Ομοιόμορφη Κατανομή (uniform) · 2018-02-02 · ht px t t px t t ft t ft ft tftft...
TRANSCRIPT
Χρήσιµες Κατανοµές 1
∆ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)X~B(n,p) n ∈ N και 0<p<1 όταν
Η τ.µ. Χ παριστάνει τον αριθµό των επιτυχιών σε nανεξάρτητες δοκιµές Bernoulli, όταν η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι p.
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:Ροπογεννήτρια:
Πολυάριθµες εφαρµογές. π.χ: Ποιοτικός Έλεγχος
( ) (1 ) 0,1,2,...,x n xX
nf x p p x n
x−⎛ ⎞
= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
E( )X np= Var( )X npq=
( ) ( e ) 1t nXM t p q q p= + = −όπου
Χρήσιµες Κατανοµές 2
Υπεργεωµετρική Κατανοµή (Hypergeometric)X~HG (N, n, p) N>n, N,n N +, 0<p<1 και Np N +, όταν
X : αριθµός των επιτυχιών σε δειγµατοληψία µεγέθους n, χωρίς επανατοποθέτηση από πεπερασµένο πληθυσµό N ατόµων όταν αρχικά η πιθανότητα επιτυχίας είναι p. (εξαρτηµένα Bernoulli πειράµατα)
Μέση τιµή: (ίδια µε διωνυµική)
∆ιασπορά: ( διορθωτικός παράγοντας)
Όταν το N είναι πολύ µεγάλο και το n αρκετά µικρό η υπεργεωµετρική προσεγγίζεται από την διωνυµική.
( ) 0,1,2,...,min( , )X
Np N Npx n x
f x x n NpNn
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1N nN−−
E( )X np=
Var( )1
N nX npqN−
=−
Χρήσιµες Κατανοµές 3
Γεωµετρική Κατανοµή (Geometric)X~G (p) 0<p<1 όταν
X : αριθµός των επαναλήψεων (ανεξάρτητων δοκιµών Bernoulli) που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της πρώτης επιτυχίας, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p.
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:
Ροπογεννήτρια:
Η µέση τιµή ονοµάζεται µέσος χρόνος επιστροφήςµέσος χρόνος επιστροφής ή περίοδος επιστροφήςπερίοδος επιστροφής
1 1,2,...( ) όπου 1
0 αλλού
xpq xf x q p
−⎧ == = −⎨⎩
1E( )X p= 2Var( ) qX p=
e( ) , ln1 e
t
X t
pM t t qq
= < −−
Χρήσιµες Κατανοµές 4
Αρνητική ∆ιωνυµική (Negative Binomial)X~NB(r,p) r N και 0<p<1 όταν
Χ : αριθµός των επαναλήψεων (ανεξάρτητων δοκιµών Bernoulli) που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της rεπιτυχίας, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p.
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:
Ροπογεννήτρια:
H Χ µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα r ανεξάρτητων και ισόνοµων τ.µ. µε γεωµετρική κατανοµή.
1( ) (1 ) , 1,...
1r x rx
f x p p x r rr
−−⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟−⎝ ⎠
E( ) rX p= 2Var( ) rqX p=
e( ) ln(1 e )
r tr
X t r
pM t t qq
= < −−
Χρήσιµες Κατανοµές 5
Κατανοµή PoissonX~P(λ), λ>0 όταν
Η τ.µ. X παριστάνει τον αριθµό εµφάνισης τυχαίων περιστατικών σε καθορισµένο χρονικό διάστηµα.
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:Ροπογεννήτρια:
Πολυάριθµες εφαρµογές. π.χ: Θεωρία τηλεφωνικής κίνησης (Teletraffic theory)
e( ) ( ) 0,1,2,3,... όπου 0!
x
f x P X x xx
λ λ λ−
= = = = >
E( )X λ= Var( )X λ=
( )( ) exp e 1tXM t tλ⎡ ⎤= − ∈⎣ ⎦
Χρήσιµες Κατανοµές 7
Κατανοµή Poisson (ιδιότητες)(1) Έστω τ.µ. X~B(n,p). Τότε
∆ηλ. µια διωνυµική κατανοµή όταν το n είναι αρκετά µεγάλο και το p είναι αρκετά µικρό, προσεγγίζεται από την κατανοµή Poisson.
(πρακτικά προσεγγίζουµε όταν n > 30 και np < 5)
0
e(1 ) 0,1,2,...!lim
xx n x
npnp
np p x
x x
λ
λ
λ−−
→∞→=
⎛ ⎞− = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Χρήσιµες Κατανοµές 8
∆ιαδικασία PoissonΈστω η τ.µ. Ν(t) που δίνει τον αριθµό των τυχαίων
συµβάντων στο χρονικό διάστηµα (0, t]. Το σύνολο των τ.µ. {Ν(t), t >0} ονοµάζεται στοχαστική διαδικασίαστοχαστική διαδικασία και επειδή η Ν(t) παίρνει ακέραιες τιµές στοχαστική διαδικασία στοχαστική διαδικασία ακεραίων τιµών.ακεραίων τιµών.
Η διαδικασία {Ν(t), t >0} είναι διαδικασία διαδικασία PoissonPoisson µε µέσο µε µέσο ρυθµό ρυθµό νν εάν πληρούνται οι συνθήκες:
(i) Ν(0) = 0(ii) Ο αριθµός των συµβάντων σε ξένα µεταξύ τους χρονικά
διαστήµατα είναι ανεξάρτητες τ.µ.(ii) Για οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα (s, s+t) µε s ≥ 0 και
t > 0, ο αριθµός των συµβάντων έχει κατανοµή Poisson
( ) e ( )( ) ( ) 0,1, 2,3,...!
t xtP N s t N s x xx
ν ν−
+ − = = =
Χρήσιµες Κατανοµές 9
Οµοιόµορφη Κατανοµή (Uniform)X~U(α,β) α<β όταν
Α.σ.κ. της Χ:
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:
Ροπογεννήτρια:Σηµαντικότερη χρήση: γεννήτριες τυχαίων αριθµών
1( )Xf x xα ββ α
= < <−
0
( )
1
X
xx aF x x
x
α
α ββ α
β
⎧ <⎪ −⎪= < <⎨ −⎪⎪ >⎩
( )2E( ) b aX +=
2( )12Var( ) b aX −=
e e( )( )
tb ta
XM tt b a
−=
−
( ) 1 ότανd
b a c
d cP c X d dx a c d bb a−
−< < = = < < <
−∫
Χρήσιµες Κατανοµές 10
Εκθετική Κατανοµή (Exponential)Χ ~ E(λ) όταν: όπου λ θετική σταθερά
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:
Ροπογενήτρια:
Αθροιστική Συνάρτηση κατανοµής της Χ:
Χρησιµοποιείται για να εκφράσει:• το χρόνο µεταξύ αφίξεων διαφορετικών πελατών σε κατάστηµα• το χρόνο συνοµιλίας σε µια τηλεφωνική επικοινωνία • το χρόνος ζωής ηλεκτρονικών κοµµατιών σε µία συσκευή
1 0( )
0 αλλού
x
Xe x
F xλ−⎧ − >
= ⎨⎩
0( )
0 αλλού
x
Xe x
f xλλ −⎧ >
= ⎨⎩
1E( )X λ= 21Var( )X λ=
1
( ) 1XtM t t λλ
−⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠
Χρήσιµες Κατανοµές 11
Εκθετική Κατανοµή (Ιδιότητες)(1) Ιδιότητα αµνησίας ή απώλεια µνήµης:
∆ηλαδή, η εκθετικά κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή δεν “γερνάει”
Απόδειξη: Ισχύει ότι
Όµως και αποδεικνύεται το ζητούµενο.
Σηµ. Η εκθετική είναι η µόνη συνεχής κατανοµή µε την ιδιότητα της αµνησίας.
( | ) ( )P X t s X t P X s> + > = >
( )( , ) ( ) e( | ) e( ) ( ) e
t ss
t
P X t s X t P X t sP X t s X tP X t P X t
λλ
λ
− +−
−
> + > > +> + > = = = =
> >
( ) e sP X s λ−> =
Χρήσιµες Κατανοµές 12
Εκθετική Κατανοµή (Ιδιότητες)(2) Οι χρόνοι αναµονής µεταξύ διαδοχικών συµβάντων σε µια διαδικασία Poisson είναι εκθετικά κατανεµηµένοι.
Έστω:• {Ν(t), t ≥ 0} διαδικασία Poisson µε µέσο ρυθµό ν,• Τ1 χρόνος αναµονής µέχρι το πρώτο συµβάν και • Τn χρόνος αναµονής από το n-1 µέχρι το n-οστόσυµβάν όταν (n = 2,3,…).
Τότε οι τυχαίες µεταβλητές Τ1, Τ2,... , είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε κοινή (εκθετική) κατανοµή E(ν) .
Χρήσιµες Κατανοµές 13
Κατανοµή Γάµµα (Gamma)X∼ G(a,β) a>0, β>0 όταν:
όπουa: παράµετρος µορφής, β : παράµετρος κλίµακας•Όταν a =1, τότε Γ(1) =1 και η κατανοµή γίνεται εκθετική µε λ = 1/β.•Όταν a >1, τότε κατανοµή µονοκόρυφη µε κορυφή στο x = β(α-1).•Όταν a ακέραιος, τότε Γ(α) = (α-1)! και η κατανοµή είναι γνωστή ως κατανοµή Erlang.
Μέση τιµή: ∆ιασπορά:Ροπογεννήτρια:
11 0( )( )
0 αλλού
xa
X
x e xaf x
β
αβ−−⎧ >⎪ Γ= ⎨
⎪⎩1
0( ) 0y aa e y dy a∞ − −Γ = >∫
( )X aβΕ = 2Var( )X aβ=( )( ) 1 a
XM t tβ −= −
Χρήσιµες Κατανοµές 14
Κατανοµή Γάµµα (Ιδιότητες)Έστω• {N (t), t ≥ 0} διαδικασία Poisson ρυθµού v• Wn: χρόνος αναµονής µέχρι την εµφάνιση του n-οστού
συµβάντος. Τότε η Wn έχει κατανοµή γάµµα µε α = n και β =1/v
(κατανοµή Erlang).Απόδειξη: θ.δ.ο.
Το θεώρηµα αποδεικνύει επίσης ότι το άθροισµα n τ.µ. µε εκθετική κατανοµή E(ν) έχει κατανοµή γάµµα G(n, 1/v).
1 0( 1)!( )0 αλλο
n
nn tv
W
v t e tnf t
ύ
− −⎧ >⎪ −= ⎨⎪⎩
Χρήσιµες Κατανοµές 15
Κανονική κατανοµή (Gauss)
X∼ N(µ,σ2) όταν:
Μέση τιµήΜέση τιµή: ∆ιασπορά∆ιασπορά:
ΡοπογεννήτριαΡοπογεννήτρια:
•Η fX (x) είναι συµµετρική γύρω από το µ.•Ολες οι κεντρικές ροπές περιττής τάξεως είναι µηδέν.•∆εν υπάρχει η α.σ.κ. FX (x) σε κλειστή µορφή.•Υπάρχουν πίνακες µε τιµές για την α.σ.κ. της N(0,1) –τυπική κανονική κατανοµή
22
1 ( )2
1( )2
x
Xf x e xµ
σ
πσ− −
= −∞ < < ∞
( )X µΕ = 2Var( )X σ=2 2
( ) exp2XtM t t σµ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Χρήσιµες Κατανοµές 17
Κανονική κατανοµή (τυποποίηση)Έστω X∼ N(µ,σ2).
Η τ.µ. έχει κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0
και τυπική απόκλιση 1.
∆ιότι:1. Με χρήση ροπογεννητριών αποδεικνύεται ότι η
κατανοµή της είναι κανονική.
2.
3.
[ ]1 1( ) ( ) 0X X Xµ µ µσ σ σ−⎛ ⎞Ε = Ε − = Ε − =⎜ ⎟
⎝ ⎠2
2 2 21 1Var( ) Var( ) Var( ) 1X X X σµσ σ σ
= − = = =
XZ µσ−
=
Χρήσιµες Κατανοµές 18
Κανονική κατανοµή (ιδιότητες)(1) Έστω X1, X2,…, Xn ∼ N(µi,σi
2) µε i = 1,2,…,n.
Τότε οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός τουςέχει κανονική κατανοµή µέσης τιµής και
διασποράς .
(2) (Κεντρικό Οριακό ΘεώρηµαΚεντρικό Οριακό Θεώρηµα)Έστω X1, X2,…, Xn ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε κοινή
µέση τιµή µ και κοινή διασπορά σ2. Τότε για µεγάλο nη τ.µ. Χ= X1+ X2+…+ Xn έχει προσεγγιστικά κανονική κατανοµή µέσης τιµής nµ και διασποράς nσ2.
1( )
i
ni
iE X c µ
== ∑
1
n
i ii
X c X=
=∑2 2
1( ) i i
n
iVar X c σ
== ∑
Χρήσιµες Κατανοµές 19
Λογαριθµοκανονική Κατανοµή (LogNormal)X∼ LN(ζ, τ) όταν η τ.µ. Υ=ln X ∼ N(ζ, τ), όπου-∞<ζ<∞ και τ >0. Προφανώς: X = exp(Y) και έχει σ.π.π.
Ισχύει ότι:Και για τον υπολογισµό της πιθανότητας:
2
2
1 1exp (ln ) 0( ) 22
0 αλλούX
x xf x x
ζτπτ
⎧ ⎡ ⎤− − >⎪ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎨⎪⎩
2 221
22( ) ( ) Var( )YX E e e X e eζ τ ζ τ τ+ + ⎡ 1⎤Ε = = = −⎣ ⎦
( ) (ln ln ln )ln ln ln ln
P a X b P a X ba b b aP Zζ ζ ζ ζτ τ τ τ
< < = < < =
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= < < = Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Χρήσιµες Κατανοµές 20
Κατανοµή WeibullX∼ WEI(a, β) a>0, β>0 όταν:
α.σ.κ.
Ισχύει ότι:
•Όταν a =1, τότε η κατανοµή είναι εκθετική µε λ = 1/β. [WEI(1, β)= E(1/β)]
•Όταν X∼ WEI(a, β), τότε Υ=(Χ/β)α ∼ E(1)
( )1 0( )
0 αλλού
axa
X
a x e xf x
β
β−−⎧ >⎪= ⎨
⎪⎩
2 21 2 1( ) (1 ) Var( ) (1 ) (1 )X Xα α αβ β ⎡ ⎤Ε = Γ + = Γ + −Γ +⎣ ⎦
( )1 0( )0 αλλού
ax
X
e xF xβ−⎧⎪ − >= ⎨
⎪⎩
Χρήσιµες Κατανοµές 21
Αξιοπιστία ΣυστηµάτωνΓια την µελέτη της αξιοπιστίας συστηµάτων έστωΧ : χρόνος λειτουργίας (διάρκεια ζωής) του συστήµατοςΓια την τ.µ. Χ µας ενδιαφέρουν:
Η σ.π.π. fX(x) και η α.σ.κ. FX(x)
Συνάρτηση αξιοπιστίας:
Ρυθµός αποτυχίας:
( ) ( ) 1 ( )R t P X t F t= > = −
0
( | )( ) limt
P t X t t X th tt∆ →
< < + ∆ >=
∆
Χρήσιµες Κατανοµές 22
Αξιοπιστία Συστηµάτων (συνέχεια)Οι συναρτήσεις fX(.), FX(.), R(.) και h(.)
χαρακτηρίζουν ισοδύναµα την κατανοµή της Χκαι συνδέονται µεταξύ τους.
ή
ή δηλ.
0 0
0
( , ) ( ) ( )( ) lim lim( ) [1 ( )]
( ) ( ) 1 ( )lim[1 ( )] 1 ( )
t t
t
P t X t t X t P X t t P X th tP X t t P X t t
F t t F t F tt F t F t
∆ → ∆ →
∆ →
< < + ∆ > < + ∆ − <= = =
> ⋅∆ − < ⋅∆′+ ∆ −
= =∆ − −
( )( )( )
f th tR t
=
[ ] [ ]1 ( ) ( )( ) ln ( )( ) ( )R t R t dh t R t
R t R t dt
′− ′−= = − = − 0
( ) exp ( )t
R t h s ds⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫