sử dụng phương trình đường thẳng qua 2 điểm.- câu d, e): sử dụng phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến.- câu h): tọa độ trọng tâm G có thể tính được theo tọa độ 3 đỉnh A, B, C hoặc giải hệ phương trình tạo bởi các đường trung tuyến đã lập được trong câu b). Còn tọa độ trực tâm H tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường cao.- câu f), g): là tương đối khó với các em học sinh, không phải đơn giản để học sinh nào cũng có thể giải được kể cả các em có lực học khá.- câu i): Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các trung trực của tam giác, còn tâm J của đường tròn nội tiếp có thể tìm được bằng cách giải HPT tạo bởi các đường phân giác trong của các góc trong tam giác ( ngoài phương pháp này còn có các cách giải khác nữa).*Với bài toán 2: rõ ràng bài toán này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác định được 2 đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác( ở đây có thể thấy rằng tọa độ đỉnh B không thỏa mãn 2 PT đường cao đã cho nên ta có thể đặt: hA: 5x + 3y - 4 = 0, và hC: 3x + 8y + 13 = 0), sau khi đã xác định rõ ràng được giả thiết của bài toán thì nói chung yêu cầu của bài toán 2 không khó khăn gì nữa(bởi đây cũng là các bài toán cơ bản).

*Với bài toán 3: đây là bài toán có lẽ là khó nhất trong 3 bài toán bởi để giải quyết được bài toán này phải sử dụng đến việc xác định điểm đối xứng của điểm qua đường( phải giải quyết 2 bài toán trung gian để có kết quả).

Đến đây hẳn quý thầy cô và các em học sinh cũng đã nhận thấy rằng việc hệ thống kiến thức cùng với việc đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là thật cần thiết phải không?.



III. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI. 1. Các dạng phương trình đường thẳng: 1.1. Phương trình tổng quát:a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A2 + B2 0).b). Nhận xét:

- Đường thẳng d có Vtpt =(A; B).- Nếu d có Vtpt =(A; B) thì d có phương trình dạng: Ax + By + m = 0- Điểm M(x0; y0) d Ax0 + By0 + C = 0.- Nếu A = 0, B 0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox).- Nếu A 0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy).- Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)).

- Nếu B 0 thì d có PT dạng: y = - x - ; khi đó giá trị k = - được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. 1.2. Phương trình tham số:

a). Dạng: , (d) (điều kiện: a2 + b2 0)b). Nhận xét:

- Đường thẳng d có Vtcp =(a; b) và đi qua điểm M(x0; y0).- Với mỗi giá trị t = t0 tùy ý, ta có M(x0 + at0; y0 + bt0) d.- Nếu d có Vtcp =(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.

- Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t) ( hoặc y = f(t)) trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d.1.3. Phương trình chính tắc:

a). Dạng: (d), (điều kiện a.b 0).b). Nhận xét:- Đường thẳng d có Vtcp =(a; b) và đi qua điểm M(x0; y0).- Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ.- Nếu d có Vtcp =(a; b) mà a.b = 0 thì d không có phương trình chính tắc.- Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x0 = 0, nếu b = 0 thì d có PT: y – y0 = 0.1.4. Phương trình đoạn chắn:

a). Dạng: (d), (điều kiện a.b 0).b). Nhận xét:- PTĐC là dạng đặc biệt của PTTQ của d.

- Đường thẳng d có Vtpt và cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0; b).



1.5. Phương trình pháp dạng:a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A2 + B2 = 1).b). Nhận xét:

- PTPD là dạng đặc biệt của PTTQ của d.

2. Một số bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng:

2.1. Bài toán 1: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương. Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có véc tơ chỉ phương =(a; b) sẽ có phương trình dạng:

- Chính tắc: (nếu a.b 0)

- Tham số: - Tổng quát: b(x – x0) – a(y – y0) = 0, hoặc: – b(x – x0) + a(y – y0) = 0.

Chú ý: - Nếu d có Vtcp =(a; b) thì d có Vtpt =(b; - a) hoặc =(- b; a).- Nếu d có Vtcp =(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.

2.2. Bài toán 2: Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ pháp tuyến. Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có véc tơ pháp tuyến =(A; B) sẽ có phương trình dạng:

- Tổng quát: A(x – x0) + B( y – y0) = 0.

- Tham số: hoặc:

- Chính tắc: hoặc: (nếu A.B 0)Chú ý:

- Nếu d có Vtpt =(A; B) thì d có Vtcp =(B; - A) hoặc =(- B; A).- Nếu d có Vtpt =(A; B) thì d có PTTQ dạng: Ax + By + m = 0

2.3. Bài toán 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc. Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k sẽ có phương trình dạng: y = k(x – x0) + y0

Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m.2.4. Bài toán 4: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sẽ có phương trình:

Chú ý: - Đường thẳng d qua A, B sẽ có véc tơ chỉ phương = (x2 – x1; y2 – y1). - Đường thẳng d qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sẽ có phương trình dạng:



2.5. Bài toán 5: Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng. Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau d1:A1x + B1y + C1 = 0 và d2: A2x + B2y + C2 = 0 sẽ có phương trình dạng:

m(A1x + B1y + C1) + n(A2x + B2y + C2) = 0. (điều kiện: m2 + n2 0)Chú ý: Sử dụng phương pháp này ta không phải tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

2.6. Bài toán 6: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Đường thẳng d song song với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình dạng: Ax + By + m = 0.Chú ý: Nếu d song song với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có phương trình dạng: y = kx + n. (Do hai đường thẳng song song có hệ số góc k bằng nhau).

2.7. Bài toán 7: Đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình dạng: Bx – Ay + m = 0 ( hoặc: – Bx + Ay + m = 0 )Chú ý: Nếu d vuông góc với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có

phương trình dạng: y = x + n.(Do hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc k bằng -1).

2.8. Bài toán 8: Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc .Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k1x + m1 một góc , sẽ có hệ số góc k

được xác định bởi công thức: .Chú ý: Giải phương trình trên ta tìm được hệ số góc k và quay về bài toán 3.

2.9. Hệ quả của bài toán 7: a). Hệ quả 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d.Cách giải: - Lập PT đường thẳng qua điểm A và vuông góc với d. - Điểm H cần tìm chính là giao điểm của d và .b). Hệ quả 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đường thẳng d. Cách giải: - Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên d (hệ quả 1).

- Điểm A’ cần tìm được xác định bởi: H là trung điểm của AA’.

3. Một số bài toán thường gặp về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng :

III.1 Bài toán 1: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C? Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản nhất về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải quyết được một số yêu cầu của giả thiết như:

- Lập phương trình cạnh AB: qua 2 điểm A và B.



- Lập phương trình đường cao hA: qua A và có vectơ pháp tuyến .- Lập phương trình đường trung tuyến mB: qua B và trung điểm của AC.- Lập phương trình trung trực của cạnh AB: qua trung điểm AB và AB.- Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh A, B, C.

III.2 Bài toán 2: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 trung điểm M, N, P của 3 cạnh AB, BC, CA?

Phương pháp: - Cạnh AB qua M và có vectơ chỉ phương là .

- Cạnh CB qua N và có vectơ chỉ phương là .- Cạnh AC qua P và có vectơ chỉ phương là .

Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tọa độ trung điểm để lập hệ PT có ẩn là tọa độ của 3 đỉnh để có kết quả.

Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh

có tọa độ Hướng dẫn giải:Theo giả thiết của bài toán ta giả sử M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC, P là trung điểm CA.

Khi đó cạnh AB qua M và nhận làm vtcp. Hay pt của AB:

Khi đó cạnh BC qua N và nhận làm vtcp. Hay pt của BC:

Khi đó cạnh AC qua P và nhận làm vtcp. Hay pt của AC:

III.3 Bài toán 3: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác?

Nhận xét: đây cũng là bài toán cơ bản về giải tam giác, do đó ta có thể dễ dàng giải quyết được một số yêu cầu của giả thiết như:

- Đỉnh A, B, C lần lượt là giao điểm của AB và AC; của AB và BC; của AC và BC.

- Đường cao hA qua giao điểm của AB, AC đồng thời vuông góc với BC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh lần lượt là: , . Viết phương trình các đường cao của tam giác.

Hướng dẫn giải:Giaùo vieân: Buøi Quang Boán -Tröôøng THPT Ñoàng Xoaøi - Naêm

hoïc: 2010-2011 -Trang 10 -


Theo giả thiết của bài toán giả sử phương trình các cạnh của tam giác ABC là: khi đó nên tọa

độ của A thỏa mãn hệ phương trình hay

Tương tự ta có , Đường cao của hạ từ đỉnh A sẽ qua A và vuông góc với BC nên nó nhận

làm vectơ pháp tuyến hay pt . Đường cao của hạ từ đỉnh B sẽ qua B và vuông góc với AC nên nó nhận

làm vectơ pháp tuyến hay pt Đường cao của hạ từ đỉnh C sẽ qua C và vuông góc với AB nên nó nhận

làm vectơ pháp tuyến hay pt

III.4 Bài toán 4: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại?

Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + mC + mB

- Ta có tọa độ trọng tâm G = mC ∩ mB.- Tọa độ trung điểm M của BC xác định từ hệ thức:

.- Biểu diễn tọa độ B, C theo tham số( vì B mB, C mC).- Do M là trung điểm BC tham số

tọa độ B, C.Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2 trung tuyến trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ đỉnh đã cho.

Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh và hai trung tuyến có phương trình lần lượt là: .Hướng dẫn giải:Nhận xét thấy nên A không thuộc 2 đường trung tuyến hay 2 đường trung tuyến trên xuất phát từ B và từ C, không làm mất tính tổng quát giả sử . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó

.


mB

M

mC

CB

A

G


Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có hay M(1;0).

Mặt khác nên mà M là trung điểm của BC

hay suy ra

Cạnh AB của tam giác qua A và nhận làm vtcp hay phương trình cần tìm

là

Cạnh BC của tam giác qua B và nhận làm vtcp hay phương trình cần tìm là

Cạnh AC của tam giác qua A và nhận làm vtcp hay phương trình cần tìm

là

III.5 Bài toán 5: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh còn lại?

Phương pháp: Ta giả sử giả thiết cho A + hC + hB

- Cạnh AB qua đỉnh A và vuông góc với hC.- Cạnh AC qua đỉnh A và vuông góc với hB.- Đỉnh B = AB∩ hB; Đỉnh C = AC ∩ hC.

Chú ý: Bài toán sẽ có vô số nghiệm nếu như giả thiết của bài toán cho 1 đỉnh và 2 đường cao trong đó có 1 đường cao xuất phát từ đỉnh đã cho.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có đỉnh C(1;1) và phương trình hai đường cao lần lượt là . Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình đường cao còn lại của tam giác ABC.Hướng dẫn giải:Theo giả thiết của bài toán ta có C không thuộc vào 2 đường cao do

và nên 2 đường cao trên phải xuất phát từ các đỉnh A, B của tam giác. Không làm mất tính tổng quát gọi ,

.Khi đó cạnh BC của tam giác qua C và vuông góc với nên BC có phương trình.


hC hB

CB

A


Cạnh AC của tam giác qua C và vuông góc với nên AC có phương trình.

Suy ra hay , hay Phương trình đường cao còn lại là . qua C và vuông góc với AB nên nhận

làm vtpt, hay

III.6 Bài toán 6: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và phương trình 2 đường cao hạ từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua?

Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho AB + hA + hB.

- Đỉnh A = AB ∩ hA, đỉnh B = AB ∩ hB.- Cạnh AC qua A và vuông góc với hB.- Cạnh BC qua B và vuông góc với hA.

Ví dụ: Lập phương trình 2 cạnh còn lại của tam giác ABC biết , 2 đường cao hạ từ A và từ B là .Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết của bài toán ta có: hay , hay

.Khi đó cạnh AC của tam giác qua A và vuông góc với nên cạnh AC có phương trình Cạnh BC của tam giác qua B và vuông góc với nên cạnh BC có phương trình

.

III.7 Bài toán 7: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh và 2 đường trung tuyến?


hA

hB

CB

A


Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:- Dạng 1: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung tuyến

xuất phát từ 2 đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: BC + mB + mC).

- Dạng 2: Phương trình 1 cạnh và 2 đường trung tuyến, trong đó có 1 trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh mà cạnh đó không đi qua (ví dụ: BC + mB + mA).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.- Ta có tọa độ trọng tâm G = mC ∩ mB.- Đỉnh B = mB ∩ BC, đỉnh C = mC ∩ BC.- Tọa độ A suy từ:

Ví dụ: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC: , phương trình 2 đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là:

. Xác định tọa độ đỉnh B và phương trình đường cao hạ từ B.Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết của bài toán ta có hay , hay

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó hay gọi A(x;y)

khi đó hay Đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC qua B và vuông góc với AC nên nhận

làm vtpt hay phương trình

III.8 Bài toán 8: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, phương trình 1 đường trung tuyến và 1 đường phân giác trong?

Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:- Dạng 1: đường phân giác trong và trung tuyến

xuất phát từ cùng 1 đỉnh và không trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + lB + mB).

- Dạng 2: đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh phân biệt không trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + lB + mC).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 2, dạng 1 được xét tương tự.- Do M mC, B lB biểu diễn tọa độ M, B theo tham số.- Giải hệ PT: tham số tọa độ B.- Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua lB A1 BC- Cạnh BC qua 2 điểm B, A1 đỉnh C = mC ∩ BC


mBmC

CB

A

G

M

A1

mC lB

CB

A


Ví dụ: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết đỉnh B(-5;3), phương trình đường phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là:

, .Hướng dẫn giải:Theo giả thiết của bài toán gọi phương trình đường phân giác trong hạ từ C:

, phương trình đường trung tuyến hạ từ C: .

Khi đó ta có hay .

Gọi qua B và hay , gọi hay

Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua thì H là trung điểm của BA’ hay Cạnh AC của tam giác ABC qua 2 điểm A’ và C nên AC qua C và nhận

làm vtcp. Hay AC có phương trình:

III.9 Bài toán 9: Giải tam giác ABC khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và 1 đường phân giác?

Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:- Dạng 1: đường cao và phân giác xuất phát từ 2 đỉnh phân

biệt không trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + hB + lC).- Dạng 2: đường cao và phân giác xuất phát từ cùng 1 đỉnh không trùng với đỉnh đã cho (ví dụ: A + hB + lB).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.- Cạnh AC qua A và hB. Đỉnh C = AC ∩ lC.- Gọi A1 là điểm đốixứng của A qua lC A1 BC- Cạnh BC qua C và A1 đỉnh B = BC ∩ hB.

Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(4;5) và phương trình đường cao và phân giác kẻ từ 1 đỉnh lần lượt là Hướng dẫn giải:Theo giả thiết của bài toán giả sử phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh B là , phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B là .


A1

lC hB

CB

A


Gọi hay . Mặt khác cạnh AC của tam giác ABC qua A và vuông góc với nên AC có phương trình y-5 = 0.

Gọi qua A và khi đó . Gọi

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua thì H là trung điểm của AA’ hay .

Cạnh BC của tam giác ABC qua 2 điểm B và A’ nên BC qua B và có vtcp

hay cạnh BC:

III.10 Bài toán 10: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 1 cạnh, 1 trung tuyến và đường cao?

Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:- Dạng 1: Đường cao và trung tuyến xuất phát từ 2

đỉnh mà cạnh đi qua(ví dụ: AB + hA + mB).Dạng 2: Đường cao và trung tuyến không cùng xuất phát từ 1 đỉnh và trung tuyến xuất phát từ đỉnh mà cạnh đó không đi qua (ví dụ: AB + hA + mC)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.- Đỉnh A = AB ∩ hA; Đỉnh B =AB ∩ mB.- Cạnh BC qua B và hA.- Do M mB , C BC biểu diễn tọa độ M, C theo tham số.- Giải hệ PT: tham số tọa độ C.

Ví dụ : Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết cạnh , đường cao hạ từ A có phương trình , trung tuyến hạ từ B có phương trình .Hướng dẫn giải :

Theo giả thiết của bài toán ta có hay , hay .Khi đó cạnh BC qua B và vuông góc với hay BC có phương trìnhMặt khác gọi M là trung điểm của AC khi đó ta có nên M và C có

tọa độ lần lượt là với .

Do M là trung điểm của AC nên hay


mBM

hA

A

CB


Vậy cạnh AC của tam giác qua C và nhận làm vtcp nên AC có phương

trình .

III.11 Bài toán 11: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 2 đỉnh và tọa độ trực tâm?

Phương pháp: giả sử giả thiết của bài toán cho A + B + H(trực tâm).- Cạnh AB qua 2 điểm A và B.- Cạnh AC qua điểm A và vuông góc với BH.- Cạnh BC qua điểm B và vuông góc với AH.

Ví dụ : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh

trực tâm .Hướng dẫn giải :

Theo giả thiết của bài toán ta có cạnh AC qua A và nhận làm vtcp hay

nhận làm vtpt nên AC có phương trình .

Cạnh AB qua A và nhận làm vtpt hay AB có phương trình .

Cạnh BC qua C và nhận làm vtpt hay BC có phương trình

III.12 Bài toán 12: Giải tam giác ABC khi biết phương trình cạnh, trung tuyến và phân giác trong?

Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:- Dạng 1: Trung tuyến và phân giác trong xuất phát từ 2

đỉnh mà cạnh đó đi qua(ví dụ: AB + lB + mA).- Dạng 2: Trung tuyến và phân giác trong xuất phát từ 2

đỉnh, với cạnh và trung tuyến không chung đỉnh(ví dụ: AB + lA + mC)

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.- Đỉnh A = AB ∩ mA; Đỉnh B = AB ∩ lB.- Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua lB. A1 BC cạnh BC qua B và A1

- Trung điểm N = BC ∩ mA.Giaùo vieân: Buøi Quang Boán -Tröôøng THPT Ñoàng Xoaøi - Naêm

hoïc: 2010-2011 -Trang 17 -

A

CCH

lB

mACB N A1

B

A


- Đỉnh C xác định từ hệ thức:

Ví dụ : Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh , phân giác trong trung tuyến . Viết phương trình hai cạnh còn lại của tam giác.Hướng dẫn giải :

Theo giả thiết của bài toán ta có hay ,

hay .Gọi là đường thẳng qua B và vuông góc với nên có phương trình

, gọi hay .

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua hay

Khi đó AC qua A và B’ hay AC qua A và nhận làm vtpt. Cạnh AC có phương trình là.

Gọi N là trung điểm của AC khi đó

.

Cạnh BC có phương trình .

III.13 Bài toán 13: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và tọa độ trực tâm?

PP: giả sử giả thiết của bài toán cho AB+AC+H (trực tâm).- Đỉnh A = AB ∩ AC.- Đường cao hB qua H và AC.- Đỉnh B = AB ∩ hB. - Cạnh BC qua B và AH.


A

CC

BH


Ví dụ : Cho tam giác ABC có phương trình 2 cạnh là

và trực tâm . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.Hướng dẫn giải : Theo giả thiết của bài toán giả sử phương trình 2 cạnh của là

, khi đó đỉnh hay tọa độ của

.Gọi là đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác qua H và vuông góc với AC nên có phương trình .

Đỉnh B của tam giác : hay .Cạnh BC qua B và vuông góc với AH nên BC có phương trình

Tọa độ đỉnh C của tam giác ABC. .

III.14 Bài toán 14: Giải tam giác ABC khi biết phương trình 2 cạnh và tọa độ trọng tâm?

PP: giả sử giả thiết của bài toán cho AB + AC + G(trọng tâm).

- Đỉnh A = AB ∩ AC.- Gọi M là trung điểm BC tọa độ M xác định bởi hệ

thức: .

- Do B AB, C AC biểu diễn tọa độ B, C theo tham số.- Giải HPT: tham số tọa độ B, C

Ví dụ: Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC biết phương trình 2

cạnh lần lượt là và tọa độ trọng tâm Hướng dẫn giải : Theo giả thiết của bài toán giả sử phương trình 2 cạnh của tam giác ABC là :

khi đó đỉnh .Gọi M là trung điểm của BC khi đó điểm M được xác định bởi hệ thức

, mặt khác do.

khi đó

. Đường cao hạ từ A đến BC sẽ qua A và vuông góc với BC nên ,

Đường cao hạ từ B đến AC sẽ qua B và vuông góc AC nên .


CB MCG

A


Đường cao hạ từ C đến AB sẽ qua C và vuông góc AB nên .

4. Một số bài toán tham khảo về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng :

4.1 Bài toán a: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 3 chân đường phân giác trong M, N, P của các góc A, B, C?



Phương pháp:- Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp MNP.- Lập phân giác trong lA qua M, I và phân

giác lB qua N, I.- Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua lA.- Cạnh AB qua 2 điểm P, N’

B = lB ∩ AB và A = lA ∩ AB.- Cạnh AC qua A, N và cạnh BC qua B, M.

Chú ý: Ta có thể lập hai cặp phân giác khác và làm tương tự như trên.4.2 Bài toán b: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và phương trình

2 đường trung trực?Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:

- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 đường trung trực của 2 cạnh kề với đỉnh đó(ví dụ: A + tAC + tAB).

- Dạng 2: 1 đỉnh và trung trực của 1 cạnh kề và trung trực của 1 cạnh đối với đỉnh đó(ví dụ: A + tAB + tBC).

Phương pháp: Ta xét dạng 1, với dạng 2 được xét tương tự:- Cạnh AB qua đỉnh A và tAB M = AB ∩ tAB

- Cạnh AC qua đỉnh A và tAC P = AC ∩ tAC

- Đỉnh B và C được xác định từ kết quả M là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.4.3 Bài toán c: Giải tam giác ABC khi biết tọa độ 1 đỉnh và tọa độ 2

chân đường cao?Với bài toán này, giả thiết có thể cho ở 2 dạng sau:

- Dạng 1: 1 đỉnh và 2 chân đường cao thuộc 2 cạnh kề với đỉnh đó (ví dụ: A + N + P).

- Dạng 2: 1 đỉnh và 2 chân đường cao, trong đó có 1 chân đường cao hạ từ đỉnh đã cho (ví dụ: A + M + P).

Phương pháp: ta xét cách giải của dạng 1, dạng 2 được xét tương tự.- Cạnh AB qua 2 điểm A, P.- Cạnh AC qua 2 điểm A, N.- hB qua N và AC B = hB ∩ AB.- hC qua P và AB C = hC ∩ AC.

5. Bài tập tự luyện:Do khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm và thời gian có hạn nên việc có lời

giải chi tiết mỗi bài tập thuộc từng loại là không thể. Sau đây là một số bài tập mà ta có thể sử dụng các bài toán cơ bản ở trên để giải quyết, song vì trên đây là lời giải


N

N’ M’P

MC

AB

I

P

N

M

C

A

B

PN

MC B

A


của các bài toán tổng quát nên khi áp dụng để làm các bài tập cụ thể chúng ta nên nghiên cứu kỹ giả thiết và yêu cầu của bài toán để có được lời giải ngắn gọn nhất.

Một điều nữa là các bài tập sau đây đều được xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, nên để đề bài được ngắn gọn và cô đọng, ta sẽ không nói đến “cụm từ này” trong các bài tập nữa, song các bạn vẫn phải hiểu rằng ta đang xét trong hệ tọa độ Oxy.

Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(- 2; 1), B(2; 5), C(4; 1). Hãy viết phương trình các đường trung trực của các cạnh AB và AC, đồng thời xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Bài 2: Cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh lần lượt là: x – y – 2 = 0,

3x – y + 5 = 0, x – 4y – 1 = 0. Viết phương trình các đường cao của tam giác?

Bài 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của 3 cạnh có tọa độ là: M(4; 1), N(5; -3), P(-3; 4)?

Bài 4: Cho tam giác ABC có M(- 2; 2) là trung điểm của một cạnh, còn hai cạnh kia có phương trình lần lượt là: x – 2y – 2 = 0, 2x + 5y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác?

Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-1; -3) và hai đường trung tuyến có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, y – 2 = 0.?

Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh B(2; -1) và phương trình 2 đường phân giác trong có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. Lập phương trình các cạnh và phân giác còn lại?

Bài 7: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-1; -1) và phương trình 2 đường cao lần lượt là:

2x - 4y – 5 = 0, - 2x + y – 8 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình đường cao còn lại?

Bài 8: Viết phương trình cạnh BA của ABC, biết đỉnh C(4; 1), đường cao và phân giác qua hai đỉnh A, B lần lượt là: 2x – 3y + 12 = 0, 2x + 3y = 0.?

Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A(6; 5) và phương trình đường cao và phân giác kẻ từ một đỉnh lần lượt là:3 x – 9 = 0 , y – 5 = 0.?

Bài 10: Lập phương trình các đường cao còn lại của tam giác ABC biết đỉnh B(2; 1), đường cao và trung tuyến xuất phát từ C và A có phương trình lần lượt là:

3x + 5y – 23 = 0, 7x – 6y + 1 = 0.?

Bài 11: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3; 5), đường cao và trung tuyến kẻ từ 1 đỉnh có phương trình lần lượt là: 5x + 4y – 1= 0, 8x + y – 7 = 0. Tính độ dài cạnh AB?

Bài 12: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 1/4), phân giác và trung tuyến xuất phát từ B, C có phương trình lần lượt là: x + y – 1 = 0, 29x + 20y - 27 = 0.?

Bài 13: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết đỉnh B( 5; 3), phương trình phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là: x - 2y – 5 = 0,



4x – y + 7 = 0.?

Bài 14: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB, đường cao qua đỉnh A, B có phương trình lần lượt là: 5x – 3y + 2 = 0, 4x – 3y + 1= 0, 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.?

Bài 15: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC: -5x + y – 28 = 0, phương trình hai đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là: 12x – y – 40 = 0, 3x - 4y – 10 = 0. Xác định tọa độ đỉnh B và đường cao hạ từ B.?

Bài 16: Cho tam giác ABC, có phương trình cạnh AB, hai trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, C có phương trình lần lượt là: 4x – 7y – 21 = 0, 10x + 39y + 98 = 0, 20x – 51y – 277 = 0. Xác định tọa độ 3 đỉnh A, B, C.?

Bài 17: Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết phương trình cạnh BC, hai phân giác xuất phát từ đỉnh B, C có phương trình lần lượt là: 3x – y + 3 = 0, x – 2y + 1 = 0,

-x + y + 3 = 0.?

Bài 18: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB, đường cao hạ từ B, phân giác hạ từ C có phương trình lần lượt là:9x +11y + 5 = 0, 2x+ 3y = 0, 7x – 3y -77 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.?

Bài 19: Lập phương trình cạnh AC của tam giác ABC, biết cạnh AB có phương trình

x + 2y +9 = 0, đường cao hA: 4x + y – 7 = 0, trung tuyến mC: x – 2y + 1 = 0.?

Bài 20: Lập phương trình các cạnh và trung trực của tam giác ABC, biết phương trình cạnh BC: x- 4 = 0, đường cao hB: x + y – 3 = 0, phân giác trong lA: x – 2 = 0.?

Bài 21: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: x – 4y - 3 = 0, phân giác trong lA: x – 2y + 1 = 0, trung tuyến mB: 6x - 9y + 133 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại.?

Bài 22: Viết phương trình các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC, biết cạnh BC: 4x +3y – 5 =0, phân giác trong lB: x + 2y –5 =0, trung tuyến mA: 4x +11y –13 = 0?

Bài 23: Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là: x - y – 9 = 0, 5x – 7y + 3 =

0 và trực tâm . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.?

Bài 24: Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC biết phương trình hai cạnh lần lượt là: -x + 2y – 7 = 0, x – 4y –3 = 0, và tọa độ trọng tâm G(-1; -1).?



Phần thứ baKẾT QUẢ

Qua một thời gian tìm tòi và thực nghiệm đề tài “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” phần nào đã có kết quả khả quan, kết quả học tập môn Toán của học sinh trường THPT Đồng Xoài được nâng lên rõ rệt, số học sinh trong lớp tôi giảng dạy (có 49/58 chiếm tỉ lệ 84,5% học sinh có điểm 5,0 trở lên ), số học sinh thi đậu vào Đại học, Cao đẳng ngày một nhiều gần 70%. Nhiều em đạt được điểm giỏi môn Toán khi thi hết kì, thi HSG và thi Đại học. Một số học sinh giỏi của trường thi môn Toán, giải Toán trên máy tính casio cũng đã được xếp hạng cao của tỉnh, xin được nêu ra một số điển hình như sau.

Naêm Moân toaùn khoái 10

Ñieåm töø 5 trôû leân HSG Tænh Moân

Toaùn - Casio

SL %

2008-2009

584/832 (70,19%)

63/78 80,77% 0-1

2009-2010

366/525 (69,71%)

60/70 85,71% 4-2

2010-2011

419 9-1



Phần thứ tưKẾT LUẬN

Đứng trước yêu cầu của các em học sinh cần có những phương pháp cho một số bài toán tổng quát về giải tam giác trong mặt phẳng và yêu cầu cao hơn là có những phương pháp giải tối ưu để có được những lời giải gọn gàng và tường minh nhất, đề tài “Đề xuất và giải quyết các bài toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” đã ra đời và đã đáp ứng được yêu cầu trên.

Đề tài này ra đời là kết quả của quá trình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó còn là sự động viên, góp ý của các bạn đồng nghiệp trong tổ Toán- Trường THPT Đồng Xoài.

Hy vọng rằng đề tài này ra đời sẽ giúp các em học sinh cùng các bạn đồng nghiệp có được một cái nhìn toàn diện về các bài toán liên quan đến tam giác trong mặt phẳng, đó là: xác định tọa độ các đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, chân đường cao, chân đường phân giác,.. xác định phương trình các cạnh, các đường cao, các đường trung tuyến, trung trực, phân giác,...Trong đề tài đã trình bày một số các bài toán tổng quát, trong đó đã có một số bài toán đã xuất hiện trong các kỳ thi hết cấp và tuyển sinh vào Đại Học, Cao Đẳng. Mặc dù đã có sự đầu tư cả về thời gian và công sức của bản thân trong đề tài, song phần trình bày một lượng không nhỏ kiến thức liên quan, một lượng tương đối lớn các dạng bài tập khác nhau ở dạng tổng quát nên phần thiếu sót vẫn có thể xẩy ra. Tôi rất mong nhận được sự góp ý và sự chỉ bảo chân thành từ quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp./.

Đồng Xoài, ngày 22 tháng 02 năm 2011Người viết

Bùi Quang Bốn



Phần thứ nămĐỀ XUẤT

Để giúp các em học sinh có được những phương pháp cho một số dạng toán về giải tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và yêu cầu cao hơn là có những phương pháp tối ưu để học sinh có được lời giải gọn gàng, tôi thiết nghĩ chúng ta nên có những chuyên đề ngoại khóa nói về đề tài này.

Phần thứ sáuTÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Sách giáo khoa Hình học 10 NC – NXB Giáo Dục

2/ Sách giáo khoa Hình học 10 - NXB Giáo Dục

3/ Báo toán học và tuổi trẻ.

4/ Phân dạng và phương pháp giải Hình Học 10 – Trần Đình Thì

5/ Bồi Dưỡng Toán Hình Học 10 – Trần Bá Hà, Nguyễn Sinh Nguyên.



Ý KIẾN, NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

Ngày……tháng……năm 2011Tổ trưởng

Ý KIẾN, NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT ĐỒNG XOÀI

Ngày……tháng……năm 2011Chủ tịch hội đồng(Ký tên, đóng dấu)

Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI Giaùo vieân: Buøi Quang Boán -Tröôøng THPT Ñoàng Xoaøi - Naêm

hoïc: 2010-2011 -Trang 27 -


CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC

Ngày……tháng……năm 2011Chủ tịch hội đồng(Ký tên, đóng dấu)


ĐỀ tÀi sÁng kiẾn kinh nghiỆm - wordpress.com · web viewmỤc lỤc trang các kí hiệu...

Documents