3.2 ภาคตัดกรวย (conniic ctsseectiioonn)) 3.2.1 ... · pdf file164...

หรอ ดงนน จะได

3 . 2 3 . 2 ภ า คต ด ก รวยภ าคต ด ก รวย ((CCoonniicc SSeeccttiioonn)) 3.2.1 การเลอนแกนทางขนาน(Translation of Axes) การเลอนแกนทางขนาน หมายถงการเปลยนแปลงแกนพกดเดมอยางนอยหนงแกน (แกน X หรอแกน Y)

โดยใหแกนพกดใหมขนานกบแกนพกดเดม การเลอนแกนทางขนานนบเปนพนฐานทส าคญทจะชวยในการศกษาเกยวกบภาคตดกรวยไดสะดวกยงขนในระบบแกนมมฉาก เราใชแกน X และ Y ส าหรบอางองพกดหรอต าแหนงของจดในระนาบ จด P(x, y) เปนจดทอยหางจากแกน Y ไปทางขวามอเปนระยะ x หนวย และอยหางจากแกน X ซงอยเหนอแกน X เปนระยะ y หนวย ดงรป ก

เมอเลอนแกน จด P(x, y) ยงคงท แตพกดของจด P จะเปลยนไปเมอเทยบกบแกนพกดใหม ดงรป ข แกนพกดใหม X และ Y ขนานกบแกนพกดเดม X และ Y ตามล าดบ พกดของจดก าเนดใหม เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอจด O(h, k) นนคอแกนพกดใหมเกดจากการเลอนแกนตามแนวนอน h หนวย และตามแนวตง k หนวย ให (x, y) เปนพกดของจด P เมอเทยบกบแกนพกดเดม (x, y) เปนพกดของจด P เมอเทยบกบแกนพกดใหม และ h, k เปนจ านวนจรง x = x + h x = x – h y = y + k y = y – k

163

พยายามอานนะครบ

ผมจะพยายามคดครบ

x

X O

Y

y

P( x, y)

รป ก O

x

O (h, k)

P(x, y) P(x, y)

y y

X

X

Y Y Y Y

h k h k

x

รป ข

164

ตวอยางท 1 ถาเลอนแกนไปโดยใชจด (–2, 3) เปนจดก าเนดใหม ซง A(0, 2), B(–5, 4), C(4, –1) และ D(–3, –5) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดเดม จงหาพกดของจดเหลาน เมอเทยบกบแกนพกดใหม วธท า ให (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดเดม และ (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดใหม ในทน (h, k) = (–2, 3) นนคอ h = –2 และ k = 3

(1) A(0, 2) ซง x = 0 , y = 2 จาก x = x – h จะได x = 0 + 2 = 2 และ y = y – k จะได y = 2 –3 = –1 ดงนน พกดของจด A(0, 2) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด (2, –1) (2) B(–5, 4) ซง x = –5 , y = 4 จาก x = x – h จะได x = –5 + 2 = –3 และ y = y – k จะได y = 4 – 3 = 1 ดงนน พกดของจด B(–5, 4) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด (–3, 1)

(3) C(4, –1) ซง x = 4 และ y = –1 จาก x = x – h จะได x = 4 + 2 = 6 และ y = y – k จะได y = –1 – 3 = –4 ดงนน พกดของจด C(4, –1) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด (6, –4) (4) D(–3, –5) ซง x = –3 และ y = –5 จาก x = x – h จะได x = –3 + 2 = –1 และ y = y – k จะได y = –5 – 3 = –8 ดงนน พกดของจด D(–3, –5) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด (–1, –8)

A(0, 2)

B(–5, 4)

C(4, –1)

D(–3, –5) (–3, –5)

(–2, 3)

O X

Y Y

X



ตวอยางท 2 ถาเลอนแกนไปโดยใชจด (3, –4) เปนจดก าเนดใหม ซง P(–4, 3), Q(–5, –2, R(2, 7) และ S(0, –3) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดใหมจงหาพกดของจดเหลาน เมอเทยบกบแกนพกดเดม วธท า ให (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดเดม และ (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดใหม ในทน (h, k) = (3, –4) นนคอ h = 3 และ k = –4

(1) P(–4, 3) ซง x = –4 และ y = 3 จาก x = x+ h จะได x = –4 + 3 = –1 และ y = y + k จะได y = 3 – 4 = –1 ดงนน พกดของจด P(–4, 3) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด (–1, –1) (2) Q(–5, –2) ซง x = –5 และ y = –2 จาก x = x+ h จะได x = –5 + 3 = –2 และ y = y + k จะได y = –2 – 4 = –6 ดงนน พกดของจด Q(–5, –2) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด (–2, –6) (3) R(2, 7) ซง x = 2 และ y = 7 จาก x = x+ h จะได x = 2 + 3 = 5 และ y = y + k จะได y = 7 – 4 = 3 ดงนน พกดของจด R(2, 7) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด (5, 3) (4) S(0, –3) ซง x = 0 และ y = –3 จาก x = x+ h จะได x = 0 + 3 = 3 และ y = y + k จะได y = –3 – 4 = –7 ดงนน พกดของจด S(0, –3) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด (3, –7)

165

P(–4, 3)

Q(–5, –2)

R(2, 7)

(3, –4)

S(0, –3)

X

O

Y Y

X



166

ขอตกลง การเลอนแกนทางขนานโดยมจด (h, k) เปนจดก าเนดใหมเรยกสนๆวา “การเลอนแกนไปทจด (h, k)”

ตวอยางท 3 ถาเลอนแกนไปทจด (–3, 4) กราฟของสมการ y = | x + 3 | + 4 จะมสมการเทยบกบ แกนใหมซงใชพกด (x, y) แทนพกด (x, y) เปนอยางไร วธท า จากโจทย เลอนแกนไปทจด (–3, 4) จะได (h, k) = (–3, 4) นนคอ h = –3, k = 4 จาก x = x + h จะได x = x – 3 และ y = y + k จะได y = y + 4 แทนคา x ดวย x – 3 และ y ดวย y + 4 ลงในสมการy = | x + 3 | + 4 จะได y + 4 = | x – 3 + 3 | + 4 y + 4 – 4 = | x – 3 + 3 | ดงนน จะได y = | x| จะเปนสมการเทยบกบแกนใหมของกราฟรปน

ตวอยางท 4 ถาเลอนแกนไปทจด (3, -7) กราฟของสมการ x2– 6x + y2 + 14y – 2 = 0 จะมสมการเทยบกบแกนใหม ซงใชพกด (x, y) แทนพกด (x, y) เปนอยางไร วธท า จากโจทย เลอนแกนไปทจด (3, -7) จะได (h, k) = (3, -7) นนคอ h = 3, k = –7 จาก x = x + h จะได x = x+ 3 และ y = y + k จะได y = y – 7 แทนคา x ดวย x+ 3 และ y ดวย y – 7 ลงในสมการ x2– 6x + y2 + 14y – 2 = 0 จะได (x+ 3)2 – 6(x+ 3) + (y – 7)2 + 14(y – 7) – 2 = 0 (x)2 + 6x + 9 – 6x– 18 + (y)2 – 14 y + 49 + 14y – 98 – 2 = 0 (x)2 + (y)2 = 60 ดงนน จะได (x)2 + (y)2 = 60 จะเปนสมการเทยบกบแกนใหมของกราฟรปน

ตวอยางท 5 จากสมการในแตละขอตอไปน ถาตองการเลอนแกนอางองใหไดสมการในรปท ก าหนดใหแลวจะเลอกจดใดเปนจดก าเนด (1) 2x – 3y + 12 = 0 ตองการใหอยในรป 2x = 3y วธท า จากสมการ 2x – 3y + 12 = 0 จะได 2x = 3y – 12 2x = 3(y – 4) ให x = x และ y = y – 4 แทน x ดวย x และ y – 4 ดวย y ลงในสมการ 2x = 3(y – 4) จะได 2x = 3y ดงนน จะได สมการ 2x = 3y อยในรปทตองการ และจดก าเนดใหมคอจด (0, 4)



ดฉนพยายามคดคะ ผมพยายามท าครบ

หรอ จากสมการ 2x – 3y + 12 = 0 จะได 2x + 6 = 3y – 6 2(x + 3) = 3(y – 2) ให x = x + 3 และ y = y – 2 แทน x + 3 ดวย x และ y – 2 ดวย y ลงในสมการ 2(x + 3) = 3(y – 2) ดงนน จะได สมการ 2x = 3y อยในรปทตองการและจดก าเนดใหมคอจด (–3, 2) ขอสงเกต จะเหนวา 2x – 3y + 12 = 0 เปนสมการเสนตรง จะเลอกจดก าเนดใหมใดๆกไดทเปนจด อยบนเสนตรงน (2) y(x – 5) = 3 ตองการใหอยในรป yx = 3 วธท า จากสมการ y(x – 5) = 3 ให x = x – 5 และ y = y แทน x – 5 ดวย x และ y ดวย y ลงในสมการ y(x – 5) = 3 ดงนนจะได สมการ yx = 3 อยในรปทตองการ และจดก าเนดใหมคอจด (5, 0) (3) x2 + y2 – 8x + 6y + 24 = 0 ตองการใหอยในรป (x)2 + (y)2 = 1 วธท า จากสมการ x2 + y2 – 8x + 6y + 24 = 0 จะได (x2 – 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) = –24 + 16 + 9 (x – 4)2 + (y + 3)2 = 1 ให x = x– 4 และ y = y + 3 แทน x – 4 ดวย x และ y + 3 ดวย y ลงในสมการ (x – 4)2 + (y + 3)2 = 1 ดงนนจะไดสมการ (x)2 + (y)2 = 1 อยในรปทตองการ และจดก าเนดใหมคอจด (4, –3)

(4) 25x2 – 9y2 + 50x + 36y = 236 ตองการใหอยในรป 125y

9x 22

)()(

วธท า จากสมการ 25x2 – 9y2 + 50x + 36y = 236 จะได (25x2 + 50x) – (9y2 – 36y) = 236 25(x2 + 2x) – 9(y2 – 4y ) = 236 25(x2 + 2x + 1) – 9(y2 – 4y + 4) = 236 + 25 – 36 25(x + 1)2 – 9(y – 2)2 = 225

1252y

91x 22

)()(

ให x = x + 1 และ y = y – 2

แทน x + 1 ดวย x และ y – 2 ดวย y ลงในสมการ 1252y

91x 22

)()(

ดงนนจะได สมการ 125y

9x 22

)()( อยในรปทตองการ และจดก าเนดใหมคอจด (–1, 2)

167

168


การเลอนแกนทางขนานกบการเขยนกราฟ การเขยนกราฟโดยการเลอนแกนทางขนานไปทจด (h, k) ทเหมาะสม จะเขยนงายกวาการเขยนกราฟในระบบพกดฉากทมจดก าเนดทจด (0, 0) โดยเปลยนพกดจด P(x, y) ใดๆ ในระบบเดม เปน P(x, y) ในระบบใหม โดยท x = x – h และ y = y – k จะท าใหสมการเทยบกบแกนใหมมรปซงสะดวกตอการเขยนกราฟ ดงน ตวอยางท 6 จงเขยนกราฟของสมการตอไปน

(1) y = | x + 3 | + 4 วธท า จากสมการ y = | x + 3 | + 4 จดไดเปน y – 4 = | x + 3 | และเลอนแกนไปทจด (–3, 4) ดงนน จะไดสมการเทยบกบแกนใหม คอ y = | x|

(2) y = (x – 5)2 วธท า จากสมการ y = (x – 5)2 และเลอนแกนไปทจด (5, 0)

ดงนน จะได สมการเทยบแกนไปกบแกนใหม คอ y= (x)2

O

(–3, 4) X

X

Y Y

เลอนแกน

Y

y = | x|

y – 4 = | x + 3 |

O

X

(–3, 4)

เลอนกราฟ

(5, 0)

Y Y

X

X O

X X

Y Y

(–1, 2) O

(4) y = x3 + 3x2 + 3x + 3 วธท า จากสมการ y = x3 + 3x2 + 3x + 3 จดไดเปน y = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + 2

y – 2 = x3 + 3x2 + 3x + 1 y – 2 = (x + 1)3 และเลอนแกนไปทจด (–1, 2) ดงนน จะไดสมการเทยบกบแกนใหม คอ y = (x)3

(5) y = x3 + 3x2 + 3x วธท า จากสมการ y = x3 + 3x2 + 3x จดไดเปน y + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1

y + 1 = (x + 1)3 และเลอนแกนไปทจด (–1, –1) ดงนน จะได สมการเทยบกบแกนใหม คอ y = (x)3

Y Y

(–1, – 1) O X

X

169



1. ถาเลอนแกนไปโดยใชจด (5, –4) เปนจดก าเนดใหม ซง A(5, –10) , B(–7, 3), C(0, 0), D(–3, –2) และ E(9, 0) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดเดม จงหาพกดของจดเหลานเมอเทยบกบแกนพกดใหม วธท า ให (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดเดม และ (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดใหม ในทน (h, k) = (5, –4) นนคอ h = 5 และ k = –4

(1) A(5, –10) ซง x = 5 และ y = –10 จาก x = x – h จะได x = …………………………………………………………. และ y = y – k จะได y = ………………………………………………………… ดงนน พกดของจด A(5, –10) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด..................

(2) B(–7, 3) ซง x = …… และ y = …… จาก x = x – h จะได x = …………………………………………………………. และ y = y – k จะได y = …………………………………………………………. ดงนน พกดของจด B(–7, 3) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด.................

(3) C(0, 0) ซง x = ……. และ y = …… จาก x = x – h จะได x = …………………………………………………………. และ y = y – k จะได y = …………………………………………………………. ดงนน พกดของจด C(0, 0) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด..................

(4) D(–3, –2) ซง x = ……. และ y = …… จาก x = x – h จะได x = …………………………………………………………. และ y = y – k จะได y = …………………………………………………………. ดงนน พกดของจด D(–3, –2) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด..................

(5) E(9, 0) ซง x = …… และ y = …… จาก x = x – h จะได x = …………………………………………………………. และ y = y – k จะได y = …………………………………………………………. ดงนน พกดของจด E(9, 0) เมอเทยบกบแกนพกดใหม คอ จด..................

ใบกจกรรมท ใบกจกรรมท 33..22..11

170



2. ถาเลอนแกนไปโดยใชจด (4, 3) เปนจดก าเนดใหม ซง P(–9, 3), Q(–7, –8), R(5, –1), S(10, 8) และ T(–4, 3) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดใหม จงหาพกดของจดเหลานเมอเทยบกบแกนพกดเดม วธท า ให (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดเดม และ (x, y) เปนพกดของจดเมอเทยบกบแกนพกดใหม ในทน (h, k) = (4, 3) นนคอ h = 4 และ k = 3 (1) P(–9, 3) ซง x = -9 และ y = 3 จาก x = x+ h จะได x = ............…………………………………………………… และ y = y + k จะได y = ...........……………………………………………………. ดงนน พกดของจด P(–9, 3) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด................. . (2) Q(–7, –8) ซง x =………. และ y = ……….. จาก x = x+ h จะได x = ............…………………………………………………… และ y = y + k จะได y = ...........……………………………………………………. ดงนน พกดของจด Q(–7, –8) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด..................

(3) R(5, –1) ซง x =………. และ y = ……….. จาก x = x+ h จะได x = ............…………………………………………………… และ y = y + k จะได y = ...........…………………………………………………… ดงนน พกดของจด R(5, –1) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด................. (4) S(10, 8) ซง x =………. และ y = ……….. จาก x = x+ h จะได x = ............……………………………………………………. และ y = y + k จะได y = ...........……………………………………………………… ดงนน พกดของจด S(10, 8) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด................ (5) T(–4, 3) ซง x =………. และ y = ……….. จาก x = x+ h จะได x = ............…………………………………………………….. และ y = y + k จะได y = ...........………………………………………………………. ดงนน พกดของจด T(–4, 3) เมอเทยบกบแกนพกดเดม คอ จด................



171

3. ถาเลอนแกนไปทจด (2, 7) กราฟของสมการ y = | x – 2 | + 7 จะมสมการเทยบกบแกนใหม ซงใชพกด (x, y) แทนพกด (x, y) เปนอยางไร ..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..…...……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………….. ..……………………………………………………………………………………………………………….. 4. ถาเลอนแกนไปทจด (–4, 0) กราฟของสมการ x2 + 8x – y + 16 = 0 จะมสมการเทยบกบแกนใหม ซงใชพกด (x, y) แทนพกด (x, y) เปนอยางไร ..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………… ..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………….. ..……………………………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………………………… 5. ถาเลอนแกนไปทจด (–3, 2) กราฟของสมการ x2 + 6x + 4y2 – 16y + 21 = 0 จะมสมการเทยบกบ แกนใหมซงใชพกด (x, y) แทนพกด (x, y) เปนอยางไร ..……………………………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………………………… ..……………………………………………………………………………………………………………… ..………………………………………………………………………………………………………………

172

พยายามคดนะครบ

ผมจะพยายามท าครบ

ภ า ค ต ด ก ร ว ยภ า ค ต ด ก ร ว ย ((CCoonniicc SSeeccttiioonn))

กรวยเปนรปทรงเรขาคณตทมวธสรางในเชงคณตศาสตร ดงน ให a และ b เปนเสนตรงใดๆ สองเสนทตดกนทจด V เปนมมแหลม ใหเสนตรง a และจด V ตรงอยกบท ผวทเกดจากการหมนเสนตรง b รอบเสนตรง a (โดยหมน ระหวางเสนตรง a และ b มขนาดคงตว) เรยกวา กรวยกลมตรง (right circular cone) ในทนจะศกษาเฉพาะกรวยกรมตรงเทานนและเรยกสนๆ วา กรวยเสนตรงทตรงอยกบท เรยกวา แกน(axis) ของกรวย จด V เรยกวา จดยอด (vertex) และเสนตรง b ทผานจด V ท ามม กบแกนของกรวย เรยกวา ตวกอก าเนด (generator) ของกรวย จดยอด V แบงกรวยออกเปนสองขาง(nappes) ซงอยคนละขางของจดยอด ดงรป

ภาคตดกรวย คอรปในระนาบทเกดจากการตดกนของระนาบกบกรวย เสนโคง ซงไดแก วงกลม(circle) พาราโบลา(parabola) วงร (ellipse)และไฮเพอรโบลา(hyperbola)

ภาคตดกรวย ทไดจากน าระนาบไปตดกรวยกลมตรงโดยไมผานจดยอดของกรวย จะไดดงตอไปน รประนาบทตดกรวย ลกษณะของระนาบทตดกรวย รปในระนาบทเกดจากการตดกรวย

1.

ระนาบทตดกรวยตงฉากกบแกน

ของกรวย

วงกลม

2.

ระนาบทตดกรวยขนานกบตวกอก าเนดของกรวยจะตดกรวย ขางเดยว

พาราโบลา

V จดยอด

ตวกอก าเนด แกน

a b

173



รประนาบทตดกรวย ลกษณะของระนาบทตดกรวย รปในระนาบทเกดจากการตดกรวย

3.

ระนาบทตดกรวยท ามมแหลมกบ

แกนของกรวยแตขนาดใหญกวา ระนาบจะตดกรวยขางเดยว

วงร

4.

ระนาบทตดกรวยขนานกบแกน

ของกรวยและตดทงสองสวน

ของกรวย

ไฮเพอรโบลา

ถาระนาบผานจดยอดของกรวยรอยตดของระนาบกบกรวยจะเปนจด หรอเสนตรงเสนหนง หรอเสนตรงสองเสนตดกน ซงเรยกลกษณะดงกลาววา ภาคตดกรวยลดรป (Degenerate conics) ดงรป

ระนาบทตดกรวยผานจดยอดและตงฉากกบแกนของกรวยจะได จด 1 จด

ระนาบทตดกรวยผานจดยอดและตดตวกอก าเนดของกรวยจะไดเสนตรง 1 เสน

ระนาบทตดกรวยผานจดยอดและตดทบแกนของกรวยจะไดเสนตรง 2 เสนตดกน

174



3.2.2 ว ง ก ล ม (circle)

บทนยามเชงเรขาคณตของวงกลม วงกลม (circle) คอ เซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจดๆ หนงทตรงอยกบทระยะทางคงตว ทตรงอยกบทน เรยกวา จดศนยกลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตว เรยกวา รศม (radius) ของวงกลม

กรณท 1 วงกลมทมจดศนยกลางอยทจด C(0, 0) และรศมยาว r หนวย

จากรป ก าหนดให P(x, y) เปนจดใดๆบนวงกลม จากบทนยาม จะได CP = r เนองจาก CP = 22 )0y()0x( = 22 yx ดงนน 22 yx = r ยกก าลงสองทงสองขาง จะได x2 + y2 = r2 ดงนน ความสมพนธทมกราฟเปนวงกลม มจดศนยกลางอยทจด(0, 0) และรศมยาว r หนวย คอ { (x, y) R R | x2 + y2 = r2 } รปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม

สมการวงกลมทมจดศนยกลางอยทจดก าเนด(0, 0) และรศมยาว r หนวย คอ x2 + y2 = r2

ตวอยางท 1 จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และรศมยาว 3 หนวย จะไดความสมพนธ คอ { (x, y) R R | x2 + y2 = 9} หรอมสมการเปน x2 + y2 = 9

X

Y P(x, y)

O C(0, 0)

r

3

–3

–3 O 3 X

Y

175

ดฉนพยายามอานคะ ผมพยายามคดครบ

ตวอยางท 2 จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และรศมยาว 7 หนวย จะไดความสมพนธ คอ {(x, y) R R | x2 + y2 = 7} หรอมสมการเปน x2 + y2 = 7 หมายเหต วงกลมทมจดศนยกลางทจด (0, 0) และรศมยาว 1 หนวย มสมการเปน x2 + y2 = 1 เรยกวาวงกลมหนงหนวย (unit circle)

กรณท 2 วงกลมทมจดศนยกลางอยทจด C(h, k) และรศมยาว r หนวย

วธท 1 จากรป ก าหนดให P(x, y) เปนจดใดๆบนวงกลม จากบทนยาม จะได CP = r เนองจาก CP = 22 )ky()hx(

จะได 22 )ky()hx( = r ยกก าลงสองทงสองขางจะได

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 วธท 2 โดยเลอนแกนไปทจด C(h, k) จะไดพกดเมอเทยบกบแกนใหมของจด C และจด P ดงน นนคอ จด C(h, k) = C(0, 0) และจด P(x, y) = P(x, y) ดงรป

176

X

Y

O

C(h, k)

P(x, y) r

O

C(h, k) = C(0, 0)

X

Y Y P(x, y) = P(x, y)

r X

Y

X

7

7

7 7


จากรป จะไดสมการวงกลมเมอเทยบกบแกนใหม คอ (x)2 + (y)2 = r2 แต x = x – h และ y = y – k จะไดสมการวงกลมเมอเทยบกบแกนเดมคอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 ดงนน ความสมพนธทมกราฟเปนวงกลม มจดศนยกลางทจด (h, k) และรศมยาว r หนวยคอ { (x, y) R R | (x – h)2 + (y – k)2 = r2 }หรอ สมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2

รปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม สมการวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด(h, k) และรศมยาว r หนวย คอ(x – h)2 + (y – k)2 = r2

จากสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2

จะได x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 เนองจาก h, k และ r เปนคาคงตว ก าหนดให –2h = D, –2k = E และ h2 + k2 – r2 = F เมอ D, E และ F เปนคาคงตว ดงนน จะไดสมการวงกลมมรปทวไป คอ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ตวอยางท 3 จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางท (1, –2) และมรศม 3 หนวย วธท า สมวงกลมทมจดศนยท (h, k) รศม r หนวย คอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จากโจทย จะได (h, k) = (1, –2) ซง h = 1, k = –2 และ r = 3 จะได สมการวงกลม (x – 1)2 + (y + 2)2 = 32 x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 9 x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 ดงนน สมการวงกลมทตองการคอ x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0

O

Y Y

X

X

(1, –5)

(1, 1)

(–2, –2) C (1, –2) (4,–2)

177


จากตวอยางท 3 เราจะเขยนกราฟโดยการเลอนกราฟไดดงน นนคอเขยนกราฟของสมการ x2 + y2 = 9 กอน แลวเลอนกราฟนใหจดศนยกลางอยทจด (1, –2) ดงรป

ตวอยางท 4 จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางท )21,2

3( และ รศม 45 หนวย

วธท า จากโจทย จะได (h, k) = )21,2

3( และ r = 45

จะได สมการวงกลม (x – 2

3 )2 + (y + 21 )2 = ( 4

5 )2

x2 – 3x + 4

9 + y2 + y + 41 = 16

25

x2 + y2 – 3x + y + 1615 = 0

น า 16 มาคณตลอด จะได 16 x2 +16 y2 – 48x + 16y + 15 = 0 ดงนน สมการวงกลมทตองการคอ 16 x2 +16 y2 – 48x + 16y + 15 = 0 ตวอยางท 5 จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางท (2, 3) และ ผานจด (4, –1) วธท า จากโจทย จะได (h, k) = (2, 3) และ รศมของวงกลม เทากบระยะหางระหวาง ศนยกลางจด (2, 3) กบจดทวงกลมผาน (4, -1)

จะได รศม r = 22 )13()42( = 20 จะไดสมการวงกลม (x – 2)2 + (y – 3)2 = ( 20 )2 x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 20 x2 + y2 – 4x – 6y – 7 = 0 ดงนน สมการวงกลมทตองการคอ x2 + y2 – 4x – 6y – 7 = 0

O X

Y

(–2, –2) C(1, –2) (4,–2)

(1, 1)

(1, –5)

x2 + y2 = 9

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 9

178


ตวอยางท 6 จงหาสมการวงกลมทมรศม 3 หนวย และสมผสกบแกน Y ทจด (0, 2) วธท า เนองจาก วงกลมทมรศม 3 หนวย และสมผสกบแกน Y ทจด (0, 2) จะมวงกลม 2 วง คอ วงหนงมจดศนยกลางอยทจด (3, 2) และอกวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (–3, 2) ดงรป

ซงวงกลมวงแรกท มจดศนยกลางอยทจด (3, 2) รศม 3 หนวย มสมการเปน (x – 3)2 + (y – 2)2 = 32 x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9 x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 และอกวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (–3, 2) รศม 3 หนวย มสมการเปน (x + 3)2 + (y – 2)2 = 32 x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9 x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 ดงนน สมการทตองการคอ x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 หรอ x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 ตวอยางท 7 จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางท (7, –6) และสมผสกบเสนตรง 3x – 4y – 20 = 0 วธท า เนองจากสวนของเสนตรงทลากจากจดศนยกลางของวงกลมจะตงฉากกบเสนสมผส นนคอรศมจะเทากบระยะระหวางจด(7, –6) กบเสนตรง 3x – 4y – 20 = 0 ดงรป

จะได r = 22 )4(3

20)6)(4()7(3

= 5

25 = 5

จะไดสมการ (x – 7)2 + (y + 6)2 = 52 x2 – 14x + 49 + y2 + 12y + 36 = 25 x2 + y2 – 14x + 12y + 60 = 0 ดงนน สมการวงกลมทตองการคอ x2 + y2 – 14x + 12y + 60 = 0

O X

Y

C(7, –6)

3x – 4y – 20 = 0

179

(–3, 2) (0, 2) (3, 2)

O X

Y


ตวอยางท 8 จงหาสมการซงมกราฟเปนวงกลมจดศนยกลางอยท (–1, –3) และสมผสกบเสนตรง ทผานจด (–2, 4) กบ (2, 1) วธท า สมการเสนตรงทผานจด (–2, 4) กบ (2, 1) คอ y – 4 =

2214

(x + 2)

y – 4 = 43

(x + 2)

หรอ 3x + 4y – 10 = 0 และรศมของวงกลมคอ ระยะระหวางจด (–1, –3) กบเสนตรง 3x + 4y – 10 = 0

จะได r = 22 43

|10)3(4)1(3|

= 525 = 5

ดงนน สมการวงกลมทตองการคอ (x + 1)2 + (y + 3)2 = 52 หรอ x2 + y2 + 2x + 6y – 15 = 0

ตวอยางท 9 จงหาสมการซงมกราฟเปนวงกลมทผานจด (5, 3), (6, 2) และ (3, -1) วธท า จากสมการวงกลมรปทวไป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 วงกลมผานจด (5, 3) จะไดสมการ 52 + 32 + 5D + 3E + F = 0 5D + 3E + F = –34 ................(1) วงกลมผานจด (6, 2) จะไดสมการ 62 + 22 + 6D + 2E + F = 0 6D + 2E + F = –40 .................(2) วงกลมผานจด (3, –1) จะไดสมการ 32 + (–1)2 + 3D – E + F = 0 3D – E + F = –10 .............(3) (2) – (1) จะได D – E = –6 ..................(4) (2) – (3) จะได 3D + 3E = –30 และได D + E = –10 ..................(5) (4) + (5) จะได 2D = –16 D = –8 แทนคา D ดวย –8 ลงในสมการ (5) จะได –8 + E = –10 E = –2 แทนคา D ดวย –8 และ E ดวย –2 ลงในสมการ (3) จะได 3(–8) – (–2) + F = –10 F = 12 ดงนน สมการวงกลมทตองการคอ x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0

180


การหาจดศนยกลางและรศมของวงกลม สมการซงมกราฟเปนวงกลมทมจดศนยกลางท (h, k) และรศมยาว r หนวย คอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2

จากสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 เนองจาก h, k และ r เปนคาคงตว ก าหนดให –2h = D, –2k = E และ h2 + k2 – r2 = F เมอ D, E และ F เปนคาคงตว ดงนน จะไดสมการวงกลมมรปทวไป คอ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

จาก –2h = D จะได h = 2D

และ –2k = E จะได k = 2E

จะได จดศนยกลางของวงกลม (h, k) = ( 2D

, 2E

)

และจาก h2 + k2 – r2 = F จะได r2 = h2 + k2 – F

r2 = ( 2D

)2+ ( 2E

)2 – F (แทนคา h และ k )

r2 =

4D2

+ 4

E 2 – F

r2 =

41

(D2 + E2 – 4F)

r = 21

F4ED 22

นนคอ สมการวงกลมทอยในรป x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 มจดศนยกลางอยท (2

D ,

2

E )

และมรศม r = 21

F4ED 22 หนวย หรอ r = F)2E()2

D( 22

การพจารณาคา D2 + E2 – 4F (1) ถา D2 + E2 – 4F 0 แลว r 0 กราฟของสมการเปนวงกลมมจดศนยกลางอยท (

2

D ,

2

E )

และมรศมเทากบ 21

F4ED 22 หนวย

(2) ถา D2 + E2 – 4F = 0 แลว r = 0 กราฟของสมการเปนจด เชน สมการ x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0 ซง D = –2, E = 4 และ F = 5 จะได (–2)2 + 42 – 4(5) = 0 และ r = 0 กราฟเปนจด (3) ถา D2 + E2– 4F 0 แลว r ไมเปนจ านวนจรง เขยนกราฟไมได เชน สมการ x2 + y2+ 2x + 4y +10 = 0 ซง D = 2, E = 4 และ F = 10 จะได 22 + 42 – 4(10) = –20 เขยนกราฟไมได

181


ตวอยางท 10 จงหาจดศนยกลางและรศมของวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 วธท 1 จากสมการ x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 ซง D = –6, E = 4 และ F = –3

จดศนยกลางอยท (2

D ,

2

E ) = ( 2

6 , 2

4 ) = (3, –2)

และรศม r = F4ED21 22

= F4ED21 22

= )3(44)6(21 22

= )12163621

= 642

1

= 2

1 (8) = 4

ดงนน กราฟของวงกลมนมจดศนยกลางอยท (3, –2) และรศมยาว 4 หนวย

วธท 2 จากสมการ x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 จดใหอยในรป (x – h)2 + (y – k)2 = r2

โดยใชก าลงสองสมบรณ จะได (x2 – 6x) + (y2 + 4y) = 3

(x2 – 6x + 9) + (y2 + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 42

ดงนน กราฟของวงกลมนมจดศนยกลางอยท (3,– 2) และรศมยาว 4 หนวย

182

O C(3, –2)

Y Y

X

X


ตวอยางท 11 จงหาจดศนยกลางและรศมของวงกลม2x2 + 2y2 – 3x + 4y + 3 = 0 วธท 1 จากสมการ 2x2 + 2y2 – 3x + 4y + 3 = 0 น า 2 มาหารตลอด

จะได x2 + y2 –2

3 x + 2y +2

3 = 0

ซง D = –2

3 , E = 2 และ F = 2

3

จดศนยกลางอยท (2

D ,

2

E ) =

2

2

3

, 2

2 = (

4

3 , –1)

และรศม r = F)2

E()

2

D( 22

= 2

3)1()

4

3( 22

= 2

31

16

9

= 16

24169

= 16

1

= 4

1

ดงนน กราฟของวงกลมนมจดศนยกลางอยท (4

3 , –1) และรศมยาว 4

1 หนวย

วธท 2 จากสมการ 2x2 + 2y2 - 3x + 4y + 3 = 0 น า 2 มาหารตลอด

จะได x2 + y2 –2

3 x + 2y +2

3 = 0

จดใหอยในรป (x h)2 + (y – k)2 = r2 โดยใชก าลงสองสมบรณ

จะได (x2 –2

3 x) + (y2 + 2y) = –2

3

(x2 –2

3 x + 16

9 ) + (y2 + 2y + 1) = –2

3 + 16

9 + 1

(x –4

3 )2 + (y + 1)2 = 16

1

(x –4

3 )2 + (y + 1)2 = (4

1 )2

ดงนน กราฟของวงกลมนมจดศนยกลางอยท (4

3 , –1) และรศมยาว 4

1 หนวย

183


ตวอยางท 12 จงเขยนกราฟของบรเวณซงก าหนดโดยเซตตอไปน (1) {(x, y) | x2 + y2 < 9 }

วธท า จากอสมการ x2 + y2 < 9 ถา x2 + y2 = 9 เปนสมการวงกลมมจดศนยกลางท (0, 0) และรศมยาว 3 หนวย จะไดกราฟของอสมการ x2 + y2 < 9 น คอบรเวณสวนทแรเงาซงอยในวงกลมดงรป (2) {(x, y) | x2 + y2 4 } วธท า จากอสมการ x2 + y2 4 ถา x2 + y2 = 4 เปนสมการวงกลมมจดศนยกลางท (0, 0) และรศมยาว 2 หนวย จะไดกราฟของอสมการ x2 + y2 4 น คอบรเวณสวนทแรเงาซงอยนอกวงกลม และรวมจดทกจดทเปนกราฟของสมการวงกลม x2 + y2 = 4 นดวย ดงรป

การหาสมการเสนสมผสวงกลม กรณท 1 ทราบจดศนยกลางของวงกลม และจดสมผส เราสามารถหาสมการเสนสมผสวงกลมไดดงน สมมตใหวงกลมมจดศนยกลางท C(h, k) และมเสนตรง L (ซงไมขนานกบแกน Y) สมผสกบวงกลมนทจด P(x1, y1)เสนตรง L จะตงฉากกบรศม CP ทจดสมผส P ดงรป

184


x2 + y2 = 9

Y

X (–3, 0) O (3, 0)

(0, 3)

(0, –3)

x2 + y2 < 9

x2 + y2 = 4 x2 + y2 = 4

X

Y

(–2, 0) O (2, 0)

(0, 2)

(0, –2)

x2 + y2 > 4

O

P(x1, y1)

C(h, k) L X

Y

วธการหาสมการของเสนตรง L มดงน

(1) ความชนของ CP = m = hxky

1

1

(2) จะได ความชนของเสนตรง L = m

1 [ m (

m

1 ) = – 1 ]

(3) จะไดสมการเสนสมผส L คอ y – y1 = m

1 (x – x1)

ตวอยางท 13 จงหาสมการเสนตรงซงสมผสกบวงกลมทมจดศนยกลางท C(–2, 7) โดยสมผสทจด P(1, 3) วธท า จากโจทย วงกลมทมจดศนยกลางท C(–2, 7) และเสนตรงสมผสกบวงกลมทจด P(1, 3)

จะได ความชนของรศม CP = 21

73

= 3

4 ความชนของเสนสมผส =

4

3

จากสมการเสนสมผส y – y1 = m

1 (x – x1) ซง x1 = 1, y1 = 3 และ

m

1 =

4

3

จะไดสมการเสนสมผส คอ y – 3 = 4

3 (x – 1)

4y – 12 = 3x – 3 3x – 4y + 9 = 0 ดงนน สมการเสนสมผสทตองการ คอ 3x – 4y + 9 = 0 กรณท 2 ทราบสมการของวงกลม และจดสมผส สามารถหาสมการเสนสมผสไดตามวธดงกลาว หรอหาไดดงตอไปน จดสมการใหอยในรป (x – h)2 + (y – k)2 = r2 และเสนตรง L สมผสวงกลมทจด P(x1, y1)

จะไดสมการเสนตรง L คอ (x1 – h)(x – h) + (y1 – k)(y – k) = r2

ตวอยางท 14 ก าหนดสมการ x2 + (y – 2)2 = 25 จงหาสมการเสนตรงซงสมผสกบวงกลมน ทจด (–4, 5) วธท า จากโจทยสมการวงกลม x2 + (y – 2)2 = 25 มจดศนยกลางทจด (0, 2) และจดสมผสอยท (–4, 5) จะได h = 0, k = 2, x1 = –4, y1 = 5 และ r2 = 25 จากสมการเสนสมผส (x1 – h)(x – h) + (y1 – k)(y – k) = r2 จะไดสมการเสนสมผส (–4 – 0)(x – 0) + (5 – 2)(y – 2) = 25 –4x + 3y – 6 = 25 4x – 3y + 31 = 0 ดงนน สมการเสนสมผสทตองการ คอ 4x – 3y + 31 = 0

P(1, 3) เสนสมผส

C(–2, 7)

185

O

P(x1, y1)

C(h, k) L X

Y


1. จงหาสมการวงกลมทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน (1) จดศนยกลางอยท (0, 0) และรศมยาว 6 หนวย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. (2) จดศนยกลางอยท (0, 0) และรศมยาว 5 หนวย ……...........…………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. (3) จดศนยกลางอยท (0, 3) และรศมยาว 4 หนวย ………………………….………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. จงแสดงวาสมการตอไปนเปนสมการวงกลม พรอมทงหาจดศนยกลางและรศม (1) x2 + y2 – 25 = 0 ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... (2) x2 + y2 – 2x – 8 = 0 ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... (3) x2 + y2 + 2x – 6y + 1 = 0 ............................................................................................................................................................................. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................


186


3. จงเขยนกราฟของบรเวณซงก าหนดโดยเซตตอไปน (1) {(x, y) | x2 + y2 4 }

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2) {(x, y) | x2 + y2 > 25 }

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

187


4. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด (0, 0) และวงกลมนผานจด (–3, 4) .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. จงหาสมการวงกลมทมจดปลายของเสนผานศนยกลางทจด (–1, 2) และ (5, 10) .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6. จงหาสมการวงกลมจากกราฟทก าหนดใหตอไปน (1) .…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

........................................................................................................

(2) ..…………………………………………………………………. …..………………………………………………………………. ..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………………………. ...………………………...………………………………………. ……………………………………………………………………

(3) ..………………………………………………………………….. …..………………………………………………………..……… ...…………………………………………………………………. ...…………………………………………………………………. ..…………………………………………………………………. ........................................................................................................

O X

Y

–4 4

4

–4

(–2 , 0)

(–2, –6)

X

Y

O

(– 5 , –3) C(– 2 , –3) (1 , –3)

(–3, 6)

(–3, 2)

(– 5 , 4) C(–3 , 4) (–1, 4)

X

Y

O

188


3.2.3 พ า ร า โ บ ล า (Parabola)

บทนยาม พาราโบลา คอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงอยหางจากเสนตรงคงทเสนหนงบนระนาบ และจดคงทจดหนงบนระนาบทไมอยบนเสนตรงเสนนน เปนระยะทางเทากนเสมอ

ลกษณะของพาราโบลา

สวนประกอบของพาราโบลา 1. จดคงท คอ จดโฟกสของพาราโบลา 2. เสนตรงคงท คอเสนบงคบหรอไดเรกตรกซ(Directrix) 3. เสนตรงทผานจดโฟกส จดยอดและตงฉากกบไดเรกตรกซคอ แกนพาราโบลา หรอแกนสมมาตร 4. จดทแกนพาราโบลาตดกบโคงของพาราโบลา คอ จดยอด(Vertex) ของพาราโบลา 5. สวนของเสนตรงทผานโฟกสและตงฉากกบแกนพาราโบลาโดยจดปลายทงสองอยบนโคงของ พาราโบลาคอ ลาตสเรกตม(Latus rectum) ซงเรยกวา คอรด(chord) ของพาราโบลา 1. พาราโบลาทมจดยอดอยทจด(0, 0) จดโฟกสอยท (c, 0) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = –c และมแกน X เปน แกนของพาราโบลา ดงรป

เมอ c 0 เปดทางขวา เมอ c 0 เปดทางซาย ก าหนดให P(x, y) เปนจดใดๆบนพาราโบลา และ PD ตงฉากกบไดเรกตรกซทจด D(– c, y) 22 )0y()cx( = | x – (– c)|

ลาตสเรกตม(Latus rectum)

เสนบงคบหรอไดเรกตรกซ(Directrix)

จดโฟกส(Focus)

แกนพาราโบลาหรอแกนสมมาตร

จดยอด(Vertex)

D(–c, y) P(x, y)

X F(c, 0)

Y

O x = –c

O

D(–c, y) P(x, y)

X F(c, 0)

Y

x = –c

189


ยกก าลงสองทงสองขาง จะได (x – c)2 + y2 = (x + c)2

x2 – 2cx + c2 + y2 = x2 + 2cx + c2

ดงนน y2 = 4cx

นนคอ สมการพาราโบลา y2 = 4cx

มจดยอดอยทจด (0, 0) จดโฟกสอยทจด(c, 0) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = – c และมแกน X เปนแกนของพาราโบลา ถา c 0 แลว y2 = 4cx เปนสมการของพาราโบลาทมกราฟทางขวา ถา c 0 แลว y2 = 4cx เปนสมการของพาราโบลาทมกราฟเปดทางซาย

2. พาราโบลาทมจดยอดอยทจด(0, 0) จดโฟกสอยท (0, c) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง y = – c และมแกน Y เปนแกนของพาราโบลา ดงรป

เมอ c 0 หงายขน เมอ c 0 คว าลง ก าหนดให P(x, y) เปนจดใดๆบนพาราโบลา และ PD ตงฉากกบไดเรกตรกซทจด D(x, –c) จากบทนยาม จะได PF = PD 22 )cy()0x( = | y – (– c)| ยกก าลงสองทงสองขาง จะได x 2 + (y – c)2 = (y + c)2

x2 + y2 – 2cy + c2 = y2 + 2cy + c2

ดงนน x2 = 4cy

นนคอ สมการพาราโบลา x2 = 4cy

จดศยอดอยทจด(0, 0) โฟกสอยทจด(0, c) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง y = – c และมแกน Y เปนแกนของพาราโบลา ถา c 0 แลว x2 = 4cy เปนสมการของพาราโบลาทมกราฟหงายขน ถา c 0 แลว x2 = 4cy เปนสมการของพาราโบลาทมกราฟคว าลง

y = –c

F(0, c)

X

Y

P(x, y)

D = (x, –c)

O P(x, y)

D(x, –c)

F(0, c)

X

Y

y = –c

O


190

หมายเหต 1. แกนของพาราโบลา(แกนสมมาตร)จะผานจดยอดและจดโฟกส 2. ระยะจากจดยอดไปยงโฟกสเทากบระยะจากจดยอดไปยงไดเรกตรกซ ซงตางกเทากบ | c | หนวย

3. ความยาวของลาตสเรกตม(Latus rectum) เทากบ | 4c | หนวย

ตวอยางท 1 จงหาสมการพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน (1) จดโฟกสอยท (5, 0) และจดยอดอยท (0, 0) วธท า จากโจทย จดโฟกสอยท (5, 0) และจดยอดอยท (0, 0) แสดงวาแกนพาราโบลาคอ แกน X (เสนตรง y = 0) c = 5 เปนกราฟพาราโบลาเปดทางขวา ไดเรกตรกซคอเสนตรง x = –5 ลาตสเรกตมยาว | 4(5) | = 20 หนวย สมการอยในรป y2 = 4cx จะได สมการ y2 = 4(5)x ดงนนสมการพาราโบลาทตองการคอ y2 = 20x

(2) จดโฟกสอยท (–3, 0) และไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 3 วธท า จากโจทย จดโฟกสอยท (–3, 0) และไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 3 แสดงวาแกนพาราโบลาคอ แกน X (เสนตรง y = 0) c = –3 เปนกราฟพาราโบลาเปดทางซาย จดยอดอยท (0, 0) ลาตสเรกตมยาว | 4(–3) | = 12 หนวย สมการอยในรป y2 = 4cx จะได สมการ y2 = 4(–3)x ดงนนสมการพาราโบลาทตองการคอ y2 = –12x

(–3, 6)

(–3, –6)

Y

XZ

OZ

–9 –6 –3 3

6 3

–3 –6

x = 3

F(–3, 0)

10

5

–5

–10

Y

O

X

x = –5

(5, 10)

(5, –10)

F(5, 0) –5 5 10

191


ตวอยางท 2 จงหาสมของการพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน (1) จดโฟกสอยท (0, 5) และจดยอดอยท (0, 0) วธท า จากโจทย จดโฟกสอยท (0, 5) และจดยอดอยท (0, 0) แสดงวาแกนพาราโบลาคอ แกน Y (เสนตรง x = 0) c = 5 เปนกราฟพาราโบลาหงายขน ไดเรกตรกซคอเสนตรง y = –5 ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(5) | = 20 หนวย สมการอยในรป x2 = 4cy จะได สมการ x2 = 4(5)y ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ x2 = 20y

(2) จดโฟกสอยท (0, – 3) และไดเรกตรกซคอเสนตรง y = 3 วธท า จากโจทย จดโฟกสอยท (0, –3) และไดเรกตรกซคอเสนตรง y = 3 แสดงวาแกนพาราโบลาคอ แกน Y (เสนตรง x = 0) c = – 3 เปนกราฟพาราโบลาคว าลง จดยอดอยท (0, 0) ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(– 3) | = 12 หนวย สมการอยในรป x2 = 4cy จะได สมการ x 2 = 4(– 3)y ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ x2 = – 12y

F(0, 5) (–10, 5) (10,5)

10) 5

Y

X –10 –5 O 5 10

–5 y = –5

10

O

(–6, –3) (6, –3)

Y

F(0, –3)

X y = 3

192


ตวอยางท 3 จงหาสมของการพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน

(1) ไดเรกตรกซคอเสนตรง y = 4

3 และจดยอดอยท (0, 0)

วธท า จากโจทย ไดเรกตรกซคอเสนตรง y = 4

3 และจดยอดอยท (0, 0)

แสดงวาแกนพาราโบลาคอ แกน Y (เสนตรง x = 0)

c = 4

3 เปนกราฟพาราโบลาหงายขน

จดโฟกสอยท (0, 4

3 )

ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(4

3 ) | = 3 หนวย

สมการอยในรป x2 = 4cy

จะได สมการ x 2 = 4(4

3 )y

ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ x2 = 3y

(2) จดโฟกสอยท (–2

1 , 0) และไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 2

1

วธท า จากโจทย จดโฟกสอยท (–2

1 , 0) และไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 2

1

แสดงวาแกนพาราโบลาคอ แกน X (เสนตรง y = 0)

c = –2

1 เปนกราฟพาราโบลาเปดทางซาย

จดยอดอยท (0, 0)

ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(–2

1 ) | = 2 หนวย

สมการอยในรป y2 = 4cx

จะได สมการ y2 = 4(–2

1 )x

ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ y2 = –2x

O

Y

X (–

2

3 , 4

3 ) (2

3 , 4

3 )

y = 4

3 –3 –2 –1 1 2

3

3 2

1

–1

F(0, 4

3 )

(–2

1 ,–1)

F(–2

1 , 0) (–

2

1 , 1)

2

1

–1 –2

–3 –2 –1 1 O X

Y

x = 2

1

193


6 12

แสงจากแหลงก าเนดทโฟกสของพนผวทรงพาราโบลา(มภาคตดขวางเปนพาราโบลา) เมอตกกระทบพนผวแสงสะทอนจะขนานกบแกนของพาราโบลา ดงนนกระจกเงาทรงพาราโบลาจะสะทอนแสงเปนล าแสงขนาน(ดงแสดงในรป ก) ในทางกลบกนแสงทพงเขามายงกระจกเงาพาราโบลาในทศทางทขนานกบแกนของกระจกเงาผวของกระจกเงาจะสะทอนแสงไปรวมกนทจดโฟกส (ดงแสดงในรป ข) หลกการดงกลาวนใชไดกบคลนดวยสมบตการสะทอนของพาราโบลานน าไปใชในการออกแบบอปกรณสะทอนแสง เชน โคมไฟ กลองโทรทรรศน(telescope) เปนตน

รป ก รป ข ตวอยางท 4 การหาโฟกสของอปกรณสองหาวตถ อปกรณสองหาวตถมโคมสะทอนแสงทรงพาราโบลา กวาง 12 นวและลก 6 นว ดงรป ถาตองการใหใสหลอดไฟอยทโฟกสของโคมเพอใหผวโคมไฟสะทอนแสงเปนล าขนาน กบแกนของโคมควรใหไสหลอดไฟอยหางจากจดยอดของโคมสะทอนแสงเทาใด

วธท า วางภาคตดกรวยรปพาราโบลาของโคมบนระนาบพกดฉากใหจดยอดอยทจดก าเนด (0, 0) และแกนของพาราโบลาขนานกบแกน Y (ในทนคอแกน Y) จะไดสมการพาราโบลาอยในรปแบบ x2 = 4cy จากกราฟจะเหนวาจด (6, 6) อยบนพาราโบลา เราจะใชจดนหาคา c แทนคา x ดวย 6 และแทนคา y ดวย 6 ลงในสมการ x2 = 4cy จะได 62 = 4c(6) 36 = 24c

c = 23

โฟกสอยทจด (0, 23 ) นนคอ ระยะระหวางจดยอดและโฟกสเทากบ

23 หรอ 1.50 นว

ดงนน ควรใหไสหลอดไฟอยหางจากจดยอดของโคมสะทอนแสง 1.50 นว

F F

– 10 – 5 O 5 10

10

5 –2

X

Y

(6, 6)

194


ตวอยางท 5 จงหาจดยอด โฟกส ไดเรกตรกซ แกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม พรอมทงเขยนกราฟ จากสมการพาราโบลาในแตละขอตอไปน (1) y2 = 20x วธท า จากสมการ y2 = 20x จะได y2 = 4(5)x แสดงวา จดยอดอยท (0, 0) แกนพาราโบลาคอ แกน X c = 5 เปนกราฟพาโบลาเปดทางขวา จดโฟกสอยท (5, 0) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = –5 ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(5) | = 20 หนวย

(2) y2 = –6x วธท า จากสมการ y2 = –6x จะได y2 = 4(–

2

3 )x

แสดงวา จดยอดอยท (0, 0) แกนพาราโบลาคอ แกน X c = –

2

3 เปนกราฟพาโบลาเปดทางซาย

จดโฟกสอยท (–2

3 , 0)

ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = 2

3


3 ) | = 6 หนวย

10

5

–5

–10

Y

O

X

x = –5

(5, 10)

(5, –10)

F(5, 0) –5 5 10

x = 2

3

(–2

3 , –3)

X

Y

–4 –2 2 4

4

2

–2

–4

F(–2

3 , 0) (–

2

3 , 3)

O

195


ตวอยางท 6 จงหาจดยอด โฟกส ไดเรกตรกซ แกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม พรอมทงเขยนกราฟ จากสมการพาราโบลาในแตละขอตอไปน

(1) x2 = 6y วธท า จากสมการ x2 = 6y จะได x2 = 4(

2

3 )y

แสดงวา จดยอดอยท (0, 0) แกนพาราโบลาคอ แกน Y c =

2

3 เปนกราฟพาโบลาหงายขน

จดโฟกสอยท (0, 2

3 )

ไดเรกตรกซคอ เสนตรง y = –2

3


3 ) | = 6 หนวย

(2) x2 = –10y วธท า จากสมการ x2 = –10y จะได x2 = 4(–

2

5 )y

แสดงวา จดยอดอยท (0, 0) แกนสมพาราโบลาคอ แกน Y c = –

2

5 เปนกราฟพาโบลาคว าลง

จดโฟกสอยท (0, –2

5 )

ไดเรกตรกซคอ เสนตรง y = 2

5


5 ) | = 10 หนวย

y = –2

3

(3, 2

3 ) (–3, 2

3 ) F(0, –

2

3 )

4

2

–2

–4

–4 –2 2 4

X

Y

O

(–5, –2

5 ) (5, –2

5 )

F(0, –2

5 )

4

2

–2

–4

–6 –4 –2 O 2 4 6 X

Y

y = 2

5

196


การหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจด(h, k) และมแกนขนานกบแกน X หรอขนานกบแกน Y 1. เมอแกนของพาราโบลาขนานกบแกน X

เมอ c 0 เปดทางขวา เมอ c 0 เปดทางซาย

ก าหนดให V(h, k) เปนจดยอด และ จดโฟกสอยท F(h + c, k) เมอเลอนแกนไปทจด (h, k) จะไดจดยอด และโฟกสของพาราโบลาเมอเทยบกบแกนใหมมพกดเปน (0, 0) และ (c, 0) ตาล าดบ ถาให P(x, y) เปนพกดของจดบนพาราโบลาเมอเทยบกบแกนใหม จะไดสมการของพาราโบลาเมอเทยบกบแกนใหม คอ (y)2 = 4cx แต y = y – k และ x = x – h 2 3 ดงนนจะไดสมการพาราโบลาเมอเทยบกบแกนเดมคอ (y – k)2 = 4c(x – h)

นนคอ สมการพาราโบลา (y – k)2 = 4c(x – h) มจดยอดอยท (h, k) โฟกสอยทจด (h +c, k) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = h – c แกนของพาราโบลาขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = k ความยาวของลาตสเรกตม(Latus rectum) เทากบ | 4c | หนวย เมอ c 0 เปนกราฟพาราโบลาเปดทางขวา และ c 0 เปนกราฟพาราโบลาเปดทางซาย

V(h, k) F(h + c, k)

O

Y Y

X

X

D P(x, y)

x = h – c D P(x, y)

F(h + c, k) V(h, k)

O

Y Y

X

X

x = h – c


197

2. เมอแกนของพาราโบลาขนานกบแกน Y

เมอ c 0 หงายขน เมอ c 0 คว าลง ก าหนดให V(h, k) เปนจดยอด และ จดโฟกสอยท F(h , k + c) เมอเลอนแกนไปทจด (h, k) จะไดจดยอด และโฟกสของพาราโบลาเมอเทยบกบแกนใหมมพกดเปน (0, 0) และ (0, c) ตาล าดบ ถาให P(x, y) เปนพกดของจดบนพาราโบลาเมอเทยบกบแกนใหม จะไดสมการของพาราโบลาเมอเทยบกบแกนใหม คอ (x)2 = 4cy แต x = x – h และ y = y – k ดงนนจะไดสมการพาราโบลาเมอเทยบกบแกนเดมคอ (x – h)2 = 4c(y – k)

นนคอ สมการพาราโบลา (x – h)2 = 4c(y – k) มจดยอดอยท (h, k) โฟกสอยทจด (h , k + c) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง y = k – c แกนของพาราโบลาขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = h ความยาวของลาตสเรกตม(Latus rectum) เทากบ | 4c | หนวย เมอ c 0 เปนกราฟพาราโบลาหงายขน และ c 0 เปนกราฟพาราโบลาคว าลง

V(h, k)

D

X

X

F(h, k + c)

O

Y Y

y = k – c

P(x, y) V(h, k)

D

X

X

F(h, k + c)

O

Y Y

y = k – c

P(x, y)

198


ตวอยางท 7 จงหาสมการของพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน (1) จดยอดอยท (– 2, 3) และจดโฟกสอยท (1, 3) วธท า จากโจทย จดยอดอยท V(– 2, 3) = V(h, k) จะได h = – 2 , k = 3 จดโฟกสอยท F(h + c, k) = F(1, 3) จะได h + c = 1 ซง –2 + c = 1 c = 3 แกนพาราโบลาขนานกบ X คอ เสนตรง y = 3 (y = k) ไดเรกตรกซคอเสนตรง x = – 5 (x = h – c = –2 – 3 = – 5) เปนกราฟพาราโบลาเปดทางขวา (c 0) ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(3) | = 12 หนวย สมการอยในรป (y – k)2 = 4c(x – h) จะได สมการ (y – 3)2 = 4(3)(x + 2) y 2– 6y + 9 = 12x + 24 y 2– 6y – 12x – 15 = 0 ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ y 2– 6y – 12x – 15 = 0 (2) จดยอดอยท (–3, –4) และไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 2 วธท า จากโจทย จดยอดอยท V(–3, –4) = V(h, k) จะได h = –3, k = –4 ไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 2 จะได h – c = 2 ดงนน –3 – c = 2 c = –5 แกนพาราโบลาขนานกบแกน X คอ เสนตรง y = –4 (y = k ) เปนกราฟพาราโบลาเปดทางซาย ( c 0) จดโฟกสอยท F(h + c, k) = F(–3 –5, –4) = F(–8, –4) ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(–5) | = 20 หนวย สมการอยในรป (y – k)2 = 4c(x – h) จะได สมการ (y + 4)2 = 4(–5)(x + 3) y2+ 8y + 16 = –20x – 60 y2+ 8y + 20x + 76 = 0 ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ y2+ 8y + 20x + 76 = 0

O

(–3, 6)

(–8, –14)

F(–8, –4) V(–3, –4)

X O

Y Y

X

x = 2

199


X

Y Y

X

x = –5

(1, 9)

V(-2, 3) F(1, 3)

(1, –3)

Y Y

X X

x2– 8x + 8y + 40 = 0

x2– 8x – 8y – 8 = 0

ตวอยางท 8 จงหาสมการของพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน (1) จดยอดอยท (– 2, 3) และจดโฟกสอยท (– 2, 7) วธท า จากโจทย จดยอดอยท V(– 2, 3) = V(h, k) จะได h = – 2 , k = 3 จดโฟกสอยท F(– 2, 7) = F(h, k + c) จะได k + c = 7 ซง – 3 + c = 7 c = 4 แกนพาราโบลาขนานกบ Y คอ เสนตรง x = – 2 (x = h) ไดเรกตรกซคอเสนตรง y = –1 (y = k – c = 3 - 4 = –1) เปนกราฟพาราโบลาหงายขน (c 0) ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(4) | = 16 หนวย สมการอยในรป (x – h)2 = 4c(y – k) จะได สมการ (x + 2)2 = 4(4)(y – 3) x 2+ 4x + 4 = 16y – 48 x 2+ 4x – 16y + 52 = 0 ดงนน สมการพาราโบลาทตองการคอ x 2+ 4x – 16y + 52 = 0 (2) จดยอดอยท (4, –3) แกนของพาราโบลาคอ เสนตรง x = 4 และลาตสเรกตมยาว 8 หนวย วธท า จากโจทย จดยอดอยท V(4, –3) = V(h, k) จะได h = 4 และ k = –3 และลาตสเรกตมยาว 8 หนวย จะได | 4c | = 8 c = 2 แกนพาราโบลาขนานกบแกน Y คอ เสนตรง x = 4 สมการอยในรป (x – h)2 = 4c(y – k) จะได สมการ (x - 4)2 = 4(2)(y + 3) x2– 8x + 16 = 8y + 24 x2– 8x – 8y – 8 = 0 หรอสมการ (x – 4)2 = 4(–2)(y + 3) x2– 8x + 16 = –8y – 24 x2– 8x + 8y + 40 = 0 ดงนน สมการทตองการคอ x2– 8x – 8y – 8 = 0 หรอ x2–8x + 8y + 40 = 0

(–10, 7) (6, 7) F(– 2, 7)

V(– 2, 3) X X

YY

y = –1

V(4, –3)

200


ตวอยางท 9 จงหาจดยอด โฟกส ไดเรกตรกซ แกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม พรอมทงเขยนกราฟ จากสมการพาราโบลาในแตละขอตอไปน (1) y2 – 6y – 20x + 109 = 0 วธท า จากสมการ y2 – 6y – 20x + 109 = 0 จะได y2 – 6y = 20x –109 y2 – 6y + 9 = 20x – 109 + 9 y2 – 6y + 9 = 20x – 100 (y – 3 )2 = 20(x – 5) (y – 3 )2 = 4(5)(x – 5) ดงนน จะได h = 5, k = 3 และ c = 5 เปนกราฟพาโบลาเปดทางขวา จดยอดอยท V(h, k) = V(5, 3) แกนพาราโบลาขนานกบแกน X คอ เสนตรง y = 3 (y = k ) จดโฟกสอยท F(h + c, k) = F (5 + 5, 3) = F(10, 3) ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = 0 คอ แกน Y ( x = h – c = 5 –5 = 0) ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(5) | = 20 หนวย (2) y2 – 2y + 6x + 19 = 0 วธท า จากสมการ y2 – 2y + 6x + 19 = 0 จะได y2 – 2y = – 6x – 19 y2 – 2y + 1 = –6x – 19 + 1 y2 – 2y + 1 = –6x – 18 (y – 1)2 = –6(x + 3) (y – 1)2 = 4(–

2

3 )(x + 3)

จะได h = –3, k = 1 และ c = –2

3 เปนกราฟพาโบลาเปดทางซาย

จดยอดอยท V(h, k) = V(–3, 1) แกนพาราโบลาขนานกบแกน X คอ เสนตรง y = 1 (y = k ) จดโฟกสอยท F(h + c, k) = F (–3 –

2

3 , 1) = F(–2

9 , 1)

ไดเรกตรกซคอ เสนตรง x = – 23 ( x = h – c = –3 + 2

3 = – 23 )

ลาตสเรกตมยาว | 4(– 23 ) | = 6 หนวย

V(5, 3) F(10, 3)

(10, –7)

O

(10, 13) Y Y

X

X

x = 0

201


O X X

Y Y

F(– 2

9 , 1) V(– 3, 1)

(– 2

9 , – 2)

(– 2

9 , 4)

x = 2

3

ตวอยางท 10 จงหาจดยอด โฟกส ไดเรกตรกซ แกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม พรอมทงเขยนกราฟ จากสมการพาราโบลาในแตละขอตอไปน (1) x2– 4x + 20y – 56 = 0 วธท า จากสมการ x2– 4x + 20y – 56 = 0 จะได x2– 4x = –20y + 56 x2– 4x + 4 = –20y + 56 + 4 x2– 4x + 4 = –20y + 60 (x – 2)2 = 4(–5)(y – 3) ดงนน จะได h = 2, k = 3 และ c = –5 เปนกราฟพาราโบลาคว าลง จดยอดอยท V(h, k) = V(2, 3) แกนพาราโบลาขนานกบแกน Y คอ เสนตรง x = 2 (x = h ) จดโฟกสอยท F(h , k + c) = F(2, 3 – 5) = F(2, –2) ไดเรกตรกซคอเสนตรง y = 8 ( y = k – c = 3 – (– 5) = 8 ลาตสเรกตมยาวเทากบ | 4(–5) | = 20 หนวย

(2) 3x2– 9x – 5y – 2 = 0 วธท า จากสมการ 3x2– 9x – 5y – 2 = 0 จะได 3x2– 9x = 5y + 2 x2– 3x =

3

5 y + 3

2

x2– 3x + 4

9 = 3

5 y + 3

2 +4

9

x2– 3x + 4

9 = 3

5 y + 12

35

( x –2

3 )2 = 3

5 (y + 4

7 )

( x –2

3 )2 = 4(12

5 )(y + 4

7 )

ดงนน จะได h = 2

3 , k = –4

7 และ c = 125 เปนกราฟพาราโบลาหงายขน

จดยอดอยท V(h, k) = V(2

3 , –4

7 )

แกนพาราโบลาขนานกบแกน Y คอ เสนตรง x = 23 (x = h )

จดโฟกสอยท F(h , k + c) = F( 23 , – 4

7 + 125 ) = F( 2

3 ,– 34 )

ไดเรกตรกซคอเสนตรง y = 8 ( y = k – c = –4

7 – 125 =

12

26 =

6

13


5 ) | = 3

5 หนวย

202

(–8, –2) F(2, –2) (12, –2) O

Y Y

V(2, 3)

X X

y = 8

O

Y Y X

V(2

3 , 4

7 ) X

(3

2 ,3

4 ) (

3

7 ,3

4 )

F(2

3 ,–3

4 )

y = 6

13


1. จงหาสมการของพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน พรอมทงเขยนกราฟดวย (1) จดยอดอยท (0, 0) และโฟกสอยทจด (6, 0)

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

(2) จดยอดอยท (0, 0) และโฟกสอยทจด (0, –3) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

(3) ไดเรกตรกซ คอ เสนตรง x = 3 และจดยอดอยทจด (0, 0) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

ใบกใบกจกรรมท จกรรมท 33..22..33

203


(4) ไดเรกตรกซ คอ เสนตรง y = –4 และจดยอดอยท (0, 0) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 2. จงหาสมการของพาราโบลา จดยอด จดโฟกส ไดเรกตรกซ และความยาวลาตสเรกตม จากกราฟท ก าหนดใหดงตอไปน (1) ………………………………………………………………….

…………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………… ………………………………………………………………….

………………………………………………………………….. ……….…………………………………………………………. …………………………………………………………………..

(2) ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

X

Y

–8 –6 –4 –2 O 2 4

6 4 2 –2 –4 –6

(–3, 6)

(–3, –6)

Y

X –6 –4 –2 O 2 4 6

8 6 4 2 –2 –4

(–4, 2) (4, 2)

204


3. จงหาจดยอด โฟกส ไดเรกตรกซ แกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม พรอมทงเขยนกราฟ จากสมการพาราโบลาในแตละขอตอไปน (1) y2 = 4x ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

(2) y2 = – 8x ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

(3) x2 = 12y ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

205


4. จงหาสมการของพาราโบลา จากสงทก าหนดใหดงตอไปน พรอมทงเขยนกราฟดวย

(1) จดยอดอยท (2, 0) และโฟกสอยทจด (6, 0) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………...

(2) จดยอดอยท (2, 3) และโฟกสอยทจด (2, –6) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….

(3) ไดเรกตรกซ คอ เสนตรง x = –2 และจดยอดอยทจด (4, –3) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................. ดฉนพยายามคดคะ ผมพยายามท าครบ

206

5. จงหาสมการของพาราโบลา จดยอด จดโฟกส ไดเรกตรกซ และความยาวลาตสเรกตม จากกราฟท ก าหนดใหดงตอไปน (1) …………………………………………………………..

.…………………………………………………………. ………………………………………………………….

…………………………………………………………. ………………………………………………………….

………………………………………………………….. …………………………………………………………... …………………………………………………………...

…………………………………………………………… …………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

(3) …….……………………………………………………. ….……………………………………………………….

………………………………………………………….. …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. ………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

(8, 11)

(8, –1)

12 10 8 6 4 2

–2

–2 O 2 4 6 8 10 12

X

Y Y

X

V F

(–6, 1) (2, 1)

8 6 4 2 –2 –4

–10 –8 –6 –4 –2 O 2 4 6

Y Y

X

X

V

F

207


3. จงหาจดยอด โฟกส ไดเรกตรกซ แกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม พรอมทงเขยนกราฟ จากสมการพาราโบลาในแตละขอตอไปน (1) (y – 2)2 = 4(x + 3) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ...........................................................................................................

(2) ( x + 5)2 = –8)(x – 1) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ...........................................................................................................

(3) y2+ 2y – 12x+ 37 = 0 ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ...........................................................................................................

208


3.2.4 ว ง ร (Ellipse)

บทนยาม วงร คอ เซตของจดทกจดบนระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ในเซตนไปยงจดคงท สองจดบนระนาบมคาคงตวและคาคงตวนมากกวาระยะหางระหวางจดคงททงสองนน

ลกษณะของวงร

สวนประกอบของวงร 1. จดคงทสองจด คอ จด F และ F เปนโฟกสของวงร

2. จดกงกลางระหวางโฟกสทงสอง คอ จด C เปนจดศนยกลางของวงร 3. จดทเสนตรงทลากผานโฟกสทงสองตดกบวงร คอจด A และ A เปนจดยอดของวงร 4. สวนของเสนตรงทเชอมจดยอดทงสองของวงร คอ AA เรยกวา แกนเอก(major axis) ของวงร 5. สวนของเสนตรงทตงฉากกบแกนเอกทจดศนยกลาง และมจดปลายทงสองอยบนวงร คอ BB

เรยกวา แกนโท(minor axis) ของวงร 6. สวนของเสนตรงทตงฉากกบแกนเอกทจดโฟกส และมจดปลายทงสองอยบนวงรเรยกวา ลาตสเรกตม(ratus rectum) ของวงร

สมการของวงรทมจดศนยกลางอยท (0, 0) 1. โฟกสอยบนแกน X ทจด F(c, 0) และ F(–c, 0) เมอ c 0 ดงรป

หมายเหต เสนประรปสเหลยมผนผา ไมไดเปนสวนใดสวนหนงของกราฟแตเขยนเพอบอกขอบเขต ของวงรเทานน กราฟของวงรจะอยภายในรปสเหลยมผนผาน

ไดเรกตรกซ ไดเรกตรกซ

จดโฟกส แกนโท B แกนเอก จดโฟกส

จดยอด ลาตสเรกตม B จดศนยกลาง จดยอด

A F C F A

ไดเรกตรกซ ไดเรกตรกซ

A(–a , 0) F(–c, 0) O F(c, 0) A(a, 0) X

P(x, y)

Y

B(0, –b)

B(0, b)

209


จากรป ให P(x, y) เปนจดใดๆ บนวงร ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสอง = FF = 2c หนวย

จากบทนยาม จะได PF + PF เทากบคาคงตว ซงมากกวา 2c สมมตให PF + PF = 2a เมอ a 0 และ 2a 2c จะได 22 0ycx )()( + 22 0ycx )()( = 2a

22 ycx )( = 2a – 22 ycx )( ก าลงสองทงสองขาง จะได x2+ 2cx + c2 + y2 = 4a2– 4a 22 ycx )( + x2– 2cx + c2 + y2

4cx – 4a2 = –4a 22 ycx )(

น า –4 มาหารทงสองขาง จะได a2 – cx = a 22 ycx )( ยกก าลงสองทงสองขาง จะได a4 – 2a2cx + c2x2 = a2(x2– 2cx + c2 + y2) a4 – 2a2cx + c2x2 = a2x2– 2a2cx + a2c2 + a2y2

a2x2 – c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2 (a2 – c2) x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) ถาเลอนจด P(x, y) มาอยทจด B(0, b) แลว POF เปนรปสามเหลยมมมฉาก และ PF = a จะได b2 = a2 – c2 แทนคา a2 – c2 ดวย b2 จะได b2x2 + a2y2 = a2b2 น า a2b2 มาหารทงสองขาง จะไดสมการวงร

22

22

ba

xb + 22

22

ba

ya = 22

22

ba

ba

1b

y

a

x

2

2

2

2

นนคอสมการวงร 1b

y

a

x

2

2

2

2 โดยท a b 0 และ b2 = a2 – c2

1. แกนเอกอยบนแกน X 2. จดศนยกลางอยทจด (0, 0) 3. จด A(a, 0) และ A(–a, 0) เปนจดยอดของวงร และ เรยก AAวาแกนเอก ซง AA ยาว 2a หนวย (a 0) 4. จด B(0, b) และ B(0, –b) เปนจดปลายแกนโทของวงร เรยก BB วาแกนโท ซง BBยาว 2b หนวย (b 0) 5. จด F(c, 0) และ F(–c, 0) เปนโฟกสของวงร ซง FF ยาว 2c หนวย (c 0)

6. ลาตสเรกตมยาวเทากบ a

b2 2 หนวย

7. คาความเยองศนยกลาง(eccentricity) หรอ e = a

c

8. สมการไดเรกตรกซ คอ x = e

a หรอ x = c

a 2

210


2. โฟกสอยบนแกน Y ทจด F(0, c) และ F(0, –c) เมอ c 0 ดงรป จากรป ให P(x, y) เปนจดใดๆ บนวงร ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสอง = FF = 2c หนวย จากบทนยาม จะได PF + PF เทากบคาคงตว ซงมากกวา 2c

สมมตให PF + PF = 2a เมอ a 0 และ 2a 2c ในท านองเดยวกน จะไดสมการวงร 1b

x

a

y

2

2

2

2

นนคอสมการวงร 1b

x

a

y

2

2

2

2 หรอ 1

a

y

b

x

2

2

2

2 โดยท a b 0 และ b2 = a2– c2

1. แกนเอกอยบนแกน Y 2. จดศนยกลางอยทจด (0, 0) 3. จด A(0, a) และ A(0, –a) เปนจดยอดของวงร และ เรยก AA วาแกนเอก ซง AA ยาว 2a หนวย (a 0) 4. จด B(b, 0) และ B(–b, 0) เปนจดปลายแกนโทของวงร เรยก BBวาแกนโท ซง BB ยาว 2b หนวย (b 0) 5. จด F(0, c) และ F(0, –c) เปนโฟกสของวงร ซง FF ยาว 2c หนวย (c 0) 6. ลาตสเรกตมยาวเทากบ

a

b2 2 หนวย

7. คาความเยองศนยกลางของวงร (eccentricity) หรอ e = a

c

8. สมการไดเรกตรกซ คอ y = e

a หรอ y = c

a 2

บทนยามของความเยองศนยกลาง(Eccentricity)

ส าหรบวงร 1b

y

a

x

2

2

2

2 หรอ 1

a

y

b

x

2

2

2

2 เมอ a b 0 ความเยองศนยกลางของวงร

แทนดวย e คออตราสวนของ c ตอ a หรอ e = a

c เมอ c = 22 ba

ความเยองศนยกลางของวงรมคาระหวาง 0 และ 1 นนคอ 0 < e < 1

F(0, c)

A(0, a)

F(0, –c)

X

Y

B( – b, 0) O B(b, 0)

A (0, – a)

P(x, y)


211

ถา e มคาใกล 1 หรอ c มคาเกอบจะเทากบ a แลววงรมความยาวรมาก(มรปรางเรยวยาว) แตถา e มคาใกล 0 แลววงรมความรนอย (รปรางเกอบจะกลม) ดงรป ซงแสดงวงรทมความเยองศนยกลางตางๆกน ตวอยางท 1 จงหาสมการวงรทมโพกสอยทจด(4, 0) และ (–4, 0) และมความเยองศนยกลาง

เทากบ 13

8

วธท า โพกสอยทจด(4, 0) และ (4, 0) แสดงจดศนยกลางอยทจด (0, 0) แกนเอกอยบนแกน X

และ c = 4 และมความเยองศนยกลางเทากบ 13

8 หรอ e = 13

8

จาก e = a

c จะได 13

8 = a

4

8a = 52

a = 2

13

จาก c2 = a2– b2 จะได 42 = 2

2

13

– b2

16 = 4

169 – b2

b2 = 4

169 – 16

= 4

64169 = 4

105

b = 2

105

สมการอยในรป 1b

y

a

x

2

2

2

2

จะได 1

4

105

y

4

169

x22

1105

y4

169

x4 22

ดงนน สมการวงรทตองการคอ 1105

y4

169

x4 22

e = 0.95 e = 0.87 e = 0.65

e = 0.56 e = 0.43 e = 0.1

O A(–2

13 , 0) F (4, 0) F(4, 0) A(2

13 , 0)

Y

X

B(0, –2

105 )

B(0,2

105 )

212


17

y

16

x 22

ตวอยางท 2 จากสงทก าหนดใหตอไปน จงหาสมการวงร พรอมทงเขยนกราฟ (1) โฟกสอยทจด (3, 0) และ (–3, 0) และผลบวกของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสทงสอง (ผลบวกคาคงตว) เทากบ 8 หนวย

วธท า จากโฟกสอยทจด (3, 0) และ (–3, 0) จะไดจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และ c = 3 ผลบวกคาคงตวเทากบ 8 หนวย จะได 2a = 8 a = 4 จะไดจดยอดอยทจด (4, 0) และ (–4, 0) จาก b2 = a2– c2 จะได b2 = 42– 32 = 16 - 9 = 7 b = 7 จดปลายแกนโทอยทจด (0, 7 ) และ (0, – 7 )

ลาตสเรกตมยาวเทากบ a

b2 2 = 4

)7(2 = 2

7 หนวย

แกนเอกอยบนแกน X


y

a

x2

2

2

2

จะไดสมการ 1)7(

y

4

x2

2

2

2

ดงนน สมการวงรทตองการคอ หรอ 7x2 + 16y2 = 112

(2) โฟกสอยทจด (0, 4) และ (0, –4) และผลบวกของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสทงสอง (ผลบวกคาคงตว) เทากบ 10 หนวย วธท า จาก โฟกสอยทจด (0, 4) และ (0, –4) จะไดจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และ c = 4 ผลบวกคาคงตวเทากบ 10 หนวย จะได 2a = 10 a = 5 จะไดจดยอดอยทจด (0, 5) และ (0, –5) จาก b2 = a2 – c2 จะได b2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 b = 3 จดปลายแกนโทอยทจด (3, 0) และ (–3, 0)


b2 2

= 592 )( = 5

18 หนวย

แกนเอกอยบนแกน Y สมการอยในรป

จะไดสมการ


x

25

y 22

หรอ 25x2 + 9y2 = 225

Y

X A(–4, 0) (F(–3, 0) O F(3, 0) A(4, 0)

B(0, 7 )

B (0, – 7 )

X B(–3, 0) O B(3, 0)

Y

A(0, 5)

4

F(0, 4)

F(0, –4)

A(0, –5)

213

1b

x

a

y2

2

2

2

13

x

5

y2

2

2

2


(3) จดยอดอยทจด (5, 0) และ (–5, 0) โฟกสจดหนงอยท (2, 0) วธท า จาก จดยอดอยทจด (5, 0) และ (–5, 0) จะไดจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และ a = 5 โฟกสจดหนงอยท (2, 0) จะได c = 2 และ โฟกสอกจดหนงอยท (–2, 0) จาก b2 = a2– c2 จะได b2 = 52– 22 = 25 – 4 = 21 b = 21 จดปลายแกนโทอยทจด (0, 21 ) และ (0, – 21 )


b2 2 = 5

)21(2 = 5

42 หนวย



y

a

x2

2

2

2


y

5

x2

2

2

2


y

25

x 22

หรอ 21x2 + 25y2 = 525

(4) โฟกสอยทจด (3, 0) และ (–3, 0) แกนเอกยาว 8 หนวย วธท า จากโฟกสอยทจด (3, 0) และ (–3, 0) จะไดจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และ c = 3 และแกนเอกยาว 8 หนวย จะได 2a = 8 a = 4 จะไดจดยอดอยทจด (4, 0) และ (–4, 0) จาก b2 = a2 – c2 จะได b2 = 42 – 32 = 16 – 9 = 7 b = 7 จดปลายแกนโทอยทจด (0, 7 ) และ (0, – 7 )


b2 2=

4

)7(2 = 2

7 หนวย



y

a

x

2

2

2

2


y

4

x

2

2

2

2


y

16

x 22 หรอ 7x2 + 16y2 = 112

A(–5, 0) F(2, 0) O F(2, 0) A(5, 0)

Y

X

B(0, 21 )

B(0, – 21 )

Y

X A(–4, 0) (F(–3, 0) O F(3, 0) A(4, 0)

B(0, 7 )

B (0, – 7 )

214


ตวอยางท 3 จากสงทก าหนดใหตอไปน จงหาสมการวงร (1) จดยอดอยทจด (0, 6) และ (0, –6) และกราฟผานจด (2, 14 ) วธท า จาก จดยอดอยทจด (0, 6) และ (0, –6) จะไดจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และ a = 6

แกนเอกอยบนแกน Y จะไดสมการอยในรป 1b

x

a

y

2

2

2

2

เนองจาก a = 6 และกราฟผานจด (2, 14 ) จะได 1b

2

6

)14(

2

2

2

2

1b

4

36

14

2

36

141

b

4

2

36

22

b2 = 4(22

36 )

b2 = 11

72

ดงนน จะไดสมการวงรทตองการคอ 172

x11

36

y 22 หรอ 11x2 + 2y2 = 72

(6) จดศนยกลางอยทจดก าเนด แกนเอกอยบนแกน X และกราฟผานจด (4, 3) กบจด (6, 2) วธท า เนองจากจดศนยกลางอยทจดก าเนด แกนเอกอยบนแกน X จะไดสมการอยในรป

1b

y

a

x

2

2

2

2

กราฟผานจด (4, 3) จะได 2

2

a

4 + 1b

3

2

2

1b

9

a

16

22 ................................................(1)

กราฟผานจด (6, 2) จะได 1b

2

a

62

2

2

2

1b

4

a

36

22 .................................................(2)

(1) 4 จะได 4b

36

a

64

22 .................................................(3)

(2) 9 จะได 9b

36

a

324

22 .................................................(4)

(4) - (3) จะได 2a

260 = 5 a2 = 52

แทนคา a2 ดวย 52 ลงในสมการ (1) จะได 1b

9

52

16

2

13

9

52

36

52

161

b

9

2

b2 = 9 = 13

ดงนน จะไดสมการวงรทตองการคอ 113

y

52

x 22 หรอ x2 + 4y2 = 52

9

13

215


ตวอยางท 4 จากสมการวงรในแตละขอตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดยอด โฟกส จดปลายแกนโท ความยาวลาตสเรกตม

(1) 19

y

16

x 22

วธท า จากสมการ 19

y

16

x 22

จะได a2 = 16 a = 4 และ b2 = 9 b = 3 เนองจาก b2 = a2 – c2 หรอ c2 = a 2 – b2 จะได c2 = 16 – 9 = 7 c = 7 แกนเอกอยบนแกน X

1. จดศนยกลางอยท (0, 0) 2. จดยอดอยท A(4, 0) และ A(–4, 0) 3. จดโฟกสอยท F( 7 , 0) และ F(– 7 , 0) 4. จดปลายแกนโทอยท B(0, 3) และ B(0, –3) 5. ลาตสเรกตมยาวเทากบ

a

b2 2 = 4

)9(2 = 2

9 หนวย

(2) 1

9

y

4

x 22

วธท า จากสมการ 19

y

4

x 22

จะได a2 = 9 a = 3 และ b2 = 4 b = 2 เนองจาก b2 = a2 – c2 หรอ c2 = a 2 – b2 จะได c2 = 9 – 4 = 5 c = 5 แกนเอกอยบนแกน Y

1. จดศนยกลางอยท (0, 0) 2. จดยอดอยท A(0, 3) และ A(0, –3) 3. โฟกสอยท F(0, 5 ) และ F(0, – 5 ) 4. จดปลายแกนโทอยท B(2, 0) และ B(–2, 0)


b2 2

= 3

)4(2 = 3

8 หนวย

Y

Y

X B(–2, 0) O B(2, 0)

A(0, 3)

4

F(0, 5 )

F(0, – 5 )

A(0, –3)

216

X

Y

A(–4, 0) F(– 7 , 0) O F( 7 , 0) A(4, 0)

B(0, –3)

B(0, 3)


(3) 3x2 + y2 = 3

วธท า จากสมการ 3x2 + y2 = 3 หรอ 13

y

1

x 22

จะได a2 = 3 a = 3 และ b2 = 1 b = 1 เนองจาก b2 = a2 – c2 หรอ c2 = a 2 – b2 จะได c2 = 3 – 1 = 2 c = 2 แกนเอกอยบนแกน Y 1. จดศนยกลางอยท (0, 0) 2. จดยอดอยท A(0, 3 ) และ A(0, – 3 ) 3. จดโฟกสอยท F(0, 2 ) และ F(0, – 2 ) 4. จดปลายแกนโทอยท B(1, 0) และ B(–1, 0)

5. ลาตสเรกตมยาวเทากบ ab2 2

= 312 2)(

= 3

2 = 332

หนวย

(4) x2 + 4y2 = 16

วธท า จากสมการ x2 + 4y = 16 หรอ 14

y

16

x 22

จะได a2 = 16 a = 4 และ b2 = 4 b = 2 เนองจาก b2 = a2 – c2 หรอ c2 = a 2 – b2 จะได c2 = 16 – 4 = 12 c = 12 = 2 3 แกนเอกอยบนแกน X 1. จดศนยกลางอยท (0, 0) 2. จดยอดอยท A(4, 0) และ A(–4, 0) 3. จดโฟกสอยท F(2 3 , 0 ) และ F(–2 3 , 0) 4. จดปลายแกนโทอยท B(0, 2) และ B(0, –2)

5. ลาตสเรกตมยาวเทากบ ab2 2

= 422 2)( = 2 หนวย

X

B(0, –2)

B(0, 2)

A(–4, 0) F(–2 3 , 0) O F(2 3 , 0) A(4, 0) A(4, 0)

Y

B(–1, 0) O B(1, 0)

A(0, 3 )

F(0, 2 )

F(0, – 2 )

A(0, – 3 )

Y

X

217


สมการวงรทมจดศนยกลางท (h, k) 1. สมการวงรทมจดศนยกลางท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน X

ก าหนด สมการวงรมจดศนยกลางท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน X โดยการเลอนแกนทางขนาน ไปอยทจด (h, k)

ดงนน สมการวงรทมจดศนยกลางท (h, k) เมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ 1b

)y(

a

)x(

2

2

2

2

เนองจาก x = x – h และ y = y – k ดงนน สมการวงรทมจดศนยกลางท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน X เมอเทยบกบแกนพกดเดมคอ

1b

)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

โดยท a b 0 และ b2 = a2– c2

(1) แกนเอกขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = k (2) จดศนยกลางอยท (h, k) (3) จด F(h + c, k) และ F(h – c, k) เปนโฟกสของวงร ซง FF ยาว 2c หนวย (c 0) (4) จด A(h + a, k) และ A(h – a, k) เปนจดยอดของวงร และ เรยก AA วาแกนเอก ซง AA ยาว 2a หนวย (a 0) (5) จด B(h, k + b) และ B(h, k – b) เปนจดปลายแกนโทของวงร เรยก BB วาแกนโท ซง BB ยาว 2b หนวย (b 0)

(6) ลาตสเรกตมยาวเทากบ a

b2 2

หนวย

(7) ความเยองศนยกลาง e = a

c

C(h, k) X

O

X

Y Y B(h, k + b)

B (h, k – b)

A(h – a, k) F(h – c, k) F(h + c, k) A(h + a, k)

218

ดฉนพยายามอานนะคะ ผมพยายามคดครบ

2. สมการวงรทมจดศนยกลางท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน Y ก าหนด สมการวงรมจดศนยกลางท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน Y โดยการเลอนแกนทางขนาน ไปอยทจด (h, k) จะไดสมการวงรเทยบกบแกนพกดใหม คอ เนองจาก x = x – h และ y = y – k ดงนน สมการวงรทมจดศนยกลางท (h, k) แกนเอกขนานกบแกน Y เมอเทยบกบแกนพกดเดมคอ

1a

)ky(

b

)hx(

2

2

2

2

โดยท a b 0 และ b2 = a2– c2

(1) แกนเอกขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = h (2) จดศนยกลางอยท C(h, k) (3) จด F(h , k + c) และ F(h , k – c) เปนโฟกสของวงร ซง FF ยาว 2c หนวย (c 0) (4) จด A(h , k + a) และ A(h, k – a) เปนจดยอดของวงร และ เรยก AA วา แกนเอก

ซง AA ยาว 2a หนวย (a 0) (5) จด B(h + b, k) และ B(h – b, k) เปนจดปลายแกนโทของวงร เรยก BB วา แกนโท ซง BB ยาว 2b หนวย (b 0)

(6) ลาตสเรกตมยาวเทากบ หนวย (7) ความเยองศนยกลาง e =

หมายเหต 1. จดศนยกลาง จะอยกงกลางระหวางโฟกสทงสอง หรอระหวางจดยอดทงสอง หรอ ระหวางจดปลายของแกนโททงสอง 2. จดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด อยบนเสนตรงเดยวกน 3. ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบจดยอด จะเทากบ a หนวย 4. ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบโฟกส จะเทากบ c หนวย 5. ระยะหางระหวางจดศนยกลางกบจดปลายแกนโท จะเทากบ b หนวย

219

A(h, k + a)

A(h, k – a)

B(h – b, k) C(h, k) B(h + b, k) F(h, k + c)

F(h, k– c)

X

X

Y Y

O

a

b2 2

a

c

1a

)y(

b

)x(2

2

2

2


ตวอยางท 3 จงหาสมการวงร จากสงทก าหนดใหในแตละขอตอไปน (1) โฟกสอยทจด(4, 2) และ (–2, 2) และผลบวกคงตวเทากบ 8 หนวย วธท า จาก โฟกสอยทจด(4, 2) และ (–2, 2) จะได จดกงกลางระหวางโฟกสทงสองคอ (1, 2) จะไดจดศนยกลางอยท (1, 2) จะได h = 1, k = 2 และผลบวกคงตวเทากบ 8 หนวย จะได 2a = 8 a = 4 ระยะระหวางจด (1, 2) กบจด (4, 2) เทากบ 3 หนวย c = 3 จาก b2 = a2– c2 จะได b2 = 42– 32 = 16 – 9 = 7 b = 7 แกนเอกขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = 2 สมการอยในรป จะไดสมการวงร คอ 1

)7(

)2y(

4

)1x(

2

2

2

2

17

)2y(

16

)1x( 22

7(x – 1)2 + 16(y – 2)2 = 112 7(x2– 2x + 1) + 16(y2– 4y + 4) = 112 7x2– 14x + 7 + 16y2– 64y + 64 = 112 ดงนน สมการวงรทตองการคอ7x2+ 16y2 – 14x – 64y – 41 = 0 (2) โฟกสอยทจด(–2, –1) และ (–2, 3) และผลบวกคงตวเทากบ 10 หนวย วธท า จาก โฟกสอยทจด(–2, –1) และ (–2, 3) จะได จดกงกลางระหวางโฟกสทงสองคอ (–2, 1) จะไดจดศนยกลางอยท (–2, 1) จะได h = –2 , k = 1 และผลบวกคงตวเทากบ 10 หนวย จะได 2a = 10 a = 5

ระยะระหวางจด (–2, 1) กบจด (–2, 3) เทากบ 2 หนวย c = 2 จาก b2 = a2– c2 จะได b2 = 52– 22 = 25 – 4 = 21 b = 21 แกนเอกขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = –2 สมการอยในรป จะได สมการวงร คอ 25(x + 2)2 + 21(y – 1)2 = 525 25(x2 + 4x + 4) + 21(y2 – 2y + 1) = 525 25x2 + 100x + 100 + 21y2 – 42y + 21 = 525 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 ดงนน สมการวงรทตองการคอ 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0

220

X X

Y Y

A(–3, 2) F(–2, 2) F(4, 2) A(5, 2)

B(1, 2 + 7 )

B(1, 2– 7 )

C (1, 2)

O

1a

)ky(

b

)hx(2

2

2

2

125

)1y(

21

)2x( 22

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

F (–2, –1)

B(– 2– 21 , 1) C(–2, 1) B(–2 + 21 , 1) X X

Y Y A(–2, 6)

F(–2, 3)

O

A (–2, –4)


(3) จดยอดอยท (–1, 3) และ (5, 3) แกนโทยาว 4 หนวย วธท า จาก จดอยท (–1, 3) และ (5, 3) จะได จดกงกลางระหวางจดยอดทงสองคอ (2, 3) จะไดจดศนยกลางอยท (2, 3) h = 2, k = 3 เนองจากแกนโทยาว 4 หนวย จะได 2b = 4 b = 2 และระยะระหวางจด (2, 3) กบจด (5, 3) เทากบ 3 หนวย a = 3 จาก b2 = a2 – c2 จะได c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5 c = 5 ซงแกนเอกขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = 3 สมการอยในรป จะไดสมการวงร คอ 1

2

)3y(

3

)2x(

2

2

2

2

14

)3y(

9

)2x( 22

4(x – 2)2 + 9(y – 3)2 = 36 4(x2 – 4x + 4) + 9(y2 – 6y + 9) = 36 4x2 – 16x + 16 + 9y2 – 54y + 81 = 36 4x2+ 9y2 – 16x – 54y + 61 = 0 ดงนน สมการวงรทตองการคอ 4x2+ 9y2 – 16x – 54y + 61 = 0

(4) จดปลายแกนเอกอยท (3, 4) และ (3, –4) กราฟผานจด (0, 0) วธท า จาก จดปลายแกนเอกอยท (3, 4) และ (3, –4) จะได จดกงกลางระหวางจดทงสองคอ (3, 0) จะไดจดศนยกลางอยท (3, 0) จะได h = 3 , k = 0 ระยะระหวางจด (3, 0) กบจด (3, 4) เทากบ 4 หนวย a = 4 แกนเอกขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = 3 กราฟผานจด (0, 0) จะได จะได จะได b2 = 9 b = 3 จาก c2 = a2 – b2 จะได c2 = 16 – 9 = 7 c = 7 จะได สมการ 1

16

y

9

)3x( 22

16(x – 3)2 + 9y2 = 144 16(x2 – 6x + 9) + 9y2 = 144 16x2 – 96x + 144 + 9y2 = 144 16x2+ 9y2 – 96x = 0 ดงนน สมการวงรทตองการคอ 16x2+ 9y2 – 96x = 0

A(3, 4)

F(3, 7 )

F(3, – 7 )

A(3, –4)

B(0, 0) B(6, 0)

Y Y

X X O C(3, 0)

F(2 - 5 ,3) F(2+ 5 , 3)

A(–1, 3) A(5, 3)

B(2, 5 )

Y Y

X

X O B(2, 1)

C(2, 3)

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

14

)0(

b

)30(2

2

2

2

1b

92

221


ตวอยางท 4 จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง โฟกส จดยอด จดปลายแกนโท ลาตสเรกตม และความเยองศนยกลาง

(1) 7x2+ 16y2 – 14x – 64y – 41 = 0 วธท า จากสมการ 7x2+ 16y2 – 14x – 64y – 41 = 0 จดใหอยในรปก าลงสองสมบรณ (7x2– 14x) + (16y2– 64y) = 41 7(x2– 2x) + 16(y2– 4y) = 41 7(x2– 2x + 1) + 16(y2– 4y + 4) = 41 + 7 + 64 7(x – 1)2 + 16(y – 2)2 = 112 น า 112 มาหารทงสองขางของสมการ จะได 1

7

)2y(

16

)1x( 22

จะได h = 1, k = 2 a2 = 16 a = 16 = 4 b2 = 7 b = 7 จาก c2 = a2 – b2 จะได c2 = 16 – 7 = 9 c = 9 = 3 (1) แกนเอกขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = 2 (อยบนเสนตรงy = k) (2) จดศนยกลางอยท C(h, k) = C(1, 2)

(3) จดโฟกสอยท F(h + c, k) = F(1 + 3, 2) = F(4, 2) และ F(h – c, k) = F(1 – 3 , 2) = F(–2, 2) (4) จดยอดอยท A(h + a, k) = A(1 + 4, 2) = A(5, 2) และ A(h – a, k) = A(1 – 4, 2) = A(–3, 2)

(5) จดปลายแกนโทอยท B(h, k + b) = B(1, 2 + 7 ) และ B(h, k – b) = B(1, 2 – 7 )


b2 2

= 4

)7(2 = 2

7 หนวย


c = 4

3

X X

Y Y

A(–3, 2) F(–2, 2) F(4, 2) A(5, 2)

B(1, 2 + 7 )

B(1, 2– 7 )

C (1, 2)

O

222


(2) 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 วธท า จากสมการ 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 จดใหอยในรปก าลงสองสมบรณ (25x2 + 100x )+ (21y2 – 42y) = 404 25(x2 + 4x )+ 21(y2 – 2y) = 404 25(x2 + 4x + 4) + 21(y2 – 2y + 1) = 404 + 100 + 21 25(x + 2)2 + 21(y – 1)2 = 525 น า 525 มาหารทงสองขางของสมการ จะได จะได h = –2, k = 1 a2 = 25 a = 25 = 5 b2 = 21 b = 21 จาก c2 = a2 – b2 จะได c2 = 25 – 21 = 4 c = 4 = 2 (1) แกนเอกขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = –2 (อยบนเสนตรง x = h) (2) จดศนยกลางอยท C(h, k) = C(–2, 1) (3) จดโฟกสอยท F(h , k + c) = F(–2 , 1+ 2) = F(–2 , 3) และ F(h , k – c) = F(–2 , 1–2) = F(–2 , –1) (4) จดยอดอยท A(h, k + a) = A(–2 , 1 + 5) = A(–2 , 6) และ A(h, k – a) = A(–2, 1 – 5) = A(–2, –4) (5) จดปลายแกนโทอยท B(h + b, k) = B(–2 + 21 , 1) และ B(h – b, k) = B(–2 – 21 , 1)


b2 2 = 5

)21(2 = 5

42 หนวย


c = 5

2

F (–2, –1)

B(– 2– 21 , 1) C(–2, 1) B(–2 + 21 , 1) X X

Y Y A(–2, 6)

F(–2, 3)

O

A (–2, –4)

223

125

)1y(

21

)2x( 22


1. จากสงทก าหนดใหตอไปน จงหาสมการวงร พรอมทงเขยนกราฟ (1) ระยะจากจดใดๆบนวงรไปยงจด (–3, 0) และ (3, 0) เทากบ 8 หนวย ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ...........................................................................................................

(2) จดโฟกสอยท (0, –4) และ (0, 4) และผลบวกคงตวเทากบ 10 หนวย ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................

(3) จดยอดอยท (–10, 0) และ (10, 0) และจดโฟกสอยท (–8, 0) และ (8, 0) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................


224

ดฉนพยายามอานนะคะ ผมพยายามคดครบ

(4) จดศนยกลางอยท (0, 0) แกนเอกอยบนแกน Y ยาว 8 หนวย และความยาวลาตสเรกตมเทากบ

2

9

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 2. จากสมการวงรในแตละขอตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดยอด โฟกส จดปลายแกนโท ความยาวลาตสเรกตม ความเยองศนยกลาง พรองทงเขยนกราฟ

(1) 116

y

25

x 22

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… .......................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................


225

(2) 125

y

16

x 22

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

(3) 19

y

4

x 22

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

226


3. จากกราฟตอไปนจงหาสมการวงร (1) ................................................................................................................... ....................................................................................................................

....................................................................................................................

....................................................................................................................

....................................................................................................................

.................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................

(2) ………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………

(3) ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………………….

(4) .................................................................................................................. ………...………………………………………………………………... ………..………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….…………………………

Y

X

4

–3 O

X

Y (8, 6)

16 O

Y

F(0, 4) 5

X O


X

Y 2

–4 –2 2 4 –2

O

227

4. จากสงทก าหนดใหตอไปน จงหาสมการวงร พรอมทงเขยนกราฟ (1) ผลบวกของระยะจากจดใดๆบนวงรไดยงจด (–2, –1) และ (–2, –5) เทากบ 8 หนวย ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (2) จดยอดจดหนงอยท (6, 3) โฟกสอยท (4, 3) และ (–4, 3) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

228


5. จากสมการวงรในแตละขอตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดยอด โฟกส จดปลายแกนโท ความยาวลาตสเรกตม ความเยองศนยกลาง พรองทงเขยนกราฟ (1) 1

4

)1y(

9

)2x( 22

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. (2) 1

16

)2y(

25

)3x( 22

……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................


229

6. จากกราฟตอไปนจงหาสมการวงร (1) ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… .....………………………………………………………………….. .........……………………………………………………………….. .........……………………………………………………………….. ..........………………………………………………………………. .........……………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………

(2) ……………………………………………………………………… ......…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………… ….………………………………………………………………………………………………....................…

(3) ......…………………………………………………………………. .....…………………………………………………………………. .....…………………………………………………………………. .....…………………………………………………………………. .....…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. ......…………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

230


Y Y

X

(–3, 4)

(–6, 0) O

O –2 2 4 6

6 4 2

Y Y

X

X (2, 2)

(2, 4)

YY

O

C(–1, 2) F(3, 2) A(4, 2)

X X

3.2.5 ไ ฮ เ พ อ ร โ บ ล า (Hyperbola)

บทนยาม ไฮเพอรโบลา คอเซตของจดทกจดบนระนาบ ซงผลตางของระยะหางจากจดใดๆ ในเซตนไปยงจด คงทสองจดบนระนาบมคาคงตวซงมากกวาศนย แตนอยกวาระยะหางระหวางจดคงททงสอง

ลกษณะของไฮเพอรโบลา

สวนประกอบของไฮเพอรโบลา 1. จดคงทสองจด คอ F และ F เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา 2. จดกงกลางระหวางโฟกสทงสอง คอ จด C เปนจดศนยกลางของไฮเพอรโบลา 3. จดทไฮเพอรโบลาตดกบเสนตรงทผานโฟกสทงสอง คอ จด A และ A เปนจดยอดของไฮเพอรโบล4. สวนของเสนตรงทเชอมจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา คอ AA เรยกวา แกนตามขวาง (transverse axis) ของไฮเพอรโบลา

5. สวนของเสนตรงผานจดศนยกลางและตงฉากกบแกนตามขวาง คอ BB เรยกวา แกนสงยค (conjugate axis) ของไฮเพอรโบลา 6. เสนตรง L1 และ L2 เปนเสนก ากบ (asymptotes) ของไฮเพอรโบลา

F A C A F B

B

L1 L2 จดยอด แกนสงยค

จดโฟกส จดโฟกส

ลาตสเรกตม ลาตสเรกตม

จดศนยกลาง แกนตามวาง เสนก ากบ รปสเหลยมมมฉากศนยกลาง เสนก ากบ

ขวาง

9 231

ดฉนพยายามคดคะ ผมจะพยายามท าครบ

สมการของไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (0, 0) 1. สมการของไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (0, 0) แกนตามขวางอยบนแกน X

ก าหนดให ไฮเพอรโบลามจดศนยกลางทจด (0, 0) และโฟกสทจด F(c, 0) และ F(–c, 0) เมอ c 0 ให P(x, y) เปนจดใดๆบนไฮเพอรโบลา และผลตางระยะจากจด P ไปยงโฟกสทงสองเทากบ 2a ซง a 0 จากบทนยาม | PF – PF | = 2a จะได 22 )0y()cx( – 22 )0y()cx( = 2a

22 y)cx( = 2a + 22 y)cx( ยกก าลงสองทงสองขาง จะได (x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a 22 y)cx( + (x – c)2 + y2 x2 + 2cx +c2 + y2 = 4a2 + 4a 22 y)cx( + x2 – 2cx +c2 + y2

4cx – 4a2 = 4a 22 y)cx( น า 4 มาหารทงสองขาง จะได cx – a2 = a 22 y)cx( ยกก าลงสองทงสองขาง จะได c2x2 – 2a2cx + a4 = a2(x2 – 2cx +c2 + y2) c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2 a2cx + a2c2 + a2y2

(c2x2 – a2x2) – a2y2 = a2c2 – a4

(c2 – a2) x2 – a2y2 = (c2 – a2)a2 น า (c2 – a2)a2 มาหารทงสองขาง

จะได 1ac

y

a

x

22

2

2

2

เนองจาก 0 a c ดงนน c2 – a2 0 ให c2 – a2 = b2 เมอ b 0

นนคอ สมการไฮเพอรโบลา 1b

y

a

x

2

2

2

2 เมอ b2 = c2 – a2

232


P(x, y)

F(–c, 0) A(–a, 0) O A(a, 0) F(c, 0)

B(0, –b)

B(0, b)

Y

X

y = – ab x y = a

b x

1. จดศนยกลางอยท C(0, 0) 2. แกนตามขวางอยบนแกน X 3. จดโฟกสอยท F(c, 0) และ F(–c, 0) 4. จดยอดอยท A(a, 0) และ A(–a, 0) ซงความยาวแกนตามขวาง คอ AA = 2a 5. จดปลายแกนสงยคอยท B(0, b) และ B(0, –b) ซงความยาวแกนสงยค คอ BB = 2b

6. สมการเสนก ากบ(asymptotes) คอ y = ab x


b2 2 หนวย


c

2. สมการของไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (0, 0)แกนตามขวางอยบนแกน Y ก าหนดให ไฮเพอรโบลามจดศนยกลางทจด (0, 0) และโฟกสทจด F(0, c) และ F(0, –c) เมอ c 0 ให P(x, y) เปนจดใดๆบนไฮเพอรโบลา และผลตางระยะจากจด P ไปยงโฟกสทงสองเทากบ 2a ซง a 0 จากบทนยาม จะได | PF – PF | = 2a ในท านองเดยวกน

จะได สมการไฮเพอรโบลา 1b

x

a

y

2

2

2

2 เมอ b2 = c2 – a2

1. จดศนยกลางอยท C(0, 0) 2. แกนตามขวางอยบนแกน Y 3. จดโฟกสอยท F(0, c) และ F(0, –c) 4. จดยอดอยท A(0, a) และ A(0, –a) ซงความยาวแกนตามขวาง คอ AA = 2a 5. จดปลายแกนสงยคอยท B(b, 0) และ B(-b, 0) ซงความยาวแกนสงยค คอ BB = 2b

6. สมการเสนก ากบ(asymptotes) คอ y = ba x


b2 2 หนวย


c

y = – ba x y = b

a x

A(0, –a)

A(0, a)

X

F (0, c)

B(–b, 0) O B(b, 0)

F(0, –c)

P(x, y)

Y

9 233


ดฉนพยายามอานคะ

หมายเหต 1. จากสมการไฮเพอรโบลา 1b

y

a

x

2

2

2

2 หรอ 1

b

x

a

y

2

2

2

2

ถา a = b เราเรยกสมการนวาไฮเพอรโบลามมฉาก(rectangular hyperbola) เชน

116

y

16

x 22 หรอ x2 – y2 = 16, 1

10

x

10

y 22 หรอ y2 – x2 = 10 เปนตน

2. จากสมการไฮเพอรโบลา 1b

y

a

x

2

2

2

2

ถา 0b

y

a

x

2

2

2

2 แลว จะได y2 =

2

2

a

b x2 ดงนน y = a

b x

นนคอ y =a

b x หรอ y = –a

b x ซงเปนสมการเสนก ากบของไฮเพอรโบลา 1b

y

a

x

2

2

2

2

3. ในท านองเดยวกนจากสมการไฮเพอรโบลา 1b

x

a

y

2

2

2

2

ถา 0b

x

a

y

2

2

2

2 แลว จะได y2 =

2

2

b

a x2 ดงนน y = b

a x

นนคอ y = b

a x หรอ y = –b

a x ซงเปนสมการเสนก ากบของไฮเพอรโบลา 1b

x

a

y

2

2

2

2

กราฟของไฮเพอรโบลาเปนเสนโคง 2 เสน แตละเสนเรยกวา กง(branches) รปสเหลยมมมฉากทดาน ลากผานจด ( a, 0), (0, b) หรอ (0, a), ( b, 0) เรยกวารปสเหลยมมมฉากศนยกลาง(central rectangle)

วธการเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 1. วาดรปสเหลยมมมฉากศนยกลาง ทมจดก าเนดเปนจดศนยกลางมแตละดานขนานกบแกนพกด และตดแกนพกดท a และ b 2. ลากเสนก ากบซงเปนเสนตรงทเกดจากตอเสนทแยงมมของรปสเหลยมมมฉากศนยกลาง 3. ลงจดยอด คอจดทระยะตดแกน X ทงสอง (x = a) ของไฮเพอรโบลา 1

b

y

a

x

2

2

2

2

หรอ จดทระยะตดแกน Y ทงสอง (y = a) ของไฮเพอรโบลา 1b

x

a

y

2

2

2

2

4. เขยนกราฟของไฮเพอรโบลา เรมตนจากจดยอดทละจด เขยนกราฟของแตละกงของไฮเพอรโบลา โดยลากเสนโคงลเขาหาเสนก ากบแตไมตดเสนก ากบ ดงน

การเขยนกราฟ ของไฮเพอรโบลา

1b

y

a

x

2

2

2

2

(1) (2) (3)

การเขยนกราฟ ของไฮเพอรโบลา

1b

x

a

y

2

2

2

2

(1) (2) (3)

Y

–a a

b

–b X

234

Y

–a a

b

–b X

Y

–a a

b

–b X

Y

–a a

b

–b X

Y

–a a

b

–b X

Y

–a a

b

–b X


ตวอยางท 1 จงหาสมการไฮเพอรโบลาจากสงทก าหนดใหตอไปน (1) ผลตางของระยะจากจดใดๆบนไฮเพอรโบลาไปยงจด (5, 0) และ (– 5, 0) เทากบ 8 หนวย วธท า จด (5, 0) และ (– 5, 0) เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา จะไดจดศนยกลางอยท (0, 0) และ c = 5 แกนตามขวางอยบนแกน X และจาก ผลตางเทากบ 8 หนวย จะได 2a = 8 a = 4 จาก b2 = c2 – a2 จะได b2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 b = 3

และสมการอยในรป 1by

ax

2

2

2

2

ดงนน จะไดสมการทตองการคอ 19y

16x 22

หรอ 9x2 – 16y2 = 144

จดยอดคอ A(4, 0) และ A(– 4, 0) จดปลายแกนสงยคคอ B(0, 3) และ B(0, – 3) สมการเสนก ากบคอ y =

4

3 x

3x + 4y = 0 หรอ 3x – 4y = 0 ลาตสเรกตมยาวเทากบ

4

)3(2 2 = 2

9 หนวย

ความเยองศนยกลาง e = 45

(2) ผลตางของระยะจากจดใดๆบนไฮเพอรโบลาไปยงจด (0, 5) และ (0, –5) เทากบ 6 หนวย วธท า จด F(0, 5) และ F(0, –5) เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา จะไดจดศนยกลางอยท (0, 0) และ c = 5 แกนตามขวางอยบนแกน Y และจาก ผลตางเทากบ 6 หนวย จะได 2a = 6 a = 3 จาก b2 = c2 – a2 จะได b2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 b = 4

และสมการอยในรป 1b

x

a

y

2

2

2

2

จะไดสมการทตองการ คอ 116

x

9

y 22 หรอ 16y2 – 9x2 = 144

จดยอดคอ A(0, 3) และ A(0, –3) จดปลายแกนสงยคคอ B(4, 0) และ B(–4, 0) สมการเสนก ากบคอ y =

4

3 x

3x + 4y = 0 หรอ 3x – 4y = 0

ลาตสเรกตมยาวเทากบ 3

)4(2 2 = 3

32 หนวย


B(–4, 0) B(4, 0)

3x + 4y = 0 Y 3x – 4y = 0

A(0, –3) A(0, 3) X

F(0, –5)

F(0, 5)

9 235


X

3x + 4y = 0 Y 3x – 4y = 0

B(0, –3)

F(– 5, 0) F(5, 0) A(–4, 0) O A(4, 0)

B(0, 3)

(3) โฟกสอยทจด (13, 0) และ (–13, 0) และแกนสงยคยาว 24 หนวย วธท า เนองจากโฟกสอยทจด (13, 0) และ (–13, 0) จะได c = 13 และจดศนยกลางอยท (0, 0) แกนตามขวางอยบนแกน X และจาก แกนสงยคยาว 24 หนวย จะได 2b = 24 b = 12 เนองจาก b2 = c2 – a2 หรอ a2 = c2 – b2 = 132 – 122 = 169 – 144 = 25 a = 5 และสมการอยในรป 1

b

y

a

x

2

2

2

2

จะไดสมการทตองการคอ 1144

y

25

x 22 หรอ 144x2 – 25y2 = 3600

จดยอดคอ A(5, 0) และ A(–5, 0) จดปลายแกนสงยคคอ B(0, 12) และ B(0, –12) สมการเสนก ากบคอ y =

5

12 x

12x + 5y = 0 หรอ 12x – 5y = 0 ลาตสเรกตมยาวเทากบ

5

)12(2 2 = 5

288 หนวย


(4) จดศนยกลางอยท (0, 0) จดยอดจดหนงอยท (–2, 0) และ กราฟผานจด (2 2 , 3) วธท า จากจดศนยกลางอยท (0, 0) จดยอดจดหนงอยท (–2, 0) แสดงวาแกนตามขวางอยบนแกน X และ a = 2 สมการอยในรป 1

b

y

a

x

2

2

2

2 และกราฟผานจด (2 2 , 3)

จะได 1b

3

2

)22(

2

2

2

2 ซง b2 = 9 b = 3

จาก c2 = a2 + b2 จะได c2 = 22 + 32 = 13 c = 13

ดงนน จะไดสมการทตองการคอ 19

y

4

x 22 หรอ 9x2 – 4y2 = 36

จดยอดคอ A(2, 0) และ A(–2, 0) จดโฟกสคอ F( 13 , 0) และ F(– 13 , 0) จดปลายแกนสงยคคอ B(0, 3) และ B(0, -3)

สมการเสนก ากบคอ y = 23 x

หรอ 3x + 2y = 0 กบ 3x – 2y = 0 ลาตสเรกตมยาวเทากบ 2

92 )( = 9 หนวย

eccentricity หรอ e = 213

A(-5, 0) A(5, 0)

B(0, –12)

12x + 5y = 0 Y 12x – 5y = 0

F(–13, 0) F (13, 0)

X

B(0, 12)

B(0, –3)

B(0, 3)

A(–2, 0) O A(2, 0)

3x + 2y = 0 Y 3x – 2y = 0

F(– 13 , 0) F( 13 , 0) X

236

ดฉนพยายามอานคะ ผมจะพยายามคดครบ

ตวอยางท 2 จากสมการไฮเพอรโบลาตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส จดปลายแกนสงยค สมการเสนก ากบความยาวลาตสเรกตม ความเยองศนยกลาง พรอมทงเขยนกราฟ

(1) 19y

16x 22

วธท า จากสมการ 19y

16x 22

เปนสมการไฮเพอรโบลาแกนตามขวางอยบนแกน X

จะได a2 = 16 a = 4 และ b2 = 9 b = 3 จาก c2 = a2 + b2 จะได c2 = 16 + 9 = 25 c = 25 = 5 1. จดศนยกกลางอยท C(0, 0) 2. จดยอดอยท A(4, 0) และ A(–4, 0) 3. จดโฟกสอยท F(5, 0) และ F(–5, 0) 4. จดปลายแกนสงยคอยท B(0, 3) และ B(0, –3) 5. สมการเสนก ากบคอ y =

4

3 x

3x + 4y = 0 หรอ 3x – 4y = 0 6. ลาตสเรกตมยาวเทากบ

4

)3(2 2 = 2

9 หนวย

7. ความเยองศนยกลาง e = 45

(2) 16y2 – 9x2 = 144

วธท า จาก 16y2 – 9x2 = 144 น า 144 มาหารทงสองขาง จะได 116

x

9

y 22

เปนสมการไฮเพอรโบลาแกนตามขวางอยบนแกน Y จะได a2 = 9 a = 3 และ b2 = 16 b = 4 จาก c2 = a2 + b2 จะได c2 = 9+ 16 = 25 c = 25 = 5 1. จดศนยกกลางอยท C(0, 0) 2. จดยอดอยท A(0, 3) และ A(0, –3) 3. จดโฟกสอยท F(0, 5) และ F(0, –5) 4. จดปลายแกนสงยคคอ B(4, 0) และ B(–4, 0) 5. สมการเสนก ากบคอ y =

4

3 x

3x + 4y = 0 หรอ 3x – 4y = 0

6. ลาตสเรกตมยาวเทากบ 3

)4(2 2 = 3

32


9 237

B(–4, 0) B(4, 0)

3x + 4y = 0 Y 3x – 4y = 0

A(0, –3) A(0, 3) X

F(0, –5)

F(0, 5)

X

3x + 4y = 0 Y 3x – 4y = 0

B(0, –3)

F(– 5, 0) F(5, 0) A(–4, 0) O A(4, 0)

B(0, 3)


2. สมการของไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (h, k) 1. สมการของไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (h, k)แกนตามขวางขนานกบแกน X ก าหนดให ไฮเพอรโบลามจดศนยกลางทจด (h, k) แกนตามขวางขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = k จากความรเรองการเลอนแกนทางขนาน จะไดสมการไฮเพอรโบลาเมอเทยบกบแกนใหม คอ

1b

)y(

a

)x(

2

2

2

2

แต x = x – h และ y = y – k จะไดสมการไฮเพอรโบลาเมอเทยบกบแกนเดม คอ

1b

)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

เมอ b2 = c2 – a2 และ 0 a c

1. แกนตามขวางขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = k 2. จดศนยกลางทจด C(h, k) 3. จดโฟกสอยทจด F( h + c, k) และ F(h – c, k) 4. จดยอดอยทจด A( h + a, k) และ A(h – a, k) 5. จดปลายแกนสงยคอยทจด B( h, k + b) และ B(h, k – b) 6. สมการเสนก ากบ(asymptotes) คอ y – k =

a

b (x – h)


b2 2 หนวย

8. ความเยองศนยกลาง(eccentricity) หรอ e = ac

X A(h–a, k) A(h+a, k)

B(h, k+b)

B(h, k–b)

F(h – c, k) C(h, k) F(h+c, k)

Y Y

y – k = a

b (x – h) y – k = –a

b (x – h)

O X

238


2. สมการของไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท (h, k) แกนตามขวางขนานกบแกน Y ก าหนดให ไฮเพอรโบลามจดศนยกลางทจด (h, k) แกนตามขวางขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = h จากความรเรองการเลอนแกนทางขนาน จะไดสมการไฮเพอรโบลาเมอเทยบกบแกนใหม คอ

1bx

ay

2

2

2

2

)()(

แต x = x – h และ y = y – k จะไดสมการไฮเพอรโบลาเมอเทยบกบแกนเดม คอ

1b

)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

เมอ b2 = c2 – a2 และ 0 a c

1. แกนตามขวางขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = h 2. จดศนยกลางทจด C(h, k) 3. จดโฟกสอยทจด F( h, k + c) และ F(h , k – c) 4. จดยอดอยทจด A( h, k + a) และ A(h, k – a) 5. จดปลายแกนสงยคอยทจด B( h + b, k) และ B(h – b, k) 6. สมการเสนก ากบ(asymptotes) คอ y – k =

b

a (x – h)


b2 2 หนวย

8. ความเยองศนยกลาง(eccentricity) หรอ e = a

c

A(h, k+a)

A(h, k–a)

O X

F(h, k+c) B(h – b, k) C(h, k) B(h+b, k)

X

Y Y

y – k = ba (x – h) y – k = – b

a (x – h)

F(h, k–c)

9 239


หมายเหต (1) สมการ 1b

)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

หรอ 1b

)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

เรยกวา สมการมาตรฐานของไฮเพอรโบลา ทมจดศนยกลางทจด (h, k)

(2) เสนก ากบของไฮเพอรโบลา 1b

)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

จะมสมการในรป 0b

)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

หรอ y – k = a

b (x – h)

และเสนก ากบของไฮเพอรโบลา 1b

)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

จะมสมการในรป 0b

)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

หรอ y – k = b

a (x – h)

(3) ถา a = b แลว จะเรยกไฮเพอรโบลานนวา ไฮเพอรโบลามมฉาก (4) จากสมการมาตรฐานของไฮเพอรโบลา ถารากระจายและท าใหเปนผลส าเรจ จะไดสมการอยในรปทวไปคอ Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 เมอ A และ B ไมเทากบศนย

และมจ านวนหนงเปนบวก อกจ านวนหนงเปนลบ เนองจากสมประสทธของ x2 ไมเทากบศนย ดงนนอาจเขยนสมการดงกลาวไดเปนดงน x2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0

(5) กราฟของสมการ Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 เมอ A0, B 0 หรอ A 0, B0 อาจจะไมเปนกราฟไฮเพอรโบลากได ถาตองการทราบตองจดสมการใหมโดยใชก าลงสองสมบรณ

240


ตวอยางท 3 จงหาสมการไฮเพอรโบลา จากสงทก าหนดใหในแตละขอตอไปน (1) ผลตางของระยะจากจดใดๆบนไฮเพอรโบลาไปยงจด(4, 2) และ (–2, 2) เทากบ 4 หนวย วธท า จากโจทย จะไดโฟกสอยทจด(4, 2) และ (–2, 2) และจดกงกลางระหวางโฟกสทงสองคอจด (1, 2) จะไดจดศนยกลางอยท (1, 2) จะได h = 1, k = 2 และผลตางคงตวเทากบ 4 หนวย จะได 2a = 4 a = 2 ระยะระหวางจด (1, 2) กบจด (4, 2) เทากบ 3 หนวย c = 3 จาก b2 = c2 – a2 จะได b2 = 32 – 22 = 9 – 4 = 5 b = 5 แกนตามขวางขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = 2


)ky(

a

)hx(

2

2

2

2

จะไดสมการไฮเพอรโบลา คอ 1

)5(

)2y(

2

)1x(

2

2

2

2

15

)2y(

4

)1x( 22

5(x – 1)2 – 4(y – 2)2 = 20 5(x2 – 2x + 1) – 4(y2 – 4y + 4) = 20 5x2 – 10x + 5 – 4y2 + 16y – 16 = 20 หรอ 5x2– 4y2 – 10x + 16y – 31 = 0 ดงนนสมการไฮเพอรโบลาทตองการคอ 5x2– 4y2 – 10x + 16y – 31 = 0 (2) โฟกสอยทจด(–2, –6) และ (–2, 4) และผลตางคงตวเทากบ 6 หนวย วธท า จาก โฟกสอยทจด(–2, –6) และ (–2, 4) จะได จดกงกลางระหวางโฟกสทงสองคอ (–2, –1) จะไดจดศนยกลางอยท (–2, –1) จะได h = –2 , k = –1 และผลตางคงตวเทากบ 6 หนวย จะได 2a = 6 a = 3

ระยะระหวางจด (–2, –1) กบจด (–2, 4) เทากบ 5 หนวยc = 5 จาก b2 = c2 – a2 จะได b2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 b = 4 แกนตาขวางขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = –2


)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

จะได สมการไฮเพอรโบลาคอ 14

)2x(

3

)1y(

2

2

2

2

16(y + 1)2 – 9(x + 2)2 = 144 16(y2 + 2y + 1) – 9(x2 + 4x + 4) = 144 16y2 + 32y + 16 – 9x2 – 36x – 36 = 144 หรอ 16y2– 9x2 + 32y – 36x – 164 = 0 ดงนนสมการไฮเพอรโบลาทตองการคอ 16y2– 9x2 + 32y – 36x – 164 = 0

F(–2, 2) C (1, 2) F(4, 2) A(–1, 2) A(3, 2) X

X

Y Y

B(1, 2+ 5 )

B(1, 2– 5 )

F(–2, 4)

X

Y Y

X B(–6, –1) C(–2, –1) B(2, –1)

F(–2, –6) A(–2, –4)

A(–2, 2)

9 241


(3) จดศนยกลางอยท (–4, 2) โฟกสจดหนงอยท (–4, 6) และจดยอดจดหนงอยบนแกน X วธท า จาก จดศนยกลางอยท (–4, 2) จะได h = –4 , k = 2 และโฟกสจดหนงอยท (–4, 6) ระยะระหวางจด (–4, 2) กบจด (–4, 6) เทากบ 4 หนวย c = 4 และจดยอดจดหนงอยบนแกน X คอจด –4, 0) ระยะระหวางจด (–4, 2) กบจด (–4, 0) เทากบ 2 หนวย a = 2 จาก b2 = c2 – a2 จะได b2 = 42 – 22 = 16 – 4 = 12 b = 12 = 2 3 แกนตามขวางขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = –4 สมการอยในรป 1

b

)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

จะได สมการ คอ 112

)4x(

4

)2y( 22

3(y – 2)2 – (x + 4)2 = 12 3(y2 – 4y + 4) – (x2 + 8x + 16) = 12 3y2– 12y + 12 – x2– 8x – 16 = 12 3y2– x2 – 12y – 8x – 16 = 0 ดงนน สมการไฮเพอรโบลาทตองการคอ 3y2– x2 – 12y – 8x – 16 = 0

X

F(– 4, 6) ) B(– 4+2 3 ,2) B(– 4– 2 3 , 2)

A(–4, 0)

A(–4, 4)

F(– 4, –2) )

X

Y Y

242


ตวอยางท 4 จากสมการไฮเพอรโบลาตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส จดปลายแกนสงยค สมการเสนก ากบ ความยาวลาตสเรกตม ความเยองศนยกลาง พรอมทงเขยนกราฟ

(1) 19

)6y(

16

)2x( 22

วธท า จาก 19

)6y(

16

)2x( 22

จะได h = 2, k = –6

จาก a2 = 16 จะได a = 4 และ b2 = 9 จะได b = 3 จาก c2 = a2 + b2 จะได c2 = 16 + 9 = 25 c = 5

1. แกนตามขวางขนานกบแกน X อยบนเสนตรง y = –6 2. จดศนยกลางทจด C(h, k) = C(2, –6) 3. จดโฟกสอยทจด F( h + c, k) = F(2 + 5, –6) = F(7, –6) และ F(h – c, k) = F(2 –5, –6) = F(–3, –6) 4. จดยอดอยทจด A( h + a, k) = A(2 + 4, –6) = A(6, –6) และ A(h – a, k) = A( 2 – 4, –6) = A(–2, –6) 5. จดปลายแกนสงยคอยทจด B( h, k + b) = B(2, –6+ 3) = B(2, –3) และ B(h, k – b) = B(2, –6 –3) = B(2, –9) 6. สมการเสนก ากบ(asymptotes) คอ y – k =

a

b (x – h)

y + 6 = 4

3 (x – 2)

จะได 3x + 4y + 18 = 0 กบ 3x – 4y – 30 = 0


b2 2 = 4

)9(2 = 2

9 หนวย


5

3x + 4y + 18 = 0 3x – 4y – 30 = 0

F(–3, –6) F(7, –6)

X

Y Y

A(–2, –6) C(2, –6) A(6, –6)

B(2, –3)

B(2, –9)

X

O

243


(2) 16y2– 9x2 + 32y – 36x – 164 = 0 วธท า จากสมการ 16y2– 9x2 + 32y – 36x – 164 = 0 (16y2+ 32y) – (9x2 + 36x) = 164 16(y2+ 2y) – 9(x2 + 4x) = 164 16(y2 + 2y + 1) – 9(x2 + 4x + 4) = 164 + 16 – 36 16(y + 1)2 – 9(x + 2)2 = 144

116

)2x(

9

)1y( 22

จะได h = –2, k = –1 จาก a2 = 9 จะได a = 3 และ b2 = 16 จะได b = 4 จาก c2 = a2 + b2 จะได c2 = 9 + 16 = 25 c = 5

1. แกนตามขวางขนานกบแกน Y อยบนเสนตรง x = –2 2. จดศนยกลางทจด C(h, k) = C(–2, –1) 3. จดโฟกสอยทจด F( h, k + c) = F(–2, –1+ 5) = F(–2, 4) และ F(h , k – c) = F(–2 , –1 – 5) = F(–2 , –6) 4. จดยอดอยทจด A( h, k + a) = A(–2, –1+ 3) = A(–2, 2) และ A(h, k – a) = A(–2, –1–3) = A(–2, –4) 5. จดปลายแกนสงยคอยทจด B( h + b, k) = B(–2 + 4, –1) = B(2, –1) และ B(h – b, k) = B(–2 – 4, –1) = B(– 6, –1) 6. สมการเสนก ากบ(asymptotes) คอ y – k =

b

a (x – h)

y + 1 = 4

3 (x + 2)

จะได 3x + 4y + 10 = 0 กบ 3x – 4y + 2 = 0


b2 2 = 3

)16(2 = 3

32 หนวย


5

F(–2, 4)

X

Y Y

X B(–6, –1) C(–2, –1) B(2, –1)

F(–2, –6) A(–2, –4)

A(–2, 2)

3x + 4y + 10 = 0 3x – 4y + 2 = 0

244


ไฮเพอรโบลามมฉาก(Rectangular Hyperbola) ทควรร ไฮเพอรโบลามมฉาก คอ ไฮเพอรโบลาทมความยาวของแกนตามขวางเทากบความยาวของแกนสงยค เชน

x2– y2 = 4 ,

9

2x2

–

9

3y2

= 1, xy = 9, xy = –4 , xy – y = 5, xy – x = –3 เปนตน

สมการไฮเพอรโบลาทอยในรป xy = a เมอ a 0 จะมลกษณะดงน

1. เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก (กราฟอยในควอดรนตท 1 และ 3) 2. จดศนยกลางอยทจด (0, 0) 3. แกนตามขวางอยบนเสนตรง y = x 4. จดยอดอยทจด ( a , a ) และ ( a , a ) 5. จดโฟกสอยทจด ( a2 , a2 ) และ( a2 , a2 ) 6. เสนก ากบคอแกน X และแกน Y

เชน สมการไฮเพอรโบลา xy = 9 1. เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก 2. จดศนยกลางอยทจด (0, 0) 3. แกนตามขวางอยบนเสนตรง y = x 4. จดยอดอยทจด ( a , a ) = ( 9 , 9 ) = (3, 3) และ ( a , a ) = (– 9 , – 9 ) = (–3, –3) 5. จดโฟกสอยทจด ( a2 , a2 ) = ( 92 , 92 ) =(3 2 , 3 2 ) และ ( a2 , a2 ) = (– 92 , – 92 ) = (–3 2 , –3 2 )

6. เสนก ากบคอ แกน X และ แกน Y

สมการไฮเพอรโบลาทอยในรป xy = a เมอ a 0 จะมลกษณะดงน

1. เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก (กราฟอยในควอดรนตท2 และ 4) 2. จดศนยกลางอยทจด (0,0) 3. แกนตามขวางอยบนเสนตรง y = –x 4. จดยอดอยทจด ( a , a ) และ ( a , a ) หรอ ( a , a ) และ ( a , a ) 5. จดโฟกสอยทจด ( a2 , a2 ) และ ( a2 , a2 )

หรอ ( a2 , a2 ) และ ( a2 , a2 ) 6. เสนก ากบคอ แกน X และแกน Y

O ( a , a )

X

Y y = x

(– a ,– a ) (– a2 ,– a2 )

( a2 , a2 )

O (3, 3)

X

Y y = x

(–3, –3) (–3 2 ,–3 2 )

(3 2 ,3 2 )

O

y = –x

( a , a ) X

Y

( a , a ) ( a2 , a2 )

( a2 , a2 )

9 245

หนานส าหรบ ผทสนใจ พยายามคดนะคะ Y Y ดฉนพยายามคดคะ

ผมพยายามท าครบ

เชน สมการไฮเพอรโบลา xy = –4 1. เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก 2. จดศนยกลางอยทจด (0,0) 3. แกนตามขวางอยบนเสนตรง y = –x 4. จดยอดอยทจด ( a , a ) = ( 4 , 4 ) = (2, –2) และ ( a , a ) = ( 4 , 4 ) = (–2, 2) 5. จดโพกสอยทจด ( a2 , a2 ) = ( 8 , – 8 ) = (2 2 , –2 2 ) และ ( a2 , a2 ) = (– 8 , 8 ) = (–2 2 , 2 2 )

6. เสนก ากบคอ แกน X และแกน Y

สมการไฮเพอรโบลาทอยในรป (x – h)(y – k) = a เมอ a 0 จะมลกษณะดงน

เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด (h, k) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = k) และ แกน Y (เสนตรง x = h) จะไดสมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = a เมอ a 0 เลอนแกนไปทจด (h, k) เขยนกราฟไดดงรป เชน จงเขยนกราฟของสมการ

(1) (x – 2)(y + 3) = 9 วธท า จาก (x – 2)(y + 3) = 9

เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด (2, –3) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = –3) และ แกน Y (เสนตรง x = 2) จะไดสมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = 9 เลอนแกนไปทจด (2, –3) เขยนกราฟไดดงรป

C(2, –3)

YY

X X X

O

O

y = –x

(–2, 2)

X

Y

(2, –2) (2 2 , –2 2 )

(–2 2 , 2 2 )

C(h, k)

X O

Y Y

X



246

(2) xy – 6x = 1

วธท า จาก xy – 6x = 1 จะได x(y – 6) = 1 เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด C(0, 6) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = 6) และ แกน Y (เสนตรง x = 0) จะได สมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = 1 เลอนแกนไปทจด (0, 6) เขยนกราฟไดดงรป

(3) xy – 2y – 4x = 0 วธท า จาก xy – 2y – 4x = 0 จะได y(x – 2) – 4x = 0 y(x – 2) – 4(x – 2) = 8 (x – 2)(y – 4) = 8

เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด C(2, 4) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = 4) และ แกน Y (เสนตรง x = 2) จะได สมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = 8

เลอนแกนไปทจด (2, 4) เขยนกราฟไดดงรป

สมการไฮเพอรโบลาทอยในรป (x – h)(y – k) = a เมอ a 0 จะมลกษณะดงน

เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด (h, k) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = k) และ แกน Y (เสนตรง x = h) จะได สมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = a เมอ a 0 เลอนแกนไปทจด (h, k) เขยนกราฟไดดงรป

Y Y

O X X C(2, 4)

X

C(0, 6) X

Y

O

C(h, k)

O X

Y Y

X



9 247

เชน จงเขยนกราฟของสมการ (1) (x – 2)(y + 3) = – 9

วธท า จาก ((x – 2)(y + 3) = – 9 เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด (2, –3) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = –3) และ แกน Y (เสนตรง x = 2) จะได สมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = –9 เลอนแกนไปทจด C(2, –3) เขยนกราฟไดดงรป

(2) xy – 6x = –1 วธท า จาก xy – 6x = –1 จะได x(y – 6) = –1

เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด (0, 6) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = 6) และ แกน Y (เสนตรง x = 0) จะได สมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = –1 เลอนแกนไปทจด C(0, 6) เขยนกราฟไดดงรป

(3) xy + 2y – 4x = 0 วธท า จาก xy + 2y – 4x = 0 จะได (xy + 2y) – 4x = 0 y(x + 2) – 4x = 0 y(x + 2) – 4(x + 2) = –8 (x + 2)(y – 4) = –8

เปนกราฟไฮเพอรโบลามมฉาก จดศนยกลางอยทจด C(–2, 4) เสนก ากบคอ แกน X (เสนตรง y = 4) และ แกน Y (เสนตรง x = –2) จะได สมการเมอเทยบกบแกนพกดใหมคอ xy = –8

เลอนแกนไปทจด C(–2, 4) เขยนกราฟไดดงรป

X

X C(0, 6)

Y

O

C(2, –3)

YY

O X X

O

C(–2, 4) X

YY

X

248



1. จงบอกชอกราฟของความสมพนธตอไปน (1) { (x, y) | 2x = 3y } ..............................................................................................………………………………………………… (2) { (x, y) | x2 + y2 = 1 } ……………………………………………………............................................................................................. (3) { (x, y) | x2 – y2 = 1 } ..............................................................................................………………………………………………… (4) { (x, y) | 2y2 = 3x + 5 } ..............................................................................................………………………………………………… (5) { (x, y) | 9y2 – x2 – 45 = 0 } ………………………………………………………………………………………………………………… (6) { (x, y) | 5x2 + 10x + y2 = 100 } ..............................................................................................………………………………………………… 2. จงหาสมการไฮเพอรโบลาจากสงทก าหนดใหตอไปน (1) ผลตางของระยะจากไฮเพอรโบลาจดใดๆบนไปยงจด (–10, 0) และ (10, 0) เทากบ 16 หนวย .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. (2) จดโฟกสอยท (0, –4) และ (0, 4) และผลตางคงตวเทากบ 4 หนวย ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................



9 249

(3) จดยอดอยท (–3, 0) และ (3, 0) และจดโฟกสอยท (–5, 0) และ (5, 0) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... (4) จดโฟกสอยท (0, –6) และ (0, 6) และแกนสงยคยาว 10 หนวย ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ (5) จดศนยกลางอยท (0, –5) โฟกสจดหนงอยท (0, –2) แกนตามขวางยาว 4 หนวย .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

250


3. จากสมการไฮเพอรโบลาตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส จดปลายแกนสงยค สมการเสนก ากบ ความยาวลาตสเรกตม ความเยองศนยกลาง พรอมทงเขยนกราฟ

(1) 116

y

25

x 22

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

(2) 116

x

9

y 22

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................. .

9 251


(3) 4x2 – 92 = 36 ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. (4) y2 – 4x – 100 = 0 ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

252


(5) 14

)3y(

9

)2x( 22

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

(6) 25(y – 3)2 – 9(x –1)2 = 225 ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

9 253



ค าสง จงเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยวแลวท าเครองหมายกากบาท( ) ลงในกระดาษค าตอบ 1. วงกลมทมจดศนยกลางทจด (0, 0) และรศมยาว 5 หนวยคอขอใด 1. x2 + y2 = 5 2. x2 + y2 = 10 3. 4x2 + 4y2 = 100 4. 5x2 + 5y2 = 100 2. วงกลมทมจดศนยกลางทจด (0, 2) และรศมยาว 3 หนวยคอขอใด 1. x2 + y2 – 4y – 5 = 0 2. x2 + y2 – 4x – 5 = 0 3. x2 + y2 + 4y – 5 = 0 4. x2 + y2 + 4x – 5 = 0 3. ถาสมการวงกลม x2 + y2 + 6x – 10y – 2 = 0 มจดศนยกลางทจด (h, k) และมรศม r หนวย แลว h + k + r เทากบขอใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 4. สมการพาราโบลาทมจดยอดทจด (0, 0) และ โฟกสอยทจด (5, 0) คอขอใด 1. x2 + 20y = 0 2. x2 – 20y = 0 3. y2 + 20x = 0 4. y2 – 20x = 0 5. สมการพาราโบลาทมจดยอดทจด (0, 0) และม เสนตรง y = –3 เปนไดเรกตรกซ คอขอใด 1. x2 + 6y = 0 2. x2 – 6y = 0 3. y2 + 6x = 0 4. y2 – 6x = 0 6. สมการพาราโบลา y2 – 2y – 20x + 61 = 0 ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. จดยอดอยทจด (1, 3) 2. จดโฟกสอยทจด (6, 3)

3. แกนพาราโบลาขนานกบแกน X 4. เสนตรงไดเรกตรกซ คอ y = –2

7. พาราโบลาทมโฟกสอยทจดศนยกลางของวงกลม x2 + 6x + y2 = 0 และมเสนตรง x – 3 = 0 เปนเสน ไดเรกตรกซ มสมการเทากบขอใด

1. x2 = 12y 2. x2 = –12y 3. y2 = 12x 4. y2 = –12x

8. พาราโบลาทมจดยอดอยทจดก าเนด และมแกน Y เปนแกนสมมาตรถาโฟกสของพาราโบลานอยบน เสนรอบวงของวงกลม x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0 คอสมการขอใด 1. x2 – 12y = 0 หรอ x2 + 20y = 0 2. x2 + 12y = 0 หรอ x2 – 20y = 0 3. y2 – 12x = 0 หรอ y2 + 20x = 0 4. y2 + 12x = 0 หรอ y 2– 20x = 0

9. ขอใดเปนสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจดศนย กลางของวงกลม x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0

1. x2 – 4x + 20y – 56 = 0 2. x2 + 4x + 20y – 56 = 0 3. x2 + 4x – 20y – 56 = 0 4. x2 + 4x + 20y + 56 = 0

10. ถาวงรทมจดศนยกลางทจด (0, 0) ซงมแกนเอก ยาว 8 หนวย และมจดปลายแกนโทจดหนงคอ (0, 3) แลวสมการวงรเทากบสมการใด 1. 3x2 + 4 y2 = 12 2. 4x2 + 3y2 = 12 3. 9x2 + 16 y2 = 144 4. 16x2 + 9y2 = 144

แบบทดสอบแบบทดสอบหนวยการเรยนรท 3 .2 เรองภาคตดกรวย

254


11. รปขางลางนเปนกราฟของสมการขอใด

1. 4x2 + 9y2 = 36 2. 4x2 + 5y2 = 20 3. 9x2 + 4y2 = 36 4. 5x2 + 4y2 = 20 12. รปขางลางนเปนกราฟของสมการขอใด

1. 9x2 + 16y2 + 18x – 64y – 71 = 0 2. 9x2 + 16y2 – 18x + 64y – 71 = 0 3. 16x2 + 9y2 + 64x – 18y – 71 = 0 4. 16x2 + 9y2 – 64x – 18y – 71 = 0

13. สมการวงร 9x2 + 25y2 – 36x + 50y – 164 = 0 ขอใดตอไปนกลาวผด

1. แกนเอกยาว 10 หนวย 2. แกนโทยาว 9 หนวย 3. จดศนยกลางอยทจด (–2, 1) 4. จดโฟกสอยทจด (2, 6) และ (2, –2)

14. ถาสมการไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางทจด (0, 0)แกนตามขวางอยบนแกน Y ยาว 6 หนวย และมจดปลายแกนสงยดจดหนงคอจด (5, 0) แลวสมการไฮเพอรโบลาดงกลาวคอขอใด

1. 9x2– 25y2– 225 = 0 2. 9x2– 25y2+ 225 = 0 3. 25x2– 9y2– 225 = 0 4. 25x2– 9y2+ 225 = 0

15. รปขางลางนเปนกราฟของสมการขอใด

1. 9x2 – 16y2 = 144 2. 16x2 – 9y2 = 144 3. 9x2 – 25y2 = 225 4. 25x2 – 9y2 = 225

16. จากสมการไฮเพอรโบลาตอไปนขอใดกลาวผด 25x2 – 9y2 + 50x + 36y = 236

1. จดศนยกลางอยทจด (3, –2) 2. จดยอดอยทจด (–4, 2) และ (1, 2) 3. จดโฟกสอยทจด (–1 – 34 , 2) และ (–1 + 34 , 2) 4. จดปลายแกนสงยคอยทจด (–1, –3) และ (–1 , 7)

17. ขอใดเปนสมการภาคตดกรวยลดรป 1. x2 + y2 = 1 2. x2– y2 = 1 3. x2 + y2 – 8x + 4y + 20 = 0 4. x2 + y2 + 2x – 6y – 9 = 0

18. สมการขอใดภาคตดกรวยลดรปทมกราฟเปน เสนตรงสองเสนตดกน

1. x2 – 25

y2

= 0

2. x2 + 6x + y2– 2y + 10 = 0 3. 5x2– 4y2 – 10x + 16y – 11 = 0 4. 9x2 + 5y2 + 36x – 20y –124 = 0

Y Y

O X A(5, –2) X

C(1, –2)

B(1, 1)

F(0, 5 ) X

Y

B(2, 0) O

O 4

X

Y 3

9 255


…………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

บนทกความจ า

256

3.2 ภาคตัดกรวย (conniic ctsseectiioonn)) 3.2.1 ... · pdf file164...

Documents