1 2 41202) ภาคตัดกรวย 3edltv.thai.net/courses/450/51mbm4-kosu7s201.pdf ·...

16ก.พ.52ครูอัมพร เจียรโณรส

1

คณิตศาสตร(ค41202)•หนวยการเรยีนรูที ่3เรขาคณิตวเิคราะห

ชั้น มัธยมศึกษาปที่4ชั้น มัธยมศึกษาปที่4เรื่อง ภาคตัดกรวย -วงรี


2

ภาคตดักรวยวงรี(ellipse)


3

จุดประสงคการเรียนรู

ใหนักเรียนสามารถ1. บอกนิยามของวงรีได2. หาสมการของวงรีเมื่อกําหนดเงื่อนไขตางๆให ได


4

วงรี เกิดจากการตัดกรวยกลมตรงดวยระนาบที่ไมขนานและไมตั้งฉากกับแกนของกรวย

วงรี เกิดจากการตัดกรวยกลมตรงดวยระนาบที่ไมขนานและไมตั้งฉากกับแกนของกรวย


5

วงรี คือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุดมีคาคงตัว โดยคาคงตัว มากกวาระยะหางระหวางจุดคงที่ทั้งสองเสมอ


6

PF

F/

0x

y

F/ F

Px

y


7

PF+PF/ มีคาคงที่PF+PF/ > FF/

เมื่อ PF+PF/ มคีาคงที่แลวทางเดินของจุด P มีลักษณะเปนวงรี

y

xF/ F

P

เคลื่อนที่ได

จุดคงที่จุดคงที่


8•ความสัมพันธซึ่งมกีราฟเปนวงรีซึ่งผลบวกของระยะจากจุด P(x,y)ใดๆบนวงรีไปยังจุด (-c,0) และ (c,0)ซึ่งเปนโฟกัสของวงรีเทากับ 2a หนวย

P(x,y)

F/(-c,0) F (c,0)x

y


9PP((xx,,yy))

F/(-c,0) F(c,0)x

y

จากนิยามได PF/ +PF = 2aa2y)cx(y)cx( 2222 =+−+++

2222 y)cx(a2y)cx( +−−=++


10

ยกกาํลังสอง ทัง้สองขาง

หารดวย -4 ทั้งสองขางของสมการหารดวย -4 ทั้งสองขางของสมการ

22222 )(44)( ycxaaycx +−−=++ 22222 )(44)( ycxaaycx +−−=++ y(x-c) 22 ++ y(x-c) 22 ++

222222 )(442 ycxaayccxx +−−=+++ 222222 )(442 ycxaayccxx +−−=+++222 2 yccx-x +++ 222 2 yccx-x +++

222 444 yc)(xa acx +−−=− 222 444 yc)(xa acx +−−=−


11

a4-2a2cx + c2x2=a2(x2-2cx + c2 + y2)=a2x2-2a2cx

+ a2c2 + a2y2

222 y)cx(acxa +−=−

a4+c2x2 = a2x2 + a2c2 + a2y2

a4-a2c2 = a2x2-c2x2 + a2y2

ยกกาํลังสองทั้งสองขางยกกาํลังสองทั้งสองขาง


12

a2(a2-c2) =(a2-c2)x2+a2y2

หารดวย a2(a2-c2) ทั้งสองขางไดa2(a2-c2) =(a2-c2)x2+a2y2

หารดวย a2(a2-c2) ทั้งสองขางได

ให a2-c2 = b2 ; b>0ให a2-c2 = b2 ; b>0

โดยที่ a>b1by

ax

2

2

2

2

=+ 1by

ax

2

2

2

2

=+

122

2

2

2

=−

+ca

yax 122

2

2

2

=−

+ca

yax


13

ความสัมพันธซึ่งมกีราฟเปนวงรีที่มีโฟกัสอยูที่ (-c,0) และ (c,0)และผลบวกคงตัวเทากับ 2a คอื

}1|),{( 2

2

2

2

=+×∈by

axRRyx


14

•จุดศูนยกลาง (center)คือจุดกึ่งกลางระหวางโฟกัสทั้งสอง

สวนประกอบสําคญัของวงรี

•จุดยอด(vertex)คอืจุดทีว่งรตีัดกับเสนตรงทีผ่าน F/และ F


15

•แกนเอก(major axis)ของวงรี คือสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดยอดทั้งสอง

F/ FCA/ A

แกนเอกเปนแกนสมมาตรของวงรี


16•แกนโท(minor axis)ของวงรีคือสวนของเสนตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยูบนวงรีผานและตั้งฉากกับแกนเอกที่จุดศูนยกลาง

F1 F2CA/ AB/

B


17

•เลตัสเรกตัม(Latus Rectum)ของวงรี คือสวนของเสนตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยูบนวงรี ตั้งฉากกับแกนเอก ณ.จุดโฟกัส

F1 F2C


18

y

xF/(-c,0) F(c,0)

A/(-a,0) A (a,0)

B(0,b)

B/(0,-b)

จุดยอด

แกนเอก

แกนโท

โฟกสั

จุดศูนยกลางจุดยอด

โฟกสั


19

1.จุดศูนยกลางที่ (0,0)2.โฟกสัอยูบนแกน x ดังนั้นแกนเอก อยูบนแกน x

3.แกนโท คือเสนที่ตั้งฉากกบัแกนเอก ณ. จุดศูนยกลาง ดังนั้น แกนโทอยูบนแกน y


20

4. จุดยอดของวงรีอยูที่ ( a,0 )และ (-a,0) ความยาวของแกนเอกมีคา 2a หนวย

5. จุดปลายทั้งสองของแกนโทอยูที่จุด(0,b)และ (0,-b) ความยาวของแกนโทมีคา 2b หนวย

4. จุดยอดของวงรีอยูที่ ( a,0 )และ (-a,0) ความยาวของแกนเอกมีคา 2a หนวย

5. จุดปลายทั้งสองของแกนโทอยูที่จุด(0,b)และ (0,-b) ความยาวของแกนโทมีคา 2b หนวย


21

6.เนื่องจาก 22 cab −=

ดังนั้น b2=a2-c2 นั่นคือ a2 > b2

(c2 >0 เปนบวก)


22

7. a คือระยะทางจากจุดศูนยกลางถึงจุดยอด

c คือระยะทางจากจุดศูนยกลางถึงโฟกัสb คือระยะทางจากจุดศูนยกลางถึงจุดปลายแกนโท

7. a คือระยะทางจากจุดศูนยกลางถึงจุดยอด

c คือระยะทางจากจุดศูนยกลางถึงโฟกัสb คือระยะทางจากจุดศูนยกลางถึงจุดปลายแกนโท


23

จงแสดงรายละเอียดพรอมทั้งเขียนกราฟของวงรี ซึ่งมสีมการเปน4x2+9y2 =36จัดสมการในรูป

หารดวย 36 ทั้งสองขาง ไดx y2 2

9 41+ =

)(;12

2

2

2

baby

ax

>=+


24

จากสมการสรุปไดวา1.จุดศูนยกลางของวงรีอยูที่ (0,0)2. แกนเอกอยูบนแกน x3. a2=9 ; a=3 (a>0) ดังนั้นจุดยอด

คือ(3,0) และ (-3,0) แกนเอกยาว 2a = 6 หนวย

x y2 2

9 41+ =


25

4.แกนโทอยูบนแกน y5. b2=4 ; b=2(b >0) ดังนั้นจุดปลายของแกนโทคือ (0,2) และ(0,-2)และแกนโทยาว 2b=4 หนวย

5=c),(-) 050,5( และ

6. เพราะ c2=a2-b2 = 32-22 ;ดังนั้นโฟกัสคือ


26

x y2 2

9 41+ =

(0,2)

(0,-2)

(-3,0) (3,0) x

y

)0,5()0,5(−


27

จงหาสมการของวงรีที่มีจุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด จุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (4,0)และแกนโทยาว 6 หนวย

•วงรีมีจุดศูนยกลางที่(0,0)•จุดยอดอยูบนแกน x •ระยะจุดศูนยกลางถึงจุดยอดยาว 4หนวย คือ a=4


28

แกนโทยาว 6 หนวย คือ 2b=6b=3 สมการวงรีคือ

x y

x y

2

2

2

2

2 2

4 31

16 91

+ =

+ =


29

โจทย จงหาสมการของวงรีซึ่งผลบวกของระยะจากจุดใดๆบนวงรีไปยังจุด(-3,0) และ (3,0) เทากับ 10

โจทย จงหาสมการของวงรีซึ่งผลบวกของระยะจากจุดใดๆบนวงรีไปยังจุด(-3,0) และ (3,0) เทากับ 10

P(x,y)

F(-3,0)F/(-3,0)

2a = 10; a=5c =3 ;b2 =a2-c2

=25-9;b=4

2a = 10; a=5c =3 ;b2 =a2-c2

=25-9;b=41

1625

22

=+yx

11625

22

=+yx

x

y


30

โจทย จงหาสมการของวงรีที่มีโฟกัสอยูที่ (-6,0) และ(6,0) และวงรีนี้ผานจุด( , )4 21แกนเอกอยูบนแกน x มีสมการเปน

1by

ax

2

2

2

2

=+ 1by

ax

2

2

2

2

=+ , c=6


31

b2= a2-c2 = a2-36xa

ya

2

2

2

2 361+

−= วงรีผาน ( , )4 21

แทนคา x=4 ,y = 21

136

211622 =−

+aa


32

16(a2-36)+21a2 = a2(a2-36)16a2-576+21a2 = a4-36a2

a4-73a2+576 = 0(a2-9)(a2-64) = 0a2 = 9,64 แต a2 =9 ใชไมไดa2= 64 , b2= 64-36 =28


33

สมการวงรีคือ x y2 2

64 281+ =


34

การบาน1.จงหาสมการของวงรี เมื่อกาํหนดโฟกสัและผลบวกของระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังโฟกสัทั้งสอง ดังนี้1.โฟกสัอยูที่ (-8,0)และ (8,0)ผลบวกคาคงตัว เทากบั 20 หนวย


35

2.โฟกัสอยูที่ (-3,0)และ (3,0)ผลบวกคาคงตัว เทากับ 8 หนวย


36

2.จากสมการวงรีที่กําหนดให จงหาโฟกัส จุดยอด และเขียนกราฟ

1004 .1 22 =+ yx

1436

.222

=+yx


37

3.จงหาสมการของวงรีที่มีจุดยอดอยูที่ (-5,0) และ (5,0) และโฟกัสจุดหนึ่งคือ (2,0)


38

4.จงหาสมการของวงรีซึ่งกราฟของวงรีนี้ตัดแกน x ที่จุด(-4,0)และ (4,0) ตัดแกน y ที่จุด(0,2) และ (0,-2)


39

5.จงหาสมการของวงรีที่มีจุดศูนยกลางที่(0,0) แกนเอกยาว 16 หนวยและ โฟกัสจุดหนึ่งอยูที่(6,0)


40

คาบตอไปพบกันเรือ่งความสัมพนัธซึ่งมีกราฟเปนวงรีที่มีแกน y เปนแกนเอก

คาบตอไปพบกันเรือ่งความสัมพนัธซึ่งมีกราฟเปนวงรีที่มีแกน y เปนแกนเอก

1 2 41202) ภาคตัดกรวย 3edltv.thai.net/courses/450/51mbm4-kosu7s201.pdf ·...

Documents