KVADRATNA FUNKCIJA

ZADATAK 1.Na jednoj plantai nabrali su 800 t pomorandi. Trenutna cena je 720 evra po toni. Svake nedelje se pokvari 16 tona pomorandi, ali cena po toni poraste za 120 evra. Koji je najpovoljniji momenat za prodaju?

Zadatak 2.Treba napraviti prozor zadatog obima i odredjenog oblika. Kako treba izabrati dimenzije, tako da prozor proputa maximalnu koliinu svetlosti?

Kako emo reavati 1 zadatak?

Zanima nas kada je najpovoljniji trenutak za prodaju i kolika je tada zarada tj. kada e funkcija imati maksimum i kolika je ta maksimalna vrednost

Nabrali su 800 t pomorandi. Cena je 720 eura po toni. Svake nedelje se pokvari 16 tona, ali cena po toni poraste za 120 evra.

Xkoliko je nedelja proteklo od berbe Ynovac koji se dobija od prodajeteina zdravih pomorandi800- 16 x Cena 1 tone posle x nedelja720+120xZaraday=(800-16x)(720+120x)Mnoenjem se dobijay=-1920x2+84480x+576000

Oba zadatka se reavaju pomou kvadratnih funkcijaKvadratna funkcija je realna funkcija zadata izrazom f(x) = ax2 + bx + c a,b,c R a # 0 Grafik kvadratne funkcije je parabola.

Grafik funkcije y =ax 2

a>0Grafik je iznad x ose (osim jedne take- TEME)Simetrian u odnosu na y osu (parna f-ja)Prolazi kroz koordinatni poetak

a=2a=1a=1/2

Grafik funkcije y =ax 2 a>0Grafik je iznad x ose (osim jedne take - TEME)Simetrian u odnosu na y osu (parna f-ja)Prolazi kroz koordinatni poetak

a

y=ax2+ bOrdinata se dobija tako sto se uvea za b pa zato ...Grafik je parabola pomerena du y oseTeme je taka T (0, b)

y=ax2+b y=ax2y=ax2 +1y=ax2 +2y=ax2 -1

Y=a(x-a)2Dobija se tako to se parabola y=ax2 translira za a du x ose udesno ili ulevo.

Y=(x-3)2Y=(x+3)2

Razliiti oblici kvadratne funkcijekanoniki oblik

Y=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)

Temenski oblik y = a(x-a)2 +b a=- b/(2a), b=-(b2-4ac)/(4a)

Taka T(a, b) je teme parabole.

Oblik s nulama:

y = a(x x1)(x x2)Y=ax2+bx+c

ISPITIVANJE KVADRATNE FUNKCIJEDomen je skup svih realnih brojeva za koje izraz ima smisla. Kod kvadratne funkcije to je RNulePresek sa y osom je taka P (0,c)parnostEkstremne vrednosti Intervali rasta i opadanjaZnak

Primer Y=x2-8x+71. domen je R2. Nule : x2-8x+7=0 => x1= 1, x2=7Presek sa y osom:X=0 => y=7Teme (4,-9)

NULE FUNKCIJEsu realni koreni kvadratne jednaine ax2+bx+c=0 X1,2=-b b2-4ac 2aGeometrijsko tumaenje Nule su take u kojima grafik see x osu.

Kanonini oblik funkcijeY=ax2+bx+c Y=a(x2+(b/a)x)+cY=a(x2+(b/a)x+b2/4a2-b2/4a2)+cY=a(x+(b/2a)) 2+c-b2/4a

Y=a(x+b/(2a))2 -(b2-4ac)/(4a)

EKSTREMNE VREDNOSTIU temenu T (-b/(2a), (4ac-b2)/4a) kvadratna funkcija dostie najveu vrednost kad je a0

INTERVALI RASTA I OPADANJA a>0

teme

a

parnostFunkcija je PARNA ako f(-x)=f(x) za svako x iz domenaFunkcija je NEPARNA ako f(-x)=-f(x) za svako x iz domena

Grafik parne funkcije je simetrian u odnosu na y osuGrafik neparne funkcije je simetrian u odnosu na koordinatni poetak

Znak

Funkcija je pozitivna za one vrednosti x za koje je f(x)>0, a negativna ako je f(x)

znak- - - - - - - + + + + + + + + + + + Grafik je ispod x oseFunkcija je negativna

znak + + + + - - - - - - - - - - - Grafik je iznad x oseFunkcija je pozitivna

Razliiti graficiD=b2-4ac

D>0 dve nule grafik see x osu u 2 takeD>0 dve nule grafik see x osu u 2 take

a>0 grafik je okrenut otvorom na gorea

D=0 jedna nulaD=0 jedna nulaa>0 grafik je okrenut otvorom na gorea

D

A ta je sa narandama?y=-1920x2+84480x+576000 Traimo vrednost za x za koju e funkcija imati maximumTo je u stvari prva koordinata temena ove kvadratne funkcije-b/(2a)=-84480/2*(-1920)=84480/3840=22Dakle,ako se narande prodaju nakon 22 dana bie ostvarena najvea zarada.Ostvarena zarada tada je jednaka maksimalnoj vrednosti funkcije, a to je druga koordinata temena funkcije(4ac-b2)/(4a)=(4*(-1920)*576000-844802)/(4*(-1920)=...