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1. OBJETIVOS

1.1 Comprobar el principio de conservación del momento lineal en la colisión de dos esferas rígidas.

1.2 Determinar el coeficiente de restitución y deducir el tipo de colisión producida.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

Momento lineal.

El momento lineal de una partícula de masa m y velocidad v

es una magnitud vectorial definida por

el producto de su masa por su velocidad

vmp

(1)

Si el movimiento es unidimensional, el momento lineal puede expresarse obviando la notación

vectorial y entonces tener:

p = m v (2)

El momento lineal total de dos partículas de masas m1 y m2 que se mueven a lo largo del eje X con

velocidades v1 y v2 es la suma algebraica de los momentos lineales de cada partícula:

ptotal = m1v1 + m2v2

Si el sistema de las dos partículas en movimiento esta aislado (libre de fuerzas exteriores) se

demuestra que el momento lineal del sistema es constante.

ptotal = constante dt

dp total = 0 F = 0

Este resultado se conoce como el “Principio de Conservación del Momento Lineal” y afirma que:

en ausencia de fuerzas exteriores, el momento lineal total de un sistema se mantiene constante.

Colisiones en una dimensión.

Dos partículas moviéndose sobre el eje X colisionarán en un punto A siempre que la posición

relativa entre las partículas disminuya antes de llegar al punto A, pero aumente o se reduzca a cero a

partir de este punto A. (Figura 1)

Figura 1. Posiciones relativas de dos partículas antes y después del choque

u1 u2 m2 m1

A X

PARTICULAS DESPUÉS

DEL CHOQUE

PARTICULAS ANTES DEL CHOQUE

v1 v2 m1 m2

A X

70

Esto es: P (antes del choque) = P ' (después del choque)

m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 (3)

donde v1 y v2 son las velocidades de las partículas antes del choque; mientras que u1 y u2 son las

velocidades después del choque.

La interacción entre partículas modificará la energía interna de las mismas y en consecuencia,

también se modificarán las energías cinéticas. Si el cambio total de las energías internas es cero, la

energía cinética total se mantiene constante y la colisión se denomina elástica. En caso contrario la

colisión es inelástica. En el caso de una colisión elástica se cumple la ley de conservación de la

energía cinética, que se puede expresar en la forma siguiente:

2

1m1v1

2 +2

1m2v2

2 = 2

1m1u1

2 +2

1m2u2

2 (4)

Una colisión es perfectamente inelástica cuando la velocidad relativa de las partículas después del

choque es igual a cero. Esto significa que después de la colisión las partículas se mueven con la

misma velocidad.

Para describir el grado de elasticidad de las colisiones, se define el coeficiente de restitución usando

la relación entre las velocidades relativas después y antes de la colisión. Esto es:

12

12

vv

uue

(5)

de donde obtendremos que:

e = 1 para una colisión Elástica. 0< e < 1, para una colisión Inelástica e = 0, para una colisión perfectamente Inelástica (u1 = u2 )

Ahora consideremos el choque de dos pequeñas esferas de masas m1 y m2 como se muestra en la

Figura 2, que interaccionan frontalmente en la parte inferior de la rampa circular. En esta posición el

movimiento de la esfera m1 es horizontal con una velocidad v1, en tanto que la esfera m2 antes del

choque se encuentra en reposo (v2 = 0)

Figura 2.

m1

m2 m1 m2, v2=0

v1

Posición de las esferas antes que ruede m1 Posición de las esferas justo antes de la colisión

71

Inmediatamente después de la colisión, las dos masas inician su movimiento horizontalmente con

velocidades u1 y u2, siguiendo trayectorias parabólicas como las mostradas en la Figura 3.

En la posición de colisión la fuerza resultante sobre el sistema es cero y como la interacción es

instantánea se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal. Por lo tanto, las

Ecuaciones 3 y 5 para este caso toman la forma:

m1v1 = m1u1 + m2 u2 (6)

y

1

12

v

uue (7)

3. MATERIALES E INSTRUMENTOS ( )

Materiales Instrumentos Precisión

4. PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES ( )

4.1 Instalar el equipo como se muestra en la Figura 3 y usando la escuadra determine en la misma

vertical la posición del punto de colisión (posición de reposo de m2) y el punto O en el piso.

Respecto a este punto se medirán las distancias horizontales que recorren las esferas antes

impactar en el piso.

Figura 3 Posición de las esferas después de la colisión

4.2 Medir las masas m1 y m2 de las esferas y, colocando cada esfera en el borde de la rampa, medir

la distancia vertical “y ” desde el centro de la esfera m2 hasta el punto “O”.

m1

m2

u2 u1

mesa

x'1

x'2

y

papel

O

72

m1 = ...................................... m2 = ......................................... y = ......................................

4.3 Colocar solamente la esfera m1 en la parte más alta de la rampa y localizar, a simple vista, la

posición del punto donde impacta en el piso. Colocar en este punto el papel carbón sobre el

papel sábana y soltar otra vez la esfera m1. Observar la marca que deja sobre el papel sábana.

4.4 Repetir este proceso siete veces más sin mover los papeles del piso.

4.5 Retirar el papel sábana y medir las distancias x i de los puntos de impacto de la esfera. Anotar

sus datos en la Tabla 1.

Tabla 1.

N x1 (m) x'1 (m) x'2 (m)

1

2

3

4

5

6

7

8

4.6 Ahora colocar la esfera m2 en la parte inferior de la rampa y dejar rodar la esfera m1 desde la

parte superior de la rampa hasta que choque con la esfera m2. Evite al rebote de las esferas

después del impacto en el piso porque pueden volver a marcar el papel. Repetir esto siete veces

más.

4.7 Retirar el papel sábana y medir los alcances x'1 y x'2 de cada una de las esferas después del

choque. Anotar sus valores en la Tabla 1.

5. PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS ( )

5.1 Asumiendo que las esferas son proyectiles disparados horizontalmente desde el punto de

colisión, calcular las velocidades v1, u1, y u2 , usando las formulas

vi = xiy2

g o ui = xi'

y2

g (8)

anotar en la Tabla 2 los valores que obtenga

5.2 Completar las Tablas 2 y 3, calculando los momentos lineales de cada masa antes y después de

la colisión, así como los momentos totales respectivos.

73

Tabla 2. Momento de las partículas antes y después de la colisión

N

Antes del choque Después del choque

v1

(m/s)

p1

(kg.m/s)

v2

(m/s)

p2

(kg.m/s)

u1

(m/s)

'p1

(kg.m/s)

u2

(m/s)

'p2

(kg.m/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

Prom.

Tabla 3. Momento totales antes y después de la colisión

N

Antes del choque Después del choque

p1

(kg.m/s)

p2

(kg.m/s)

Pi

(kg.m/s)

'p1

(kg.m/s)

'p2

(kg.m/s)

Pf

(kg.m/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

Prom.

5.3 Verificar el principio de conservación del momento lineal usando la Ecuación (6).

Pi = Cantidad de movimiento total promedio antes del choque = ............................................

Pf = Cantidad de movimiento total promedio después del choque = .............................................

74

5.4. Compare los resultados anteriores calculando la desviación porcentual (%) de los resultados

obtenidos en el ítem anterior. Si % es menor o igual que 5% puede asumirse que se cumple el

Principio de Conservación del Momento Lineal.

Desviación porcentual = %100P

PP%

i

fi

= ………….………………………………

5.5 Con los resultados obtenidos y con la Ecuación 7 calcular el coeficiente de restitución:

…………………………………………………………………………………………………

5.6 ¿Cuál es el tipo de colisión en el experimento?

………………………………………………………………………………………………….

6. RESULTADOS ( )

6.1 Usando los valores medios de los momentos lineales antes y después de la colisión de la Tabla 3

se tiene:

Esferas colisionantes Momento lineal

Antes de la colisión Después de la colisión

Esfera m1

Esfera m2

Total

Desviación %

Coeficiente de restitución, e

Tipo de colisión

7. CONCLUSIONES ( )

7.1. ¿Por qué son o no aceptables sus resultados sobre la conservación del momento lineal?

..........................................................................................................................................................

7.2 La pérdida de energía cinética EC en la colisión inelástica la obtenemos usando:

EC = )e1()2v1v(

21

21

2

1 22

mm

mm

EC = ...............................................................................................................................................

7.3 ¿Diga por qué, en este caso, no hay conservación de la energía cinética?

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

75

8. BIBLIOGRAFÍA ( ) (Indique: Autor, Título, Editorial, fecha, edición, página)

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

9. PUNTUALIDAD ( )