DERNIRE IMPRESSION LE 1er aot 2013 12:23

Chapitre 6Quelques mouvements particuliers

Table des matires

1 Mouvement dun projectile 21.1 nonc du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 quations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 quation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Calcul de la porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Calcul de la flche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Mouvement dune charge 42.1 nonc du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 quations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 quation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

PAUL MILAN 1 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

1 MOUVEMENT DUN PROJECTILE

1 Mouvement dun projectile

1.1 nonc du problme

On lance un ballon de foot avec un angle par rapport lhorizontale avec unevitesse initiale v0.On peut alors faire le schma suivant :

O

b

F

I

h

P

b

M(t)

x(t)

y(t)

v0

v0 cos

v0 sin

b

A

1.2 quations horaires

Le rfrentiel terrestre peut tre considr comme galilen car correspondant auxconditions de laboratoire.On considre le repre Oxy, plan correspondant au mouvement : Ox correspon-dant lhorizontale et Oy la verticale.La seule force extrieure au systme (le ballon de foot) est le poids.

Daprs le PFD, on a :

P = m~a m~g = m~a ~a = ~g

On intgre deux fois le vecteur acclration, que lon projette sur les deux axes,pour obtenir les quations horaires du systme :

~a

0g ~v v0 cos gt + v0 sin

OM

v0 cos t

12

gt2 + v0 sin t

On obtient alors les quations horaires du mouvement suivantes :

x(t) = v0 cos t (1)

y(t) = 12

gt2 + v0 sin t (2)

1.3 quation de la trajectoire

Pour obtenir lquation de la trajectoire, il faut isoler t dans lquation horaire (1)puis le remplacer dans lquation horaire (2) :

De (1), on a : t =x

v0 cos

On remplace dans (2) : y = 12

g

(x

v0 cos

)2+ v0 sin

(x

v0 cos

)

PAUL MILAN 2 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

1.4 CALCUL DE LA PORTE

On obtient lquation de la trajectoire suivante :

y =g

2v20 cos2

x2 + tan x

1.4 Calcul de la porte

La trajectoire est donc une parabole. Pour dterminer la porte, il faut dterminerla distance OA, cest dire la distance xA o le ballon retombe sur le sol soit poury = 0.

Daprs lquation de la trajectoire, on a :

g

2v20 cos2

x2 + tan x = 0 x

(g

2v20 cos2

x + tan

)= 0

La solution xA tant la solution non nulle, on a :

g

2v20 cos2

xA + tan = 0

xA =2v20 cos

2 tan

g

xA =2v20 cos sin

g

Daprs les formules de duplication : sin 2 = 2 sin cos , on a :

OA = xA =v20 sin 2

2g

Remarque : Pour dterminer la porte maximale, on doit avoir sin 2 = 1 qui

correspond =pi

4

1.5 Calcul de la flche

La flche correspond la hauteurmaximale atteinte par le ballon. Sur notre schmala flche correspond la hauteur h atteinte pour labscisse OI.

a) Premire mthode : symtrie de la parabole

Daprs la symtrie de la parabole, on a : OI =OA2

=v20 sin 2

2g

On en dduit alors :

h =g

2v20 cos2

OI2 + tan OI

=g

2v20 cos2

v40 sin

2 24g2

+ tan v20 sin 2

2g

= v20(2 sin cos )

2

8g cos2 +

sin cos

v20(2 sin cos )

2g

= 4v20 sin

2 cos2

8g cos2 +

v20 sin2

g

PAUL MILAN 3 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

2 MOUVEMENT DUNE CHARGE

h = v20 sin

2

2g+

v20 sin2

g

=v20 sin

2

2g

b) Deuxime mthode : tangente horizontale

La flche est obtenue lorsque la vitesse est horizontale soit quand vy = 0

On a alors : gt + v0 sin = 0 t =v0 sin

g

On remplace alors dans lquation horaire de y(t), on obtient :

h = 12

(v0 sin

g

)2+ v0 sin

v0 sin g

= v20 sin

2

2g+

v20 sin2

g

=v20 sin

2

2g

2 Mouvement dune charge lintrieur dun champslectrostatique

2.1 nonc du problme

On considre une particule charge en O de vitesse initiale v0 lintrieur duncondensateur. On peut alors faire le schma suivant :

On note :

E : le champ lectrostatique uni-forme lintrieur du condensateur.

UPN 1 : la diffrence de potentiel entreles deux plaques

q : la particule charge en mouve-ment

F = q

E : la force ltrostatique

Le poids P est ngligeable devant laforce lectrostatique F (P/F 108)

Le schma ci-contre montre la trajec-toire de la particule suivant le signe dela charge.

On considre le repre Oxy

b

O

E

UPN = VP VN > 0

v0

v0 cos

b

M(t)

v0 sin

+++++++++++++++

b

M(t)

q0

F

F x

y

1. B La notation de la diffrence de potentiel est linverse de la notation vectorielle.

PAUL MILAN 4 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

2.2 QUATIONS HORAIRES

Le rfrentiel terrestre peut-tre considr comme galilen car correspondant auxconditions de laboratoire

2.2 quations horaires

Comme le poids est ngligeable devant la force lectrostatique, daprs le PFD,on a :

F = m~a q

E = m~a ~a =q

m

E

On intgre deux fois le vecteur acclration, que lon projette sur les deux axes,pour obtenir les quations horaire du systme (la particule charge) :

~a

qEm0

~v

qEm

t + v0 cos

v0 sin

OM

qE2m

t2 + v0 cos t

v0 sin t

On obtient alors les quations horaires du mouvement suivantes :

x(t) =qE2m

t2 + v0 cos t (1)

y(t) = v0 sin t (2)

Remarque : Dans le cas particulier o =pi

2, on obtient les quations horaires

suivantes :x(t) =

qE2m

t2

y(t) = v0 t

2.3 quation de la trajectoire

Pour obtenir lquation de la trajectoire, il faut isoler t dans lquation horaire (2)puis le remplacer dans lquation (1) :

De (2), on a : t =y

v0 sin

On remplace dans (1) : x =qE2m

(y

v0 sin

)2+ v0 cos

(y

v0 sin

)On obtient lquation de la trajectoire suivante :

x =qE

2mv20 sin2

y2 +y

tan

On obtient alors une parabole daxe parallle laxe Ox.

Remarque : Dans le cas particulier o =pi

2, on a alors comme quation de la

trajectoire :

x =qE

2mv20y2

PAUL MILAN 5 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

Mouvement d'un projectilenonc du problmequations horairesquation de la trajectoireCalcul de la porteCalcul de la flche

Mouvement d'une chargenonc du problmequations horairesquation de la trajectoire