03 la naturaleza dual de la materia

5/10/2018 03 La naturaleza dual de la materia - slidepdf.com

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La naturaleza dual de la materia.

Los electrones y todas las partículas que forman parte delmicrocosmos tienen un comportamiento dual.

Se comportan como ondas y como corpúsculos.

Orígenes:

• Newton consideraba que la luz estaba compuesta decorpúsculos que viajaban muy rápidamente.

• Thomas Young, a principios del siglo XIX, demostró la

naturaleza ondulatoria de la luz.• Maxwell lo confirma con su teoría electromagnética y

Hertz lo verifica con experimentos en 1889.

• En 1905, Einstein propone la cuantificación de la luz (loscuantos de luz).

• En 1923, Compton hace una demostración experimentalrespecto al carácter corpuscular de los fotones, cuyacantidad de movimiento resultó ser la prevista por la

teoría,

λ h p f =



La relación general entre a y λ es

2

λ n a = ; n= 1, 2, 3,…

Donde n es un número cuántico. Si igualamos esta relacióncon la relación de De Broglie, tenemos:

,...3,2,1;2

= n a

nh p

Entonces la energía cinética es:

,...3,2,1;82 2

222

= n ma

h n

m

p E c

La ecuación para la energía cuantizada.

La confirmación experimental de la hipótesis de las ondaspiloto asociado a las partículas se presentó cuando un haz deelectrones se difractó cuando incidió sobre un cristal deNíquel. Este experimento es conocido como experimento deDavisson-Germer.



Patrón de difracción electrónica para una muestra de cloruro

de teluro.



La ecuación del movimiento ondulatorio.

La relación general entre frecuencia y longitud de onda es:

λν c Para la propagación del campo eléctrico, ε , así pues la

relación que indica el cambio sinusoidal de la magnitud ε respecto a la posición x y al tiempo, t, cambian:

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛− t

x Asen t x ν

λ

π2),(

Para cualquier otra onda cuya velocidad de propagación seav , y además la perturbación no se propaga en un campo

eléctrico, sino cualquier magnitud, φ, como es la amplitud deoscilación de una onda sinusoidal en una cuerda.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− t

x Asen t x ν

λπ2),(

Esta función representa una onda sinusoidal de frecuencia ν y

longitud de onda λ. Sin embargo, las funciones que dan unverdadero significado físico son las derivadas. Y para estarelación existe una relación simple entre sus derivadas,conocida como ecuación general de onda. La cual dependede la posición y del tiempo, pero incluye a la longitud de onday a la frecuencia.

2

2

222

21

t x ∂

∂=

∂

∂ φ

ν

φ

Si a esta ecuación sutituimos λ2ν

2 por v, obtenemos



2

2

22

21

t x ∂

∂=

∂

∂ φ

υ

φ(a)

De acuerdo con De Broglie, la onda asociada al movimientode una partícula confinada debe ser una onda estacionaria,para que no interfiriera consigo misma.

La ecuación de onda estacionaria que representa a la figuraanterior es:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎠

⎞⎜⎝

⎛− t

x Asen t

x Asen t xest ν

λπ

λπ 22),(



vt x

Asen t xest πλ

πφ 2cos

22),( =

λ

π

x Asen x

22)( = función de la posición

vt x t xest π2cos)(),( Ψ

Esta es la función para toda onda estacionaria.

¿Cuáles son las condiciones bajo las cuales φest(x,t) es unaonda?

Primero debe cumplir con la ecuación (a) es decir, debemos

determinar las segundas derivadas y sustituirlas en laecuación general de onda. Del procedimiento se obtiene:

)(2)(

2

2

2

x dx

x d Ψ

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

λ

π



Principio de Incertidumbre

Si la función de onda es , entonces la partícula

describirá un estado definido de momento lineal, la cual es la

verdadera trayectoria con momento lineal p

ikx Ae

x=k ħ.

Sin embargo, es completamente imposible predecir cuál es la

posición de la partícula. Es decir, si el momentun es

especificado con precisión, entonces será imposible predecir

la localización de la partícula. A este hecho se le conoce

como principio de incertidumbre de Heisenberg.

“Es imposible especificar simultáneamente, con una precisión

arbitraria, tanto el momentum como la posición de una

partícula”

Esto significa que si conocemos la posición de una partícula

de forma exacta, entonces no podremos decir nada de su

movimiento.

}{

}{ 2 / 122

2 / 122

2

1

x x x

p p p

x p

−=∆

−=∆

≥∆∆ h



Si se tiene una completa certidumbre sobre la posición de la

partícula (∆x=0), la única solución para la ecuación será

∆p=∞, lo que implica la incertidumbre sobre el momentum.

Nunca ambas desviaciones estándar pueden ser cero

Desde una perspectiva clásica la cantidad de movimiento

(momentum) p es mv, por lo que la ecuación en términos

macroscópicos puede escribirse como:

2

h≥∆••∆ vm x

Problema: Determina la posición de incertidumbre, ∆ x , en lossiguientes casos:

a. Un coche de carreras de 1000Kg viaja a 100 m/s, y se

sabe que v está dentro de 1m/s.b. Un electrón viaja a 2.00 x 106 m/s con una incertidumbre

en la velocidad de 1% del valor verdadero.



LA ECUACIÓN DE SCHROEDINGER.LA TEORÍA CUÁNTICA MODERNA

Erwin Schröedinger (1887-1961) utilizó la idea de las ondas

piloto de De Broglie junto con la ecuación para el movimiento

ondulatorio.

Estableció lo que llamó la Mecánica ondulatoria (1926),

trabajo que apareció casi simultáneamente que el de Werner

Heisenberg el cual se denominaba “sobre mecánica cuántica”

en donde utilizaban matrices para resolver los sistemas.

Schröedinger demostró que estos trabajos, aparentemente

distintos, eran en el fondo exactamente lo mismo.

Para partículas limitadas en cierta área, la onda asociada a

su movimiento debe ser estacionaria.

Su amplitud debe venir dada por:

vt x t xest π2cos)(),( Ψ

Y debe satisfacer la ecuación general de onda

)(2)(

2

2

2

x dx

x d Ψ

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

λ

π



)(2)(

2

2

2

x h

p

dx

x d Ψ

⎠

⎞⎜

⎝

⎛−

π

π2

h=h

Ψ2

2

2

2

h

p

dx

d

Reescribiendo en términos de la energía quedaría:

Ψ− E

V

dx

d

m 2

2

2

h

Ecuación de Scröedinger unidimensional, independiente del

tiempo, para una partícula.

¿Qué tiene de particular el hecho de que la ecuación de

Schröedinger sea una ecuación diferencial?

Que lo que intenta resolver es la(s) función(es) Ψ(x) que

satisface(n) la ecuación.



Ejercicio 1. Obtener la solución de la ecuación

4)(=

dx

x d

Ejercicio 2.

Obtener la solución de la ecuación

)(

2)(2

2

2

x dx

x d

Ψ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

− λ

π

La solución general de esta ecuación es

λ

π

λ

π x B

x Asen x

2cos

2)( +

Por lo tanto se presentan también un número infinito de

soluciones, por los valores arbitrarios de A y B.



De estos dos ejemplos, es claro que la solución de la

ecuación de Schröedinger ha de ser una función, o más bien,

un conjunto de funciones Ψ(x) que satisfacen:

Ψ− EV dx

d

m 2

2

2

h

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