008 pat 1 (1)

(80)

ขอสอบ PAT 1 ความถนดทางคณตศาสตร 1.ขอใดไมสมมลกบ ประพจน )rq(p ∨→

1. p~)r~q(~ →∧ 2. r)q~p( →∧ 3. q)r~p( →∧ 4. )r~q(~p~ ∧→

2.กาหนดเอกภพพทธคอ }2,1,0,1,2{ −− ประพจนใดเปนเทจ 1. ]xxx[x 2=+∃ 2. )]1x(n2)1x(n[x 2 −=−∃ 3. ]1

2ee[x

xx

>+

∀− 4. ]x|x|x[x 2 ≥+∀

3.ขอใดตอไปนเปนเซตอนนต 1. }35x3|Ix{ <∈ + 2. }05x4x|Ix{ 2 <−−∈ 3. { |x R x∈ เปนจานวนคทหารดวย 3 ลงตวและ 100 }x<

4. { |x R x∈ เปนจานวนคทสอดคลองอสมการ

2 5 14 0 }x x+ − <

4.ใหเซต {A = ∅, {∅}} ขอใดตอไปนผด

1. {{{∅}}} )))A(P(P(P(P⊂ 2. 2)A)A(P(n =∩

3. ∅ ))A(P(P∈

4. ∩)}A(P,A{ {{∅}}≠ ∅ 5.จาก 2| 1 5x x− − < เซตคาตอบของอสมการ เปนสบเซต

ของชวงในขอใด 1. )3,2[− 2. )1,0( 3. )0,2[− 4. ]1,2(−

6.กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง และ |}3x||2x|2|x{A +<+∈= R , }1x3x|x{B ≤−+∈= R ขอใดตอไปนถก

1. BA ⊂ 2. AB ⊂ 3. BA ⊂′ 4. AB ⊂′

7.กาหนด a คอจานวนเตมทมากทสดทสอดคลองกบอสมการ 3x2|1x3| +<− และ b คอจานวนเตมทนอยทสดทสอดคลอง

กบอสมการ 1x

13x

x−

<+

คาของ ab คอ

1. -6 2. -4 3. 2 4. 10 8.ให 1x)x(f 2 −= และ 1x)x(g 3 += ขอใดผด

1. gf + เปนฟงกชนเพมบนชวง ),0[ ∞ 2. gf − เปนฟงกชนเพมลดชวง ]0,(−∞ 3. gf เปนฟงกชนเพมลดชวง ),0[ ∞ 4. fg เปนฟงกชนเพมบนชวง ),0[ ∞

9.กาหนด RR:f → , RR:g →

2x)7x2(f 1 −=−−

34x8x)5x(g 2 ++=+

คาของ )0)(gf( − คอ 1. -58 2. -57 3. -43 4. 0

10.กาหนด }1|y|2|x|3|)y,x{(r1 =−= , }21y1x|)y,x{(r2 =++−⋅= แลว

112 rr RR −− คอ

1. )3,31()

31,1( ∪−− 2. )3,1(−

3. )3,31(− 4. )

31,

31(−

11.ถา C,B,A ถา 3

Csin5

Bsin7

Asin== แลว A มคาเทาใด

1. °= 30A 2. °= 45A 3. °= 105A 4. °=120A

12.กาหนดให

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=−∈=θ

θθθπθsin

cos31)cos1(cot|],0[A2

ผลบวกของสมาชกของ A คอขอใดตอไปน

1. 3π 2.

32π 3. π 4.

34π

13.ถา 34arctan)x1(arctanxarctan =−+

แลว คาของ x จะอยในชวงใด

1. )31,0( 2. )1,

41( 3. )

41,0( 4. )

32,

21(

14.ถา L เปนสมการเสนตรงทผานจดตดของเสนตรง 07y4x3 =−+ และ 015y12x5 =−+ และตงฉากกบเสนตรง 05yx3 =−+ แลวสมการเสนตรง L เทากบขอใด

1. 03x8y24 =−− 2. 041x24y8 =−+ 3. 027x8y24 =−+ 4. 031x24y8 =+−

15.จด A อยบนแกน Y และหางจากจด (2,2) และ (1,-1) เปนระยะทาง เทากน ถา B เปนจด (4,5) แลว สมการของวงกลมทม (A,B) เปน เสนผานศนยกลางคอขอใด

1. 015y8x4yx 22 =+−−+ 2. 012y8x4yx 22 =+−−+ 3. 09y6x4yx 22 =+−−+ 4. 05y6x4yx 22 =+−−+

16.วงรรปหนงมความยาวของแกนเอกเทากบความยาวของ เลตสเรกตมของพาราโบลา 028y8x4x2 =+−−

ถาวงรนมความเยองศนยกลางเทากบ 12แลว ความยาว

ของแกนโทของวงรน คอขอใดตอไปน 1. 2 หนวย 2. 32 หนวย 3. 4 หนวย 4. 34 หนวย

(81)

17.สมการของเสนโคงทมผลตางของระยะจากจด )y,x( ใด ๆ บนเสนโคงไปยงจด )1,5(− และ )1,5( กบ 6 คอ สมการใน ขอใดตอไปน

1. 116

)1x(9y 22

=−

− 2. 116x

9)1y( 22

=−−

3. 116

)1y(9x 22

=−

− 4. 116y

9)1x( 22

=−−

18.กาหนดให Rแทนเซตของจานวนจรง และ { }x2x 22)2(9 6255|xA =∈= −R ผลบวกของสมาชกของ A คอขอใดตอไปน

1. -1 2. 52− 3. 0 4.

51

19.คาของ 2log

192log2log

24log

12

2

96

2 − ตรงกบขอใดตอไปน

1. -4 2. -3 3. 3 4. 4 20.ถา 4 8018161ba −=− คาของ alogb คอ

1. 2log

2log1− 2. 2log22log1 −

3. 2log42log1− 4.

2log62log1−

21.กาหนด

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

202y1x321

A

เปนเมตรกซเอกฐาน (Singular -Matrix) และให )A(C),A(M ijij

แทนไมเนอร และโคแฟคเตอร ของสมาชกในตาแหนง แถวท j กบหลกท j ของเมตรกซ A ตามลาดบ ถา 5)A(M)A(C 1232 =−

แลว ผลบวกของกาลงสองของ x และ y มคาเทากบขอใด

1. 3 2. 13 3. 25 4. 33 22.กาหนด Rεb,Rεa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=b0

0aA

โดย 01A2A2 =++ คาของ ba + คอ 1. -2 2. -1 3. 0 4. 1

23.โดยกระบวนการดาเนนการตามแถว พบวา

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

5686710345

100010001

~100010001

z240y232x

คาของ zyx ++ คอขอใดตอไปน 1. -9 2. -7 3. 5 4. 8

24.กาหนดให 8|u|,5|u| =+= ν และ )u()2u(u −⋅++⋅ ννν มคาเทากบ 49 จงหาคาของ |u| ν−

1. 2 2. 2 3. 4 4. 14

25.กาหนดให cb2a4u −+= และ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

01

c,23

b,12

a เวกเตอรทตงฉาก

กบเวกเตอร u คอ 1. j8i +− 2. j8i3 +− 3. j2i16 + 4. j9i24 +

26.พกดของจดในขอใดตอไปนเปนจดมมของทรงสเหลยมมมฉาก ทมจดมมคอ (1,2,3), (1,2,4), (2,2,3), (1,2,3)

1. (3,1,2) 2. (3,2,4) 3. (2,3,4) 4. (2,4,3)

27.ถา จานวนเชงซอน 1Z เปนคาตอบหนงของสมการ

3 2 3 5 0Z Z Z+ + − = และ 3)i22(Z1 =+−

แลว 11 ZZ + เทากบขอใด 1. 4 2. -4 3. 2 4. -2

28.ถา 10

i31i31Z ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

= แลว ตวผกผนของการบวกของ Z คอ

ขอใดตอไปน

1. i23

21+− 2. i

23

21−−

3. i23

21+ 4. i

23

21−

29.กาหนดฟงกชนจดประสงค และเงอนไขบงคบตอไปน ฟงกชนจดประสงค y10x5P += เงอนไขบงคบ 10y2x ≥+

42y4x7 ≥+

8x0 ≤≤ 7y0 ≤≤

ถา a และ b เปนคาทมากทสด และคาทนอยทสด ของ pตามลาดบ แลว ba − มคาเทากบขอใด 1. 50 2. 65 3. 150 4. 165

30.คาของ 1nn2

)1n2(531nlim 2n ++

−++++∞→

… คอ

1. 41 2.

31 3.

21

4. ไมสามารถหา lim ได เปนอนกรมไดเวอรเจนต

31.ถา 82

28642lima 3n

n

n1n

n

−+++++

= +∞→

∞

=∑ … แลว

…,a25,a25,a25 32 มพจนท 5 เปนเทาใด

1. 51 2.

251 3.

351 4.

451

32. 3n

1nn321lim 2

222

n−

−++++

∞→

… มคาเทากบขอใด

1. -1 2. 21

3. 1 4. หาคาลมตไมได

(82)

33.จากรป ถาพนทของบรเวณทแรเงา เทากบ 6 ตารางหนวย

แลว ∫−

2

1

dx)x(f เทากบขอใด

1. 10 2. 6 3. 3

22 4. 3

19

34.สมการของเสนตรงซงตงฉากกบเสนสมผสของเสนโคง x5x2xy 23 +−= ทจด (1,4) คอสมการในขอใดตอไปน

1. 017y4x =−+ 2. 017y4x =+− 3. 017xy4 =−+ 4. 017xy4 =++

35.ถากาหนดความชนของเสนโคงทจด )y,x( ใดๆ เปน 5x4x3 2 −− แลวสมการของเสนโคงทผานจด (1,-6) คอ สมการในขอใดตอไปน

1. x5x2xy 23 −−= 2. x5x4x3y 23 −−= 3. 1x5xxy 23 −−−= 4. 2x5x2x3y 23 −−−=

36.ขอใดตอไปนผด

1. 12nn

3n

2n

1n n −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ …

2. )r,n(C1rrn)1r,n(c

+−

=+

3. )!n(2)n2(6.4.2 =… 4.

)!4n()!3n()9n()4n()1n(n 222

−+

=−−−

37.รถโรงเรยน 2 คน คนหนงม 6 ทนง และอกคนหนงม 9 ทนง จานวนวธทครจะจดใหเดกนกเรยนจานวน 13 คน นงรถ โรงเรยนทง 2 คน เทากบขอใดตอไปน

1. 1,716 วธ 2. 2,431 วธ 3. 3,003 วธ 4. 3,718 วธ

38.ตองการสรางจานวนคบวกใหมคามากกวา 150 และนอยกวา 750 โดยใชตวเลข 1,2,7,8 ไดจานวนทงหมดเทากบขอใด ตอไปน

1. 75 จานวน 2. 85 จานวน 3. 105 จานวน 4. ไมมคาตอบถก

39.สมศรมผาเชดหนาทแตกตางกน 8 ผน ตองการแจกผาเชดหนา ใหกบเพอนของเขา 2 คน โดยทคนหนงไดรบ 2 ผน อกคนหนง ไดรบ 3 ผน จะมวธการแบงทงหมดกวธ

1. 560 วธ 2. 1120 วธ 3. 3360 วธ 4. 6720 วธ

40.จากการสารวจความคดเหนของนกศกษาในมหาวทยาลยขอนแกน ซงเปนนกศกษาชาย 40% เกยวกบความคดเหนเรองการขนราคา นามนเชอเพลง พบวา นกศกษาชายเหนดวยกบการขนราคานามน 70% สวนนกศกษาหญงเหนดวยกบการขนราคานามนเพยง 15% ความนาจะเปนทจะสมเลอกนกศกษามาหนงคนทจะเปนนกศกษา ชาย หรอนกศกษาทเหนดวยกบการขนราคานามนจะเทากบขอใด ตอไปน

1. 0.28 2. 0.49 3. 0.77 4. 0.94 41.สมประสทธของ 2x จากการกระจาย 105 )

x2ax( + คอขอใด

1. 22 a

245 2. 4

3 a2

105

3. 65 a

2105 4. 8

8 a245

42.จากตารางแจกแจงความถของความยาวของทารกแรกเกด 45 คน ทมมธยฐานอยในชวง 41-48 เซนตเมตร ถาทารกแรกเกดทม ความยาวนอยกวา 40.5 เซนตเมตร มอย 16 คน และทารกแรก เกดทมความยาวนอยกวา 48.5 เซนตเมตร มอย 24 คนแลว มธยฐาน มคาเทากบขอใด

1. 44 2. 45 3. 46 4. 47 43.ถาคาเฉลยเลขคณตของยอดขายตอสปดาหของขนมไทยชนดหนง เทากบ 1,100 บาท จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถามธยฐาน และฐานนยม เทากบ 1,000 และ 950 บาท ตามลาดบแลว เสนโคงของความถเปนแบบเบลาดทางขวา

ข. ถามธยฐาน และฐานนยม เทากบ 1,300 และ 1,200 บาท ตามลาดบแลว เสนโคงของความถเปนแบบเบลาดทางซาย

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

44.ถา 4321 x,x,x,x เปนขอมลชดหนง ทมคาฐานนยม

และมธยฐานคอ 0 พสยคอ 12 และมคาเฉลยเลขคณตคอ 1 แลว คาของ ∑=

−4

1i2

i )1x( คอขอใดตอไปน

1. 76 2. 78 3. 80 4. 82

(83)

45.บรษทแหงหนงขายยางรถยนต 4 ชนด คอ G,F,B และ คานวณคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของ อายการใชงานของยางรถยนต(หนวยเปนเดอน) ไดดงน

ยางรถยนตชนดใด มการกระจายของอายการใชงานนอยทสด 1. B 2. F 3. G 4. M

46.ในการสอบคดเลอกเขาศกษาในสถาบนอดมศกษาแหงหนง นายวระวฒนเขาสอบ 4 วชา คอ คณตศาสตร 1 เคม ฟสกสและ ชววทยา สมมตวาคาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนแตละวชา และคะแนนของนายวระวฒน เปนดงน

นายวระวฒนทาคะแนนวชาใดไดดทสด

1. คณตศาสตร 1 2. เคม 3. ฟสกส 4. ชววทยา 47.กาหนดให 4,3,2,5,6,4 เปนขอมลชดท 1

654321 y,y,y,y,y,y เปนขอมลชดท 2

โดยท 2x3y ii −= จงพจารณาขอความตอไปน

ก. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 นอยกวา คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 อย 6

ข. สมประสทธการแปรผนของชดท 2 นอยกวา สมประสทธการแปรผนของชดท 1 อย 6

ค. ความแปรปรวนของขอมลชดท 2 เปน 3 เทา ของความแปรปรวนของขอมลชดท 1

ขอใดสรปถกตอง 1. ถก 1 ขอ 2. ถก 2 ขอ 3. ถกทกขอ 4. ผดทกขอ

48.ในการทดสอบความสามารถของนกเรยน 100 คน ไดคาเฉลย เลขคณตของคะแนน สอบเปน 50 สวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 15 มนกเรยน 99 คน ทไดคะแนนนอยกวามยร ถาการแจก แจงของคะแนนสอบเปนไดปกต มยรสอบไดคะแนนเทาใด (ตอบเปนจานวนเตมทใกลเคยงทสด) กาหนด 33.2z = มพนทใตโคงปกต 0.4900

1. 83 2. 84 3. 85 4. 86

49.ขอมลการขายสนคาของบรษทแหงหนงมหนวยเปนลานบาท ระหวางป พ.ศ.2541-2545 เปนดงน

ถาความสมพนธขอมลนเปนแบบเสนตรงแลว เราจะทานายมลคาการขาย โดยเฉลยใน 6 เดอนแรกของป พ.ศ.2546 จะมคาเทากบขอใด 1. 13.9 2. 5.15 3. 6.90 4. 6.95

50.ตารางนมสเหลยมจตรสกรป

1. 25 2. 26 3. 29 4. 30

M

ชนดของยางรถยนต B F G M คาเฉลยเลขคณต

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 38 3

45 9

24 2

48 6

คณตฯ1 เคม ฟสกส ชววทยา คาเฉลยเลขคณต 27 25 21 35 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 14 16 10 10 คะแนนของนายวระวฒน 62 57 51 50

พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545 มลคาการขาย (ลานบาท) 7 10 9 11 13

(84)

เฉลยขอสอบ PAT 1 วดศกยภาพทางคณตศาสตร

1.ตอบขอ (4)

แนวคด )rq(p ∨→

)rq(p~ ∨∨≡ ตามกฎของ 6 ของ PB

r)qp(~ ∨∨≡ จดกลมใหมนะครบ

~ ( ~ )p q r≡ ∧ ∨ ดงนเสธออกมา

r)q~p( →∧≡ สมมลกบขอ (2) หรอ )rq(p ∨→

)rq(p~ ∨∨≡

q)rp(~ ∨∨≡ จดกลมใหม

q)r~p(~ ∨∧≡ ดงนเสธออกมา

q)r~p( →∧≡ สมมลกบขอ (3) หรอ )rq(p ∨→

p~)rq(~ →∨≡ กฎ สลบท

p~)r~q(~ →∧≡ สมมลกบขอ (1) ดงนน )rq(p ∨→ ไมสมมลกบขอ (4)

2.ตอบขอ (3) ม 0x = ทาให 12

ee xx

>+ − เปนเทจ

(1) ม 2x = ทาให 2xxx =+ เปนจรง (2) ม 2x = ทาให )1x(n2)1x(n 2 −=− เปนจรง

(4) |x|x 2 =∵ x|x|2|x|x2 ≥=+∴ เสมอ 3.ตอบขอ (3)

แนวคด ตวเลอก (1) ผดเพราะ 35, 3 35,

3x I x x+∈ < ∴ <

ดงนน 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1x = ∴ จงเปนเซตจากดนบจานวนสมาชกได ตวเลอก (2) ผดเพราะ 05x4x,Ix 2 <−−∈ แยกปลากรอบ (ไมใช) ตวประกอบดกวา

0)1x)(5x( <+− จบแตละวงเลบเทากบ 0 ใสชวงเปด + - + -1 5

Ix∈ และ ( 1,5)x∈ − ดงนน 4,3,2,1,0x =

∴ จงเปนเซตจากดอกแลวครบทาน ตวเลอก (3) ถกเพราะ Rx ∈ และ x เปนจานวนเตม คทหารดวย 3 ลงตว และ 100x < มคาดงน

………… ,24,18,12,6,0,,78,84,90,96x −−−−= ∴ จงเปนเซตอนนต (เจอเสยท) ตวเลอก (4) ผดเพราะ Rx∈ และ x เปนจานวนเตมค ทสอดคลองกบ 014x5x 2 <−+

0)7x)(2x( <+−

+ - + -7 2

x เปนจานวนเตมค และ )2,7(x −∈ ดงนน 1,1,3,5x −−−= ∴ จงเปนเซตจากดนบไดครบ


แนวคด ขอ 1. ถก เพราะ จาก ∅ )A(P∈

ดงนน {∅} )A(P⊂ จากกฎการตดปกกา ของ PB

และ{{∅}} ))A(P(P⊂ จากกฎการเตม P ของ PB

ขอ 2.ถก เพราะ =∩ A)A(P {∅,{∅}} ขอ 3.ถก เพราะ เซตวางยอมเปนสมาชกของ Power Set เสมอ ขอ 4.ผด เพราะ สมาชกใน 2 เซตไมซ ากนเลย ดงนนผลการ

intersection = ∅ 5.ตอบขอ (1)

5|1xx| 2 <−−

51xx5 2 <−−<− 1xx5 2 −−<− และ 51xx 2 <−−

แยกคด 2 กรณ แลวนามา อนเตอรเซทชนกนครบ กรณท .I 1xx5 2 −−<−

04xx 2 >+− แยก factor ไมไดตองทาเปนกาลง 2 สมบรณพจารณา

0

415

41xx 2 >++−

0

415

21x

2

>+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

021x

2

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∵ เสมอ

04

152

1x 2

>+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∵ เสมอ

เซตคาตอบ ในกรณน คอ R (นองของพอ ! ลอเลน )

กรณท .II 51xx 2 <−−

06xx 2 <−− 0)2x)(3x( <+−

+ - + -2 3 เซตคาตอบคอ (-2, 3) เซตคาตอบ ของอสมการ 5|1xx| 2 <−− ไดจากคาตอบในกรณท .I และ .II มาอนเตอรเซกซน ∴ เซตคาตอบคอ )3,2(R −∩ )3,2(−=

(85)

6.ตอบขอ (4) AB ′⊂ แนวคดA

3x2x2 +<+ ยกกาลง 2 ดกวาครบพนอง

22 )3x()2x2( +<+

222 )3x()2x(2 +<+ ตรงนกระจายหรอใชผลตาง

กาลง 2 กไดครบ

9x6x)4x4x(4 22 ++<++ พบมเลอกกระจายครบ

9x6x16x16x4 22 ++<++

07x10x3 2 <++

0)1x)(7x3( <++ เขยนกราฟคาตอบไดดงน

+ - +

37

− -1

ดงนน

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −<<−∈= 1,

371x

37|RxA ,B

1x3x ≤−+

1x3x +≤+ ( ) ( )2 2

3 1 3 0 0x x x x+ ≤ + ∩ + ≥ ∩ ≥

3 2 1 3 0x x x x x+ ≤ + + ∩ ≥ − ∩ ≥ 2 2 3 0x x x≤ ∩ ≥ − ∩ ≥ 1 3 0x x x≤ ∩ ≥ − ∩ ≥ 1 3 0x x x≤ ∩ ≥ − ∩ ≥ 1 3 0 1x x x x≥ ∩ ≥− ∩ ≥ → ≥

เขยนกราฟไดดงน - +

1 ดงนนเซต { } [ )∞=≥∈= ,11x|RxB ตรวจตวเลอก (1) BA ⊂ ผด ดงรปท 1 (2) AB ⊂ ผด ดงรปท 1

A B

37

− -1 1

รปท 1 (3) BA ⊂′ ผด เพราะ

(3) (2) , 4 6 0x− − = ดงรป

(4) AB ′⊂ ถก ดงรปท 2

37

− -1 1

รปท 2 7.ตอบขอ (1) 3x2|1x3| +<−

เขา FORM 3 ของ PB จะยกกาลง 2 กไดหรอแยกชวงกไดครบ พบมยกกาลง 2

9x12x41x6x9 22 ++<+−

08x18x5 2 <+− 08x18x5 2 <−− 0)4x)(2x5( <−+

4x

52

<<−

∴

a เปนจานวนเตมทมากทสดในชวง )4,52(−

52− 4

*3a =∴

จาก 1

3 1x

x x<

+ −

01x

13x

x<

−−

+

0)1x)(3x(3xxx 2

<−+−−−

0)1x)(3x(

3x2x 2

<−+−−

0)1x)(3x()1x)(3x(

<−++−

+ - + - +

-3 -1 1 3 1x3 −<<− หรอ 3x1 <<

b คอจานวนเตมทนอยทสดทสอดคลองกบชวง )3,1(U)1,3( −− 2b −=∴ 6ab −=∴ 8.ตอบขอ (3)

แนวคดให 1x)x(f 2 −= และ 1x)x(g 3 += เนองจากความชนของกราฟ )x(f คอ )x(f ′ ตวเลอก (1) ถกเพราะจาก )x(g)x(f)x)(gf( +=+

2332 xx)1x()1x()x)(gf( +=++−=+

0x2x3)x()gf( 2 =+=′+

32,0x,0)2x3(x −

=∴=+

พจารณาความชนของกราฟในแตละชวงโดยการกาหนดคาx

จบใน root มากกวา หรอเทากบ 0

(86)

ในแตละชวง เชน 1,21,1 −

− แลวแทนคาใน )x()gf( ′+

จะไดเครองหมายของความชนดงน

01)1(2)1(3)1()gf( 2 >=−+−=−′+

041)

21(2)

21(3)

21()gf( 2 <

−=−+−=−′+

05)1(2)1(3)1()gf( 2 >=+=′+ ⊕ Ө ⊕

-1 32−

21− 0 1

จะไดวา )gf( + เปนฟงกชนเพมบนชวง ),0[ ∞ ตวเลอก (2) ถกเพราะจาก

)x(g)x(f)x)(gf( −=−2332 xx)1x()1x()x)(gf( +−=+−−=−

0x2x3)x()gf( 2 =+−=′−

32,0x,0)2x3(x =∴=+−

พจารณาความชนของกราฟในแตละชวงโดยการกาหนดคา x ในแตละชวง เชน 1,

21,1− แลวแทนคาใน )x()gf( ′+


05)1(2)1(3)1()gf( 2 >−=−+−−=−′− 0

41)

21(2)

21(3)

21()gf( 2 >=+−=′−

01)1(2)1(3)1()gf( 2 <−=+−=′−

Ө ⊕ Ө

-1 0 21

32 1

จะไดวา )gf( + เปนฟงกชนลดบนชวง ),0[ ∞ ตวเลอก (3) ผดเพราะจาก

))x(g(f)x)(gf( = )1x(f)x)(gf( 3 +=

1)1x( 23 −+=

)x3()1x(2)x()gf( 2123 −+=′

1,0x,0)1x(x6 32 −=∴=+ พจารณาความชนของกราฟในแตละชวงโดยการกาหนดคา x ในแตละชวง เชน 1,

21,2 −−− แลวแทนคาใน )x()gf( ′


0168)1)2(()2(6)2()gf( 32 <−=+⋅−=−′ 0

1621)1)

21(()

21(6)

21()gf( 32 >=+−⋅−=−′

012)1)1(()1(6)1()gf( 32 >=+⋅=′ Ө ⊕ ⊕

-2 -1 2

1− 0 1

จะไดวา )gf( เปนฟงกชนเพมบนชวง ),0[ ∞

ตวเลอก(4) ถกเพราะจาก ))x(f(g)x)(fg( =

1)1x( 32 +−= )x2()1x(3)x()fg( 132 −−=′ 1,1,0x,0)1x(x6 22 −=∴=−

พจารณาความชนของกราฟในแตละชวงโดยการกาหนดคาx ในแตละชวง เชน 2,

21,2 −− แลวแทนคาใน

)x()fg( ′ จะไดเครองหมายของความชนดงน

0108)1)2(()2(6)2()fg( 22 <−=−⋅−=−′ 0

1627)1)

21(()

21(6)

21()fg( 22 <

−=−−⋅−=−′

0

1627)1)

21(()

21(6)

21()fg( 22 >=−⋅=′

0108)1)2(()2(6)2()fg( 22 >=−⋅=′ Ө Ө ⊕ ⊕

-2 -1 21− 0

21 1 2

จะไดวา )fg( เปนฟงกชนเพมบนชวง ),0[ ∞ 9.ตอบขอ (2)

จาก *)0(g)0(f)0)(gf( ⋅=⋅ จาก 34x8x)5x(g 2 ++=+ ตองการ )0(g แทน 5x = −

34)5(8)5()0(g 2 +−+−= 344025 +−=

19= จาก 2x)7x2(f 1 −=−− ให 2x = ทาให 0)3(f 1 =−− นนคอ 3)0(f −=

)0(g)0(f)0)(gf( ⋅=⋅∴ 193 ⋅−= 57−= 10.ตอบขอ (4)

จาก 11 rr D1R =−

}1|y|2|x|3|)y,x({r1 =−= 1|y|2|x|3 =− |y|21|x|3 =− 0|y| ≥∵ เสมอทาให 0|y|2 ≥∵

นนคอ 01|x|3 ≥− 1|x|3 ≥

31|x| ≥

31x −

≤ หรอ 31x ≥

(87)

1rD แสดงบนเสนจานวนไดดงน

31

− 31

จาก 2r 21y1x =++− 1y21x +−=−

01x ≥−∵ 01y2 ≥+−∴ และ 01y ≥+ 21y ≤+

41y ≤+ y 3≤

2rR∴ คอ 1 3y− ≤ ≤ เขยนเปนเสนจานวน

ไดดงน -1 3 )

31,

31(1RR

12 rr−

=−−

11.ตอบขอ (4) แนวคด

k3

Csin5

Bsin7

Asin===

k7Asin = k5Bsin = k3Csin = 180CBA =++ )CB(180A +−= )CBsin(Asin += CsinBcosCcosBsin += 22 k251k3x91k5k7 −+−=

22 k2513k9157 −=−− 222 k2259k22525k917049 −=−+−−

65k9170 2 =− 13k9114 2 =− 22 )

1413(k91 =−

196

3k 2 =

14

3k ±=

23k7Asin ±

==

(ใชไดเฉพาะคาบวก ∵ เปนมมในสามเหลยม)

ถา °°=⇒= 120,60A23Asin


แนวคด θ

θθθsin

cos31)cos1(cot2−

=−

θ

θθθθ

sincos31)cos1(

sincos 2−

=−

θθθ 2cos31)cos1(cot −=− 01coscos2 2 =−+ θθ 0)1)(cos1cos2( =+− θθ

1cos01cos

21cos

01cos2

−==+

=

=−

θθ

θ

θ

โจทยกาหนดให [ )πθ ,0∈ ดงนน

πθπθ ==3

ดงนนเซต ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= ππ ,

3A ผลบวกของสมาชกของเซต A

คอ 3

43

πππ=+

13.ตอบขอ (2) ให Axarctan = xAtan =∴

B)x1arctan( =− x1Btan −=∴

34arctan)x1(arctanxarctan =−+

BA + 34arctan=

)BA(tan + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

34arctantan

BtanAtan1BtanAtan

−+

34

=

)x1(x1)x1(x

−−−+

34

=

2xx1

1+−

34

=

2x4x44 +− 3= 1x4x4 2 +− 0= 2)1x2( − 0=

x 21

=

14.ตอบขอ (1) แนวคด หาจดตดของเสนตรง

)1.......(..............................07y4x3 =−+

)2....(..............................015y12x5 =−+

)3.....(..............................021y12x9,3)1( =−+×

06x4,)2()3( =−−

85y,

23x ==∴

ดงนนเสนตรง L ผานจดตด )85,

23( และตงฉากกบ

เสนตรง 05yx3 =−+

(88)

ซงมความชน 3−=

∴ความชนของเสนตรง 31L =

จากสตรสมการเสนตรง )xx(myy 11 −=−

∴สมการเสนตรง L คอ )23x(

31

85y −=−

2

1x31

85y −=−

12x815y24 −=− 03x8y24 =−−

15.ตอบขอ (4) แนวคด เนองจากจด A อยบนแกน Y สมมตใหจด A มพกด )a,0( จากสตรระยะหางระหวางจด 2 จด

221

221 )yy()xx(d −+−=

เนองจากจด A อยจากจด (2,2) และจด (1,-1) เปนระยะ ทางเทากนจะไดวา

2222 )1a()10()2a()20( ++−=−+−

ยกกาลงสองทงสองขางจะได

22 )1a(1)2a(4 ++=++

2a2a8a4a 22 ++=+−

1a,6a6 =∴= ดงนน จด A คอ (0,1) จากสตรสมการวงกลม 222 r)ky()hx( =−+− จากสตรจดกงกลาง

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=2

yy,2

xx)y,x( 2121

จดศนยกลาง )3,2(2

51,2

40)k,h( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

รศม 2

)51()4,0(2

|AB|)r(22 ++−

==

82

82232

===

แทนคาสตรสมการวงกลม 8)3y()2x(: 22 =−+−

8)9y6y()4x4x( 22 =+−++−

05y6x4yx 22 =+−−+ 16.ตอบขอ (4)

แนวคด จากสมการพาราโบลา

028y8x4x 2 =+−−

28y8x4x 2 −=− 222 228y822)x(2x +−=+−

24y8)2x( 2 −=− )3y(8)2x( 2 −=−

)3y)(2(4)2x( 2 −=− จากสมการมาตรฐานของพาราโบลา )ky(p4)hx( 2 −=− จากความยาวลาตสเรกตมของพาราโบลา p4= จะไดความยาวลาตสเรกตมของพาราโบลา 8)2(4 == หนวย จากโจทยกาหนด ความยาวลาตสเรกตมของพาราโบลาเทากบ ความยาวแกนเอกของวงรนนคอยาวเทากบ 8 หนวย จากความยาวแกนเอกของวงร a2=

นนคอ 8a2 = แลวจะได 4a = จากโจทยกาหนดใหความเยองศนยกลางของวงร

2

1ac)e( ==

นนคอ 21

ac= แลวจะได 2c =

จากสมการความสมพนธของวงร 222 bac −= นนคอ 222 b42 −= แลว 3212b == จากความยาวแกนโทของวงร b2=

นนคอ 34322 =× หนวย 17.ตอบขอ (3)

แนวคด ให )y,x(A เปนจดใด ๆ บนเสนโคง และ ให )1,5(B;)1,5(B −′ เปนจดคงททโจทย

กาหนดให และผลตางของระยะจากจด )y,x(A ใด ๆ ไปยงจด )1,5(B;)1,5(B −′ เทากบ 6 6|BAAB| =′−∴ จะเหนวาลกษณะดงกลาวเปนลกษณะของไฮเพอรโบลา ฉะนนจด B และ B ′ เปนจดโฟกส และ 3a;6a2 == 5c;10c2 ==

1635acb 22222 =−=−= 4b = จากโจทยกาหนดจะเหนวาโฟกสเปนจดทอยในแนวขนาน กบแกน X 1

b)ky(

a)hx(

2

2

2

2

=−

−−

∴

จด )k,h( อยระหวาง Bกบ B′

)

211,

255()k,h( +−

=∴

)1,0(= แทนคา 1

16)1y(

9)0x( 22

=−

−−

116

)1y(9x 22

=−

−

(89)


แนวคดจากสมการ x2x 22)2(9 6255 =−

x2x 242)2(9 )5(5 =−

)2(42)2(9 x2x

55 =− นนคอ )2(42)2(9 x2x =−

2)2(9)2(40 xx2 +−= )22)(12(40 xx2 −−=

จะได

2x0x2221220124

0x2

x2

x

−==+=

=⋅

=−⋅

+

1x22022

x

x

==

=−

ดงนน เซต }1,2{A −= ผลบวกของสมาชกในเซต A คอ 112 −=+−

19.ตอบขอ (3) โจทยใหหาคา

2log

192log2log

24log

12

2

96

2 =

12log2log2log

192log

96log2log2log24log

2log192log

2log24log

12

2

96

2 −=−

)2)(log2(log)12)(log192(log

)2)(log2(log)96)(log24(log−=

2log)12)(log192(log)96)(log24(log

2

−=

2log

))32)(log(32(log()32)(log(32(log(2

2653 ××−××=

2log)8log2log2)(3log2log6()8log2log5)(3log2log3(

2++−++

=

2log

3log3log2log82log123log3log2log82log152

222 −−−++=

2log2log3

2

2

=

3= 20.ตอบขอ (2) 801816180181614 −=− 80.812161 ⋅−=

8081 −= 2029 −= 45 −= 45ba −=−∴ 4b5a ===∴ 5logalog 4b =

2log22log1−

=

(90)

21.ตอบขอ (2) แนวคด เนองจาก A เปนเมตรกซเอกฐาน ดงนน 0Adet =

0

202y1x321

=−

จะได 03x4y4 =+− 01xy =+− -----(1) )A(C32 )A(M 32−= yx3

yx31

−=−=

)A(M12 y2x222yx

−==

5yx)A(M)A(C 1232 =+=−

จาก (1) และ (2) จะได 3x = และ 2y = 13yx 22 =+∴


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=b0

0aA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

22

b00a

A

01A2A2 =++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−++

0000

1b2b001a2a

2

2

01a2a2 =++ 01b2b2 =+− 0b2a2ba 22 =++−

0)ba(2)ba)(ba( =++−+ 0)2ba)(ba( =+−+ 0ba =+


แนวคด จากโจทยโดยกระบวนการดาเนนการตามแถวพบวา

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

5686710345

000010001

~100010001

z240y232x

หมายความวา

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

z240y232x

เปนเมทเรกซอนเวอรสของ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

5686710345

ให เมทเรกซ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

5686710345

A

หาเมทเรกซอนเวอรสไดจาก AAdijAdet

1A 1 =−

−−−

67

4

810

5

5686710345

Adet−−

−

−−

−−=

+++

)4)(10)(5()5)(6)(6()3)(7)(8()6)(10)(3()8)(6)(4()5)(7)(5( −−−−−−−−−++−−=

1200180168180192175 −=−−−++=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

−−

−−−

−−

−

−−

−−

−

−−

=

7104568

4568710

61035

5835

58610

6734

5634

5667

ACof

(91)

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ] ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−−−

−−−−−−−

−−

−−−−−−−

−−−=

)4)(10())(5()4)(8()6)(5()7)(8()6)(10(

)3)(10()6)(5()3)(8()5)(5(

)6)(8()5)(10(

)3)(7()6)(4()3)(6()5)(4()6)(6()5)(7(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

503212421

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=

′

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=′=

524012321

503212421

)ACof(AAdj

ดงนน

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−==−

z240y232x

524012321

524012321

11AAdj

Adet1A 1

นนคอ 1y,1x =−= และ 5z = ดงนน 5511zyx =++−=++ หมายเหต ขอนเราสามารถหาคาตอบ โดยการหาเมทเรกซ- อนเวอรส )A( 1− ไดอกวธหนง โดยใชวธการดาเนนตาม แถว (row operation) กได

24.ตอบขอ (2) แนวคด 222 ||2|||| ννμμνμ +⋅+=+

2||22564 ννμ +⋅+= νμν ⋅+= 2||39 2 ------(1)

νμννμμμνννμμ ⋅−+⋅+=−⋅++⋅ 22 ||2||)()2( νμνμ ⋅++= 22 ||||49 νμν ⋅++= 2||2549 νμν ⋅+= 2||24 ------(2) ;)2()1( − 15=⋅νμ แทนใน (2) จะได 2415|| 2 =+ν 9|| 2 =ν

ตองการหาคา 222 ||2|||| ννμμνμ +⋅+=− 9)15(225 +−= 4= 2|| =−∴ νμ 25.ตอบขอ (3)

แนวคด

j8i044168

cb2a4 +−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−

=−+=μ

เวกเตอร νμ ⊥ กตอเมอ 0μ ν• =

3) ถก 02

1681

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∵

1) ผด 0μ ν• ≠

2) ผด 0μ ν• ≠

4) ผด 0μ ν• ≠

26.ตอบขอ (3) แนวคดขนท 1 พกดของจด (1,2,3), (1,2,4), (2,2,3) และ (1,2,3) เขยนลงบนกราฟแกน Z,Y,X ไดดงน

Z (1,2,4) (1,2,3) (1,3,3) (2,2,3)

Y

X ขนท 2 สามารถแสดงจดมมของทรงสเหลยมมมฉากได ดงน

Z 1,2,4) (1,2,3) (1,3,3) (2,2,3)

Y

X

(92)

ขนท 3 ตรวจตวเลอก

Z [3] (2,3,4) [2] (3,2,4) [4] (2,4,3)

[1] (3,1,2)

Y

X ดงนนจดทเปนจดมมของทรงสเหลยมคอจด (2,3,4) หมายเหต ขอนอาจมวธคดอกวธคอ หลงจากทราบรปทรง สเหลยมมมฉากในขนตอนทสอง แลว เราจะทราบวา ในแกน X จดมมของกลองจะอยในพกด

1x = หรอ 2x = เทานน ในแกน Y จดมมของกลองจะอยในพกด 2y = หรอ

3y = เทานน ในแกน Z จดมมของกลองจะอยในพกด 3z = หรอ

4z = เทานน ตรวจตวเลอก [1] (3,1,2) ไมเปนจดมมของกลองเพราะ แกน z,y,x ไมอยในขอบเขต

[2] (3,2,4) ไมเปนจดมมของกลองเพราะ แกน x ไมอย ในขอบเขต [3] (2,3,4) ไมเปนจดมมของกลองเพราะอยในขอบเขต ในทกแกน [4] (2,4,3) ไมเปนจดมมของกลองเพราะ แกน y ไมอย ในขอบเขต 27.ตอบขอ (4)

แนวคดจาก 05Z3ZZ 23 =−++ จากวธหารสงเคราะห 1Z =

5311 − 521 0521

จะได 0)5Z2Z)(1Z( 2 =++− ดงนน

)1(2)5)(1(442

Z,1Z−±−

==

)1(2

162Z,1Z −±−==

i212

i42Z,1Z ±−=±−

==

จาก 3|)i22(Z| 1 =+− ถาให i21Z1 +−=

3|)i22()i21(| =+−+− 3|3| =− เปนจรง ถาให i21Z1 +−= 3|)i22()i21(| =+−+− 5169|i43| =−=−− ไมเปนจรง ∴ จะได i21Z1 −−= และ i21Z1 −−=

2)i21()i21(ZZ 11 −=+−+−−=+∴ 28.ตอบขอ (4)

แนวคด จากโจทย

10

i31i31z ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

=

คณดวยสงยค 10

i31i31

i31i31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

×−+

=

10

3i3i313i3i31⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+−++

=

1010

i23

21

4i322

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

เปลยน

i23

21+− ใหอยในรปแบบเชงขว

( )θθ sinicos|z|z += จาก

1

43

41

23

21ba|z|

2222 =+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=+=

23

θ

21

−

จาก 312

23

21

2abtan −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−×=

−==θ

( )3

23tan 1 πθ =−= − (อยในจตภาคท 2)

จาก ( )θθ nsinicos|z|z nn +=

จะได ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

3210sini

3210cos)1(z 1010 ππ

3

20sini3

20cos ππ+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ππππ )3(2

320sini)3(2

320cos

3

2sini3

2cos ππ+=

i23

21+−=

ตวผกผนการบวกของ )bia(z + คอ i23

21bia −=−−

(93)

29.ตอบขอ (2) แนวคด จากเงอนไขบงคบของโจทย เขยนกราฟไดดงน

จาก y10x5P +=

807010P)7,2( =+= 1158035P)8,7( =+= 501040P)1,8( =+= 502822P)8.2,4,4( =+=

ดงนน a มคาเทากบ 115 b มคาเทากบ 50 65ba =− 30.ตอบขอ (3)

จาก )1n2(531 −++++ … เปนอนกรมเลขคณตม n พจน

)]1n2(1[2n)1n2(531 −+=−++++ …

2n=

1nn2

nn1nn2

)1n2(531n2

2

2 ++=

++−++++ …

1nn2

n2

2

++=

21

1nn2)1n2(531n

lim 2n=

++−++++

∴∞→

…


82)12(2

822842

3n

n

Bn

n

−−

=−

++++++

…

41

)12(8)12(2

n

n

=−−

=

41lim

222842lim

n1n

n

n ∞→+∞→=

−++++

∴…

41

=

41a

1n

n =∴ ∑∞

=

41aaa 32 =+++ …

41

a1a

=−

a1a4 −= 1a5 =

51a =

…,a25,a25,a25 32

32 51,

51,

51,1,5

∴ พจนท 5 เปน 35

1


แนวคด 3n

1nn321y 2

222

−−+++

=………

3n

)1n()1n(

)1m2()1n(6n

−+−

++=

3n

)1n(6)1m2(n−

−+

=

)1n(6

n2n2nn2 22

−+−+

=

)1n(2

n−

=

21ylim

n=

∞→


แนวคด จากสตร ∫ −=b

a

dx)]x(g)x(f[A

∫−

−=2

1

dx)]x(g)x(f[A

∫−

−−=2

1

2 dx)]xx2()x(f[6

∫ ∫− −

−−=2

1

2

1

2 dx)xx2(dx)x(f6

∫ ∫− −

−+=∴2

1

2

1

2 dx)xx2(6dx)x(f

232

3x

2x26 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+= )

311()

384(6

6]34

34[6 =−+=

34.ตอบขอ (1) แนวคด โจทยกาหนดสมการเสนโคงคอ

x5x2xy 23 +−= ∴ ความชนขอเสนสมผสเสนโคงทจดใด ๆ คอ 5x4x3

dxdym 2 +−==

ดงนน ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด (1, 4) คอ 45)1(4)1(3m 2 =+−= ∴ สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสของ เสนโคงคอ

)41m()1x(

414y 1 −=−−=−

017y4x =−+

(94)

35.ตอบขอ (1) โจทยกาหนดความชนของเสนโคงทจด )y,x( ใดๆ คอ

5x4x3dxdym 2 −−==

cx5x2xy 23 +−−=∴ )A(.......... และเสนโคงผานจด (1, -6) c)1(5)1(216 23 +−−=−∴ จะได 0c =

∴ สมการของเสนโคงคอ x5x2xy 23 −−= 36.ตอบขอ (3)

แนวคด จาก )n2(642 …⋅⋅⋅ )n2()42)(32)(22)(12( ×⋅⋅××××= … )n4321(2n ×××××= … !n2 n= )!n(2≠ ขออนถกหมดนะครบ คดวานองๆคงจะทาไดนะครบ 37.ตอบขอ (4)

แนวคด กรณท 1 เลอกนกเรยน 6 คน จาก 13 คน นงรถคนท 1 ทเหลอนงคนท 2

จานวนวธ 1716!6!7!13C 6,13 == วธ

กรณท 2 เลอกนกเรยน 5 คน จาก 13 คน นงรถคนท 1 ทเหลอนงคนท 2

จานวนวธ 1287!5!8!13C 5,13 == วธ

กรณท 3 เลอกนกเรยน 4 คน จาก 18 คน นงรถคนท 1 ทเหลอนงคนท 2

จานวนวธ 715!4!9!13C 4,13 == วธ

∴ จานวนวธทงหมดทจะเกดขนคอ 71512871716 ++ = 3718 38.ตอบขอ 4 ไมมคาตอบทถกตอง

แนวคด โจทยลกษณะนใชแผนภาพชวย 1 7 7

1 1 8 7 1 1 7 1

2 2 7 1 7 7 1 8 7

1 1 7

7 1 2 7

∴ จะสรางจานวนคทบวกทมคามากกวา 150 แตนอยกวา 750 ทงหมด 16 วธ

39.ตอบขอ (2) แนวคด (1) เลอกของ 2 ชน จาก 8 ชน ได 2

8 C วธ (2) แจกของใน (1) ใหเดก ได 2 วธ (3) เลอกของ 3 ชน จาก 6 ชนทเหลอได

36 C วธ

(4) แจกของ 3 ชนใน (3) ใหเดกได 1 วธ ∴ แจกไดทงหมด 1C2C 3

62

8 ⋅⋅⋅=

!3!3!6!2!62!8

=

!3!3

!8= 1120= วธ

40.ตอบขอ (2) แนวคด สมมตใหนกศกษาทงหมด 1,000 คน กาหนดให A แทนนกศกษาชาย 40% คดเปน 400 คน B แทนนกศกษาชาย 60% คดเปน 600 คน C แทนนกศกษาชายทเหนดวยกบการขนราคานามน 70% คดเปน 280 คน C′ แทนนกศกษาชายทไมเหนดวยกบการขนราคานามน 30% คดเปน120 คน D แทนนกศกษาชายทเหนดวยกบการขนราคานามน 15% คดเปน 90 คน D′ แทนนกศกษาชายทไมเหนดวยกบการขนราคานามน 85% คดเปน 510 คน ความนาจะเปนทจะสมเลอกนกศกษามาหนงคนทจะเปน นกศกษาชาย หรอนกศกษาทเหนดวยกบการขนราคานามน

49.01000490

100090400)DA(P ==

+=∪

41.ตอบขอ (4) แนวคด สมประสทธของ 2x จากการกระจาย 105 )

x2ax( +

คอขอใด จากสตร

1n r r

r

nT a b

r−

+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

แทนคาได

( )105

1

102

rr

raT xxr

−

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

จดรปอกนดนะได

( )50 6

1

10 12

rr r

rT a xr

−+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(95)

จบ 50- 6r = 2 ได r = 8 นา ไปแทนท ส.ป.ส. คอ

10 12

rra

r⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

ได 88 8

8

10 1 452 28

a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

42.ตอบขอ (4) แนวคด

ความยาว (ซม.) ความถสะสม ความถ (f)

5.40≤ 16 16

40.5 – 48.5 24 8

5.48≥ 45 21

รวม 45N =

สตร คามธยฐาน m

L

f

)f2N(1

L)Med(∑−

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=8

165.2285.40

5.65.40 += 47= ซม. 43.ตอบขอ (2)

แนวคดให 100,1x = บาท ก) ถกเพราะ

คามธยฐาน 000,1)Mod( = บาท และคาฐานนยม 950)Mode( = บาท

xMedMode <<∴ จะไดวาเสนโคงความถเบขวา ดงรป

xMedMo

ข) ผดเพราะ 100,1x = บาท คามธยฐาน 300,1)Median( = บาท และคาฐานนยม 200,1)Mode( = บาท ถา xMedMode >> จะไดวาเสนโคงความถเบซาย ดงรป

MoMedx 44.ตอบขอ (1)

แนวคด กาหนดให 4321 x,x,x,x เปนขอมลทเรยงจาก

นอยไปหามาก มธยฐานมคาเทากบ 0 โดยทตาแหนง มธยฐานของขอมลชดนคอ

5.22

142

1N=

+=

+

นนคอ 02

xx 32 =+

0xx 32 =+ .....................(1)

มพสยคอ 12 โดยทพสยคอ MinMax− นนคอ 12xx 14 =− ....................(2)

มคาเฉลยเลขคณตคอ 1 โดยทคาเฉลยเลขคณตหาไดจาก

14

xxxx 4321 =+++

4xxxx 4321 =+++ .......(3)

จากสมการท (1) 4xx 41 =+ ........(4)

)4()2( + 16x2 4 = 8x4 =

จากสมการ (2) 12x8 1 =− 4x1 = จะไดขอมลเรยงจากนอยไปมาก คอ 8,x,x,4 32−

และเนองจากฐานนยมคอ 0 นนคอจะตองมจานวน 0 อยางนอย

2 จานวน นนกคอ 2x และ 3x

ดงนน จะไดขอมลเรยงจากนอยไปมากทงหมด กคอ 8,0,0,4− คาของ

24

23

22

21

4

1i

2 )1x()1x()1x()1x()1x( −+−+−+−=−∑=

2222 )18()10()10()14( −+−+−+−−=

76491125 =+++= 45.ตอบขอ (1)

แนวคด จาก สปส. การแปรผน xs.)CV( =

078.0283CVB ==

2.0459CVF ==

∴ ชนด B มการกระจายของขอมลนอยทสด 46.ตอบขอ (3) แนวคด นายวระวฒนทาคะแนนวชาใดไดดทสด พจารณาได

จากคะแนนมาตรฐาน s

xxZ −= ของวชาทมคามากทสด

วชาคณตศาสตร 5.214

2762s

xxZ: 1

1 =−

=−

=

วชาเคม 0.216

2557s

xxZ: 2

2 =−

=−

=

วชาฟสกส *0.310

2151s

xxZ: 3

3 =−

=−

=

วชาชววทยา 5.110

3550s

xxZ: 4

4 =−

=−

=

∴ เขาทาคะแนนวชาฟสกสไดดทสด

083.0242CVG ==

125.0486CVM ==

(96)

47.ตอบขอ (4) ขอมลชดท 1 ม 4x = ดงนนขอมลชดท 2 ม 3 2 3(4) 2 10i iy x= − = − =

และจาก 2x3y ii −= ดงนน 3i iSDy SDx=

จะได ส.ป.ส.แปรผน ชดท 1 = 4

iSDx

ส.ป.ส.แปรผน ชดท 2 = 310

iSDx และ

2 29y i x iSD SD=

จากขอมลทงหมดจะเหนวา ก. ข. ค. ผดหมดนะครบ 48.ตอบขอ (3) 0.50 0.4900

33.2z = 33.2z = มพนทใตโคง ปกตรวมเปน 0.99 คะแนน

33.2z = คดเปน 99P

จาก D.S

xxz −=

15

50x33.2 −=

95.84x = 85x =∴ 49.ตอบขอ (4)

แนวคด ให =y มลคาการขายตอป (ลานบาท) เนอง จากเปนขอมลอนกรมเวลาทาไดดงน

ป พ.ศ. iX iY

iiYX 2iX

2541 -2 7 -14 4 2542 -1 10 -10 1 2543 0 9 0 0 2544 1 11 11 1 2545 2 13 26 4

รวม 0 50 13 10 จากสมการพยากรณ Y จาก X

cmXY += จะไดสมการปกต ∑ ∑ += ncXmY

..........(1)

∑ ∑ ∑+= XcxmXY 2 ..........(2)

เนองจาก ∑ = 0X

จากสมการ(1)จะได 105

50nY

c === ∑

จากสมการ(2)จะได 3.11013

XXY

m 2 ===∑∑

ดงนน จะได 10X3.1y += แทนคา 3X = จะได 9.1310)3(3.1Y =+= นนคอมลคาการขายโดยเฉลยใน 6 เดอนแรกของป 2546 มคา 95.6

29.13==


แนวคด มาจากเรองการนบครบ.... แบบท 1 1 ชอง x 1 ชอง = 4 x 4 = 16 รป แบบท 2 2 ชอง x 2 ชอง = 3 x 3 = 9 รป แบบท 3 3 ชอง x 2 ชอง = 2 x 2 = 4 รป แบบท 4 4 ชอง x 4 ชอง = 1 x 1 = 1 รป รวม 304321 2222 =+++ รป

008 pat 1 (1)

Documents