Iniciación a la Resistencia de los Materiales

•TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS

•de J.A.G. Taboada

Texto de referencia:

PARTE 1 : Resistencia

Objeto:

COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS

DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE

MATERIALES.

CAPITULO III:

VIGAS

---------

DIAGRAMAS DE

SOLICITACIONES

Lección 6:

2011

Lección 6 :

• 6.1 .- Definiciones y generalidades.

• 6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas.

• 6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad.

• 6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector. Convenio de signos

• 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.

• 6.6 .-Concepto de deformada o elástica.

2 Acciones permanentes• 2.1 Peso propio• 1 El peso propio a tener en cuenta es el de los elementos estructurales, los cerramientos y elementos

• separadores, la tabiquería, todo tipo de carpinterías, revestimientos (como pavimentos, guarnecidos,

• enlucidos, falsos techos), rellenos (como los de tierras) y equipo fijo.

• 2 El valor característico del peso propio de los elementos constructivos, se determinará, en general,

• como su valor medio obtenido a partir de las dimensiones nominales y de los pesos específicos

• medios. En el Anejo C se incluyen los pesos de materiales, productos y elementos constructivos típicos.

• 3 En el caso de tabiques ordinarios cuyo peso por metro cuadrado no sea superior a 1,2 kN/m2 y cuya

• distribución en planta sea sensiblemente homogénea, su peso propio podrá asimilarse a una carga

• equivalente uniformemente distribuida. Como valor de dicha carga equivalente se podrá adoptar el

• valor del peso por metro cuadrado de alzado multiplicado por la razón entre la superficie de tabiquería

• y la de la planta considerada. En el caso de tabiquería más pesada, ésta podrá asimilarse al

• mismo valor de carga equivalente uniforme citado más un incremento local, de valor igual al exceso

• de peso del tabique respecto a 1,2 kN por m2 de alzado.

• En general, en viviendas bastará considerar como peso propio de la tabiquería una carga de 1,0 kN por cada m2 de superficie construida

3 Acciones variables• 3.1 Sobrecarga de uso: La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por

razón de su uso. La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por razón de su uso.

6.1 .- Definiciones y generalidades

Vigas

Pilares

Cimentación

Fibra media

Plano medio

Prisma elemental

Ley de Hooke

Pº Saint Venant

Hip. Bernouilli

Rigidez relativa

Pº Superposición

No secciones br

6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas.

Cargas

Concentradas

Repartidas

Permanentes

Sobrecargas

Reacciones

Representación Símbolo Ecuaciones

Existe en el apoyo:MF, N, V

Empotramiento

No existen:v, h,

Articulado fijo

Existe en el apoyo:N, V,

No existen:v, h, MF

Representación Símbolo Ecuaciones

Existe en el apoyo:V, h,

Articulado móvil

No existen:v, Fh, Mf

Articulación intermedia

Existen en ella:N, V,

No existen:v, h, Mf

GRADO DE HIPERESTATICIDAD

Es la diferencia existente en un sistema entre el número de reacciones incognitas a resolver y la cantidades de ecuaciones del mismo disponibles para su resolución, (ecuaciones de la estática y puntos singulares).

El Grado de Hiperestaticidad indica el número de ecuaciones de deformación que es necesario plantear para resolver el sistema.

G.H. = Nreacciones – 3 – nº artic.

6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad.

• Resolución de una viga:– hallar las reacciones en los apoyos.– NR = nm + 2·nf + 3·ne

– Siendo • NR el nº de reacciones a calcular• nm el nº de articulaciones móviles• nf el nº de articulaciones fijas• neel nº de empotramientos

– Si NR es igual a 3 el sistema es isostático

Solicitación

• Esfuerzo Normal

• Esfuerzo Cortante

• Momento Flector

• Momento Torsor

Efecto

Alargamiento

Deslizamiento

Giro de Flexión

Giro de Torsión

N

V

Mf

Mt

6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector, momento torsor.

Solicitación

• Esfuerzo Normal

• Esfuerzo Cortante

• Momento Flector

• Momento Torsor

N

V

Mf

Mt

6.4 .- Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos

+

+

+

6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.

• Los diagramas de esfuerzos son la representación gráfica de los valores (en ordenadas) que tienen a lo largo del prisma mecánico.

• En ellos se representan los puntos de máximos y por tanto se detectan las secciones en donde se producen para poder proceder a su análisis.

• El Objetivo es diseñar una estructura que resista el punto donde se produce una mayor Solicitación.

6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.

• Relación entre “q”, “V”, “Mf”:

Donde V = 0 => Mf tiene un max.o min. relativo

Si V = 0 en un tramo => Mf = Cte.

Donde q = 0 => V tiene un max. o min. relativo

Si q = 0 en un tramo => V = Cte.

El esfuerzo cortante es la pendiente del diagr. Mf.

La carga unitaria es la pendiente del diagr. V

Si hay una carga concentrada V varía brúscamente

Para tener un brúsca del Mf ha de estar aplicado Mf

Se puede estudiar cada carga separadamente (ppº sup)

dx

q

Mf + dMfMf

V+dV

V

Fv = 0 => dV + q·dx = 0 => q = - dV/dx

Mf = 0 => dV·dx - dMf= 0 => V= dMf/dx

despreciando – q·d2x / 2

FORMULAS UNIDADES

A B Concepto Simbolo Valor Unidades

Carga Vertical P = 3.000 KgP Carga Horizontal Fh = 0 Kg

L Carga a Flexión M = 0 Kg∙cmLongiud L = 600 cmCanto sección h = 60 cm

N = 0 Base sección b = 12 cm

Módulo Elasticidad E = 2.100.000 Kg/cm2

Momento Inercia Iz = 216.000 cm4

V = +P Módulo Poisson 0,30 -ReaccionesRa = P Ra = 3.000 Kg

M = -PL Ha = 0 Ha = 0 KgMa = -PL Ma = -1.800.000 Kg∙cm

Sección 1M = 0 x = 0 en B x = 600 cm

0< x < LN = Ha = 0 Nx = 0 Kg

A B V = P Vx = 3.000 KgM = - P∙x Mx = -1.800.000 Kg∙cm

SOLICITACIONES Y DEFORMADAVALORES

-

+

6.6 .-Concepto de deformada o elástica.

• Es la forma que adopta la “fibra media una vez sufridas las acciones exteriores y haberse alcanzado el equilibrio elástico.

• Su ecuación representa la curva que forma, en la cual el Mf es la pendiente de la tangente en cada punto.

r

dx

d

y

r / dx = y / dx·

= y / r

=·E = (y / r) ·E/ (y ·E) =r

dx dx·

y

r

Mf = E·Iz / r

Mf / E·Iz = 1/ r

E·Iz : Rigidez a Flexión :

Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse.Es función del Material (E) y de la “forma” de la sección (Iz)

Cuanto mayor sea este término mas Momento resiste sin curvarse.

Mf = (·y·dS)

= E/r · (y2·dS)

= E·Iz / r

/ (y ·E) =r

Deformada de un prisma mecánico

Viga apoyadaFH = 0

FV = 0

MA = 0

L/2 L/2A

BHA = 0

RA + RB = P

1/2 P·L -RB ·L = 0

Hoja de cálculo de

Microsoft Excel

PórticoFH = 0

FV = 0

MA = 0

HA = 0

RA + RB = P

1/2 P·L -RB ·L = 0L/2 L/2

AB

Resolución de Pórtico

D

A

C

B

L

L

I

I I

P

D

A

C

B

L

L

I

I I

P

Resolución de Pórtico

MF = 0

FV = 0

FH = 0

M1 = HB·x = 0 0 < x < L

M2 = RB·x 0 < x < 1/2L

M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L

M4 = RB·L - P·1/2·L = 0 0 < x < Lx

x

x

x

RB

RA

HAP = RA + RB

RA = ½·P

RB = ½·P

HA = 0

+ -

L/2

AB

N1 = RB

-

-

+

DC

L

L

P

- -

M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x

V1 = 0

Sección1 => x = 0 en B

M1 = 0

N2 = 0

V2 = - RB

Sección2 => x = 0 en D

M2 = RB · x

N3 = 0

V3 = P - RB

Sección3 => x = 0 en E

N4 = RA

V4 = HA = 0

Sección4 => x = 0 en A

M4 = HA · x= 0

RA = ½·PRB = ½·PHA = 0

L > x > 0

½·L > x > 0 ½·L > x > 0

L > x > 0