07.4 kombinasi
TRANSCRIPT
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
1/36
KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT :KOMBINASI
MATEMATIKA DISKRIT
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
2/36
Matematika Diskrit 1
IlustrasiMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) danhijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.
Kelereng
m hKaleng
1 2 3
Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3
sama
sama
sama
3 cara
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
3/36
Matematika Diskrit 2
Ilustrasi (Cont.)
Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalamkaleng
32
23
!2
!1
!3
!2
2,3
2
2,3
PP
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
4/36
Matematika Diskrit 3
Definisi
Kombinasi relemen dari nelemen adalah :jumlah pemilihan yang tidak terurut relemen yang diambil dari nbuah elemen
Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi :
Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan
Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari relemen yangdiambil dari nelemen disebut dengan kombinasi-r:
!!
!),(
rnr
nC
r
nCrnC
n
r
C(n,r) dibaca n diambil r r objek diambil dari n buah objek
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
5/36
Matematika Diskrit 4
Interpretasi Kombinasi
1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknyahimpunan bagian yang terdiri dari relemen yang dapatdibentuk dari himpunan dengan nelemen. Dua atau lebihelemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yangsama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :
Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk darihimpunan A :
{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1} 3 buah
{2,3} = {3,2}
3!1!2
23
!23!2
!3
2
3)2,3( 32
CCC
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
6/36
Matematika Diskrit 5
Interpretasi Kombinasi (Cont.)
2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih rbuah elemen dari nbuah elemen yang ada, tetapi urutanelemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak pentingContoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudiandipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakankelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalampanitia kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yangterdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 oranganggota adalah :
caraCCC 15504
!520!5
!20
5
20)5,20( 205
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
7/36
Matematika Diskrit 6
Contoh 1
Ada berapa cara dapat memilih 3 dari4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
8/36
Matematika Diskrit 7
Solusi
Merupakan persoalan kombinasi karenaurutan kemunculan ketiga elemen tersebuttidak penting
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}
Sehingga :
caraCCC 4
!34!3
!4
3
4)3,4( 43
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
9/36
Matematika Diskrit 8
Contoh 2
Berapa cara menyusun menu nasigoreng 3 kali seminggu untuk sarapan
pagi ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
10/36
Matematika Diskrit 9
Solusi Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali
Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari
Maka :
caraCCC 35
!37!3
!7
3
7)3,7( 73
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
11/36
Matematika Diskrit 10
Contoh 3
Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran1 byte atau 8 bit (1 atau 0)
a) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?b) Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?c) Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah
genap ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
12/36
Matematika Diskrit 11
Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)
1 bit terdiri dari 1 atau 0 Maka :a) Posisi bit dalam 1 byte :
7 6 5 4 3 2 1 0
Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)::
Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :
(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28
b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :
caraCCC 56
!38!3
!8
3
8)3,8( 83
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
13/36
Matematika Diskrit 12
c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)
Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1sejumlah genap :
C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
14/36
Matematika Diskrit 13
Contoh 4
Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5wanita.
Berapa banyak cara memilih panitia yangterdiri dari 4 orang dengan jumlah prialebih banyak daripada jumlah wanita ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
15/36
Matematika Diskrit 14
Solusi
Pria = 7 orang Wanita = 5 orang Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak
daripada jumlah wanita Maka :
Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175
Sehingga jumlah cara pembentukan panitia
seluruhnya :C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
16/36
Matematika Diskrit 15
Contoh 5
Sebuah rumah penginapan ada 3 buahkamar A, B dan C. Tiap kamar dapat
menampung 3 atau 4 orang.Berapa jumlah cara pengisian kamaruntuk 10 orang ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
17/36
Matematika Diskrit 16
Solusi Diketahui :
Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang
Misalkan :i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang.
Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang.
Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang.Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)
Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =
210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600
atauC(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
18/36
Matematika Diskrit 17
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
Misal nbuah bola tidak seluruhnya berbeda warna
(ada beberapa bola yang warnanya sama)n1 bola diantaranya berwarna 1n2 bola diantaranya berwarna 2
nk bola diantaranya berwarna kSehingga n1 + n2+ + nk = n. Bola-bola tersebutdimasukkan ke dalam nbuah kotak, masing-masingkotak berisi paling banyak 1 buah bola.Berapa banyak jumlah cara pengaturan nbuah bola
ke dalam kotak-kotak tersebut ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
19/36
Matematika Diskrit 18
Jika nbuah bola dianggap berbeda semua, makajumlah cara pengaturan nbuah bola ke dalam n
buah kotak adalah : P(n,n) = n ! Karena tidak seluruh bola berbeda makapengaturan nbuah bola :
n1! cara memasukkan bola berwarna 1n2! cara memasukkan bola berwarna 2nk! cara memasukkan bola berwarna k
Sehingga permutasi nbuah bola dikenal denganpermutasi bentuk umum:
!!...!
!
!!...!
,),...,,;(
2121
21
kk
k
nnn
n
nnn
nnPnnnnP
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
20/36
Matematika Diskrit 19
Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalamnbuah kotak ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1
Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2
Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3
Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkandalam kotak
Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalamkotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :
!!...!
!
!...!!...
!!!
!!!
,......,,),...,,;(
21
121
121
212
1
11
12121121
k
kkk
k
kkk
nnn
n
nnnnnnnnnn
nnnnnn
nnnn
nnnnnCnnnCnnCnnnnC
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
21/36
Matematika Diskrit 20
Jika S adalah himpunan ganda dengan nbuah objek yang di dalamnya terdiri dari k
jenis objek berbeda dan tiap objek memilikimultiplisitas n1, n2, ,nk (jumlah objekseluruhnya n1 + n2+ + nk = n) maka jumlahcara menyusun seluruh objek adalah :
!!...!
!),...,,;(),...,,;(
21
2121
k
kk
nnn
nnnnnCnnnnP
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
22/36
Matematika Diskrit 21
Contoh 6
Berapa banyak stringyang dapatdibentuk dengan menggunakan huruf-
huruf dari kata MISSISSIPPI?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
23/36
Matematika Diskrit 22
Solusi
S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah
Sehingga n= 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah
jumlah elemenhimpunan S Ada 2 cara :
i. Permutasi :Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah
ii. Kombinasi :
Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
24/36
Matematika Diskrit 23
Contoh 7
Ada 12 lembar karton akan diwarnaisehingga ada 3 diantaranya berwarna
merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarnaungu dan sisanya berwarna coklat.Berapa jumlah cara pewarnaan ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
25/36
Matematika Diskrit 24
Solusi
Diketahui :n1 = 3n2 = 2n3 = 2
n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan :
n = 12
cara
PPnnnnnP 166320
!5!2!2!3
!12
!5!2!2!3
12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
26/36
Matematika Diskrit 25
Kombinasi Pengulangan
Misalkan terdapat rbuah bola yang semua warnanya samadan nbuah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka
jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n,r)
Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, makajumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n+r-1, r)
C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemennbuah objek akan diambil rbuah objek dengan
pengulangan diperbolehkan
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
27/36
Matematika Diskrit 26
Contoh 8
Ada 20 buah apel dan 15 buah jerukdibagikan kepada 5 orang anak, tiapanak boleh mendapat lebih dari 1
buah apel atau jeruk, atau tidak samasekali.
Berapa jumlah cara pembagian yang
dapat dilakukan ?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
28/36
Matematika Diskrit 27
Solusi
Diketahui :
n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk
20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak
C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20) 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)
Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jerukmaka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut
adalah :C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3
= 41.186.376 cara
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
29/36
Matematika Diskrit 28
Contoh 9
Toko roti Lezat menjual 8 macamroti.
Berapa jumlah cara mengambil 1 lusinroti ? (1 lusin = 12 buah)
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
30/36
Matematika Diskrit 29
Solusi
Diketahui :n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti
Misalkan macam-macam roti dianalogikansebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisilebih dari 1 buah roti.
Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti(sama dengan jumlah cara memasukkan 1lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :
C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
31/36
Matematika Diskrit 30
Contoh 10
Ada 3 buah dadu dilempar secarabersama-sama.
Berapa banyaknya hasil berbeda yangmungkin terjadi ?
l
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
32/36
Matematika Diskrit 31
Solusi
Diketahui :n = 6 6 buah mata dadu
r = 3 3 dadu dilemparkan bersamaan
Sehingga banyaknya hasil berbeda yangmungkin terjadi adalah :
C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)
= C(8,3) = 56 cara
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
33/36
Matematika Diskrit 32
Latihan1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang
mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara
membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :a. Tidak ada batasan jurusanb. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik
Informatikac. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro
d. Semua anggota panita harus dari jurusan yang samae. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili2. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil
dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukankartu = 52 buah)
3. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku
yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan bukuPemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki palingsedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyakcara memilih 6 buah buku ?
L tih ( t )
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
34/36
Matematika Diskrit 33
Latihan (cont.)
4. Carilah jumlah himpunan bagian dari A =
{a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2elemen ?5. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa,
40 orang diantaranya pria.a. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10
orang ?b. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus samadengan banyaknya wanita
c. Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6pria dan 4 wanita atau4 pria dan 6 wanita
6. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunanB = {1, 2, , 10} yang mempunyai anggota palingsedikit 6?
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
35/36
Matematika Diskrit 34
Latihan (Cont.)5. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5
orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri
dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapatdibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 priadan 1 wqanita ?
7. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orangpria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapatdibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2
orang wanita di dalamnya ?9. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlahpengurutan 4 huruf jika :
a. Tidak ada huruf pengulanganb. Boleh ada huruf pengulanganc. Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d
harus adad. Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada
-
7/16/2019 07.4 KOMBINASI
36/36
Matematika Diskrit 35
Latihan (Cont.)
10. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata WEAKNESS sedemikian sehingga 2 buahhuruf S tidak terletak berdampingan ?