03 sau funkcija prenosa
TRANSCRIPT
![Page 1: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Funkcija prenosaFunkcija prenosa
•Funkcija prenosa linearnog sistema•Strukturni blok dijagram i algebra funkcije prenosa•Graf toka signala •Analiza sistema automatskog upravljanja primenom računara
![Page 2: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Definicija funkcije prenosa linearnog Definicija funkcije prenosa linearnog sistemasistema
• Posmatra se sistem:– Linearan– Kontinualan– Stacionaran– Sa koncentrisanim parametrima– Jedan ulaz i jedan izlaz
y(t)Gu(t)
![Page 3: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Definicija:
Funkcija prenosa sistema se definiše kao odnos Laplasove transformacije izlazne (y(t)) i ulazne (u(t)) veličine, uz pretpostavku da su svi početni uslovi nulti i da je u(t)=y(t)≡0 ∀t<0.
y(t)Gu(t)
![Page 4: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/4.jpg)
4
DJ koja opisuje linearan sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom u opštem slučaju
dnydtn
+ an-1dn-1ydtn-1 +...+ a2
d2ydt2
+ a1d1ydt1
+ a0y = bmdmudtm
+ bm-1dm-1udtm-1 +...+ b1
d1udt1
+ b0u
Nakon primene LT
snY + an-1sn-1Y +...+ a2s2Y + a1sY + a0Y = bmsmU + bm-1sm-1U +...+ b1sU + b0U
Y(s)U(s) = G(s) =
bmsm + bm-1sm-1 +...+ b1s + b0sn + an-1sn-1 +...+ a2s2 + a1s + a0
![Page 5: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Napomene i ograničenjaNapomene i ograničenja
• Važi samo za linearne stacionarne sisteme;
• Kod nestacionarnih sistema nije moguća primena LT;
• FP uzima u obzir samo zavisnost ulaz-izlaz i ne
pruža informaciju o unutrašnjoj strukturi sistema;
• Važi samo za nulte početne uslove.
![Page 6: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Primer:Primer:
Na slici je šematski prikazan jednosmerni motor sa nezavisnom pobudom, upravljan strujom rotora.
Odrediti funkciju prenosa koja opisuje zavisnost položaja rotora (θ) od napona rotora (ua).
Pretpostaviti da se radi o opsegu brzina do nominalne (ω≤ωn) i da je fluks u mašini Ψf=const. (pobudnia struja if=If=const).
![Page 7: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Rf
Lf
Ra
La
ia
if
ufua
ω,θ
ua = Raia + Ladiadt + Ψfω
Tm = Jdωdt + bω + TL
Tm = Ψfia
ω = dθdt
⇒; TL=0
Ua(s) = RaIa(s)+LasIa(s)+Ψfω(s)
Tm(s) = Jsω(s) + bω(s)
Tm(s) = ΨfIa(s)
ω(s) = sθ(s)
![Page 8: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Ua(s) = RaIa(s) + LasIa(s) + Ψfsθ(s)
ΨfIa(s) = Js2θ (s) + bsθ(s)
ΨfUa(s) = s⎣⎡
⎦⎤RaJs + Rab + LaJs2 + Labs + Ψf
2 θ(s)
G(s) = θ(s)
Ua(s) = Ψf
s⎣⎡
⎦⎤LaJs2 + Labs + RaJs + Rab + Ψf
2
G(s) = θ(s)
Ua(s) = Ψf
s⎣⎡
⎦⎤( )Las + Ra ⋅( )Js + b + Ψf
2
![Page 9: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/9.jpg)
9
G(s) = θ(s)
Ua(s) = Ψf
s⎣⎡
⎦⎤Ra⋅( )Js + b + Ψf
2
G(s) = θ(s)
Ua(s) =
ΨfRab+Ψf
2
s⎣⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎤RaJ
Rab+Ψf2s + 1
La≈0
K = Ψf
Rab+Ψf2 T =
RaJ
Rab+Ψf2
G(s) = θ(s)
Ua(s) = K
s[ ]Ts + 1
G(s) = ω(s)
Ua(s) = K
Ts + 1 ω(s) = sθ(s)
kraj primera
![Page 10: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Algebra funkcije prenosaAlgebra funkcije prenosa
• Blok dijagram
Y(s)G(s)U(s)
Y(s) = G(s)U(s)
y(t) = L-1{G(s)U(s)}
y(t) = g(t)u(t)NE!!!
![Page 11: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Strukturni blok dijagram - grafički način predstavljanja matematičkog modela SAU
G1 G2
H1
U(s) Y(s)G3 G4
H2
H3
+ + +
+-
-
•Blokovi•Grane•Diskriminatori (sabirači)•Čvorovi
![Page 12: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Formiranje funkcije prenosa na osnovu strukturnog blok dijagrama - algebra funkcije prenosaalgebra funkcije prenosa
PRAVILO: Isti odnos ulaz-izlaz pre i posle transformacije!
G1 G2 Gn...U(s) Y(s)
G1G2...GnY(s)U(s)
G1
G2 ±
Gn
...
±
±
...
U(s) Y(s)±G1±G2±...±Gn
Y(s)U(s)
H
G±
U(s) Y(s)
GH1Gm
Y(s)U(s)
![Page 13: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/13.jpg)
13
H±
U1(s) Y(s)G1 G2
U2(s)
+HG1
±
+ G2H
U2(s)
Y(s)U1(s)
H±
U1(s) Y(s)G1 G2
U2(s)
+
1GH
G1G2
±
+
U2(s)
Y(s)U1(s)
H±
U1(s) Y(s)G1 G2
U2(s)
+ G1G2
±
+
U2(s)
Y(s)U1(s)
G2H
![Page 14: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/14.jpg)
14
H
Y1(s)U(s)G1 G2
Y2(s)
G1H
Y2(s)
U(s) Y1(s)H
G2
2GH
G1G2U(s) Y1(s)
Y2(s)H
Y1(s)U(s)G1 G2
Y2(s)
H
Y1(s)U(s)G1 G2
Y2(s)G1H
G1G2Y1(s)
Y2(s)
U(s)
![Page 15: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/15.jpg)
15
funkcija spregnutog prenosafunkcija spregnutog prenosa(funkcija prenosa zatvorenog kola)
H
G±
U(s) Y(s)
Ws(s) = G(s)
1mGH(s)
⇓ funkcija povratnog prenosafunkcija povratnog prenosa(funkcija prenosa otvorenog kola)
H
GU(s) Y(s)
W(s) = GH(s)
jedinična povratna spregajedinična povratna sprega
Ws(s) = G(s)
1mG(s)
W(s) = G(s)
H(s)=1
![Page 16: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Ws(s) = G(s)
1mGH(s)
Imenilac funkcije spregnutog prenosa sistema se naziva KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA
![Page 17: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/17.jpg)
17
PrimerPrimerPrimenom algebre funkcije prenosa odrediti funkciju
prenosa sistema sa slike. G(s) = Y(s)U(s)
G1 G2
H1
U(s) Y(s)G3 G4
H2
H3
+ + +
+-
-
![Page 18: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/18.jpg)
18
4
2GH
G1 G2U(s) Y(s)
H3
+ + +
-
-
H1
G3 G4
+
4
2GH
G1 G2U(s) Y(s)
H3
+ +
-
-
14343
HGG1GG
−
![Page 19: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/19.jpg)
19
G1U(s) Y(s)
H3
+
- 232143432
HGGHGG1GGG+−
343212321434321
HGGGGHGGHGG1GGGG++−
Y(s)U(s)
kraj primera
![Page 20: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Graf toka signalaGraf toka signala
• Teorija grafova• Linijski segmenti:
– Grane– Čvorovi
G(s)x1(s) x2(s)G
X1(s) X2(s)
pojačanje graneblok
GTS je dijagram koji se sastoji od čvorova međusobno povezanih granama (linijama) i predstavlja grafičku reprezentaciju seta (skupa) linearnih relacija.
![Page 21: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Pri formiranju i analiziranju GTS postoje sledeća pravila:
• U jednom čvoru se može susticati proizvoljan broj grana isto kao što iz jednog čvora može izlaziti proizvoljan broj grana;
•Zbir signala sa krajnjih tačaka svih grana koje se sustiču u čvoru čini promenljivu čvora (signal čvora);
•Promenljiva čvora se ravnomerno prosleđuje kroz sve grane koje iz tog čvora izlaze;
•Signal se kroz granu prostire isključivo u smeru označenom strelicom.
![Page 22: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/22.jpg)
22
G1(s)U1(s)
Y1(s)
U2(s)
U3(s)
G2(s)
G3(s) Y2(s)
X(s)H1(s)
H2(s)
X(s) = G1(s)U1(s) + G2(s)U2(s) + G3(s)U3(s)
Y1(s) = X(s)H1(s);
Y2(s) = X(s)H2(s)
![Page 23: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Direktna ili otvorena putanja je skup grana koje međusobno spajaju dva čvora i pri tome grane kroz svaku tačku prolaze samo jedanput (nadalje će biti interesantne samo putanje koje spajaju ulazni čvor grafa sa izlaznim, odnosno direktne putanje koje vode od ulaza do izlaza iz sistema).
Na primeru sa slike su putanje 1234567 (oznake čvorova) i 134567. Niz grana 123434567 nije putanja jer dva pita prolazi kroz granu 34.
1 2 3 4 5 6 7YU
![Page 24: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Petlja (zatvorena putanja) je zatvoren put koji polazi i završava se u istom čvoru i pri tome sve grane iz petlje kroz svaku tačkuprolaze samo jednom.
Na donjoj slici petlje su: 121, 234562, 343, 565.
Nisu petlje: 1231 (kroz granu 13 se ide u suprotnom smeru), 23434562 (kroz granu 34 se prolazi dva puta)
1 2 3 4 5 6 7YU
![Page 25: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Dve putanje (otvorene ili zatvorene) se ne dodiruju ako nemaju zajedničkih čvorova ili grana.
U primeru sa slike tri sledeće putanje se ne dodirujumeđusobno: 121 i 343; 121 i 565; 343 i 565.Dodiruju se: 1234567 i 121; 1234567 i 343; 1234567 i 565; 1234567 i 234562; 134567 i 121; 134567 i 343; 134567 i 565; 134567 i 234562; 1234567 i 134567;121 i 234562; 343 i 234562; 565 i 234562.
1 2 3 4 5 6 7YU
![Page 26: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/26.jpg)
26
MasonMason--ovo praviloovo praviloFunkcija prenosa grafa toka signala se određuje na osnovu obrasca
G(s) = Y(s)U(s) =
∑i=1
nPi∆i
∆
gde je:Pi - prenos (pojačanje) i-te direktne (otvorene) putanje;∆ - determinanta grafa;∆i - ∆ primenjeno na zatvorene putanje koje ne dodiruju i-tu direktnu putanju;n - broj direktnih putanja u grafu.
![Page 27: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Determinanta grafa:
∆ = 1 - (-1)k+1
∑k
∑j
Pkj = 1 - ∑j
P1j + ∑j
P2j - ∑j
P3j + ∑j
P4j - +...
∑j
P1j
∑j
Pkj
- zbir pojačanja (prenosa, funkcija prenosa) svih zatvorenih putanja (petlji) grafa;
- zbir proizvoda pojačanja po "k" zatvorenih putanja koje se međusobno ne dodiruju.
Brojilac determinante grafa toka signala je KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA
![Page 28: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Primer:Primer:
1 2 3 4 5 6 7YU
8Y
Posmatra se graf toka signala prikazan na slici. Odrediti funkciju prenosa sistema od čvora 1 do čvora 8.
Rešenje:Direktne putanje: P1 = 12345678 i P2 = 145678.Zatvorene putanje: P11=232; P12=565; P13=787; P14=345673.Proizvodi po dve zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju: P21=P11P12; P22=P11P13; P23=P12P13;Proizvodi po tri zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju: P31=P11P12P13;Proizvoda po četiri zatvorene putanje koje se međusobno ne dodiruju nema, jer P14 dodiruje bar jednu od ostale tri putanje (u stvari dodiruje svetri). Naravno nema ni proizvoda po pet, šest itd. zatvorenih putanja koje se međusobno ne dodiruju.Determinanta grafa je prema definiciji∆ = 1 - (P11 + P12 + P13 + P14) + (P21 + P22 + P23) - P31
![Page 29: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/29.jpg)
29
∆i se dobija na osnovu ∆ tako što se iz ∆ izbace sve petlje koje dodiruju i-tu direktnu putanju (izbacuju se i svi proizvodi gde te petlje učestvuju kao činioci), tako da je
∆1 = 1
∆2 = 1 - P11.
Funkcija prenosa grafa od čvora 1 do čvora 8 je
G(s) = P1∆1 + P2∆2
∆ = P1 + P2 - P2P11
1 - P11 - P12 - P13 - P14 + P21 + P22 + P23 - P31
kraj primera
![Page 30: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Transformacija SBD u GTSTransformacija SBD u GTS
Primenom sledećih pravila:
• Diskriminatori i čvorovi strukturnog blok dijagrama postaju čvorovi grafa toka signala;
• Blokovi strukturnog blok dijagrama postaju grane grafa toka signala, a funkcije prenosa blokova postaju pojačanja grana;
• Smer toka signala se pri transformaciji ne menja;
• Pošto se signali u čvoru GTS po definiciji sabiraju, predznak grane sa kojim ona ulazi u diskriminator strukturnog blok dijagrama se pridružuje funkciji prenosa, odnosno pojačanju odgovarajuće grane.
![Page 31: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/31.jpg)
31
G1 G2
H1
U(s) Y(s)G3 G4
H2
H3
+ + +
+-
-
12
3
45
67
3 4 5
Y(s)U(s) 1 G
6 71 2
1G2 G3
G4 1-H2
-H3
H1
![Page 32: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Funkcija prenosa Funkcija prenosa multivarijabilnihmultivarijabilnih sistemasistema
Sistem
u1(t)
u2(t)
up(t)
y1(t)
y2(t)
yr(t)
... ...
Yi(s)= Gi1(s)U1(s) + Gi2(s)U2(s) + ... + Gip(s)Up(s)
Gij(s) = ⎪⎪⎪⎪
Yi(s)Uj(s) Uk=0;∀k≠j
![Page 33: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/33.jpg)
33
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
Y1(s)
Y2(s)
.
.
.
Yr(s)
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
G11(s) G12(s) ... G1p(s)
G21(s) G22(s) ... G2p(s)
. . . .
. . . .
. . . .
Gr1(s) Gr2(s) ... Grp(s)
⋅
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
U1(s)
U2(s)
.
.
.
Up(s)
Y(s) = G(s)U(s)
Dimenzije matrice G(s)?
Karakteristični polinom sistema?
![Page 34: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Analiza sistema automatskog upravljanja Analiza sistema automatskog upravljanja primenom računaraprimenom računara
• Simulacija ponašanja sistema pomoću računara služi
da se ispita rad sistema u različitim uslovima i za
različite pobudne signale.
• Simulacije mogu da budu različitog kvaliteta
(tačnosti):– Simulacije niske tačnosti;
– Simulacije visoke tačnosti (numerički eksperimenti)
![Page 35: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Pod pretpostavkom da je moguće formirati matematički model sistema proizvoljne tačnosti prednosti računarske simulacije su sledeće:1. Performanse sistema se mogu razmatrati za proizvoljne uslove
rada;2. Rezultati dobijeni u realnom sistemu se mogu ekstrapolirati
simulacionim modelom u cilju vršenja predikcije ponašanja sistema;
3. Moguće je ispitivanje ponašanja sistema u cilju utvrđivanja njegove koncepcije;
4. Testiranja sistema se mogu obaviti u mnogo kraćem roku;5. Simulacije koštaju znatno manje nego eksperiment na živom
sistemu;6. Moguće su studije hipotetičkih situacija, praktično neostvarivih u
realnom svetu;7. Računarsko modelovanje i simulacija su često jedina izvodljiva i
sigurna tehnika za analizu i procenu ponašanja sistema.
![Page 36: 03 SAU Funkcija Prenosa](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050722/55721036497959fc0b8ccf57/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Šematski prikaz procesa analize i Šematski prikaz procesa analize i projektovanja SAU primenom računaraprojektovanja SAU primenom računara
Fizički sistem Matematički model
Odziv modela
Očekivani odziv fizičkog sistema
Pretpostavkemodelovanja
Matematičkaanaliza
Računarskasimulacija
PredikcijaUsložnjavanjestrukturesistema
Modifikacijaparametara
sistema