08b schwerpunkt und impuls -...
TRANSCRIPT
1
08b Schwerpunkt und Impuls
2
Zusammenfassung
Der Massenschwerpunkt eines ausgedehnten Objektes bewegt sich entlang einer geraden Linien, wenn keine Kräfte auf den Gesamtkörper wirken
ausgezeichneter Punkt eines Körpersalle Kräfte greifen an diesem Punkt an
Position des Massenschwerpunktscenter of mass (CM) N
NNcm mmm
xmxmxmx++++++
=......
21
2211
Newtonsche Bewegungsgleichung gilt auch für den Massenschwerpunkt
Bewegung eines ausgedehnten Körpers unter dem Einfluss äußerer Kräfte (hier Gravitation)
NmmmM +++= ...21
cmres MaF =Gesamtmasse
Beschleunigung des Massenschwerpunkts
Kraft auf den Massenschwerpunkt
keine Berücksichtigung interner Kräfte (chemische Bindung, ...)
Gesamtmasse M des Systems ändert sich nicht (geschlossenes System)
keine Aussage über Beschleunigung der Einzelkomponenten
3
Grand Jetéschwebende Balletösen
4
Grand Jetéwarum keine Parabelbahn?
5
Rückgriff 2D Kinematik
time time
take off
landverti
cal v
eloc
ity
horiz
onta
l vel
ocity
going up coming down
time timeverti
cal p
ositi
on
horiz
onta
l pos
ition
going up coming down
Geschwindigkeit
Position
horizontale Geschwindigkeit
horizontale Position Zeitrichtung
vertikal horizontal
Vertikale Bewegung ergibt die bekannte parabelförmige Bahn.
Horizontale Komponente ist linear mit der Zeit (keine Geschwindigkeitsänderung)
Geschwindigkeitskomponenten der Tänzerin als Funktion der Zeit während des Sprungs.
Vertikale Geschwindigkeit linear mit der Zeit.Horizontale Komponente konstant
6
Wenn Newton recht hat ....
2 ft
7.1 ft
... dann ist die Trajektorie des Massenschwerpunkts der Tänzerin ebenfalls eine Parabelbahn.
0.60 m
2.16 m
v=3 m/s
Wo kommt dann der Eindruck her, dass die Tänzerin schwebt???
7
Der Schlüssel zum Erfolg
Durch Heben der Hände, d.h. durch Verlagerung des Schwerpunkts in Richtung Kopf wird der Eindruck des Schwebens erweckt.
2 ft
1.3 ft
Vertikale Bewegung des Kopfes damit geringer als die
vertikale Bewegung des Schwerpunkts
8
Illusion der schwebenden Tänzerin
Half the time in the jump is spentbetween these two points
Top of the dancer’s headspends half the time of the
jump between these two points
Grand Jeté
Während der Hälfte der Zeit für den Sprung ändert sich die Position des Kopfes nur geringfügig, während sich der Schwerpunkt auf der
Parabelbahn bewegt.
KopfhΔ
tΔ
CMhΔ
9
HochsprungWarum springen heutzutage alle Weltklassehochspringer eigentlich den Fosbury Flop?
Schersprung
Rollsprung
1800 Beginn Schottische Highland GamesHocksprung
1874 William Page Schersprung
1912 George Horine erster Mensch springt über 2mWestern-Roller
1936 David AlbrittonStraddle
1968 Dick Fosbury Fosbury Flop
10
Straddle
Christian SchenkStraddle technik 2.27m
10-Kampf Olympiasieger 1988 Seoul
Rosemarie Ackermann1977 Weltrekord. Erste Frau, die die 2m Marke überspringt
Wladimir Jaschtschenko1977 Weltrekord 2,33m 1978 Hallenweltrekord 2,35m,
11
Fosbury Flop
Dick Fosbury Olympische Spiele 1968 Mexico City Goldmedallie 2,24m
12
Hochsprungein Blick auf den Schwerpunkt
Schersprung
Wälzsprung
13
Fosbury Flop
14
Javier Sotomayor
Javier SotomayorKörpergröße 1.93 m
Weltrekord 19932.45m
15
Impuls
Der lineare Impuls eines Teilchens p ist eine Vektorgröße und ist definiert als
vrr mp =
Oft wird in diesem Zusammenhang nur von Impuls stattlinearem Impuls gesprochen. Wir werden später noch eine
weitere Größe kennen lernen- den Drehimpuls, der verbunden ist mit der Beschreibung von Rotationen.
Da die Masse m eine positive, skalare Größe ist, zeigen die Vektoren von Impuls und Geschwindigkeit stets in dieselbe Richtung.
Zweites Newtonsches Axiom
pdtdm
dtdamFres
rrr=== v
Wichtige Konsequenz:Ohne äußere Einwirkung (Fres) ändert sich der Impuls p eines Teilchens nicht.
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
=s
mkgImpulses desEinheit
p
vr
pr
16
Bat strikes Baseballoder umgekehrt
Newtonsche Gesetze gelten auch hier!
d.h. Impuls kann auch auf andere Körper übertragen werden.
17
Gesamtimpuls
nppppP rrrrr++++= ...321
n332211 v...vvv rrrrrnmmmmP ++++=
CMvrr
MP = linearer Impuls eines Systems von Massenpunkten
Der Impuls P eines Systems von Massenpunkten ist das Produkt aus der Gesamtmasse M des Systems und der Geschwindigkeit des Schwerpunktes vCM
Betrachte die Impulse der Einzelteilchen
PdtdF
aMMdtdP
dtd
res
CM
rr
rrr
=
== CMv
Zweites Newtonsches Gesetz für ein System von Massenpunkten
Wieder giltOhne Äußere Einwirkung (Fres) ändert sich auch der Gesamtimpuls P eines Systems von Teilchens nicht.
nmmmmM ++++= ...321
CMvr
1vr
nvr
2vr
18
Zeitabhängigkeit im StossprozessKraftstoss
Einfluss auf Impulskomponente - Starke Abbremsung, - Anhalten des Balls- Änderung der Bewegungsrichtungund Deformationelastische Energie
)(tFr
dttFpd )(rr
=Im Zeitintervall dt ändert sich durch Einwirkung einer (zeitabhängigen) Kraft F(t) der Impuls um die Größe dp
∫∫ = f
i
f
i
t
t
t
tdttFpd )(
rr
∫ Δ== f
i
t
tpdttFJ rrr
)(
ppppdf
i
t
t
rrrrΔ=−=∫ 12
Größe der Kraft und Dauer der EinwirkungImpulsänderung
Definition Kraftstoss
19
Kraftstoß
Zeit t
Kraft F
∫= dttFJ )(rr
tΔ
avgFr J
rtFJ avgΔ=
rr Wenn der genaue Verlauf von F(t) unbekannt ist und nur der mittlere Krafteintrag bekannt ist
Annäherung an das Problem
20
Stosskaskadeidealisiertes Modell für die Stöße von Luftmolekülen mit einer Wand
vr
stetiger Strom von Teilchen mit identischem Impuls trifft auf feste Wand
vvΔ
ΔΔ
−=ΔΔ⋅⋅
−=ΔΔ⋅
−=Δ
=tm
tmn
tpn
tJFavg
für ein Zeitintervall Δt
pnJWand Δ−=pnJTeilchen Δ=
m
1. Fall vf =0, d.h. Teilchen bleiben nach dem Stoss am Fuß der Wand liegen
vvvv −=−=Δ if
2. Fall vf =-v, d.h. Teilchen haben nach dem Stoß die gleiche Geschwindigkeit und fliegen in die entgegen gesetzte Richtung
-2vv-vvvv =−=−=Δ if
Betrag der Geschwindigkeit ändert sich um das doppelte der AnfangsgeschwindigkeitDoppelter Impulsübertrag
Betrag der Geschwindigkeit ändert sich um die
AnfangsgeschwindigkeitEinfacher Impulsübertrag
nmm =Δ
Fallunterscheidung
21
Impulserhaltung
im ,11v
fm ,22vfm ,11v
im ,22v
Bei einem Stoß zwischen zwei Teilchen ohne Einwirkung externer Kräfte gilt der
Satz von der Erhaltung des Impulses
ffii mmmm ,22,11,22,11 vvvv +=+
Zeitrichtung
22
Was hat Impulserhaltung mit Kernkraftwerken zu tun?
23
Langsame Neutronen
Durch Stöße mit Sauerstoffatomen werden schnelle Neutronen abgebremst
Einfahren eines geeigneten Absorbers wie z.B Bor (B) stoppt die Kettenreaktion
Anfahren und Abschalten eines Kernreaktors
Warum bremst man die Neutronen auf geringe Geschwindigkeiten ab?
Bei der Kenspaltung werden schnelle Neutronen erzeugt
Aufheizung des Druckwasserbehälters durch
energetische Neutronen
24
Langsame Neutronen
Einfahren eines geeigneten Absorbers (B) stoppt die Kettenreaktion
Langsame Neutronen verursachen mit höherer Wahrscheinlichkeit eine Kernspaltung
Ein Wirkungsquerschnitt gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit (hier bei gewählter kinetischer
Energie) ein Ereignis eintritt.
diese kinetische Energie erhalten die Neutronen beim
Kernzerfall
Umrechnung MeV in J
sm109.1
s kgm kg
101.67106.12v
J106.1v21
EnergieKinetische
142
2
27-
13
132
⋅=⋅⋅⋅
=
⋅=
−
−
n
nnm
Geschwindigkeit des Neutrons beim Stoss
Sauerstoffatome bewegen sich langsam im Vergleich zu den schnellen Atomen
Betrachte deshalb zunächst allgemein den Stoss mit einem ruhenden Objekt
Einheit des Wirkungsquerschnitts [m²]
25
Langsame Neutronen
NO
27
16mmatomsSauerstoff des Massekg101,67
Neutrons des Masse
=
⋅= −Nm
( ) ( )( )AAABB
AAABB
BBAAA
mmI
mmm
mmm
vvvvv
vvv
v21v
21v
21
altungEnergieerh
2
222
222
+−=
−=
+=
( )( )
( )( )( )
( )AB
AA
AAA
BB
BB
mm
mm
III
vv v
vvvvvv
vv
Ausdruck den Bilde
2
+=
−+−
=
( ) ( )AABB
AAABB
BBAAA
mmII
mmm
mmm
vvv
vvv
vvvltungImpulserha
−=
−=
+=
( ) ( )
( ) ( )
vv
vv
vvvv
vvvv
BA
BAA
BAABA
AAAABB
AAAB
mmmm
mmmm
mmmm
mm
+−
=
−=+
−=+
−=+Ergebnis einsetzen in (II)
Ergebnis einsetzen in (III)
v2v
vv
vvv
BA
AB
BA
BA
BA
BAB
BA
BAB
mmm
mmmm
mmmm
mmmm
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+++
=
+−
+=
Endgeschwindigkeit des zweiten Körpers
konkreter Fall
%78vv
v17
161v
v172v
v2v
2 ≈⇒≈
−=
=
+=
n
fissionn
fissionO
fissionOn
nO
KE
mmm
Schon nach wenigen Stößen bewegt sich das Neutron deutlich langsamer
(A)
(B)
(A)
(B)Richtung der
Bewegung dreht sich um
26
Energie und ImpulsWelchen der Bälle fängt man leichter?
500 g
4 m/s
100 g
20 m/s
Welcher Ball ist leichter zu fangen?
sm kg2
sm 4kg 0.5v
ABallImpuls
111 =⋅== mp
sm kg2
sm 20kg 0.1v
BBall Impuls
222 =⋅== mp J 20sm 20kg 0.1
21v
21
B Ball Energie Kinetische
2222 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅== mKE
J 4sm 4kg 0.5
21v
21
A Ball Energie Kinetische
2111 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅== mKE
A) Impulsbetrachtung B) Energiebetrachtung
Bei gleichem Impuls höhere kinetische Energie !
Gleicher Impuls ist notwendig um Ball zu stoppen
Zu leistende Arbeit ist fünfmal höher, wenn man den kleinen Ball fängt, da da 5xKE (Arbeit-Energie Theorem).
Verwendet man die gleiche Kraft um die Bälle in derselben Zeitspannezu stoppen, wird die Armmuskulatur fünfmal so stark belastet.
27
Elastischer Stoß
28
Impulserhaltung bei Raketenstarts
Vor dem Start:Gesamtimpuls ist NullStart:Brennstoff wird gezündet und nach hinten ausgestoßenLift off:Gesamtimpuls (Rakete+Treibstoff) bleibt erhalten. Rückwärtsimpuls des ausgestoßenen Gases gleich sich mit dem Vorwärtsimpuls der Rakete aus.Konsequenz:Raketen können im leeren Raum beschleunigen.
29
Zweistufige Rakete
Schwerpunkt
d
höchster Punkt der Bahn
d d
3d
30
Energie- und Impulserhaltung
Kräfte variieren während eines Stoßes (F(t)), Analyse (Newtonsche Bewegungsgleichung) aufwendig
in der Regel bekannt Anfangs- und Endbedingungen von Energie und Impuls wenn keine Energieumwandlung inz.B. Wärme, dann ist kinetische Energie erhalten
Bemerkungvernachlässigt wird Umwandlung der kinetischen Energie kurzzeitig in elastische Energie
vollständige Rückführung in kinetische Energie (Energieerhaltung)
Elastische Stöße
22
21
22
21 f2,f1,i2,i1,
v21v
21v
21v
21 mmmm +=+
Erhaltung der Energie in elastischen Stößen
Atomare Stöße sind oft elastisch
menEnergiefor andere,2,1,2,1 ++=+ ffii KEKEKEKEInelastische Stöße
Energieverlust in dissipative KanäleWärme, Schall,...
31
Elastische Kernstöße Proton stößt mit Heliumatom
Proton
Helium
smiproton / 10v 5=
fprotonv
fheliumv
smfhelium / 0v =
heliumproton mm41
ältnisMassenverh
=
Übungsaufgabe
32
Eishockeytorwart stoppt Puck
Puck170 g
Torwart80 kg
Geschwindigkeit des Pucks190 km/h ~ 50 m/s
( )
AnnahmeBewegung des Pumcks ist
reibungsfreifür eine Eisfläche eine gute Näherung
iP
TP
PfTP
fTPTP
iPP
fT
fP
iT
fTT
fPP
iTT
iPP
mmm
mmm
mmmm
vv
vv
v v0,v
vvvv
+=
+=
==
+=+
+
+
sm
kgkgf
TP 11.0sm50
17.8017.0v ==+
Impulserhaltung
Energieerhaltung
( )
( ) J 0.49sm0.1180.17kg
21v
21
J 212.5sm500.17kg
21v
21
2
2
=⋅=
=⋅=
+f
TPP
iPP
m
m
438=f
i
KEKE
Stoß stark inelastischEnergietransfer in Wärme und Schall
Wenn Energie- und Impulserhaltung erfüllt sich, dann sollten beide Werte dasselbe Ergebnis
liefern! An welcher Stelle haben
wir Fehler in der
Betrachtung gemacht?
33
Golf Swing
Elastizität des BallsA) weicher Ball
zuviel Energie wird aufgewendet um den Ball plastisch zu verformen
B) harter Ball Kaum Verformung des Materials, d.h. kaum Speicherung kinetischer Energie in Formenergie.
Maximales Gewicht 45.93 gMinimaler Durchmesser 42,67 mm
USGA - United States Golf Association
Ballhärte wird an die Geschwindigkeit des Schlägers angepasst
34
Schlagweite
Aus der Betrachtung der Dynamik von Würfen wissen wirgrößte Weite für einen Abschlagwinkel von 45°.
35
Abschlagwinkel 45°?
Umwelteinflüsse wie
- Windkräfte (Luftwiderstand)- Temperatur (Auftrieb) - Atmosphäre (Luftdichte) und - Luftfeuchte (Stöße)
können aber bei einer realistischen Beschreibung der Dynamik nicht vernachlässigt werden.
36
Eigenschaften des Balls
Ebenfalls vernachlässigt wurde die Oberflächenstruktur (dimples) und die Eigendrehung (spin) des Balls.
In der Realität spielen diese Effekte aber eine wichtige RolleZum Teil hängen die einzelnen Beiträge von einander ab.
(mehr davon zu einem späteren Zeitpunkt)
Eigendrehung des Balls verändert die Flugbahn
Beschaffung der Oberfläche hat
erheblichen Einfluss auf die Flugbahn
Nebenbemerkung aus der Atomphysik:auch Elektronen haben einen Spin
37
Big Bertha Fusion FT-i Inertia Monster
Die Golf Driver FT-i und FT-i Tour stellen einen Quantensprung in Sachen Driver Bauweise und damit verbundene Leistung dar. Wir haben auf Grundlage unserer patentierten Fusion-Technologie das effektive Gewicht in revolutionär geometrischer Anordnung in die äußersten Ecken des Schlägerkopfes positioniert. Damit haben wir einen Driver geschaffen, der das höchste Trägheitsmoment von ALLEN bis heute auf dem Markt erhältlichen Drivern hat. Diese phänomenale Eigenschaft beugt vernichtenden Resultaten durch schlechte Schlägevor und bietet Golfern zusammen mit dem OptiFitSystem- der Voreinstellung für Draw, Neutral oder Fade -hohe Ballgeschwindigkeiten und mächtige Flugkurven.
Die Dicke Berta war eine Kanone zum Beschuss
von Festungsanlagen (z.BFestung Verdun) im
Ersten Weltkrieg
DriverGewicht des
Schlägerkopfes 200 g
Zitat aus der Werbebrochüre des Herstellers
38
Impulsübertrag beim Golf Swing
1.0 mph=0,447 m/s1 yard = 914,4 mm
iD
fD
fB
vvvCoR −
=
Coefficient of RestitutionStoßzahl
fD
iDf
B
definiere
vvv
2.1CoR
183.0CoR
+=⇒
==
=
→
α
α
Tiger WoodsGeschwindigkeit des Schlägers
180 mph (~80 m/s)Weite des Abschlags300 yards (~274 m)
23.020045
===
=
gg
mm
mm
D
B
DB
β
β
Stoss demnach Schläger
Stoss demvor Schläger
Stoss demnach Ball
v v-v
CoR =
Diese Zahl ist durch Regeln festgelegt
CoR=0.83
Massenverhältnis
A
39
Abschlagsgeschwindigkeit
ββ
βfD
iDf
B
fB
fD
iD
fBB
fDD
iDD mmm
vvv
vvv
vvv
−=
+=
+=
( ) ( ) ( )
J 596J 277J 319KEJ 640KEsm 52.6 kg 0.2
21
sm 119 kg 504.0
21
sm 80 kg 0.2
21
v21v
21v
21
fi
222
222
=+=⇔=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+= fDD
fBB
iDD mmm
Impulserhaltung
( )km/h 428 sm119
sm52.6
sm80
1.21vf
B =+=Kinetische Energie
( )km/h 189 sm52.6
sm80
2.11
23.01
23.011v
1fD =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−
fD
iDf
B vvv +=α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=+
αββ
αββ
ββα
1111
vv
11v11v
vvvv
iDf
D
iD
fD
fD
iDf
D
iD
Geschwindigkeit des Balls nach dem Stoß
A
B
BA
Stoß nahezu elastisch
ordnen nach Geschwindigkeiten
Geschwindigkeit des Schlägers nach dem Stoß