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U. DE SANTIAGO DE CHILE FAC. DE CIENCIA DEP. DEMATEMATICA Y C.C.
SOLUCIÓN TERCERA PRUEBA ECUACIONESDIFERENCIALES 10008-11039-19003-95007-96008
Ingeniería Civil Segundo Semestre 2008
Pregunta 1
a) Resuelva el problema de Sturm-Liouville M 00(x) + 2M 0(x) + M (x) = 0
M (0) = M () = 0
b) Use el método de separación de variables y la parte a) para resolver laecuación
utt(x; t) = uxx(x; t) + 2ux(x; t); 0 < x < ; t > 0
u(0; t) = u(; t) = 0u(x; 0) = ex(sen(3x) + 2sen(5x)); ut(x; 0) = 0
Desarrollo. a) La ecuación característica es
k2 + 2k + = 0 =) k = 1p
1 Si 1 > 0, entonces la solución es M (x) = ae(1
p 1)x + be(1+
p 1)x
M (0) = a + b = 0 =) b = a y M () = ae(1p 1)ae(1+
p 1) =
0 =) a = 0. Por lo tanto, no hay soluciones no nulas.———————————————————————————0,2 puntos
Si 1 = 0 =) k = 1 y la solución es M (x) = aex + bxexM (0) = a = 0 y M () = be = 0 =) b = 0. Por lo tanto, no hay
soluciones no nulas.———————————————————————————0,2 puntos
Si 1
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———————————————————————————0,2 puntos
N 00n(t) + N n(t) = 0 son N n(t) = an cos(p
1 + n2t) + bnsen(p
1 + n2t)
———————————————————————————0,2 puntosPor lo tanto, la solución general es
u(x; t) =1Xn=0
(an cos(p
1 + n2t) + bnsen(p
1 + n2t))exsen(nx)
———————————————————————————0,3 puntosUsamos las condiciones iniciales para calcular los coe…cientes
u(x; 0) =1
Xn=0
anexsen(nx) = ex(sen(3x)+2sen(5x)) =) a3 = 1; a5 = 2; an = 0 8 n 6= 3^n 6= 5
———————————————————————————0,3 puntos
ut(x; 0) =1Xn=0
bnp
1 + n2exsen(nx) = 0 =) bn = 0 8 n
———————————————————————————0,2 puntosLuego, la solución es
u(x; t) = ex(cos(p
10t)sen(3x) + 2 cos(p
26t)sen(5x))
———————————————————————————0,2 puntosPregunta 2Resuelva
utt = 4uxx , 0 x 2; t 0u(x; 0) = sen(2x) , ut(x; 0) = x 0 x 2u(0; t) = u(2; t) = 0 t 0
RespuestaSea u(x; t) = M (x)N (t); derivando uxx(x; t) = M (x)N (t) yutt(x; t) = M (x)N (t)
reemplazando en la ecuación M (x)N (t) = 4M (x)N (t) , separando variablesse tiene
(1) M (x) + M (x) = 0 (2) N (t) + 4N (t) = 0
De las condiciones de frontera:
u(0; t) = 0 =) M (0)N (t) = 0 =) M (0) = 0u(2; t) = 0 =) M (2)N (t) = 0 =) M (2) = 0
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Obtenemos el problema de Sturm-Liouville
M (x) + M (x) = 0M (0) = M (2) = 0
Cuyos autovalores y autofunciones son respectivamente
n = n22
4 ; M n = sen
n2
x
———————————————————————————0,5 puntosLa solución de la ecuación es N (t) + 4N (t) = 0 es
N n(t) = an cos(nt) + bnsen(nt)
Por lo tanto, la solución general es
u(x; t) =1Xn=1
[an cos(nt) + bnsen(nt)] senn
2 x
———————————————————————————0,5 puntosUsando las condiciones iniciales calculamos las constantes an y bn:
sen(2x) = u(x; 0) =1Xn=1
ansenn
2 x
=) a4 = 1 y an = 0 8 n 6= 4
———————————————————————————0,3 puntosla solución queda
u(x; t) = cos(4t)sen(2x) +1Xn=1
bnsen(nt)senn
2 x
x = ut(x; 0) =1Xn=1
nbnsenn
2 x
=) nbn =Z 20
xsenn
2 x
dx = 4(1)n
n
Por lo tanto
bn = 4(1)n+1
n22
———————————————————————————0,5 puntos
y la solución general es
u(x; t) = cos(4t)sen(2x) +1Xn=1
4(1)n+1n22
sen(nt)senn
2 x
———————————————————————————0,2 puntos
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Problema 3. Resuelva la ecuación de Laplace u = 0 en un anillo semicircular, considerando las siguientes condiciones:
u(r; 0) = u(r; ) = 0; para 1 < r
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———————————————————————————0,2 puntos
u(1; ) = sen(2) ()1Xn=1
(anan22n)sen(n) = sen(2) () a2a224 = 1 () a2 = 115
es decir,
a2 = 1
15 y an = 0; 8 n 6= 2
———————————————————————————0,2 puntosLuego, la solución es
u(r; ) =
1
15r2 +
16
15r2
sen(2)
———————————————————————————0,1 puntosLa máxima temperatura debe estar en el borde, en este caso, cuando r = 1
(en los otros es cero) . Es decir,———————————————————————————0,2 puntos
u(1; ) = sen(2) =) u(1; ) = 2 cos(2) = 0 =) = 4 ^ = 3
4
———————————————————————————0,2 puntosLa temperatura máxima se alcanza en los puntos (1; 4 ), (1;
34 )
———————————————————————————0,1 puntos
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