: trong - dehoctot.com.vn · ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số...
TRANSCRIPT
-1-
Chƣơng 1: Mệnh đề-Tập hợp
§1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
1. Mệnh đề mệnh đề chứa biến
a) Mệnh đề
Mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề
sai.
Ví dụ 1:
a) Góc vuông có số đo 800
(là mệnh đề sai)
b) Số 7 là một số nguyên tố (là mệnh đúng)
c) Hôm nay trời đẹp quá ! (không là mệnh đề)
d) Bạn có khỏe không ? (không là mệnh đề)
Ví dụ 2: Trong các câu sau đậy câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định xem
mệnh đề đó đúng hay sai.
a) Không được đi lối này!
b) Bây giờ là mấy giờ?
c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
d) 16 chia 3 dư 1.
f) 2003 không là số nguyên tố.
e) 5 là số vô tỉ.
Chú ý:
+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
+ Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.
Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12”
+ Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không
thể vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.
Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.
b) Mệnh đề chứa biến
Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được
gọi là những mệnh đề chứa biến.
Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x là số thực. Khi đó:
P(2) là mệnh đề sai, P(1/2) là mệnh đề đúng.
2. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí
hiệu là P . Mệnh đề P đúng nếu P sai và P sai nếu P đúng.
Chú ý: Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau
Ví dụ: P: “ 5 là số vô tỉ”. Khi đó mệnh đề
P có thể phát biểu : “ 5 không phải là số vô tỉ” hoặc “ 5 là số hữu tỉ”.
3. Mệnh đề kéo theo +Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được là mệnh đề kéo theo
+Kí hiệu là PQ.
+ Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
* PQ còn được phát biểu là “P kéo theo Q”,
“P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề
P : “ Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật “
-2-
Q : “ Tứ giác ABCD là một hình bình hành “
PQ: “ Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành “.
QP “ Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật “.
* Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ
P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)
điều kiện cần để có P(x) là Q(x)
4. Mệnh đề đảo-Mệnh đề tƣơng đƣơng
a) Mệnh đề đảo:
Cho mệnh đề PQ. Mệnh đề QP được gọi là mệnh đề đảo của PQ
b) Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương
đương,
+ Kí hiệu PQ
+Mệnh đề PQ đúng khi PQ đúng và QP đúng và sai trong các trường hợp còn
lại.
( hay PQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
Các cách đọc khác:
P tương đương Q
P là điều kiện cần và đủ để có Q
Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x)
Ví dụ 1: Xét các mệnh đề
A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;
B: “36 chia hết 12”
Khi đó: A đúng; B đúng
AB: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng
Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam
giác có ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích.
Xét P:” Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau”
Q:” Tam giác có ba cạnh bằng nhau”
Khi đó P Q đúng; QP đúng. Vậy PQ
6. Các kí hiệu và
Kí hiệu (với mọi): )(," xPXx ” hoặc “ )(: xPXx ”
Kí hiệu (tồn tại) :“ )(, xPXx ” hoặc “ )(: xPXx ”
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x)”
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x)”
Ví dụ: Các biết tính đúng/sai của các mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định.
a) n *, n
2-1 là bội của 3
b) x , x2-x+1>0
c) x , x2=3
d) n , 2n + 1 là số nguyên tố
e) n , 2n ≥ n+2.
* Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ
P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
-3-
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)
điều kiện cần để có P(x) là Q(x)
-4-
* Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương
đương. Kí hiệu PQ
+Mệnh đề PQ đúng khi PQ đúng và QP đúng và sai trong các trường hợp còn
lại. ( hay PQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
Các cách đọc khác:
P tương đương Q
P là điều kiện cần và đủ để có Q
Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x).
Bổ sung:
Trong lôgic toán, một phân ngành lôgic học, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay
gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.
Chú ý:(mệnh đề)
1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và
địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác.
Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai.
Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.
Trời mưa.
Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.
2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:
Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào không
đúng cũng không sai.
Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.
3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết "chắc
chắc" nó nhận một giá trị.
Ví dụ: Trên sao Hỏa có sự sống.
Chú ý:(mệnh đề kéo theo)
1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối
quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên
nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.
Ví dụ:
"Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu" ← mệnh đề
đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" và b = "Việt Nam nằm ở
Châu Âu" đều sai.
"Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai.
Chú ý:(mệnh đề tương đương)
Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng
như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai).
Ví dụ:
"Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời" là mệnh đề đúng.
"12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang ở
thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai.
"Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng.
-5-
Giải bài toán bằng suy luận
Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan
và Inđônêxia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:
Dung: Singapor nhì, còn Thái Lan ba.
Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.
Trung: Singapor nhất và Inđônêxia nhì.
Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
Giải: Kí hiệu các mệnh đề:
d1, d2 là hai dự đoán của Dụng.
q1, q2 là hai dự đoán của Quang.
t1, t2 là hai dự đoán của Trung.
Vì Dung có một dự đoán đúng và một dự đoán sai, nên có hai khả năng:
Nếu G(d1) = 1 thì G(t1) = 0. Suy ra G(t2) = 1. Điều này vô lí vì cả hai đội Singapor và
Inđônêxia đều đạt giải nhì.
Nếu G(d1) = 0 thì G(d2) = 1. Suy ra G(q2) = 0 và G(q1) = 1. Suy ra G(t2) = 0 và G(t1) = 1.
Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba còn Inđônêxia đạt giải tư.
1. Số vô tỉ
Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn
được dưới dạng tỉ số a/b , với a, b là các số nguyên.
Ví dụ: Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001...
Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...
Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209
74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...
Số lôgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536...
Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví
dụ: 1/2=0,5) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ:1/11= 0.090909...)
thì số vô tỉ có biểu biễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn.
Căn bậc hai của tất cả các số nguyên
Ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số
nguyên hoặc là số vô tỉ. Lấy số nguyên bất kỳ r. Thí dụ, r = 2.
Trong hệ nhị phân, 2 = 102
Vậy, như ở trên, nếu = m/n thì, trong hệ nhị phân:
m2 = 102 n
2 trong đó m, n là số nguyên
Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết không phải là số nguyên.
Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại
có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết là số hữu tỉ phải sai.
Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r-phân:
m2 = 10r n
2 trong đó m, n là số nguyên
Nếu n = 1 thì m2 = 10r = r, vậy là số nguyên.
Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r-phân phải có số chẵn số 0
(trong hệ r-phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế
phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy không thể là số hữu tỉ.
2. Số chính phƣơng
Số chính phƣơng hay còn gọi là số hình vuông là số nguyên có căn bậc 2 là một số
nguyên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số
nguyên khác.
Ví dụ:4 = 2²; 9 = 3²; 1.000.000 = 1.000²
Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số nguyên
-6-
kia.
-7-
§1 MỆNH ĐỀ
1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3
d) 3
2 có phải là số nguyên không? e) 5 +4 là số vô tỉ.
1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai
a) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”.
1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai, với:
a) P: “ Góc A bằng 900” Q: “ BC
2=AB
2+AC
2”
b) P: “ A B ” Q: “ Tam giác ABC cân”.
1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng
a) x : x2=1 b) x :x
2+x+2≠0
1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó
a) 1
3 23 2
b) 2
2 8 8
c) 2
3 12 là số hữu tỉ
d) x=2 là nghiệm của phương trình 2 4
02
x
x
1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.
a) P(m): “ m< m” b) Q(m): “m<1
m” c) R(m): “ m=7m”.
1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) P: “ 15 không chia hết cho 3”
b) Q: “ 7 3 ”
1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:
a) P: “2<3” Q: “4<6”
b) P: “10=1” Q: “100=0”.
1.9. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số hữu tỉ”, Q: “ x2 là một số hữu tỉ”
a) Phát biểu mệnh đề PQ và xét tính đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên
c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề đảo sai.
1.10. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x2=1”, Q: “ x =1”
a) Phát biểu mệnh đề PQ
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai
c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề PQ sai.
1.11. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số nguyên”, Q: “ x +2 là một số nguyên”
a) Phát biểu mệnh đề PQ
b) Phát biểu mệnh đề QP
c) Xét tính đúng sai của PQ, QP.
1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”
a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo QP.
1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:
a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;
b) Nếu AB>BC thì C A ;
c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuông.
-8-
1.14. Dùng kí hiệu hoặc để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;
b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó;
c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó;
d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) x : x2≤ 0 b) x : x
2≤0
c) x : 2 1
11
xx
x
d) x :
2 11
1
xx
x
e) x : x2+ x +1>0 f) x : x
2+ x +1>0
1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) x : x .1= x
b) x : x . x =1
c) n : n<n2
1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng
a) Mọi hình vuông là hình thoi;
b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều;
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
a) x , 4x2-1= 0.
b) x , n2+1 chia hết cho 4.
c) x , (x-1)2
x-1.
1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
a) x , x > x2.
b) x , |x| < 3 x< 3.
c) x N, n2+1 không chia hết cho 3.
d) a , a2=2.
1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
A: ” 15 là số nguyên tố”
B: ” a , 3a=7”
C: “ a , a2≠3”
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng
thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau.
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5.
d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3.
d) Nếu a=b thì a2=b
2 .
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có
một góc bằng 600”
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau.
b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho
7.
c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương.
-9-
d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng.
c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai góc
còn lại.
d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có
một góc bằng 600.
BÀI TẬP THÊM
1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau :
a/ Hình thoi là hình bình hành
b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x2 5x + 4 = 0
c/ ( 2 > 3 ) (3 < ) d/ (3
11 >
2
7) (4
2 < 0)
e/ (5.12 > 4.6) (2 < 10) f) (1< 2 ) 7 là số nguyên tố
2. Phủ định các mệnh đề sau :
a/ 1 < x < 3 b/ x 2 hay x 4
c/ Có một ABC vuông hoặc cân
d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3
e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.
f/ x< 2 hay x=3.
g/ x 0 hay x>1.
h/ Pt x2 + 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm
3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a/ x R , x2 + 1 > 0 b/ x R , x
2 3x + 2 = 0
c/ n N , n2 + 2 chia hết cho 4 d/ n Q, 2n + 1 0
e/ a Q , a2 > a f) x R , x
2 +x chia hết cho 2.
4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh:
a) A B = B A b) A B A B
c) A B A B d) ( ) ( ) ( )A B C A B A C
B. SUY LUẬN TOÁN HỌC
5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"
a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1
d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5.
e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm.
6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"
a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau.
c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
d/ Nếu a = b thì a3 = b
3.
-10-
e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR :
a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
c/ Nếu x2 + y
2 = 0 thì x = 0 và y = 0
d/ Nếu x = 1 hay y = 2
1 thì x + 2y 2xy 1 = 0
d/ Nếu x 2
1 và y
2
1 thì x + y + 2xy
2
1
e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.
f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3.
8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2
b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)
c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = 2
)1n(n
a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = 3
)2n)(1n(n
b) 1n
n
)1n.(n
1.........
4.3
1
3.2
1
2.1
1
c) 1n2
n
)1n2).(1n2(
1.........
7.5
1
5.3
1
3.1
1
d) 12 + 2
2 + 3
2 + . . . . . . . . . . + n
2 =
6
)1n2)(1n(n
e) 13 + 2
3 + 3
3 + . . . . . . + n
3 =
4
)1n(n 22
f) 2 1
+ 22 + 2
3 + . . . . .+ 2
n = 2(2
n – 1)
g) 31 + 3
2 + 3
3 + . . . . + 3
n =
2
3( 3
n – 1 )
h) n 3 +2n chia hết cho 3
i) n3 +11n chia hết cho 6
j) n3 +5n chia hết cho 6
k) 3 2n + 63 hết 72
l) 3 2n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7
m) 6 2n + 3
n + 2 + 3 n chia hết cho 11
n) 3 2n – 2 n chia hết cho 7
o) 4 n + 15.n – 1 chia hết cho 9
§1 MỆNH ĐỀ 1.3. a) PQ: “ Nếu góc A bằng 90
0 thì BC
2=AB
2+AC
2” đúng
QP: “ Nếu BC2=AB
2+AC
2 thì góc A bằng 90
0 ” đúng
b) PQ: “ A B thì tam giác ABC cân” đúng
Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì A B ” sai (vì có thể A C
1.4. a) x : x2=1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1” sai
x : x2≠1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác 1”
b) x :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x
2+x+2≠0” đúng
x :x2+x+2=0
-11-
1.5. a) Đúng. P : “1
3 23 2
”
b) Sai. P : 2
2 8 8
c) Đúng vì 2
3 12 =27 là số hữu tỉ. P : “ 2
3 12 là số vô tỉ”
d) Sai. P :” x=2 khônglà nghiệm của phương trình
2 40
2
x
x
”
1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:
a) Nếu 2<3 thì 4<6 Sai
b) Nếu 10=1 thì 100=0 Đúng
1.9. a) Nếu x là số hữu tỉ thì x 2 là một số hữu tỉ Đúng
b) Nếu x 2 là một số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ
c) Khi x = 2 mệnh đề đảo sai.
1.10. b) mệnh đề đảo đúng
c) x =1 thì PQ sai.
1.11. a) PQ đúng
b) QP đúng
1.12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúng
b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC mđ sai
1.13. a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA cả hai đúng
b) Nếu AB>BC thì C A ; đúng và mđ đảo đúng
c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuông. đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C)
1.14. a) n : n không chia hết cho n b) x : x +0=0
c) x : x <1
x d) n : n>n
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 sai
b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0đúng
c) Với mọi số thực , sao cho
2 11
1
xx
x
Sai
d) Có số thực, sao cho
2 11
1
xx
x
Đúng
e) Với mọi số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng
f) Có một số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng
1.16. a) x : x .1≠ x sai
b) x : x . x ≠1 đúng
c) n : n≥n2 đúng
1.17. a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi” sai
b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
a) x , 4x2-1= 0 sai; mđ phủ “ x , 4x
2-1≠0”
b) n , n2+1 chia hết cho 4 Sai vì
Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (kN)
n2+1 = 4k
2+1 không chia hết cho 4
Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (kN)
n2+1 = 4(k
2+k)+2 không chia hết cho 4
Mđ phủ định “ n , n2+1 không chia hết cho 4”
c) x , (x-1)2 x-1. Sai khi x =0
mđ phủ định “ x ,(x-1)2 =x-1”
1.19. a) đúng, ví dụ x =1/10
-12-
H
G
PQ
MN
A
B C
b) sai, vì khi x <3 | x |<3 sai khi x =8
Sửa lại : “ x , | x |<3 x <3”
c) đúng (giải thích)
d) sai. Sửa lại “a , a2≠2”
1.20. tương tự 1.19
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ
để hai đường thẳng ấy song song nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.
d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương.
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":
a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3.
d) Điều kiện cần để a=b là a2=b
2 .
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một
góc bằng 600”
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”
b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7.
c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương”
d) Đúng.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhau
b) Sai.
c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì B C A . Ngược lại nếu B C A thì
0 0 0180 2 180 90A B C A A
d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau.
Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối x ứng B qua M
Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhau
Mà CQ=BP AB=AC ABC cân.
-13-
§2 TẬP HỢP 1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa .
- Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập
hợp đặt trong cặp dấu { }.
- Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a A.
- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu
2. Cách xác định tập hợp: có 2cách - Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử có dấu phẩy hoặc dấu
chấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm
VD : A = 1; 3; 5; 7
B = 0 ; 1; 2; . . . . ;100
C={1;3;5;...;15;17}
- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu
gạch đứng
VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x | 2x2-5x+3=0}
3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: AB hoặc B A.
Khi đó A B x( xA xB)
Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10}
Cho A ≠ có ít nhất 2 tập con là và A.
Tính chất: A A , A với mọi A
Nếu A B và B C thì A C
4. Tập hợp bằng nhau:
A=B A B và B A hay A=B x (x A x B)
Ví dụ : C={xR | 2x2-5x+2=0}, D={
2
1,2 } C=D
- Biểu đồ Ven
Ta có *
BÀI TẬP §2
2.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử
A= { x | 2x25x+2=0}
B= {n | n là bội của 12 không vượt quá 100}
C = {xR | (2x-x2)(2x
2-3x-2) = 0}
D = {xZ | 2x3-3x
2-5x = 0}
E = {xZ | |x| < 3 }
F = {x | x=3k với kZ và -4 < x < 12 }
G= {Các số chính phương không vượt quá 100}
H= {n | n(n+1)≤ 20}.
I={ x | x là ước nguyên dương của 12}
J={ x | x là bội nguyên dương của 15}
K= {n | n là ước chung của 6 và 14}
L= { n | n là bội của 6 và 8}
2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng
A={2;3;5;7} B= {1;2}
C={2;4;6;8;...;88;90} D={4;9;16;25}
2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng?
A = {x | x2-x+1=0 }
B = {x | x2-4x+2= 0}
C = {x | 6x2-7x+1= 0}
-14-
D = {x | | x| < 1} .
2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào?
A = {1,2,3} B = { xN | x<4 }
C = (0;+ ) D = { xR | 2x2-7x+3= 0} .
2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau:
a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}.
c) C= d) D= {}
2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho:
{1,2} X {1,2,3,4,5} .
2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê
tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải
khác.
2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:
R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}
S={x | 3<|x|≤ 19
2}
T= { x | 2x25x+2=0}
BÀI TẬP THÊM
1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a/ A = {x N / x < 6}
b/ B = {x N / 1 < x 5}
c/ C = {x Z , /x / 3}
d/ D = {x Z / x2 9 = 0}
e/ E = {x R / (x 1)(x2 + 6x + 5) = 0}
f/ F = {x R / x2 x + 2 = 0}
g/ G = {x N / (2x 1)(x2 5x + 6) = 0}
h/ H = {x / x = 2k với k Z và 3 < x < 13}
i/ I = {x Z / x2 > 4 và /x/ < 10}
j/ J = {x / x = 3k với k Z và 1 < k < 5}
k/ K = {x R / x2 1 = 0 và x
2 4x + 3 = 0}
l/ L = {x Q / 2x 1 = 0 hay x2 4 = 0}
2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :
a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}
c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}
e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {3
1,
5
2,
7
3,
9
4}
3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :
a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}
4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C X B
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y A
5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ;
B = {x N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ;
D = {x N / (x + 1)(x 2)(x 4) = 0}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D X A
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y B
-15-
§3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1.Pheùp giao 2. Pheùp hôïp 3. Hieäu cuûa 2 taäp
hôïp
AB = x|xA vaø xB
xAB
Bx
Ax
Tính chất
A A=A
A =
A B=B A
AB = x| xA hoaëc xB
xAB
Bx
Ax
Tính chất
A A=A
A =A
A B= B A
A\ B = x| xA vaø xB
xA\B x A
x B
Tính chất
A\ =A
A\A=
A\B≠B\A
4. Phép lấy phần bù: Neáu A E thì CEA = E\A = x ,xE vaø xA
Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}.
Tính AB, (AB) C, AC, (AB) C, A\ B, A\ C
BÀI TẬP §3
3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính
A B, B C, C\A, (A B)\ (B C)
3.2. Cho A = {xN | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định A B ; AB ; A\B ; B\ A
b) CMR : (A B)\ (AB) = (A\B) (B\ A)
3.3. Cho R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}, S={x | 3<|x|≤ 19
2},
T= { x | 2x24x+2=0}. Tính R S, S T, R\S
3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính
a) (A B) C và A (B C). Có n hận xét gì về hai kết quả?
b) (A B) C
d) (A B) C
e) (A \ B) C
3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính
a) B C, A B, B C, A\B, C\B b) A (B C)
c) (A B) C d) A (B C)
e) (A B) C f) (A\B) (C\B)
3.6. Cho E = { x | 1 x < 7}
A= { x | (x2-9)(x
2 – 5x – 6) = 0 }
B = { x | x là số nguyên tố 5}
a) Chứng minh rằng B E
b) Tìm CEB ; CE(AB)
c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A) ( E \B)
E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B)
-16-
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ
1. Các tập số đã học
, *, , ,
2. Các tập con thƣờng dùng của Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Tập số thực (-;+)
Đoạn [a ; b] xR, a x b
Khoảng (a ; b )
Khoảng (- ; a)
Khoảng(a ; + )
xR, a < x < b
xR, x < a
xR, a< x
Nửa khoảng [a ; b)
Nửa khoảng (a ; b]
Nửa khoảng (- ; a]
Nửa khoảng [a ; )
xR, a x < b
xR, a < x b
xR, x a
xR, a x
[a ; b]= xR, a x b,.....R+=[0;+), R=(;0]
Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch
bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tô đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn
đó.
Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách
(2;5), [3;1], ([1;4] Chú ý 2:
-Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số. Phần còn
lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp.
-Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến hành
tô đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số.
-Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d),
phần tô đậm còn lại là kết quả cần tìm.
Ví dụ: Tính
a) (1;2] [1;3) = [1;2]
b) [3;1
2) (1;+ ) =[1;
1
2)
c) (1
2;2) (1;4) =(
1
2;4)
d) (1
2;2]\(1;4) =(
1
2;1]
BÀI TẬP §4-C1
4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số.
A={ x | x ≥ 3}
B={ x | x <8}
C={ x | 1< x < 10}
D={ x | 6 < x ≤ 8}
E={ x | 1
2≤ x ≤
5
2}
F={ x | x1<0}
4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp
E=(1;+) F=(;6]
//////////// [
)/////////////////////
////////////( )
/////////
///////////////////(
////////////[ )
/////////
]/////////////////////
///////////////////[
0
-17-
G=(2;3] H=[3
2;1]
4.3. Xác định AB, AB, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục số
a) A = { x | x 1 } B ={ x | x 3 }
b) A = { x | x 1 } B ={ x | x 3 }
c) A = [1;3] B = (2;+ )
d) A = (-1;5) B = [ 0;6)
4.4. Cho A={ x | x2≥0 }, B={ x | x5>0}.
Tính A B, A B, A\B, B\A.
4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số
a) (5;3) (0;7) b) (1;5) (3;7)
c) \(0;+) d) (;;3) (2;+)
4.6. Xác định A\B , A B, A B và biểu diễn chúng trên trục số
a) A=(3;3) B=(0;5)
b) A=(5;5) B=(3;3)
c) A= B=[0;1]
d) A=(2;3) B=(3;3)
4.7. Xác định tập hợp C D, biết
a) C=[1;5] D=(3;2) (3;7)
b) C=(5;0) (3;5) D=(1;2) (4;6)
4.8. Xác định các tập sau
a) (3;5] b) (1;2) c) [3;5]
4.9. Xác định các tập sau
a) \((0;1) (2;3)) b) \((3;5) (4;6))
c) (2;7)\[1;3] d) ((1;2) (3;5))\(1;4)
4.10. Xác định các tập sau
a) (;1
3) (
1
4;+) b) (
11
2;7) (2;
27
2)
c) (0;12)\[5;+) d) \[1;1)
BÀI TẬP THÊM
1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6}
a/ Tìm A B , A C , B C b/ Tìm A B , A C , B C
c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B
d/ Tìm A (B C) và (A B) (A C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ?
2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}.
Tìm (A B) C và (A C) (B C). Nhận xét ?
3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b}
a/ CMR : A (B \ C} = (A B) \ (A C)
b/ CMR : A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)
4. Tìm A B ; A B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :
a/ A = (2, + ) ; B = [1, 3] b/ A = (, 4] ; B = (1, +)
c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +)
e/ A = [0, 4] ; B = (, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 )
5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các tập X sao cho A X = B
6. A= {x N / 0< x < 10} ; A, B X ;
A B = {9, 4, 6}
A {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ;
B { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Xác định A, B.
-18-
§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ 1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết
số gần đúng của nó.
Ví dụ: giá trị gần đúng của là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;…
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó.
Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
2. Sai số tuyệt đối:
a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng
Nếu a là số gần đúng của a thì a=| a a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng
a.
b) Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được a. Tuy nhiên ta có thể
đánh giá a không vượt quá một số dương d nào đó.
Nếu a ≤ d thì ad≤ a ≤ a+d, khi đó ta viết a =a ± d
d gọi là độ chính xác của số gần đúng.
Ví dụ: Giaû söû a = 2 vaø moät giaù trò gaàn ñuùng cuûa noù laø a = 1,41.Ta coù :
(1,41)2 = 1,9881 < 2
1,41 < 22 - 1,41 > 0.
(1,42)2 = 2,0164 > 2
1,42 > 22 -1,41 < |1,42-1,41|=0,01.
Do ñoù : 01,041,12 aaa Vaäy sai soá tuyeät ñoái cuûa 1,41 laø khoâng
vöôït quaù 0,01.
*Sai số tƣơng đối a
|| a
aa
, do đó a
|| a
d .
Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm (nhân với 100%).
Nếu || a
dcàng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.
* Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được phản ánh
qua sai số tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn.
3. Quy tròn số gần đúng
* Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ
số bên phải nó bởi 0.
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các
chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn.
Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ
số sau nó là 6)
Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1
chữ số sau nó là 4)
Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 chữ
số sau nó là 4).
Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy
tròn
Ở vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục)
Ở vd2 ta có a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01)
* Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trƣớc:
-19-
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ
quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng
đó.
d Hàng quy tròn
Hàng trăm Hàng nghìn
Hàng chục Hàng trăm
Hàng phần trăm Hàng phần chục
……………………. ……………………….
Ví dụ 1: Cho a =1,236±0,002 số quy tròn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01)
Ví dụ 2: Cho a =37975421±150 số quy tròn của 37975421 là 37975000
Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01
(d=0,01). Khi đó số quy tròn của a là 173,5
* Chú ý: - Kí hiệu khi viết gần đúng là
- Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên.
- Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy.
- Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy.
4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3)
Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vƣợt quá (
≤ )nửa đơn vị của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó thì chữ số đó
không chắc)
Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số đứng
bên phải chữ số không chắc là không chắc.
Ví dụ 1: Cho a =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn
Ta có 2
100050050
2
100 d nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng
nghìn chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn.
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm
2 . Tìm các chữ số
chắc của S.
Ta có 5,02
106,005,0
2
1,0 d nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ
số hàng đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn.
5. Dạng chuẩn của số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số
của nó đều là chữ chắc chắn.
- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong đó A là số nguyên
, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc (kN). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn)
Khi đó độ chính xác d=0,5.10k
Ví dụ: Giá trị gần đúng của 5 viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác d=0,5.10-
3=0,0005, do đó 2,236-0,0005≤ 5 ≤2,236+0,0005
6. Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n, 1≤||<10, n Z
(ta có m
m
10
110 )
Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024
kg
Khối nguyên tử của Hiđrô là 1,66.10-24
g
-20-
BÀI TẬP §5
5.1. Cho 3 =1,7320508…Viết số gần đúng 3 theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số
thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp.
HD: Ta có 1,73< 3 <1,74| 3 -1,73|<|1,73-1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong
trương hợp (làm tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001.
5.2. Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ
hơn 10000. Hãy viết quy tròn của số trên.
Kq: 79720000
5.3. Đo độ cao một ngọn núi là h=1372,5m±0,1m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5
Kq: 1373
5.4. Đo độ cao một ngọn cây là h=347,13m±0,2m. Hãy viết số quy tròn của số 347,13
Kq: 347
5.5. Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m. Hãy viết số quy tròn của 1745
Kq : 1745,3
5.6. Cho giá trị gần đúng của là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10-10
. Hãy viết số
quy tròn của a.
Kq : 3,141592654
5.7. Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm3±0,05 cm
3. Xác định các chữ số chắc chắn
của V.
Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn.
5.8. Trong một thí nghiệm, hằng số C được xác định là 2,43265 với cận trên của sai số tuyệt
đối d=0,00312. Tìm các chữ số chắc chắn của C.
5.9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m. chứng
minh rằng chu vi P của miếng đất là P=212m±2m
-21-
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
-22-
...................................................................................................................................................................
-23-
Chương II
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1 HÀM SỐ
I. Ôn tập về hàm số
1. Hàm số:
Cho D . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi xD là một và chỉ
một số y , kí hiệu là y= f(x). Khi đó:
+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x;
+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định);
+ f( x ) là giá trị của hàm số tại x.
2. Cách cho hàm số
+ Hàm số cho bằng bảng.
+ Hàm số cho bằng biểu đồ.
+ Hàm số cho bằng công thức: y=f( x )
Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định
của hàm số y=f( x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f( x ) có nghĩa”.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
a) y=f( x )= 3x b) y=3
2x c) y= 1 1x x
Ví dụ 2: Cho 2
2 1 0
0
x khi xy
x khi x
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính f(1), f(1), f(0).
3. Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt
phẳng tọa độ với mọi x D.
II. Sự biến thiên của hàm số
Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó:
f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2)
f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)
III. Tính chẵn lẻ của hàm số
+ f gọi là chẵn trên D nếu xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
+ f gọi là lẻ trên D nếu xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.
(Ban CB đến III)
* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y
Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x
* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q)
+ Xuống dƣới q đơn vị được A1(x ; yq)
+ Sang trái p đơn vị được A1(xp ; y)
+ Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y)
-24-
CÁC DẠNG BÀI TẬP I. Tìm tập xác định của hàm số
*Phƣơng pháp + Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là:
D = {x | f(x) } + Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :
a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ;
y = |)(| xu … là D =
(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)
b) Miền xác định hàm số y = )(
)(
xv
xu là D = { x | v(x) 0 }
c) Miền xác định hàm số y = )(xu là D = { x | u(x) 0 }
d) Miền xác định hàm số y = )(
)(
xv
xu là D = { x | u(x) > 0 }
e) Miền xác định hàm số y = )()( xvxu là
D= {x | u(x) 0 } {x | v(x) 0 } tức là nghiệm của hệ
0)(
0)(
xv
xu
VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau
II. Xét sự biến thiên của hàm số
* Phƣơng pháp
+ Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).
+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ).
+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:
. Giả sử x1,x2 K, x1 < x2
. Tính f(x2) - f(x1)
. Lập tỉ số T = 12
12 )()(
xx
xfxf
Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)
Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b).
VÍ DỤ:
III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
* Phƣơng pháp
+ Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x)
+ Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : xD x D
+ Tính f(-x), khi đó
. Nếu f(-x) = f(x) với xD thì y =f(x) là hàm số chẵn
. Nếu f(-x) = -f(x) với xD thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Nếu có một x0 D sao f(-x0) f(x0) & f(-x0) -f(x0) thì hàm số y = f(x) không chẵn và
không lẻ.
VÍ DỤ:
IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
-25-
-26-
BÀI TẬP §1-C2 1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y= 3x3 x +2 b)
3 1
2 2
xy
x
c) y= 3 2x d) y= 2 1 1x x
e) y=2
2 1
2 1
x
x x
f) y=
11x
x
g) y= 2 1x h) 2
1
4 5y
x x
1.2. Cho hàm số y=1-x neáu x 0
x neáu x > 0
.
Tính các giá trị của hàm số đó tại x =3; x =0; x =1
1.3. Cho hàm số y=2
2 30
1
2 0
xkhi x
x
x x khi x
Tính giá trị của hàm số đó tại x =5; x =2; x = 2
1.4. Cho hàm số y=g( x )3 8
7 2
vôùi x < 2
vôùi x
x
x
Tính các giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9)
1.5. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
a) y=f( x )= 2x27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10)
b) y=f( x )=7
x
x trên khoảng (;7) và trên khoảng (7;+)
1.6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y=f( x )= 2 3x b) y=f( x )=2 2x
x
c) y=f( x )=x3 1 d) y=3
1.7. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y=2
3 2
4 3 7
x
x x
b) y=
2 43 5
3
xx
x
c) y= x5+7 x3 d) y=
2
7
2 5
x
x x
e) y= 4 1 2 1x x f) y=2
9
8 20
x
x x
g) y=2 1
(2 1)( 3)
x
x x
h) y=
1 3
2 4 2
x
x x
1.8. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y = 1
322
xx
x b) y =
x
xx 22
c) y = 23
32
xx
x d) y =
1)2(
2
xx
e) y = 23
123
xx
x f) y =
1
122
xx
x
-27-
1.9. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra
a) y= 2 x +3 trên
b) y= x2+10 x +9 trên (5;+)
c) y= 1
1x
trên (3;2) và (2;3)
1.10. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra
a) y = x2+4x-2 ; (- ;2) , (-2;+ )
b) y = -2x2+4x+1 ; (- ;1) , (1;+ )
c) y = 1
4
x ; (-1;+ )
d) y = x2
3 ; (2;+ )
1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y= 4 b) y= 3x21
c) y= x4+3 x2 d) y=
4 2 1x x
x
1.12. Xét tính chẵn lẻ của các số sau
a) y = x4-x
2+2 b) y= -2x
3+3x
c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1|
e) y = (x-1)2 f) y = x
2+2
1.13. Cho hàm số y= f(x) =2x
a , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch
biến trên các khoảng xác định của nó.
1.14. Cho hàm số
1x neáu
1x1- neáu
1
)2(2)(
2x
xxf
a) Tìm tập xác định của hàm số f.
b) Tính f(-1), f(0,5), f(2
2 ), f(1), f(2).
BÀI TẬP THÊM 1
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) 12
53
x
xy D= \{
1
2} b)
1
532
xx
xy D=
c)23
22
xx
xy D= \{1;2} d)
2
1
x
xy D=[1;+)\{2}
e)1)2(
22
xx
xy D=(1;+) f)
9
132
x
xy D= \{3;3}
g) xx
xy
21 D=(;0]\{1} h)
2
23
x
xxy D=(2;2]
i) )3)(2(
41
xx
xxy D=[1;4]\{2;3} j) y= xx 312 D=[
1
2;3]
Bài tập 2 : Cho hàm số
1x neáu
1x1- neáu
1
)2(2)(
2x
xxf
a) Tìm tập xác định của hàm số f. D=[1;)
-28-
b) Tính f(-1), f(0,5), f(2
2 ), f(1), f(2).
-29-
Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),
điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1.
Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ 2 ), điểm nào thuộc đồ thị hàm
số f(x)= x2+ 3x .
Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:
a) y= x2+2x-2 trên mỗi khoảng (-;-1) và (-1;+) T= x2+x1+2
x 1 +
y=x2+2x-2
+ +
3
b) y= -2x2+4x+1 trên mỗi khoảng (-;1) và (1;+) T=2(x1+x22)
x 1
+
y=-2x2+4x+1
3
c) y=3
2
x trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+) T=
1 2
2
( 3)( 3)x x
x 1 +
y=3
2
x
0 +
0
d) y=2
1
x trên mỗi khoảng (-;2) và (2;+)
T= 1 2
1
( 2)( 2)x x
e) y= x2-6x+5 trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+)
T= x2+x16
f) y= x2005
+1 trên khoảng (-;+)
x1<x2 => 20051x < 2005
2x => f(x1)= 20051x +1< 2005
2x +1=f(x2) đồng biến
Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên
(A)
x 2 1
+
y=-2x2+4x+1
+ 3
1
(B)
x 1
+
(A) (B)
(C)
-30-
y=1
x
0 +
0
(C)
x 2
+
y=f(x)
1
Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :
a) y=x43x
2+1 chẵn b) y= -2x
3+x lẻ
c) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn
e) y= |x| chẵn f) y=(x+2)2
g) y=x3+x lẻ h) y=x
2+x+1
i) y=x|x| lẻ j) y= xx 11 D=[1;1] chẵn
k) y= xx 11 D=[1;1] lẻ
Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):
a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị
c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị.
Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3. Ta có thể coi (d’) có được là
do tịnh tiến (d):
a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?
(d’): y=2x3= f(x)3
b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?
(d’): y=2x3= 2(x3
2)
Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y=x
2
a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?
b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?
c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được
đồ thị hàm số nào?
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b). Hãy tính tọa độ các điểm có
được khi tịnh tiến các điểm đã cho:
a) Lên trên 5 đơn vị
b) Xuống dưới 3 đơn vị
c) Sang phải 1 đơn vị
d) Sang trái 4 đơn vị.
BÀI TẬP THÊM 2
1. Tìm tập xác định của hàm số
a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D=
b) y = |4| 2 xx D=
c) 5
1|65| xy D=
d) y = 1
12 x
D=
-31-
e) y = 6
|32|2
xx
x D=
f) y=xx 3
12
D= \{0;3}
g) y = xx
x
1
11 D=(1;1]\{0}
h) |4|
12
xx
xy D=(0;+)\{4}
i) y = 1
13
2
xx D=(;3]\{1;1}
j) y = 2
1
2 4 4x x D= vì 2 22 4 4 ( 2 2) 2x x x >0 x
k) y = 1226 xxx D=[1
2 ;6]
l) y = )1|(|
12
xx
x D= \{1;0;1}
m) y = xxx
x
1
2
12
D=[1;2)
n) y = 3)2(33
12
xxxx
D=[3;+) vì 2 3 3x x ≠0 x
o) y = 6|1|53
1 2
2
xxx
xx D=
vì 2 23 113 5 ( )
2 4x x x >0 x
2 21 236 ( )
2 4x x x >0 x
p) y = |2||2|
||2 xxx
x
D=
vì không có giá trị nào của x để |x2|+|x2+2x|=0. Thật vậy:
nếu x2=0 x=2 thì x2+2x≠ 0
q) y = 32 1
53
x
x D= \{1;1}
r) y = 2 2 1 3x x x D=[3;+)
s) y =2 2 1 3x x x - 14 x D=[4;+)
t) y = |1||23|
122 xxx
D= \{1}
vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p)
u) y = 1||2
||
1
1||2
2
2
xx
xx
x
x D= \{1;1}
22
2
2 1 , 02 | | 1
2 1 , 0
x x khi xx x
x x khi x
v) y = ||1 x D=[1;1]
-32-
w) y = |1|
1
2 x D= \{1;1}
x) y = f(x)=
2x0 neáu x
0x2- neáu x-1 D=[2;2]
2. Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra
a) y = 32
2
x
x trên );
2
3( T=
2 1
6
(2 3)(2 3)x x
b) y = 3x2-4x+1 trên (-
2;3
) T=3x2 + 3x14
c) y = 1
13
x
x trên (1;+ ) T=
2 1
2
( 1)( 1)x x
d) y = 2
3
x
x trên (2; + ) T=
2 1
5
( 2)( 2)x x
e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2)
x (2;2) khi đó 2< x <2
x+2>0; x2<0 y= x+2 [(x2)]=2x T=2 hàm số đống biến
4. Với giá trị nào của a thì các hàm số sau đồng biến,nghịch biến trên các khoảng xác định của
nó
a) y = f(x) = 2x
a T=
1 2( 2)( 2)
a
x x
b) y = f(x) = x
a 1 T=
1 2
( 1)a
x x
5. Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau
a) y = ||
12 2
x
x D= \{0}; chẵn
b) y = x(|x|-2) D= ; lẻ
c) y = x2-2|x| D= ; chẵn
d) y = | x+3 | - | x-3 | D= ; lẻ
e) y = 2x+ | x+3 | + | x-1 | D= ; không chẵn, không lẻ
f) y = x7-
2
5
|| xx
xx
D= \{0} vì |x|+x
2 ≥ 0 x, dấu “=” khi x=0
g) y = 442 xx + | x+2 | D= ; chẵn vì 2 24 4 ( 2) | 2 |x x x x
h) y = |1||1|
|1||1|
xx
xx D= \{0}; lẻ
i) y = x1 D=[1;+) x D x D
j) y = 1
||3 x
xx D= \{1} x D x D (khi x=1)
k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m
2 ,xR ,là hàm chẵn.
f(-x) = x2mx+m
2
để f(x) chẵn khi m=m = m=0
6. Gọi (G) là đồ thị của hàm số y=2|x|, ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (G):
a) lên trên 3 đơn vị;
b) sang trái 1 đơn vị;
-33-
c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị.
BÀI TẬP THÊM 3 1/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a/ y = 1x
3x4
b/ y =
3x
1x22
c/ y = 4x
12
d/ y = 5x2x
1x2
e/ y = 6xx
22
f/ y = 2x
g/ y = 2x
x26
h/ y =
1x
1
+
2x
3
i/ y = 3x + x4
1
j/ y =
1x2)3x(
1x
k/ y = 2 4 5x x l/ 2 4y x .
m) y = 65
3
2
xx o) y =
23
212
2
xx
)x)(x(
p)y = )x)(x( 343 q) y = 12
2
x)x(
r) y =12
12
|x|
x - 3 5x3 s) y = x + x1
2. Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + )
a) y = 12 mxmx
b) y = 1
432
mx
mxmx ĐS: a) m > 0 b) m > 4/3
3. Định m để hàm số xác định với mọi x dương
a/ 1 4y x m x m b/ 2x m
y x mx m
4. Xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng đã chỉ ra :
a/ y = x2 4x (-, 2) ; (2, +)
b/ y = 2x2 + 4x + 1 (-, 1) ; (1, +)
c/ y = 1x
4
(1, +)
d/ y = x3
2
(3, +)
e/ y = 1x
x3
(, 1)
f/ y = 1x
6. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số :
a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x
4 3x
2 1
c/ y = 3x
12
d/ y = 2x31
e/ y = |1 x| + /1 + x| f/ y = |x + 2| |x 2|
g/ y = |x + 1| |x 1| h/ y = x1 + x1
i/ y = | x|5.x
3 k/
x x
2+x xy
-34-
l/ y =
11
110
11
2
2
x;x
x;
x;x
m) y =
1
110
1
2
2
x;x
x;
x;x
-35-
y
xO
D
C
B
A
4
42
y
xO
§2 HÀM SỐ y= ax + b
1. Hàm số bậc nhất
Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ 0. Hệ số góc là a
Tập xác định: D =
Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên
a < 0 hàm số nghịch biến trên
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số: là một đường thẳng. Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ,
cắt trục tung tại điểm (0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0).
2. * Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có:
(d) song song (d’) a=a’ và b≠b’
(d) trùng (d’) a=a’ và b=b’
(d) cắt (d’) a≠a’.
(d)(d’) a.a’= 1
2. Hàm số hằng y=b
Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có
tọa độ (0;b).
Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có
tọa độ (a;0)
3. Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b|
Muốn vẽ đồ thị hàm số baxy ta làm như sau:
+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b
+ Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành
Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | x | (Xem SGK tr.42)
Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)=
5x4 neáu
4x2 neáu
x0 neáu
62
42
1
21
x
x
x
Đồ thị (hình)
Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4|
Hàm số đã cho có thể viết lại như sau :
y=
2x neáu
2x neáu
42
42
x
x
Đồ thị (hình)
Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ
đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số ( ) ( )y g x f x .
Giải
Hàm số bậc nhất có dạng , 0y ax b a .
-36-
Đồ thị hàm số qua điểm A , B 4 2
2 4
b a
a b b
Vẽ đồ thị hàm ( ) 2 4g x x , ta vẽ đồ thị hai hàm số
2x neáu
2x neáu
42
42
x
xy trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox.
Vẽ đồ thị hàm ( ) 2 4g x x
x
y
o-2
-4
-4
Bảng biến thiên.
g(x)
-2x
0
BÀI TẬP §2-C2
2.1. Vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y= 2 x +1 b) y= 3 c) y= 2
73
x
e) y= 2
3x f) y=
3
5 x
2.2. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y=|x|+2x b) y= |3x2|
c) 2
1 2
vôùi x>2
vôùi x
xy
d)
2 1 1
11
2
vôùi x
vôùi x<1
x
yx
e) g) y= | x |2
2.3. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết:
a) Đi qua M(1;3) và N(1;2);
b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x2 ;
c) Đi qua A(2
3;2) và B(0;1);
d) Đi qua C(1;2) và D(99;2);
e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1).
2.4. Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau:
a) b) 0
3
-2 x
y y
0 x 3
2
5
2
1
-37-
2.5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) y= |2x3| b) y= |4
3 x+1| c) y= |2x|2x
2.6. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau:
a) y = 3x -2 và x = 4
5
b) y =-3x+2 và y = 4(x-3).
2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui:
y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ;
2.8 xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết
a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8)
b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= 3
2x+1.
2.9. vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = f(x) =
0 x neáu
0 x neáu 2x,
,x - b) y = f(x) =
0x neáu 2x,-
0x neáu 1,x
-38-
1
+2-
y= -x2+4x-3
x
--
1
2
y
xO
y= -x2+4x-3
A
§3 HÀM SỐ BẬC HAI
1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠
0
+ Tập xác định D=
+ Đỉnh I (2
b
a ;
4a
) với = b
24ac
+ Trục đối xứng là đường x = 2
b
a
2. Sự biến thiên
a > 0 a < 0
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( -;2
b
a ) và đồng biến trên khoảng
(2
b
a ; +)
Bảng biến thiên
x -
2
b
a +
y + +
4a
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(-;2
b
a ) và đồng biến trên khoảng
(2
b
a ; +)
Bảng biến thiên
x -
2
b
a +
y
4a
- -
3. Cách vẽ đồ thị
-Xác định đỉnh : I
a2a
b
4; ; 2 4b ac (không có ' )
( Sau khi tính xI =2
b
a yI = 2
I Iax bx c . Khi đó I(xI ; yI )
-Vẽ trục đối xứng 2
bx
a
- Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các
điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng)
- Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại
(Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng là một parapol)
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3
Tập xác định : R
Đỉnh :I(2;1)
Trục đối xứng :x = 2
Bảng biến thiên :
Điểm đặc biệt :
x = 0 y = -3
y = 0 x = 1 hoặc x = 3
-39-
Ví dụ 2: dựa vào ví 1 vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3|
Cách vẽ : vẽ y= -x2+4x-3 sau đó lấy đối xứng phần âm qua trục Ox
2
-2
5
Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai 22y x bx c biết đồ thị của nó
1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4.
2) Có đỉnh là (-1;-2)
3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2).
Giải
1) Trục đối xứng 1 42 4
b bx b
a
Cắt trục tung tại (0;4) 4 (0)y c
2) Đỉnh 2
1 42 4
4 16 82 0
4 8
b bx b
a
b ac cy c
a
3) Hoành độ đỉnh 2 82 4
b bx b
a
Đồ thị qua điểm (1;-2) 2 (1) 6 4y c c .
Tìm tọa độ giao điểm Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là ngiệm
của hệ phương trình
)(
)(
xgy
xfy. Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành
độ giao điểm của (C1) và (C2). Ta có:
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm.
+ Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm.
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.
-40-
BÀI TẬP §3-C2
3.1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y= x2 + 2 x2 b) y= 2x
2 + 6 x +3 c) y = x
22x
d) y = x2+2x+3 e) y = x
2+2x2 f) y =
2
1x
2+2x-2
3.2. Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó:
a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c= 4
b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= 0
c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1
d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;2). Đáp số: b= 8, c= 4
3.3. Xác định parapol y=ax24x+c, biết nó:
a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1
b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5
c) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3
d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0). ĐS a=1
3.4. Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết rằng parapol đó:
a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1
b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x=4
3 Đáp số: a=
4
9, b=
2
3
c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4
d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ 4
1 Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=3
3.5. Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó:
a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); Đáp số: a=1, b=1, c= 1
b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4). Đáp số: a=1, b=2, c=3
c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=3, b=36, c=96
d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6). Đáp số: a=1/2, b=2, c=6
3.6. Viết phương trình của y=ax2+bx+c ứng với các hình sau:
-2
-4
-5 -3 O
2
-2
-5
-1
-1
-3 O
3.7. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây. Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các
hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ:
a) y = x-1 và y = x2-2x-1
b) y = -x+3 và y = -x2-4x+1
c) y = 2x-5 và y = x2-4x+4 .
3.8. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đồ thị hàm số đi
qua điểm A(0;6).
3.9. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực đại bằng 3 tại x=2 và đồ thị hàm số đi
qua điểm A(0;1).
a) b)
-41-
3.10. Vẽ đồ thị hàm số y= 22 82
3 3x x
3.11. Vẽ đồ thị hàm số y=x22|x|+1
-42-
BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG 1.Tìm tập xác định của hàm số :
a/ y = x2 4x
4
b/ y =
x
x1x1
c/ y = 1xxx
xx32
2
d/ y =
x52
3x2x 2
e/ y = 1x
x232x
f/ y =
4xx
1x2
2. Xét sự biến thiên của hàm số.
a/ y = x2 + 4x 1 trên (; 2)
b/ y = 1x
1x
trên (1; +)
c/ y = 1x
1
d/ y = x23 e/ y =
2x
1
3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
a/ y = 1x
2xx2
24
b/ y = 2x
c/ y = x3x3 d/ y = x(x2 + 2x)
e/ y = 1x1x
1x1x
f/ y =
1x
xx2
3
4.Cho hàm số y = 1x
1
a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định.
5.Cho hàm số : y = x 2x
a/ Khảo sát tính chẵn lẻ.
b/ Khảo sát tính đơn điệu
c/ Vẽ đồ thị hàm số trên
6.Cho hàm số y = x5x5
a/ Tìm tập xác định của hàm số.
b/ Khảo sát tính chẵn lẻ.
7.Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + c
a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được.
c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m. Định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ
tiếp điểm.
8.Cho y = x(x 1)
a/ Xác định tính chẵn lẻ.
b/ Vẽ đồ thị hàm số.
9.Cho hàm số y = mx4x 2
Định m để hàm số xác định trên toàn trục số.
10.Cho (P) : y = x2 3x 4 và (d) : y = 2x + m. Định m để (P) và (d) : Có 2 điểm chung phân biệt,
tiếp xúc và không cắt nhau.
-43-
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
-44-
...................................................................................................................................................................
-45-
Chƣơng III
PHƢƠNG TRÌNH-HỆ PHƢƠNG TRÌNH
§1 Đại cương về phương trình
I. Khái niệm phƣơng trình
1. Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg
. Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương
trình một ẩn , x gọi là ẩn số của phương trình.
D : tập xác định của phương trình.
Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương
trình .
Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm.
Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = x và g(x)= x . Khi đó : RxxD f |0
{ 0 | }gD x x R và x = x được gọi là phương trình theo ẩn số x.
2. Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trình
Ví dụ: Tìm điều kiện của phương trình
a) 232
xx
x
b)
2
13
1x
x
c) x2= x
3. Phương trình nhiều ẩn
Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn
Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = 0
Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm về tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương
trình hệ quả,… cũng tương đương với phương trình một ẩn.
4. Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) có chứa những chữ cái ngoài các ẩn được gọi là phương trình
chứa tham số.
Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m
ax+2 = | x-1| chứa tham số a.
Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương
trình đó.
II. Phƣơng trình tƣơng đƣơng , phép biến đổi tƣơng đƣơng
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau
(có thể là rỗng). Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D.
Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết :
f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x).
Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x2
15=0 tương đương nhau vì cùng có nghiệm duy
nhất x=2
5.
Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau.
2. Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một
phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D.
(ta dùng dấu "" để chỉ sự tương đương của các phương trình)
-46-
Ví dụ: 2x-5=0 3x2
15=0
-47-
* Các phép biến đổi tương đương của phƣơng trình:
Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D. nếu h(x) xác định trên D thì
phương trình: )()()()()()( xhxgxhxfxgxf
Dxh(x)xhxgxhxfxgxf moïi vôùi neáu 0)()()()()()(
Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi
dấu của nó thì ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
* Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta
được phương trình tương đương.
Ví dụ 1:
3. Phƣơng trình hệ quả
a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu
tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x). Khi đó ta viết: f(x)=g(x)
f1(x)=g1(x)
b) Phép biến đổi cho phƣơng trình hệ quả :
Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả.
* Chú ý: Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương
trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các
nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1: Giải phương trình 2
2 2 3 7
2 2 4
x x x
x x x
(1)
Điều kiện pt(1) là x≠2 và x≠2
(1) (x+2)2+(x2)
2= 3x+7
Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)
2= 3x+7 (???)
Ví dụ 2:
a) |x2|=x+1 (x2)2=(x+1)
2
b) 1x =x x1= x
2.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x x (3)
Giải
Điều kiện x≥ 0. Bình phương hai vế phương trình (3)
x24x+4 = x x
25x+4=0 (3')
Phương trình (3') có nghiệm x=1 hoặc x=4
Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm của (3) và x=4 là
nghiệm. Vậy pt(3) có ngiệm duy nhất x=4.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Tìm điều kiện của các phương trình
a) 2
23
4
xx
x
b)
41
2
xx
x
c) 1
2 1xx
d) 2
2
23 1
2 1
xx x
x
e) 2
1 3
x
x x
f)
2
2 31
4
xx
x
Đáp số
a) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Không có giá trị x thỏa c) x≥1/2 và x≠0 d) x Re) x>1
f) x≥1 và x≠2
2/ Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm
-48-
a) 3 1
32
xx
x
b) 4 3 4x x x
3) Giải các phương trình sau
a) 1 3 1x x x b) 5 2 5x x x
c) 2 1 3
3 3
x x
x x
d)
22 8
1 1
x
x x
ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm d) x=2
4) Giải các phương trình sau
a) 1 1 2x x x b) 3 3 3x x x
c) 2 2 3 4x x x d) 2 1 4 1x x x
e) 23 1 4
1 1
x
x x
f)
2 3 44
4
x xx
x
g) 23 2
3 23 2
x xx
x
h)
24 32 3
1 1
xx
x x
Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2
e) VNo f) x=0 và x=2 g) x=4/3 h) x=2
5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) và ax
2(2a+1)x+a=0 (2)
Tìm a để (1) tương đương (2)
HD
Giả sử (1)(2) thì x= 1 của (1) là nghiệm của 2. Thế x=1 và (2) ta tìm được a=1/4.
Khi a=1/4 thế vào (2) (x+1)2=0
Vậy (1) (2)
6) Tìm m để các cặp pt sau tương đương
a) x+2=0 và 3 1 03
mxm
x
b) x29=0 và 2x
2+(m5)x3(m+1)=0
c) 3x2=0 và (m+3)xm+4
d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m
2x+2=0
Đáp số: a) m=1 b) m=5 c) m=18 d) m=1
BÀI TẬP (Đại cƣơng về phƣơng trình)
1/ Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nĩ
) )3 2 2 6
3) 3 ) 1
3
a x x b x x x
xc x x d x x x
x
2/ Giải các phương trình sau
) 1 2 1 ) 1 0,5 1
3 2) )
2 5 5 2 5 5
a x x x b x x x
x xc d
x x x x
3/ Giải các phương trình sau
1
12
1
1)
x
x
xxa
2
32
2
1)
x
x
xxb
03)23() 2 xxxc 01)2() 2 xxxd
-49-
4/ Giải các phương trình sau bằng cch bình phương hai vế
12|2|)2|1|2)
31)293)
xxdxxc
xxbxxa
5/ Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện
a) 4 x - 2 = x - x b) 3 2x = 2 x + 2 2
6/ Giải các phương trình sau :
a/ 1x = x1 b/ x + 3x = 3 + 3x
c/ 4x + 1 = x4 d/ x + x = x 2
e/ 2x
2x
=
2x
1
f/
1x
3
=
1x
2x
g/
3x
1x
=
x3
2
7/ Giải các phương trình sau :
a/ x + 2x
1
=
2x
1x
b/ 1x (x
2 x 6) = 0
c/ 1x
2xx 2
= 0 d/ 1 +
3x
1
=
3x
x27
e/
2x
9x 2
=
2x
3x
8/ Giải các phương trình :
a/ x 1 = x + 2 b/ x + 2 = x 3 c/ 2 x 3 = x + 1
d/ x 3 = 3x 1 e/ x
x1 =
x
x1 f/
2x
x
=
2x
x
g/ x
1x =
x
1x h/
3x
2x
=
3x
x2
BÀI TẬP THÊM Bài 1: Giải các phương trình sau
a) x = x
b) 3x = 3 x +1
c) x+ 2x = 2+ 2- x
d) x+ 2x = 1+ 2x
e) 1
3
1
xx
x
f) 1
1
1
xx
x.
Bài 2: giải các phương trình sau
a) 1
12
1
1
x
x
xx
b) 2
32
2
1
x
x
xx
c) 3x (x2-3x+2) = 0
d) 1x (x2-x-2) = 0
e) 22
1
2
x
xx
x
f) 11
3
1
42
x
x
x
x
x .
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) 12 xx
b) 21 xx
c) 212 xx
d) 122 xx
-50-
e) 3 9 2x x f) 1 3x x
Bài 4: Giải các phương trình sau
a) 11
x
x
x
x
b) 1
2
1
2
x
x
x
x
c) x
x
x
x
22
d) 2
1
2
1
x
x
x
x .
-51-
§2 PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,
BẬC HAI I. Phƣơng trình bậc nhất, phƣơng trình bậc hai
1. Phƣơng trình bậc nhất Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0
a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x= b
a
a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm
a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x (vô số nghiệm)
* Chú ý:
+ Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương
trình về dạng ax+b = 0 .
+ khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b .
+ Khi a 0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc
nhất một ẩn.
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1)
Giải
Phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m – 2 (1a)
Ta xét các trường hợp sau đây :
+ Khi (m-1) ≠ 0 m ≠ 1 nên phương trình (1a) có nghiệm duy nhất
x = 2 2
1
m m
m
= m – 2 ;nên pt(1) có nghiệm duy nhất
+) Khi (m – 1) = 0 m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm
đúng với mọi x R; nên pt(1) đúng với mọi x R.
Kết luận : m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2})
m = 1 : đúng x R (Tập nghiệm là S = R)
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2)
Giải
Ta có (2) mx-m = 2x+1 (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0)
Biện luận:
+ nếu m-2 0 m 2 thì (2a) có nghiệm duy nhất 2
1
m
mx
+ nếu m-2= 0 m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô
nghiệm.
Kết luận:
m 2 thì (2) có nghiệm 2
1
m
mx
m=2 thì (2) vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3)
Giải
Ta có: (3) m2x-x = 2m-2 (m
2-1)x = 2(m-1) (3a)
Biện luận:
+ Nếu m2-1 0 m 1 thì (3a) có nghiệm duy nhất
1
2
1
)1(22
mm
mx ; nên (3) có nghiệm duy nhất.
-52-
+ Nếu m2-1=0 m= 1
- với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi xR (phương
trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm.
- với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm.
Kết luận:
+ m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm duy nhất 1
2
mx
+ m =1 thì (3) có vô số nghiệm
+ m= -1 thì (3) vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :
(*)11
3
x
mmx
Giải Với x -1 thì (*) mx-m-3 = x+1
(m-1)x = m+4 (**)
Biện luận (**) với x -1
+ Nếu m 1 thì (**) có nghiệm 2
31
1
41
1
4
m
m
m
m
mx
+ Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm
Kết luận :
m 1 và m2
3 thì (*) có nghiệm x=
1
4
m
m
2
3
1
m thì (*) vô nghiệm
Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m:
231 mxmx (1)
Giải
Ta có (1)
(3) 2m--3x1mx
(2) 231 mxmx
+ giải và biện luận (2)
(2) (m-3)x= m-3
. nếu m 3 thì (2) có nghịêm x=1
. nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) có vô số nghiệm
+ giải và biện luận (3)
(3)(m-3)x=-m+3
. nếu m -3 thì (3) có nghiệm x=3
1
m
m
. nếu m = -3 thì (3) 0x=4, vô nghiệm
Kết luận:
- với m 3 và m -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 =3
1
m
m
- với m=3: (1) có vô số nghiệm
- với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) )
2. Phƣơng trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai) Giải và biện luận phương trình dạng ax
2+bx+c = 0
a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0
-53-
a ≠ 0 . Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’
2-ac)
Nếu > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt
x = 2
b
a
v x =
2
b
a
Nếu = 0 : phương trình có nghiệm kép : x = 2
b
a
Nếu < 0 : phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0
Giải Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học. Biện luận:
. Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x=2
1
. Nếu m 0 , tính ' = m+1, khi đó :
+ nếu ' < 0 m < -1 pt vô nghiệm
+ nếu ' = 0 m = -1 pt trình có nghiệm kép x1=x2 = 0
+ nếu ' > 0 m > -1 pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = m
mm 11
* Kết luận:
Ví dụ 2: Định m để phương trình
mx2-2(m-2)x+m-3 = 0 có nghiệm
3. Định lí Viét
Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích
(P) của hai nghiệm đó là:
S = x1+x2 = a
b P = x1.x1 =
a
c
Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-
Sx+P = 0.
Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x2-19x+84 = 0 ,pt này có hai
nghiệm
12
7
2
1
x
xhoặc
12
7
2
1
x
x vậy hai số cần tìm là 7 và 12.
* Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm là S
24P . Đây cũng là điều
kiện để tồn tại hai số có tổng là S, tích P.
* Ứng dụng
PSxxxxxx 22)( 2
21
2
21
2
2
2
1
P
S
xx
21
11
PSSxxxxxxxx 3)(3)( 3
2121
3
21
3
2
3
1
4 4
1 2x x 2
2 2 2 2
1 2 1 22x x x x =(S22P)
22P
2
Ví dụ 1: Cho phương trình x24x+m1= 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm 2 2
1 2x x =10.
Điều kiện pt có nghiệm '≥0 5m≥0 m≤5
S22P = 10 m =4.
-54-
Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức
403
2
3
1 xx
Giải
Phương trình có nghiệm ' 0 5m
Theo giả thiết 403
2
3
1 xx S3-3PS=40 64-12(m-1)=40 m= 4 (nhận)
* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai
Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:
x1< 0 < x2 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)
x1x2 < 0
0
0
0
S
P
( hai cùng âm)
0 < x1x2
0
0
0
S
P
(hai cùng dương)
Ví duï: cho phöông trình
x2+5x+3m-1 = 0 (1)
a) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu.
b) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät.
Giaûi
a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu
P < 0 0130 ma
c m <
3
1
b) ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät
0
0
0
S
P
05
041225
013
m
m
12
29
3
1
m
m
3
1
12
29 m vaäy khi
3
1
12
29 m thì pt(1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät.
II. Phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc nhất, bậc hai
1. Phương trình trùng phương
Phương trình dạng ax4 + bx
2 + c =0
Cách giải:
+ đặt t=x2, đk: t≥ 0.
+ Giải phương trình: at2 + bt + c=0
+ kết hợp điều kiện x
Ví dụ: Giải phương trình x48x
29 = 0
Ñaët y = x2 , y 0. Khi ñoù:
(*) y2-8y-9 = 0
9y
(loaïi) -1y vôùi y = 9 x
2 = 9 x = 3 .
Ví duï 2: Cho phöông trình x4+(1-2m)x
2+m
2-1 = 0. Ñònh m ñeå :
a) Phöông trình voâ nghieäm.
b) Phöông trình coù ñuùng moät nghieäm.
c) Phöông trình coù ñuùng 2 nghieäm phaân bieät.
d) Phöông trình coù ñuùng 3 nghieäm phaân bieät.
e) Phöông trình coù ñuùng 4 nghieäm phaân bieät.
-55-
2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối.
Các dạng cơ bản
Dạng 1: |f(x)| = c (với c R)
Nếu c<0 phương trình vô nghiệm
Nếu v≥0 thì |f(x)| = c ( )
( )
f x c
f x c
Ví dụ: a) 3 5 3 x b) 3 5 x
Dạng 2: |f( x )|= |g( x )|. Sử dụng phép biến đổi tương đương
Cách 1: |f( x )|= |g( x )| ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
Cách 2: |f( x )|= |g( x )| [f(x)]2 = [g(x)]
2 (bình phương hai vế)
Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x2|
Giải
Cách 1: |2x+5|=|3x2|
72 5 3 2
32 5 (3 2)
5
xx x
x x x
Vậy pt đã cho có hai nghiệm x=7 và x= 3/5
Dạng 3: |f( x )|= g( x )
Cách 1: : dùng phép biến đổi tương đương
|f( x )|= g( x ) 2 2
( ) 0( ) 0
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
g xg x
f x g xf x g x
f x g x
Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối
+ Nếu f( x )≥0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x )
+ Nếu f( x )<0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x ).
Ví dụ 1: Giải phương trình | x3|= 2 x +1
| x3|= 2 x +1
2 2
1
2
4 (loai)3 2 1
( 3) (2 1) 23 2 1 (nhan)
3
x
xx x
x xx x x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
3
Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = 0 (1)
Giải
* Nếu x-1 0 x 1 thì :
(1) x2-5x+5-1 = 0
(nhaän) 4x
(nhaän) 1x(I)
* Nếu x-1 < 0 x < 1 thì:
(1) x2+5x-6 = 0
(nhaän) -6x
(loaïi) 1x(II)
S = (I) (II) = { -6;1;4 }.
Chú ý: Đưa phương trình về dạng cơ bản
-56-
3. Phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu căn (phƣơng trình vô tỉ)
Cách giải:
- Bình phương hai vế + đặt điều kiện để làm mất căn
- Đặt ẩn phụ
Các dạng cơ bản
Dạng 1: ( ) ( )f x g x , ta sử dụng phép biến đổi tương đương
( ) 0
( ) ( )( ) ( )
f xf x g x
f x g x
(có thể chọn điều kiện g(x)≥0)
Ví dụ:
Dạng 2: ( ) ( )f x g x , ta sử dụng phép biến đổi tương đương
2
( ) 0( ) ( )
( ) ( )
g xf x g x
f x g x
Ví dụ: Giải phương trình 2 7 4x x
472 xx
0910
4
)4(72
04
22 xx
x
xx
x
9-x
(loaïi) 1
4
x
x
vậy nghiệm của phương trình là x = 9.
Dạng 3: ( )f x c ( c )
Nếu c<0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu c≥0 thì ( )f x c f(x) = c2
Ví dụ: Giải phương trình 3 5 3x
Dạng 4: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0f x g x f x g x
* Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ bản (nếu được)
BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C3
1/ Giải các phương trình
a/ x4 4x
2 + 3 = 0 b/ x
4 + 10x
2 9 = 0
c/ x4 3x
2 4 = 0 d/ x
4 x
2 12 = 0
e/ x4 x
2 + 3 = 0 f/ (1 x
2)(1 + x
2) + 3 = 0
2/ Giải và biện luận các phương trình sau
a) (m+2)(x-2) + 4 = m2
b) (x+2)(m+3) + 9 = m2
c) (1-m3)x+1+ m + m
2 = 0
d) (m+1)x + m2-2m + 2 = (1-m
2)x -x
e) x+(m-1)2 -2mx = (1-m)
2 + mx
f) x +m2x+2 = m + 4
3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m
2 - 4m +3 = 0 , định m để :
a) Phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Phương có nghiệm duy nhất x = 2.
c) Phương trình vô nghiệm.
d) Phương trình có vô số nghiệm.
-57-
4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m
2x ,định m để :
a) Phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Phương trình có vô số nghiệm.
c) Phương trình vô nghiệm.
5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để :
a) Phương trình vô nghiệm.
b) Phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Phương trình có vô số nghiệm.
6/ Tìm hai số có:
a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24
c) Tổng là -10, tích là 16.
7/ Cho phương trình x2+(2m3)x+m
22m=0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm
các nghiệm trong trường hợp đó.
Đáp số: a) m<9/4; b) m=2; 1,2
7 7
2x
8/ Cho phương trình mx2+(m
23)x+m = 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
1 2
13
4x x
Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4
(câu b khi tìm m xong thế vào kiểm tra lại)
9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m
2-2m = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phương trình vô nghiệm.
c) Xác định m để phương trình kép.
d) Với giá trị của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các
nghiệm trong trường hợp đó.
Đáp số: a) m<4
9 b) m>
4
9 c) m=
4
9 d) m= -2;
2
1772,1
x
10/ Cho phương trình mx2+(m
2-3)x+m = 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
3
1421 xx .
Đáp số: a) m=1 hoặc m= -3 x= 1; m= -1 hoặc m=3 x= -1
11/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m
2 -3m + 4 = 0 (x
2 – 2(m – 1)x - 4m + 8 = 0)
a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho:
i) x1 + x2 = 4 ii) x1. x2 = 8
Tính các nghiệm trong mỗi trường hợp đó.
12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = 0
a. CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
c. Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt
13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số)
-58-
a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia.
c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 . (ĐS: m = 1)
14/ a. Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có
hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 102
2
2
1 xx (ĐS: m = -3)
b. Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai
nghiệm x1 và x2 sao cho: 2 2
1 2 1 2 4x x x x (ĐS: m = 2 v m = ¼)
c. Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai
nghiệm x1 và x2 sao cho: 3 3
1 2 9x x (ĐS: m = 4)
15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: x1 = 3x2 :
a. x2 - 2(m –2)x + 4m + 8 = 0 (ĐS: m = 10 v m = -2/3)
b. mx2 - 2(m + 3)x + m - 2 = 0 (ĐS: m = -1 v m = 27)
16/ Giải các phương trình sau
a) |2x3|= x5 b) |2x+5| = |3x2| c) |4x+1| = x2 + 2x4
d) |x3|=|2x1| e) |3x+2|=x+1 f) |3x5|= 2x2+x3
g)* | 3 1|
| 3 |2
xx
x
h)*
| 5 2 || 2 |
3
xx
x
Đáp số:a) Vô nghiệm b) x=7; x=3/5 c)) 1 6; 3 2 3x x
d) x=2; 4/3 e) x= 1/2;3/4 f) x= 1 5
g) x= 5; x=1; x= 2 2 1 h) 2 6; 3 17x
17/ Giải các phương trình sau
a) 3x - 4 = x + 2 b) x + 3 = x2 – 4x +3
c) 5x + 1 = 2x - 3 d) x2 - 4x - 5 = 2x
2 – 3x -5
e) x2 + 2 x - 3 = 0 f) x
2 -3 x - 2 + 2 = 0
g) 3
165242
xxx h)
3
15122
xxx
k) x
x
x
x 2
1
3
l)
xx
x
xx
x
2
12
1
11
m) x + 1 + x - 2 = 3
18/ Giải các phương trình sau
a) 2 4 9 5x x b) 2 7 10 3 1x x x c) 2 3 3x x
d) 3 4 3x x e) 21 2 3 2x x x f) 22 3 7 2x x x
g) 23 4 4 2 5x x x
Đáp số: a) 6 2
2x
b) x=1 c) Vô nghiệm
d) x= (9 29) / 2 e) (1 7) / 2 f) Vô nghiệm
g) x= 1; 3
19/ Giải các phương trình sau :
a/ 3x + 4 = x 2 b/ 3x2 2 = 6 x
2
c/ 3x 1 = 2x + 3 d/ x2 2x = 2x
2 x 2
e/ x2 2x = x
2 5x + 6 f/ x + 3 = 2x + 1
g/ x 2 = 3x2 x 2 h/ x
2 5x + 4 = x + 4
i/ 2x2 3x 5 = 5x + 5 j/ x
2 4x + 5 = 4x 17
20/ Giải các phương trình chứa căn thức :
-59-
a/ 1x9x3 2 = x 2 b/ 2x3x2 = 2(x 1)
c/ 2x3 = 2x 1 d/ 7x2 = x 4
e/ 1x3x2 = 2x 7 f/ 2 2x1 = x 2
g/ 2xx64 = x + 4 h/ 8x2 = 3x + 4
i/ x41 9 = 3x j/ x 5x2 = 4
21/ Giải các phương trình sau
a) 1133 xx b. xx 8105
c) 452 xx d. 2542 2 xxx
e) 4652 2 xxx f) 52443 2 xxx
g) 583 xx h) 265123 xx
k) 093 22 xxxx l) 641282 22 xxxx
22/ Giải các phương trình :
a/ 2x3x2 = x2 3x 4 b/ x
2 6x + 9 = 4 6x6x2
c/ 4 1x7x2 = x2 + 7x + 4 d/ x
2 + x + 1xx2 = 4
e/ x2 + xx2 9 = x + 3 f/ 7x12x6 2 = x
2 2x
g/ x2 + 11 = 7 1x2
h/ x2 4x 6 = 12x8x2 2
i/ (x + 1)(x + 4) = 3 2x5x2
j/ x2 3x 13 = 7x3x2
23/ Giải và biện luận các phương trình sau
a) |4x-3m|=2x+m b) |3x-m| = |2x+m+1|
c) 2)12(1
)13(2)3(
xm
x
mxm d) |3x+2m| = x-m
e) |2x+m| = |x-2m+2| f) mx2+(2m-1)x+m-2 = 0
g) 112
24
m
x
x
PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN
1/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a/ 2mx + 3 = m x b/ (m 1)(x + 2) + 1 = m2
c/ (m2 1)x = m
3 + 1 d/ (m
2 + m)x = m
2 1
e/ m2x + 3mx + 1 = m
2 2x f/ m
2(x + 1) = x + m
g/ (2m2 + 3)x 4m = x + 1 h/ m
2(1 x) = x + 3m
i/ m2(x 1) + 3mx = (m
2 + 3)x 1
j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2
2/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a, b :
a/ (a 2)(x 1) = a2
b/ a(x + 2) = a(a + x + 1)
c/ ax + b3 = bx + a
3 d/ a(ax + 2b
2) a
2 = b
2(x + a)
7. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a/ 2x
1mmx
= 3 b/ (m 2)
1x
)4m(2
= 0
-60-
c/ 1x
2
= m d/
1x
m
=
2x
m1
e/ 1x
mx
+
mx
1x
= 2 f/
1x
mx
+
x
3x = 2
g/ 1x
mx
=
1x
2x
h/
mx
2mmx
= 2
i/ 1x
mx
=
2x
3x
j/
2x
mx
+
x
3x = 2
3/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
a/ x + m = x m + 2 b/ x m = x + 1
c/ mx + 1 = x 1 d/ 1 mx = x + m
4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a/ m(2x 1) + 5 + x = 0
b/ m2x 2m
2x = m
5 + 3m
4 1 + 8mx
c/ mx
2x
=
1x
1x
5/ Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.
a/ m2(x 1) + 2mx = 3(m + x) 4
b/ (m2 m)x = 12(x + 2) + m
2 10
c/ (m + 1)2x + 1 m = (7m 5)x
d/ 1x
mx
+
x
2x = 2
6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R
a/ m2(x 1) 4mx = 5m + 4
b/ 3m2(x 1) 2mx = 5x 11m + 10
c/ m2x = 9x + m
2 4m + 3
d/ m3x = mx + m
2 m
PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 :
a/ x2 (2m + 1)x + m = 0
b/ mx2 2(m + 3)x + m + 1 = 0
c/ (m 1)x2 + (2 m)x 1 = 0
d/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0
e/ (m 3)x2 2mx + m 6 = 0
f/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m 5 = 0
g/ (4m 1)x2 4mx + m 3 = 0
h/ (m2 1)x
2 2(m 2)x + 1 = 0
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
a/ x2 2mx + m
2 2m + 1 = 0
b/ x2 2(m 3)x + m + 3 = 0
c/ mx2 (2m + 1)x + m 5 = 0
d/ (m 3)x2 + 2(3 m)x + m + 1 = 0
e/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0
f/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
g/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0
h/ (3 m)x2 2mx + 2 m = 0
3. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
a/ x2 (2m + 3)x + m
2 = 0
b/ (m 1)x2 2mx + m 2 = 0
c/ (2 m)x2 2(m + 1)x + 4 m = 0
-61-
d/ mx2 2(m 1)x + m + 1 = 0
e/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0
f/ (m 1)x2 3(m 1)x + 2m = 0
g/ (m + 2)x2 + 2(3m 2)x + m + 2 = 0
h/ (2m 1)x2 + (3 + 2m)x + m 8 = 0
4. Tìm m để phương trình có nghiệm.
a/ x2 (m + 2)x + m + 2 = 0
b/ x2 + 2(m + 1)x + m
2 4m + 1 = 0
c/ (2 m)x2 + (m 2)x + m + 1 = 0
d/ (m + 1)x2 2(m 3)x + m + 6 = 0
5. Định m để phương trình có 1 nghiệm.
a/ x2 (m 1)x + 4 = 0
b/ x2 2(m 1)x + m
2 3m + 4 = 0
c/ (3 m)x2 + 2(m + 1)x + 5 m = 0
d/ (m + 2)x2 (4 + m)x + 6m + 2 = 0
B. ĐỊNH LÝ VIÉT
1. Định m để phương trình có 1 nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại.
a/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0 ; x1 = 3
b/ mx2 (m + 2)x + m 1 = 0 ; x1 = 2
c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x1 = 2
d/ (4 m)x2 + mx + 1 m = 0 ; x1 = 1
e/ (2m 1)x2 4x + 4m 3 = 0 ; x1 = 1
f/ (m 4)x2 + x + m
2 4m + 1 = 0 ; x1 = 1
g/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 ; x1 = 2
h/ x2 2(m 1)x + m
2 3m = 0 ; x1 = 0
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện :
a/ x2 + (m 1)x + m + 6 = 0 đk : x1
2 + x2
2 = 10
b/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 đk : x1
2 + x2
2 = 2
c/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2
d/ x2 2(m 1)x + m
2 3m + 4 = 0 đk : x1
2 + x2
2 = 20
e/ x2 (m 2)x + m(m 3) = 0 đk : x1 + 2x2 = 1
f/ x2 (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 đk : x1 = 2x2
g/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0 đk :
1x
1 +
2x
1 = 3
h/ x2 4x + m + 3 = 0 đk : x1 x2 = 2
3. Tìm hệ thức độc lập đối với m :
a/ mx2 (2m 1)x + m + 2 = 0
b/ (m + 2)x2 2(4m 1)x 2m + 5 = 0
c/ (m + 2)x2 (2m + 1)x +
4
m3 = 0
d/ 3(m 1)x2 4mx 2m + 1 = 0
e/ mx2 + (m + 4)x + m 1 = 0
f/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 4 = 0
C. DẤU CÁC NGHIỆM SỐ
1. Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
a/ x2 + 5x + 3m 1 = 0
b/ mx2 2(m 2)x + m 3 = 0
c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
d/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
e/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
-62-
2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
a/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0
b/ x2 + 5x + 3m 1 = 0
c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0
d/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m = 0
e/ x2 + 2x + m + 3 = 0
3. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.
a/ mx2 2(m 2)x + m 3 = 0 b/ x
2 6x + m 2 = 0
c/ x2 2x + m 1 = 0 d/ 3x
2 10x 3m + 1 = 0
e/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0
4. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
a/ (m 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0
b/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 1 = 0
c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0
d/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0
e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
Bài toán lập phương trình:
1. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình
phương sồ tuổi của em cách đây 5 năm . (ĐS: 9 tuổi)
2. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của
anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay? (ĐS: 8 tuổi) 3. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ
hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. (ĐS: 12m ; 35m ; 37m) 4. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài
hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm)
5. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều
rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi
kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m)
6. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất
mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của
miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m)
7. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai
cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m)
8. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam
giác lần lượt bằng 120m và 480m2 . (ĐS: 20m ; 48m ; 52m)
-63-
PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1/ Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn Dạng : cbyax
+ Trong đó x, y gọi là ẩn số ; a, b, c R a và b là hệ số và a2+b
2 0 ; c gọi là hằng số của phương trình
+ Nếu tồn tại cặp số thực x0, y0 sao cho ax0 + by0 = c thì (x0, y0) gọi là một nghiệm của phương trình
*Giải và biện luận phƣơng trình cbyax do a,b không đồng thời bằng không nên có 3 trường hợp:
a) a 0 và b 0 :
Ta có : b
axcy
(x R) hoặc
a
bycx
(y R)
Vậy nghiệm của phương trình là :
b
axcy
Rx hoặc
Rya
bycx
b) a = 0 và b 0 : phương trình có dạng cbyx .0
Vậy nghiệm của phương trình là :
b
cy
Rx
c) a 0 và b = 0 : phương trình có dạng : cyax .0
Vậy nghiệm của phương trình là :
Rya
cx
Vậy phương trình ax+by=c có vô số nghiệm.
* Chú ý:
Nếu a = b = 0 thì phương trình có dạng 0x+0y = c, khi đó:
+ nếu c 0 phương trình vô nghiệm.
+ nếu c = 0 phương trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn (CB không giải và biện luận) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng :
(6)
(5)
cybxa
cbyax
Trong đó : x , y gọi là ẩn số . a và b ; a/ và b
/ không
đồng thời bằng 0 .
Nếu tồn tại cặp số thực (x0 , y0) nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình trong hệ trên thì (x0 , y0) được
gọi là nghiệm của hệ phương trình.
Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó.
Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả cũng tương tự như ở phương trình.
* Giải và biện luận hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn số :
Cho hệ phương trình :
cybxa
cbyax với a và b ; a
/ và b
/ không đồng thời bằng 0
Lập các biểu thức : D = ba
ba
= ab
/ - a
/b Dx =
bc
bc
= cb
/ - c
/b Dy =
ca
ca
= ac
/ - a
/c
Nếu D 0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với :
D
Dx x và
D
Dy
y
Nếu D = 0 : + Nếu Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Nếu Dx = Dy = 0 thì tập nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của phương trình bậc nhất ax + by = c.
* Chú ý 1 : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy được gọi là công thức Cramer
* Chú ý 2 : Trường hợp = a/ = b = b
/ = 0 .
Hệ phương trình có dạng :
cyx
cyx
00
00
-64-
+ Nếu c = c/ = 0 thì hệ phương trình có nghiệm với mọi x , y tùy ý
+ Nếu c 0 hoặc c/ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
* Chú ý 1:
(5) cắt (6) D≠0
(5) //(6) D=0 và Dx≠0 (hoặc Dy≠0)
(5) trùng (6) D=Dx =Dy=0
* Chú ý 2: Nếu a=b=0 hoặc a'=b'=0 thì ta có các hệ phương trình đặc biệt :
'00 cyx
c0y0x V
c'0y0x
cbyax V
c'yb'xa'
c0y0x
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
247
1332
yx
yx
Giải
Ta có 029)21(84 7
3- 2D
584 2
3- 13Dx 87
2 7
13 2Dy
vậy hệ có nghiệm duy nhất:
329
87
229
58
D
Dyy
D
Dxx
Ví dụ 2: giải và biện luận hệ phương trình sau:
2
1
myx
mymx
Giải
Ta tính: D, Dx, D )1)(1(1m 1
1 m2 mmmD
)2)(1(2m 2
1 1m2
mmmmDx
12 1
1m m
mDy
Biện luận:
+ Nếu D 0 m -1 và m 1. Hệ có nghiệm duy nhất với:
1
1
)1)(1(
1
1
2
)1)(1(
)2)(1(
mmm
my
m
m
mm
mmx
+ Nếu D= 0 m=-1 hoặc m=1
. với m=-1 => Dx=-2 0 => hệ vô nghiệm
. với m=1 => Dx=Dy = 0 => hệ có vô số nghiệm với
2
x
y x
hoặc
2
y
x y
Kết luận: + Với m 1 hệ có nghiệm duy nhất 2 1
;1 1
mx y
m m
+ Với m= 1 hệ vô nghiệm
-65-
+ Với m=1 hệ có vô số nghiệm, tính theo công thức2
x
y x
-66-
3. Hệ phƣơng trình bậc nhất 3 ẩn * Phương trình bậc nhất 3 ẩn là phương trình có dạng ax+by+cz=d, trong đó x, y, z là 3 ẩn; a, b, c, d là
các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.
* Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x+b y+c =d
a x+b y+c =d
a x+b y+c =d
Mỗi bộ (x0;y0;z0) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của
hệ.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
a)
2 3 4
3 2 3 9
4 5 8 15
x y z
x y z
x y z
Đáp án: x=2; y=3; z=1
b)
2 2 4
4 3 3 4
6 5 4 4
x y z
x y z
x y z
Đáp án: x=1; y=2; z=2
BÀI TẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH
1/ Giải các hệ phương trình sau:
a.
1838
1925
yx
yx b.
222
3
3
2
132yx
yx
c.
13)2(7)2(2
11)2(4)2(522
22
yyxx
yyxx d.
21
23
81
12
yx
yx
e.
14415
1312
yx
yx f.
111522
71223
yx
yx
g.
121725
21523
yx
yx h/
3yx2
7y3x822
22
ĐS: a. (3;-2) b. (-6;12) c. (1; 1),(-3; 1) d.
4
3;
2
1
e. (1; 1),(-3; 1) f. VN g. (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0)
2/ Giải các hệ phương trình sau:
a.
2275
17423
0
zyx
zyx
zyx
b.
72
62
32
zyx
zyx
zyx
c.
333
733
432
zyx
zyx
zyx
d.
233
63
22
zyx
zyx
zyx
ĐS: a. (1;3;2) b. (-1;2;3) c. vn d. (x,y,z) tùy ý
3/ Tìm a và b để hệ phương trình
aybx
abyax
942
26 có nghiệm (-3; 2)
-67-
4/ Giải và biện luận các hệ phương trình sau :
a/
1m2ymx
m3myx b/
1mmyx)1m(
m2myx)2m(
c/
1mymx2
2myx)1m( d/
my)1m(x3
2y)1m(x)1m(
e/
myx2
1my2mx f/
mymx
1mymx
g/
1m3y)3m(mx
m4y8x)1m( h/
mmyx
2mymx
i/
01myx
1ymx j/
3m2my3mx
1myx
5/ Giải và biện luận hệ phương trình.
a/
1baybx
1abyax b/
ab2aybx
babyax 22
c/
2
2
bybx
ayax d/
b4ybbx
babyax2
2
7/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
a/
2myx
1mymx b/
7m3mymx2
05my)5m(mx
c/
1m3y)3m(mx
m4y8x)1m( d/
2myx)1m(
3y)m2(mx6
8/ Định m để hệ phương trình vô nghiệm.
a/
02y2)yx(m
3y)1m(3xm2 2
b/
1m3y)1m(x)3m3(
m2myx)1m(
c/
y6x)1m(
3m2y4mx d/
1myx)1m(3
1my2x3
9/ Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
a/
4myx2
my2mx 2
b/
3my2x)6m(
m1myx4
c/
3y3mx
3myx3 d/
4m2my2x)1m(
2mmyx2
10/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
a/
m2myxm
1my2x)1m(22
b/
01m2myx
03ymx
-68-
c/
1myx)1m(
2my2mx22
d/
mymx
2yx
11/ Định m để hệ
2 4
(2 3 3
x y m
x y m
có nghiệm (x, y) thoả x
2 +y
2 nhỏ nhất
Bài toán lập hệ phương trình:
1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được
thương bằng 5 và số dư bằng 2.
2. Số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Nếu số công nhân ở xí nghiệp I tăng 80
người và số công nhân ở xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân mới ở hai xí nghiệp tỉ lệ
với 3 và 4. Hỏi số công nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp?
3. Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta
được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại.
4. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I
mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4
dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ
mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc?
BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m . Khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y),
tìm hệ thức giữa x và y độc lập với m.
a)
02
21
myx
ymx := DD m2 1 ; := Dx m 2 ; := Dy 2 m 1
b)
mmyx
ymmx 2)2( := DD m2 m 2 ; := Dx m2
; := Dy m2 2
c)
224
44
mymx
myx := DD 16 m2
; := Dx 16 2 m2 3 m ; := Dy 4 m 12
d)
1)1(2
22)1(
mymmx
myxm := DD 3 m2 2 m 1 ; := Dx 2 2 m2
; := Dy m2 2 m 1
{ },x2 ( )m 1
3 m 1y
m 1
3 m 1
e)
64
03
myx
ymx := DD m2 4 ; := Dx 3 m 6 ; := Dy 6 m 12 ; { },y
6
m 2x
3
m 2
f)
012)62(
044
myxm
mmyx := DD 4 2 m2 6 m ; := Dx 2 m 4 2 m2
:= Dy 10 m 28 2 m2
; { },xm 1
m 1y
m 7
m 1
g)
2
12
myx
ymx := DD m2 2 ; := Dx m 4 ; := Dy 2 m 1
-69-
h)
ymymx
ymx 012 := DD m2 m 2 ; := Dx m 1 ; := Dy m2 1 ; { },x
1
m 2y
m 1
m 2
i)
3)1(32
2)2(
2 ymxm
ymmx := DD 7 m2 3 m 2 m3
; := Dx 3 m ; := Dy 3 m 4 m2
{ },y 3 4 m
7 m 3 2 m2x
3
7 m 3 2 m2
j)
)21(524
432)2(
ymyx
yxyxm := DD 7 m 2 m2 22 ; := Dx 26 9 m 2 m2
; := Dy m2 4 m 12 ;
{ },x2 m 13
2 m 11y
m 6
2 m 11
k)
1)1(2
22)1(
mymmx
myxm := DD 3 m2 2 m 1 ; := Dx 2 2 m2
; := Dy m2 2 m 1
{ },x2 ( )m 1
3 m 1y
m 1
3 m 1
l)
2)1(
2)1(
ymx
myxm := DD m2
; := Dx 3 m m2
; := Dy 3 m
{ },x m 3
my
3
m
m)
)1(3)2(6
2)1(
mymmx
myxm := DD 5 m2 3 m 2 ; := Dx m 4 3 m2
; := Dy 6 m 3 m2 3
{ },x 3 m 4
5 m 2y
3 ( )m 1
5 m 2
n)
mmyx
ymmx
2
2)1(2 := DD m2 4 m 4 ; := Dx 4 m 2 m2
; := Dy m2 4
{ },ym 2
m 2x
2 m
m 2
o)
32)1(
0)1(
mmyxm
ymmx := DD 2 m 1 ; := Dx ( )2 m 3 ( )m 1 ; := Dy m ( )2 m 3
p) 2 (2 ) 4
(2 1) 2
m x m y m
mx m y m
:= DD 2 m3 2 m ; := Dx 3 m 3 m2
; := Dy m3 3 m2 4 m
{ },ym 4
2 ( )m 1x
3
2 ( )m 1
q)
22)(
3)1(32 2
yyxm
ymxm := DD 2 m3 7 m2 3 m ; := Dx 3 m ; := Dy 4 m2 3 m
{ },y4 m 3
2 m2 7 m 3x
3
2 m2 7 m 3
r)
2)1(
3)2(6
myxm
ymmx := DD 5 m2 3 m 2 ; := Dx m 4 ; := Dy 9 m 3
-70-
Bài 2 : Cho hệ phương trình
1)(
2)2(2
yyxm
ymxm := DD m3 2 m ; := Dx m ; := Dy m2 2 m
a) Định m để hệ phương trình có ngiệm duy nhất
b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm
c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: + Hệ có nghiệm duy nhất D0
+ Hệ vô nghiệm D=0 và Dx0 (hoặc Dy 0)
+ Hệ vô số nghiệm D=Dx=Dy =0
Bài 3 : Cho hệ phương trình
ymymmx
mymmx
)1(3
2)1(
:= DD 0 ; := Dx m2 3 m 2 ; := Dy m2 2 m
a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 4 : Cho hệ phương trình
22
8)1(3
myx
ymx
:= DD m 2 ; := Dx 6 m 2 ; := Dy 10
a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.
-71-
HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao)
1/ Dạng
hai pt baäc:(2)
nhaát pt baäc:(1)
*Cách giải : từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình
bậc hai.
Ví dụ: Giải hệ
(2) 42
(1) 84 22
yx
yx
Giải
Từ pt(2) => x = 4-2y thế vào pt(1) ta được (4-2y)2+4y
2 = 8
16-16y+4y2+4y
2= 0 8y
2-16y+8 = 0
y2-2y+1 = 0 y = 1 => x = 2
vậy nghiệm của hệ là (2;1). 2/ Hệ pt bậc hai đối xứng đối với x và y
*Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x và y là hệ mà mỗi phương trình
không thay đổi khi ta thay x = y và ngược lại.
Ví dụ :
2
422
xyyx
yxyx
*Cách giải: để giải hệ phương trình dạng này ta thực hiện:
- dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y
- sau khi tìm được S,P thì x,y là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0.
Ví dụ 1: giải hệ
28
4.
22 yx
yx (I)
Giải
(I)
282)(
4.
2 xyyx
yx(II)
Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta được hệ
282
4
2 PS
P
4P -6S
4P 6S
+ Với S = 6 ; P = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình x2-6x+4 = 0
53
53
2
1
x
x nghiệm của hệ là
)53;53(
)53;53(
+ Với S =-6 ; P = 4 thì x,y là nghiệm của phương trình x2+6x+4 = 0
53
53
2
1
x
x hệ có hai cặp nghiệm
Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ
31)(2
11
22 yxxyyx
yxyx
HD: hệ VN
Ví dụ 3:
Giải hệ
2
16422
yx
yx HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10)
Ví dụ 4:
-72-
Giải hệ
90.
9
yx
yx HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15)
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
2 2 2
2 2 2
8 x -xy 24) b)
2 4 2x-3y 1
3 2 3 6 0 ( ) 49) )
2 3 3 4 84
x ya
x y
x xy y x y x yc d
x y x y
Đáp số: a) (2;1) b) (-9;-19/3); (8;5) c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
2 2 2 2
2 2 2 2
11 4) )
2( ) 31 13
4 5) )
28 8
x xy y x ya b
x y xy x y x xy y
xy xy x yc d
x y x y x y
Đáp số: a) VNo b) (1;3); (3;1) c) (3 5;3 5);( 3 5; 3 5)
d) (1;2); (2;1)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
2 2
2 2
2 2
9 x y 164) b)
90 x-y 2
3 4) )
6 ( 1) ( 1) 2
x ya
xy
xy x y x y x yc d
x y x y xy x x y y y
Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d) ( 2; 2);(1;2);( 2; 1)
Bài 4. Giải các hệ phương trình :
a/
24xyx
1y3x22
b/
18)3y)(2x(
36y2x3
c/ 2 3 2
6 0
x y
xy x y
d/
5yx2
x4yx2
e/
7yxyx
5yx222
f/
4y2x
8y4x 22
Bài 5. Giải các hệ phương trình :
a/
53yx
5yx22
b/
26yx
5xy22
c/
61yx
1yx33
d/
2yx
13yxyx 22
e/
7xyyx
5xyyx22
f/
6yx
)2xy(2yx 22
Bài 6. Giải các hệ phương trình
a/
21xy
4yx b/
4yxyx
2yx22
-73-
c/ 2 3 2
6 0
x y
xy x y
d/
1yxxy
2yxyx 22
-74-
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
-75-
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
-76-
Chƣơng IV
BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1. Định nghĩa 1
Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ
hơn a)
a > b a-b > 0 (ba<0)
a b a-b 0 (ba≤0)
2. Định nghĩa 2:
Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" được gọi là các bất đẳng thức.
+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;
+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;
+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;
+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu
"a>b c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"
"a>b c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b" 3. Các tính chất
Rdcba ,,, ta có :
1) a > b a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)
a > b+ c ac > b (chuyển vế)
3) a > b ac bc
neáu c 0
ac bc neáu c 0 (nhân hai vế cùng 1 số)
4) dbcadc
ba
5) bdacdc
ba
0
0
6) Với n nguyên dương: a > b a2n+1
> b2n+1
a > b>0 a2n
> b2n
7) Nếu b>0 thì
a>b a b ;
a>b 3 3a b
8) cacb
ba
(bắc cầu)
9) a > b
0 ab neáu b
1
a
1
0ab neáu a
1
b
1
10) a > b > 0 an > b
n ( n N )
11) a > b > 0 nn ba ( n N )
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều
-77-
PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phƣơng pháp chung:
Một số hằng đảng thức:
(ab)2= a
2 2ab +b
2
(a+b+c)2= a
2+b
2+c
2+2ab+2ac+2bc
(ab)3= a
3 3a
2b+3ab
2 b
3
a2 b
2 = (ab)(a+b)
a3b
3= (ab)(a
2 +ab +b
2)
a3b
3= (a+b)(a
2 ab +b
2)
Ví dụ: Chứng minh rằng
a) Nếu a,b0 thì a+b ab2
b) Chứng minh a2+b
2-ab 0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
Giải
a) Cách 1: ta có a+b ab2 a+b- ab2 0
( ba )2 0 đúng với mọi a,b0. Dấu '=' xảy ra khi a = b
Cách 2: ta đã biết
( ba )2 0 0, ba
a+b- ab2 0 a+b ab2 đpcm.
b) Ta có: a2+b
2-ab = abbba 222
4
3
4
1 = (a- 2)
2
b + Rba, 0
4
3 2
b
dấu '=' xảy ra
0
0
04
3
02
2 b
a
b
ba
đpcm
4. Bất đẳng thức Côsi
a/ Định lý: Nếu a0, b0 thì abba
2 hay a+b ab2
Dấu '=' xảy ra a=b
b/ Các hệ quả:
b.1. Nế a0,b0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max a = b
b.2. Nếu a0,b0 có a.b = const thì a + b là min a = b
b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an 0 thì: nn
n aaaan
aaa....
...3.21
21
-78-
b.4. 1
2aa
, a > 0
* Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
c. Ví dụ:
Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng 2a
b
b
a
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 0, a
b
b
a ,ta có:
22.2 a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a => đpcm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì
(a+b)(ab+1) 4ab
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:
a+b2 ab (1)
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:
ab + 1 2 ab (2)
Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm
5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: |x| =
0x neáu x-
0x neáu x ;
Rba , ta có
baba , dấu '=' xảy ra a.b 0
baba , dấu '=' xảy ra khi a.b 0
baba a.b0
baba a.b 0
Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|
Giải
Ta có |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2 (a
2+c
2)(b
2+d
2)
))(( 2222 dbcacdab
Chứng minh:
Ta có (ab+cd)2 (a
2+c
2)(b
2+d
2)
a2b
2+c
2d
2+2abcd a
2b
2+a
2d
2+b
2c
2+c
2d
2
a2d
2+b
2c
2-2abcd 0
(ad-bc)20 đúng Rdcba ,,, => đpcm
Ví dụ 1: cho x2+y
2=1,chứng minh rằng
22 yx
Giải
Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có:
(1.x+1.y)2 (1
2+1
2)(x
2+y
2)
-79-
(x+y)22 22 yx
=> đpcm.
Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y
2
5
4
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 2 2 22 yxyz x z
HD: Đưa về hằng đẳng thức
2/ Chứng minh rằng: 1
1 1 , a 1a aa
Giải
2
2
2 2
2
2
2
1 11 1 1 1
1 1 1( 1) ( 1) 2 a 1 2 a 1 2 . Vì 2 0 nên
1 14(a 1) 2 0
a
a a a aa a
a a a aa a a
aa
ñuùng
Vậy 1
1 1 , a 1a aa đpcm
3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1
1x x
với 0<x<1
Vì 1
x>0,
1
1 x>0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:
y= 1
x+
1
1 x
1 1 12 . 2
1 (1 )x x x x
mà
(1 ) 1 1(1 )
2 (1 ) (1 )
2
x xx x
x x x x
vậy y= 1
x+
1
1 x
1 1 1 12 . 2 2 4
1 (1 )(1 )
2
x x x xx x
y= 1
x+
1
1 x 4. Dấu "=" xảy ra
1 11
12
(0;1)
xx x
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1
x+
1
1 x bằng 4 khi x =
1
2
BÀI TẬP
1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
a) 4 4 3 3y yx x y x
Giải
-80-
4 3 4 3 3 3
3 3 3 3
2 22 2 2 2
( ) 0 ( ) y ( ) 0
( ) y ( ) 0 ( )( y ) 0
3( ) ( y ) 0 ( ) 0 ú
2 4
a x x y y y x x x y y x
x x y x y x y x
y yx y x xy x y x ng
ñ
Vậy 4 4 3 3y yx x y x đpcm
b) 2 2 24y 3 14 2 12 6x z x y z
Giải 2 2 2
2 2 2
( ) 2 1 4y 2.2 .3 9 3 2. 3. . 3 3 1 0
( 1) (2 3) ( 3. 3) 1 0
b x x y z z
x y z
ñuùng
Vậy 2 2 24y 3 14 2 12 6x z x y z đpcm
c)* a b
a bb a
Giải
3 3
2
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 0
( )( ) 0
( )( 2 ) 0 ( )( ) 0
a ba a b bc a b a b
b a b a
a b a a b b b a a b
a b a a b b b a a b
a b a a b b b a
a b a a b b a b a b
đpcm
d) 1 1 4
a b a b
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: 2a b ab (1)
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 1 1 1 1 1
, : 2a b a b ab
(2)
Lấy (1) nhân (2) ta được: 1 1 1 1 4
( )( ) 4a ba b a b a b
. đpcm
e)* 4
4
a b c dabcd
(bđt Cô-si cho 4 số)
Giải
4
4
22( ) 2.2 4
2
4
a b aba b c d ab cd ab cd abcd
c d cd
a b c dabcd
f) 1 1 1 1 16
a b c d a b c d
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:
44a b c d abcd (1)
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương 1 1 1 1
, , ,a b c d
ta được;
41 1 1 1 1
4a b c d abcd (2)
-81-
Nhân (1) với (2) ta được: 1 1 1 1
( )( ) 16a b c da b c d
Vậy 1 1 1 1 16
a b c d a b c d
g) 2 1a 2b a
b
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b
h) ( )( )( ) 8a b b c c a abc
Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a.
i) 2
2 2( )a b a b ab
Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho ( )a b và 2 ab
j) 1 1 1 9
a b c a b c
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:
33a b c abcd (1)
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương 1 1 1
, ,a b c
ta được;
31 1 1 1
3a b c abc (2)
Nhân (1) với (2) ta được: 1 1 1
( )( ) 9a b ca b c
Vậy 1 1 1 9
a b c a b c
2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) Với x>3. Chứng minh 4
23
x
x
HD: 4 2 3x x Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3
b) Với 2 2y
14 9
x . Chứng minh |x.y|≤3
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 2
4
x,
2y
9
c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c 16abc
HD: b+c 2 bc (b+c)2 4bc (1)
a+(b+c) 2 ( )a b c 1 4a(b+c) (2)
lấy (1)x(2) ta được đpcm
d) Cho a, b, c, d 0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1
e) Cho a,b,c >0. CMR : 8)1)(1)(1( a
c
c
b
b
a
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,a b c
b c a
f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd.
HD:
g) Cho a,b,c > 0. CMR : 2b
ca abc
HD:
-82-
h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(cba
111 ) 9
HD:
k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(1 1
a b ) 4
HD:
l) Cho a,b,c > 0. CMR : 4
22
a bcab
c
HD: 4
2
2 22 2
a bc aab bc ab
c c
m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : 64)1
1)(1
1)(1
1( cba
HD:
n) Cho a > 1 . CMR : 2
1a
a
HD: bình phươn 2 vế
o) Cho a,b,c >0 . CMR : 1 1 1 1 1 1
a b c ab bc ac
3/ Chứng minh bất đẳng thức
a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 1 1
b a
b) 2 2 2a , a,b,cb c ab bc ca . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?
c) 2 2a 0, ,b ab a b . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?
d) (a+b+c)2 3(a
2+b
2+c
2) với mọi a,b,c .
e) a2b+ab
2 a
3+b
3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?
4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với 53 x . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) f(x)= 0x vôùi x
3x b) f(x)=
1
1
xx với x > 1
2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 9
1x x
với 0<x<1
Giải
4 9 4( 1 ) 9( 1 )
1 1
4(1 ) 9 4(1 ) 9 4 9 13 2 . 25
1 1
25 , x (0;1)
x x x xy
x x x x
x x x x
x x x x
y
Đẳng thức xảy ra
4(1 ) 96 5
12
(0;1)
x x
xx x
x
3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 x
4 với 0≤ x ≤ 4
Giải
-83-
12 3
27 32 12 2
0 4
x x
x xy x
x x
x
-84-
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC I. CMR
1. a2 – 3a + 3 > 0 , aR
2. a2 + b
2 2ab , a, bR a
2 +3a +3 > 0 aR
3. a2 + b
2 + 4 ab + 2(a +b) , a, bR
4. a2+ b
2 + c
2 + d
2 + e
2 a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR
5. 2
4
1
1 2
aa R
a
, . Suy ra
2 2
4 41
1 1
a b
a b
, a, bR
6. 2 2 2 2
3 3
a b c a b c
, a, b, cR
7. a3 + b
3 ab(a+b) , a, b 0
8. a3b + ab
3 a
4 + b
4 , a, bR
9. a4 + 16 2a
3 + 8a , aR
10. ( )( )a b c d ac bd , a, b, c, d > 0
11. a b
a bb a , a, b > 0
12. 2 2 3
2a ab b a b , a, bR
13. 1
1 1a aa , a 1
14. 2 2 2a b c
a b cb c a , a, b, c > 0
15. a4 + 2a
3 +3a
2 -12a +19 > 0 , aR
16. x8 – x
5 + x
2 – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT
5 3
2 3
( 1) ( 1) 1 0
(1 ) (1 )
x x x x
x x x
8
neáu x 1
x neáu x <1
II.CMR
1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:
i. Nếu 1a a c
b b c
a thì
b ii. Nếu 1
a a c
b b c
a thì
b
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 1 2a b c
a b b c c a
2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
a. a2+ b
2 + c
2 < 2(ab +bc +ca)
b. abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b
2
1
2
4. Cho x + y + z = 1. CMR: 2 2 2 1
3x y z
5. CMR: a. 2 5 7x x , xR
b. 1 2 3 6x y x y , x, yR
III.CMR
1. 4
4
a b c dabcd
. (a, b , c, d 0)
2. 3
3
a b cabc
. (a, b , c 0)
-85-
3. 1 1 1 9
a b c a b c
(a, b , c > 0)
4. 1 1 1a b c
bc ca ab a b c (a, b , c > 0)
5. ab bc ca
a b cc a b (a, b , c > 0)
6. 2 2 1 12( )x y x y
x y (x , y > 0)
7. (a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0)
8. 1 1 1 8a b c
b c a
(a, b , c > 0)
9. (a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0)
10. (1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = 1 và a, b, c 0
11. 1 1
1 1 9x y
với x+y =1 và x , y > 0.
12. (a + 2) (b + 8) 36 với ab = 4 và a, b > 0
13. 1 1a b b a ab a, b 1
14. 4 1 4 1 4 1 5a b c với a + b + c = 1 và a, b, c -1
4
IV.CMR:
1. (ab +by)2 (a
2 + b
2)(x
2 +y
2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào?
2. 2 3 13x y với x2 + y
2 = 1
3. 3 2x y 2 với 9x2 + 4y
2 = 1
4. 2 3 35x y với 2x2 + 3y
2 = 7
5. 2 2 14 9
8x y biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào?
6. 2 2 94 3
7x y biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào?
V.Tìm GTLN của hàm số sau:
1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 x 7 (maxy = 36 khi x = 1)
2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với 3 10
2 3x
3. y = 4
2
x
x
với x 4 (maxy =
1
8 khi x = 8)
4. y = x + 28 x (maxy = 4 khi x = 2)
VI.Tìm GTNN của hàm số sau:
1. y = 5 8
2 5
x
x
với x > -5 (miny = 4 khi x = -1)
2. y = 9
2x
x
với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)
3. y = 2
2
9x
x với x 0 (miny = 6 khi x = 3 )
4. y = 4
2
1x
x
với x 0 (miny = 2 khi x = 1)
5. y = (4 )(1 )x x
x
với x > 0 (miny = 9 khi x = 2)
-86-
6. y = 2 4x x (miny = 2 khi 2 < x < 4)
VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y
2 + z
2 = 1
-87-
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì a
b <
a + c
b + c
b) nếu a > b thì a
b >
a + c
b + c
c) 1 < a
a + b +
b
b + c +
c
c + a < 2
d) 2 < a + b
a + b + c +
b + c
b + c + d +
c + d
c + d + a +
d + a
d + a + b < 3
2/ Cho a
b <
c
d và b,d > 0, Chứng minh rằng
a
b <
a + c
b + d <
c
d
3/ Chứng minh rằng a , b ,c
a) a2 – ab + b
2 ≥ ab b) a
2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a d) (a
3 – 1)(a – 1) ≥ 0
e) 2abc a2 + b
2c
2 f) (a + b)
2 ≥ 4ab
g) a2 + ab + b
2 ≥ 0 h) a
4 + b
4 ≥ a
3b + ab
3
i) 4ab(a – b)2 (a
2 – b
2)
2 j) a
2 + 2b
2 + 2ab + b + 1 > 0
k) a
b +
b
a ≥ a + b l) 2 + a
2(1 + b
2) ≥ 2a(1 + b)
m) a
2
1 + a4
1
2 n) (
a + b
2 )
2
a2 + b
2
2
o) a
2 + b
2 + c
2
3 ≥ (
a + b + c
3 )
2 p)
a2
4 + b
2 + c
2 ≥ ab – ac + 2bc
q) a4 + b
4 + c
2 + 1 ≥ 2a(ab
2 – a + c + 1)
r) a4 + b
4 + c
2 + 1 ≥ 2a(ab
2 – a + c + 1)
s) 2a2 + 4b
2 + c
2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b
2 ≥
3
4 (a + b)
2
u) a + b + 2a2 + 2b
2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a
2 + b
2 + c
2)
4/ Cho a ,b [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| |1 + ab|
a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x
1 + x ≥
y
1 + y
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có |a – b|
1 + |a – b| ≤
|a|
1 + |a| +
|b|
1 + |b|
5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x
5 + x – x + 1 > 0
7/ Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca 1
8/ Cho 0 < a b c . Chứng minh rằng : b(1
a +
1
c ) +
1
b (a + c) (
1
a +
1
c )(a + c)
9/ Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng c + a
c2 + a
2 ≥ c + b
c2 + b
2
10/ Cho a + b + c 0. Chứng minh rằng : a
3 + b
3 + c
3 – 3abc
a + b + c ≥ 0
11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
-88-
1
a3 + b
3 + abc
+ 1
b3 + c
3 + abc
+ 1
c3 + a
3 + abc
1
abc
12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :
a) a2 – b
2 + c
2 ≥ (a – b + c)
2 b) a
2 – b
2 + c
2 – d
2 ≥ (a – b + c – d)
2
13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1
1 + a2 +
1
1 + b2 ≥
2
1 + ab
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : 1
1 + a3 +
1
1 + b3 +
1
1 + c3 ≥
3
1 + abc
c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :
1
1 + 4x +
1
1 + 4y ≥
2
1 + 2x+y
14/ a,b,c,d chứng minh rằng
a) a2 + b
2 + c
2 + d
2 ≥ (a + c)
2 + (b + d)
2
b) 1 < a
a + b + c +
b
a + b + d +
c
b + c + d +
d
a + c + d < 2
15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) a
b +
b
c +
c
a –
a
c –
c
b –
b
a < 1
b) abc < a2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ca)
c) a(b – c)2 + b(c – a)
2 + c(a – b)
2 > a
3 + b
3 + c
3
*d) a3(b
2 – c
2) + b
3(c
2 – a
2) + c
3(a
2 – b
2) < 0
*e) (a + b + c)2 9bc với a b c
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b
4 ≥ a
3 + b
3
17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
a) a3 + b
3 + c
3 ≥ 3abc
b) a3b + b
3c + c
3a ≥ a
2bc + b
2ca + c
2ab
c) a3(b
2 – c
2) + b
3(c
2 – a
2) + c
3(a
2 – b
2) < 0
18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a b c
Chứng minh rằng : (a + b + c)2 9bc
19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : aA + bB + cC
a + b + c ≥
3
20*/ Cho a ,b ,c [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 4
21/ Chứng minh rằng : 1
1.2 +
1
2.3 +
1
3.4 + …+
1
n(n + 1) < 1 n N
22/ Chứng minh rằng : 1
2! +
2
3! +
3
4! + …+
n – 1
n! < 1 n N n ≥ 2
23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :
3 a + b + c 1
abc
24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a) a2 + b
2 + c
2 ≥ 3
b) a4 + b
4 + c
4 ≥ a
3 + b
3 + c
3
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) a
b +
b
a ≥ 2 a , b > 0 b) a
2b +
1
b ≥ 2a b > 0
-89-
c) 2a
2 + 1
4a2 + 1
≥ 1 d) a3 + b
3 ≥ ab(a + b)
e) a4 + a
3b + ab + b
2 ≥ 4a
2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 h)
a2
a4 + 1
1
2
i) 1
a +
1
b ≥
4
a + b j)
1
a +
1
b +
1
c ≥
2
a + b +
2
b + c +
2
c + a
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2
h) a
2 + 2
a2 + 1
≥ 2
k) a
6 + b
9
4 ≥ 3a
2b
3 – 16 l)
a2 + 6
a2 + 2
≥ 4
m) a
2
b2 +
b2
c2 +
c2
a2 ≥
a
c +
c
b +
b
a
2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2
1
a2 +
2
a + 1 ≥ 16
3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:
a) a2b +
1
b ≥ 2a
b) a + b + c ≤ 1
2 ( a
2b + b
2c + c
2a +
1
a +
1
b +
1
c )
4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < 2
1
a +
1
b
< ab < a +b
2
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1 ab
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab + c
b ≥ 2 ac (b 0)
b) a + b + c ≥ ab + bc + ca
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc
d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab
e) a2 + b
2 + c
2 ≥ ab + bc + ac
f) a2 + b
2 + c
2 ≥
1
3 (a + b + c)
2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a2 + b
2 + 1 ≥ ab + a + b
i) a2 + b
2 + c
2 ≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc )3
7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx + 1
sinx +
1
cosx > 6
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b
4 + c
4 ≥ abc
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
b) bc
a +
ac
b +
ab
c ≥ a + b + c
c)(a
b +
b
a )(
a
c +
c
a )(
c
b +
b
c ) ≥ 8
-90-
d) (1 + a
b )(1+
b
c )(1+
c
a ) ≥ 8
e) (a + b + c)(1
a +
1
b +
1
c ) ≥ 9
f) (a + b + c)(1
a + b +
1
b + c +
1
c + a ) ≥
9
2
g) a + b
c +
b + c
a +
c + a
b ≥ 6
h) a
b+ c +
b
c + a +
c
a + b ≥
3
2
i) 3a3 + 7b
3 ≥ 9ab
2
j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac
k) a + b + c + 6
2 ≥ a + b + 1 + c + 2
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :
a) (ab + cd)(1
ac +
1
bd ) ≥ 4
b) a2 + b
2 + c
2 + d
2 ≥ (a + b)(c + d)
c) 1
ab +
1
cd ≥
8
(a + b)(c + d)
d) (a2 + 1)(b
2 + 2)(c
2 + 4)(d
2 + 8) ≥ (ac + 2)
2(bd + 4)
2
e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 6 4 abcd
f) 1
a +
1
b +
1
c ≥
9
a + b + c
g) 1
a +
1
b +
1
c +
1
d ≥
16
a + b + c + d
h) a
6 + b
9
4 ≥ 3a
2b
3 – 16
i) (abc + 1)( 1
a +
1
b +
1
c )(
a
c +
c
b +
b
a ) ≥ a + b + c + 6
11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + a
b )
n + (1 +
b
a )
n ≥ 2
n+1 n N
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
a) ab 1
4 b)a
2 + b
2 ≥
1
2
b) c)a4 + b
4 ≥
1
8 d)a
3 + b
3 ≥
1
4
13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : a
2 + b
2
a – b ≥ 2 2
14/*. Chứng minh rằng – 1
2
(a + b)(1 – ab)
(1 + a2)(1 + b
2)
1
2
15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : b + c
bc ≥
4
b + c
b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + 1
a )(1+
1
b ) ≥ 9
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
-91-
a) (1 + 1
a )(1+
1
b )(1+
1
c ) ≥ 64
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 8
729
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 1
1 + a +
1
1 + b +
1
1 + c +
1
1 + d ≥ 3
Chứng minh rằng abcd 1
81
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
a) ab + bc + ca < a2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c) abc
8
d) 1
p – a +
1
p – b +
1
p – c ≥ 2(
1
a +
1
b +
1
c )
e) p < p – a + p – b + p – c < 3p
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.
Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y
2 + z
2 = 1. Chứng minh rằng
– 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3
23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng
a) a1
a2 +
a2
a3 + … +
an
a1 ≥ n
b) (a1 + a2 + … + an)(1
a1 +
1
a2 + …+
1
an ) ≥ n
2
c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1
24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] ,chứng minh rằng :
(1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a1
2 + a2
2 + …+ an
2)
25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + 1
b(a – b) ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu =
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
a) 2 a + 33
b ≥ 55
ab b) 17125 ab17b12a5
c) a
6 + b
9
4 ≥ 3a
2b
3 – 16
27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn
28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :
a + b + c ≥ knm nmkknm mknknm knm cbacbacba
29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng :
na1.a2....an +
nb1.b2....bn
n(a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn)
30/ Chứng minh rằng :
4(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
a + b + c + d ≤
1
4
a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
31/*. n N chứng minh rằng :
a) 1. 1
22
. 1
33
. 1
44
….. 1
nn <
2
)1n(n
1n
2
b) 1.2
2.3
3.4
4…n
n <
2
)1n(n
3
1n2
-92-
32/*.Cho m,n N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + 1
m )
m > ( 1 +
1
n )
n
33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng
(1 + 1
x1 )(1+
1
x2 )…(1+
1
xn ) ≥ (n + 1)
n
34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12
; x2.z2 ≥ y22
Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2
35/*.Cho 3 số a ,b ,c (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng
thức sai:
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
2 a
a3 + b
2 + 2 b
b3 + c
2 + 2 c
c3 + a
2 1
a2 +
1
b2 +
1
c2
37/** Cho x ,y ,z [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2
y + 2
z)(2
– x + 2
– y + 2
– z)
81
8
(ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)
38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :
a) log2a + log2b 2 log2
a + b
2
b) 2
logba
a + b +
logcb
b + c +
logac
c + a ≥
9
a + b + c
39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :
a) a
b + c +
b
c + a +
c
a + b ≥
3
2
b) a
2
b + c +
b2
c + a +
c2
a + b ≥
a + b + c
2
c) a + b
c +
b + c
a +
c + a
b ≥ 6
d) a
3
b +
b3
c +
c3
a ≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a2 + b
2 + c
2) ≥ 9abc
f) bc
a +
ac
b +
ab
c ≥ a + b + c
g) a
2
b + c +
b2
c + a +
c2
a + b ≥
a + b + c
2 ≥
ab
a + b +
bc
b + c +
ca
c + a
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng :
a2(1 + b
2) + b
2(1 + c
2) + c
2(1 +ab
2) ≥ 6abc
41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : 1
a +
1
c =
2
b . Chứng minh rằng :
a + b
2a – b +
c + b
2c – b ≥ 4
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
a) 1
a +
1
b +
1
c ≥ 9 b)
1
a2 + 2bc
+ 1
b2 + 2ac
+ 1
c2 + 2ab
≥ 9
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c k. Chứng minh rằng :
(1 + 1
a )(1 +
1
b )(1 +
1
c ) ≥ (1 +
3
k )
3
44/ Cho ba số a ,b ,c 0. Chứng minh rằng : a
2
b2 +
b2
c2 +
c2
a2 ≥
a
b +
b
c +
c
a
45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :
-93-
a) ha + hb + hc ≥ 9r b) a – b
a + b +
b – c
b + c +
c – a
c + a <
1
8
Dùng tam thức bậc hai
1/ x , y R Chứng minh rằng :
a) x2 + 5y
2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
a) x2 + 4y
2 + 3z
2 + 14 > 2x + 12y + 6z
b) 5x2 + 3y
2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
c) 3y2 + x
2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
d) x2y
4 + 2(x
2 + 2)y
2 + 4xy + x
2 ≥ 4xy
3
e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y)
f) 3
x
2
y2 +
y2
x2 – 8
x
y +
y
x + 10 ≥ 0
g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)
3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3
x)
2 < 3 + 3.4
x + 3
2x+1
4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4
5*/ Cho – 1 x 1
2 và –
5
6 < y <
2
3 ,chứng minh rằng : x
2 + 3xy + 1 > 0
6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x
2 – ax – 3bc +
a2
3
a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x
b) Chứng minh rằng: a
2
3 + b
2 + c
2 > ab + bc + ca
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x y . Chứng minh rằng x3 – 3x y
3 – 3y + 4
.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x2 +
4
x2
b) y = x + 2 + 1
x + 2 với x > – 2
c) y = x + 1
x – 1 với x > 1
d) y = x
3 +
1
x + 2 với x > – 2
e) y = x
2 + x + 1
x với x > 0
f) y = 4
x +
9
1 – x với x (0;1)
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
y = x(2 – x) 0 x 2
y = (2x – 3)(5 – 2x) 3
2 x
5
2
y = (3x – 2)(1 – x) 2
3 x 1
y = (2x – 1)(4 – 3x) 1
2 x
4
3
y = 4x3 – x
4 với x [0;4]
-94-
11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi
sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định
tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4
abc
13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x
-95-
§2 Bất phƣơng trình bậc nhất I. Khái niệm bất phƣơng trình một ẩn
1. Định nghĩa
Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg. Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến x D
dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn.
Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x
3+6x 5x+3
2. Tập hợp nghiệm
Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị
x0 )()(: 00 xgxfD
3. Điều kiện của bất phƣơng trình
Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa
Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 23 1x x x là
3x0 và x+10
4. Bất phƣơng trình chứa tham số
Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.
Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)
5. Hệ bất phƣơng trình một ẩn
Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập
nghiệm đó.
Ví dụ: Giải hệ 3 0
1 0
x
x
III. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng
1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập
nghiệm.
2. Định lý
2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì:
f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì
ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D
+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x D thì bất phương trình:
f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x)
+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x D thì bất phương trình:
f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x)
2.3. Định lí 3 (bình phƣơng): Nếu f(x) 0, g(x) 0 thì
f(x) > g(x) f2(x) > g
2(x)
* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau
+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.
+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay
dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.
+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.
+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x) f(x) > g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế.
* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
a) 2x+3 > x+7
x > 4 => tập nghiệm là T=(4; )
b) 2x-10 3x-2
-x 8 x 8 => T=( ]8;
* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
-96-
a) 2( 2)(2 1) 2 ( 1)( 3)x x x x x Đáp án: x≤1
b) 2 2
2 2
1
2 1
x x x x
x x
Đáp án: x<1
c) 2 22 2 2 3x x x x Đáp án: x> ¼
* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) 5 2 3 4 3 3
14 4 6
x x x x Đáp án: 1/3<x≤3
b) 1
11x
Đáp án: 1<x≤2
c) 2 17 1
4 2x x Đáp án: x<4
Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:
BA
ABA
0 ;
BA
ABA
0
2
0
0
BA
B
A
BA ;
2
0
0
BA
B
A
BA
2
0
0
0
BA
B
B
A
BA ;
2
0
0
0
BA
B
B
A
BA
BABA 33
IV. Bất phƣơng trình ax+b > 0
Từ bất phương trình ax+b > 0 ax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 => (1) 0x > -b
. nếu b > 0 => bpt VSN
. nếu b < 0 => bpt VN
. nếu b = 0 => bpt VN
+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x > a
b
+ Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x < a
b
Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình
(m-1)x -2+3m > 0 (1)
Giải
(1) (m-1)x > 2-3m (2)
. Nếu m-1= 0 m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN
. Nếu m-1> 0 m > 1 => bpt có nghiệm x > 1
32
m
m
. Nếu m-1 < 0 m < 1 => bpt có nghiệm x < 1
32
m
m
Kết luận:
. m =1 bpt VN
. m > 1 bpt có nghiệm x > 1
32
m
m
-97-
. m < 1 bpt có nghiệm x < 1
32
m
m
-98-
BÀI TẬP
1/ Giải các bất phương trình sau
a) (2 3)( 1)x x x x b) ( 1 3)(2 1 5) 1 3x x x
c) 2( 4) ( 1) 0x x d) 2( 2) ( 3) 0x x
e) 2(x1)+x > 3
33
x f) 2 2( 2) ( 2) 2x x
g) x(7x)+6(x1)<x(2x) h) 2 2 1
32 3 4 2
x x x x
k) ( 2) 3 4 0x x x l) ( 2) 3 4 0x x x
m) 2( 1) ( 2) 0x x n) 2 8 4 21 0x x
Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (;5) c) S=(1;4) (4;+) d) S= (3;+)
e) S=(9/4;+); f) S=(; 2 / 4); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2]
l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2)
2/ Giải các hệ bất phương trình sau:
a) 3 5 2 1
4 1 3 2
x x
x x
b)
4 7 8
2 3 12
x x
x x
c)
5 2 4 5
5 4 2
x x
x x
d) 2 1 3 4
5 3 8 9
x x
x x
e)
8 3 15
8 5 6 7
2 4 5 3
x x
x x
x x
f)
1 22
2 3 6
4 3 2 5
x x x
x x
g)
6 5 2 4
6 2 4 3
3 2
x x
x x
h)
3 3(2 7)2
5 3
1 5(3 1)
2 2
xx
xx
i)
3 1 3 1 2 1
2 3 4 3
2 1 43
5 3
x x x x
xx
Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27]
3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau:
a. 2 2
1 2 1
4 ( 1)
x x
x x
b. 3
2
25 3
3 4
xx
x x
4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm:
a/ 2 1 1x x b/ 2 7 2x x c/ 4 2
8 ( 1)( 3)
x x
x x x
d/
11 2
1x
x
5/Giải các bất phương trình sau:
a. ( 3) 1
51
x x
x
b. x
2 > x c. 4 2x x d.
11
x
6/ Giải và biện luận bất phương trình sau:
a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m
7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:
a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2
8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: 2 4
(1 ) 4
x x
m x m
(ĐS: m<1)
9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:
a. 4
3 1 5 2
x m
x x
b.
2 5 2
2 3
x x
mx m
-99-
10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : 5 3 1
3 2 3
x m x
x x m
(ĐS: m=1
7)
-100-
x 1 2
2x-2 - 0 + +
x-2 - - 0 +
f(x) + 0 - // +
§3 Dấu của nhị thức bậc nhất
1. Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a )0
2. Định lý :
Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.
x a
b
f(x) traùi daáu a 0 cuøng daáu a
* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3
Giải
Đặt f(x)=0 2x+3= 0 x = 2
3
x 2
3
f(x) 0 +
3/ Xét dấu biểu thức đƣợc quy về tích hoặc thƣơng các nhị thức bậc nhất
Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đó tổng
hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức.
* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x)
Giải
Đặt x-2=0 x= 2
5-3x= 0 3
5x
lập bảng xét dấu: x 35 2
x-2 - - 0 +
5-3x + 0 - -
A - 0 + 0 -
Vậy A < 0 );2()3
5;( x ; A > 0 )2;
3
5(x ; A= 0 x=2; 5/3
* Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 174
)3)(12(
x
xx
4/ Giải bất phƣơng trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thƣơng các nhị thứ bậc nhất
Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị
thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ
bất phương trình đó. ( phần nào không lấy thì gạch bỏ)
Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau
a) 12
43
x
x b)
xx
2
3
13
4
Giải
a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
12
43
x
x 0
2
2201
2
43
x
x
x
x
đặt 2x-2 = 0 x=1
x-2 = 0 x = 2
xét dấu biểu thức f(x)=2
22
x
x
vậy S= );2()1;(
-101-
x 5
11
3
1 2
-5x-11 + 0 - - -
3x+1 - - 0 + +
2-x + + + 0 -
f(x) - 0 + // - // +
b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
xx
2
3
13
4 0
2
3
13
4
xx 0
)2)(13(
115
xx
x
Xét dấu biểu thức f(x)= )2)(13(
115
xx
x
Đặt -5x-11 = 0 x = 5
11
202
3
1013
xx
xx
Vậy S = )2;3
1()
15
11;(
5/ Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa trị tuyệt đối
1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình
2. Phƣơng pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có từ hai biểu thức
trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào
bảng xét dấu để giải.
* Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối | ( ) | | ( ) | ( (x) g(x) )( f(x) g(x) ) 0
( ) ( ) |f(x)| g(x)
( ) ( )
f(x)> g(x) |f(x) | g(x)
f(x) g(x)
f x g x f
f x g x
f x g x
3. Ví dụ
3.1 Ví dụ 1: giải phương trình
| x-1| + | 2x-4 | = 3 (1)
Giải
Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x 1 2 x-1 - 0 + +
2x-4 - - 0 +
nhìn vào bảng xét dấu ta có:
* nếu x )1;( thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3
-3x = -2 x = 3
2(nhận)
* nếu x )2;1[ thì (1) x-1-(2x-4) = 3
x = 0 )2;1[ (loại)
* nếu x );2[ thì (1) x-1+2x-4 = 3
3x=8 x =3
8(nhận)
Vậy S =
3
8;
3
2
3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau:
-102-
a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x
Tóm tắt lý thuyết
1. Giải và biện luận phƣơng trình bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b
- nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm.
- nếu b 0 thì bất phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x >a
b .
+ Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm xa
b .
Kết luận 2. Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a 0)
x - -b/a +
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thƣơng các nhị thức bậc nhất
( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k);))((
))...()((
mkxhgx
fexdcxbax
…) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc
nhất trên cùng một bảng xét dấu.
* Các bƣớc xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc
nhất.
B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất.
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu.
B4 : Tổng hợp => kết luận.
3. Giải bất phƣơng trình bậc nhất
B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x) 0 hoặc f(x) 0.
B2 : Xét dấu biểu thức f(x).
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm.
4. Giải hệ gồm 2 bất phƣơng trình bậc nhất dạng
(2) pt Baát
(1) pt Baát (I)
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1.
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 .
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1S2.
BÀI TẬP 1
1/ Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x)= (2x1)(x+3) b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3)
c) f(x)= 4 3
3 1 2x x
d) f(x)= 4x
21
2/ Giải các bất phương trình sau
2
2
2
2 5 1 1) b)
1 2 1 1 ( 1)
1 2 3 3 1) d) 1
4 3 1
ax x x x
x xc
x x x x
-103-
Đáp số: a) S=(1/2;1) [3;+) b) S= (;1) (0;1) (1;3)
c) S= (12;4) (3;0) d) S= (;5) (1;1) (1;+)
3/ Giải bất phương trình
a) |5x4| 6 b) 5 10
2 1x x
c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2
Đáp số: a) S= (;2/5) [2;+) b) S= (;5) (1;1) (1;+)
c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +)
4/ Xét dấu các biểu thức sau
a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) b) f(x)= 2 1
( 1)( 2)
x
x x
c) f(x)= 3 1
2 1 2x x
d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7)
5/ Giải các bất phương trình sau
a) 3
12 x
b) 2
2
31
4
x x
x
c) 1 1 1
1 2 2x x x
d) |x3| > 1
e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1
Đáp số: a) S= (;1) (2;+) b) S= (2;1] (2;+)
c) S= (2;0) (1;2) (4;+) d) S= R
e) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm
6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau
2
22 2
4 3 2 B=1 ( 2) (3 )
2 1 3 2
( 3)D= 6 F= 2x (2 3) 3
( 5)(1 )
x xA C x x x
x x
x xE x x x
x x
G=(3x1)(x+2) H=2 3
5 1
x
x
K= (x+1)(x+2)(3x+1)
L= 2
23 2
x
x
M= 9x
2 1 N= x
3+7x6
O= x3+x
25x+3 P=x
2x 2 2 Q=
1 1
3 3x x
R=2
2
6 8
8 9
x x
x x
S=
2
4 2
4 4
2
x x
x x
T=
2
| 1 | 1
1
x
x x
7/ Giải các bất phương trình sau
(3 )( 2) 3 5) 0 b)
1 1 2 1
) | 2 2 | | 2 | 3 2 d) | ( 2 3) 1 | 2 3
x xa
x x x
c x x x x
e) ( 2 x+2)(x+1)(2x3)>0 f) 4 1
33 1
x
x
Đáp số: a) S=(1;2] [3;+) b) S=(;1/2) [2/11;1)
c) S= (;1) d) [52 6 3 2; 5+2 6 3 2 ]
e) S=(;1) ( 2 ;3/2) f) S=[4/5;1/3)
8/ Giải và biện luận bất phương trình
a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1 x+4m
2
-104-
d) x(m21) < m
41 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)
2(x1)
9/ Giải các bất phương trình sau
3 2) ( 3 2)( 1)(4 5) 0 b) 0
(3 1)( 4)
3 1 2 2) 2 d)
2 1 3 1 2 1
xa x x x
x x
x x xc
x x x
Đáp số: a) S=(;1) ( 2 3 /3;5/4) b) S=(1/3;3/2) hop (4;+)
c) S= [3;1/2) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+)
10/ Giải hệ bất phương trình
2 1( 3)( 2 ) 0
) b) 2 1 34 33 | | 12
x x
a x xxx x
Đáp số: a) S= ( 2 ;3) b) S=(1;1/2)
11/ Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình
5 16 4 7 15 2 2
7 3) b)
8 3 3 142 25 2( 4)
2 2
x x x x
ax x
x x
Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1}
12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau
a) |x+1|+|x1|=4 b) | 2 1 | 1
( 1)( 2) 2
x
x x
c) |5+x|+|x3|=8
d) |x25x+6|=x
25x+6 e) |2x1|= x+2 f) |x+2|+|x1|=5
g) |3x5|<2 h) 2
21
x
x
k) |x2|>2x3
l) |x+1|≤ |x|x+2
Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3]
d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3)
h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1] 13. Giaûi baát phöông trình (chöùa giaù trò tuyeät ñoái) :
123
4/;62634/
;1245/;4752/;021/
2
22
2
xx
xxexxxxd
xxcxxbxxa
14. Giaûi baát phöông trình (chöùa caên thöùc) :
132/4223/;25/
;23131/;524/;218/
222
2
xxxfxxxexxd
xxcxxbxxa
15/* Giải và biện luận phương trình
a) (2x 2 )(xm)>0 b) 3
02 1
x
x m
16/* Giải và biện luận hệ phương trình
a) ( 5)( 7 2 ) 0
0
x x
x m
b)
2 5
1 2 1
0
x x
x m
-105-
BÀI TẬP 2
Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m
a) m(x-m) x-1
b) mx+6 > 2x+3m
c) (m+1)x + m < 3x+4
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 12
43
x
x b) 1
2
52
x
x
c) 12
5
1
2
xx d)
xx
2
3
13
4
Đáp số: a) S=(;1) (2;+) b) S=(2;3]
c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2)
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) | 2x-5 | x+1 b) | 2x+1 | < x
c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 | x+1
Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm
c) S=(;1/2) d) S=R
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) | 2x-1 | = x+m
b) | x-1 | =x+m
Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) m2x+4m-3 < x+m
2 b) m
2x+1 m+(3m-2)x
Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau
a)
4
35)32(2
2
81558
xx
x
b)
54
83
37
54
xx
xx
Đáp số: a) Vô nghiệm b) S=(26/3;28/5)
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau:
a)
2522
38
747
56
xx
xx
b)
2
143)4(2
3
12215
xx
xx
Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1}
Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình:
9
54
12
1
18
143
2
351
8
)2(3
4
13
xxx
xxx
Đáp số: S= {4}
-106-
BÀI TẬP 3 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau
a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m
2+m)x - m
2 - 2m 0
c) (m+1)x 2m(x+1)+2+x. d) m2x-1 > x+m
e) 1m
1mx
1-m
1mx
m 1 f) 2)x(m
1m
1x
1m
1-xx
m -1.
2/ Giải bất phương trình
a) 2x2 - 5x + 2 > 0 b) (x-2)
2(x-4) < 0 c) -4 + x
2 0
d) 25(x+10)(-x+1) 0 e) 16x2 + 40x + 25 < 0 f) 0
)1(
10
xx
g) 9
15
3
4
3
22
x
x
xx h) 1
9
12
18
1
xx k) 0
)23)(2(
25
xx
l) 12
2
1
1
xx m) 0
1
3
2
2
3
2
1
xx
n) 1232
1
xx
x
o) 1
1
2
1
2
xxx
x
3/ Giải các hệ bất phương trình sau
a)
19234
7213
xx
xx b)
01
)42)(2(
11
32
x
xx
x
x
c)
4
12
012
1
2 xxx
x
x
d)
22 )23()195(
2
1
2
1
xx
xx
e)
52
23
23
52
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
f)
02
)2)(23)(1(
0)5)(3)(2(
2x
xxx
xxx
g)
09
)23)(4(
012
)31)(4(
2
2
x
xx
x
xxx
h)
012
)1(3
1
21
1
2
1
1
2
32
x
xx
x
x
xxx
i)
)1(21
23
0)259)(15(
2
2
xx
xx
xx
Đáp số: a) S = [6 ; 8) b) S =(- ; -4] (1;2] c) S = (- ;-1] (-2
1;+ )
d) S = (-1;2) e) S = (- 4; -2
5) f) S = (-2;- 3 ) [-1; 2 ) [
2
3;+ )
g) S = (- ; -3) (2
3 ;-
4
1) (0;
3
1) (
2
1;3) [4;+ )
-107-
h) S = (-1 ; - 2
1) (0;1) i) S = (- ; -3 ] [0 ;
5
3)
4/ Giải các hệ bất phương trình sau
a)
0132
0)3()2(
2
2
xx
xx b)
0)2)(1(
0)1( 2
xx
x c)
52
3
12
2
2
1
12
2
x
x
x
x
x
x
x
x
d)
12
2
13
2
31
522
x
x
x
x
xx
xx
e)
0)2()7(
)6()2()1(
2
13
23
23
2
xx
xxx
xx
xx
f)
42
9
32
4
xx
x
x
g)
12
4
32
2
41
422
x
x
x
x
xx
xx
h) 14
45
2
2
x
xx i)
01
)42)(2(
11
32
x
xx
x
x
Đáp số: a) Vô nghiệm b) Vô nghiệm c) S = (-2;-2
1) (1;
2
5)
d) S = (-3
1;0) (
2
1;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1)
g) Vô nghiệm h) S = [0;5
8] [
2
5;+ ) i) S = (- ;-4] (1;2]
-108-
§4 Bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
I/ Bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó
a,b,c R , a2+b
20 .
2. Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0. Khi đó:
+ Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất
phương trình để xác định miền nghiệm.
+ Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào
vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm.
* Ví dụ: Giải các bất phưng trình sau:
a) x-3y < -3 x-3y+3 < 0 (1)
Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0
x0
y
x-3y+3=01
-3
Thay O(0;0) vào (1) 3<0 O(0;0) không thỏa (1) ta gạch bỏ phần chứa
gốc toạ độ. Miền không gạch là miền nghiệm .
b) x-2y > 0
vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái ta được VT= -2 > 0
(!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm.
x
y
0 1
1/2
II. Hệ bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên.
2. Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình
trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của
hệ bất phương trình.
Ví dụ 1: giải hệ
(3) 5
(2) 33
(1) 0
yx
yx
yx
Giải
Ta vẽ các đường thẳng
(d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0 (d3): x+y-5= 0
-109-
I
x
(d3)
(d1)
(d2) -3 5
5
01
1
Miền I là miền nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ
0
0
0
x
y
x y
Giải
Vẽ các đường thẳng :
(d1): x= 0 (d2): y= 0 (d3): x+y= 0
x
y
-1
1
S
-110-
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9
c) 2x-y≤ 3 d) 3+2y >0
e) 2x-1<0 f) x-5y < 2
g) 2x+y> 1 h) -3x+y+2 ≤ 0
k) 2x-3y+5 ≥ 0
Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn
a)
5
33
0
yx
yx
yx
b)
0
42
3)1(2
0132
x
yx
yx
d)
6
82
3
93
y
xy
yx
yx
e) 3 0
2 3 1 0
y
x y
Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất
phương trình:
0
5
22
22
x
yx
yx
yx
.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất
phương trình:
2 0
1 0
2 1 0
x y
x y
x y
.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min.
-111-
§5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I/ Tam thức bậc hai 1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax
2+bx+c (a 0).
2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a 0) và = b
2-4ac
+ Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.
+ Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với a
b
2 .
+ Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) :
x
0
Cuøng daáu
heä soá a
- x1 x2 +
Daáu cuûa
f(x)
Cuøng daáu
heä soá a
Traùi daáu
heä soá a0
* Chú ý : ta có thể thay bởi '
Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau
a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x
2+12x-9 c) f(x) = x
2-4x-5
Giải
a) cho f(x) = 0 3x2-2x+1 = 0. tính ' = -2 < 0
vậy f(x) > 0 x.
b) cho f(x) = 0 -4x2+12x-9 = 0. tính ' = 0
vậy f(x) < 0 2
3x .
c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = 0. tính ' = 9
=> x1=-1 ;x2 = 5
x
0
+
- -1 5 +
f(x) +_
0
vậy f(x) > 0 );5()1;( x
f(x) < 0 )5;1(x
f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5
Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau
a) A = (2x2+9x+7)(x
2+x-6)
b) B = 2
2
2 5 7
3 10
x x
x x
Giải
a) Đặt 2x2+9x+7 = 0
2
7
1
2
1
x
x
x2+x-6 = 0
3
2
2
1
x
x
+ - + - +A
x2+9x+7 + 0 - - + +
x
0
- -2
7 -3 -1 2 +
0
0
0
0
00
x2+x-6 + + - - +
-112-
II/ Bất phƣơng trình bậc hai 1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau:
ax2+bx+c > 0 ; ax
2+bx+c < 0 ; ax
2+bx+c 0 ax
2+bx+c 0 ( a 0).
2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với
chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
a) 3x2+2x+5 > 0 S=R
b) -2x2+3x+5> 0 S=(-1;5/2)
c) -3x2+7x-4 < 0 S=(-;1) (4/3;+)
d) 4x2-3x+1<0 Vô nghiệm
e) 9x2-24x+16 < 0 S=R\{4/3}
Ví dụ 2 . Giải các bất phương trình sau
a) A = (2x2+9x+7)(x
2+x-6) > 0 b) B =
2
2
2 5 7
3 10
x x
x x
< 0
Ví dụ 3. Xác định m để phương trình x2+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm
HD: ' =m2+6m+5 0 m≤5 hoặc m1
* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R
+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)
+ Nếu a0 thì: 0 0
( ) 0, ; ( ) 0,0 0
a af x x R f x x R
III/ Hệ bất phƣơng trình bậc hai (10NC) 1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên.
2. Cách giải:
- Giải bất phương trình (1) tìm được S1
- Giải bất phương trình (2) tìm được S2
----------------------------------------------
- Giải bất phương trình (n) tìm được Sn
Khi đó tập nghiệm của hệ là: S = S1 S2…Sn
Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau
a)
06
0792
2
2
xx
xx
Giải
Giải bpt(1) được S1 = );1()2
7;( ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2)
Vậy nghiệm của hệ là S = S1S2= (-1;2)
b)
01811
0452
2
2
xx
xx
Ví dụ 2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < 0 (*) vô nghiệm.
Giải
+ với a = 0 m= 2
1 (*)
3
10
2
1
2
3 xx . vậy m =
2
1 không thoả
+ với a 0 m2
1 khi đó phương trình đã cho vô nghiệm
0)1)(12(4)1(9
012
0
02 mmm
ma
S
m
m
15
2
1
-113-
vậy không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm.
-114-
* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R
+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)
+ Nếu a0 thì:
0( ) 0,
0
0 ( ) 0,
0
af x x R
af x x R
* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai
Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:
x1< 0 < x2 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)
x1x2 < 0
0
0
0
S
P
( hai cùng âm)
0 < x1x2
0
0
0
S
P
(hai cùng dương)
BÀI TẬP 1
1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau
a) 2x2
+5x+2 b) 4x2
3x1 c) 3x2
+5x+1 d) 3x2
+x+5
2/ Giải các bất phương trình sau
a) x2
2x+3>0 b) x2
+9>6x c) 6x2
x20 d) 1
3x
2 +3x+6<0
e) 2
2
9 140
9 14
x x
x x
f)
2
2
10
3 10
x
x x
g)
2
10 1
25
x
x
h) 1 1
21
x x
x x
i)
1 2 3
1 3 2x x x
Đáp số: a)
e) S=(;7)(2;2][7;+)
3/ Cho phương trình mx22(m1)x+4m1=0. Tìm m để phương trình có:
a) Hai nghiệm phân biệt.
b) Hai nghiệm trái dấu.
c) Hai nghiệm dương.
d) Hai nghiệm âm.
HD: ' = 12 m2 4 m 4 =0 1 13
3m
4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) mx24(m1)x+m5≤ 0 = 12 m2 12 m 16
b) 5x2x+m> 0 = 20m+1
c) mx210x5<0 = 5m+25
d) 2
2
21
3 4
x mx
x x
Vì 2 3 4x x >0 với mọi x nên qui dồng bỏ mẫu
= m2 6 m 7
e) m(m+2)x2+2mx+2>0 = 4m
216m
-115-
Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 e) m<4 hoặc m0
5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm
a) 5x2x+m ≤0 mx
210x50
6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) (m2+m+1)x
2+(2m3)x+m5=0
b) x26mx+22m+9m
2=0
Đáp số: a) không có m b) 0<m<1
BÀI TẬP 2
Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai
a) 3x2-2x+1 b) -x
2+4x+5
c) -4x2+12x-9 d) 3x
2-2x-8.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
a) 2x2-5x+2 < 0 b) -5x
2+4x+12 < 0
c) 16x2+40x+25 > 0 d) -2x
2+3x-7 > 0
e) 3x2-4x+4 0 f) x
2-x-6 0.
Bài 3: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm
a) (m-5)x2-4mx+m-2 = 0
b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = 0
c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 = 0.
Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x
a) 3x2+2(m-1)x+m+4 = 4 m2 20 m 44 =0 m= ,
5
2
69
2
5
2
69
2
b) x2+(m+1)x+2m+7 = m2 6 m 27 =0 m=9;3
c) 2x2+(m-2)x-m+4. = m2 4 m 28 =0m= , 2 4 2 2 4 2
Bài 5: Giải các bất phương trình sau
a) 1 5
12 2x x
; Kq2: 2<x<2
b) 2
31
1x x
; Kq
2: 1≤x≤2
Bài 6: Tìm m để
a) (m+2)x22(m1)x+m2<0, x R
= 8m+20
b) (m2m6)x
2+2(m+2)x+1>0, x R
= 20m+40
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
a) x2 - 011 x ; x = 1 ; -2.
b) | -3x2 + 4x + 4 | = | 4 -x
2 | ; x = -1; 0 ; 2.
c) | -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x 3/2.
d) | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3.
e) | 3|x-2| - 3 | = 3 ; x = 0 ; 2 ; 4.
f) | 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2.
g) | x | - | x - 2 | = 2 ; x 2.
h) | x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3.
i) 3 | x2 - 4x + 2 | = 5x +16 ; x =
6
40917
j) xx 3632 ; x = 3.
-116-
k) xxx 2422 ; x = -1 ; -2.
l) 2224 xxx ; x = 3.
m) 6315 xx ; x = -1.
n) 265123 xx ; x = -1.
o) 16244 xxx ; x = -4 ; 0.
p) 4462 xxx ; x = 5.
q) 1413 xx ; x = 5.
r) 2111 xx ; x = 2.
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
a) | 1 - x2 | (1+x)
2 ; x = -1 hoặc x0 .
b) | x2 - x +1 | | 3x - 4 - x
2 | ; x 3/2.
c) | x2-3x+2 | > | x
2 + 3x + 2 | ; x < 0.
d) | x2 + 6x -7 | < x + 6 ; S = (
2
775;
2
537 ).
e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2.
f) | x2 + x | - 5 < 0 ; S =(
2
211;
2
211 ).
g) x2 - | 5x + 8 | > 0 ; S= );
2
575()
2
575;(
.
h) x2 + 4 | 3x + 2 | - 7x ; S = );22[]195;( .
i) 12
|3|
x
xx ; S = (-5 ; -2 ) (-1 ; + ) .
j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5.
k) 1262 xxx ; x < 1/8.
l) 1122 xxx ; S = (-169/25 ; -1] [0;+ ).
m) xxx 7122 ; x -3 hoặc 4 < x < 61/13.
n) 21032 xxx ; S = R.
o) 2212 xx ; 5/41 x hoặc 0 < x 1.
p) 1241 xx ; 0 < x < 1/4 .
q) 3222 xxx ; x > 3 .
r) 211 xxx ; S = (
;3
722).
s) xxx 2237 ; x < -2.
t) 195 xx ; 92
714
x .
Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ )
a) x2 - 4x = 612822 xx ; x = 2 .
b) 7822315223 xxxx ; x = 1 ; -1/3.
c) 193232272 xxxxxx ; x = -2;1.
d) (x + 1)(x + 4) - 3 252 xx = 6 ; x = -7 ; 2.
-117-
e) x2 + 2 431132 xxx ; x[1;2].
f) (x + 5)(x - 2) + 3 )3( xx > 0 ; x < -4 hoặc x >1.
g) 125237523 xxxx ; x[-2;-1] [-2/3;1/3].
-118-
Chƣơng V: THỐNG KÊ
§ 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ
1/ Số liệu thống kê
Khi thực hiện điều tra thông kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các
đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu.
Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' của lớp 10CB như sau
5 5 6 6 7 6 4 4 3 2 3 2 3 4 4
6 4 5 4 6 7 5 4 5 6 6 3 4 6 8
3 4 5 6 7 7 6 5 4 3
2/ Tần số-Tần suất
Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau ( k≤ n). Gọi xi là một giá trị
bất kì trong k giá trị đó, ta có:
* Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó,
kí hiệu là ni.
Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có 7 giá trị khác nhau là
x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7= 8
x1=2 xuất hiện 2 lần n1= 2 (tần số của x1 là 2)
* Tần suất: Số nifi n
được gọi là tần suất của giá tri xi. (tỉ lệ của ni, tỉ lệ phần trăm)
Ví dụ: x1 có tần số là 2, do đó: 1
2
40f hay 1f = 5%
* Bảng phân bố tần suất và tần số
Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)
x1
x2
.
.
xk
n1
n2
.
.
nk
f1
f2
.
.
fk
Cộng n1+…+nk 100 %
Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ môn toán 10CB
Điểm15’ toán Tần số Tần suất ( %)
2
3
4
5
6
7
8
2
6
10
7
10
4
1
5
15
25
17,5
25
10
2,5
Cộng 40 100%
* Chú ý: Nếu bỏ cột tầng số thì ta được bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất thì ta
được bảng phân bố tần số.
3/ Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp
Giả sử n dãy số liệu thông kê đã cho được phân vào k lớp (k < n). Xét lớp thứ i trong k
lớp đó, ta có:
+ Số ni các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i được tần số của lớp đó.
-119-
+ Số nifi n
được gọi là tần số của lớp thứ i
Ví dụ: Theo bảng thông kê trên ta có thể phân thành 3 lớp [2;5), [5;7), [7;8]
Lớp điểm 15’
toán Tần số Tần suất ( %)
[2;5)
[5;7)
[7;8]
18
17
5
45,0
42,5
12,5
Cộng 40 100%
* Bảng này gọi là bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Nếu bỏ cột tần số thì ta
được bảng phân bố tần suất ghép lớp; Nếu bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân bố tần số
ghép lớp.
Ví dụ: Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau ( thành tích chạy 50m của học sinh lớp
10A, đơn vị tính bằng: giây) 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6
6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5
7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1
7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7
7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp:
[6,0;6,5); [6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0]
b) Trong lớp 10A số học sinh chạy 50m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu
phần trăm?
-120-
§2 BIỂU ĐỒ
I/ Biểu đồ tần suất hình cột và đƣờng gấp khúc tần suất
1. Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột
Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biễu
đồ tần suất hình cột như sau:
+ Chọn hệ trục Oxf với đơn vị trên trục hoành Ox là đơn vị của dấu hiệu X được nghiên
cứu; đơn vị trục tung Of là 1%.
+ Để đồ thị được cân đối, đôi khi phải cất bỏ một đoạn náo đó trên trục hoành (hoặc trục
tung), dùng dấu "…" để biểu diễn phần bị cắt bỏ.
+ Trên trục hành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút của các lớp ở bảng
phân bố tần suất ( độ dái các khoảng bằng bề rộng của các lớp) Ta gọi các khoảng và các
lớp này tương ứng nhau. Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài
của các đường cao bằng tần suất của các lớp tương ứng và nằm về phía chiều dương của trục
tung.
Ví dụ: xem SGK
* Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột: tương tự, nhưng thay trục tần suất bởi cột tần số.
2. Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số
+ Trong bảng phân bố ghép lớp ta lấy giá trị trung bình cộng của hai mút lớp thứ i làm
giá trị đại diện của lớp đó, kí hiệu là ci.
+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxf, xác định điểm (ci;fi), i=1;2;3;..;k.
+ Vẽ đoạn thẳng nối điểm (ci;fi) với điểm (ci+1;fi+1).
Ví dụ: xem SGK
II. Biểu đồ hình quạt
+ Toàn bộ hình tròn biểu diễn cho 100%.
+ Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm trong bảng cơ cấu.
+ Số đo độ (và độ dài ) của các cung tròn tương ứng với các hình quạt tỉ lệ với số phần
trăm của các nhóm trong bảng cơ cấu.
-121-
§3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT
Để thu được thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc
trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn. Các số đạc
trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra.
1/ Số trung bình cộng ( x )
* Bảng phân bố tần suất và tần số
Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)
x1
x2
.
xk
n1
n2
.
nk
f1
f2
.
fk
Cộng n=n1+…+nk 100 %
Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức;
1
( ... ) ...1 1 2 2 1 1 2 2
x n x n x n x f x f x f xk k k kn
* Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp
1
( ... ) ...1 1 2 2 1 1 2 2
x n c n c n c f c f c f ck k k kn
ci , fi , ni là giá trị đại diện của lớp thứ i.
Ý nghĩa của so trung bình:
Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc
trưng quan trọng của mẫu số liệu.
Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)
Lớp Giá trị đại
diện Tần số
[5,45 ; 5,85)
[5,85 ; 6,25)
[6,25 ; 6,65)
[6,65 ; 7,05)
[7,05 ; 7,45)
[7,45 ; 7,85)
[7,85 ; 8,25)
5,65
6,05
6,45
6,85
7,25
7,65
8,05
5
9
15
19
16
8
2
N = 74
Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá này là :
x74
05,8.265,7.8...05,6.965,5.5 6,80 (mm).
Ví dụ 2 : Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ
thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.
Điểm trung bình là:
x =
11
8985...630061,09.
Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình. Như
vậy, điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình của nhóm.
-122-
2/ Số trung vị (Me) Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại
diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số
trung vị.
Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không
tăng). Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là :
+ số đứng giữa dãy nếu số phần tử n lẻ ; (=2
1n)
+ trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử n chẵn.
(=trung bình cộng của số hạng thứ 2
n và 1
2
n )
Ví dụ 1: Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10
Ta có Me= 7
Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5
Ta có Me=2,5 8
5,252
3/ Mốt (MO)
Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là MO.
Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói
trường hợp này có hai Mốt, kí hiệu (1) (2)
,M MO O
.
Ví dụ : Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn
đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:
Giá tiền 100 150 300 350 400 500
Số quạt bán đƣợc 256 353 534 300 534 175
Nhận xét và tìm mốt ?
4/ Chọn đại diện cho các số liệu thống kê:
a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n 30) thì ta
ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).
b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại
diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).
c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp
sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):
+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10).
+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn.
+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác)
-123-
§4 PHƢƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
I. PHƢƠNG SAI:
Phương sai, kí hiệu là 2
xs .
+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
2 2 2 2
1 1 2 2
1( ) ( ) ... ( )x k ks n x x n x x n x x
n
2 2 2
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) .k kf x x f x x f x x
+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
2 2 2 2
1 1 2 2
1( ) ( ) ... ( )x k ks n c x n c x n c x
n
2 2 2
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) .k kf c x f c x f c x
+ Có thể tính theo công thức sau: 2
2 2
xs x x
Trong đó 2x = 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1... ...k k k kn x n x n x f x f x f x
n
(đối với bảng phân bố tần số, tần suất)
hoặc 2x = 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1... ...k k k kn c n c n c f c f c f c
n
(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)
*Ý nghĩa phương sai + Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so
với số trung bình).
+ Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp
xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các
số liệu thống kê càng bé.
II. ĐỘ LỆCH CHUẨN:
Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai 2
xs có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo
được nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì 2
xs là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng
căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.
Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx
2
x xs s
* Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số
liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn
để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu. Ví dụ 1 :Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày
trong bảng tần số sau đây:
Sản lƣợng (x) 20 21 22 23 24
Tần số (n) 5 8 11 10 6 N = 40
a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng
b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn
Giải: a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là 40
884x = 22,1 (tạ)
b) s2
=
2
40
884
40
19598
= 1,54 ; Độ lệch chuẩn là s = 24,154,1 (tạ)
-124-
Ví dụ 2:
Điểm trung bình môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua như sau:
Môn Điểm TBcủa An Điểm TB của Bình
Toán
Vật lí
Hóa học
Sinh học
Văn học
Lịch sử
Địa lí
Anh văn
Thể dục
Công nghệ
GDCD
8
7,5
7,8
8,3
7
8
8,2
9
8
8,3
9
8,5
9,5
9,5
8,5
5
5,5
6
9
9
8,5
10
a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của An , Bình
b) Nêu nhận xét.
a) Từ số liệu ở cột điểm của An ta có
2
AS =11
91,725-
2
11
1,89
0,3091 ;SA 0,556
Từ số liệu ở cột điểm của Bình ta có
2
BS =11
5,705-
2
11
89
2,764; SB 1,663
b) Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn học
của An. Điều đó chứng tỏ Bình học lệch hơn An.
-125-
TH C HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LỚP 10
B NG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO
-----------------
1. S dụng máy Casio fx - 570 ES (Stat MODE 3 )
Bai 1. Năng suât lua he thu cua môt đơn vi A đươc thê hiên như sau:
454545452525303025254545454545453535404025253030
353530304545353540404040454535352525252530303030
Bang phân bô tân sô – tân suât
100%100%2424CCôôngng
30.830.8774545
12.512.5334040
16.716.7443535
2020553030
2020552525
TTâân sun suââttTTâân sn sôôGia triGia tri
Sư dung may tinhCasio fx-570ES
Thưc hiên theo cac bươc sau:
SHIFT1. SET UP 4Frequeney?1:ON 2: OFFXuât hiên
Nêu muôn khai bao tân sô thi bâm 1, không muôn thi bâm 2
2. MODE 3 1 Xuât hiênX PREQ
123
3.
25
Nhâp sô liêu
= =30 35 = 40 = =45
Nhâp tân sô: =5 5 = 4 = 3 = 7 = AC
Tinh sô trung binh:
SHIFT 1 5 2 = (kêt qua: )35,41666x
Tinh đô lêch chuân:
SHIFT 1 5 3 = (kêt qua: )7,626s
Tinh phương sai:
x2 = (kêt qua: )2 58,1597s
Tinh đô dai mâu; sô trung binh; đô lêch chuân va phương sai ?
Tinh đô dai mâu:
SHIFT 1 5 1 = (kêt qua: n=24)Var
2. S dụng máy Casio fx - 500 ES (Stat: MODE 2 )
Bai 1. Năng suât lua he thu cua môt đơn vi A đươc thê hiên như sau:
454545452525303025254545454545453535404025253030
353530304545353540404040454535352525252530303030
Bang phân bô tân sô – tân suât
100%100%2424CCôôngng
30.830.8774545
12.512.5334040
16.716.7443535
2020553030
2020552525
TTâân sun suââttTTâân sn sôôGia triGia tri
Sư dung may tinhCasio fx-500ES
Thưc hiên theo cac bươc sau:
SHIFT1. SET UP 4Frequeney?1:ON 2: OFFXuât hiên
Nêu muôn khai bao tân sô thi bâm 1, không muôn thi bâm 2
2. MODE 2 1 Xuât hiênX PREQ
123
3.
25
Nhâp sô liêu
= =30 35 = 40 = =45
Nhâp tân sô: =5 5 = 4 = 3 = 7 = AC
Tinh sô trung binh:
SHIFT 1 5 2 = (kêt qua: )35,41666x
Tinh đô lêch chuân:
SHIFT 1 5 3 = (kêt qua: )7,626s
Tinh phương sai:
x2 = (kêt qua: )2 58,1597s
Tinh đô dai mâu; sô trung binh; đô lêch chuân va phương sai ?
Tinh đô dai mâu:
SHIFT 1 5 1 = (kêt qua: n=24)Var
-126-
3. S dụng máy Casio fx - 570 ES.lus
Bai 1. Năng suât lua he thu cua môt đơn vi A đươc thê hiên như sau:
454545452525303025254545454545453535404025253030
353530304545353540404040454535352525252530303030
Bang phân bô tân sô – tân suât
100%100%2424CCôôngng
30.830.8774545
12.512.5334040
16.716.7443535
2020553030
2020552525
TTâân sun suââttTTâân sn sôôGia triGia tri
Sư dung may tinhCasio fx-500ES.lus
Thưc hiên theo cac bươc sau:
SHIFT1. SET UP 4Frequeney?1:ON 2: OFFXuât hiên
Nêu muôn khai bao tân sô thi bâm 1, không muôn thi bâm 2
2. MODE 3 1 Xuât hiênX PREQ
123
3.
25
Nhâp sô liêu
= =30 35 = 40 = =45
Nhâp tân sô: =5 5 = 4 = 3 = 7 = AC
Tinh sô trung binh:
SHIFT 1 4 2 = (kêt qua: )35,41666x
Tinh đô lêch chuân:
SHIFT 1 4 3 = (kêt qua: )7,626s
Tinh phương sai:
x2 = (kêt qua: )2 58,1597s
Tinh đô dai mâu; sô trung binh; đô lêch chuân va phương sai ?
Tinh đô dai mâu:
SHIFT 1 4 1 = (kêt qua: n=24)Var
4. S dụng máy Casio fx - 570 MS MODE MODE 1 (SD)
Bai 1. Năng suât lua he thu cua môt đơn vi A đươc thê hiên như sau:
454545452525303025254545454545453535404025253030
353530304545353540404040454535352525252530303030
Bang phân bô tân sô – tân suât
100%100%2424CCôôngng
30.830.8774545
12.512.5334040
16.716.7443535
2020553030
2020552525
TTâân sun suââttTTâân sn sôôGia triGia tri
Sư dung may tinhCasio fx-570MS
Thưc hiên theo cac bươc sau:
ON1. MODE MODE
Tinh sô trung binh:
SHIFT S-VAR 1 = (kêt qua: )35,41666x
Tinh đô lêch chuân:
SHIFT S-VAR 2 = (kêt qua: )7,626s
Tinh phương sai:
x2 = (kêt qua: )2 58,1597s
Tinh đô dai mâu; sô trung binh; đô lêch chuân va phương sai ?
Tinh đô dai mâu:
SHIFT S-SUM 3 = (kêt qua: n=24)
25
2. Nhâp sô liêu
SHIFT DT5; 30 SHIFT DT5; 35 SHIFT DT4;
40 SHIFT DT3; 45 SHIFT DT7;
1
5. S dụng máy Casio fx - 500 MS
-127-
Bai 1. Năng suât lua he thu cua môt đơn vi A đươc thê hiên như sau:
454545452525303025254545454545453535404025253030
353530304545353540404040454535352525252530303030
Bang phân bô tân sô – tân suât
100%100%2424CCôôngng
30.830.8774545
12.512.5334040
16.716.7443535
2020553030
2020552525
TTâân sun suââttTTâân sn sôôGia triGia tri
Sư dung may tinhCasio fx-500MS
Thưc hiên theo cac bươc sau:
ON1. MODE 2
Tinh sô trung binh:
SHIFT S-VAR 1 = (kêt qua: )35,41666x
Tinh đô lêch chuân:
SHIFT S-VAR 2 = (kêt qua: )7,626s
Tinh phương sai:
x2 = (kêt qua: )2 58,1597s
Tinh đô dai mâu; sô trung binh; đô lêch chuân va phương sai ?
Tinh đô dai mâu:
SHIFT S-SUM 3 = (kêt qua: n=24)
25
2. Nhâp sô liêu
SHIFT DT5; 30 SHIFT DT5; 35 SHIFT DT4;
40 SHIFT DT3; 45 SHIFT DT7;
-128-
BÀI TẬP Bài 1/ Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành một giản phẩm của
một nhóm công nhân, đơn vị tính: bằng phút)
42
45
45
54
48
42
45
45
54
48
42
45
45
50
48
42
45
45
50
48
44
45
45
50
48
44
45
45
50
48
44
45
45
48
50
44
45
45
48
50
44
45
45
48
50
45
45
54
48
50
a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất.
b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một
sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm.
Bài 2/ Cho số liệu thống kê về chiều cao của 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm. Như sau Nam Nữ
175
176
176
177
176
170
170
170
165
166
175
175
176
176
175
163
162
161
165
169
144
143
142
141
144
156
157
160
164
163
146
147
149
148
152
168
167
166
174
173
161
162
158
159
160
150
151
152
153
155
160
160
160
161
162
172
171
170
170
170
172
172
172
175
175
170
170
170
170
170
175
176
176
175
176
141
142
142
150
154
150
152
152
160
160
160
161
162
164
165
155
156
157
158
159
144
144
143
143
140
145
146
147
148
149
150
154
152
152
153
160
165
159
165
159
168
159
168
159
168
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho cả nam và nữ với các lớp:
[135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185]
b) Trong số các học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh nam
đông hơn hay học sinh nữ đông hơn?
Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày (thời gian
tính: phút) như sau: 21
22
22
21
23
22
19
20
20
21
24
23
24
23
26
19
20
21
22
21
23
23
24
23
24
26
27
28
29
28
25
26
25
26
25
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29].
b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết quả đo của 55 hs, khi đo tổng các góc trong của một tứ
giác lồi) Lớp số đo (độ) Tần số
[535;537)
[537;539)
[539;541)
[541;543)
[543;545]
6
10
25
9
5
Cộng 55
a) Bổ sung thêm cột tần suất.
-129-
b) Nêu nhận xét về kết quả đo của 55 học sinh trên.
Bài 5/ Cho các số liệu thông kê về nhiệt độ trung bình (0C) của tháng 5 ở địa phươ A thừ 1961
đến 1990 như sau:
27,1
28,1
26,8
26,9
27,4
26,7
28,5
27,4
29,0
27,4
26,5
28,4
29,1
27,8
28,3
27,0
28,2
27,4
27,1
27,6
27,0
27,4
28,7
27,0
28,0
27,3
28,3
28,6
26,8
25,9
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
[25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30]
b) Trong 30 năm khảo sát, những năm có nhiệt độ trung bình của tháng 5 (ở địa phương
A) từ 280C đến 30
0C chiếm bao nhiêu phần trăm?
Bài 6/ a) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ
tần số hình cột, vẽ đường gấp khúc tần số.
b) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ tần
suất hình cột, vẽ đường gấp khúc tần suất.
c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu b) nêu nhận xét về thời gian bạn A đi từ nhà
tới trường trong 35 ngày khảo sát.
Bài 7/ a) Trong cùng một hệ trục tọa độ hãy vẽ:
Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2
theo chiều cao của học sinh nam;
Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2
theo chiều cao của học sinh nữ;
b) Dựa vào các đường gấp khúc tần suất đã vẽ ở câu a) hãy so sánh các phân bố theo chiều
cao của học sinh nam và nữ.
Bài 8/ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp:
Tình hình tham gia hoạt động ngoài giờ lên lớp của 73 học sinh lớp 10 trương THPT B
( trong thời gian một tháng).
Bài 9/ Cho các biểu đồ hình quạt
Cơ cầu chi tiêu của người dân Việt Nam,
phân theo các khoản chi (%).
Dựa vào các biểu đồ hình quạt đã cho,
lập bảng trình bày cơ cấu chi
tiêu của nhân dân Việt Nam
trong năm 1975 và 1989.
1975
-130-
Bài 10/
a) Bằng hai cách khác nhau, tính số trung bình của dãy số liệu về chiều cao của học
sinh nam và nữ cho trong bảng bài tập 1.
b) So sánh chiều cao của học sinh nam và nữ trong nhóm học sinh được khảo sát.
c) Tính chiều cao trung bình của tất cả các học sinh được khảo sát.
Bài 11/
a) Tính số trung bình của các số liệu thống kê cho trong các bài tập 3,4,5.
b) Nêu ý nghĩa của các số trung bình tính được.
Bài 12/ Cho bảng phân bố tần số
Mức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao.
a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho.
b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho.
Bài 13/ Cho bảng xếp loại lao động của học sinh lớp 10A năm học 2000-2001.
Loại lao động Tần số
A
B
C
D
10
16
16
7
Cộng 49
a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của bảng nếu tính được.
b) Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn.
Bài 14/Tính
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam
và học sinh nữ cho ở bài tập 2.
b) Giả sử trường THPT M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên Toán (kí hiệu
là nhóm T) có chiều cao trung bình là 163cm, có độ lệch chuẩn là sx=13. So sánh
chiều cao của ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nữ và nhóm T).
1989
Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6.5
7,0
13,0
1
1
3
5
8
5
7
2
Cộng 31
-131-
Bài 15/ Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở
bảng sau:
Điểm số của A:
8 9 10 9 9
10 8 7 6 8
10 7 10 9 8
10 8 9 8 6
10 9 7 9 9
9 6 8 6 8
Điểm số của B:
9 9 10 6 9
10 8 8 5 9
9 10 6 10 7
8 10 9 10 9
9 10 7 7 9
9 8 7 8 8
a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở 2
bảng trên.
b) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắm chụm hơn.
Bài 16/ Người ta điều tra sản phẩm của hai tổ đóng gói các túi đường (có khối lượng quy định
là 2kg). Kết quả điều tra cho các số liệu thống kê ghi trong 2 bảng sau:
Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ A (đơn vị là kg).
1.95 2.09 1.91 1.99 1.93 2.07 5.15 1.96 1.93 1.94
1.94 2.05 2.02 1.97 1.91 1.95 2.05 2.04 2.03 2.00
2.02 1.94 1.92 1.97 2.00 2.02 2.04 2.05 2.02 2.02
1.94 2.01 1.99 1.95 2.03 2.06 1.91 2.14 1.90 2.25
Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ B (đơn vị là kg).
1.77 1.79 1.80 1.69 1.76 1.69 1.69 1.93 1.94 1.98
2.07 1.98 1.96 1.97 2.06 1.96 1.96 1.91 1.93 2.06
1.97 2.07 2.06 2.08 1.91 1.95 2.05 1.93 1.94 2.02
2.22 2.31 1.80 2.30 2.30 2.23 2.31 2.25 2.24 2.23
a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ A với các lớp:
[1.90;1.98);[1.98;2.06);[2.06;2.14);[2.14;2.22);[2.22;2.30).
b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ B với các lớp:
[1.5;1.7);[1.7;1.9);[1.9;2.1);[2.1;2.3);[2.3;2.5).
c) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng
2 bảng trên. Từ đó xét xem trong lần điều tra này, sản phẩm của tổ nào có khối
lượng đồng đều hơn.
Bài 17: Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2005.
Đơn vị là triệu đồng.
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
L 12 15 18 13 13 16 18 14 15 17 20 17
a) Tìm số trung bình, số trung vị.
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp số: a) 67.15x triệu đồng; 5.15eM triệu đồng
-132-
b) 2 5.39; 2.32s s triệu đồng
Bài 18. Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong 23 ngày cuối
năm 2005. Kết quả như sau: 47 ; 54 ; 43 ; 50 ; 61 ; 36 ; 65 ; 54 ; 50 ; 43 ; 62 ; 59 ; 36 ;
45 ; 45 ; 33 ; 53 ; 67 ; 21 ; 45 ; 50 ; 36 ; 58.
a) Tìm số trung bình, số trung vị.
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp số: a) 48.39; 50ex M ; b) 2 121.98; 11.04s s
Bài 19. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong mỗi tháng được thống kê như
sau T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
SK 430 560 450 550 760 430 525 110 635 450 800 950
a)Tìm số trung bình, số trung vị
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp số: a) 554.17; 537.5ex M b) 2 43061.81; 207.51s s
Bài 20. Trên hai con đuờng A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ô tô
trên mỗi con đường như sau: Con đường A : 60 ; 65 ; 70 ; 68 ; 62 ; 75 ; 80 ; 83 ; 82 ; 69 ; 73 ; 75 ; 85 ; 72 ; 67 ; 88 ; 90 ;
85 ; 72 ; 63 ; 75 ; 76 ; 85 ; 84 ; 70 ; 61 ; 60 ; 65 ; 73 ; 76.
Con đường B: 76 ; 64 ; 58 ; 82 ; 72 ; 70 ; 68 ; 75 ; 63 ; 67 ; 74 ; 70 ; 79 ; 80 ; 73 ; 75 ; 71 ;
68 ; 72 ; 73 ; 79 ; 80 ; 63 ; 62 ; 71 ; 70 ; 74 ; 69 ; 60 ; 63.
a)Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ô tô trên mỗi con .
b) Theo em thì lái xe trên con đường nào an toàn hơn ?
Đáp số: a) Trên con đường A : 273.63 / ; 73 / ; 74.77; 8.65 /ex km h M km h s s km h
Trên con đường B: 270.7 / ; 71 / ; 38.21; 6.18 /ex km h M km h s s km h
b) Lái xe trên con đường B an toàn hơn trên con đường A vì vận tốc trung bình của
ô tô trên con đường B nhỏ hơn trên con đường A và độ lệch chuẩn của ô tô trên con
đường B cũng nhỏ hơn trên con đường A.
Bài 21: 400 quả trứng được phân thành năm lớp căn cứ trên khối lượng (đơn vị gam) của
chúng. Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây: Lớp Tần số
[27,5 ; 32,5)
[32,5 ; 37,5)
[37,5 ; 42,5)
[42,5 ; 47,5)
[47,5 ; 52,5)
18
76
200
100
6
N = 400
a) Tính số trung bình
b) Tính phương sai , độ lệch chuẩn.
Đáp số: a) gx 40 b) gss 12.4;172
Bài 22. Một người lái xe thường xuyên đi lại giữa hai địa điểm A và B.Thời gian đi (tính bằng phút)
được ghi lại trong bảng phân bố tần số ghép lớp sau:
Lớp Tần số
[40 ; 44]
[45 ; 49]
[50 ; 54]
[55 ; 59]
[60 ; 64]
[65 ; 69]
9
15
30
17
17
12
N = 100
a) Tính thời gian trung bình mà người đó đi từ A đến B
-133-
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp số: a) Thời gian trung bình mà người đó đi từ A đến B xấp xỉ là 54.7 phút
b) 33.7;71.532 ss phút
Bài 23. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột . Kết quả thu
được như sau: 21; 17; 22; 18; 20; 17; 15; 13; 15; 20; 15; 12; 18; 17; 25; 17; 21; 15; 12; 18; 16;
23; 14; 18; 19; 13; 16; 19; 18; 17. a) Lập bảng phân bố tần số
b) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn.
c) Tính số trung vị và mốt.
Đáp số: a) Lập bảng với 2 hàng là : tuổi và tần số
b) 12.3;37.17 sx
c) 17eM có 2 mốt là 18,17 00 MM
Bài 24. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về một bộ phim mới chiếu trên truyền hình.
Người điều tra yêu cầu cho điểm bộ phim (thang điểm là100). Kết quả được trình bày trong bảng phân
bố tần số sau đây:
Lớp Tần số
[50 ; 64)
[60 ; 70)
[70 ; 80)
[80 ; 90)
[90 ; 100)
2
6
10
8
4
N = 30
a) Tính số trung bình.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp số: a) 77x b) 08.11;67.1222 ss
-134-
Bài tập Thêm
Bài 1: Số học sinh giỏi của một trường THPT gồm 30 lớp được cho ở bảng sau:
0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 1 5 2 4 5
1 0 1 2 4 0 3 3 1 0 0 1 6 6 0
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.
b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.
Bài 2: Nhiệt độ của 24 tỉnh, thành phố ở Việt Nam vào một ngày của tháng 7 như sau (đơn vị:
độ)
36 30 31 32 31 40 37 29
41 37 35 34 34 35 32 33
35 33 33 31 34 34 35 32
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.
b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.
Bài 3: Kết quả điều tra số con trong một gia đình của 45 hộ ở một xã miền núi được ghi như
sau:
4 0 2 4 1 0 2 2 1 0 1 0 2 3 4
0 3 3 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 4 0
4 1 1 2 1 1 2 3 4 2 1 2 2 3 3
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.
b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 4: Một trạm kiểm soát giao thong ghi tốc độ của 30 chiếc xe môtô qua trạm như sau:
40 58 60 75 45 70 60 49 60 75
52 41 70 65 60 42 80 65 58 55
65 75 40 55 68 70 52 55 60 70
Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 5: Hai lớp 10A và 10B của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Văn theo cùng
một đề thi. Kết quả như sau:
Lớp 10A:
Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Cộng
Tần số 1 9 12 14 1 3 40
Lớp 10B:
Điểm thi 6 7 8 9 Cộng
Tần số 8 18 10 4 40
a) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng số liệu trên.
b) Nhận xét xem lớp nào học đều hơn.
Bài 6: Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may, ta có bảng phân bố
tần số sau:
Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng
Tần số 3 5 6 5 6 5 30
a) Lập bảng phân bố tần suất.
b) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng số liệu trên.
c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.
Bài 7: Điểm thi toán của 60 học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau:
1 5 4 8 2 9 4 5 3 2
2 6 3 7 5 9 10 10 7 9
4 1 3 6 0 10 3 3 0 8
2 5 2 1 5 1 8 5 7 2
4 6 3 4 2 6 4 1 6 8
-135-
0 5 3 8 2 7 2 7 10 0
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [0;2), [2; 4), …, [8;10].
b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.
e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 8: Số điện tiêu thụ của một khu dân cư trong một tháng như sau (đơn vị: KW):
50 47 30 65 63 70 38 34 48 53
55 50 61 37 37 43 35 65 60 31
33 41 45 55 59 33 39 32 40 50
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [30;35), [35; 40), …,
[65;70].
b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.
e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 9: Trong một cuộc điều tra 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư với câu hỏi: “Tháng trước anh
(chị) sử dụng hết bao nhiêu cuộn phim?” thu được mẫu số liệu sau:
5 3 3 1 4 3 4 3 6 8
4 2 4 6 8 9 6 2 10 11
15 1 2 5 13 7 7 2 4 9
3 8 8 10 14 16 17 6 6 12
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [0;2], [3; 5], …, [15;17].
b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.
e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 10: Quyên góp tiền ủng hộ từ thiện ở một trường học như sau (đơn vị: nghìn đồng).
95 98 102 95 97 110 115 120 112 96
98 125 118 120 98 100 105 121 118 99
105 115 97 99 96 99 105 124 125 125
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [95;100), [100;105), …,
[125;130].
b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.
e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
Bài 11: Điểm trung bình của 10 học sinh lớp 10A được thống kê theo bảng sau:
Học sinh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Điểm 9,0 5,0 6,0 7,0 7,5 8,0 6,0 8,0 4,0 3,0
a) Tính Me và x bảng thống kê điểm số trên
b) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn
-136-
BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG V: THỐNG KÊ
1. Cho bảng số liệu thống kê:
Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào
30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 45
30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40
40 35 35 35 35
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất
b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê.
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
2. Cho bảng số liệu thống kê:
Thời gian (phút) hoàn thành một bài tập toán của mỗi học sinh lớp 10A.
20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6 25,3 21,5
23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1 21,3 24,2 22,0 23,8
24,1 21,1 22,8 19,5 19,7 21,9 21,2 24,2 24,3 22,2
23,5 23,9 22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7
a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau:
[19,5 ; 20,5) [20,5 ; 21,5) [21,5 ; 22,5)
[22,5 ; 23,5) [23,5 ; 24,5) [24,5 ; 25,5]
b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê đã cho.
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
3. Cho bảng số liệu thống kê:
Sản lượng thuỷ sản nuôi trồng năm 2000 (đơn vị: tấn) của 30 tỉnh từ Thừa Thiên - Huế trở ra:
775 51 522 40 280 1245 1942 557 86 131
834 391 433 20 89 33 312 872 1763 303
200 554 1902 27 626 94 74 1165 419 164
a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất:
[20 ; 320) [320 ; 620) [620 ; 920)
[920 ; 1220)
[1220 ; 1520) [1520 ; 1820) [1820 ; 2120]
b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét các số liệu thống kê đã cho.
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
4. Cho bảng số liệu thống kê:
Giá trị thành phẩm quy ra tiền (đơn vị: nghìn đồng) trong 30 ngày sản xuất của một phân xưởng hoá chất.
180 186 190 204 192 200 201 203 191 202
212 205 211 240 216 208 209 222 221 220
225 206 228 231 220 239 210 213 202 203
a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp như sau:
[180 ; 192) [192 ; 204) [204 ; 216) [216 ; 228) [228
; 240]
b) Biết rằng định mức lao động của phân xưởng là “mỗi ngày phải sản xuất được tối thiểu 204 nghìn đồng”. hãy
xác định xem số ngày mà phân xưởng hoàn thành định mức lao động chiếm một tỉ lệ là bao nhiêu phần trăm
(trong 30 ngày được khảo sát).
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
5. Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2500 g. Sau đây là kết
quả khảo sát ở 43 tỉnh (đơn vị : %).
5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,6
6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,7
6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,9
8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4
a) Hãy lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp gồm 5 lớp. Lớp thứ nhất là nửa khoảng [4,5 ; 5,5), lớp
thứ hai là [5,5 ; 6,5),………(Độ dài mỗi nửa khoảng là 1)
b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
d) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên. e) Tìm số trung vị và mốt.
-137-
f) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
6. Kết quả của một kì thi môn Tiếng Anh của 32 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau (thang điểm 100).
68 52 49 56 69 74 41 59
79 61 42 57 60 88 87 47
65 55 68 65 50 78 61 90
86 65 66 72 63 95 72 74
a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp, sử dụng sáu lớp : [40 ; 50) ; [50 ; 60) ; … ; [90 ; 100)
b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. c) Vẽ đường gấp khúc tần số.
d) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. e) Tính số trung bình của mẫu số liệu
trên.
f) Tìm số trung vị và mốt. g) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
7. Điểm trung bình kiểm tra của 02 nhóm học sinh lớp 10
Nhóm 1 : 9 học sinh Nhóm 2 : 11 học sinh
1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10
a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 5); [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2
nhóm.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ở 2 bảng phân bố.
c) Nêu nhận xét về kết quả làm bài của hai nhóm.
d) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm.
8. Số tiết tự học tại nhà trong 1 tuần (tiết/tuần) của 20 học sinh lớp 10X trường MC được ghi nhận như sau :
9 15 11 12 16 12 10 14 14 15
16 13 16 8 9 11 10 12 18 18
a) Lập bảng phân phối rời rạc theo tần số cho dãy số liệu trên
b) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc theo tần số biểu diễn bảng phân phối trên
c) Tính số trung bình cộng và phương sai của giá trị này.
9. Năng suất lúa (tạ/ha) của 30 hộ nông dân trong xã A, huyện B, tỉnh X vào năm 2008 như sau:
24 30 30 35 26 45 40 34 37 52
33 48 34 47 51 28 36 44 48 55
29 35 47 54 39 43 32 29 46 51
a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp theo các lớp:
Lớp 1 (năng suất thấp) = [20 ; 30) Lớp 2 (năng suất TB) = [30 ; 40)
Lớp 3 (năng suất khá) = [40 ; 50) Lớp 4 (năng suất cao) = [50 ; 60)
b) Vẽ các biểu đồ hình cột và đường gấp khúc (theo tần số) từ bảng phân bố trên. Nêu 1 nhận xét về kết quả vụ
thu hoạch này.
c) Tính năng suất trung bình của xã A và tìm số trung vị. Giữa số trung bình và số trung vị số nào làm đại diện
tốt hơn.
d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
10. Chiều cao của 45 học sinh lớp 5 ( tính bằng cm ) được ghi lại như sau :
102 102 113 138 111 109 98 114 101
103 127 118 111 130 124 115 122 126
107 134 108 118 122 99 109 106 109
104 122 133 124 108 102 130 107 114
147 104 141 103 108 118 113 138 112
a) Lập bảng phân phối tần số – tần suất ghép lớp (98 - 102); (103 - 107); …… ; (143 - 147).
b) Vẽ đường gấp khúc tần số. c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
d) Tìm số trung bình cộng và số trung vị e) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
11. Xem bảng tiền lương của 30 công nhân xưởng may (trong một tháng)
Tiền lương xi (nghìn đồng) 300 500 700 800 900 1000 Cộng
Tần số ni 3 6 5 5 6 5 30
Tính số trung bình cộng x của bảng thống kê và tìm mốt M0 của bảng phân phối thực nghiệm trên.
12. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp. Hãy tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch
chuẩn của bảng phân phối thực nghiệm.
Các lớp giá trị của X [10 ; 14) [14 ; 18) [18 ; 22] Cộng
Tần suất fi (%) 65 10 25 100%
13. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp:
Năng suất lúa năm 1985 của 31 thửa ruộng ở địa phương A
Các lớp giá trị của X (tạ/ha) Tần số ni a) Tính số trung bình cộng x
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
-138-
[15,50 ; 20,50)
[20,50 ; 25,50)
[25,50 ; 30,50)
[30,50 ; 35,50]
3
10
11
7
Cộng 31
14. Sản lượng lúa (đơn vị: tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng phân
phối thực nghiệm tần số sau đây:
Sản lượng xi 20 21 22 23 24 Cộng
Tần số ni 5 8 11 10 6 40
a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng.
b) Tìm số trung vị và mốt
c) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
15.
Bài tập
Bài 1: Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A ở trường X được cho ở bảng sau
Điểm 5 6 7 8 9 10
Tần số 1 5 10 9 7 3
Tìm số trung bình, số trung vị và mốt.phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 2: Bạn Lan ghi lại số cuộc điện thoại nhận được mỗi ngày trong 2 tuần
5 6 10 0 15 6 12 2 13 16 0 16 6 10
a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn
b. Lâp bảng phân bố tần số ghép lớp với các lớp sau: 0;4 , 5;9 , 10,14 , 15,19
Bài 3: : Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng làm theo sản phẩm của 20 công nhân
trong một tổ sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )
Thu nhập
(X)
8 9 10 12 15 18 20
Tần số(n) 1 2 6 7 2 1 1
Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)
Bài 4: Cho bảng phân bố tần số
Điểm kiểm tra
toán
1 4 6 7 9 Cộng
Tần số 3 2 19 11 8 43
Tính phương sai, độ lệch chuẩn và tìm mốt của bảng đã cho
Bài 5: Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng của 400 công nhân trong một cơ sở sản
xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )
Nhóm Khoảng Tần số Giá tri đại
diện
Tần suất
1
2
3
4
5
[8;10)
[10;12)
[12;14)
[14;16)
[16;18)
60
134
130
70
6
…………..
…………..
…………..
…………..
……………
……………
……………
…………....
……………
…………..
-139-
N=400
a) Điền vào dấu …. trong bảng trên . Vẽ biểu đồ tần số hình cột ,đường gấp khúc
b) Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)
-140-
Bài 6. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156
148 148 158 155 149 152
152 150 160 150 163 171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165;
175].
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
Bài 7: Cho bảng phân bố tần số tiền thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên của một công
ty
Tiền
thưởng 2 3 4 5 6 Cộng
Tần số 5 15 10 6 7 43
Tính phương sai, độ lệch chuẩn, tìm mốt và số trung vị của phân bố tần số đã cho.
Bài 8: Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau đây:
645 650 645 644 650 635 650 654
650 650 650 643 650 630 647 650
645 650 645 642 652 635 647 652
a. Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp là:
630;635 , 635;640 , 640;645 , 645;650 , 650;655
b. Tính phương sai của bảng số liệu trên.
c. Vẽ biểu đồ hình cột tần số, tần suất
Bài 9 : Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền.
Lớp chiều cao (
cm )
Tần
số
[ 168 ; 172 )
[ 172 ; 176 )
[ 176 ; 180 )
[ 180 ; 184 )
[ 184 ; 188 )
[ 188 ; 192 ]
4
4
6
14
8
4
Cộng 40
a). Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?
b). Nêu nhận xét về chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền kể trên ?
c). Tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn ?
d). Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu 1.
Bài 10: Khảo sát dân số tại một địa phương ta có bảng kết quả sau:
Dưới 20
tuổi
Từ 20 đến 60
tuổi
Trên 60
tuổi
Tổng
cộng
11 800 23 800 4 500 40 100
Hãy biểu đồ tần suất hình quạt.
-141-
Bài 11. Để khảo sát kết quả thi môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường A ,
người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang
điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần
số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 100N
1. Tìm mốt. Tìm số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm).
2. Tìm số trung vị. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).
3. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột.
Bài 12. Tiến hành một cuộc thăm dò về số giờ tự học của một học sinh lớp 10 ở nhà trong một tuần,
người điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 và đề nghị các em cho biết số giờ tự học ở nhà
trong 10 ngày. Mẫu số liệu được trình bày dưới dạng phân bố tần số ghép lớp sau đây (đơn vị là giờ).
Lớp Tần số
0;9 5
10;19 9
20;29 15
30;39 10
40;49 9
50;59 2
50N
a) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.
c) Vẽ biểu đồ tần số hình cột tần suất.
-142-
Chƣơng IV
CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC
I. Khái niệm cung và góc lƣợng giác:
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là
chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ
làm chiều dương
-
+
A
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo
một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lƣợng giác
Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác.
2. Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn
từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một
góc lƣợng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD.
Kí hiệu: (OC,OD)
3-Đường tròn lượng giác :
Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại
A(1; 0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1).
II. Số đo của cung và góc LG:
1. Độ và radian
Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
1800
= rad
10 =
180
rad và rad=(
180
)
0
với 3,14; 100,01745rad
Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ
rad sau số đó. Ví dụ: 3
;
2
*Bảng chuyển đổi thông dụng:
Độ 300
450
600
900
1800 360
0
rad
6
4
3
2
2
*Độ dài của một cung lƣợng giác
Độ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R
+
A'(-1; 0)
B'(0; -1)
B(0; 1)
OA(1; 0)
-143-
2. Số đo của cung lƣợng giác: VD: Xem hình 44
Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm.
Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM.
Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội
của 2 . Và viết là:
sđAM = 2k , (kZ)
Trong đó là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.
MA sđAA = 2k , (kZ)
k = 0 sđAA = 0
* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:
SđAM = a0 + k360
0, (kZ)
3. Số đo một góc lƣợng giác:
Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng .
Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
4.Biểu diễn cung lƣợng giác trên đƣờng tròn lƣợng giác:
Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A
làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :
sđ AM = . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là 25
4
; -765
0
Giải: SGK tr139
Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau
a) 11
2
; b) 405
0
Giải
a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :
sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1).
b) Ta có 4050 = 45
0 + 360
0. Điểm ngọn N của cung 405
0 được xác định bởi hệ
thức: sđAN = 450 + 360
0 hay sđ AN = 45
0.
Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.
Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo
= /2 + k , kZ.
Giải
kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ :
+ Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó = /2 + n2 , nZ.
Vậy điểm ngọn của là B(0;1).
+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ.
Vậy điểm ngọn của là B’(0;-1).
-144-
BÀI TẬP 1) Đổi số đo các góc sau ra radian
a) 22030’ = 22
0 +(1/2)
0 /8 b) 71
052’ =71
0 + (52/60)
0 539/1350
2) Đổi số đo các cung sau ra độ ,phút, giây
a) 3/16 =33045’ b) 3/4 = 42
058’19”
3) Cho một đường tròn có bán kính 5 cm . Tìm độ dài cung tròn trên đường tròn có số đo
a) 1 b) 1,5 c) 370 ( =R. , = .a/180)
4) Cho một đường tròn có bán kính 8 cm. Tìm số đo bằng độ các cung có độ dài
a) 4 cm b) 8 cm c) 16 cm ( = /R a=180./ =R.
.180
)
5) Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo
3/4 ; -600 ; -315
0 ; -5/4 ; 11/3
Trong các điểm ngọn của các cung ,có những điểm trùng nhau,hãy giải thích. HD :
3/4 = /2+/4
5/4 = 3/4 2
11/3 = /3 +12/3 =/3 +4
600 = /3
3150 = 270
0 45
0
Các cung có cùng điểm ngọn là 3/4 và5/4;11/3 và 600
6) Trên đường tròn lượng giác,cho điểm M xác định bởi sđ AM = ( 0<</2). Gọi M1, M2
,M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox,Oy và gốc tọa độ . Tìm số đo của các cung
AM1 ; AM2 ; AM3 HD :
Sđ AM1 = +k2
Sđ AM2 = + k2
Sđ AM3 = + +k2.
7) Trên đường tròn lượng giác,xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo :
a) k b) k/2 c) k2 /5 ( k Z) HD :
a) Các điểm ngọn khác nhau là A,A’ .
b) Các điểm ngọn khác nhau là A,B,A’,B’.
c) =2/5 a = 720 điểm ngọn là các đỉnh của ngũ giác điều
8) Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây .
a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút biết rằng đường
kính của bánh xe đạp là 680 mm. HD :
a) =5
11.2=22/5 a = 75
0
b) = 60.5
22.
2
680 282 m
B'
B
A' AO
M3 M1
M2
AA'
B'
B
O
M
y
xAA'
B'
B
O
M
-145-
BÀI TẬP LÀM THÊM
1) a) Đổi ra radian các góc có số đo sau : 180;25
0;37
015’;127
030’;480
0;1850
0.
180= /10; 25
0= 5/36; 37
015’= 149/120; 127
030’= 17/24
4800= 8/3; 1845
0= 123/12.
b) Đổi ra độ các cung có số đo radian sau: /18; 5/12; 7/15 ;2; 5,2 ; 21,16 .
/18= 180; 5/12= 75
0; 7/15=840 ; 2rad 114
035’30”
5,2 rad 297056’17” ; 21,6 rad 1237
035’20”.
2) Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tính chiều dài cung AB trên đường tròn này biết : sđ
AB = 300 ; 3/6 ; 240
0 ; 3/5
10,5 cm ; 31,4 cm ; 83,8 cm; 37,7 cm
3) Cho góc lượng giác = 400 + k360
0. Xác định góc sao cho :
a) || 3600
3600 40
0 +k360
0 3600
360
320
360
400 k k=1;0.
b) || 9800
Tương tự k = 2;1;0;1;2.
-146-
§ 2 GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I. Các giá trị lƣợng giác của cung
1) Định nghĩa : Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có
sđ AM = . Khi đó :
+ Khi đó tung độ y= OK của điểm M gọi là sin của
kí hiệu là sin sin = y .
+ Khi đó hoảnh độ x= OH của điểm M gọi là côsin của
kí hiệu là cos cos = x .
+ Nếu cos 0, tỉ số
cos
sin gọi là tang của
kí hiệu tan (hoặc tg ) tan=
cos
sin
+ Nếu sin 0, tỉ số
sin
cos gọi là côtang của
kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot =
sin
cos .
Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục
tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.
* Chú ý : - Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
- Nếu 00 180
0 thì các giá trị lượng giác của cũng chính là các tỉ số lượng giác của
góc trong SGK HH10.
2) Các hệ quả :
a) sin và cos đều được xác định R. Ta có:
sin( + k2) = sin
cos( + k2) = cos
1 sin ,cos 1
b) m R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại và sao cho sin = m và sin =m
c) tan xác định khi 2
+ k , k Z.
cot xác định khi k , k Z.
c) Dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
Góc lượng giác I II III IV
sin + +
cos + +
tan + +
cot + +
B'
B
A' AO
M (x;y)
K
H
-147-
3) Bảng giá trị lƣợng giác của một số cung hay góc đặc biệt :
Góc
Giá trị
lượng giác
0(00) /6(30
0) /4(45
0) /3(60
0) /2(90
0)
Sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1
Cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0
Tg 0 3 /3 1 3 ||
Cotg || 3 1 3 /3 0
|| : không xác định
II) Ý nghĩa hình học của tan và cot
+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ AT trên trục t’At,trục này gọi là trục tang.
+ cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ BS trên trục s’Bs,trục này gọi là trục
cotang.
Từ ý nghĩa hình học của tan và cot ta có :
tan(+k ) = tan
cot(+k ) = cot ( k Z ).
III. Quan hệ giữa các giá trị lƣợng giác
1/ Các hằng đẳng thức lƣợng giác cơ bản
Với mọi k Z ta có :
sin2 + cos
2 = 1
)2
( 1cot.
)( sin
1
cot
11
)2
( cos
111
22
22
kgtg
kg
ktg
Ví dụ 1 : Cho sin = 3/5 với 0< </2. Tính cos ?
Ví dụ 2 : Cho tg =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin và cos ?
Ví dụ 3 : Cho /2+k , k Z . Chứng minh rằng :
1cos
sincos 23
3
tgtgtg
Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
A =
g
g
tg
tg
cot
1cot.
1
2
2
y
x
t
K
H AA'
B'
B
O
M
T
y
x
S
H
K
A
B'
B
O
M
-148-
2) Giá trị lƣợng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau : và
sin() = sin
cos() = cos
tan() = tan
cot() = cot .
b) Cung bù nhau : và
sin() = sin
cos() = cos
tan()= tan
cot()= cot .
c) Cung hơn kém nhau : và +
sin(+) = sin
cos(+) = cos
tan(+) = tan
cot(+) =cot .
d) Cung phụ nhau : và 2
sin(/2) = cos
cos(/2)= sin
tan(/2) = cot
cot(/2) = tan
e) Cung hơn kém nhau /2 : và 2
+ (Xem)
sin(/2+) = cos
cos(/2+) = sin
tan(/2+) = cot
cot(/2+)= tan .
Ví dụ : Tính
a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4).
b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1.
c) sin(10500)=sin(30
03.360
0) =sin30
0 = ½ .
-149-
BÀI TẬP SGK
1) Tính sin cà cos biết :
a) = 6750 = 45
0 720
0 b) = 390
0 = 30
0 + 360
0
c) =17/3 = /3 18/3 d) = 17/2 = /2 +16/2 .
2) Biểu thị theo tg các biểu thức sau,trong đó k Z :
a) tg(k +) =tg b) tg(k )=tg()=tg c) cotg(+k ) =cotg = 1/tg
3) Cho 0 < < /2. Xét dấu các biểu thức sau :
a) cos(+) < 0 b) tg() > 0
c) sin(+2/5) > 0 d) cos(3/8) > 0.
4) Tính biết :
a) cos = 1 =k2 b) cos =1 = + k2
c) cos = 0 =/2 +k d) sin = 1 = /2 +k2
e) sin =1 =/2 +k2 f) sin = 0 = k .
5) Chứng minh các đẳng thức sau :
a) tg2x sin
2x = tg
2x.sin
2x . b) x
gx
x
x
tgxcos
cot
sin
sin
c) xtgx
x 2
2
2
21sin1
sin1
d) xx
xtgxg
xx 22
22
22
cossincot
sincos
6) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
a) A = 2cos4xsin
4x+sin
2xcos
2x+3sin
2x
Biến đổi theo cos (hoặc theo sin ) ta có : sin2x = 1cos
2x ;sin
4x =(1cos
2x)
2
Thay tính được A = 2.
b) B = (cotgx+tgx)2(cotgxtgx)
2
Khai triển hằng đẳng thức ta tính được B = 4.
c) C =1cot
1cot
1
2
gx
gx
tgx
Biến đổi tg = 1/cotg thế vào tính được C =1.
d) D = xxxx 2424 sin4coscos4sin
= xxxx 222222 sin4)sin1(cos4)cos1(
= |sin1||cos1|)sin1()cos1( 222222 xxxx
= 3 ( vì 1+cos2x,1+sin
2x > 0, x )
7) Tính các giá trị lượng giác của cung biết :
a) sin = 1/3 cos = 3
22
b) cos =2/ 5 và /2 < < 0 sin = 5/5
c) tg = 2 và /2 < < cos = 5/5
d) cotg = 3 và < < 3/2 sin = 10/1
e) sin = 5
4 và cos < 0 cos =
5
3
f) cos = 17
8 và
2 sin
17
15
8) Rút gọn các biểu thức sau :
a) A = cos(/2 + x) + cos(2x) + cos(3 + x) = sinx
b) B = 2cosx3cos(x) + 5sin(7/2x) + cotg(3/2x) = tgx
c) C = )2
cos()2
3sin()5sin()
2sin(2 xxxx
= cosx
-150-
d) D = )3(cot)2
3()
2
3sin()5cos( xgxtgxx
= 0
9) Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
a) sin(A+B) = sinC b) cos(A+B) = cosC
c) sin2
BA=cos
2
C d) cos
2
BA=sin
2
C.
10. Chứng minh các đẳng thức sau
a) cos4 -sin
4 =2cos
2 -1
HD: cos 4 - sin
4 = 2222 sincossincos = 22 cos1cos
= 1cos2 2
b) 1 – cot 4 = 42 sin
1
sin
2 (nếu 0sin )
HD: 224 cot1cot1cot1 =
2
2
2
2
sin
cos1
sin
cos1
=
2
22
2
22
sin
cossin
sin
cossin=
2
22
2 sin
sin1sin
sin
1
=
4
2
sin
1sin2 =
42 sin
1
sin
2
c)
2
2
2
tan21sin1
sin1
(nếu 1sin )
HD: VT =
2
222
cos
sincossin =
2
22
cos
cossin2 = 1tan2 2
11. CM biểu thức không phụ thuộc
a) A = 4 4 4 4sin 4cos cos 4sin
HD: A= 24 sin14sin + 24 cos14cos
= 22 )sin2( + 2
2cos2 = 2sin2 + 2cos2 =3
b) B = 6 6 4 42 sin cos 3 cos sin
HD: B= 3232 cossin +(cos2 )
2 + (sin
2 )
2
B1 = 22 cossin . 4224 coscossinsin = (sin2 +cos
2 )
2 - 3sin
2 cos
2
= 1 – 3sin2 cos
2 12B 2 – 6 sin
2 cos
2
B2 = (cos2 )
2 +2sin
2 cos
2 + (sin
2 )
2 –2sin
2 cos
2
=(cos2 + sin
2 )
2–2 sin
2 cos
2
= 1 – 2 sin2 cos
2 23B –3 + 6 sin
2 cos
2
B = 2 – 6 sin2 cos
2 – 3 + 6 sin
2 cos
2 = – 1
12. Tính
a) A =3
25cos
6
25sin
+ tan
4
25 . Đáp số: A= 0
b) Biết 3
1sin . Tính : B1 = 2cos ;Tính B2 = 7tan
Đáp số: B13
22
9
8 ; B2 = tan
2
4
13. Biết m cossin .Tính P = 33 cossin
HD: P = cossin1)cos(sin (*) (do sin2 + cos
2 = 1)
2 2 2sin cos sin 2sin cos cos = 1 - 2 cossin
-151-
2
cossin1cossin
2
2
1 2m (1)P = m m
m
2
11
2
2
3 2m
-152-
§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC
I) Công thức cộng
Với mọi số thực a , b ta có :
cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tgatgb1
tgbtga)ba(tg
(a /2 + k ;b /2 + k ;a+b /2 + k ;ab /2 + k )
Ví dụ1 : Tính
a) cos 12
13 b) sin75
0 c) tg
14
7
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng
a) tga1
tga1)a
4(tg
b) tga1
tga1)a
4(tg
Áp dụng tính A = 0
0
151
151
tg
tg
tg15
0 = ?
II) Công thức nhân
1) Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a sin
2a
= 2cos2a 1
= 1 2sin2a
tg2a = atg1
tga2
2 ( a /2 + k , a /4 + k /2 )
* Công thức nhân ba
sin3a = 3sina 4sin3a
cos3a = 4cos3a 3cosa
tg3a =atg31
atgtga3
2
3
Ví dụ :
a) Chứng minh rằng a2sin2
11acosasin 244 .
b) Chứng minh rằng asinacos
asinacos
a2sin1
a2cos
2) Công thức hạ bậc
2
a2cos1acos2
2
a2cos1asin2
a2cos1
a2cos1atg2
( a /2 + k )
-153-
Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8
3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg2
a (không học)
Giả sử a + k ,đặt t = tg2
a,ta có :
22
2
2 t1
t2tga ;
t1
t1acos ;
t1
t2asin
.
Ví dụ1 : Biết tg 2
a=
3
2 , tính
asin54
acos32
III) Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb = 2
1 [cos(a+b) + cos(ab)]
sina.sinb = 2
1 [cos(a+b) cos(ab)]
sina.cosb = 2
1 [sin(a+b) + sin(ab)]
cosa.sinb =2
1 [sin(a+b) sin(ab)]
Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :
24
sin24
5sinB
12
7sin
12
5cosA
Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau
C = cos5x.cos3x
D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x
= sin4x sin6x + sin2x IV) Công thức biến đổi tích thành tổng
2
yxsin
2
yxsin2ycosxcos
2
yxcos
2
yxcos2ycosxcos
2
yxsin
2
yxcos2ysinxsin
2
yxcos
2
yxsin2ysinxsin
sin( )
tan tancos cos
x yx y
x y
Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích
Khi đó ta có các công thức :
)4
xsin(2xcosxsin
)4
xcos(2xsinxcos
)4
xsin(2)4
xcos(2xsinxcos
Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích
A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx
= 2cosx(sin2x + sinx ) =
-154-
BÀI TẬP Áp dụng
Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác các cung có số đo
a) 150 = 45
030
0 b) 5/12 = /4 +/6
Bài 2 :
a) Biết sin =3/5 và /2 < < . Tính tg(+/3) .
HD : Tính cos = 4/5
tính sin(+/3) = …=(3 34 )/10 ; cos(+/3)=(43 3 )/10
tg(+/3) =)3/cos(
)3/sin(
b) Biết sina=4/5 và 00 < a < 90
0, sinb = 8/17 (90
0 < b < 180
0) .
Tính cos(a+b), sin(ab) .
HD : tính cos a = 3/5, cosb=15/17 cos(a+b)= , sin(ab) =
c) Cho hai góc nhọn a và b với tga = ½,tgb = 1/3. Tình a + b .
HD : tính tg(a+b) = tgb.tga1
tgbtga
= 1 a+b = /4 .
d) Biết tg(+/4) = m với m 1 . Tính tg .
HD : tg(+/4)=(1+tga)/(1tga) = m (m+1)tga = m1 tga = (m1)/(m+1)
Bài 3 : Chứng minh :
a) sin(a+b).sin(ab) = sin2asin
2b = cos
2bcos
2a.
HD : VT = (sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosbcosa.sinb)=(sina.cosb)2(cosa.sinb)
2
= sin2a.cos
2acos
2a.sin
2a biến cos
2a = 1sin
2a hoặc sin
2a = 1 cos
2a …
b) cos(a+b).cos(ab) = cos2asin
2b = cos
2bsin
2a.
HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos
2b sin
2asin
2b
Bài 4 :
a) Cho ab = /3. Tính giá trị các biểu thức sau :
A = (cosa+cosb)2 + (sina+sinb)
2
HD : khai triển hằng đẳng thức A = 2+2(cosa.cosb+sina.sinb) =2+2cos(ab)
B = (cosa+sinb)2+ (cosbsina)
2
HD : B = 22sin(ab)
b) Cho cosa = 1/3 và cosb = ¼. Tính cos(a+b)cos(ab) .
HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos
2b sin
2asin
2b
Bài 5 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
(với điều kiện tam gíc ABC không phải là tam giác vuông )
Ta có : tgC = tg[(A+B)] = tg(A+B) = tgB.tgA1
tgBtgA
tgCtgAtgBtgC = tgA+tgB
b) 12
Atg.
2
Ctg
2
Ctg.
2
Btg
2
Btg.
2
Atg .
Ta có :
2
Btg
2
Atg
2
Btg.
2
Atg1
)2
B
2
A(tg
1)
2
B
2
A(gcot)]
2
B
2
A(
2[tg
2
Ctg
… đpcm .
Bài 6 : Tính cos2 ,sin2 ,tg2 biết ;
a) cos = 5/13 và < <3/2 .
HD : cos2 = 2cos2 1 = 119/169
sin2 = 1 cos
2 sin = 12/13 sin2 =2sin. cos
b) tg = 2 . HD : sin2a = 2tga/(1+tg2a) , cos2a = (1tg
2a)/(1+tg
2a) ,tg2a = sin2a/cos2a
Bài 7 : Cho sin2a = 4/5 và /2 < a < 3/2 . Tính sina và cosa .
HD : /2 < a < 3/2 < 2a < 3 ,vì sin2a = 4/5 < 0 < 2a < 2
cos2a = 3/5 hoặc cos2a = 3/5
-155-
Bài 8 : Tính
a) A = 8
cos.16
cos.16
sin
.
HD : A = 8
sin2
1 .cos
8
b) B = sin100.sin50
0.sin70
0.
HD : Nhân thêm 2cos100 và biến đổi sin70
0 = cos20
0
Bài 9 : Chứng minh
a) cotgx + tgx = 2/sin2x .
HD : xcos.xsin
1
xcos
xsin
xsin
xcosVT
b) cotgx tgx = 2cotg2x. HD :
x2gcot2x2tg
2
xtg1
tgx2
2
xtg1
tgx
1
tgx
xtg1tgx
tgx
1VT
22
2
c) xtgcos2x1
cos2x-1 ; tgx
x2cos1
x2sin 2
.
HD : tgxxcos2
xcosxsin2VT
2
Bài 10 : Chứng minh :
a) cos4a = 8cos4a 8cos
2a + 1.
HD : VT = 2cos22a1=2(2cos
2a1)
21= …
b) sin6a + cos
6a =
8
3cos4a+
8
5
HD : VT = sin4asin
2a.cos
2a+cos
4a=13sin
2a.cos
2a=1
4
3sin
22a= ]
2
a4cos1[
4
31
Bài 11 : Biến đổi thành tổng
a) A = 2sin(a+b).cos(ab) . = sin2a + sin2b
b) B = 2cos(a+b).cos(ab) . = cos2a + cos2b
c) C = 4sin3x.sin2x.cosx .
= 1+cos2xcos4xcos6x
Bài 12 : Biến đổi thành tích
a) A = sina + sinb + sin(a+b).
= (sina+sinb) + 22
bacos
2
basin
b) B = cosa + cosb + cos(a+b) +1.
HD : biến đổi coa + cosb thành tích ; 1 + cos(a+b) = 22
bacos2
c) C =1 + sina + cosa.
HD : 1+cosa = 22
acos2
; sina = 2
acos
2
asin2
d) D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x. = (sin7x+sinx) + (sin5x+sin3x)
= 4sin4x.cos2x.cosx
Bài 13 : Chứng minh
a) sinx.sin(/3x).sin(/3+x) = 4
1sin3x.
-156-
VT = xsinxsin4
3)xsin21
2
1(xsin
2
1]
2
1x2[cosxsin
2
1 32
b) cosx.cos(/3x).cos(/3+x) =4
1cos3x.
VT = xcos4
3x3cos)
2
11xsin2(xcos
2
1]
2
1x2[cosxcos
2
1 2
c) cos5x.cos3x+sin7x.sinx = cos2x.cos4x.
VT = x2cos.x4cos]x6cosx2[cos2
1]x8cosx6[cos
2
1]x8cosx2[cos
2
1
d) sin5x2sinx(cos2x+cos4x) = sinx.
VT = sin5x2sinx[2cos3x.cosx] = sin5x4cos3x.sinx.cosx=sin5x2sin2x.cos3x
= sin(3x+2x) 2sin2x.cos3x = sin3x.cos2x+cos3x.sin2x2sin2x.cos3x
= sin3x.cos2xcos3x.sin2x = sin(3x2x) = sinx
Bài 14 : Chứng minh
a) 09
7cos
9
5cos
9cos
.
0)2
121(
9cos)
3
2cos21(
9cos)
9cos.
3
2cos2(
9cos)
9
7cos
9
5(cos
9cos
b) sin200.sin40
0.sin80
0 = 8/3 .
00030020
02000000
60sin4
120.3sin
4
1]20sin420sin.3[
4
1 ]20sin
2
3[20sin
2
1
]2
120sin1[20sin
2
1 ]
2
140[cos
2
1.20sin]120cos40[cos
2
1.20sinVT
Bài 15 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :
a) sinA + sinB + sinC = 2
Ccos
2
Bcos
2
Acos4 .
]2
BAcos
2
BA[cos
2
Ccos2
2
Ccos
2
Csin2
2
BAcos
2
BAsin2VT
…
( ta có 2
BAsin)]
2
BA(
2cos[
2
Ccos
)
b) cosA + cosB + cosC = 1 +2
Csin
2
Bsin
2
Asin4
.......]2
Csin
2
BA[cos
2
Csin21
2
Csin21
2
BAcos
2
Csin2
2
Csin21
2
BAcos
2
BAcos2VT 22
c) sin2A +sin2B+sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
osC4cosAcosBcA.cosB2sinC.2cos
)]BAcos()BA[cos(Csin2CcosCsin2)BAcos()BAsin(2VT
d) cos2A+cos
2B+cos
2C = 12cosA.cosB.cosC.
ta có : cos(A) = cos(B+C) cosA = cosBcosC sinBsinC
bình phương hai vế ta được : cos2 A = cos
2B.cos
2C2cosB.cosC.sinB.sinC +sin
2B.sin
2C
thay sin2B = 1cos
2B , sin
2C = 1cos
2C
cos2B.cos
2C2cosB.cosC.sinB.sinC+1cos
2Bcos
2C = cos
2A
1+cosB.cosC(cosB.cosCsinB.sinC) = cos2A +cos
2B+cos
2C
1+cosB.cosC.cos(B+C) = cos2A +cos
2B+cos
2C ta có cos(B+C) =cosA …
Bài 16 : Chứng minh
a) xtgxsinxsinxcos
xcosxcosxsin 4
422
422
-157-
xtg)xsin1(
)xcos1(
xsinxsin21
xcosxcos21VT 4
22
22
42
42
b) sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3)cos(2/3 x) = cosx
Ta có : cos(2/3x) = cos[/2/6x]=sin(x/6)
VT = sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3) sin(x/6)
= sin[(2x+/3)(x/6)] = sin(x+/3+/6) = sin(x+/2) = cosx
c) (tg2xtgx)(sin2xtgx) = tg2x
xtgx2cos.xcos
x2cos.xsin
xcos
)1xcos2(xsin.
x2cos.xcos
x)-sin(2x
xcos
xsinxcosxsin2.
x2cos.xcos
x2cos.xsinxcos.x2sin)
xcos
xsinx2)(sin
xcos
xsin
x2cos
x2sin(VT
2
2
22
2
d) tg2x + cotg
2x =
x4cos1
x4cos26
x4cos1
)x4cos3(2
2
x4cos1
)x4cos1(4
x2sin
x2sin24
x2sin4
1
x2sin2
11
xcos.xsin
xcosxsin21
xcos.xsin
xcosxsinVT
2
2
2
2
22
22
22
44
Bài 17 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A = 3(sin4x+cos
4x) 2(sin
6x+cos
6x)
= 3(12cos2x.sin
2x)2(13sin
2x.cos
2x) = 1
B = cos6x + 2sin
4xcos
2x + 3sin
2x.cos
4x + sin
4x
Biến đổi sinx theo cosx A = 1
C = cos(x/3).cos(x+/4) + cos(x+/6).cos(x+3/4)
cos(x+/6) = sin[/2(x+/6)]= sin(/3x)=sin(x/3)
cos(x+3/4) = cos[/2+(x+/4)] = sin(x+/4)
C = cos(x/3).cos(x+/4)+ sin(x/3) sin(x+/4) =cos(x/3x/4)
= cos(7/12)
D = cos2x + cos
2(2/3+x)+cos
2(2/3x)
Sử dụng công thức hạ bậc ta được :
D = (1+cos2x)/2 + [1+cos(2x+4/3)]/2 +[1+cos(4/32x)]/2
2
3x2cos)
3cos(
2
x2cos
2
3x2cos
3
4cos
2
x2cos
2
3
)]x23
4cos()x2
3
4[cos(
2
1
2
x2cos
2
3
Bài 18 : Rút gọn các biểu thức sau
A = )tg1(cos)gcot1(sin 22
Biến đổi tg và cotg A = | sin + cos |
B =bcosacos
)basin()basin(
acosbcos2
basin
2
basin2
2
bacos
2
bacos2
2
bacos
2
basin.
2
bacos
2
basin4
B
C = a2sina4sin
a4cosa2cos
tgaacos.a3sin2
)asin(.a3sin2C
-158-
D = a5cosa3cosacos
a5sina3sinasin
a3tg)acos21(a3cos
)a2cos1(a3sin
a3cosacos.a3cos2
a3sinacos.a3sin2D
Bài 19 : Chứng minh sinx.cosx.cos2x.cos4x = 8
1sin8x
x8sin8
1x4cos.x4sin
4
1x4cos.x2cos.x2sin
2
1VT
Ap dụng : tính giá trịc các biểu thức sau
a) sin60.sin42
0.sin66
0.sin78
0
16
1
6cos
96sin.
16
1
6cos
48cos.48sin8
1
6cos
48cos.24cos12cos.6cos.6sin
6cos2
)1290sin().2490sin().4890sin(.6cos.6sin2A
0
0
0
00
0
00000
0
00000000
b) cos /7 . cos 3/7 . cos 5/7
8
1
7sin8
)7
sin(
7sin
7.8sin
8
1
7sin
7
4cos.
7
2cos.
7cos
7sin
7
4cos.
7
2cos.
7cosB
7
2cos)
7
5cos(
7
5cos
7
4cos)
7
3cos(
7
3cos
Bài 20 : a) Biết tg 2
a = m , tính
asintga
asintga
22
2
2
m2
atg
2
acos2
2
asin2
acos1
acos1
)acos1(tga
)acos1(tga
asintga
asintga
b) Biết tg a + cotga = m , 0 < a < /2, tính sin2a , sin4a. Tham số m phải thỏa mãn điều kiện
gì ?
Vì 0 < a < /2 tga,cotga > 0 Ap dụng BĐT côsi tga+cotga 2 m 2
Ta có tga + cotga = 2/sin2a sin2a = 2/m cos22a =14/m
2
Nếu 0 <a /4 cos2a 0 cos2a = m
4m2 sin4a = 2sin2a.cos2a
Nếu /4 < a < /2 cos2a < 0 cos2a = m
4m2 sin4a = 2sin2a.cos2a
Bài 21 : Cho sina + cosa = m vơí 2 m 2
a) Tính sin2a . (sin2a= 2sina.cosa = (sina+cosa)21 = m
21)
b) Tính sina và cosa.
2
1macos.asin
macosasin
2 sina ,cosa là nghiệm của pt X2mX+
2
1m2 =0
= 2m2 0 X =(m )m2 2 /2
c) Xác định điểm ngọn của cung a khi m = 1, khi m = 2 .
Khi m =1 sina.cosa = 0 sina = 0 hoặc cosa = 0
a = k hoặc a = /2+k Các điểm ngọn là A,A’,B,B’.
-159-
Khi m = 2 = 0 X = 2 /2 sina = cosa = 2 /2 a = /4 + k2 điểm ngọn là
trung điểm cung AB.
-160-
BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG BÀI 1 : Tính giá trị các biểu thức sau
A = 4 sin245
0 + 2cos
260
0 3cotg
345
0
= 4( 2 /2)2 + 2.(1/2)
23 = 1
B = tg450.cos390
0.cotg(150
0)
= tg450.cos(300+360
0).cotg(30
01800) = 3/2
C = 3a.cos3600 + b.sin(270
0) + a.cos180
0
= 3a.cos(00+360
0)+b.sin(90
03600)+a.cos180
0= 2a+b
D = 4a2.sin
245
0 3(a.tg45
0)2 + (2a.cos45
0)2
= 4a2( 2 /2)
2 3a2
+ 4a2( 2 /2)
2 = a
2
E = 02030
20033033
45cosb2+30sina2+)90cosa25(
)0sinab12(+45gcotb+60cosa8
= 23
2333
)2/2(b2+)2/1(a2+)0.a25(
)0.ab12(+b+)2/1(a8 = a
2 ab + b
2
F = (a2
+ 1).sin00 + b.cos90
0 + c.cos180
0
= (a2
+ 1).0 + b.0 c = c
G = tg10.tg2
0.tg3
0 . . . tg88
0.tg89
0
= tg1.tg2.tg3...tg43.tg44.tg45.tg(9044).tg(9043)...tg(902).tg(901)
= tg1.tg2.tg3...tg43.tg44.1.cotg44.cotg43...cotg2.cotg1 = 1
H = )110 - sin(3
1+
cos650
1
00
= )20 - 90 -sin(3
1+
)720+90 - 20cos(
100000
= 20cos20sin3
sin20 - 20cos3=
20cos3
1 -
20sin
1
= 40sin3
0)cos60.sin2 - s204(sin60.co=
40sin2
3
)20sin2
1 - 20cos
2
3(2
=40sin3
40sin4= 4/ 3
K = tg1100.tg340
0 + sin160
0.cos110
0 + sin250
0.cos340
0
= (tg90+20).tg(20+360)+sin(18020).cos110+sin(110+360).cos(20+360)
= cotg20.tg(20) + sin20.cos110 cos20sin110
= 1 + sin(20110) = 1 sin90 = 0
L = sin50.sin15
0.sin25
0.sin35
0.sin45
0.sin55
0.sin65
0.sin75
0.sin85
0
= (sin5.sin85).(sin15.sin75).(sin25.sin65).(sin35.sin55).sin45
= (sin5.cos5).(sin15.cos15)(sin25.cos25)(sin35.cos35).sin45
= 20cos.40cos.80cos2
2=
2
2.70sin
2
1.50sin
2
1.30sin
2
1.10sin
2
16
(nhân cho sin20)
= 80cos.40cos.40sin2
1.
20sin
1.
2
2=80cos.40cos.20cos.20sin.
20sin
1.
2
266
= 9666 2
2=20sin
8
1.
20sin
1.
2
2=160sin
2
1.
2
1.
2
1.
20sin
1.
2
2=80cos.80sin
2
1.
2
1.
20sin
1.
2
2
M = sin100.sin30
0.sin50
0.sin70
0.sin90
0
= sin10. 2
1 .sin(9040).sin(9020).1
= 10cos
1.
2
1cos10.sin10.cos40.cos20 =
10cos
1.
2
1.
2
1sin20.cos20.cos40 = 1/16
N = sin200.sin40
0.sin80
0
-161-
= 2
1.[cos(2040)cos(20+40).sin80 =
2
1sin80.cos20cos60.sin80
=2
1sin80.cos20
4
1sin80 =
2
1.
2
1(sin60 + sin100)
4
1sin80
= 4
1.
2
3+
4
1sin(18080)
4
1sin80 = 83
P = tg90
+ tg150 tg27
0 tg63
0 + tg75
0 + tg81
0
= tg9+tg15tg27tg(9027) + tg(9015)+tg(909)
= tg9+tg15tg27cotg27+cotg25+cotg9 = tg9+cotg9)+(tg15+cotg15)(tg27+cotg27)
= 4+54sin.18sin
sin18) - 54(sin2=
sin54
2 -
30sin
2+
18sin
2=
7cos27.sin2
1 -
15sin.15cos
1+
9sin.9cos
1
= 8=4+54sin.18sin
18sin.36cos4
Q = 7
π6cos+
7
π4cos+
7
π2cos ( nhân hai vế cho sin(/7) )
= 7
πsin
7
π6cos2+
7
πsin
7
π4cos2+
7
πsin
7
π2cos2.
7
πsin2
1
= 7
π5sin - πsin+
7
π3sin -
7
π5sin+
7
πsin -
7
π3.[sin
7
πsin2
1= 1/2
R = 48
πcos+
48
πsin 66
= )48
πcos+
48
π(sin
48
πcos.
48
π3sin -)
48
πcos+
48
π(sin 2222 322
= 12
πcos
8
3+
8
5=)
12
πcos - 1(
8
3 - 1=
24
π.sin
4
3 - 1 2
mà 4
6+2=
4
πsin
3
πsin -
4
πcos
3
πcos=)
4
π -
3
πcos(=
12
πcos
thay vào ta được R = 32)63+23+20(
S = sin273
0 + sin
247
0 sin73
0.sin47
0
= )2
1+26(cos
2
1 - )94cos+146(cos
2
1 - 1 = 47)]+cos(73 - 47) - 73[cos(
2
1 -
2
cos94 - 1+
2
cos146 - 1
= 26cos2
1 - 26cos120.cos -
4
3 = 3/4
V = 3 - 9
πtg27+
9
π33tg -
9
πtg 246
Ta có 3a.tg1) - a(3tg = 3tga) - atg(=>3a3tg - 1
a tg- tga3=a3tg 22223
2
3
Với kết quả trên đưa V về dạng
= 0=1)-9
π3(3tg -
9
π3.tg1) -
3
πtg3(=1) -
9
π3(3tg -)
9
π3tg -
9
πtg( 2222222 223
BÀI 2 : Xác định dấu của các biểu thức sau
A = sin400.cos(290
0) ;
B = sin2550.tg390
0.cotg(175
0) ;
C = cos1950.tg269
0.cotg(90
0) ;
D = sin(+).cos(1,5 + ).tg( ) với 0 < < /2 ;
E = sin(14410).cos1080
0.tg908
0.cotg(1972
0) ;
-162-
F = 00
00
150gcot.200tg
300cos.100sin ;
( A > 0 ; B > 0 ; C ; D ; E ; F )
BÀI 3 : Đơn giản biểu thức
A = cotgx
sinx -
xsin
tgx
=cosx
xsin - 1=
xsin
cosx
sinx -
xsin
xcos
xsin2
= cosx
B = xcos+xsin
xcos+xsin 33
= sinx.cosx - 1=xcos+xsin
xcos+sinx.cosx - x)(sinxcos+x(sin 22
C =x tg-x cotg
x sin - xcos
22
22
= xcos.xsin=
xcos
xsin -
xsin
xcos
xsin - xcos 22
2
2
2
2
22
D = cosx - 1.xcos+1
= |xsin|=xcos - 1 2
E = )2
π - tg(x - )
2
π5 - x(tg - )
2
π3+x(tg+)x+
2
π(tg
= cotgx + x)]- 2
π tg[-(- )π2 -
2
π -tg(x- )π+x+
2
π(tg
= cotgx + tg cotgx+ )2
π - tg(x- )x+
2
π( = cotgx cotgx + cotgx +cotgx = 0
F = x)+ x).tg(90- cotg(90 - x)-(90sin-1
)x+(90cos -1 00 02
02
= xcos -1
xsin - 12
2
tgx(cotgx) =xcos -1
xsin - 12
2
+1 = xsin
1=1+
xsin
xcos22
2
G = cos100 + cos30
0+...+cos150
0 + cos170
0
= (cos10 + cos170)+(cos30 + cos150)+(cos50 + cos130)+(cos70+cos110) + cos90
= (cos10cos10)+(cos30cos30)+(cos50cos50)+(cos70cos70) = 0
H = sin210
0 + sin
220
0 +...+ sin
290
0
= ( sin210 + sin
280)+(sin
220+sin
270)+(sin
230+sin
260)+(sin
240+sin
250)+sin
290
= (sin210+cos
210)+(sin
220+cos
220)+(sin
230+cos
230)+(sin
240+cos
240)+1 = 5
K =sin2a - sin4a
cos4a - a2cos
= a3tg=asin.a3cos
-a)sin3a.sin( - =
2
2a - 4asin.
2
2a+4a2.cos
2
4a - a2sin.
2
4a+2a2.sin -
-163-
L = sin2a.cotga cos2a
= sin2a. 1=asin
a) - a2sin(=
asin
cos2a.sina - sin2a.cosa = cos2a -
asin
acos
M = tga + tg(a+3
π) + )+a(tg
3π2
= tga + tga3+ 1
3 - tga+
.tga3 - 1
3+tga+tga=
3
π2 tga.tg- 1
3
π2tg+tga
+
3
π tga.tg- 1
3
πtg+tga
= a3tg - 1
8tga+tga
2
= a3tg3=3tg2a - 1
a) tg- tga3(3 3
N = acos+cosa -1
asin.2
acosa).tg+(1
2
22
= 1=acos+asin=acos+
2
atg
asin2
atg
=acos+
2
acos2
2
asin2
asin2
atg
=acos+
cosa+1
cosa - 1
asin2
atg
222
2
22
2
2
2
22
2
22
P = tga- gacot
tga+cotga
= a tg- 1
atg+1=
tga- tga
1
tga+tga
1
2
2
= a2cos
1=
acos
asin - acos
acos
1
2
22
2
Q = (1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a).sina
= sina + 2sina.cos2a + 2sina.cos4a + 2sinacos6a
= sina +sin(a) + sin3a + sin(3a) + sin5a + sin(5a) + sin7a = sin7a
S = a5cos+a3cos+acos
a5sin+a3sin+asin
= a3tg=)a2cos+1(a3cos
)a2cos+1(a3sin=
a3cos+a2cosa3cos2
a3sin+a2cosa3sin2=
a3cos+a5cos+acos
a3sin+a5sin+asin
R = cos10x + 2cos24x + 6cos3x.coxcosx8cosx.cos
33x
= cos10x + (1 + cos8x) cosx 2cosx(4cos33x3cosx)
= cos10x + cos8x + 1 cosx 2cosx.cos9x
= 2cos9x.cosx+1cosx2cos9x.cosx = 1 cosx
BÀI 4 : Chứng minh đẳng thức luợng giác
a) (tg + cotg)2 (tg cotg)
2 = 4
VT = tg2 + cotg
2+2.tg.cotg(tg
2+tg
22tg.cotg) = 4
b) αgcot+αtg
αtg+1=
αcotg
αcotg+1.
αtg+1
αtg
22
4
2
2
2
2
.
VT = αtg=)1+αgcot
1.(
αtg+1
αtg 2
22
2
c) sin4 cos
4 = 2sin
2 1 .
VT = (sin2)2(cos2)2 = (sin2+cos
2)(sin
2cos
2)
= sin2cos
2 =2sin
2 1
d) sin6 cos
6 = 13sin
2 cos
2 .
-164-
VT = (sin2+cos
2)(sin
4sin
2.cos
2+cos
4) = sin
4sin
2.cos
2+cos
4
= (sin2+cos
2)2sin
2.cos
2sin
2.cos
2
e) (1 + tgx)(1 + cotgx ).sinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx .
VT = xcos.xsin)xcos
xsin+
xsin
xcos+2(=xcos.xsin).gxcot.tgx+tgx+gxcot+1(
= 2sinx.cosx + cos2x + sin
2x = 1 + 2cosx.sinx
f) sinx
cosx - 1=
xcos+1
xsin.
<=> sin2x = 1 cos
2x
g) tga.a3tg=a2a.tg tg- 1
a tg- a2tg
22
22
.
VT = atga2tg+1
tga- tg2a.
tg2a.tga- 1
tga+a2tg=
tg2a.tga)+1tg2a.tga)(- (1
tga)- tg2a)(tga+a2tg( = tg3a.tga
h) sin(a+b+c) =sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc .
VT = sin[(a+b)+c] = sin(a+b).cosc + cos(a+b).sinc
= (sina.cosb+cosa.sinb)cosc + ( cosa.cosb sina.sina)sinc
= sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc
i) 8cos4a4cos2acos4a = 3 .
VT = 8(cos2a)2 4cos2a cos4a = 2(1 + cos2a)
2 4cos2a cos4a
= 2 + 4cos2a + 2cos22a 4cos2a cos4a
= 2 + 1 + cos4a cos4a = 3
j) tg2a- a2cos
1=
asin+acos
sina - acos.
VT = a2cos
1=
cos2a
sin2a - 1=
asin - acos
a2.cosa.sin - 1=
sina) - sina)(cosa+(cosa
sina) - (cosa22
2
tg2a
k) )4
π - a(gcot=
sin2a - 1
a2sin+1 2 .
VT = )a - 4
π(ctog).
4
π+a(tg=
)a - 4
π sin().
4
π+acos(2
)a - 4
π cos().
4
π+asin(2
=
sin2a - 2
πsin
a2sin+2
πsin
= )4
π - a(gcot=)]
4
π - cotg(a -).[
4
π - a+
2
π(tg 2
l) sina + sinb +sinc = 2
csin.
2
bcos.
2
acos4 , biết a + b = c .
VT = 2
ccos
2
csin2+
2
b - acos
2
csin2=
2
ccos
2
csin2+
2
b - acos
2
b+asin2
= 22
bcos
2
acos
2
csin4=)
2
b+acos+
2
b - a(cos
2
csin
m) cotgx + tgx = x2sin
2 .
VT = x2sin
2=
xcos.xsin.2
2=
xcos.xsin
1=
xcos
xsin+
xsin
xcos
n) cotgx cotg2x =x2sin
1 .
VT = x2sin
1=
x2sin.xsin
)x - x2sin(=
x2sin.xsin
cos2x.sinx - xcos.x2sin=
sin2x
cos2x -
xsin
xcos
-165-
o) 3 4cos2x + cos4x = 8sin4x .
VP = 8sin4x = 2(1cos2x)
2 = 24cos2x + 2cos
22x = 24cos2x + 1 + cos4x
= 3 4cos2x + cos4x
p) sin4x + cos
4x =
4
3+x4cos
4
1 .
VT = (sin2x)
2 + (cos
2x)
2 = 22 )
2
x2cos+1(+)
2
cos2x - 1(
= x4cos4
1+
4
3=
2
x4cos+1.
2
1+
2
1=x2cos
2
1+
2
1 2
q) sin6x + cos
6x =
8
5+x4cos
8
3 .
VT = (sin2x+cos
2x)
3 3sin
2xcos
2x(sin
2x+cos
2x)
= 1 3sin2x.cos
2x =
8
5+x4cos
8
3=
2
cos4x - 1.
4
3 - 1=x2sin
4
3 - 1 2
r) cos3x.sin3x + sin3x.cos
3x = x4sin
4
3.
VT = sin2x.sinx.cos3x + cos
2x.cosx.sin3x
= (1cos2x)sinx.cos3x + (1sin
2x).cosx.sin3x
= sinx.cos3x cos2xsinx.cos3x + cosx.sin3x sin
2x.cosx.sin3x
= sinx.cos3x + cosx.sin3x sinx.cosx(cosx.cos3x + sinx.sin3x)
= sin(x+3x) sinx.cosx.cos(x3x) = sin4x 2
1sin2x.cos2x
= sin4x 4
1sin4x =
4
3sin4x
s) Sin5x 2sinx(cos4x + cos2x ) = sinx .
VT = sin5x 2sinx.cos4x 2sinx.cos2x
= sin5x [sin(3x) +sin5x][sin(x)+sin3x]
= sin5x + sin3x sin5x + sinx sin3x = sinx
t) xcos.x2cos=2
xsin
2
x7sin+
2
x3cos
2
x5cos .
VT = )]2
x +
2
x7cos( - )
2
x -
2
x7[cos(
2
1+)]
2
3x +
2
x5cos(+)
2
3x -
2
x5[cos(
2
1
= xcos.x2cos=)x3cos+x(cos2
1=)x4cos - x3(cos
2
1+)x4cos+x(cos
2
1
u) x3sin4
1=)x+
3
π x).sin(-
3
πsin(.xsin . Ap dụng tính A =
18
π13sin.
18
π7sin.
18
πsin .
VT = )2
1+x 2sin - 1(xsin
2
1=]
3
π2cos - x2.[cos
2
1sinx.= x)-
3
πsin()x+
3
πsin(.xsin 2
= x).sinx4sin - 3(4
1 2 = 4
1(3sinx4sin
3x)=
4
1sin3x
Ap dung : 8
1=
6
πsin
4
1=
18
π3sin
4
1=
18
π13sin.
18
π7sin.
18
πsin
v) sin(a+b)sin(ab) = cos2b cos
2a .
w) cos(a+b)cos(ab) =cos2a + cos
2b 1 .
x) sina + sinb + sinc sin(a+b+c) = 2
a+csin
2
c+bsin
2
b+asin4 .
y) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) =2
a+ccos
2
c+bcos
2
b+acos4 .
BÀI 5 : Chứng biểu thức lượng giác độc lập với các biến ( Không phụ thuộc vào biến)
-166-
A = gxcot
sinx.cosx+
xgcot
xcos -x cotg
2
22
;
B = α.cosαsin
1 -
αgcot
)αcotg - (1
222
22
;
C = xsin4+xcos+xcos4+xsin 2424 ;
D = 3(sin8cos
8) + 4(cos
6 2sin
6 ) + 6sin
4 ;
E = β.cotgαcotg - β.sinαsin
βsin - αcos 2222
22
;
F = )α - (90).sinα - (180sin
1 -
)90 - α(gcot
)]α + (90cotg - 1[
020202
202
;
( A=1; B =4; C= 3; D= 1; E=1; F =4 )
G = )+xcos(). 3
π -x cos(+xsin
3π2
;
H = )3
π+(xcos +x cos + )
3
π -(x cos 222
;
K = )3
π2+x(sin+xsin+)
3
π2 -x (sin 222
;
( G= 1/4; H= 3/2 ; K=3/2 )
BÀI 6 : Tính giá trị của hàm số lượng giác Biểu thức lượng giác
a) Biết cos = 4/5 và 00 < < 90
0 .
+ Tính sin , tg , cotg .
+ Tính giá trị biểu thức A = α tg- αgcot
αtg+αgcot . ( sin = 3/5 ; A = 25/7 )
b) Biết tg = 2 , với là góc của một tam giác .
+ Tính cos, sin .
+ Tính giá trị biểu thức B = α2cos - αsin
αcos2+αsin . ( cos = 51- ; B = 0)
c) Cho tg + cotg = 2 . ( 00 < < 90
0 )
+ Tính sin, cos , tg, cotg .
+ Tính giá trị biểu thức C =αcotg + α tg
αcos.αsin
22 . ( = 45
0 ; C = 1/4 )
d) Cho sin + cos = 2 .
+ Tính sin, cos, g, cotg .
+ Tính giá trị của biểu thức D = sin5 + cos
5 .
( cos = sin = 22 ; D = 4/2 )
e) Cho 3sin4 cos
4 = 1/2
+ Tính biểu thức E = sin4 + 3cos
4 . ( E = 1 )
f) Biết tg750
= 3+2 , tính sin150, cos15
0 ; sin105
0 , cos105
0 .
( cotg150 = 3+2 ; tg105
0 = 3 - 2 - )
g) Tính 12
π cos ;
12
πnsi ;
12
πgcot;
12
πtg .
-167-
( 4
2+6 = cos ;
4
2 - 6=sin )
h) Cho cosa = 9/41 , với < a < 3/2 . Tính F = tg( a /4) .
( F = 31/49 )
i) Cho tgx = 1/2, tính giá trị biểu thức G = sin2x+tg2x
sin2x -tg2x .
( G = 1/4 )
j) Cho sina + cosa = 27 , tính H = cos4a , I = tg2
a.
( H = 1/8 ; I = 2+7
1±2)
k) Cho cotgx = 3/4 , tính giá trị biểu thức J = cos2x - x2sin+1
x2cos+x2sin+1 .
( A = 3/4 ) Bài 7 : Biến đổi biểu thức lượng giác về dạng
a) Biến đổi về dạng tổng
A = sina.sin2a.sin3a
= 2
1[cos(a2a)cos(a+2a)]sin3a =
2
1(cosa cos3a)sin3a
= 2
1(cosa.sin3a cos3a.sin3a) =
2
1[
2
1(sin4asin(2a))
2
1sin6a]
= 2
1[
2
1(sin2a+sin4a)
2
1sin6a]=
4
1(sin2a+sin4asin6a)
B = 4cosa.cos2a.sin2
a5
= 2(cosa+cos3a).sin2
a5 = 2cos3a.sin
2
a5 + 2cosa.sin
2
a5
= 2
a3sin+
2
a7sin+
2
asin -
2
a11sin
b) Biến đổi tổng thành tích
C = cos3a sina
= cos3a cos(2
πa) = )
4
π+asin().
4
π - a2sin(2
D = 12cosa + cos2a
= 2cosa + 2cos2a = 2(1cosa)cosa = 2.2.sin
2
2
a.cosa = 4 sin
2
2
a.cosa
E = 1 + cosa+cos2a + cos3a
= 2cos2a + (cos3a+cosa) = 2cos
2a + 2cos2a.cosa
= 2(cos2a+cos3a).cosa = acos2
acos
2
a5cos4
-168-
BÀI TẬP * Duøng baûng giaù trò caùc giaù trò löôïng giaùc ñaëc bieät, vaø heä thöùc cô baûn :
xxx
xxD
x
xx
x
xxC
xxxBxxxxA
xxx
xxl
yx
yxyxk
aaaaajxx
x
x
xi
xx
x
xhx
x
xg
xx
x
x
xxf
x
x
x
xe
xxxxdxxxxc
xxxxbxxxxa
fe
dc
ba
baa
abba
e
baba
badc
ba
cos.cotsin
tan.cos
cot
cos.sin
cot
coscot
cot1cotsin1cottancottan
cot.sin1tan
tansin)
cotcot
tantantan.tan)
)tan1)(cos1(tancossin1)sin
2
sin
cos1
cos1
sin)
cos
1tan
sin1
cos)tan21
sin1
sin1)
1cossin
cos2
cos1
1cossin)
cos1
sin
sin
cos1)
sin.tansintan)cot.coscoscot)
cos.sin31cossin)cos.sin21cossin)
)2
0(3
1tan))
2
3(
17
8sin)
)2
(5
4cos))
20(
3
2cot)
)2
3(
13
5cos))900(
5
4sin)
4cos2
6sin2
2cos5
0sin24
cot3
cos2
)
45tan0cos230sin2
45tan90sin)
3cos8
3cot2
6sin3)
6tan3
3sin2cos)
2cot7tan2
2cos30sin5)
22
22
22222
2
2
2
22222222
22662244
00
2
3
2
33
20002
20202
2
2
222
: thöùc bieåugoïnRuùt : 4 Baøi
: thöùc ñaúng minh Chöùng : 3 Baøi
: bieát cuûa khaùcgiaùc löôïng trò giaù caùc Tính : 2 Baøi
: sau thöùc bieåucaùc trò giaù Tíng : 1 Baøi
* Duøng coâng thöùc cung lieân keát :
000000000
00
0
0000
00
00
89tan.88tan...3tan.2tan.1tan180cos160cos...40cos20cos
18cot.72cot316cos
406cos226tan44cot36tan.
126cos144sin
216cos)234sin(
DC
BA
: sau thöùc bieåucaùc goïnRuùt : 5 Baøi
* Duøng coâng thöùc coäng :
2
a
4
3 vaø
13
12-sina bieát )
3cos( Tính : 7 Baøi
: sau (goùc) cung cuûa giaùc löôïng trò giaù caùc Tính : 6 Baøi
12
103)285)
12
7)15) 00 dcba
-169-
14cos2cot.4sin)2tan2cos
3cos.5sin5cos.3sin)
sin.coscot.tan1
)sin()sin()tan.tan1
cos.cos
)cos()cos()
sin24
sin4
sin)sincos)cos()cos()
22
22
22
22
22
xsxfxx
xxxxe
baba
babadba
ba
babac
aaababbabaa
: thöùc ñaúng minh Chöùng : 8 Baøi
* Duøng coâng thöùc nhaân :
4
34cos
4
1cossin)
cot2sin
2cos1)sin
2
3sin.5cos3cos.5sin)
tan1
tan1
2sin1
2cos)
4
4sincos.sinsin.cos)
)2
0(3
1cos))
2(
5
4sin)
44
33
xxxd
xx
xdx
cox
xxxxc
x
x
x
xb
xxxxxa
aabaaa
: thöùc ñaúng minh Chöùng : 10 Baøi
: bieát sin2a Tính: 9 Baøi
* Duøng coâng thöùc bieán ñoåi :
.cosC4cosA.cosB--1cos2Ccos2Bcos2A c)
.sinC4sinA.sinBsin2Csin2Bsin2A b)
tanCtanA.tanB.tanCtanB tanAa)
: minh chöùng haõyABC Cho : 14 Baøi
cos75A
: sau thöùc bieåucaùc trò giaù Tính : 13 Baøi
: toång thaønh Bieán : 12 Baøi
: tích thaønh Bieán : 11 Baøi
0
0000
000000000
000
00
000000
2222
81tan63tan27tan9tan7
6cos
7
4cos
7
2cos
70sin50sin10sin80sin40sin20sin80cos40cos20cos
15sin75sin12
5cos
12
11sin15cos.
3sin.2sin.cos8;3sin.2sin.sin2;7cos.5cos.3cos;4cos.2cos.sin2)
2cos)6
sin()6
sin(;)30cos()30sin(;5
2sin
5sin)
78cos222cos46cos;50sin20sin70sin)
3cos2coscos1;2coscos21;2cossin1)
sinsin;3coscos)cot1;3
3tan;2sin3sin)
HG
FED
CB
xxxxxxxxxxxxb
xxxaaa
d
xxxxxxxc
yxaabxxxxa
-170-
..................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
-171-
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
-172-
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................