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Revolución educativa en marcha¡La educación ya! Asunto de todos

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GERMAN BULA ESCOBARMinistro de Educación Nacional

PATRICIA MARTÍNEZ BARRIOSDirectora General Icfes

TANIA MARGARITA LÓPEZ LLAMASSecretaria General

PATRICIA ASMAR AMADORSubdirectora General Técnica y de Fomento

ANTONIO FRANCISCO MERLANO VELILLASubdirector General de Planeación

CARLINA MALDONADO DE LOZANOSubdirectora General Jurídica

MARIO AGUIRRE BERMÚDEZSubdirector General de Informática

FRANCISCO ERNESTO REYES JIMÉNEZSubdirector General de Informática

MAGDALENA MANTILLA CORTÉSSudirectora General del Servicio Nacional de Pruebas

JAIRO FERNÁNDO PÁEZ MENDIETAJefe de División de Administración de Exámenes

CLAUDIA LUCIA SÁENZ BLANCOJefe de División de Desarrollo de Pruebas

Autores

FLOR PATRICIA PEDRAZA DAZALUZ CONSTANZA GARZONProfesionales de Apoyo

YULY MARSELA VANEGASCLAUDIA SALAZARCorrección de Estilo

ROBERTO PINZON

ContenidoPág

Evaluación de la competencia matemática 9

1. El contexto de evaluación:La matemática escolar 10

2. El objeto de evaluación:La competencia matemática 14

3. El instrumento de evaluación:La prueba de matemáticas 21

3.1 ¿Cómo se construyen los problemas de la prueba ? 22

3.2 Núcleo común:Prueba de matemáticas 23

3.3 Componente flexible-Profundización:Prueba de matemáticas 25

4. Ejemplos de preguntas 26

4.1 Ejemplo de núcleo común 27

4.2 Ejemplo de profundización 29

5. Referencias bibliográficas 32

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EVALUACIÓN DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICAsta propuesta de evaluación se fundamenta en las nuevasvisiones sobre el hombre, el conocimiento, la sociedad y lacultura, planteadas en los documentos normativos de laeducación para el país1, en donde el respeto por la diferencia y elreconocimiento del país como multiétnico y pluricultural seconstituyen en pilares de otros sentidos para la educación. Uno delos elementos fundamentales en esta visión de educación es la evaluación,dada su posibilidad de retroalimentar y hacer meta-observación dedistintos momentos, estados, y desde diferentes perspectivas. Susignificado ha ido cambiando, generando transformaciones queatienden a los giros teóricos y epistemológicos consistentes con laidea de evaluación que se pretende desarrollar y con todo lo quede ella se deriva para el sistema educativo en la última década. Esasí como se plantea que la evaluación, además de emitir juiciossobre los estudiantes a partir de medidas de logros, debe interesarsepor proporcionar información para apoyar políticas y programas detoma de decisiones (Romberg, 1989, citado por Giménez, 1997).

Esto implica que la evaluación no solamente asume funciones deverificación de objetivos educativos y conocimientos alcanzados,sino que cumple fundamentalmente, una función en el campo social,pedagógico y ético y político (Giménez, 1997). En ella se rescatauna misión orientadora y de ayuda para satisfacer ciertas demandasen el proceso educativo, no solamente dirigida a reconocerproblemas de los estudiantes, sino a brindar información a todossus actores e instancias. Sin desconocer la impor tancia de laregulación y el control necesarios en la valoración del trabajo escolar.Esta idea de educación que subyace a una postura evaluativa,también se ve reflejada en el campo de la educación matemáticaen planteamientos que muestran distintas concepciones sobre lasmaneras de abordar la matemática escolar. Estas concepciones seven reflejadas en diferentes posturas que tienen que ver con lanaturaleza de las matemáticas; preguntas como qué es lamatemática y qué es el conocimiento matemático están en la basede estas concepciones e inciden en todos los aspectos que tocan laenseñanza y el aprendizaje de la matemática y, por ende, su evaluación.

1 Estos documentos son: Ley General de Educación, Indicadores de Logros Curriculares, LineamientosCurriculares, Documento de la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo.

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Luis Moreno (1992), al plantear estos interrogantes, muestra lainterrelación entre concepciones de las matemáticas y del conocimientomatemático con ciertas prácticas educativas, concepciones quepueden encontrarse en el formalismo, el intuicionismo,el empiricismo,el constructivismo, como posturas epistemológicas que han dadofundamentos y matices distintos al trabajo de matemáticas en laescuela, proporcionando los referentes desde los cuales seprivilegian ciertos aspectos sobre otros2.Atendiendo a lo anterior, las pruebas de matemáticas en el examende estado han reconocido a través del tiempo estastransformaciones, asumiendo distintas concepciones y maneras deabordar el conocimiento matemático escolar en esta evaluación3.Todos los elementos mencionados responden y dan sentido, en elcontexto de la matemática escolar, a los fundamentos y propósitosseñalados en el marco general de la propuesta de examen de estadopara ingreso a la educación superior, atendiendo a su visión deevaluación y a su énfasis en competencias comunicativas.A continuación se desarrollan los elementos fundamentales paraesta evaluación de competencias matemáticas de los estudiantesque culminan la educación básica y media: el contex to deevaluación, el objeto de evaluación y el instrumento de evaluación.1. EL CONTEXTO DE EVALUACIÓN:

LA MATEMÁTICA ESCOLARLa matemática escolar es aquella que debe incluir como

elementos propios, dentro de las estructuras conceptuales, datosculturales que están en el origen o son aplicaciones de los conceptosmatemáticos, consiguiendo presentar las matemáticas, no como unfenómeno intelectual aislado, sino como una forma específica detrabajo desde un medio cultural más amplio (Rico, L., 1994) .

2 Por ejemplo, en una concepción de la matemática como acabada, formal y abstracta se privilegianaspectos de la sintaxis, se hace referencia a conceptos estáticos, que el estudiante debe aprender comoverdades absolutas y sin conexión con el mundo, o bien unas matemáticas centradas ya no en la enseñanzasino en el aprendizaje significativo, donde se privilegian procesos subjetivos. 3 En la Serie de Investigación y Evaluación Educativa, Exámenes de Estado para Ingreso a la EducaciónSuperior. Pruebas de Matemáticas, se hace un recorrido histórico de lo que han sido las pruebas dematemáticas en el examen de estado, vinculadas con las distintas concepciones de la educación y de lasmatemáticas, con ejemplos de preguntas para cada uno de los momentos identificados.

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últiples reflexiones e investigaciones en torno a la enseñanzade la matemática, apoyadas en disciplinas como la filosofía,la lógica, la informática, la lingüística, la psicología, la antropología,la historia, entre otras, se han desarrollado con el fin de intentaracercamientos a diferentes problemáticas que han surgido en lamatemática escolar. Estos acercamientos han estado vinculados adiferentes concepciones sobre la matemática escolar que se hanreconocido a través de la historia y que tienen sus raíces en distintasposturas frente al sujeto y al conocimiento matemático.Tomando en consideración estos aspectos, resulta indispensablecaracterizar cómo se asume el conocimiento matemático en estavisión de matemática escolar, sin desconocer que para llegar a estapostura se han requerido consensos y disensos entre los diferentesactores involucrados en la educación matemática. Lo que se planteaa continuación son algunos acuerdos o conclusiones que se hangenerado de estas reflexiones:En la matemática escolar, se asume que el conocimiento matemáticose construye en un contexto sociocultural; por ende los objetos dela matemática pueden tener múltiples sentidos, lo que hace posibleun reconocimiento de objetos propios de la matemática escolardistintos a los objetos de la matemática. Ellos se refieren a aquellosconceptos, proposiciones, teorías que se han validado por lacomunidad académica en el ámbito escolar. Todos estos elementospermiten ver el conocimiento matemático como un constructoabier to, ligado de alguna manera a las demás áreas delconocimiento, a las actividades humanas, a los valores y a la cultura.De esta postura se infiere una concepción sobre el sujeto queconoce, como aquel que pone en juego sus saberes validados enel campo del conocimiento mismo como par te de los saberessocialmente construidos en el ámbito escolar.Otra reflexión que aporta a la caracterización de la matemáticaescolar se refiere a la manera de abordar la resolución de problemas,que se concibe, no como un tema más en el currículo dematemáticas, sino más bien como un contexto donde pueden serenseñados, aprendidos y evaluados conceptos, procedimientos,destrezas, estrategias, y, más aún, donde puede manifestarse un"hacer matemáticas" con sentido. De esta manera, la resolución deproblemas hace posible dar cuenta de procesos significativos en laconstrucción de pensamiento matemático, en tanto permite al estudiante

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contex tualizar, modelar, representar y enfrentarse a diversassituaciones4 que le amplían y le posibilitan la construcción dedistintos sentidos de un concepto, y en donde se reconoce lo intuitivocomo potenciador del pensamiento matemático en la escuela, pueses en el proceso de construcción donde se validan y justificandeterminadas nociones y conceptos que, como se ha mencionado,no son vistos como tales desde las matemáticas formales.Son diversas las posibilidades de organización del conocimientomatemático, bien sea por sus objetos, el tipo de relaciones que seestablecen entre ellos, las formas de proceder, entre otros. En algunosmomentos se hace énfasis en sistemas conceptuales, es decir, enestructuras que poseen características propias, que las distinguende otras, pero en las que pueden encontrarse pautas, líneas comunesque les subyacen y que las configuran como tales.Asumiendo lo anterior, y de acuerdo con lo que se propone en loslineamientos curriculares para matemáticas, en donde se enfatizael reconocimiento de "un núcleo de conocimientos matemáticosbásicos que debe dominar todo ciudadano, así como privilegiar,como contex to del hacer matemático escolar, las situacionesproblemáticas para potenciar el pensamiento matemático" (Lineamientoscuricualres matematicas, 1998), como una manera de determinar esenúcleo común de conocimientos matemáticos, se han configuradolos ejes conceptuales a partir del saber disciplinar, entendido estecomo un constructo móvil de teorías, conceptos, procedimientos,reglas de acción, establecidos y validados por una comunidadacadémica a través de la historia. Estos ejes responden a lo que se haconceptualizado como matemática escolar, ilustrando así lacomplejidad de las estructuras matemáticas propuestas.La intención de definir ejes conceptuales es poder abordar ciertosconceptos matemáticos desde distintas perspectivas y tenerpresentes para cada uno de ellos algunas características y relacionesintrínsecas que permitan construirlos significativamente en elcontexto de la matemática escolar.

4 Vergnaud (1990): " Son las situaciones las que dan sentido a los conceptos matemáticos, pero el sentidono está en las situaciones ni en las representaciones simbólicas. Es una relación del sujeto con las situacionesy los significados" (p. 158).

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/Conteo: En este eje se tiene en cuenta el concepto de número,que, asociado inicialmente a la noción de cantidad, surge despuéscomo objeto matemático independiente y se complejiza en lasconstrucciones de los diferentes sistemas numéricos, sus operaciones,relaciones y propiedades, que han permitido su caracterizacióna través de la historia y, de hecho, observar su evolución desdelos naturales hasta los reales a partir de su manejo, identificación y uso./Medición: Los conceptos que configuran este eje son: medida,métrica, espacio y todas las relaciones que entre éstos se puedangenerar a partir de las experiencias con cantidades y formas geométricas ylas diferentes aplicaciones que de la métrica se hagan;ademásconsidera las formas y sus movimientos y las condiciones invariantesen ellas./Variación: En este eje se tiene en cuenta el concepto de variabley las diferentes relaciones,elementos y significaciones que lo configuran.Desde la identificación de la variable en el seguimiento de patrones,pasando por el uso de las funciones, hasta el análisis matemático,donde la variable adquiere cierto significado como introduccióna la naturaleza variacional del cálculo. Al caracterizar este eje esimportante tener en cuenta el manejo de diferentes formas derepresentación asociados a la variación y sus aplicaciones./Aleatoriedad: Este eje está configurado por la interpretacióny el uso de datos, sus descripciones y representaciones gráficas,el establecimiento de arreglos y combinaciones, teniendo en cuentalos diferentes rasgos que caracterizan las distintas muestras; elestablecimiento de posibilidades para un evento y la probabilidadde que un evento ocurra bajo determinadas circunstancias.

Esta caracterización de la matemática escolar, en la que nossituamos para hacer la evaluación, pone de relieve el uso de lamatemática en situaciones significativas, uso que necesariamentelleva a las actuaciones, prácticas o formas de proceder propias dela disciplina. Así, se pretende evaluar el acercamiento al hacermatemático, a los procesos de pensamiento propios de unamatemática en continua construcción.

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2. EL OBJETO DE EVALUACIÓN:LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

e acuerdo con la propuesta general del examen de estado paraingreso a la educación superior, se toma la competencia comoobjeto de evaluación. Esta aproximación a la noción decompetencia parte de discusiones que se han promovido desde lapsicología cognitiva y cultural, con puntos de encuentro en cuantoa la naturaleza del conocimiento, el papel del lenguaje en suconstrucción y la íntima relación de los significados con el contextodel cual emergen determinados conceptos. En estas discusionesaparece como punto central la actividad cognitiva y las diversasmaneras de reconocerla a través de distintos instrumentos mediadores;en este sentido se propone que esa actividad cognitiva sea vistaa partir de las competencias que demuestren los estudiantes al serenfrentados a situaciones problema que deban resolver.Entre las teorías cognitivas se retoman aquellas que ven en el sujetodiferentes posibilidades de actuación, de acuerdo con el contextoen el cual se movilizan determinados conocimientos; esto ha sidodescrito por Torrado diciendo que �las diferencias entre individuoso entre grupos no se explican por la ausencia o presencia de tal ocual habilidad o competencia, sino por la puesta en escena deprocedimientos y estrategias en un contexto particular�. Esto nosremite al uso, con sentido, que cada sujeto haga, ante una situaciónparticular, de diferentes estrategias o procedimientos relacionadoscon determinados referentes conceptuales.Así, la competencia es entendida como un saber-hacer en contexto,�un conocimiento implícito en un campo del actuar humano, unaacción situada que se define en relación con determinadosinstrumentos mediadores (Torrado, 1996)�. Este conocimiento �nosólo es concebido como la suma de principios y métodos que debenser aprehendidos para su transmisión, sino como aquellas reglasde acción que nos garantizan su manejo�5.

5 Hernández, Carlos A. y otros, Exámenes de estado: Una propuesta de evaluación por competencias, 1998

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Para precisar cómo se articulan estos elementos, definidos desdela propuesta general, en la evaluación de competencias matemáticaspodríamos afirmar que ésta está referida al saber-hacer en elcontexto matemático escolar, es decir, a las formas de procederque se corresponden con estructuras matemáticas, las cuales sevalidan y adquieren sentido en el contexto matemático escolar.Una de las expresiones más utilizadas para referirse a esas formasde proceder en matemáticas se refiere al hacer matemáticas. En estaexpresión están condensadas las actuaciones que permiten hacerinferencias sobre el desarrollo de pensamiento matemático que unestudiante es capaz de movilizar cuando se enfrenta a situaciones que leexigen el uso con sentido de conceptos y relaciones matemáticas endeterminados contextos.Retomando lo que se considera fundamental para la matemática escolaren el país, que es el énfasis en la generación o formación de pensamientomatemático en los estudiantes, siendo éste fundamentalmenteconsiderado en su manifestación como posibilidades de significación,como acciones cognitivas en las que el estudiante usa el conocimientomatemático, se asume en la prueba una evaluación por competencias,que precisamente, desde los referentes generales para esta evaluación,se refieren a las posibilidades de actuación de los estudiantes situados enla matemática escolar.La aproximación a la competencia matemática - considerada desde estaevaluación en su carácter comunicativo, en el que se movilizan distintosdiscursos y se atiende a las posibilidades de significación desde los saberesdel estudiante - tiene en cuenta, entonces, las significaciones que elestudiante ha logrado construir y que pone en evidencia cuando se enfrentaa diferentes situaciones-problema.Esto implica preocuparse fundamentalmente tanto por los conceptos,como por las formas de proceder asociadas a ellos. Uno de los aspectoses precisamente tener en cuenta el significado de los conceptosmatemáticos, en los que se reconocen no sólo las propiedades invariablesque les dan sentido, sino también las situaciones y los significantesasociados al mismo, (Vergnaud, citado por Chamorro). Otro delos aspectos fundamentales podría condensarse en lo que Godinoy Batanero (1996-1998) denominan práctica significativa; la cual, comolo plantean, es significativa para una persona si desempeña una funciónpara la consecución de objetivos en los procesos de resolución de unproblema, para comunicar a otros la solución, validar la misma ogeneralizarla a otros contextos y problemas.

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Desde las anteriores perspectivas, en la competencia matemáticael dotar de significado o dar sentido se hace explícito cuando elestudiante practica (usa) significativamente la matemática; estoimplica maneras de proceder y conocimientos propios de ladisciplina que se ar ticulan tanto en situaciones-problemasignificativas para el estudiante, como en el conocimientomatemático involucrado.En cuanto a la práctica significativa, desde lo que orienta la matemáticaescolar podríamos decir que se refiere a la matematización, la cualse caracteriza por la realización de actividades como simbolizar,formular, cuantificar, validar, esquematizar, representar, generalizar,todas ellas encaminadas a buscar, entre las diferentes situaciones-problema lo esencial desde el punto de vista de la matemática, con elfin de desarrollar descripciones matemáticas, explicaciones oconstrucciones que permitan plantear predicciones útiles acerca delas situaciones.Es usual en la matemática escolar mencionar los diferentes sentidosque pueden atribuirse a las nociones y conceptos que circulan en elproceso de desarrollo de pensamiento matemático y que sonnecesarios en la concepción de enseñanza y aprendizaje de lamatemática en la que nos ubicamos, por locual se requiere de ciertoselementos que muestren la articulación y más aún, la imbricación entreel lenguaje matemático y su significado; para ello acudimos a algunasconceptualizaciones que se han trabajado fundamentalmente desdeteorías del lenguaje, y que también han servido de base para lapropuesta general, pero que en matemáticas toman visos particulares:ellas son semántica y sintaxis.Desde lo que se ha abordado en esta propuesta evaluativa, seconsidera lo sintáctico como un sistema de signos, reglas de formacióny reglas de notación que configuran las formas de "representación"acordadas por la comunidad académica en la matemática escolar. Dela misma manera, lo semántico hace referencia a la interpretación delo sintáctico, que adquiere significado en la red de relaciones que seestablecen entre determinados conceptos matemáticos y queconfiguran una estructura matemática. Esta distinción entre losintáctico y lo semántico, referida a un contexto particular, pone demanifiesto una concepción sobre el hacer matemático escolar quese refiere no solamente a las maneras de representar los conceptosmatemáticos sino fundamentalmente a cómo esas distintasrepresentaciones implican el uso con sentido de los objetosmatemáticos.

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Como se ha mencionado, en el trabajo matemático generalmenteestamos enfrentados a utilizar diferentes lenguajes o formas deexpresar y en su manejo es posible visualizar la conceptualizaciónde estructuras que subyacen a esas diversas expresiones. Estasexpresiones, vistas desde lo comunicativo, configuran lenguajespertinentes a la construcción de pensamiento matemático escolar,en donde se hace posible la aproximación tanto a lenguajes naturalescomo a lenguajes formales, permitiendo vincular las matemáticas acontextos particulares en donde adquieren significación para el estudiante6.Son variadas las investigaciones y los estudios en educaciónmatemática que han abordado el problema del lenguaje en términosde su vínculo con el aprendizaje significativo, y necesariamentesurgen también elementos de reflexión sobre algunas nocionesrelacionadas, como representaciones significantes, sistemasmatemáticos de signos, sistemas de notación o sistemas semióticos,asociadas todas ellas a posibles maneras de significar elconocimiento matemático.Godino y Batanero (1996-1998) afirman, por ejemplo, que lamatemática es un lenguaje simbólico en el que se expresan lassituaciones-problema y las soluciones encontradas, enfatizando quelos sistemas simbólicos matemáticos tienen una función comunicativae instrumental dentro de la matemática, la cual se expresa en unsistema conceptual lógicamente organizado. En el sistema simbólicomatemático, cuando un objeto matemático ha sido aceptado comoparte del sistema, puede considerarse como una realidad textual yun componente de la estructura global. Así puede ser manipuladocomo un todo para crear nuevos objetos matemáticos, ampliando el rangode herramientas matemáticas y, al mismo tiempo, introduciendonuevas restricciones al lenguaje y al trabajo matemáticos.En esta misma línea, Castro, Rico y Romero (1997) afirman que los conceptosmatemáticos están conectados con la actividad mental de las personas.

6 Estos lenguajes usados en el ámbito escolar, adquieren cierta particularidad cuando se habla decomprender en matemáticas. Así lo plantea el Grupo Pretexto (1997): [...] "el significado matemáticode una palabra, en los procesos de formación, no puede ni debe desconocer el que ya tenga parael estudiante en el lenguaje ordinario. Un ejemplo aclarará este pronunciamiento. Cuando se quierellegar a una definición como: dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes sonproporcionales, no debe perderse de vista, por ejemplo, que muy seguramente la palabra semejanza,es significada por el estudiante como parecido, concepto ligado fundamentalmente a lo perceptual,por tanto inconveniente para llegar a una correcta significación matemática de la palabra semejanza,en tanto dos triángulos pueden ser parecidos sin que sean semejantes."

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Así, �cada concepto matemático viene establecido por sus diferentessignificados y usos y, por tanto, por sus representaciones. Son losusos de cada concepto los que establecen por extensión su camposemántico, y cada modo significativamente distinto de entender unconcepto necesita de un sistema de simbolización propio, de algúnmodo de representación para ser distinguible�.De esta manera, la competencia significa el dominio de los objetosen la matemática escolar, el cual se evidencia a través de laresolución de problemas, ya que abordar un problema requiereubicar el contexto y establecer de qué se dispone7 para encontraruna solución plausible. En este proceso de significación no sedesconoce el hecho de que generalmente las situaciones-problemay sus posibles soluciones son socialmente compartidas, es decir,están validadas en el contexto de la matemática escolar.Como lo expresa Guzmán (1993), uno de los investigadores en educaciónmatemática que resalta la importancia de hacer matemáticas ensituaciones problema significativas, "se trata, en primer lugar, de ponernosen contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a losconceptos matemáticos que queremos explorar con nuestros alumnos.Para ello deberíamos conocer a fondo el contexto histórico que enmarcaestos conceptos adecuadamente. ¿Por qué razones la comunidadmatemática se ocupó con ahínco en un cierto momento de ese tema y lohizo el verdadero centro de su exploración tal vez por un período de siglos?�.�Normalmente, la historia nos proporciona una magnífica guía paraenmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido losconceptos importantes de la materia, y nos da luces para entender larazón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Siconocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos,sabremos per fectamente el lugar que ocupan en las distintasconsecuencias, las aplicaciones interesantes que de ellas han podidosurgir, la situación reciente de las teorías que de ellas han derivado [...]. Enotras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intentodirecto de una modelización de la realidad en la que el profesor sabe quehan de aparecer las estructuras matemáticas en cuestión�. Se puede acudirpara ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemáticas, a7 Esto implica que el estudiante pone en juego su conceptualización en matemáticas, busca darle sentido alenunciado dentro de sus referentes matemáticos (teorías, conceptos, pautas de acción, formas de procederque se han construido en las matemáticas escolares y que corresponden al saber disciplinar) y al darlesentido, lo valida dentro de una estructura conceptual.

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circunstancias de la realidad cotidiana, o bien a la presentación de juegostratables matemáticamente, de los que en más de una ocasión a lo largode la historia han surgido ideas matemáticas de gran profundidad [...] "Lateoría, así concebida resulta llena de sentido, plenamente motivada y muchomás fácilmente asimilable" [...].Con esta conceptualización de competencia, y considerando el enfoquecomunicativo que subyace a la propuesta general del examen de estado,en la evaluación de matemáticas se ve como fundamental indagar por lacompetencia matemática del estudiante en relación con las accionesinterpretativas, argumentativas y propositivas que él demuestre manejaral enfrentarse a situaciones-problema referidas a diferentes significados yconceptualizaciones del conocimiento matemático, acordes con lamatemática escolar que se desea desarrollar en el país.Siendo la competencia matemática el objeto de evaluación, es pertinenteabordar la pregunta: ¿Cuándo un estudiante es competente enmatemáticas? Podríamos afirmar que quien sea competente enmatemáticas podrá significar desde las matemáticas que ha logradoconstruir. Y en este proceso de significación matemática, se hacen explícitascier tas acciones, encaminadas a dar cuenta de ese proceso designificación. Dichas acciones, como ya se ha mencionado, de interpretar,argumentar y proponer, permiten dar cuenta de la competencia, en eluso que el estudiante hace de las matemáticas.Estas competencias, entendidas desde el ámbito comunicativo, se pondránen evidencia a partir de situaciones problema donde se indaga por "losusos e interpretaciones que de los objetos matemáticos el estudiante hagaen un momento dado. Usos que tienen sentido en tanto se correspondancon una estructura, que también es la que el sujeto ha construido en esemomento, a partir de situaciones ejemplarizantes con las que se haencontrado"8Las acciones de interpretar, argumentar y proponer desde la matemáticase ponen en juego cuando los estudiantes se enfrentan a situacionesproblema, en las que deben "usar" su conceptualización en matemáticas,buscando darle sentido al enunciado dentro de sus referentesmatemáticos9, y, al darle sentido, lo validan dentro de una estructura8 Rodríguez, Jorge. La gramática básica de la matemática y competencias matemáticas.19979 Estos referentes se encuentran en las teorías, conceptos, métodos, estrategias, pautas de acción, formasde proceder, que se han construido en las matemáticas escolares y que corresponden al saber disciplinar.

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conceptual preestablecida; es decir, el estudiante logra identificarelementos del problema como parte de una estructura matemática.Es necesario aclarar que la posibilidad de significar no es algo único ouniversal, pues está influenciada por factores como: el contexto, la intenciónpor la cual se significa, los significados institucionales, las prácticassignificativas, etc. Así, la significación que el estudiante construya de unproblema es el producto de todo un continuo de consensos y accionesde interpretar, argumentar y proponer.Cabe anotar que las acciones de interpretar, argumentar o proponerno necesariamente expresan jerarquías, prerrequisitos o niveles;solamente se constituyen en momentos distintos y fundamentalesdentro de la significación que el estudiante genera al enfrentarse aactividades que forman parte de su hacer matemático. Sin embargo,pueden considerarse también como interdependientes; por ejemplo,no es posible pensar que se pueda generar una interpretación sinargumentar y proponer, o una argumentación sin previainterpretación.Así, reconociendo que �las competencias, al ser accionescontextualizadas en las gramáticas de las disciplinas o en contextossocioculturales específicos., no pueden ser organizadasjerárquicamente. Por ser la competencia una acción que se defineen el juego de relaciones específicas de significación y no un procesoabstracto del pensamiento, es posible que una acción deinterpretación en un contexto determinado, por ejemplo, sea muchomás compleja y exigente que la producción de una argumentacióno proposición en otro contex to [...] Por el contrario, al ser lascompetencias expresiones del mismo acto comunicativo, sepresentan de manera simultánea en la dinámica de la configuracióntextual y la interacción social, a modo de círculo hermenéutico, enque una acción no simplemente supone o subyace a la otra sinoque aparece cada vez de manera efectiva y directa� (Hernandez yotros, 1996).Estas acciones, enmarcadas en una competencia comunicativa, seasumen como parte del proceso de significación en el que intervienentanto el conocimiento matemático como las situaciones-problemas,las prácticas significativas, y en su interacción se intenta mirar loque se ha denominado comprensión. En matemáticas,comprensión es entendida, por algunos autores, como laexperiencia mental de un sujeto por medio de la cual relaciona unobjeto (signo) con otro objeto (significación) (Sierpinska, 1996).

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A continuación se caracteriza cada una de estas acciones, según laspretensiones de la prueba y el marco de referencia propuesto:tInterpretar: Se refiere a las posibilidades del estudiante paradar sentido, a partir de la matemática, a los diferentes problemasque surgen de una situación. Interpretar consiste en identificarlo matematizable que se infiere de la situación-problema, a par tirde lo que ha construido como conocimiento matemático, y poderloexpresar como un modelo matemático.tArgumentar: Se refiere a las razones o los porqués que el estudiantepone de manifiesto ante un problema; la expresión de dichos porquésbusca poner en juego las razones o justificaciones expresadascomo parte de un razonamiento lógico, esto es, las relaciones denecesidad y suficiencia, las conexiones o encadenamientos quedesde su discurso matemático son válidas. Estas razones, justificacioneso porqués no deben corresponder a una argumentación desdelo puramente cotidiano, sino que deben ser razones que permitanjustificar el planteamiento de una solución o una estrategia particulardesde las relaciones o conexiones validadas dentro de la matemática.tProponer: Se refiere a la manifestación del estudiante en cuantoa los hechos que le permiten generar hipótesis, establecer conjeturas,encontrar deducciones posibles ante las situaciones propuestas.La proposición no se infiere directamente de la situación-problemadada, sino que es un consenso que el estudiante hace frente a lapuesta en escena de distintas estrategias, en esta acción se pretendetener en cuenta las diferentes decisiones que el estudiante abordecomo pertinentes frente a la resolución de un problema en y desde lomatemático, permitiendo así llegar a una solución.

3. EL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN:LA PRUEBA DE MATEMÁTICAS

omando en consideración los aspectos desarrolladosanteriormente, el contexto para la evaluación y el objeto deevaluación, se plantea una propuesta para la construcción de laprueba de matemáticas, en la que se proponen problemas a partir desituaciones que permitan evidenciar el saber-hacer en matemáticas,es decir, situaciones que permitan evidenciar la comprensión, práctica yuso de conceptos, terminología, notación, destrezas, razonamientos yestrategias, de aquello que desde la situación misma sea matematizable.

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Esto se hará evidente en las interpretaciones, argumentaciones oproposiciones que se logren analizar en cada una de las preguntaspropuestas. De esta manera, se seleccionan situaciones que seansignificativas desde las estructuras que les subyacen de la matemáticaescolar y desde los usos que de ésta se hagan.Para lograr los propósitos de esta evaluación, consignados en lospropósitos generales del examen de estado, se reconocen dosdimensiones evaluativas que constituyen un entramado a través delcual se evidencian las prácticas significativas que darán cuenta dela competencia matemática del estudiante. Estas dimensiones sonlos ejes conceptuales conteo, medición, variación y aleatoriedad, ylas acciones de interpretar, argumentar y proponer.3.1 ¿Cómo se construyen

los problemas de la prueba?a inclusión de situaciones-problema en la prueba de matemáticaspermite vincular tanto el eje conceptual como la acción quese quiere privilegiar en cada una de las preguntas. Así,puede decirse que la prueba está configurada de la siguientemanera: se proponen situaciones significativas en el contex tomatemático escolar, es decir, situaciones de las que puedan surgir"naturalmente" diferentes sentidos o significados, sobre conceptosmatemáticos, teniendo como referentes los ejes conceptualespropuestos. Cabe anotar que a par tir de una situación-problemase pueden sugerir diferentes problemas que indaguen porconceptos enmarcados en los diferentes ejes conceptuales, a lavez que enfatizan una de las acciones.

De acuerdo con la estructura general del examen de estado, seconstruyen dos pruebas de matemáticas, una para núcleo común yotra para el componente flexible en la línea de profundización. Estasdos pruebas, aunque responden a diferentes propósitos del examende estado, son sustentadas, en el área de matemáticas, desde estemarco de referencia, es decir, tendrán en cuenta el contexto de lamatemática escolar y la competencia matemática desde las accionesinterpretativas, argumentativas y propositivas.

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3.2 Núcleo común: Prueba de matemáticasn el núcleo común del examen de estado se pretenden evaluarlas acciones interpretativas, argumentativas y propositivas quetodo estudiante debe estar en capacidad de abordar, teniendocomo referente aquello que desde la matemática escolar se puededefinir para todos los estudiantes de la educación básica y media delpaís. Es importante mencionar que en la prueba de núcleo común seconsideran elementos del hacer matemático escolar que requiere cualquierestudiante para su vida, pensando así no solamente en los estudiantesque consideran como posibilidad ingresar a la educación superior, y estoúltimo en concordancia con lo planteado en los lineamientos curricularespara matemáticas como lo fundamental para desarrollar pensamientomatemático. Así, �mediante el aprendizaje de las matemáticas losalumnos no sólo desarrollan su capacidad de pensamiento y dereflexión lógica sino que, al mismo tiempo, adquieren un conjunto deelementos poderosísimos para explotar la realidad, representarla,explicarla y predecirla; en suma para actuar en y para ella�.(Lineamientos Curriculares Matemáticas, 1998).

Atendiendo a lo que se considera como lo básico en matemáticas,desde la propuesta curricular y disciplinar, restringimos el campode cada uno de los ejes conceptuales en los que debe moverse unestudiante que termina la educación básica y media. Estasrestricciones se refieren no solamente a lo que se incluye en losejes conceptuales, al tipo de acciones que se privilegian, a lasposibilidades de comprensión que el estudiante pueda establecercon las situaciones que se le proponen, reflejadas en lo interpretativo,argumentativo o propositivo; sino también a las posibilidades deser evaluados en una prueba de aplicación masiva.Para esta prueba de núcleo común, se considera que una manerade evaluar lo anteriormente expuesto es a través de preguntas deselección múltiple con múltiple respuesta; estas preguntas estánestructuradas por un enunciado, que puede ser un gráfico, una tabla o untexto; un problema expresado por medio de una interrogación o afirmacióny cuatro opciones de respuesta. Cada una de las opciones exponemaneras distintas de actuar en alguna de las acciones propuestas;sin embargo, se consideran sólo dos opciones válidas, es decir,dos opciones que, además de ser correctas desde lo matemático,responden o dan solución al problema planteado. En esta propuestade opciones válidas múltiples, se rescata lo que de alguna manerase ha denominado lo intuitivo como potenciador de pensamientomatemático, así como la aceptación de diversos sentidos para algunos

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conceptos matemáticos, en camino a la construcción y consolidaciónde estructuras matemáticas. Las otras dos opciones que aparecenen cada pregunta se consideran opciones no válidas para el problemaplanteado, aunque pueden ser correctas desde el conocimientomatemático.De acuerdo con lo anterior, la prueba de matemáticas para el núcleo comúnestará conformada por un conjunto de preguntas (entre 35 y 45) quepueden ser clasificadas en uno de los ejes y a la vez en una de las accionespropuestas; con esto se pretende hacer una descripción lo másaproximada sobre el saber-hacer matemático del estudiante.De esta manera, se establece, para cada conjunto de preguntas exclusivasde cada competencia, un ordenamiento o clasificación que se refiere a loselementos fundamentales de la competencia en mención; es decir, seprecisan acciones que constituyen en esencia la competencia. Por ejemplo,para interpretación, podrían sugerirse conjuntos de preguntas que abordenla interpretación desde el establecimiento de regularidades, la interpretaciónde gráficas, tablas o diferentes formas de representación. Esteordenamiento o clasificación en cada conjunto de preguntas no se refierea un orden jerárquico ni a tipos de interpretación, sino a diferentesmanifestaciones de la competencia en situaciones que exigen ciertasacciones particulares de la misma.Lo anterior es fundamental al momento de analizar y describir los resultadosde la prueba para cada estudiante, con un interés por comunicar cómoestá en cada categoría, con la explicitación de lo que significa cada una deellas.De acuerdo con la manera de abordar las situaciones-problema, explicitadoen cada opción de respuesta válida, se espera aportar al análisis,determinando distintas aproximaciones en cuanto a interpretación,argumentación o proposición. Es decir, estas opciones pueden referirdesde acercamientos nocionales hasta conceptuales del conocimientomatemático involucrado; formas de proceder directas o indirectas;relaciones o conexiones más o menos complejas; los cuales debeestablecer el estudiante en y para la comprensión del problema planteado.En cuanto a los grupos de preguntas clasificados desde los ejesconceptuales propuestos, los resultados darán cuenta de los desempeñosrelativos de los estudiantes frente a cada uno de ellos. Para cada grupoexistirá una descripción, de acuerdo con la dificultad asociada a laspreguntas que lo conforman.

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3.3 Componente Flexible - Profundización: Prueba de matemáticas

a profundización en la prueba de matemáticas se determina poruna mayor complejidad de las preguntas propuestas,manteniendo continuidad con el núcleo común en cuanto a lascompetencias evaluadas, mas no en el tipo de situaciones-problemaa las que se enfrenta el estudiante, las cuales se enmarcan en uneje conceptual determinado previamente. Esto quiere decir que laprofundización involucrará problemas que le exijan al estudiantemayores niveles en cuanto a la coherencia,la pertinencia y el manejode prácticas significativas de las matemáticas en las que se entrecruzanaspectos fundamentales del conocimiento matemático.Para dar cuenta de una mayor complejidad frente al conocimientomatemático en las preguntas, se establecen dos aspectos:t La semántica, es decir, el acercamiento del estudiante a la significaciónde conceptos y estructuras matemáticas cada vez más complejasen donde se involucran los diferentes elementos asociados a ellas.t La sintaxis, es decir, el conocimiento y uso de reglas de formación y manejode diferentes lenguajes asociados a esas estructuras matemáticas propuestas,de manera más rigurosa y precisa.De esta manera, la profundización no se considera solamente comoel conjunto de preguntas que da cuenta de un mayor nivel decompetencia en relación con el núcleo común, sino que por mediode las situaciones problema se puede "afinar " esa mirada a lasprácticas significativas que manifiesta el estudiante frente alconocimiento matemático. Específicamente en la prueba deprofundización en matemáticas, aparecerán situaciones máscomplejas en el sentido de las relaciones que impliquen y exijan alestudiante, y del lenguaje, tanto común como matemático10, utilizado.

10 " [...] en la clase de matemáticas, ineludiblemente debe, utilizarse tanto el lenguaje común como el matemático.El primero intentando decodificar al segundo, y éste, a su vez, por una de las funciones atribuidas a loslenguajes ideales, intentando puntualizar significaciones matemáticas para algunas palabras presentes en ellenguaje ordinario [...]"

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Para determinar el eje conceptual en el que se enmarca la pruebade profundización en matemáticas se tiene en cuenta la importanciade los conceptos involucrados para los primeros semestres deuniversidad, dado que este componente sirve de apoyo a losprocesos de admisión para algunas carreras a la certificación paravalidación de asignaturas de primeros semestres.En este sentido, inicialmente se considera el eje de variación como uncampo en el que convergen distintos conceptos y formas de procedermatemáticos. La variación �presupone superar la enseñanza decontenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados, lo queinvolucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculadosque permiten analizar, organizar y modelar matemáticamentesituaciones y problemas, tanto de la actividad práctica del hombrecomo de las ciencias, y las propiamente matemáticas donde lavariación se encuentre como sustrato de ellas�11.

Esto no significa que la evaluación se centre exclusivamente en elconocimiento matemático, como componente de la competenciamatemática, sino que además en la profundización se espera que elestudiante pueda dar cuenta de su competencia interpretativa,argumentativa y propositiva, demostrada en la manera de enfrentarsea las situaciones que refieren estructuras matemáticas más complejas.Frente a las especificidades de las preguntas en el componente flexible,se construyen situaciones de las cuales surjan de diferentesproblemas, cada uno de los cuales tendrá cuatro opciones derespuesta. Todas las opciones presentadas pueden ser correctasdesde la matemática y sólo una de ellas será válida para la situación.4. EJEMPLOS DE PREGUNTAS

continuación aparecen algunos ejemplos de preguntasconstruidas a par tir de los referentes presentadosanteriormente. Para cada prueba, tanto de núcleo comúncomo de profundización, se presenta una situación de la cual seformulan tres preguntas. Luego se hace un análisis de lo que exige elproblema en términos de las competencias que se pretende evaluar,además de mencionar la validez de las opciones en cada una de ellas.

11 Matemáticas. Lineamientos Curriculares, MEN. p 72, 1998

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4.1 Ejemplo de núcleo comúnConteste las preguntas 1, 2 y 3 teniendo en cuenta la siguientesituación:

Juan le corresponde en una cooperativa venderelectrodomésticos y cobrar la cuota fija de afiliación mensualque todo socio debe cancelar por el hecho de estar afiliadoa la cooperativa. Juan debe tener en cuenta que a cada socio,cuando compra un electrodoméstico en la cooperativa, se le debedar un descuento del 20 % sobre el valor del electrodoméstico y sele adiciona un 16% por concepto del impuesto al valor agregado(IVA); además debe tener en cuenta que cada socio sólo puedecomprar un electrodoméstico mensualmente. Con el fin de volvermás funcional su labor de vender y cobrar, Juan decide relacionarlos datos anteriores en la siguiente función

La anterior pregunta busca indagar por la interpretación que hace elestudiante de la relación planteada, y específicamente de los elementosque la configuran; esto implica el reconocimiento de la "X" como variabley de la "C" como constante, relacionándolas con el valor de cualquierelectrodoméstico y la cuota fija de afiliación respectivamente. La opción Dsupone mayor complejidad, pues en ella se tienen en cuenta los valoresque puede tomar "X" para que la expresión se pueda caracterizar comouna función que atiende a las condiciones particulares de la situación. Laopción C corresponde a la caracterización de la variable sin tener en cuentalas condiciones que debe cumplir la expresión para ser función ni el sentidoque adquiere en la situación.

123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234123456789012345678901234567890121234

1. Interpretación - VariaciónEn la función de Juan, la "X" y la "C" representan, respectivamente:A. número de artículos que vende Juan y costo de un artículo.B. cualquier cantidad de dinero y costo de un artículo.C. cualquier cantidad de dinero y cuota de afiliación.D. costo de un artículo que vende Juan y cuota de afiliación.

Claves: - C, + D

123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012

F ( X ) = C + X - 1 X + 4 X 5 25

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Esta argumentación, específicamente, hace referencia a la maneracomo la expresión se puede utilizar o no, y así dar cuenta delsignificado que se le atribuye en la situación como función,asumiendo que si no se paga por un electrodoméstico a la variablese le asigna el valor cero, quedando la cuota de afiliación por pagar.La opción C supone mayor complejidad al generalizar que, sea cualsea el valor del electrodoméstico, la cuota de afiliación esindependiente de éste, por ser término independiente en la función.La opción D responde a una argumentación donde se tiene encuenta la asignación de un valor específico.

1234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456

Argumentación - Variación2. De la función se puede deducir que un socio de la cooperativa que nocompra electrodomésticos no paga nada. Esta afirmación es:A. verdadera, porque al asignar a la variable el valor de cero, el resultadoobtenido es cero.B. verdadera, porque en la fórmula hay un valor definido para el precio decada electrodoméstico, y en este caso el valor del electrodoméstico es cero.C. falsa, porque la cuota de afiliación en la función es independiente delvalor del electrodoméstico y, por lo tanto, del impuesto y del descuento.D. falsa, porque al asignar a la variable el valor cero, debido a que este sociono compra ningún electrodoméstico, se tiene que se debe pagar comomínimo la cuota de afiliación. Clave: D -, C +

1234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456

Proposición - Variación3. Suponiendo que llega un nuevo electrodoméstico a la cooperativa, laexpresión de la función de Juan debería:A. modificarse, porque fue elaborada para algunos electrodomésticos.B. modificarse, porque el precio del nuevo electrodoméstico modificaría elvalor del descuento.C. permanecer igual, porque a la variable de la función se le puede asignarcualquier valor real positivo.D. permanecer igual, porque lo que realmente modificaría la expresión esalgún cambio en el descuento, la cuota fija o el impuesto.

Clave: - C, + D

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1234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456

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En la pregunta se propone la llegada de un nuevo producto y la incidenciaque este hecho pueda tener en la expresión de la función de Juan, a la vezque se justifica por qué es viable cada una de las modificaciones. En estapregunta hay dos opciones válidas, D y C; la opción C se considera demenor complejidad, ya que el estudiante puede contrastar si la función nose altera con un valor real positivo distinto, lo que llevará a concluir que elvalor del nuevo electrodoméstico no incide en la estructura de la expresión.La opción D se considera de mayor complejidad, pues, además de teneren cuenta lo anterior, plantea cuándo la expresión podría modificarse.4.2 Ejemplo de profundización

Conteste las preguntas 1, 2 y 3, teniendo en cuenta la siguiente situación:Una persona anota, en la siguiente tabla, el tiempo empleado por unautomóvil para recorrer cierta distancia.

1. Interpretativa - VariaciónSi esta regularidad se mantiene, de la tabla es correcto concluirqueA. cada dos segundos la distancia es directamente proporcional altiempo.B. hay una relación directamente proporcional entre el tiempo y elespacio recorrido.C. sólo cada dos segundos la distancia recorrida cambia.D. hay una relación creciente entre el tiempo y la distancia recorrida.

Clave D

Tiempo 1 3 5 7 9(segundos)Distancia 2,2 10,2 26,2 50,2 82,2(metros)

En la anterior pregunta se pretende indagar por la interpretación que haceel estudiante del patrón de cambio que se infiere de la tabla, reconociendoque le permitirá generalizar e inferir las relaciones entre las cantidades detiempo y distancia. Así, la opción D es la conclusión generalizada queinvolucra la relación entre las cantidades de todos los pares de datosque aparecen en la tabla para el tiempo y la distancia.

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1234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123

La anterior pregunta muestra posibles justificaciones que se puedendar para afirmar que la distancia recorrida es de 40 metros entre los9 y 11 segundos; así la pregunta indaga por la justificación quevalida este hecho, justificación que puede reconocer el estudiante,sólo si deduce el cálculo de la distancia a los 11 segundos, habiendopor supuesto encontrado la regularidad entre los datos.

En la anterior pregunta se indaga por una interpretación de lasituación donde se debe tener en cuenta la regla de comportamientode los datos dados; esta interpretación no se infiere directamente de losdatos sino de la proyección que se haga de los mismos. Al tener encuenta 200 metros (y no 50,2 ó 82,2 metros), se obliga al estudiantea proyectar la situación y de esta manera a realizar unageneralización.

2. Argumentativa - VariaciónManteniendo la regularidad, se deduce que el automóvil ha recorrido,entre los 9 y los 11 segundos, 40 metros, porque:A. la distancia por cada segundo aumenta aproximadamente 8metros.B. la distancia recorrida depende del tiempo empleado, más 1,2metros.C. la distancia recorrida entre los 3 y 7 segundos es de 40 metros.D. la distancia recorrida a los 11 segundos es de 122,2 metros.

Clave: D

1234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123123456789012345678901234567890121231234567890123456789012345678901212312345678901234567890123456789012123

3. Propositiva - VariaciónTeniendo en cuenta que se mantiene la regularidad, para recorreruna distancia de 200 metros el tiempo empleado sería:A. más de 18 segundos.B. menos de 15 segundos.C. aproximadamente 16 segundos.D. aproximadamente 17 segundos.

Clave: B

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A partir del análisis de los ejemplos presentados, se evidencia unadiferencia fundamental entre las preguntas de núcleo común y deprofundización, en cuanto al nivel de complejidad que exige suresolución. Las preguntas de la primera situación, como parte de laprueba de núcleo común, pretenden indagar específicamente porlas interpretaciones de la función y los elementos que la configuran(constante, variable) y las posibilidades de uso de la expresión quedefine la función para la situación planteada. Cabe mencionar queel concepto de función, en la matemática escolar, es uno de losmás representativos al indagar por el desarrollo del pensamientovariacional. Las preguntas de la segunda situación, como parte dela prueba de profundización, exigen el reconocimiento y manejode más relaciones en contextos poco comunes; en este caso serequiere reconocer una regla de generalización poco acostumbrada,no rutinaria, donde el calculo de los términos no es inmediato pueses necesario identificar la sucesión de series definida por:

Los problemas que se derivan de esta situación corresponden aleje de variación y permiten evaluar en el estudiante unamanifestación más estructurada del pensamiento variacional dentrodel contexto de la matemática escolar.

1 2

{ 2.2 , 2.2 + 8S2n - 1, 2.2 + 8S 2n - 1,. n=1 n=1

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5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASEn el desarrollo y conceptualización de esta propuesta, se tomaronen consideración algunas ideas de diferentes autores que hantrabajado en educación matemática, cuyos aportes hemos encontradoen los siguientes documentos:

Alarcón Castro, B., Montañez Puentes, J. y Pedraza Daza, P., Las pruebasde matemáticas en el examen de estado. Quince años de historia.Documento de trabajo, SNP-ICFES, 1995.Castro Martínez, E., Rico Romero, L.; y Romero Albaladejo, I. �Sistemasde Representación y aprendizaje de estructuras numéricas�, en Enseñanzade las Ciencias, 15(3), 361-371, 1997.Chamorro, Carmen, El aprendizaje significativo en el área de lasmatemáticas, Editorial Alhambra Longman.De Guzmán, Miguel. Tendencias Innovadoras en educación matemática.Edición HTML, http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm, 1993.Giménez Rodríguez, Joaquín, Evaluación en matemáticas, una integraciónde perspectivas, Editorial Síntesis S.A, España, 1997.Godino Juan, y Batanero Carmen, Significado y comprensión de losconceptos matemáticos, Edición HTML,http: // goteron.urg.es/~ jgodino/semioesp/pme20es.htm, 1996.Grupo Pretexto: Rojas Garzón, P. ; Rodríguez Bejarano, J.; RomeroCruz, J., y otros, La transición aritmética-álgebra. ColecciónDidáctica de las Matemáticas, Colciencias, Universidad DistritalFrancisco José de Caldas, 1997.MEN, Serie Lineamientos Curriculares, Matemáticas, Santafé deBogotá,1998____. Indicadores de logros curriculares, Resolución No 2343, Santafé deBgotá, Junio 5 de 1996Moreno Armella, Luis, y Waldegg, Guillermina, �Constructivismo yeducación matemática�, en Educación matemática, vol 4, No. 2, 1992.

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