02 matematicas - algebra
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MATEMÁTICAS
Algebra
Algebra – Indice
1.Polinomios.
1.1. Expresiones algebraicas1.2. Monomios1.3. Operaciones con monomios1.4. Polinomios1.5. Suma de polinomios1.6. Producto de polinomios1.7. Cociente de polinomios1.8. Regla de Ruffini1.9. Identidades notables1.10. Teorema del resto1.11. Teorema del factor1.12. Factorización de un polinomio1.13. Fracciones algebraicas1.14. Reducción de fracciones algebraicas a común denominador1.15. Suma fracciones algebraicas1.16. Producto de fracciones algebraicas1.17. Cociente de fracciones algebraicas1.18. Resumen1.19. Esquema1.20. Ejercicios de polinomios1.21. Ejercicios identidades notables1.22. Ejercicios de factorización1.23. Ejercicios de fracciones algebraicas
2. Ecuaciones de primer grado.
2.1. Ecuaciones2.2. Ecuaciones equivalentes2.3. Resolución de ecuaciones de primer grado2.4. Problemas2.5. Problemas de relojes2.6. Problemas de móviles2.7. Problemas de grifos2.8. Problemas de mezclas2.9. Problemas de aleaciones2.10. Problemas geométricos2.11. Resumen2.12. Ejercicios2.13. Problemas 12.14. Problemas 2
3.Sistemas de ecuaciones.
3.1. Sistemas de ecuaciones3.2. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones3.3. Método de sustitución3.4. Método de igualación3.5. Método de reducción3.6. Clasificación de sistemas de ecuaciones3.7. Resumen3.8. Ejercicios de sistemas3.9. Problemas de sistemas3.10. Ejercicios de sistemas por sustitución3.11. Ejercicios de sistemas por igualación3.12. Ejercicios de sistemas por reducción
4.Ecuaciones de 2º grado y sistemas de ecuaciones.
Algebra – Indice
4.1. Ecuaciones de 2º grado4.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas4.3. Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado4.4. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado4.5. Factorización de un trinomio de segundo grado4.6. Ecuaciones racionales4.7. Ecuaciones bicuadradas4.8. Ecuaciones irraacionales4.9. Ecuaciones de grado superior a dos4.10. Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas4.11. Sistemas de ecuaciones no lineales4.12. Resumen4.13. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado4.14. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas4.15. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas4.16. Ejercicios de ecuaciones racionales4.17. Ejercicios de ecuaciones irracionales4.18. Ejercicios de ecuaciones de grado superior a dos4.19. Ejercicios de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss4.20. Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales4.21. Problemas de ecuaciones de segundo grado
5.Ecuaciones exponenciales y logaritmicas.
5.1. Ecuaciones exponenciales5.2. Sistemas de ecuaciones exponenciales5.3. Logaritmos5.4. Propiedades de los logaritmos5.5. Ecuaciones logaritmicas5.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas5.7. Ejercicios de logaritmos5.8. Ejercicios de ecuaciones y sistemas5.9. Ejercicios de ecuaciones exponenciales5.10. Ejercicios de ecuaciones logarítmicas5.11. Ejercicios de sistemas de ecuaciones exponenciales5.12. Ejercicios de sistemas de ecuaciones logarítmicas
6.Inecuaciones.
6.1. Inecuaciones de primer grado6.2. Inecuaciones equivalentes6.3. Inecuaciones de primer grado6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas6.5. Inecuaciones de 2º grado6.6. Sistemas de inecuaciones con una incógnita6.7. Sistemas de inecuaciones con dos incónitas6.8. Resumen6.9. Ejercicios 16.10. Ejercicios 26.11. Ejercicios de inecuaciones de primer grado6.12. Ejercicios de inecuaciones de segundo grado6.13. Ejercicios de inecuaciones racionales6.14. Ejercicios de sistemas de inecuaciones
Algebra – 1. Polinomios
1. Polinomios.
1.1. Expresiones algebraicas.
Trabajar en álgebra consiste en manejarrelaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras .Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: L = 2 r, donde r es el radio de la circunferencia.Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2xEl triple de un número: 3xEl cuádruplo de un número: 4xLa mitad de un número: x/2.Un tercio de un número: x/3.Un cuarto de un número: x/4.Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x + 1.Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y2x + 3.Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.La suma de dos números es 24: x y 24 − x.La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.El producto de dos números es 24: x y 24/x.El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2 r
r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cmS(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraicaformada por un solo término.
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Algebra – 1. Polinomios
Binomio
Un binomio es una expresión algebraicaformada por dos términos.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraicaformada por tres términos.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraicaformada por más de un término.
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Algebra – 1. Polinomios
1.2. Monomios.
Un monomio es una expresión algebraica en la que
las únicas operaciones que aparecen entre las variables
son el producto y la potencia de exponente natural .
2x2 y3 z
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que
aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus
exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los
exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la
misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x 2 y3 z
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Algebra – 1. Polinomios
1.3. Operaciones con monomios.
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes .
La suma de los monomios es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la
suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)xn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un
polinomio .
2x2 y3 + 3x2 y3 z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es
otro monomio semejante cuyo coeficiente es elproducto
del coeficiente de monomio por el número .
5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otromonomio que
tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y
cuya parte literal se obtiene multiplicando las
potencias que tenga la misma base.
axn · bxm = (a · b)xn + m
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Algebra – 1. Polinomios
(5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma
parte literal y con el grado del dividendo mayor o
igual que el grado de la variable correspondiente del
divisor .
La división de monomios es otro monomio que
tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y
cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias
que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor , obtenemos una
fracción algebraica .
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva,
cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
(axn)m = am · xn · m
(2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9
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Algebra – 1. Polinomios
(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6
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Algebra – 1. Polinomios
1.4. Polinomios.
Un polinomio es una expresión algebraica de la
forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... +
a1x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números,
l lamadoscoeficientes .
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor
exponente al que se encuentra elevada la variablex.
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2 + 3x + 2
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Algebra – 1. Polinomios
Tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes
nulos.
Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el todos sus términos o
monomios son del mismo grado .
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que sus términos no son
del miso grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos
desde el término independiente hasta el término de mayor
grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
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Algebra – 1. Polinomios
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomiosque lo
forman están escritos de mayor a menor grado .
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios t ienen el mismo grado .
2Los coeficientes de los términos del mismo grado
son iguales .
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x − 3 + 2x 3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican quetienen
la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable
x por un número cualquiera.
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Algebra – 1. Polinomios
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4
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Algebra – 1. Polinomios
1.5. Suma de Polinomios.
Para sumar dos polinomios se suman los
coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x 3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x 2+
2x3
1. Ordenamos los polinomios , si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado .
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3. Sumamos los monomios semejantes .
P(x) + Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno
debajo del otro, de forma que los monomios semejantes
queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x 3 +
8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
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Algebra – 1. Polinomios
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el
opuesto del sustraendo .
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2− 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
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Algebra – 1. Polinomios
1.6. Multiplicación de Polinomios.
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismodel
polinomio y como coeficientes el producto de los
coeficientes del polinomio por el número .
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de
los monomios que forman el polinomio .
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x4 + 12x3 −
6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio
por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
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Algebra – 1. Polinomios
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es lasuma de
los grados de los polinomios que semultiplican .
También podemos multiplicar polinomios de siguiente
modo:
Ejercicio
Efectuar de dos modos distintos lamultiplicación de
los polinomios :
P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x 2 − x + 3
P(x) · Q(x) = (3x 4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x 2− x + 3)
=
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3−
− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =
= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9
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Algebra – 1. Polinomios
1.7. División de Polinomios.
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x 5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x
+ 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . Si el
polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares
que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una
caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre
el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor
por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
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Algebra – 1. Polinomios
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo
entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo
multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
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Algebra – 1. Polinomios
10x − 6 es el resto , porque su grado es menor
que el del divisor y por tanto no se puede continuar
dividiendo.
x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente .
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Algebra – 1. Polinomios
1.8. Regla de Ruffini.
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático
italiano, que estableción un método más breve para hacer
la división de polinomios , cuando el divisor es un
binomio de la forma x — a .
Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de
Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos
añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una
línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del
término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer
coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo
colocamos debajo del siguiente término.
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Algebra – 1. Polinomios
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido , 56 , es el resto .
9El cociente es un polinomio de grado inferior
en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son
los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
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Algebra – 1. Polinomios
Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
R = 0
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Algebra – 1. Polinomios
1.9. Identidades notables.
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b 2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3) 2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2− 12 x
+ 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a 2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2x) 2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2± b3
(x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x) 2 ·3 + 3 · 2x · 3 2 − 33
=
= 8x 3 − 36x2 + 54x − 27
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Algebra – 1. Polinomios
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 ·
a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x 2 · 1 +
2 · (−x) · 1=
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x=
= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 − 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x 2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término
común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
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Algebra – 1. Polinomios
= x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
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Algebra – 1. Polinomios
1.10. Teorema del resto.
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x),
entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor
numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Calcular por el teorema del resto el resto de la
división:
P(x) : Q(x)
P(x)= x4 − 3x2 + 2 Q(x) = x − 3
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 =56
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Algebra – 1. Polinomios
1.11. Teorema del factor.
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio
de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le l lama raíz o cero de P(x).
Raíces de un polinomio
Son los valores que anulan el polinomio.
Calcular las raíces del polinomio:
P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio :
P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.
Propiedades de las raíces y factores de un
polinomio
1. Los ceros o raíces enteras de un polinomio
son divisores del término independiente del
polinomio.
2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un
binomio del tipo (x − a).
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Algebra – 1. Polinomios
3. Podemos expresar un polinomio en factores al
escribirlo como producto de todos los binomios del
tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x =
a, que se obtengan.
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4. La suma de los exponentes de los binomios
ha de ser igual al grado del polinomio.
5. Todo polinomio que no tenga término
independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es
lo mismo, admite como factor x.
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1
6. Un polinomio se llama irreducible o primo
cuando no puede descomponerse en factores.
P(x) = x2 + x + 1
Hallar las raíces y descomponer en factores el
polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2,
±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
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Algebra – 1. Polinomios
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0Las raíces son: x = -2 y x = 3.Q(x) = (x + 2) · (x − 3)
1.12. Factorización de un polinomio.
Métodos para factorizar un polinomio
Sacar factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Descomponer en factores sacando factor común y
hallar las raíces
1 x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = −1
2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x 2 +
2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al
estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,
por tanto es irreducible.
3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a)
= (x − a) · (x − b)
La raíces son x = a y x = b.
Igualdad notable
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Algebra – 1. Polinomios
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por
diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
Descomponer en factores y hallar las raíces
1 x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)
Las raíces son x = −2 y x = 2
2 x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (x + 2) ·
(x − 2) · (x2 + 4)
Las raíces son x = − 2 y x = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un
binomio al cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2
Descomponer en factores los trinomio cuadrados
perfectos y hallar sus raíces
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Algebra – 1. Polinomios
La raíz es x = −3, y se dice que es unaraíz
doble .
La raíz es x = 2.
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de
segundo grado P(x) = ax 2 + bx + c , se iguala a cero
y se resuelve la ecuación de 2º grado . Si las
soluciones a la ecuación son x 1 y x2 , el polinomio
descompuesto será:
ax2 + bx + c = a · (x − x 1) · (x − x2)
Descomponer en factores los trinomios de segundo
grado y hallar sus raíces
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Algebra – 1. Polinomios
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = − 2.
Descomponer en factores los trinomios de cuarto
grado de exponentes pares y hallar sus raíces
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
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Algebra – 1. Polinomios
x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) ·
(x − 3)
x4 − 2x2 − 3
x2 = t
t2 − 2t − 3 = 0
x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )
Factorización de un polinomio de grado
superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de
Ruffini para encontrar las raíces enteras.
Descomposición de un polinomio de grado superior a
dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
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Algebra – 1. Polinomios
1Tomamos los divisores del término
independiente: ±1, ±2, ±3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que
valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8
− 1 + 6 = 0
3Dividimos por Ruffini .
4Por ser la división exacta , D = d · c .
(x − 1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al
segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor
podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6 =
−2 + 3 + 5 − 6 = 0
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Algebra – 1. Polinomios
(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)
Otra raíz es x = −1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la
ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos
encontrar raíces enteras .
El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 =
0
(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio y
encontramos una raíz racional.
2x − 3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
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Algebra – 1. Polinomios
P(x) = 2x 4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x
+1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x =
3/2
Todas las raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces
enteras y sólo tenga raíces racionales.
En este caso tomamos los divisores del término
independiente dividido entre los divisores del término con
mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla
de Ruffini.
P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2
Probamos por: .
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Algebra – 1. Polinomios
Sacamos factor común 12 en el tercer factor.
1.13. Fracciones algebráicas.
Una fracción algebraica es el cociente de dos
polinomios y se representa por:
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes , y lo representamos por:
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Algebra – 1. Polinomios
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
son equivalentes porque:
(x+2) · (x− 2) = x2 − 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el
numerador y el denominador de dicha fracciónpor un
mismo polinomio distinto de cero, la fracción
algebraica resultante es equivalente a la dada.
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide
el numerador y el denominador de la fracción por un
polinomio que sea factor común de ambos.
Amplificación de fracciones algebraicas
Para amplificar una fracción algebraica semultiplica
el numerador y el denominador de la fracción por un
polinomio .
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Algebra – 1. Polinomios
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Algebra – 1. Polinomios
1.14. Reducción de fracciones algebráicas a común denominador.
Dadas dos fracciones algebraicas , reducirlas a
común denominador es encontrar dos fracciones
algebraicas equivalentes con el mismo denominador.
Reducir a común denominador las fracciones:
1. Descomponemos los denominadores en factores
para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el
común denominador.
x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
x2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)
m.c.m. (x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) ·
(x + 2)
2. Dividimos el común denominador entre los
denominadores de las fracciones dadas y el resultado
lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
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Algebra – 1. Polinomios
1.15. Suma y resta de fracciones algebráicas
La suma de fracciones algebraicas con el mismo
denominador es otra fracción algebraica con el mismo
denominador y cuyo numerador es la suma de los
numeradores.
Sumar las fracciones algebraicas:
Fracciones algebraicas con distinto denominador
En primer lugar se ponen las fracciones
algebraicas a común denominador, posteriormente se
suman los numeradores.
Sumar las fracciones algebraicas:
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Algebra – 1. Polinomios
43 / 385
Algebra – 1. Polinomios
1.16. Producto de fracciones algebráicas
El producto de dos fracciones algebraicas es otra
fracción algebraica donde el numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el
producto de los denominadores.
Multiplicar las fracciones algebraicas:
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Algebra – 1. Polinomios
1.17. Cociente de fracciones algebráicas
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra
fracción algebraica con numerador el producto del
numerador de la primera por el denominador de la
segunda, y con denominador el producto del
denominador de la primera por el numerador de la
segunda.
Dividir las fracciones algebraicas:
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Algebra – 1. Polinomios
1.18. Resumen
Expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones
numéricas en las que una o más cantidades
sondesconocidas . Estas cantidades se l laman
variables ,incógnitas o indeterminadas y se representan
porletras .
Una expresión algebraica es una combinación de
letras y números ligada por los signos de las
operaciones: adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación.
Valor numérico
El un valor numérico de una expresión algebraica es
el número que se obtiene al sustituir las letras de la
misma por números determinados y efectuar las
operaciones indicadas en la expresión.
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que
las únicas operaciones que aparecen entre las variables
son el producto y la potencia de exponente natural .
El coeficiente del monomio es el número que
aparece multiplicando a las variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus
exponentes.
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Algebra – 1. Polinomios
El grado de un monomio es la suma de todos los
exponentes de las letras o variables.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la
misma parte literal.
Operaciones con monomios
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes .
La suma de los monomios es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la
suma de los coeficientes.
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es
otromonomio semejante cuyo coeficiente es el producto
del coeficiente de monomio por el número .
Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene
por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya
parte literal se obtiene multiplicando las potencias
que tenga la misma base.
Cociente de monomios
El cociente de monomios es otro monomio que tiene
por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya
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Algebra – 1. Polinomios
parte literal se obtiene dividiendo las potencias que
tenga la misma base.
Polinomios
Un POLINOMIO es una expresión algebraica de la
forma:
P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... +
a1 x 1 + a 0
Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números,
l lamadoscoeficientes .
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor
exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Polinomio completo
Es aquel que tiene todos los términos desde el
término independiente hasta el término de mayor grado
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo
forman están escritos de mayor a menor grado.
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Algebra – 1. Polinomios
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
Los dos polinomios tienen el mismo grado .
Los coeficientes de los términos del mismo grado
son iguales .
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable
x por un número cualquiera.
Operaciones con polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los
coeficientes de los términos del mismo grado.
La diferencia consiste en sumar el opuesto del
sustraendo .
Multiplicación de polinomios
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
polinomio y como coeficientes el producto de los
coeficientes del polinomio por el número .
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Algebra – 1. Polinomios
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de
los monomios que forman el polinomio .
Producto de polinomios
1 Se multiplica cada monomio del primer
polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
2 Se suman los monomios del mismo grado.
División de polinomios
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . Si el
polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares
que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una
caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre
el primer monomio del divisor.
Multiplicamos cada término del polinomio divisor
por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo
entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo
multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
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Algebra – 1. Polinomios
Repetimos el proceso anterior hasta que elgrado del
resto sea menor que el grado del divisor , y por tanto
no se puede continuar dividiendo.
Para comprobar si la operación es correcta,
util izaríamos la prueba de la división:
D = d · c + r
Regla de Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a ,
entonces util izamos un método más breve para hacer
ladivisión , l lamado REGLA DE RUFFINI .
(x4 −3x2 +2 ) : (x −3 )
1. Si el polinomio no es completo, lo
completamos añadiendo los términos que faltan con
ceros.
2. Colocamos los coeficientes del dividendo en
una línea.
3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del
término independiente del divisor.
4. Trazamos una raya y bajamos el primer
coeficiente.
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Algebra – 1. Polinomios
5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del siguiente término.
6. Sumamos los dos coeficientes.
7. Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera
necesarias.
8. El último número obtenido es el resto .
9. El cociente es un polinomio de grado inferior
en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son
los que hemos obtenido.
Identidades notables
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b 2
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a 2 − b2
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Algebra – 1. Polinomios
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
Factorización de un polinomio
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x),
entre un polinomio de la forma x - a es el valor
numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio
de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le l lama RAÍZ o CERO de P(x).
Observaciones
1. Los ceros o raíces son divisores del término
independiente del polinomio.
2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un
binomio del tipo (x −a).
3. Podemos expresar un polinomio en factores al
escribirlo como producto de todos los binomios del
tipo x — a, que se correspondan a las raíces x = a
que se obtengan.
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Algebra – 1. Polinomios
4. La suma de los exponentes de los binomios
ha de ser igual al grado del polinomio.
5. Todo polinomio que no tenga término
independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es
lo mismo, admite como factor x.
6. Un polinomio se llama irreducible o primo
cuando no puede descomponerse en factores.
Métodos para factorizar un polinomio
Sacar factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Igualdades notables
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por
diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un
binomio al cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2
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Algebra – 1. Polinomios
Trinomio de segundo grado
a x2 + bx +c = a · (x -x 1 ) · (x -x2 )
Polinomio de grado superior a dos.
Utilizamos el teorema del resto y la regla de
Ruffini.
1. Tomamos los divisores del término
independiente: ±1, ±2, ±3.
2. Aplicando el teorema del resto sabremos para
que valores la división es exacta.
3. Dividimos por Ruffini .
4. Por ser la división exacta , D = d · c
5. Continuamos realizando las mismas operaciones al
segundo factor, y los nuevos que obtengamos, hasta que
sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores
reales.
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos
polinomios y se representa por:
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
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Algebra – 1. Polinomios
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes , y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el
numerador y el denominador de dicha fracciónpor un
mismo polinomio distinto de cero, la fracción
algebraica resultante es equivalente a la dada.
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el
numerador y el denominador de la fracción por un
polinomio que sea factor común de ambos.
Reducción de fracciones algebraicas a común
denominador
Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común
denominador es encontrar dos fracciones algebraicas
equivalentes con el mismo denominador.
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Algebra – 1. Polinomios
1. Descomponemos los denominadores en factores
para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el
común denominador.
2. Dividimos el común denominador entre los
denominadores de las fracciones dadas y el resultado
lo multiplicamos por el numerador correspondiente.
Operaciones con fracciones algebraicas
Suma y diferencia de fracciones algebraicas
Fracciones algebraicas con igual denominador
La suma de fracciones algebraicas con el mismo
denominador es otra fracción algebraica con el mismo
denominador y cuyo numerador es la suma de los
numeradores.
Fracciones algebraicas con distinto denominador
En primer lugar se ponen las fracciones
algebraica a común denominador, posteriormente se
suman los numeradores.
Producto de fracciones algebraicas
El producto de dos fracciones algebraicas es otra
fracción algebraica donde el numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el
producto de los denominadores.
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Algebra – 1. Polinomios
Cociente de fracciones algebraicas
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra
fracción algebraica con numerador el producto del
numerador de la primera por el denominador de la
segunda, y con denominador el producto del
denominador de la primera por el numerador de la
segunda.
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Algebra – 1. Polinomios
1.19. Esquema.
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Algebra – 1. Polinomios
1.20. Ejercicios de Polinomios.
Ejercicios y problemas de polinomios
1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son
polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su
grado y término independiente.
1x4 − 3x5 + 2x2 + 5
2 + 7X2 + 2
31 − x4
4
5x3 + x5 + x2
6x − 2x− 3 + 8
7
2Escribe:
1Un polinomio ordenado sin término independiente.
2Un polinomio no ordenado y completo.
3Un polinomio completo sin término independiente.
4Un polinomio de grado 4, completo y con
coeficientes impares.
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Algebra – 1. Polinomios
3Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 + 5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1P(x) + Q (x) =
2P(x) − U (x) =
3P(x) + R (x) =
42P(x) − R (x) =
5S(x) + T(x) + U(x) =
6S(x) − T(x) + U(x) =
4Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 − 2x − 2
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Algebra – 1. Polinomios
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
Q(x) + R(x) − P(x)=
5Multiplicar:
1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =
6Dividir:
1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)
2(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 −
2x + 1
7Divide por Ruffini:
1 (x3 + 2x + 70) : (x + 4)
2(x5 − 32) : (x − 2)
3 (x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3)
8Halla el resto de las siguientes divisiones:
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Algebra – 1. Polinomios
1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)
2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)
3 ( x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)
9 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
1(x3 − 5x −1) : (x − 3)
2(x6 − 1) : (x + 1)
3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)
4(x1 0 − 1024) : (x + 2)
10Comprueba que los siguientes polinomios tienen
como factores los que se indican:
1(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )
4(x1 0 − 1024) tiene por factor (x + 2)
11Hallar a y b para que el polinomio x 5 − ax + b
sea divisible por x2 − 4.
12Determina los coeficientes de a y b para que el
polinomio x 3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x 2 + x +
1.
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Algebra – 1. Polinomios
13 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 −
kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.
14 Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx +
4 admita x = 1 como una de sus raíces.
15 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea
divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.
16 Calcular el valor de a para que el polinomio x 3
− ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras
raíces.
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Algebra – 1. Polinomios
1
1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son
polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su
grado y término independiente.
1x4 − 3x5 + 2x2 + 5
Grado: 5, término independiente: 5.
2 + 7X2 + 2
No es un polinomio, porque la parte
l iteral del primer monomio está dentro de una
raíz.
31 − x4
Grado: 4, término independiente: 1.
4
No es un polinomio, porque el exponente
del primer monomio no es un número natural.
5x3 + x5 + x2
Grado: 5, término independiente: 0.
6x − 2 x− 3 + 8
No es un polinomio, porque el exponente
del 2º monomio no es un número natural.
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Algebra – 1. Polinomios
7
Grado: 3, término independiente: −7/2.
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Algebra – 1. Polinomios
2
Escribe:
1Un polinomio ordenado sin término independiente.
3x4 − 2x
2Un polinomio no ordenado y completo.
3x − x2 + 5 − 2x3
3Un polinomio completo sin término independiente.
Imposible
4Un polinomio de grado 4, completo y con
coeficientes impares.
x4 − x3 − x2 + 3x + 5
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Algebra – 1. Polinomios
3
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 + 5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2 + 6x − 3
2P(x) − U (x) =
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 =
= 3x2 − 3
3P(x) + R (x) =
68 / 385
Algebra – 1. Polinomios
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
42P(x) − R (x) =
= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
= 2x2 − x − 3
5S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =
= 3x2 + 11
6S(x) − T(x) + U(x) =
= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
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Algebra – 1. Polinomios
4
Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 − 2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + (x 3 − 6x2 + 4) − ( 2x 4 −
2 x − 2) =
= x4 − 2x2 − 6x − 1 + x 3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2x
+ 2 =
= x4 − 2x4 + x3 − 2x2 − 6x2 − 6x + 2x − 1 + 4
+ 2 =
= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + 2 · (x3 − 6x2 + 4) −
(2x4 − 2x − 2) =
= x4 − 2x2 − 6x − 1 + 2x 3 − 12x2 + 8 − 2x 4 +
2x + 2 =
70 / 385
Algebra – 1. Polinomios
= x4 − 2x4 + 2x3 − 2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 +
8 + 2 =
= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
Q(x) + R(x) − P(x)=
= (x3 − 6x2 + 4) + (2x 4 − 2x − 2) − (x 4 − 2x2 −
6x − 1) =
= x3 − 6x2 + 4 + 2x 4 −2x − 2 − x 4 + 2x2 + 6x +
1=
= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 + 2x2 −2x + 6x + 4 − 2 +
1=
= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
71 / 385
Algebra – 1. Polinomios
5
Multiplicar:
1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =
= x 6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2 − 4x +
6=
= x 6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x
+ 6 =
= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =
= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 −
10x =
= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 −
10x =
= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3)
=
= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x3 − 6x2 −
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2 + 15x +
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +
72 / 385
Algebra – 1. Polinomios
+8x3 − 30x3 + 30x3 − 6x2− 20x2 − 36x2 + 15x +
24x − 18 =
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
73 / 385
Algebra – 1. Polinomios
6
Dividir:
1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)
2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 −
2x + 1
74 / 385
Algebra – 1. Polinomios
75 / 385
Algebra – 1. Polinomios
7
Divide por Ruffini:
1 (x3 + 2x +70) : (x + 4)
2(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R = 0
3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18 R = 56
76 / 385
Algebra – 1. Polinomios
8
Halla el resto de las siguientes divisiones:
1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)
R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4
2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10) : (x + 2)
R(−2) = 2 · (−2) 4 − 2 · (−2) 3 + 3 · (−2) 2 + 5 ·
(−2) +10 =
= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60
3 (x4 − 3x2 +2) : ( x − 3)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
77 / 385
Algebra – 1. Polinomios
9
Indica cuáles de estas divisiones son exactas:
1(x3 − 5x −1) : (x − 3)
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
No es exacta.
2(x6 − 1) : (x + 1)
P(−1)= (−1)6 − 1 = 0
Exacta
3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)
P(1) = 1 4 − 2 · 1 3 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1
− 1 = 0
Exacta
4(x1 0 − 1024) : (x + 2)
P(−2) = (−2)1 0 − 1024 = 1024 − 1024 = 0
Exacta
78 / 385
Algebra – 1. Polinomios
10
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como
factores los que se indican:
1(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si
P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x =
− 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.
3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1) si
y sólo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 1 4 − 2 · 1 3 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1
− 1 = 0
(x − 1) es un factor.
4(x1 0 − 1024) tiene por factor (x + 2)
79 / 385
Algebra – 1. Polinomios
(x1 0 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x
= −2) = 0.
P(−2) = (−2)1 0 − 1024 = 1024 − 1024 = 0
(x + 2) es un factor.
80 / 385
Algebra – 1. Polinomios
11
Hallar a y b para que el polinomio x 5 − ax + b sea
divisible por x2 − 4.
x2 − 4 = (x +2) · (x − 2)
P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0
−32 +2a +b = 0 2a +b = 32
P(2) = 25 − a · 2 + b = 0
32 − 2a +b = 0 − 2a +b = −32
81 / 385
Algebra – 1. Polinomios
12
Determina los coeficientes de a y b para que el
polinomio x 3 + ax2 + bx +5 sea divisible por x 2 + x +
1.
b − a = 0 −a + 6 = 0
a = 6 b = 6
82 / 385
Algebra – 1. Polinomios
13
Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 − kx
+2 por (x − 2) dé de resto 4.
P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4
10 − 2k = 4 − 2k = − 6 k = 3
83 / 385
Algebra – 1. Polinomios
14
Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx + 4
admita x = 1 como una de sus raíces.
P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0
3 + m + 4 = 0 m = − 7
84 / 385
Algebra – 1. Polinomios
15
Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible
por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.
(x − 3) · (x − 5) · (x 2 − 4) =
(x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) =
= x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 =
= x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60
85 / 385
Algebra – 1. Polinomios
16
Calcular el valor de a para que el polinomio x 3 − ax
+ 8 tenga la raíz x = − 2, y calcular las otras raíces.
P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0 −8 + 2a
+8 = 0 a= 0
(x + 2) · (x2 − 2x + 4)
x2 − 2x + 4 = 0
No tiene más raíces reales.
86 / 385
Algebra – 1. Polinomios
1.21. Ejercicios de Identidades notables.
Ejercicios de identidades notables
1 Develop the square binomials.
1(x + 5)2 =
2(2x − 5)2 =
3(3x − 2)2 =
4
2Develop the cube binomials.
1 (2x − 3)3 =
2(x + 2)3 =
3(3x − 2)3 =
4(2x + 5)3 =
3Develop.
1(3x − 2) · (3x + 2) =
2(x + 5) · (x − 5) =
3(3x − 2) · (3x + 2) =
4(3x − 5) · (3x − 5) =
87 / 385
Algebra – 1. Polinomios
4Develop expressions.
1(x2 − x + 1)2 =
2 8x3 + 27 =
38x3 − 27 =
4(x + 2) (x + 3) =
88 / 385
Algebra – 1. Polinomios
1
Develop the square binomials
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x 2 + 10 x + 25
2(2x − 5)2 =
= (2x)2 − 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 − 20 x + 25
2(2x − 5)2 =
= (2x)2 − 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 − 20 x + 25
4
89 / 385
Algebra – 1. Polinomios
2
Develop the cube binomials.
1 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 −
33=
= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27
2(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 22 + 23 =
= x3 + 6x2 + 12x + 8
3(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x · 2 2 −
23 =
= 27x 3 − 54x2 + 36x − 8
4(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 ·(2x)2 · 5 + 3 · 2x · 5 2 +
53 =
= 8x3 + 60 x2 + 150x + 125
90 / 385
Algebra – 1. Polinomios
3
Develop.
1(3x − 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x − 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
4(3x − 5) · (3x − 5) =
= (3x) 2 − 52 =
= 9x 2 − 25
91 / 385
Algebra – 1. Polinomios
4
Develop expressions.
1(x2 − x + 1)2 =
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x 2 · 1 +
2 · (−x) · 1=
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x=
= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1
2 8x3 + 27 =
(2x + 3) (4x2 − 6x + 9)
38x3 − 27 =
(2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
4(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
92 / 385
Algebra – 1. Polinomios
1.22. Ejercicios de factorización.
Factorizar y calcular las raíces de los
polinomios
1. x3 + x2
2. 2x4 + 4x2
3. x2 − 4
4. x4 − 16
5. 9 + 6x + x2
6.
7. x4 − 10x2 + 9
8. x4 − 2x2 − 3
9. 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
10. 2x3 − 7x2 + 8x − 3
11. x3 − x2 − 4
12. x3 + 3x2 − 4 x − 12
13. 6x3 + 7x2 − 9x + 2
14. Factorizar los polinomios:
1. 9x4 − 4x2 =
93 / 385
Algebra – 1. Polinomios
2. x5 + 20x3 + 100x =
3. 3x5 − 18x3 + 27x =
4. 2x3 − 50x =
5. 2x5 − 32x =
6. 2x2 + x − 28 =
15. Descomponer en factores los polinomios
1.
2. xy − 2x − 3y + 6 =
3. 25x2 − 1=
4. 36x6 − 49 =
5. x2 − 2x + 1 =
6. x2 − 6x + 9 =
7. x2 − 20x + 100 =
8. x2 + 10x +25 =
9. x2 + 14x + 49 =
10. x3 − 4x2 + 4x =
11. 3x7 − 27x =
94 / 385
Algebra – 1. Polinomios
12. x2 − 11x + 30
13. 3x2 + 10x + 3
14. 2x2 − x − 1
1
x3 + x2
x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
2
2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Sólo tiene una raíz X = 0 ; ya que el polinomio, x 2
+ 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al
estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,
por tanto es irreducible.
3
x2 − 4
x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
95 / 385
Algebra – 1. Polinomios
4
x4 − 16
x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2)
· (x2 + 4)
Las raíces son X = −2 y X = 2
5
9 + 6x + x2
La raíz es x = −3 .
6
Las raíces son x = 3 y x = −2 .
96 / 385
Algebra – 1. Polinomios
7
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x
− 3)
97 / 385
Algebra – 1. Polinomios
8
x4 − 2x2 − 3
x2 = t
t2 − 2t − 3 = 0
x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )
98 / 385
Algebra – 1. Polinomios
9
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
1Tomamos los divisores del término independiente: ±1,
±2, ±3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que
valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8
− 1 + 6 = 0
3Dividimos por Ruffini.
4Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al
segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor
podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
99 / 385
Algebra – 1. Polinomios
P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 ·(− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6=
−2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la
ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos
encontrar raíces enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 =
0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
100 / 385
Algebra – 1. Polinomios
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
101 / 385
Algebra – 1. Polinomios
10
2x3 − 7x2 + 8x − 3
P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1) · (2x 2 − 5x + 3)
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1) 2 · (2x −3) = 2 (x − 3/2) · (x −1) 2
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
102 / 385
Algebra – 1. Polinomios
11
x3 − x2 − 4
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2 + x + 2 )
x2 + x + 2 = 0
(x − 2) · (x2 + x + 2 )
Raíz: x = 2.
103 / 385
Algebra – 1. Polinomios
12
x3 + 3x2 − 4x − 12
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 −
12 = 0
(x − 2) · (x2 + 5x + 6)
x2 + 5x + 6 = 0
(x − 2) · (x + 2) · (x +3)
Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
104 / 385
Algebra – 1. Polinomios
13
6x3 + 7x2 − 9x + 2
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = −
48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 − 5x + 1)
6x2 − 5x + 1 = 0
6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
105 / 385
Algebra – 1. Polinomios
14
19x4 − 4x2 =
x2 · (9x2 − 4) =
x2 · (3x + 2) · (3x − 2)
2x5 + 20x3 + 100x =
x · (x4 + 20x2 + 100) =
x · (x2 + 10)2
33x5 − 18x3 + 27x =
3x · (x4 − 6x2 + 9) =
= 3x · (x2 − 3)2
42x3 − 50x =
=2x · (x2 − 25) =
2x · (x + 5) · (x - 5)
52x5 − 32x =
= 2x · (x4 − 16 ) =
2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =
= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)
62x2 + x − 28
106 / 385
Algebra – 1. Polinomios
2x2 + x − 28 = 0
2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)
107 / 385
Algebra – 1. Polinomios
15
1
2xy − 2x − 3y + 6 =
= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =
= (x − 3) · (y − 2)
325x2 − 1=
= (5x +1) ·(5x − 1)
436x6 − 49 =
= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)
5x2 − 2x + 1 =
= (x − 1)2
6x2 − 6x + 9 =
= (x − 3)2
7x2 − 20x + 100 =
= (x − 10)2
8x2 + 10x + 25 =
108 / 385
Algebra – 1. Polinomios
= (x + 5)2
9x2 + 14x + 49 =
= (x + 7)2
10x3 − 4x2 + 4x =
= x · (x2 − 4x +4) =
= x · (x − 2)2
113x7 − 27x =
= 3x · (x6 − 9) =
= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)
12x2 − 11x + 30
x2 − 11x + 30 = 0
x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)
133x2 + 10x + 3
3x2 + 10x + 3 = 0
109 / 385
Algebra – 1. Polinomios
3x2 + 10x + 3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)
142x2 − x − 1
2x2 − x −1 = 0
2x2 − x − 1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)
110 / 385
Algebra – 1. Polinomios
1.23. Ejercicios de fracciones algebráicas.
Ejercicios de fracciones algebraicas
1. Simplificar las fracciones algebraicas :
1.
2.
3.
4.
5.
2. Suma las fracciones algebraicas :
3. Resta las fracciones algebraicas :
4. Multiplica las fracciones algebraicas :
1.
111 / 385
Algebra – 1. Polinomios
2.
5. Divide las fracciones algebraicas :
1.
2.
6. Opera :
7. Efectúa:
8. Realiza :
112 / 385
Algebra – 1. Polinomios
1
Simplificar las fracciones algebraicas :
1
2
3
113 / 385
Algebra – 1. Polinomios
4
5
114 / 385
Algebra – 1. Polinomios
2
Suma las fracciones algebraicas :
115 / 385
Algebra – 1. Polinomios
3
Resta las fracciones algebraicas :
116 / 385
Algebra – 1. Polinomios
4
Multiplica las fracciones algebraicas :
1
2
117 / 385
Algebra – 1. Polinomios
5
Divide las fracciones algebraicas:
1
2
118 / 385
Algebra – 1. Polinomios
6
Opera :
119 / 385
Algebra – 1. Polinomios
7
Efectúa :
8
Realiza :
120 / 385
Algebra – 1. Polinomios
121 / 385
Algebra – 1. Polinomios
122 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2. Ecuaciones de primer grado
2.1. Ecuaciones2.2. Ecuaciones equivalentes2.3. Resolución de ecuaciones de primer grado2.4. Problemas2.5. Problemas de relojes2.6. Problemas de móviles2.7. Problemas de grifos2.8. Problemas de mezclas2.9. Problemas de aleaciones2.10. Problemas geométricos2.11. Resumen2.12. Ejercicios2.13. Problemas 12.14. Problemas 2
2.1. Ecuaciones.
Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas
por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2
1≠2.
Cierta
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2
= 2
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta
para cualquier valor de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2
= 2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple
para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2 x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las
expresiones que aparecen a ambos lados del signo
igual.
Los términos son los sumandos que forman los
miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la
ecuación.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Las soluciones son los valores que deben tomar
las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los
grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de
primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de
segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x 2 Ecuación de
tercer grado .
5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de
cuarto grado.
2.2. Ecuaciones equivalentes.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la
misma solución.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
x + 3 = −2 x = −5
125 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Criterios de equivalencia de ecuaciones
1. Si a los dos miembros de una ecuación se
les suma o se les resta una misma cantidad, la
ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se
les multiplica o se les divide una misma cantidad, la
ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.3. Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer
grado debemos seguir los siguientes pasos :
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y
los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
Despejamos la incógnita:
Agrupamos los términos semejantes y los
independientes, y sumamos:
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar
hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los
términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
128 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los
términos semejantes:
Quitamos corchete:
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
130 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.4. Problemas
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x,
4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos : x y x + 1.
Dos números consecutivos pares : 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares : 2x + 1 y 2x +
3.
Descomponer 24 en dos partes : x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.5. Problemas de relojes
El ángulo o arco descrito que recorre el
minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que
describe la aguja horaria.
Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las
3 y las 4 se superpondrán las agujas?
x es el arco que describe la aguja horaria.
(15 + x) es el arco que describe el minutero.
15 + x = 12x
x = 15/11 min
Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s
Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán
sus agujas por primera vez un ángulo recto?
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2
h 25 min y un poco más, que l lamaremos x.
x es el arco que describe la aguja horaria.
25 + x, es el arco que describe el minutero.
25 + x = 12x
x = 25/11 min
Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a
las 2h 27 min 16 s.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.6. Problemas de móviles
Para plantear problemas sobre móviles que l levan
velocidad constante se util izan las fórmulas del movimiento
rectil íneo uniforme:
espacio = velocidad × tiempo
1er caso
Los móviles van en sentido contrario.
eAC + eCB = eAB
Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9
de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la
ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B
parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60
km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2
horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 11 de la mañana .
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 2 = 180 km
e B C = 60 · 2 = 120 km
2o caso
Los móviles van en el mismo sentido.
eAC − eBC = e AB
Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9
de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos
coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula
a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6
horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 3 de la tarde .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 6 = 540 km
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
e B C = 60 · 6 = 360 km
3er caso
Los móviles parten del mismo punto y con el
mismo sentido.
e 1 = e 2
Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90
km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro
coche en persecución del primero con una velocidad de
120 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.
90t = 120 · (t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t =
12 horas
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.7. Problemas de grifos
En una hora el primer grifo l lena 1/t1 del depósito.
En una hora el segundo grifo l lena 1/t2 del depósito.
Si existe un desagüe
En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito.
En una hora los dos grifos juntos habrán l lenado:
Sin desagüe
Con desagüe
Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y otro
grifo tarda en l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo
tardarán en l lenar los dos grifos juntos el depósito?
En una hora el primer grifo l lena 1/3 del depósito.
En una hora el segundo grifo l lena 1/4 del depósito.
En una hora los dos grifos juntos habrán l lenado:
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
7x = 12 x = 12/7 horas
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.8. Problemas de mezclas
C1 1ª cantidad. C1 = x
C2 2ª cantidad. C2 = Cm - x
Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2
P1 Precio de la 1ª cantidad
P2 Precio de la 2ª cantidad
Pm Precio de la mezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
También podemos poner los datos en una tabla
Cantidad Precio Coste
1ª
sustanciaC1 P1 C1 · P1
2ª
sustanciaC2 P2 C2 · P2
Mezcla C1 + C2 PC1 · P1+ C2 ·
P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a
40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de
café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?
1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000
− 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y
otros 30 de la 2ª clase .
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.9. Problemas de aleaciones
La ley de la aleación es la relación entre el
peso del metal fino , es decir, más valioso, y el peso
total .
Se resuelven del mismo modo que los problemas de
mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación
equivale al precio de la mezcla .
C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La
Se tienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y
otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada
lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?
1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800
0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800
0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620
0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710
−0.2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.10. Problemas geométricos
Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo
sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40°
más que B.
C x
B x + 40
A x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x
= 180 − 40 − 80;
3x = 60; x = 20
C = 20º B = 20º + 40º = 60º
A = 60º + 40º = 100º
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.11.Resumen
Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas
por el signo igual.
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta
para cualquier valor de las letras.
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple
para algunos valores de las letras.
Los miembros de una ecuación son cada una de las
expresiones que aparecen a ambos lados del signo
igual.
Los términos son los sumandos que forman los
miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la
ecuación.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Las soluciones son los valores que deben tomar
las letras para que la igualdad sea cierta.
El grado de una ecuación es el mayor de los
grados de los monomios que forman sus miembros.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la
misma solución.
Si a los dos miembros de una ecuación se les
suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación
es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una ecuación se les
multiplica o se les divide una misma cantidad, la
ecuación es equivalente a la dada.
Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación debemos seguir
los siguientes pasos :
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y
los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
5º Despejar la incógnita.
Aplicaciones
Problemas sobre móviles
1er caso
Los móviles van en sentido contrario.
e AB + e BC = e AB
2o caso
Los móviles van en el mismo sentido.
e AC − e BC = e AB
3er caso
Los móviles parten del mismo punto y con el
mismo sentido.
e 1 = e 2
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Problemas sobre grifos
Problemas sobre mezclas
Problemas sobre relojes
El ángulo o arco descrito que recorre el
minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que
describe la aguja horaria.
Problemas geométricos
Ecuaciones de 2º grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de
la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por
(−1).
Resolución de ecuaciones de segundo grado
incompletas
ax2 = 0
La solución es x = 0.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x.
Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las
ecuaciones de 1e r grado.
x = 0.
ax2 + c = 0
Despejamos:
ax2 +bx +c = 0
b2 − 4ac se l lama DISCRIMINANTE de la ecuación y
permite averiguar en cada ecuación el número de
soluciones. Podemos distinguir tres casos:
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son
números reales distintos.
b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
La suma de las soluciones de una ecuación de
segundo grado es igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de
segundo grado es igual a:
Si conocemos las raíces de una ecuación,
podemos escribir ésta como:
Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.12. Ejercicios
Resolver las ecuaciones de primer grado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
14
15
151 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
1
Despejamos la incógnita:
2
Agrupamos los términos semejantes y los
independientes, y sumamos:
3
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
4
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar
hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los
términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
5
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los
términos semejantes:
153 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
6
7
8
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
9
10
11
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
12
13
Quitamos corchete:
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
14
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
15
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.13. Problemas 1
Problemas de ecuaciones de primer grado
1 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de
cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que
la edad del hijo?
2Si al doble de un número se le resta su mitad
resulta 54. ¿Cuál es el número?
3 La base de un rectángulo es doble que su altura.
¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
4En una reunión hay doble número de mujeres que
de hombres y triple número de niños que de hombres y
mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si
la reunión la componen 96 personas?
5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite.
Reponemos 38 l y el bidón ha quedado l leno hasta sus
3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35
cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
7Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió
20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la
primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito
y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le
queda. Se pide:
1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2. Litros consumidos en cada etapa.
8En una l ibrería, Ana compra un l ibro con la tercera
parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes
de lo que le quedaba. Al salir de la l ibrería tenía 12 €.
¿Cuánto dinero tenía Ana?
9 La dos cifras de un número son consecutivas. La
mayor es la de las decenas y la menor la de las
unidades. El número es igual a seis veces la suma de las
cifras. ¿Cuál es el número?
10Las tres cuartas partes de la edad del padre de
Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro
años la edad de la padre era doble de la edad del hijo.
Hallar las edades de ambos.
11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un
trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por
separado si uno es el doble de rápido que el otro?
12Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo
sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40°
más que B .
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.14. Problemas 2
Problemas de relojes, móviles, grifos y
mezclas
1Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre
las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?
2Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora
formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto?
3Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las
9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la
ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B
parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60
km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
2 La hora del encuentro.
3 La distancia recorrida por cada uno.
4Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las
9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los
dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A
circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se
pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
2 La hora del encuentro.
3 La distancia recorrida por cada uno.
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
5Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90
km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro
coche en persecución del primero con una velocidad de
120 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
6 Un camión sale de una ciudad a una velocidad de
40 km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y
en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se
pide:
1. Tiempo que tardará en alcanzarle.
2. Distancia al punto de encuentro.
7Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de
la mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros
de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una
velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de
B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a
qué hora?
8Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y
otro grifo tarda en l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo
tardarán en l lenar los dos grifos juntos el depósito?
9Un comerciante tiene dos clases de café, la primera
a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de
café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
10Se tienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750
y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada
lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?
11Un l ingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g.
¿Qué cantidad de cobre puro se habrá de añadir para
rebajar su ley a 0.900?
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
2.15.Problemas resueltos
1
Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las
3 y las 4 se superpondrán las agujas?
x es el arco que describe la aguja horaria.
(15 + x) es el arco que describe el minutero.
15 + x = 12x
x = 15/11 min
Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s
2
Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán
sus agujas por primera vez un ángulo recto?
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2
h 25 min y un poco más, que l lamaremos x.
x es el arco que describe la aguja horaria.
25 + x, es el arco que describe el minutero.
25 + x = 12x
x = 25/11 min
Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a
las 2h 27 min 16 s.
3
Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9
de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la
ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B
parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60
km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
165 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2
horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 11 de la mañana .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 2 = 180 km
e B C = 60 · 2 = 120 km
4
Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9
de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos
coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula
a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6
horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 3 de la tarde .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e A B = 90 · 6 = 540 km
166 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
e B C = 60 · 6 = 360 km
5
Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90
km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro
coche en persecución del primero con una velocidad de
120 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.
90t = 120 · (t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t =
12 horas
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
6
Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40
km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y en
la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se
pide:
1. Tiempo que tardará en alcanzarle.
e1 = e2
40t = 60 (t − 1)
167 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
40t = 60t − 60 40t − 60t =− 60 −20t
= −60
t = 3h
Como el coche sale una hora más tarde, el tiempo
que tardará en alcanzarlo será de 2 horas .
2. Distancia al punto de encuentro.
e1 = 40 · 3 = 120 km .
7
Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la
mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros
de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una
velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de
B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a
qué hora?
30t + 20t = 130 50t = 130
t = 130/50 = 2 h 36 min
Se encuentran a las 11h 36 min
e A C = 30 · 130/50 = 78 km
8
168 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y otro
grifo tarda en l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo
tardarán en l lenar los dos grifos juntos el depósito?
En una hora el primer grifo l lena 1/3 del depósito.
En una hora el segundo grifo l lena 1/4 del depósito.
En una hora los dos grifos juntos habrán l lenado:
7x = 12 x = 12/7 horas
9
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a
40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de
café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?
1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
169 / 385
Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000
− 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y
otros 30 de la 2ª clase .
10
Se tienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y
otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada
lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?
1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800
0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800
0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620
0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710
−0.2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g
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Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado
11
Un l ingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué
cantidad de cobre puro se habrá de añadir para rebajar
su ley a 0.900?
Oro Cobre Total
Nº de g 6 300 x 6 300 + x
Oro puro 0.950 · 6 300 0.900 · (6 300 + x)
0.900 · (6 300 + x) = 0.950 · 6 300
5 670 + 0.900x = 5 985
0.900x = 315 x = 315/0.900 = 350
Cobre 350 g
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3. Sistemas de ecuaciones.
3.1. Sistemas de ecuaciones3.2. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones3.3. Método de sustitución3.4. Método de igualación3.5. Método de reducción3.6. Clasificación de sistemas de ecuaciones3.7. Resumen3.8. Ejercicios de sistemas3.9. Problemas de sistemas3.10. Ejercicios de sistemas por sustitución3.11. Ejercicios de sistemas por igualación3.12. Ejercicios de sistemas por reducción
3.1. Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema,
cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su
solución común.
La solución de un sistema es un par de números x 1 ,
y1 , tales que reemplazando x por x 1 e y por y1 , se
satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
x = 2, y = 3
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.2. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un
sistema se les suma o se les resta una misma
expresión , elsistema resultante es equivalente .
x = 2, y = 3
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros
de las ecuaciones de un sistema por un número distinto
de cero , el sistema resultante es equivalente .
x = 2, y = 3
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un
sistema otra ecuación del mismo sistema , el
sistemaresultante es equivalente al dado.
x = 2, y = 3
4º Si en un sistema se sustituye una ecuación
por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones
del sistema previamente multiplicadas o divididas por
números no nulos, resulta otro sistema equivalente al
primero.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
5º Si en un sistema se cambia el orden de las
ecuaciones o el orden de las incógnitas , resulta otro
sistema equivalente .
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.3. Método de sustitución
Resolución de sistemas de ecuaciones por el
método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la
otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola
incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la
que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las
dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el
coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por
el valor anterior:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable
despejada.
5 Solución
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.4. Método de sustitución
Resolución de sistemas de ecuaciones por el
método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas
ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos
una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las
dos expresiones en las que aparecía despejada la otra
incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
1 Despejamos , por ejemplo, la incógnita x de la
primera y segunda ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos
expresiones en las que tenemos despejada la x :
5 Solución :
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.5. Método de reducción
Resolución de sistemas de ecuaciones por el
método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por
los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las
ecuaciones iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no
tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a
optar por suprimir la x, para que veamos mejor el
proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación
inicial.
Solución:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.6. Clasificacion de Sistemas de Ecuaciones
Sistema compatible determinado
Tiene una sola solución.
x = 2, y = 3
Gráficamente la solución es el punto de corte de
las dos rectas.
Sistema compatible indeterminado
El sistema tiene infinitas soluciones.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución .
Sistema incompatibleNo tiene solución
Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.7. Resumen
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un
sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es
encontrar su solución común.
La solución de un sistema es un par de números
x1 , y1 , tales que reemplazando x por x 1 e y por y 1,
se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes
cuando tienen la misma solución.
Criterios de equivalencia
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un
sistema se les suma o se les resta una misma
expresión , elsistema resultante es equivalente .
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros
de las ecuaciones de un sistema por un número distinto
de cero , el sistema resultante es equivalente .
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un
sistema otra ecuación del mismo sistema , el
sistemaresultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación
por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
del sistema previamente multiplicadas o divididas por
números no nulos, resulta otro sistema equivalente al
primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las
ecuaciones o el orden de las incógnitas , resulta otro
sistema equivalente .
Resolución de sistemas de ecuaciones
Método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la
otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola
incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la
que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas
ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos
una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las
dos expresiones en las que aparecía despejada la otra
incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por
los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las
ecuaciones iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Tipos de sistemas
Sistema compatible determinado
Tiene una sola solución.
Gráficamente la solución es el punto de corte de
las dos rectas.
Sistema compatible indeterminado
El sistema tiene infinitas soluciones.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes.
Cualquier punto de la recta es solución .
Sistema incompatible
No tiene solución
Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.8. Ejercicios de sistemas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
1 Resuelve por sustitución, igualación, reducción y
gráficamente el sistema:
2 Resuelve el sistema:
3 Halla las soluciones del sistema:
4Resueve:
5Resuelve por sustitución, igualación, reducción y
gráficamente el sistema:
6 Resuelve el sistema:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
7 Halla las soluciones del sistema:
1
Por sustitución:
Por igualación:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
Por reducción:
Gráficamente:
2
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3
4
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5
Por sustitución:
Por igualación:
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Por reducción:
Gráficamente:
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
6
7
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.9. Problemas resueltos de ecuaciones
Problemas de sistemas de ecuaciones1 Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 €
y los vendió por 2260 €.¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la
venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?
2¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
3Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
4Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
5En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?
6La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?
7Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
8Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
1 Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 €
y los vendió por 2260 €.¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la
venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?
x precio del ordenador.
y precio del televisor.
precio de venta del ordenador.
precio de venta del televisor.
800 € precio del ordenador.
1200 € precio del televisor.
2¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su
perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
x base del rectángulo.
y altura del rectángulo.
2x + 2y perímetro.
6 cm base del rectángulo.
2 cm altura del rectángulo.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58
cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
x número de pavos.
y número de cerdos.
32 número de pavos.
26 número de cerdos.
4Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el
doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
x dinero de Antonio.
y dinero de Pedro.
24 dinero de Antonio.
12 dinero de Pedro.
5En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el
16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?
x número de hombres.
y número de mujeres.
hombres con gafas.
mujeres con gafas.
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
25 número de hombres.
35 número de mujeres.
6La cifra de las decenas de un número de dos cifras
es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?
x cifra de las unidades
y cifra de las decenas
10y + x número
10x + y número invertidoy = 2x(10y + x) − 27 = 10x + y10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x20x + x − 12x = 27 x = 3 y = 6
Nùmero 63
7Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado
3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
x precio del 1º.
y precio del 2º.
descuento en el 1º.
descuento en el 2º.
2500 € precio del 1º.
1000 € precio del 2º.
8Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su
cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.
x cifra de las unidades
y cifra de las decenas
10y + x número
10x + y número invertido
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
Nùmero 41
199 / 385
Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.10. Ejercicios de ecuaciones por sustitución
1
2
3
4
5
6
1
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
2
3
4
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
5
6
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
203 / 385
Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.11.Ejercicios de ecuaciones por igualación
Resolver los sistemas de ecuaciones por
igualación
1
2
3
4
5
6
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
1
2
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3
4
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
5
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
6
208 / 385
Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
3.12.Ejercicios de ecuaciones por reducción
Resolver los sistemas de ecuaciones por
reducción
1
2
3
4
5
6
7
209 / 385
Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
1
2
3
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
4
5
6
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7
8
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Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4. Sistemas de ecuaciones.
4.1. Ecuaciones de segundo grado4.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas4.3. Estudio de las soluciones de la ecuacion de segundo grado4.4. Propiedades de las soluciones de la ecuacion de segundo grado4.5. Factorización de un trinomio de segundo grado4.6. Ecuaciones racionales4.7. Ecuaciones bicuadradas4.8. Ecuaciones irracionales4.9. Ecuaciones de grado superior a dos4.10. Sistemas de Ecuaciones con tres incógnitas4.11. Sistemas de Ecuaciones no lineales4.12. Resumen4.13. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado 4.14. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas 4.15. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas 4.16. Ejercicios de ecuaciones racionales 4.17. Ejercicios de ecuaciones irracionales 4.18. Ejercicios de ecuaciones de grado superior a dos 4.19. Ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Método de
Gauss4.20. Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales 4.21. Problemas de ecuaciones de segundo grado
214 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.1. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.
Resolución de ecuaciones de segundo gradoPara resolver ecuaciones de segundo grado util izamos la siguiente
fórmula:
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
4.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletasax2 = 0
La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0Extraemos factor común x:
Igualamos a cero el 1 er factor.
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Una solución siempre es x = 0.La otra solución la obtenemos al resolver la ecuación de
primer grado resultante de igualar a cero el 2º factor.
ax2 + c = 0Despejamos:
4.3. Estudio de las soluciones de la ecuación de segundo grado
ax2 + bx +c = 0
b2 − 4ac se l lama discriminante de la ecuación y permite
averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir
tres casos:
216 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales
distintos.
b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
217 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.4. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
Ecuación de 2º grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos
escribir ésta como:
Siendo:S = x1 + x2
P = x1 · x2
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: 3 y −2.
S = 3 − 2 = 1P = 3 · (−2) = −6x2 − x − 6 = 0
4.5. Factorización de un trinomio de segundo gradoa x2 + bx + c = 0a · (x − x1) · (x − x2) = 0
Este trinomio no se puede factorizar.
218 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.6. Ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.
Resolución de ecuaciones racionalesPara resolver ecuaciones racionales se multiplican
ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Debemos comprobar las soluciones , para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.
Comprobamos la solución:
La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.
La solución es:
219 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.7. Ecuaciones bicuadradas
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:
ax4 + bx2 + c = 0Resolución de ecuaciones bicuadradas
Para resolver ecuaciones bicuadradas , efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:
at2 + bt + c = 0Por cada valor positivo de t habrá dos valores de
x:
El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:
ax6 + bx3 + c = 0ax8 + bx4 + c = 0ax10 + bx5 + c = 0
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.8. Ecuaciones irracionales
Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.
Resolución de ecuaciones irracionales1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros,
pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.3º Se resuelve la ecuación obtenida.4º Se comprueba si las soluciones obtenidas
verifican la ecuación inicial . Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.
1º Aislamos el radical:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3ºResolvemos la ecuación:
4ºComprobamos:
La ecuación tiene por solución x = 2.
La ecuación tiene por solución x = 4.
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.9. Ecuaciones de grado superior a dos
Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado , entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0Utilizamos el teorema del resto y la regla de
Ruffini.P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6Tomamos los divisores del término independiente:
±1, ±2, ±3.Aplicando el teorema del resto sabremos para que
valores la división es exacta.P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 −
1 + 6 = 0Dividimos por Ruffini.
Por ser la división exacta , D = d · c(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0Una raíz es x = 1 .Continuamos realizando las mismas operaciones al
segundo factor.Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría
estar elevado al cuadrado.P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5x − 6≠ 0P(− 1) = 2 · (− 1)3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6=
−2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6) = 0Otra raíz es x = -1 .Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la
ecuación de 2º grado.
Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.10. Sistemas de Ecuaciones con tres incógnitas
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente .
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .
6º Encontrar las soluciones.z = 1− y + 4 ·1 = −2 y = 6x + 6 −1 = 1 x = −4
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.11.Sistemas de Ecuaciones no linealesUn sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos
una de sus ecuaciones no es de primer grado .
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .
y = 7 − x2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en
la otra ecuación.x2 + (7 − x)2 = 253º Se resuelve la ecuación resultante.x2 + 49 − 14x + x2 = 252x2 − 14x + 24 = 0x2 − 7x + 12 = 0
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
x = 3 y = 7 − 3 y = 4x = 4 y = 7 − 4 y = 3
4.12. Resumen
Ecuaciones de 2º gradoUna ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0Extraemos factor común x.Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1 er
grado.x = 0.
ax2 + c = 0Despejamos:
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Estudio de las solucionesax2 +bx +c = 0
b2 − 4ac se llama DISCRIMINANTE de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
b2 − 4ac > 0La ecuación tiene dos soluciones, que son números
reales distintos.b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.Propiedades de las soluciones
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
Ecuación de 2º grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos
escribir ésta como:
Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2
Factorización de un trinomio de segundo gradoa x2 + bx +c = 0a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0
Ecuaciones racionalesLa ecuaciones racionales son ecuaciones en las que
aparecen fracciones polinómicas.Para resolverlas se multiplican ambos miembros de
la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Debemos comprobar las soluciones , para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.
Ecuaciones bicuadradasSon ecuaciones de cuarto grado sin términos de
grado impar:ax4 + bx2 + c = 0
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Para resolverlas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:
at2 + bt + c = 0Por cada valor positivo de t habrá dos valores de
x:
Ecuaciones irracionalesLas ecuaciones irracionales son aquellas que tienen
la incógnita bajo el signo radical.Resolución:
1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.3º Se resuelve la ecuación obtenida.4º Se comprueba si las soluciones obtenidas
verifican la ecuación inicial . Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.
Ecuaciones de grado superior a dosEs una ecuación de cualquier grado escrita de la
forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado , entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Sistemas de ecuacionesSistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Método de GaussEste método consiste en utilizar el método de
reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente .
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x más bajo .
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .6º Encontrar las soluciones.
Sistemas de ecuaciones no linealesUn sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos
una de sus ecuaciones no es de primer grado .La resolución de estos sistemas se suele hacer por el
método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos:
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
3º Se resuelve la ecuación resultante.4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye
en la otra ecuación , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.13.Ejercicios de ecuaciones de segundo grado
Resolver las ecuaciones de segundo grado
1
2
3
4
5
6
7
8x2 + (7 − x)2 = 25
97x2 + 21x − 28 = 0
10−x2 + 4x − 7 = 0
11
126x2 −5x +1 = 0
13
14
15
16
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1
2
3
4
5
229 / 385
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6
7
8
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
9
7x2 + 21x − 28 = 0
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
x2 +3x − 4 = 0
10−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0
11
12
6x2 −5x +1 = 0
231 / 385
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13
14
15
16
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233 / 385
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4.14. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas
Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas
1
2
3
4
5
6 12x2 − 3x = 0
7
8
9
234 / 385
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1
2
3
4
235 / 385
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5
612x2 − 3x = 0
4x2 − x = 0
x · (4x −1) = 0
x = 0
4x − 1 = 0 x = 1/4
7
8
236 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
9
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4.15. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas
Resolver las ecuaciones bicuadradas1x4 − 10x2 + 9 = 0
2
3x4 − 61x2 + 900 = 0
4x4 − 25x2 + 144 = 0
5x4 − 16x2 − 225 = 0
6
1
x4 − 10x2 + 9 = 0
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
2
238 / 385
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3
x4 − 61x2 + 900 = 0
4
x4 − 25x2 + 144 = 0
239 / 385
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5
x4 − 16x2 − 225 = 0
240 / 385
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6
241 / 385
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4.16. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas
Resolver las ecuaciones bicuadradas
1 x4 − 10x2 + 9 = 0
2
3 x4 − 61x2 + 900 = 0
4 x4 − 25x2 + 144 = 0
5 x4 − 16x2 − 225 = 0
6
1
x4 − 10x2 + 9 = 0
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
2
242 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
3
x4 − 61x2 + 900 = 0
243 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4
x4 − 25x2 + 144 = 0
5
x4 − 16x2 − 225 = 0
6
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
245 / 385
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4.17.Ejercicios de ecuaciones racionales
Resolver las ecuaciones racionales
1
2
3
4 Halla un número entero sabiendo que la suma con
su inverso es .
5 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos
horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B.
¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
6 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un
depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20
minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por
separado?
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
1
Comprobamos la solución:
La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se
anulan los denominadores.
2
La solución es:
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
3
4
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso
es .
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
5
Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo
hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda
a cada uno separadamente?
Tiempo de A x
Tiempo de B x+ 3
A
B
A y B
Tiempo de A 3 horas
Tiempo de B 6 horas
6
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito
y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
Tiempo del 1º x
Tiempo de 2º x − 2
1º
2º
Entre los dos
Tiempo del 1º 4 horas
Tiempo de 2º 2 horas
no es una solución, porque el tiempo empleado por el
segundo caño sería negativo.
250 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.18.Ejercicios de ecuaciones irracionales
Resolver las ecuaciones irracionales
1
2
3
4
5
1
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3ºResolvemos la ecuación:
4ºComprobamos:
La ecuación tiene por solución x = 2.
2
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
3
4
252 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
La ecuación tiene por solución x = 4.
5
253 / 385
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4.19. Ejercicios de ecuaciones de grado superior a dos
Resolver las ecuaciones de grado superior a dos
12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
2
3 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
4x3 − x2 − 4 = 0
56x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
6x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0
12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 +
6 = 0
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5x − 6≠ 0
P(− 1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 +
3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6) = 0
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
2
3
2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
255 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
4
x3 − x2 − 4 = 0
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
Raíz: x = 2.
5
6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28
+ 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0
6x2 −5x +1 = 0
6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
6
x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
257 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 =
= 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x2 − 5x +6) = 0
x2 − 5x +6 = 0
(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) = 0
Las soluciones son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
4.20. Ejercicios de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss.
Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con
tres incógnitas. Método de Gauss
1
2
3
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4Un cliente de un supermercado ha pagado un total de
156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de
aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo
que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1
kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de
leche.
5Un videoclub está especializado en películas de tres
tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del
oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste
más del 60% de las de terror al representan la mitad del
total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
6Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con
centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias,
tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los
radios de las circunferencias.
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
1
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el
coeficiente en x más bajo .
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para
eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos
como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación ,
para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
260 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas, para
hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
2
261 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
3
262 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 €
por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de
oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de
aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón
cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
leche x
jamón y
aceite z
leche 1 €
jamón 16 €
aceite 3 €
5
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos:
infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del
oeste representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del
60% de las de terror al representan la mitad del total de las
películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
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Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
infantiles x
oeste y
terror z
Sustituimos el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y
multiplicamos la última obtenida por 3.
infantiles 500 películas
oeste 600 películas
terror 900 películas
6
Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro
en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí
dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las
circunferencias.
265 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
266 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.21. Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales
Ejercicios y problemas de sistemas no lineales
1
2
3
4
5
6El producto de dos números es 4, y la suma de sus
cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
7Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados
al cuadrado sumen 1184
8 El producto de dos números es 4, y la suma de sus
cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
1
y = 7 − x
x2 + (7 − x)2 = 25
267 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
2
3
268 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4
5
269 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
6
El producto de dos números es 4, y la suma de sus
cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
270 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
7
Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al
cuadrado sumen 1184.
8
El producto de dos números es 4, y la suma de sus
cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
271 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
272 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
4.22. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado
Problemas de ecuaciones de segundo grado
1 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones
son: 3 y −2.
2 Factorizar:
3 Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación
x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
4 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla
dichos números.
5 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del
cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de
Pedro.
6 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han
utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
7 Los tres lados de un triángulo rectángulo son
proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada
lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
8 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de
ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la
anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
9 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal
mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos
lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
273 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
10 Halla un número entero sabiendo que la suma con su
inverso es .
11 Dos números naturales se diferencian en dos unidades y
la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
12 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas,
A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas
tarda a cada uno separadamente?
13 Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas
en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores
de dichos lados.
14 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con
ella se construye una caja de 840 cm 3cortando un cuadrado de 6
cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las
dimensiones de la caja.
15 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un
depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20
minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
274 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
1Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:
3 y −2.
S= 3 − 2 = 1
P = 3 · 2 = 6
x2 − x + 6 = 0
2
Factorizar:
3
Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x 2 −
kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
k2 − 4 · 36 = 0 k2 = 144
4
275 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla
dichos números.
x2 − Sx + P = 0
5
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del
cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de
Pedro.
Edad actual x
Edad hace 13 años x − 13
Edad dentro de 11 años x + 11
Edad actual 21
6
Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado
110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
276 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Semiperímetro 55
Base x
Altura 55 − x
x · (55 − x) = 750
x2 − 55x + 750 = 0
x = 25 x = 30
Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .
7
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a
los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que
el área del triángulo es 24 m².
1er lado (base) 3x
277 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
2º lado (altura) 4x
3er lado 5x
1er lado 6 m
2º lado 8 m
3er lado 10 m
8
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho
está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de
dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540
4x2 + 168x − 540 = 0 x 2 + 42x − 135 = 0
x = 3 y x = −45
La anchura del camino es 3 m .
9
278 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide
75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados
miden 36 m y 48 m respectivamente.
Base 48x : 12 = 4x
Altura 36x : 12 = 3x
(4x)2 + (3x)2 = 752
25x2 = 5625
x2 = 225 x = 15
Base 4 · 15 = 60 m
Altura 3 · 15 = 45 m
10
Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso
es .
279 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
11
Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la
suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
1er número x
2º número x + 2
1er número 16
2º número 18
12
Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo
hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda
a cada uno separadamente?
Tiempo de A x
Tiempo de B x+ 3
280 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
A
B
A y B
Tiempo de A 3 horas
Tiempo de B 6 horas
13
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en
centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de
dichos lados.
281 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
1ercateto 2x
2º cateto 2x + 2
Hipotenusa 2x + 4
(2x)2 + (2x + 2)2 = (2x + 4)2
4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 4x2 + 16x + 16
4x2 − 8x − 12 = 0 x 2 − 2x − 3 = 0
x = 3 y x= −1
1ercateto 6 cm
2º cateto 8 cm
Hipotenusa 10 cm
14
Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella
se construye una caja de 840 cm 3 cortando un cuadrado de 6 cm
de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las
dimensiones de la caja.
6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840 (x − 12) · (x −8)
= 140
x2 − 20x − 44 = 0 x = 22 y x= −2
282 / 385
Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones
Las dimensiones son: 26 cm y 22 cm.
15
Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito
y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
Tiempo del 1º x
Tiempo de 2º x − 2
1º
2º
Entre los dos
Tiempo del 1º 4 horas
Tiempo de 2º 2 horas
no es una solución, porque el tiempo empleado por el
segundo caño sería negativo.
283 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5. Ecuaciones exponenciales y logaritmicas.
5.1. Ecuaciones exponenciales5.2. Sistemas de ecuaciones exponenciales5.3. Logaritmos5.4. Propiedades de los logaritmos5.5. Ecuaciones logaritmicas5.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas5.7. Ejercicios de logaritmos5.8. Ejercicios de ecuaciones y sistemas5.9. Ejercicios de ecuaciones exponenciales5.10. Ejercicios de ecuaciones logarítmicas5.11. Ejercicios de sistemas de ecuaciones exponenciales5.12. Ejercicios de sistemas de ecuaciones logarítmicas
5.1. Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencialUna ecuación exponencial es aquella ecuación en la
que la incógnita aparece en el exponente.Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener
en cuenta:
1
23 Las propiedades de las potencias .a0 = 1 ·a1 = a
am · a n = am+n
am : a n = am - n
(am)n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
Resolver las ecuaciones exponenciales:
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Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.
285 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.2. Sistema de ecuaciones exponenciales
Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las incógnitas aparecen en los exponentes.
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales
1. Igualar los esponentes si los dos miembros tienen potencias con la misma base.
Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales:
2. Realizar un cambio de variable .Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales:
286 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.3. Logaritmos
Definición de logaritmoEl logaritmo de un número, en una base dada, es el
exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.
Calcular por la definición de logaritmo el valor de y
Logaritmos decimalesLos logaritmos decimales son los que tienen base 10. Se
representan por log (x).Logaritmos neperianos o logaritmos naturalesLos logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los
que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
287 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.4. Propiedades de los Logaritmos
Definición de logaritmo
De la definición de logaritmo podemos deducir:No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
5Cambio de base:
5.5. Propiedades de los Logaritmos
288 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:
1 Las propiedades de los logaritmos.
2
3 4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar
que no tenemos logaritmos nulos o negativos.
Resolver las ecuaciones logarítmicas
1
2
3
4
289 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
290 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.6. Sistemas de ecuaciones logarítimicas
Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a como lo hicimos con lasecuaciones logarítmicas.
Resolver el sistema ecuaciones logarítmicas:
Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.
Resolver el sistema ecuaciones logarítmicas:
291 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.7. Ejercicios de logaritmos
Ejercicios de logaritmos
1Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
1
2
3
4
5
2Calcula el valor de x aplicando la definición de logarítmo .
1
2
3
4
5
6
7
292 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
3Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los
siguientes logaritmos decimales.
1
2
3
4
4Calcular los logaritmos de de las expresiones que se
indican:
1
2
3
5Calcula mediante logaritmos el valor de x.
1
2
3
293 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.8. Ejercicios de ecuaciones y sistemas
Ejercicios de ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1 Resolver las ecuaciones exponenciales:
1
2
3
4
5
6
7
2 Efectuar las ecuaciones exponenciales:
1
2
3
4
5
3 Resolver los sistemas de ecuaciones exponenciales:
294 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1
2
3
4 Resolver las ecuaciones logarítmicas:
1
2
3
4
5
6
5 Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas:
1
2
295 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
3
4
296 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1
Resolver las ecuaciones exponenciales :
1
2
3
4
5
297 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
6
7
298 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
2
Efectuar las ecuaciones exponenciales
1
2
3
4
299 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5
300 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
3
Resolver los sistemas ecuaciones exponenciales:
1
2
3
301 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
4
Resolver las ecuaciones logarítmicas:
1
2
3
302 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
4
5
6
303 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
304 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5
Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas:
1
2
305 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
3
4
306 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.9. Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Resolver las ecuaciones exponenciales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
307 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
17
18
19
1
2
3
4
308 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5
6
7
8
309 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
9
10
11
310 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
12
12
311 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
14
15
16
312 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
17
18
19
313 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
314 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.10.Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Resolver las ecuaciones logarítmicas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
315 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
10
1
2
3
316 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
4
5
317 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
6
7
318 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
8
9
319 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
10
320 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.11.Ejercicios de ecuaciones exponenciales
1
2
3
4
5
1
2
321 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
3
4
322 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5
323 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
324 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5.12.Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas
1
2
3
4
5
6
1
325 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
2
326 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
3
4
327 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
5
6
328 / 385
Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
329 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6. Ecuaciones exponenciales y logaritmicas.
6.1. Inecuaciones de primer grado6.2. Inecuaciones equivalentes6.3. Inecuaciones de primer grado6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas6.5. Inecuaciones de 2º grado6.6. Sistemas de inecuaciones con una incógnita6.7. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas6.8. Resumen6.9. Ejercicios 1 - Inecuaciones6.10. Ejercicios 2 - Inecuaciones6.11. Ejercicios de Inecuaciones de primer grado6.12. Ejercicios de Inecuaciones de segundo grado
330 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.1. Inecuaciones de primer grado
Resolución de inecuaciones de primer grado
Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Quitar corchetes.
2º Quitar paréntesis.
3º Quitar denominadores.
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y
los términos independientes en el otro.
5º Efectuar las operaciones
331 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6º Como el coeficiente de la x es negativo multipl icamos
por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
7º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero
ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica:
Como un intervalo:
[3, +∞)
332 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.2. Inecuaciones equivalentes
Criterios de equivalencia de inecuaciones
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma
o se les resta un mismo número , la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les
multiplica o divide por un mismo número positivo , la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les
multiplica o divide por un mismo número negativo , la
inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la
dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5
333 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.3. Inecuaciones de primer grado
Resolución de inecuaciones de primer grado
Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Quitar corchetes.
2º Quitar paréntesis.
3º Quitar denominadores.
4º Agrupar los términos en x a un lado de la
desigualdad y los términos independientes en el otro.
5º Efectuar las operaciones
334 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6º Como el coeficiente de la x es negativo
multiplicamos por −1, por lo que cambiará el
sentido de la desigualdad.
7º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una
desigualdad, pero ésta también podemos
expresarla:
De forma gráfica:
Como un intervalo:
[3, +∞)
335 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de
representar la ecuación resultante , que se obtiene al
transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo
que obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una
recta.
336 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0),
los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es
el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución
será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
337 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
2x + y > 3
2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la
recta no pertenecen a la solución.
338 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.5. Inecuaciones de 2º grado
Consideremos la inecuación:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y
obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos
un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada
intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
339 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) (4, ∞)
x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo
la solución es
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
340 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio
cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la
solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo
similar a las de segundo grado , pero hay que tener presente
que el denominador no puede ser cero .
1º Hallamos las raíces del numerador y del
denominador.
341 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
x − 2 = 0 x = 2
x − 4 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta real,
teniendo en cuenta que las raíces del denominador,
independientemente del signo de la desigualdad, tienen
que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el
signo en cada intervalo:
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción
polinómica .
S = (-∞, 2] (4, ∞)
342 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común
denominador.
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0 x = 7
x − 2 = 0 x = 2
Evaluamos el signo:
S = (-∞, 2) (7, ∞)
343 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.6. Sistemas de Inecuaciones con una incógnita
Resolución de sistemas de inecuaciones con una
incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el
conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos
soluciones de ambas inecuaciones.
[−1, 3]
344 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
(3, ∞)
No tiene solución.
345 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.7. Sistemas de Inecuaciones con dos incógnitas
La solución a este sistema es la intersección de las
regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.
1º Representamos la región solución de la primera
inecuación.
Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de las dos variables dos valores, con lo
que obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
Al representar y unir estos puntosobtenemos una recta.
346 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos
en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano
donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro
semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
347 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
2º Representamos la región solución de la segunda
inecuación.
x + y = 1
x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)
x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1 No
348 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
3º La solución es la intersección de las regiones
soluciones.
349 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
350 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.8. Resumen
Una inecuación es una desigualdad algebraicaen la que sus
dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
< menor que 2x − 1 < 7
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se
les resta un mismo número, la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multipl ica
o divide por un mismo número positivo , la inecuación resultante
es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una inecuación se les multipl ica
o divide por un mismo número negativo , la inecuación
resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
Resolución de inecuaciones de primer grado
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y
los términos independientes en el otro.
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Algebra – 6.- Inecuaciones
4º Efectuar las operaciones
5º Como el coeficiente de la x es negativo multipl icamos
por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta
también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo
Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el
conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos
soluciones de ambas inecuaciones.
Inecuaciones de segundo grado
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y
obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos
un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada
intervalo:
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
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Algebra – 6.- Inecuaciones
Si el discriminante es igual a cero:
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio
cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la
solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0
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Algebra – 6.- Inecuaciones
Inecuaciones racionales
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado,
pero hay que tener presente que el denominador no puede ser
cero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo
en cuenta que las raíces del denominador, independientemente
del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el
signo en cada intervalo:
4ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción
polinómica.
Sistemas de inecuaciones
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Su solución es uno de los semiplanos que resulta de
representar la ecuación resultante , que se obtiene al
transformar la desigualdad en una igualdad.
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo
que obtenemos dos puntos.
3º Al representar y unir estos puntosobtenemos una recta.
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Algebra – 6.- Inecuaciones
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0),
los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es
el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución
será el otro semiplano.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
La solución a este sistema es la intersección de las
regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.
1º Representamos la región solución de la primera
inecuación.
2º Representamos la región solución de la segunda
inecuación.
3º La solución es la intersección de las regiones
soluciones.
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Algebra – 6.- Inecuaciones
6.9. Ejercicios 1 - Inecuaciones
Inecuaciones. Ejercicios
1 Resolver las siguientes inecuaciones
1
2
3
2 Resuelve el sistema:
3 Resolver las inecuaciones:
1 7x2 + 21x − 28 < 0
2 −x2 + 4x − 7 < 0
3
4 Resuelve:
1
2x4 − 25x2 + 144 < 0
3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0
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Algebra – 6.- Inecuaciones
5 Resolver las inecuaciones:
1
2
1
Resolver las siguientes inecuaciones
1
(1, ∞)
2
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Algebra – 6.- Inecuaciones
3
2
Resuelve el sistema:
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Algebra – 6.- Inecuaciones
(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)
10x + 10 + x ≤ 12 x + 6
10 x + x - 12x ≤ 6 - 10
−x ≤ − 4 x ≥ 4
[4, 7)
3
Resolver las inecuaciones:
1 7x2 + 21x − 28 < 0
x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
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Algebra – 6.- Inecuaciones
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
(−4, 1)
2 −x2 + 4x − 7 < 0
x2 − 4x + 7 = 0
P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0
S =
3
360 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0
P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0
P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
(-∞ , −2 ] [2, +∞)
4
Resuelve:
1
Como el primer factor es siempre positivo, sólo
tendremos que estudiar el signo del 2º factor.
P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0
P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0
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Algebra – 6.- Inecuaciones
P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0
(-∞, −16] [4, ∞)
2x4 − 25x2 + 144 < 0
x4 − 25x2 + 144 = 0
(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .
3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0
362 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
x4 − 16x2 − 225 = 0
(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0
El segundo factor siempre es positivo y distinto de
cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1 erfactor.
(x2 − 25) ≥ 0
(-∞, −5] [5, +∞)
5
Resolver las inecuaciones:
1
363 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo,
pero al tener delante el signo menos. resultará que el
demnominador será siempre negativo.
Multiplicando por −1:
(−-∞ , −1] (1, +∞)
2
364 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
[−2 , −1] (1, 2)
365 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.10. Ejercicios 2 - Inecuaciones
Ejercicios de inecuaciones
1 Resolver la inecuación:
2Resuelve:
4x2 − 4x + 1 ≤ 0
3 Resuelve:
4Halla los valores de k para los que las raíces de la
ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.
6 Resolver los sistemas:
1
2
3
366 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
1
Resolver la inecuación:
2
Resuelve:
4x2 − 4x + 1 ≤ 0
4x2 − 4x + 1 = 0
367 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
3
Resuelve:
El numerador siempre es positivo.
El denominador no se puede anular.
Por lo que la inecuación original será equivalente a:
x2 − 4 > 0
(−-∞ , −2) (2, +∞)
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Algebra – 6.- Inecuaciones
4
Halla los valores de k para los que las raíces de la
ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.
(−6)2 − 4k > 0
36 − 4k > 0 − 4k > − 36 k < 9
(−∞, 9)
5
Resolver los sistemas:
1
x = 4
y = 2
369 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
2
x + y = 0 (0, 0) (1, -1)
2 + 2 ≥ 0
2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)
2 ·2 − 2 ≥ 0
370 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
3
x + y = 0 (0, 0) (1, -1)
2 + 2 ≥ 0
2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)
2 ·2 − 2 ≥ 0
2 ≤ 6
371 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
372 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.11. Ejercicios de Inecuaciones de primer grado
Resolver las inecuaciones de primer grado
1
2
3
4
5
6 Halla los valores de k para los que las raíces de la
ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.
1
(1, ∞)
373 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
2
3
374 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
4
5
375 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
[3, +∞)
6
Halla los valores de k para los que las raíces de la
ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.
(−6)2 − 4k > 0
36 − 4k > 0 − 4k > − 36 k < 9
(−∞, 9)
7
376 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
2x + y ≤ 3
2x + y = 3
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
377 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
8
2x + y > 3
2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No
En este caso los puntos de la recta no pertenecen a la
solución.
378 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
6.12. Ejercicios de Inecuaciones de segundo grado
Resolver las inecuaciones de segundo grado
1 x2 − 6x + 8 > 0
2 x2 + 2x +1 ≥ 0
3 x2 + x +1 > 0
4 7x2 + 21x − 28 < 0
5 −x2 + 4x − 7 < 0
6
7 4x2 − 4x + 1 ≤ 0
8
9 x4 − 25x2 − 144 < 0
10 x4 − 16x2 − 225 ≥ 0
1
x2 − 6x + 8 > 0
x2 − 6x + 8 = 0
379 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
S = (-∞, 2) (4, ∞)
2
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que
cero.
S =
3
x2 + x +1 > 0
380 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
x2 + x +1 = 0
P(0) = 0 + 0 + 1 > 0
El signo obtenido coincide con el de la
desigualdad, la solución es .
4
7x2 + 21x − 28 < 0
x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
(−4, 1)
5
381 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
−x2 + 4x − 7 < 0
x2 − 4x + 7 = 0
P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0
S =
6
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0
P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0
P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
(-∞ , −2] [2, +∞)
7
382 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
4x2 − 4x + 1 ≤ 0
4x2 − 4x + 1 = 0
8
Como el primer factor es siempre positivo, sólo
tendremos que estudiar el signo del 2º factor.
P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0
P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0
P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0
383 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
(-∞, −16] [4, ∞)
9
x4 − 25x2 − 144 < 0
x4 − 25x2 − 144 = 0
(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .
10
x4 − 16x2 − 225 ≥ 0
384 / 385
Algebra – 6.- Inecuaciones
x4 − 16x2 − 225 = 0
(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0
El segundo factor siempre es positivo y distinto de
cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1 er factor.
(x2 − 25) ≥ 0
(-∞, −5] [5, +∞)
385 / 385