[04] a theorem on the markov periodic approximation in ergodic theory

8/13/2019 [04] a Theorem on the Markov Periodic Approximation in Ergodic Theory

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5.6.7.8

A . F . V a k u l e n k o , U n i t a r y r e g u l a r i z a t i o n i n t h e m a n y - p a r t i c l e s c a t t e r i n g p r o b l e m , D o k l .Akad. Nau k SSSR, 249, No. 4, 825-8 28 (1979).L . D . F a d d e e v , T h e i n v e r s e p ~ o b l e m i n t h e q u a n t u m t h e o r y o f s c a t t e r i n g . I I , i n: C u r -r e n t P r o b l e m s i n M a t h e m a t i c s [ i n R u s s i a n ] , V o l . 3 , M o s c o w ( 1 9 74 ) , p p. 9 3 - 1 8 0 .L . D . F a d d e e v , O n a m o d e l o f F r e i d r i c h s i n t h e t h e o r y o f p e r t u r b a t i o n s o f t h e c o n t i n u o u sspec tru m, Tr. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 73, 292-3 13 (1964).N. Dun for d and J. T. Schwar tz, Line ar Operat ors, Part III: Spectra l Operator s, Wiley--I n t e r s c i e n c e , N e w Y o r k ( 1 9 71 ) .B . S . P a v l o v a n d S. V . P e t ra s , O n t he s i n g u l a r s p e c t r u m o f a w e a k l y p e r t u r b e d m u l t i p l i -c a t i o n o p e r a t o r , F u n k t s . A n a l . P r i l o z h e n . , ~ , N o. 2, 5 4 - 6 1 ( 1 9 7 0 ).

A T H E O R E M O N T H E M A R K O V P E R I O D I C A P P R O X I M A T I O N I N E R G O D I C T H E O R YA . M . V e r s h i k U D C 5 1 7 . 4

O n e p r e s e n t s a n e w v a r i a n t o f t h e t h e o r y o f p e r i o d i c a p p r o x i m a t i o n s o f d y n a m i c a ls y s t e m s a n d C * - a l g e b r a s , n a m e l y t h e c o n s t r u c t i o n f o r e a c h a u t o m o r p h i s m o f th eL e b e s g u e s p a c e of a M a r k o v t o w e r ( or a d i c m o d e l ) o f p e r i o d i c a u t o m o r p h i s m s . O n eg i v e s s e v e r a l e x a m p l e s .

i . I n t r o d u c t i o nI n [ i] w e h a v e o u t l i n e d t h e p r o o f o f t h e t h e o r m o n t h e s i m u l t a n e o u s u n i f o r m a p p r o x i m a -

2t i o n o f t h e m u l t i p l i c a t i o n a n d s hi f t o p e r a t o rs i n t h e s p a c e o f L - f u n c t i o n s o n a d y n a m i c a ls y s t e m w i t h a n i n v a r i a n t m e a s u r e ; m o r e e x a c t l y : l e t S b e a n a u t o m o r p h i s m o f t h e s e g m e n t [ 0,i ] w i t h a n i n v a r i a n t L e b e s g u e m e a s u r e a n d l e t ~ b e a b o u n d e d m e a s u r a b l e f u n c t i o n ; f o r e a c h

> 0 there exist operat ors in L 2 , U (~ and V c~ , such that g U s - U ~ II


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o f th e s y s t e m o n f i n i t e c o l l e c t i o n o f p o i n t s. T h e a p p r o x i m a t i o n c o n s i d e r e d b e l o w i s o f t h es e c o n d t y pe ; w e a p p r o x i m a t e a n a u t o m o r p h i s m b y p e r i o d i c a u t o m o r p h i s m s w h o s e t r a j e c t o r i e s a r ei n c l u d e d i n t h e t r a j e c t o r i e s o f t he i n i t i a l o n e, i . e . , w e a p p r o x i m a t e t h e a u t o m o r p h i s m o f ar a n d o m p e r m u t a t i o n . T h i s v a r i a n t i s r e l a t e d t o t h e a u t h o r ' s p a p e r [ 6] o n t h e s c a l e of a na u t o m o r p h i s m a n d m a k e s u s e o f a m o d i f i c a t i o n o f t h e c o n s t r u c t i o n o f a c o n s i s t e n t s e q u e n c e o fp e r i o d i c a u t o m o r p h i s m s , f o u n d t h e r e ( th e l e m m a o f S e c. 3 i n [ 6 ]) . T h e i m p o r t a n t m o d i f i c a t i o ni n t r o d u c e d h e r e c o n s i s t s i n th e f ac t t h a t w e d o n o t r e q u i r e t h e c o n s t a n c y o f t h e m i n i m a lp e r i o d s w i t h r e s p e c t t o a l l p o i n t s f o r e a c h of t h e p e r i o d i c a u t o m o r p h i s m s o f t h e a p p r o x i m a -t i o n; i n r e t u r n , t h e c o n s i s t e n c y o f t he a p p r o x i m a t i o n s t e p s i s s t r o n g e r : E a c h p e r m u t a t i o nd i f f e r s f r o m t h e a p p r o x i m a t e d a u t o m o r p h i s m o n l y a t o n e p o i n t o f i t s l a y e r a n d, a s a f u n c t i o no n t h e q u o t i e n t s p a c e r e l a t i v e t o th e t r a j e c t o r i e s o f a p e r i o d i c a u t o m o r p h i s m w i t h v a l u e si n t h e ( v a r i a bl e ) g r o u p of p e r m u t a t i o n s , i s m e a s u r a b l e r e l a t i v e t o s o m e a d d i t i o n a l p a r t i t i o nt o t h e t r a j e c t o r y p a r t i t i o n o f t he s u b s e q u e n t t e r m of th e a p p r o x i m a t i o n ( s ee b e l o w ) . S u c ha r i g i d r e q u i r e m e n t e x c l u d e s i n m a n y r e s p e c t s t h e a d d i t i o n a l a r b i t r a r i n e s s i n t h e a p p r o x i m a -t i o n w h i c h o n e u s u a l l y h a s . T h u s w e a r r i v e a t t he c o n c e p t o f a M a r k o v t o w e r o r a d i c a u t o -m o r p h i s m m o de l , w h o s e e x i s t e n c e i s p r o v e d i n t h i s p a p e r. T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s e m o d e l s o ra p p r o x i m a t i o n s i n c o n c r e t e c a s e s i s a c o m p l e x p r o b l e m ; i n S e c . 4 w e g i v e s o m e e x a m p l e s . I nS e c . 2 w e g i v e t h e d e f i n i t i o n s a n d i n Se c . 3 w e g i v e t h e p r o o f o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m .

W e r e c al l t h a t t h e e x i s t e n c e o f a p e r i o d i c a u t o m o r p h i s m , a p p r o x i m a t i n g u n i f o r m l y ( i n t h es e n s e o f t h e t h e o r y o f m e a s u r e ) t h e g i v e n o n e , i s t h e c o n t e n t o f t h e c l a s s i c a l R o k h l i n- - H a l m o sl e m m a ; t h e q u e s t i o n o f t h e s e q u e n c e s o f p e r i o d i c a p p r o x i m a t i o n s , c o n s i s t e n t i n s o m e s e n s e ,h a s b e e n c o n s i d e r e d i n d i f f e r e n t w a y s i n a s e r i e s o f i n v e s t i g a t i o n s ( s ee , f o r e x a m p l e , t h es u r v e y [ 7] ) a n d th e p r o j e c t i v e a p p r o x i m a t i o n ( by m u l t i v a l u e d m a p p i n g s ) h a s b e e n i n t r o d u c e di n [ 8] . W e a l s o m e n t i o n t h a t i n o u r v i e w s u c h a n a p p r o x i m a t i o n ( m u l t i v a l u e d ; s e e [ 9] ) m u s tb e an o b j e c t o f i n v e s t i g a t i o n a l s o i n h y d r o d y n a m i c s ( in i t s m e t r i c v a r i a n t ) i n c l o s e c o n n e c -t i o n w i t h t h e a p p r o x i m a t i o n s , s o f r u i t f u l l y i n v e s t i g a t e d i n t h e w o r k s o f O. A . L a d y z h e s n k a y a .2. M a r k o v C o m p a c t u m a n d A d i c T r a n s f o r m a t i o n

I n th e s e q u e l , f o r e a c h a u t o m o r p h i s m o f t h e L e b e s g u e s p a c e w e c o n s t r u c t a t o w e r o fp e r i o d i c a u t o m o r p h i s m s . B u t f i r s t w e d e f i n e a n a p p r o p r i a t e m o d e l s p a c e a n d i t s t r a n s f o rm ,t o w h i c h w e w i s h t o r e d u c e ( i . .e , t o e s t a b l i s h a n i s o m o r p h i s m ) a n a r b i t r a r y p a i r ; i n o t h e rw o r d s , w e d e f i n e a c l a s s o f c a n o n i c a l t o w e r s .

L e t ~ = i , ~ 4, ''' b e a s e q u e n c e o f n a t u r a l n u m b e r s ~ , ~ = i ~ . . . ; l e tM I , M ~ , . ~ b e a s e q u e n c e o f Z + - m a t r i c e s , w h e r e t h e m a t r i x M ~ = ( ~ J ~ ) h a s d i m e n s i o n %~ -i ~~ . ~ = i , . . . W e s h a l l a s s u m e t h a t n o n e o f t h e s e m a t r i c e s h a s z e r o r o w s o r c o l u m n s .W e c o n s i d e r t h e g r a d e d g r a p h ~ [ ~ I ) w h o s e v e r t i c e s ~ = 0 ~ { a r e p a r t i t i o n e d i n t o f i n i t e~=0l e v e l s ~ o = [ ~ ] , ~ , . . . . a n d t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i s I ~ I = ~ , ~ 0 ; t h e a r c s o f t h e

g r a p h j o i n on l y v e r t i c e s o f a d j a c e n t l e v e l s a n d t he n u m b e r o f a r c s j o i n i n g v e r t e x j o f t h e( ~ -i ) - s t l e v e l w i t h v e r t e x ~ o f t h e r l e v e l i s e q u a l t o ~ K , K =~ ,. .. ,% ~, j =l , . . . .~ i , + = O , i ~ .' . B y v i r t u e o f t h e c o n d i t i o n s o n t h e m a t r i c e s , e a c h v e r t e x i s j o i n e da t l e a s t w i t h o n e v e r t e x o f t h e n e x t l e v e l a n d ( e x c e p t f o r t h e v e r t e x ~ 6 ~ 0 . ) o f t he p r e -v i o u s l e ve l . B y a p a t h in t h e g r a p h w e m e a n a s e q u e n c e o f a r c s ( ~ o , ~ , ' . ' ) , w h e r e ~ _ ~ a n d

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hav e a com mon ver tex from the ~- th level, ~=i,~,.... Let ~( P) be the space of allMh e p a t h s of t h e g r a p h ~ ( [ ~ I~ =~ ) ' e q u i p p e d w i t h t h e w e a k t o p o l o g y . ( A n e i g h b o r h o o d

o f a p a t h i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l p a t h s c o i n c i d i n g w i t h t h e g i v e n o n e u p t o s o m e p l a c e s ;o b v i o u s l y , ~ ( [~ ) i s a c o m p a c t u m ) .

D e f i n i t i o n i . B y a M a r k o v c o m p a c t u m w i t h p a r a m e t e r s [ ~ , M ~ ~ i = i . . . J w e m e a n[ ~ ) , ~ = ~ { ~ i l ) . I f ~---- 9 a n d ~ -_ - M ~ , t h en t h e M a r k o v c o m p a c tu m

is said to be stati onary .I n t op o l o g i c a l d y n a m i c s o n e c o n s i d e r s f r e q u e n t l y s t a t i o n a r y M a r k o v c o m p a c t a a n d th e i r

t w o - s i d e d s h i f t s . W e s h a l l c o n s i d e r a r b i t r a r y M a r k o v c o m p a c t a a n d t h e i r t r a n s f o r m a t i o n s o fa n o t h e r k i n d. V a r i o u s p r o p e r t i e s o f t h e c o m p a c t u m ~ ) a n d o f t h e m e a s u r e s o n t h em , i nd e p e n d e n c e o n t he a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f t h e m a t r i c e s ~ , w i l l b e c o n s i d e r e d e l s e w h e r e ;t h e y a r e r e l a t e d , i n p a r t i c u l a r , t o t h e p r o p e r t i e s o f A F - a l g e b r a s c o n s t r u c t e d o v e r t h eg r a p h ~ , a s o v e r t h e B r a t t e l i d i a g r a m [ i0 ].

W e r e s t r i c t o u r s e l v e d t o t h e c a s e w h e n t h e e l e m e n t s o f ~ c o n s i s t o f z e r o s a n d o n e s .I n t h i s c a s e t h e g r a p h d o e s n o t h a v e m u l t i p l e a r c s a n d a p a t h i s a s u c c e s s i o n o f v e r t i c e s ;t h is a s s u m p t i o n d o e s no t d i m i n i s h a t a ll t h e g e n e r a l i t y s i n c e b y i n t r o d u c i n g n e w v e r t i c e s o n ec a n g e t r i d o f m u l t i p l i c i t i e s . I n t h i s c a s e t h e M a r k o v c o m p a c t u m a c q u i r e s a u s u a l d e s c r i p t i o n :i t i s a c l o s e d s u b s e t i n t h e c o m p a c t u m ~ ~ , c o n s i s t i n g o f a l l s e q u e n c e s [ ~ I f o rw h i c h ~ ~ * i = i @

W e g i v e a d i r e c t d e s c r i p t i o n o f t h e s t r u c t u r e o f a M a r k o v c o m p a c t u m .P r o p o s i t i o n I. E v e r y M a r k o v c o m p a c t u m i s a t o t a l l y d i s c o n n e c t e d s e p a r a b l e c o m p a c t u m X

w i t h a d i s t i n g u i s h e d s e q u e n c e o f f i n i t e p a r t i t i o n s ~ ~ ~ l J , p o s s e s s i n g t h e f o l -l o w i n g p r o p e r t i e s :

O

l V2 ) f o r e a c h K > ~ i a n d a n y s e t ~ o f t h e p a r t i t i o n e l e m e n t ~ t h e c o r r e s p o n d e n c e

d e f i n e s a h o m e o m o r p h i s m

V

H e r e V d e n o t e s t h e p r o d u c t o f t h e p a r t i t i o n s , i . e ., t h e p a r t i t i o n c o n s i s t i n g o f a l l p o s -s i b l e i n t e r s e c t i o n s o f t h e m u l t i p l i e d p a r t i t i o n s ; 6 i s t h e p a r t i t i o n i n g i n t o i s o l a t e d p o i n ts .C o n d i t i o n i ) m e a n s t h a t f o r ~ ~ ~ t h e r e e x i s t s ~ s u c h t h a t ~ ( ~ ~ ~ ( 9 ) , w h e r e~ ( ~ i s t h e e l e m e n t o f ~ c o n t a i n i n g ~ . I n c o n d i t i o n 2) t h e s ~ b o l ~ / ~ d e n o t e s t h ef a c t o r i z a t i o n o f ~ w i t h r e s p e c t t o t h e p a r t i t i o n i n g a n d t h e m e a n i n g o f t h e c o n d i t i o n i st h e f o l l o wi n g : I f ~ , ~ 6 ~ , t h e n t h e r e e x i s t s ~ f o r w h i c h t h e p r o j e c t i o n o n t o~ / ~ f o r ~ < ~ i s t h e s a m e a s f o r ~ a n d o n t o ~ / ~ f o r ~ i s t h e s a m e a s f o r

I f o n e d e n o t e s t h e n u m b e r o f e l e m e n t s o f ~ b y ~ a n d t h e i n t e r s e c t i o n m a t r i x of ~ - ia n d ~ b y M ~ , t h e n t h e c o m p a c t u m X f r o m t h i s p r o p o s i t i o n b e c o m e s ~ [ ~ M ~ ) ) ;c o n v e r s e l y , d e n o t i n g b y ~ t h e p a r t i t i o n i n g o f ~ i n t o t h e c l a s s e s o f p a t h s p a s s i n g t h r o u g ha g i v e n v e r t e x o f t h e ~ - t h l e v e l , w e c a n s e e t h a t t h e c o n d i t i o n s o f t h e p r o p o s i t i o n h o l d s .W e s h a l l u s e t h e d e f i n i t i o n f r o m t h e p r o p o s i t i o n .

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A s u b s e t o f a M a r k o v c o m p a c t u m ~ t h a t i s m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o ~ ~ f o r s o m e, w i l l b e s a i d t o b e c y l i n d r i c a l ; t h e s e s u b s e t s f o r m a n a l g e b r a , d e n o t e d b y ~ ; a

tra nsf orm ati on leav ing '[.~ inva rian t and .9 ~ fixed is K -cyl indr ical . Each E -~ ~

c y l i n d r i c a l i n v e r t i b l e t r a n s f o r m a t i o n o f a M a r k o v c o m p a c t u m i s a p e r i o d i c t r a n s f o r m a t i o n w h o s et r a j ec t o r ie s l ie o n t he e l e me n t s o f t h e p a r t i t i on ~ . B y a t r a n s f o r m a t i on of c l a ss

w e m e a n a h o m e o m o r p h i s m T f o r w h i c h t h e r e e xi s t s a n o w h e r e d e n s e c l o s e d i n v a r i a n t s e ts u c h t h a t, i n t h e c o m p l e m e n t o f a n y o f i t s o p e n n e i g h b o r h o o d , T i s a ~ - c y l i n d r i c a l ( p e r i -o d i c ) t r a n s f o r m a t i o n , w h e r e ~ d e p e n d s o n t h e n e i g h b o r h o o d . T h u s , th e t r a n s f o r m a t i o n o f c l a s s

a r e li m i t s o f ~ - c y l i n d r i c a l ( p e r io d i c ) t r a n s f o r m a t i o n s i n t h e s e n s e of u n i f o r m c o n v e r -g e n c e o n a n y c l o s e d s e t l y i n g i n t h e c o m p l e m e n t o f s o m e n o w h e r e d e n s e s e t.

A n e x a m p l e o f a t r a n s f o r m a t i o n o f c l a s s ~ o f a v e r y g e n e r a l f o r m , t o w h i c h w e s h a l lr e s t r i c t o u r s e l v e s i n t h e s e q u e l , i s o b t a i n e d i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r .

W e i n d e x t h e e l e m e n t s o f t h e p a r t i t i o n s ~ b y n a t u r a l n u m b e r s f r o m i t o ~ , ~ = ~ . . .T h u s , w e c a n i n t r o d u c e a l e x i c o g r a p h i c o r d e r i n g o n t h e s e t o f e l e m e n t s ~ i f o r a l la s su mi ng ( ~ , . . . , ~ ) ~ ( ~ , 0 0 . , ~ ) , if ~ = ~ ~ =0 ,~ ,. o, ,~ ; ~ _ ~ > ~ _~ ~ O n t hes p a c e ~ t h e r e e m e r g e s a p a r t i a l o r d e r i n g i n w h i c h t h e s e q u e n c e s c o i n c i d i n g f r o m s o m e p l a c ea r e c o m p a r a b l e ; t h e o r d e r t y p e i n e a c h c l a s s o f c o m p a r a b l e e l e m e n t s i s e i t h e r i ~ , o r~ + , o r ~ _ , o r ~ A M a r k o v c o m p a c t u m t o g e t h e r w i t h t h e o r d e r i n g o f t h e p a r t i -t i o n s i s s a i d t o b e m i n i m a l i f a l l e x c e p t t w o c l a s s e s a r e o r d e r e d b y t y p e Z , o n e b y t y p e~ + a n d o n e b y t y p e Z _ M i n i m a l i t y c a n b e e x p r e s s e d i n a s i m p l e m a n n e r a s a c o n d i -t i o n o n t h e m a t r i c e s ~ :

P r o p o s i t i o n 2 . T h e r e e x i s t s a s e q u e n c e E l < K ~ < . .. s u c h t h a t t h e m a t r i c e s ~ ' ~ . . . ' ~ , ~ i d o n o t h a v e z e r o e l e m e n t s ~ = i , ~ , . . . C l e a r l y , i t d o e s n o t d e p e n d o n t h e

o r d e r i n g o n ~ ; b y t h e c h a n g e o f t h e i n d e x i n g o n l y t h e o n e - s i d e d o r b i t s a r e c h a n g e d .D e f i n i t i o n 2. B y a n a d i c t r a n s f o r m a t i o n o f a M a r k o v c o m p a c t u m w i t h o r d e r e d p a r t i t i o n s

~ , w e m e a n a t r a n s f o r m a t i o n T w h i c h a s s i g n s t o a n e l e m e n t ~ t h e e l e m e n t ~ / w h i c h i sd i r e c t l y l a r g e r i n t h e s e n s e o f t h e o r d e r i n g . ( If ~ d o e s n o t e x i s t , t h e n T i s n o t d e -f i n e d . ) I f ~ i s m i n i m a l , t h e w e d e f i n e a n a d i c t r a n s f o r m a t i o n b y c o m b i n i n g t h e s e m i o r b i t s~ + a nd ~ _

P r o p o s i t i o n 3. A n a d i c t r a n s f o r m a t i o n o f a m i n i m a l M a r k o v c o m p a c t u m b e l o n g s t o t h ec l a s s

T h e p r o o f f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e o r d e r i n g , t h e e x c e p t i o n a l a n d i n -v e r s e s e t i n t h i s c a s e c o n s i s t i n g o f o n e p o i n t ( t he e n d o f t h e o r b i t s o f t y p e ~ - a n d th eo r i g i n o f t h e o r b i t s ~ + , r e s p e c t i v e l y ) .

R e m a r k . T h e t r a j e c t o r y p a r t i t i o n o f a n a d i c t r a n s f o r m a t i o n i s t h e t a i l p a r t i t i o n o f( i. e. , ~ ~ ~ , w h e r e t h e s y m b o l ~ i s t h e s e t t h e o r e t i c i n t e r s e c t i o n ) .T h u s , a n a d i c s h i f t i s t h e l i m i t o f c y l i n d r i c a l t r a n s f o r m a t i o n s , i . e . , o f t h e s u b s t i t u -

t i o n s o f th e f i rs t c o o r d i n a t e s o f th e s e q u e n c e . I t c a n b e v i s u a l i z e d a s a t o w e r of s u c c e s -s i v e s u b s t i t u t i o n s of t h e e l e m e n t s o f t h e p a r t i t i o n s ~ I ~ ~ . . . . I t i s t h e m o d e l t ow h i c h w e r e d u c e a n a r b i t r a r y e r g o d i c a u t o m o r p h i s m o f t he L e b e s g u e s p a c e ( s ee t he e x a m p le sin Sec. 4).

670


5/8

3. F u n d a m e n t a l T h e o r e mT H E O R E M. L e t C X , ~ ) b e a L e b e s g u e s p a c e a n d l e t ~ b e i t s e r g o d i c a u t o m o r p h i s m w i t h

i n v a r i a n t m e a s u r e ~ ; 0~o i s t h e c o u n t a b l e a l g e b r a o f m e a s u r a b l e s et s i n $ , i n v a r i a n tw i t h r e s p e c t t o X T h e r e e x i s t s a s e t o f f u l l m e a s u r e X o c X , X o ~ o a n d a n a u t o -m o r p h i s m S / = ~ 0 ) ~ 'X , = x o a s w e l l a s a m i n i m a l M a r k o v c o m p a c t u m ~ ( w i t h o r d e r e d e l e -m e n t s o f t h e p a r t i t i o n s ( ~ ) ~ i ) , s u c h t h a t C X , , $/, ~ o ) a n d ( ~ , T , ~ ) a r e i s o -m o r p h i c, i .e . , o n e h a s a m a p p i n g ~ : X , ) ~ , d e f i n e d e v e r y w h e r e o n X o a n d ~ ' ~ = ~ o( ~ i s t h e a l g e b r a o f c y l i n d r i c a l s e t s ) a n d ~ $ ' ~' I = T , w h e r e T i s a n a d i c t r a n s f o r m a -tion.

O u r p r o b l e m c o n s i s t s in t h e c o n s t r u c t i o n o f a s e q u e n c e o f p a r t i t i o n s X o n ~ w i t h t her e q u i r e d p r o p e r t i e s . B u t w e s t a r t w i t h t h e c o n s t r u c t i o n of p e r i o d i c a p p r o x i m at i o n s , w h i c hw i l l c o r r e s p o n d t o c y l i n d r i c a l p e r i o d i c t r a n s f o r m a t i o n s i n t h e i m a g e.

I f ~ i s a n a r b i t r a r y m e a s u r a b l e s e t , ~ > 0 , i n X , t h e n e a c h e r g o d i c a u t o -m o r p h i s m c a n b e r e p r e s e n t e d a s a n i n t e g r a l o v e r t h e d e r i v a t i v e ~ B r e l a t i v e to t h e s u b s e t

( se e [ ii ]) . W e f i x a n a u t o m o r p h i s m a n d w e f o r m p a r t i t i o n s ~ ) = ~ C B ) ~ ) a n d ~ B ) =~ C ~ , $ ) i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . K ~ ) c o n s i s t s o f a t m o s t a c o u n t a b l e n u m b e r o f e l e m e n t s

x ~ a n d t h e e l e m e n t s o f ~ ) a r e o r d e r e d i n t h e n a t u r a lB o = B , . B t : S \ B o , , . , B ~ : S B ~ , \ B ~ ,~ s sm a n n e r ; t h e e l e m e n t ~ ( 8 ) (~ ) ) c o n t a i n i n g th e p o i n t ~ e B , c o n s i s t s o f a l l p o i n t s o f t h e f o r m~ , w h e r e ~ ; ~ a n d ~ a r e m u t u a l l y c o m p l e m e n t a r y . I f % 6 [ ~ ) = I ~ C ~ ) [ ~ ) I s i n c e 5 i s e r g o d i c , w e h a v e % 5 ~ ) < c o a l m o s t e v e r y w h e r e ; w e d e n o t e ~ 8 , 5 S u ~ 5 5 ~ s < ~) 9L e t S ~ B) ~ = S ~ i f S ~ e ~ B C~ a n d ~ 8 ) ~ = ~ - ~ t ~ ) Z if ~ ~ ) ~ ) ; ~ B ) is ap e r i o d i c a u t o m o r p h i s m w i t h p e r i o d d e p e n d i n g o n t h e p oi n t.

L E M M A . L e t ~ 0 b e a n e v e r y w h e r e d e n s e a l g e b r a o f m e a s u r a b l e s e ts , i n v a r i a n t w i t h r e -s p e c t to t h e e r g o d i c a u t o m o r p h i s m 5 T h e r e e x i s t s a s e q u e n c e of s e t s A 4 D ~ ~ . . . ,~ < 9 ~ ) : 0 A { 6 % f or w h i c h % A ~ < ~1 7 6 f or a l l ~ = i . . . :a aP r o o f . W e s e l e c t a n a r b i t r a r y A , 6 ~ o ' ~ A I < W e d e n o t e A i 1 ~ 'w h e r e A ~ i s t h e u n i o n o f a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f e l e m e n t s o f t h e p a r t i t i o n ~

~ ~ A i s i n c e ~ o i s i n v a r i a n t t h e n ~ C A I ) i s m e a s u r a b l e r e l a t i v ea v i n g t h e m e a s u r e < ~to ~= and ther efor e A~ and A4 lies in ~ We note that DA~ ,~


6/8

O b v i o u s l y , ~ ~ _ ~ = ~L e t ~ = ~ ; ~) V p ~ 9

: - - , - A , , .f o r a l l ~ s i n c e A~ h~

W e d e f i n e b y i n d u c t i o n t h e p a t t i t i o n s ~ :

~ = ~ , $ , . . . . T h e e l e m e n t s o f ~ K i n h e r i t t h e o r d e r i n g o f ~ ( A K ; S AK e) . W eV t Iv e r i f y t h at t h e r e q u i r e d p r o p e r t i e s h o l d . S i n c e ~ C AK ~ C ~ C ~ ; S ~ ) ) . . . ~ . I C ~ C A K ; ~ A ~ _ ~ ) )

we ha ve ~ ~ ) "~'~'~=I and, the ref ore , the last partltlon" is co mp le me nt ar y to ~ (A ~; ~) ,i . e . , t o t h e t r a j e c t o r y p a r t i t i o n o f t h e p e r i o d i c a u t o m o r p h i s m S ~ 9 N o w , ~ ~ ~ ,s i nc e ~ ' < ~ ( ~ ; ~ ) V ~ ; c o n s e q u e n t l y , ~ _ i ~ - ~ fn p ~ = 6 . B y c o ns t ru c ti o n, t h e s e qu e nc e~ [ ~ i s M a r k o v a n d i n o n e e l e m e n t ~ D e ~ t h e a u t o m o r p h i s m $ ~ _ ~ h a s t h e s a m e p e r i o d s fo ra l l p o i n t s , t h e e l e m e n t s o f ~ 4 ~ b e i n g m o v e d w h i l e t h e e l e m e n t s o f . ~ r e m a i n f ix e d .

~ ~

F i n a l l y , a l l e l e m e n t s o f a l l ~ l i e i n ~ 0 .N o w w e d e f i n e a M a r k o v c o m p a c t u m ~ w i t h r e s p e c t t o t h e p a r t i t i o n s [ ~ ;I a n d w e r e -

f l e c t ~ i n t o t h e s p a c e ~ X = ~ c o n s i d e r e d a s t h e i n f i n i t e p r o d u c t o f t h e f i n i t e s e t s~ w i t h t he w e a k t o p o l o g y . F r o m w h a t h a s b e e n s a i d i t i s c l e a r t h a t t h e m a p p i n g

e : 0~ ~ ) ~ , . . ) ~ ~ i s a ~ o ~ O m o n o m o r p h i s m a n d t h e c l o s u r e o f t h e i m a g e o f a s e t o fc o m p l e t e m e a s u r e is a M a r k o v c o m p a c t u m ~ c ~ ; t h e i m a g e ~ i s t h e a l g e b r a of c y l i n -d r i c a l s e ts ; th e M a r k o v p r o p e r t y of ~ f o l l o w s f r o m t h e M a r k o v p r o p e r t y o f i ~ l ~ 'w h e r e t h e e l e m e n t s ~ a r e o r d e r e d , a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n ~ g o e s i n t o t h e a d i c s h i f t a so n e c a n s e e f r o m t h e c o n s t r u c t i o n . F i n a l l y w e v e r i f y t h e m i n i m a l i t y o f ~ ; f o r t h i sw e n o t e t h a t f r o m t h e e r o g o d i c i t y o f ~ t h e r e f o l l o w s t h a t f o r a n y e l e m e n t s ~ ) ~ a n dE E ~ s t h e r e e x i s t s ~ = ~ ( ~ , 6 )m a t r i x o f t h e i n t e r a c t i o n s ~ a n dS e c . 2 ) . T h e t h e o r e m is p r o v e d .R e m a r k s

f o r w h i c h ~ 5 ~ ) ~ E ) > 0 ; t h is m e a n s t h at t h e~ S c o n s i s t s o f p o s i t i v e e l e m e n t s ( s ee P r o p o s i t i o n 2 ,

i . O u r m e t h o d o f c o n s t r u c t i o n o f { ~ I i s n o t e c o n o m i c a l s i nc e t h e r e f i n e m e n t of ~i s n o t a c c o m p a n i e d b y t h e l e n g t h e n i n g o f t h e t r a j e c t o r i e s o f ~ K ; a s f a r a s p o s s i b l e ,~ m u s t b e " a l m o s t " a n i n d e p e n d e n t c o m p l e m e n t t o ~ T h e c o n s t r u c t i o n o f e c o n o m i c a lr e a l i z a t i o n s i s a c o m p l e x p r o b l e m ( s e e t h e ex a m p l e s ) .

2 . B y t h e t h e o r e m o f [1 2] , t h e r e e x i s t a n i n v a r i a n t a l g e b r a ~ o a n d a r e l a t i v e l ye r g o d i c a u t o m o r p h i s m , c o n s i s t i n g o f s t r i c t l y e r g o d i c s e ts . I f i n t h e t h e o r e m o n e s t a r t sf r o m th i s al g e b r a , t h e n t he c o r r e s p o n d i n g a d i c t r a n s f o r m a t i o n w i l l b e s t r i c t l y e r g o d i c .

3 . T h e a s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f th e m a t r i c e s o f th e i n t e r s e c t i o n s o f t h e p a r t i t i o n s[ ~ i c o n t a i n a m p l e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e m e t r i c i n v a r i a n t s o f t h e a u t o m o r p h i s m o f t h es c a l e t y p e ( s e e [ 6 ] ) .

4 . T h e t h e o r e m c a n b e e a s i l y g e n e r a l i z e d t o n o n e r g o d i c a u t o m o r p h i s m s ; i n t h i s c a s e t heM a r k o v c o m p a c t u m w i l l n o t b e m i n i m a l .

5 . T h e t h e o r e m i s v a l i d f o r a n y c o u n t a b l e g r o u p G o f a u t o m o r p h i s m s f o r w h i c h t h eR o k h l i n- - H a l m os l e m m a h o l d s .

6 7 2


7/8

4 . E x a m p l e si . L e t ~ b e a n e r g o d i c a u t o m o r p h i s m w i t h r a t i o n a l s p e c t r u m , i . e. , w i t h a s p e c t r u m

w h i c h i s t h e u n i o n of f i n i t e s u b g r o u p s o f r o o t s o f u n i t y of o r d e r PI, P 2 , " . ; P i l ~ ;P ~ = ~ 9 I n t h i s c a s e t h e a d i c r e a l i z a t i o n i s t h e f o l l o w i n g . T h e c o m p a c t u m

= ~ Z / ~ Z a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n T i s g i v e n b y r ~ = ~ + i , a d d i t i o n b e i n g c o n -s i d e r e d i n t h e a d d i t i v e g r o u p ~ S i n c e t h e M a r k o v c o m p a c t u m ~ i s Pl ~ Z ' t h em a t r i c e s M ~ = { ~ } ~ j~--- i If ~ = ~ , the n ~ is the add it ive gro up ofi n t e g e r ~ - a d i c n u m b e r s w h i c h e x p l a i n s t h e t e r m " a d i c a u t o m o r p h i s m . "2 . L e t ~ = C ~ + ~ ) ~ , w h e r e ~ e [ 0 , 1 ) . I f = L ~ [ O , i ) i s i r r a t i o n a l ,t h e n ~ i s e r g o d i c a n d i t s a d i c r e a l i z a t i o n ca n b e g i v e n i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . L e t~ = C ~ I , ~ , . . . ) b e t h e e x p a n s i o n o f o& i n t o a c o n t i n u o u s f r a c t i o n ; ~ = . ~ _ 1~ , % ~ =[ ~ i l = n~ + ~ ;w e c o n s i d e r t h e m a t r i c e s ~ = [ ~ ] ~ o f o r d e r ~ x ~ +i : ~'~ = i f o r j ~ ~ ; ~ i ~ = 0 f o rd~~ - ~ + i ~ = ~ ; ~ = ~ ,~ , . . . . I n o t h e r w o r d s,

T h e M a r k o v c o m p a c t u m ~C ~ i s c o n s t r u c t e d o n { ~ J a n d [ ~ I T h e a d i c s h i f t i ni t i s i s o m o r p h i c t o t h e s h i f t ~ ; m o r e p r e c i s e l y : t h e r e e x i s t s a n i s o m o r p h i s m of t he s p a c ew i t h m e a s u r e ( o n * t h e r e i s a u n i q u e m e a s u r e , i n v a r i a n t r e l a t i v e t o t h e a d i c s h i f t ) r e -d u c i n g ~ t o a n a d i c s h i f t . I n d e e d , i n t h i s c a s e t h e i s o m o r p h i s m i s t h e B o r e l i s o m o r p h i s mo f t h e t o p o l o g i c a l s p a c e s ( c i r c u m f e r e n c e a n d ~ ) . T h i s m o d e l i s t h e m o d i f i c a t i o n o f t h ec o n s t r u c t i o n s f r o m [2 , 1 3] ; h o w e v e r , t h e r e, t h e c o n s t r u c t i o n s a r e u s e d f o r o t h e r p u r p o s e s .A t t h e s u g g e s t i o n o f t h e a u t h o r , M . a n d L. G a n d e l ' s m a n h a v e e s t a b l i s h e d t h e i s o m o r p h i s m w h i c hh a s b e e n m e n t i o n e d a b o v e .

A n o t h e r a d i c r e a l i z a t i o n o f t h e r o t a t i o n o f th e c i r c u m f e r e n c e i s t h e f o l l l o w i n g : = $ o = ~ ,{~i--i [_=~~_~ t =i for: i - @~=~$~ I ]+ it ~=i,~,.. ; M~ is a mat rix of order ~ M ~ = ( ~ ) ,

all j,R except (~,~ ~i~ ,~ =0 . i.e.,

. . . . o . . . . . .

J . . . . . . . . . . ~ 9

Thus, in each mat rix M i there is exac tly one zero (see Sec. i). ~ (FC [~; ], [ M ~ ] g i v e st h e r e q u i r e d c o m p a c t u m .

3 . A s h i f t o n t o r i a n d s o m u c h m o r e t h e a u t o m o r p h i s m s w i t h c o n t i n u o u s s p e c t r u m i n v o l v em o r e c o m p l i c a t i o n s . H e r e t h e P e r r o n a l g o r i t h m a n d t h e g e n e r a l i z e d e x p a n s i o n s i n t o a c o n t i n u o uf r a c t i o n a r e u s e f u l . I t i s i n t e r e s t i n g t o p o s e i n v e r s e p r o b l e m s , i . e ., t o i n v e s t i g a t e t h ee r g o d i c p r o p e r t i e s o f a n a d d i c s h i f t i n g i v e n M a r k o v c o m p a c t a a n d g r a p h s . T h e P a s c a l g r a p h,t h e Y o u n g g r a p h g e n e r a t e e x a m p l e s o f s h i f t s a b o u t w h i c h o n e d o e s n o t k n o w a n y t h in g .

L I T E R A T U R E C I T E Di . A . M . V e r s h i k , " U n i f o r m a l g e b r a i c a p p r o x i m a t i o n o f t h e s h i f t a n d m u l t i p l i c a t i o n o p e r a -

tors," Dokl. Akad. Nau k SSSR, 259, No. 3, 526-5 29 (1981).2 . M . P i m s n e r a n d D . V o i c u l e s c u , " I m b e d d i n g t h e i r r a t i o n a l r o t a t i o n C * - a l g e b r a i n t o a n A F -a l g e b r a , " J . O p e r a t o r T h e o r y , 4 , 2 0 1 - 2 1 0 ( 1 9 80 ) .

* M i s s i n g s y m b o l i n R u s s i a n o r i g i n a l -- P u b l i s h e r .

673


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I0.ii.12.13.

A . M . V e r s h i k , " C o u n t a b l e g r o u p s w h i c h a r e c l o s e t o f i n i t e g r o u p s , " i n: F . P . G r e e n l e a f ,I n v a r i a n t M e a n s o n T o p o l o g i c a l G r o u p s [ R u s s i a n t r a n s l a t i o n ] , M i r , M o s c o w ( 1 9 73 ) .A . M . V e r s h i k , " I s th e u n i f o r m a l g e b r a i c a p p r o x i m a t i o n o f th e m u l t i p l i c a t i o n a n d c on -v o l u t i o n o p e r a t o r s p o s s i b l e ? . " J . S oy . M a t h . , 2 6, N o . 5 ( 1 9 8 4) .M . A . R i e f f e l , " I r r a t i o n a l r o t a t i o n o f C * - a l g e b r a s , " i n: I n t e r n a t . C o n g r e s s M a t h . ,H e l s i n k i ( 1 9 7 8 ) .A . M . V e r s h i k , " F o u r d e f i n i t i o n s o f th e s c a l e o f a n a u t o m o r p h i s m , " F u n k t s . A n a l . P r i l o -zhen. , ~, No. 3, 1-17 (1973).A. B. Katok, Ya. G. Sinai, and A. M. Stepin, "The theor y of dyn ami cal syst ems and gener alt r a n s f o r m a t i o n g r o u p s w i t h i n v a r i a n t m e a s u r e , " J . S o y. M a t h . , 7 , N o . 6 ( 1 9 7 7) .A . M . V e r s h ik , " M u l t i v a l u e d m a p p i n g s w i t h i n v a r i a n t m e a s u r e ( p o l y m o rp h i s m s ) a n d M a r k o vope rat ors ," J. Sov. Math. , 23, No. 3 (1983).A . M . V e r s h i k a n d O. A . L a d y z h e n s k a y a , " T h e e v o l u t i o n o f m e a s u r e s d e t e r m i n e d b y t h eN a v i er - - S to k e s e q u a t i o n s a n d o n t h e s o l v a b i l i t y o f t h e C a u c h y p r o b l e m f o r t h e H o p f s t a -tist ical e quat ion, " J. Soy. Math. , i0, No. 2 (1978).E . G . E f f r o s , T h e D i m e n s i o n G r o u p . P r e p r i n t .I. P. Korn fel' d, Ya. G. Sinai, and S. V. Fomin, E rgod ic The ory [in Russi an], Nauka,M o s c o w ( 1 9 8 0 ) .G . H a n s e l a n d J . P . R a o u l t , " E r g o d i c i t y , u n i f o r m i t y a n d u n i q u e e r g o d i c i t y , " I n d i a n aUniv. Math . J., 23, No. 3, 221 -23 7 (1973).E . G . E f f r o s a n d C . L . S h e n, " A p p r o x i m a t e l y f i n i t e C * - a l g e b r a s a n d c o n t i n u e d f r a c t i o n s , "P r e p r i n t .

E X I S T E N C E A N D U N I Q U E N E S S T H E O R E M S F O R A - R E G U L A R G E N E R A L I Z E DS O L U T I O N S O F T H E F I R S T B O U N D A R Y - V A L U E P R O B L E M F O R ( ~, ~) -E L L I P T I C E Q U A T I O N S

A. V. Ivano v U D C 5 1 7 . 9

F o r s e c o n d - o r d e r q u a s i l i n e a r d e g e n e r a t e e l l i p t i c e q u a t i o n s , h a v i n g t h e s t r u c t u r eo f ~ , ~ ) - e l l i p t i c e q u a t i o n s i n a b o u n d e d d o m a i n ~ c ~ , ~ , o n e e s t a b -l i s h e s t h e o r e m s o f e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o r t h e g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s o f t h ef i r st b o u n d a r y - v a l u e p r o b le m , b o u n d e d t o g e t h e r w i t h t h e i r ~ - d e r i v a t i v e s o ff i r s t o r d e r a n d a l s o of f i r s t a n d s e c o n d o rd e r . T h e c a s e of l i n e a r s e c o n d - o r d e r( A , O) - e l l i p t i c e q u a t i o n s a r e s e p a r a t e l y c o n s i d e r e d .

I n t h e e a r l y s i x t i e s , O . A . L a d y z h e n s k a y a a n d N . N . U r a L ' t s e v a h a v e c o n s t r u c t e d t h et h e o r y o f s o l v a b i l i t y o f b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m s f o r q u a s i l i n e a r s e c o n d - o r d e r u n i f o r m l ye l l i p t i c a n d p a r a b o l i c e q u a t i o n s [ i, 2 ]. T h e s e r e s u l t s h a v e f o r m e d t h e n e c e s s a r y f o u n d a -t i o n fo r t h e s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t o f t he t h e o r y of b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m s f o r q u a s i l i n e a re l l i p t i c a n d p a r a b o l i c e q u a t i o n s. T h e o v e r w h e l m i n g m a j o r i t y o f t h e s u b s e q u e n t i n v e s t i g a t i o n si n t h i s a r e a i s b a s e d t o a c e r t a i n e x t e n t o n t h e m e n t i o n e d r e s u l t s o f L a d y z h e n s k a y a a n dU r a l ' t s e v a . I n t h i s r e s p e c t , t h e p r e s e n t p a p e r i s n o t a n e x c e p t i o n ; w e i n v e s t i g a t e t h eq u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t he r e g u l a r s o l u t i o n s o f t he f i r s t b o u n d a r y -v a l u e p r o b l e m f or a c l a s s o f q u a s i l i n e a r d e g e n e r a t e s e c o n d - o r d e r e l l i p t i c e q u a t i o ns . T h er e s u l t s o b t a i n e d h e r e a r e n e w e v e n f or t h e c as e o f l i n ea r e q u a t i o n s w i t h a n o n n e g a t i v e c h a r -a c t e r i s t i c f or m . O t h e r r e s u l t s r e g a r d i n g t h e e x i s t e n c e a n d th e u n i q u e n e s s o f r e g u l a r s o l u -

T r a n s l a t e d f r o m Z a p i s k i N a u c h n y k h S e m i n a r o v L e n i n g r a d s k o g o O t d e l e n i y a M a t e m a t i c h e s k o g oI n s t i t u t a i m . V . A. S t e k l o v a A N S S S R, V o l . 1 1 5 , p p. 8 3 - 9 6 , 1 9 8 2.

6 7 4 0 0 9 0 - 4 1 0 4 / 8 5 / 2 8 0 5 - 0 6 7 4 5 0 9 . 5 0 9 1 98 5 P l e n u m P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n

[04] a theorem on the markov periodic approximation in ergodic theory

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