Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания

к выполнению расчетно-графической (контрольной) работы

Архангельск 2010

Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией строительного факультета

Архангельского государственного технического университета 20 ноября 2009 г.

Составитель

О.Н. Старжинская, ст. преподаватель

Рецензент

Л.Б. Самодова, ст. преподаватель

УДК 346 Кривые второго порядка: метод, указания к выполнению расчет.-

граф. (контрольной) работы / сост. О.Н. Старжинская. - Архангельск: Ар-ханг. гос. техн. ун-т, 2010. - 24 с.

Подготовлены кафедрой математики АГТУ. Рассмотрены кривые второго порядка - эллипс, гипербола, парабола.

Приведены их канонические уравнения, указаны основные свойства. Предназначены для студентов строительного факультета всех специ­

альностей. Ил. 13. Библиогр. 8 назв.

© Архангельский государственный технический университет, 2010

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, кото­рая в некоторой системе координат определяется уравнением

где А, В, С, D,E,F - вещественные коэффициенты, причем А2 + В2 + С2 Ф О.

Рассмотрим важнейшие кривые второго порядка.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма

расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами,

есть величина постоянная, равная 2а.

Выведем уравнение эллипса в декартовой системе координат. За

ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F{ и F2. За ось

Оу - прямую, перпендикулярную FXF2 и проходящую через середину

отрезка F{F2.

Обозначим расстояние FXF2 = 2с, тогда координаты фокусов

F{(-cJS), F2(c,0) (рис. 1). Для любой точки М(х,у) эллипса рас­

стояния до фокусов есть r{ = F{M = д/(х + с)2 + у2 и r2 = F2M =

2 2

(х - с) + у . По определению эллипса, г{ + г2 = 2а, откуда

(х + с)2 + у2 + д/(х - с)2 + у2 -2а. После преобразований получим:

Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0, (1)

3

(х + с)2 + у2 = 2а- л/О - с)2 + у2 ,

х2 + 2сх + с2 + у2 = 4а2 - 4aJ(x - с)2 + у2 + х2 - 2хс + с2 + у2

4aJ(x - с)2 + у2 = 4а2 - 4сх

а-у](х - с)2 + у2 = а2 - сх,

1 1 О 0 0 0 0 Л О 0 0

ах -2а сх + а с + а у = а - 2а сх + с х ,

(а2 -с2)х2 +а2у2 ={а2 -с2)а2.

Из треугольника FXF2M (рис. 1) имеем:

FXM\ + \F2M\ > \FXF2\ ^ 2а > 2с,

а > с => а2 > с2 а2 - с2 > 0.

Введем обозначение а2-с2=Ь2. (2)

Тогда

Ъ2х2 +а2у2 = а2Ъ2.

Разделим обе части уравнения на а2Ь2 и получим каноническое уравнение эллипса

4 + ^ = i - (3) а о

Начало координат 0(0,0) является центром симметрии эллипса

(рис. 2). Оси координат Ох и Оу - оси симметрии эллипса. Точки

A{(-a,0), A2(0,a), B^O-b), В2(0,Ь) - вершины эллипса. Отрезок

АХА2 = 2а называется большой (или фокальной) осью, В{В2 = 2Ъ -

малой осью эллипса. Величина, которая характеризует вытянутость эллипса, называ­

ется эксцентриситетом эллипса и определяется как отношение меж­фокусного расстояния к большой (или фокальной) оси эллипса:

2с с ... £ = — = " • (4) 2а а

Так как а > с — < 1, поэтому s < 1. а

В частном случае (при а = Ь) эллипс, имеющий 8 = 1, перехо­дит в окружность радиусом а:

4 + 4 = 1 =>х2

+у2=а-. (5) а а

Уравнение (3) называется уравнением окружности:

с2 = 4а2 -Ъ2 = 0 ^ > s = - = 0. а

Таким образом, окружность есть частный случай эллипса, у ко­торого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Директрисами эллипса называются прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и отстоящие от начала координат на расстоя­ние — (рис. 2).

s _ а Согласно определению, получим уравнения директрис: х = ± —.

s Фокальными радиусами называются расстояния от точки эллип­

са до фокусов.

Обозначим FXM\ - r{, F2M\ = г2, получим формулы фокальных

радиусов для точки эллипса М(х0,у0) (рис. 2):

5

П=^(хо+с)2 +Уо\ ri = л / ( * о -cf +УО2 ,

П2 = (х0+с)2 +у^, г2 = (х0 -с)2 +у],

г2 - г2 = 4сх0 => (гх - г2)(гх + г2) = 4сх0.

По определению эллипса, г{+ г2 =2а, тогда2а(г { - г2) = 4сх0 =^>

- 1 -

а В результате

г{ + г2 = 2а,

r{ — r2 = 2sx 0.

Решив систему, получим:

rx = а + sx 0, (6)

— а "̂̂"о *

Формулы имеют весьма простое геометрическое свойство, к вы­яснению которого и перейдем.

Перепишем формулы для фокальных радиусов эллипса сле­дующим образом:

,а а Г{ = 8 ( - + Х 0 ) , Г2 = S ( - - X 0 ) .

S S

Величины d{ = — + х 0 и d2 = — - х0 представляют собою рас-s s

стояния от точки М(х0,у0) эллипса до соответствующей директрисы. г

Перепишем формулы системы (6) теперь так: r{ = s d{, или — = s, и dx

Y r2 = s d2, или — = s.

d2

Получим геометрическое свойство: отношение расстояний лю­бой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть ве­личина постоянная, равная эксцентриситету:

Пример 1. Дан эллипс 16х 2 + 25у2 = 400. Определить оси эл­

липса, координаты вершин, фокусы, эксцентриситет и уравнения ди­

ректрис. Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду (3):

2 2 х у

— + — = 1. 25 16

Имеем:

а = 25, а = 5; 2 bz =16, b = 4.

Тогда большая ось эллипса АХА2 = 2а = 10, малая ось В{В2 =2Ь = 8.

Вершины эллипса: Ах (-5,0), 4 (5 ,0 ) , ^ ( 0 , - 4 ) , Я 2 (0 ,4) .

Фокусное расстояние с1 = а2 - Ь2 = 25 - 16 = 9, т.е. с = 3. Координаты фокусов: (—3,0), F 2 (3,0).

с 3 По формуле (4) найдем эксцентриситет: s = — = —.

а 5 Уравнение директрис

_ + а _ 5 _ 25 Х ~ ~ s ~ 3/5 ~ 3 '

Пример 2. Определить траекторию точки М, которая при своем

движении остается втрое ближе от точки А(\, 0), чем от прямой х = 9

(рис. 3). 1,у

OA hoi

D

Рис. 3

7

Решение. Пусть М(х,у) - произвольная точка кривой (рис. 3).

Проведем отрезок MD, перпендикулярный прямой х = 9.

По условию известно, что ЗМА = MD:

MA = J(x-l)2+(y-Q)\

MD = J(9-x)2 +(y-yf

Составим уравнение:

Зл/(х - I) 2 + (у - О)2 = V(9 - х ) 2 +(у- у)2,

9 ( ( х - 1 ) 2 + / ) = ( ( 9 - х ) 2 + 0 2 ) ,

9х 2 - 18х + 9 + 9 / = 81 - 18х + х 2 ,

8х 2 + 9 у2 = 72.

2 2 Х У л + — = 1. 9 8

Таким образом, точка М движется по эллипсу.

Пример 3. Найти уравнение эллипса, расстояние между фокуса­ми которого равно 8, расстояние между директрисами равно 24.

Решение. По условию, FXF2 = 2с = 8. Отсюда с = 4. Известно

расстояние между директрисами, т.е. 2 — = 24 ^> а = \2г.

Так как эксцентриситет s = —, получим: а

я = 1 2 - , а

а2 = 12с = 12-4 = 48.

Найдем Ъ2 = а2 - с2 = 48 - 16 = 32.

Получаем уравнение эллипса

2 2

х у + — = 1. 48 32

8

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсо­лютная величина разности расстояний от которых до двух данных то­чек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Выведем уравнение гиперболы в декартовой системе координат.

За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы Fl и F2. За ось

Оу примем прямую, перпендикулярную FXF2 и проходящую через се­

редину отрезка FXF2.

Обозначим расстояние FXF2 = 2с , тогда фокусы имеют коорди­

наты Fj (-с,0) и F2 (с,0). Пусть М(х, у) - произвольная точка гипербо­

лы (рис. 4).

у

М(Х;у)

Рис. 4

По определению,

\FXM - F2M = 2а,

FXM = д/(х + с)2 + у2,

F2M = д/(х - с)2 + у2

Отсюда

9

Преобразуем это уравнение к более простому виду:

х2 + 2сх + с2 + у2 = х2 - 2сх + с2 + у2 ± 4a^J(x - с)2 + у2 + 4а2.

4(сх -а2) = ±4а^{х - с)2 + у2,

(сх - а2)2 = а2(х2 - 2сх + с2 + у2), 2 2 п, 2 , 4 2 2 ^ 2 , 2 2 , 2 2

с х — 2са х + а = а х - 2са х + с а + а у ,

(с2 -а2)х2 - а2у2 = а2(с2 - а2).

Из треугольника FXF2M имеем 2с > 2а, т.е. с2 - а2 > 0.

Введем обозначение

с2-а2=Ъ2. (8)

Тогда полученное равенство запишется в виде т 2 2 2 2 2 г 2

- а > > = а о .

Разделим обе части равенства на а2Ь2: 2 2

х ; | . w

Уравнение (9) - каноническое уравнение гиперболы. Начало ко­

ординат 0(0,0) - центр симметрии гиперболы. Оси координат Ох и

Оу - оси симметрии гиперболы. Точки Д ( - я , 0 ) , А2(а,0)- вершины

гиперболы. Отрезки АХА2 -2а - действительная (или фокальная) ось

гиперболы, В{В2 = 2Ъ - мнимая ось гиперболы (рис. 5).

Величина s = — называется эксцентриситетом гиперболы. Так а

как с > а, то для гиперболы s > 1.

Пусть М(х0,у0) - произвольная точка гиперболы, найдем фо­

кальные радиусы r{ = и Г2 = \F2M\ (рис. 5):

10

х

Рис. 5

П =л1(*о+с)2 +Уо2 , г2 = л / ( х о -с)2 +Уо2 ,

п2 = (*о + с)2 + у\> г2

2 =(х0-с)2 + у],

г2 - г2 = 4сх0, или (г{ - г2)(г{ + г2) = 4сх 0 .

По определению гиперболы, г{ - г2 = 2а, тогда уравнение имеет

вид 2а(гх + г 2 ) = 4сх 0 . Получим систему

г{-г2 = 2а,

* д. - 9 £ + г2 — zx 0

Решив ее, имеем

r{ = sx 0 + a, r2 = sx 0 - а (10)

(данные формулы справедливы для точек правой ветви гиперболы). Фокальные радиусы для точек левой ветви гиперболы вычислим

по формулам

гх = -(ЕХ0 + а), r2 = -(sx 0 - а).

11

Если гипербола задана уравнением (9), то прямые, определяе­мые уравнениями

х = ±-, ( П ) S

называются ее директрисами. Эти прямые обладают следующим свойством: отношение рас­

стояний любой точки гиперболы до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету (ана­логичное доказательство приведено ранее),

г — = 8. d

Построим на осях гиперболы прямоугольник со сторонами 2а и

2Ъ. Проведем в нем диагонали. Уравнения диагоналей прямоуголь­

ника у = кх. Но из рис. 5 видно, что к = —. а

Прямые

у = ±-х (12) а

называются асимптотами гиперболы.

Если в уравнении гиперболы поменять местами х и у, а также

а и Ь, то получим уравнение 2 2

о а Уравнение (13) представляет гиперболу (рис. 6), вершины кото­

рой лежат на оси Оу, следовательно, ее действительной осью являет­

ся В{В2 = 2Ь, а мнимой - А{А2 = 2а. Директрисами данной гиперболы

являются прямые

у = ±-. (14) s

12

Рис. 6

Гиперболы (9) и (13) называются сопряженными. Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

Пример 4. Определить координаты фокусов, длину осей, экс­

центриситет, уравнения директрис и асимптот гиперболы

2Ах2 -25у2 = 600.

Решение. Разделим обе части уравнения на 600, получим

2 2

25 24

Отсюда

а = 25, а = 5;

Ъ2 = 24, Ъ = л/24 = 2л/б;

с 2 = а 2 +6 2 = 25 + 24 = 49, с = 7.

Фокусы расположены в точках F{ (-7,0), F2 (7,0).

Эксцентриситет гиперболы

с 7 л л s = - = - = 1,4 > 1.

а 5

13

Уравнения директрис

£ 7 7 7

Уравнения асимптот

,Ъ 2л/б у = ± — х = ± X.

а 5

Пример 5. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку А(9-4), если ее действительная полуось а = 3.

Решение. Поскольку точка А принадлежит гиперболе, ее коор­динаты удовлетворяют уравнению гиперболы (9):

9 2 (~4)2

=

а2 Ь2

Подставим а = 3, получим 81 _ 16

= i .

Из уравнения находим Ь2 = 2. Окончательно получим уравне­ние гиперболы

2 2

9 2 3

Пример 6. Асимптоты гиперболы имеют уравнения у = ± — х, а

расстояние между фокусами равно 20. Написать уравнение гиперболы. b 3

Решение. Исходя из уравнения асимптот, имеем — = —. Кроме а 4

того, 7 ^ 2 = 2с = 20, т.е. с = 10. Используя соотношение

с 2 = а2 + Ъ2, найдем значения а и b. Решим систему уравнений

b _ 3 а 4 '

а 2 +6 2 =100.

14

Выразим из первого уравнения Ъ2 через а2 и подставим во вто­

рое уравнение:

16

9-^ + Ь2=Ш. 16

Из системы находим а = 8, b = 6 Уравнение гиперболы имеет вид

= 1. ?__У_ 64 36

Параболой называется множество всех точек плоскости, равно­удаленных от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой.

Таким образом, парабола занимает промежуточное место между эллипсом и гиперболой в том смысле, что все три кривые могут быть определены свойством

г d = е, (15)

где г - расстояние точки кривой до фокуса, d - расстояние до соот­ветствующей директрисы, s - эксцентриситет. При s < 1 имеем эл­липс, при s = l - параболу, а при е > 1 - гиперболу.

Выведем уравнение параболы в декартовой системе координат (рис. 7).

4 у

\М(х.у)

Рис. 7

15

За ось Ох примем прямую, проходящую через фокус и перпен­

дикулярную директрисе. За ось Оу примем прямую, перпендикуляр­

ную оси Ох и делящую расстояние между фокусом и директрисой

пополам.

Обозначим расстояние между фокусом и директрисой р. Тогда

Р F(— ,0) - фокус параболы, а директриса перпендикулярна фокальной

Р оси и имеет уравнение х = - ^-.

Пусть М(х,у) - произвольная точка параболы, тогда

Р MN = х + ^- - расстояние этой точки до директрисы, г = FM =

= ^ ( х - ^ ) 2 + у2 - расстояние до фокуса. По определению параболы,

эти расстояния равны:

После преобразований получаем:

( * - f ) 2 + / = ( * + f ) \

2 2 2 ^ 2 2 Р

х — рх л V у = х + рх л . 4 4

Отсюда каноническое уравнение параболы

у2=2рх. (16)

Точка 0(0,0) - вершина параболы, ось Ох - ось симметрии па­

раболы (рис. 8).

Пусть известна точка параболы М(х0,у0). Найдем фокальный

радиус г: г = FM = MN,

г = х 0 + ^ . (17)

16

Если директрису параболы поместить справа от начала коорди­нат, то парабола будет расположена, как показано на рис. 9.

и

F(-p/2;0) j

||

Рис. 8 Рис. 9

В этом случае уравнение параболы примет вид

у2=-2рх. (18)

Парабола может быть симметрична оносительно оси Оу, в этом

случае ее фокус будет лежать на оси Оу, а директрисой будет прямая,

параллельная оси Ох. При этом координатные оси поменяются мес­

тами, и уравнение параболы примет вид

х2=2ру, (19)

если ветви параболы направлены вверх (рис. 10), и

х2=-2ру, (20)

если ветви направлены вниз (рис. 11).

4*

У=р/2

у = -р/2

Рис. 10 Рис. 11

17

Пример 7. Вывести уравнение геометрического места точек, для

которых расстояние до данной точки F(3,0) равно расстоянию до

данной прямой х + 3 = 0. Решение. Найдем расстояние FM и MN (см. рис. 7):

FM = ,](х - З ) 2 + (у- О)2 , MN = x + 3;

д/(х - З) 2 + у2 = х + 3.

Решим уравнение х2 - 6х + 9 + у2 = х2 + 6х + 9. Получим уравне­

ние параболы у2 = 12х.

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Покажем, что любая кривая второго порядка представляет собой одну из канонических кривых (эллипс, гиперболу или параболу), т.е. путем преобразования системы координат (параллельного переноса и поворота) всякое уравнение (1) можно привести к каноническому уравнению, описывающему одну из этих кривых.

При параллельном переносе осей координат используем форму­лы перехода от системы координат хОу к новой системе координат

х'О'у':

У = У~Уо,

где х0, у0 - координаты точки О'.

При повороте осей координат на угол ср используем формулы

х = х' cos ф - у' sin ф, У у и (22)

у - х' sin ф + у' cos ф.

(21)

18

Рассмотрим частный случай уравнения (1) при В = 0:

Ах2 + Су2 + Dx + Еу + F = 0.

Данное уравнение описывает: 1) эллипс при АС > 0 (может быть действительный, вырожден­

ный, т.е. точка или мнимый эллипс); 2) гиперболу при АС < 0 ( может быть действительная, вырож­

денная, т.е. пара пересекающихся прямых); 3) параболу при АС = 0 (действительная или вырожденная -

пара параллельных прямых).

Пример 8. Выяснить, какую линию на плоскости описывает уравнение

Шх2 + 25у2 + 200х - ЮОу - 200 = 0.

Решение. Перепишем уравнение следующим образом:

100(х 2 + 2х) + 25(у2 - 4у) - 200 = 0,

100(х 2 + 2х + 1) - 100 + 25(у2 -4у + 4)- 100 - 200 = 0,

100(х + 1)2 + 2 5 ( . у - 2) 2 = 400.

Разделим обе части уравнения на 400. Получим

Точка 0'{-\, 2) - начало новой системы координат х'О'у' -

совпадает с центром кривой второго порядка (рис. 12).

Применим формулу (21):

(х + I) 2 , (у - 2) 2

= 1. 4 16

Получим каноническое уравнение эллипса

. iff =

22 42

19

Рис. 12

Рассмотрим еще один частный случай уравнения (1). Пусть ко­эффициенты А = С = D = Е = О, тогда

Вху + F = О. (23)

В этом случае необходимо произвести такое преобразование ко­ординат, при котором в уравнении исчезнет член с произведением пе­ременных ху. Это достигается путем поворота координатных осей.

Пример 9. Выяснить, какую линию описывает уравнение

ху - 8 = 0.

Решение. Подставим в уравнение ху = 8 формулы (22) с пово­

ротом на угол ф = 45° . Получим:

г г • V2 , л/2 , л/2 , , х = х cos ф - у sin ф = — х у = — (х - у),

2 л/2 л/2 у = х sin ф + у' cos ф = х + у' = (х + У);

л/2 л/2 — О - У) —(х +3>) = 8,

1 ( (* ' ) 2 - ( / ) 2 ) = 8.

20

Получим уравнение гиперболы (рис. 13)

(x'f {y'f = 1. 4 4

х

Рис. 13

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пусть задана система координат хОу и две функции от одного аргумента

Условимся рассматривать величины х и у как координаты не­которой точки М. Формулы системы (24) называются параметриче­скими уравнениями траектории точки М, аргумент t - вспомогатель­ной переменной (параметром).

Формулы

(24)

х = a cost,

у = bs'mt, t е [0,2л],

задают эллипс с полуосями а и Ъ.

(25)

21

Формулы

а х =

cost у = btgt, t е [0,2 тг],

задают гиперболу с полуосями а и Ъ. Формулы

f t2

X = 2р

y = t, ^ е ( - о о , + оо),

(26)

(27)

задают параболу у2 =2рх.

УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Все кривые второго порядка имеют в полярной системе коорди­нат уравнения одного вида. Если в качестве полюса О полярной сис­темы координат принять фокус кривой, а полярную ось направить по оси симметрии кривой в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы, то уравнение кривой второго порядка в полярных координатах будет таким:

р = - ^ , Ф = [0,2тг), (28) 1 - scosq)

где р, ф - полярные координаты произвольной точки линии; р - полярный радиус точки данной кривой, которая лежит на перпендикуляре к полярной оси, проходящем через полюс; s - эксцентриситет кривой.

Если 0 < s < 1, то уравнение (28) представляет собой уравнение эллипса (при s = 0 это уравнение окружности с центром в точке О), если s > 1 — уравнение задает одну ветвь гиперболы, фокус которой совпадает с полюсом. При 8 = 1 - уравнение параболы.

22

Список и с п о л ь з о в а н н о й л и т е р а т у р ы

Бугров Я.С., Никольский С М . Высшая математика. Элементы ли­нейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. для вузов. - М.: Наука, 1988.-224 с.

Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Физмат-гиз, 1963.-272 с.

Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. комплекс: учеб. пособие / под ред. А.И. Кириллова. - М.: Изд-во МЭИ, 2000.-328 с.

Идельсон А.В., Блюмкина И.А. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра: учеб. пособие / под ред. Л.П. Гаштольда, В.Г. Дмитриева, А.Ф. Тара-сюка. - М.: ИНФРА-М, 2000. - 200 с.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1971.-232 с.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Профессия, 2002. - 256 с.

Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. - СПб.: Лань, 2002. - 656 с.

Томашевский И.Л., Юфряков А.В., Мотовилов А.К. Аналитическая геометрия: метод, указания к самостоят, работе по курсу «Высшая матема­тика». - Архангельск: РИО АЛТИ, 1989. - 24 с.

23

Оглавление

Канонические уравнения кривых второго порядка 3

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 18

Параметрические уравнения кривых второго порядка 21

Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах 22

Список использованной литературы 23

24