03 bulova algebra
DESCRIPTION
Buleva algebra, racunarstvo, informatika BRE.TRANSCRIPT
-
UVOD U RAUNARSTVO- Bulova algebra -
Katedra za raunarstvo, Elektronski fakultet, Univerzitet u Niu
-
Bulova algebra
Neka su u skupu B={a,b,c,} definisane sledee operacije:
Unarna operacija (komplement) iBinarne operacije + i
Tako da:
Bulova algebraUvod u raunarstvo 2
( )( )( )( )( )( )( )( ) BbaBbBaba
BbaBbBabaBaBaa
+
,
,
-
Bulova algebra
Skup B sa operacijama , + i predsavlja Bulovu algebru ako operacije zadovoljavaju aksiome Bulove algebre.
Bulova algebraUvod u raunarstvo 3
-
Aksiome Bulove algebre
1. Obe binarne operacije su asocijativne:
cbacbacbacba
=
++=++
)()()()(
2. Obe binarne operacije su komutativne:
Bulova algebraUvod u raunarstvo 4
abbaabba
=
+=+
-
Aksiome Bulove algebre
3. U skupu B postoje neutralni elemenati za sabiranje (0) i mnoenje (1):
aaa
aaa
==
=+=+
1100
4. Zakon komplementarnosti:
Bulova algebraUvod u raunarstvo 5
aaa == 11
01
=
=+
aa
aa
-
Aksiome Bulove algebre
5. Obe binarne operacije su distributivne jedna u odnosu na drugu:
)()()()()()(cabacba
cabacba++=+
+=+
Bulova algebraUvod u raunarstvo 6
)()()( cabacba ++=+
-
Teoreme Bulove algebre
Teoreme Bulove algebre su Bulove jednakosti koje se mogu dokazati korienjem aksioma.
Bulova algebraUvod u raunarstvo 7
-
Teoreme Bulove algebre
1. Dvostruka negacija:
2. Zakon idempotencije
aa =
2. Zakon idempotencije
Bulova algebraUvod u raunarstvo 8
aaa
aaa
=
=+
-
Teoreme Bulove algebre
3. U skupu B postoje nulti elementi za obe operacije (1 za operaciju +, 0 za operaciju )
0011
=
=+
a
a
4. Pravila saimanja
Bulova algebraUvod u raunarstvo 9
00 =a
ababaababa
=++
=+
)()(
-
Teoreme Bulove algebre
5. Pravila apsorpcije
abaaabaa=+
=+
)(
6. De Morganova pravila
Bulova algebraUvod u raunarstvo 10
babababa
+=
=+
-
Princip dualnosti
Ako se Bulovom izrazu izvri uzajamna zamena operacija + i i konstanti 0 i 1, a simboli promenljivih i simbol negacije ostanu nepromenjeni, bobie se dualni Bulov izraz.Princip dualnosti: Ukoliko se dokae da je neki Princip dualnosti: Ukoliko se dokae da je neki Bulov izraz istinit, istinit je i njemu dualan izraz.Posledica: Iz svakog para datih teorema dovoljno je dokazati samo jednu. (Druga je uvek dualna prvoj).
Bulova algebraUvod u raunarstvo 11
-
Dokazi teorema Bulove algebre
1.Ako se u aksiomi
Primenom zakona komutativnosti dobijamo:
aa =
01
=
=+
aa
aa
1=+ aa
stavi umesto :odakle je:
Bulova algebraUvod u raunarstvo 12
0=aaa a
0
1
=
=+
aa
aa
0
1
=
=+
aa
aa
aa =
-
Dokazi teorema Bulove algebre
6.Dokaimo najpre:
baba =+
1=++ baba)()( =++++=++ bbaabababa
Odavde sledi da je:
Bulova algebraUvod u raunarstvo 13
111)1()1()()()()(
==++=++++
=++++=++
abbbaaabbbaabababa
baba +=
-
Prekidaka algebra
Prekidaka algebra je Bulova algebra na skupu od 2 elementa ( ), pri emu su operacije , + i definisane na sledei nain:
}1,0{=B
0 1 + 0 1 0 1
Ovako definisane operacije su, u stvari, logike NE (), ILI () i I () operacije.
Bulova algebraUvod u raunarstvo 14
0 1
1 0
+ 0 1
0 0 11 1 1
0 1
0 0 01 0 1