พนทพนท และและ ปรมาตรปรมาตร

(( AA rr ee aa aa nn dd VV oo ll uu mm ee ))

วราภรณ สขสชะโน

1. หนวยวดความยาว

เครองมอทใชวดความยาว โดยทว ๆ ไป ไดแก ไมบรรทด สายวดตวและสายวดชนดตลบ ซงมหนวยวดเปนระบบองกฤษ และระบบเมตรก สวนเครองมอวดความยาวทใหรายละเอยดสงกวา 10 ถง 100 เทาไดแก เวอรเนยร คาลเปอร (vernier caliper) และไมโครมเตอร (micrometer) ซงเครองมอทงสองชนดนใชในหองทดลองทางวทยาศาสตร โรงงานอตสาหกรรมส าหรบงานกลงหรองานเจยระไนโล หะ ยงมครองมอวดความยาว อกชนดหนงทใช ตงแตสมยโบราณ คอ สวนตางๆของรางกาย มนษย เชน นว ศอก และ วา ซงไมม ความแมนย าหรอความคลาดเคลอนสงเนองจากการวดดวย นว ศอกและวาของแตละคนไมเทากน

หนวยวดความยาวทใชในประเทศไทยม 3 ระบบ ดงน ระบบทใชสวนตางๆของรางกายมนษย

เปนเครองมอวด มหนวยวดเปน นว คบ ศอก วา เสน และโยชน ระบบองกฤษมหนวยวดเปน นว ฟต หลา และ ไมล และ ระบบเมตรก ถอก าเนดขนทประเทศฝรงเศส เมอป พ .ศ . 2336 มหนวยวดเปน เซนตเมตร เมตร และ กโลเมตร

เวอรเนยร คาลเปอร

ไมโครมเตอร

12

ความสมพนธของหนวยวดแตละระบบ ดงน 1) หนวยวดความยาวไทย

12 นว เทากบ 1 คบ

2 คบ เทากบ 1 ศอก 4 ศอก เทากบ 1 วา 20 วา เทากบ 1 เสน

400 เสน เทากบ 1 โยชน

2) ระบบองกฤษ 12 นว เทากบ 1 ฟต 3 ฟต เทากบ 1 หลา 1,760 หลา เทากบ 1 ไมล

3) ระบบเมตรก

10 มลลเมตร เทากบ 1 เซนตเมตร 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร 1,000 เมตร เทากบ 1 กโลเมตร

เปรยบเทยบหนวยวดความยาวระบบองกฤษกบระบบเมตรก ( โดยประมาณ ) 1 นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร 1 หลา เทากบ 0.9144 เมตร 1 ไมล เทากบ 1.6093 กโลเมตร

ตวอยางท 1 นายโชคดมความสง 180 เซนตเมตร อยากทราบวา เขามความสงกเมตร วธท า เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร

ถา 180 เซนตเมตร เทากบ 180100

1 8.1 เมตร

ดงนน นายโชคดมความสง 1.8 เมตร

ตวอยางท 2 เชอกเสนหนงมความยาว 30 เมตร อยากทราบวาเชอกเสนนยาวกฟต วธท า เนองจาก 1 เมตร เทากบ 100 เซนตเมตร ถา 30 เมตร เทากบ 30100 3000 เซนตเมตร เนองจาก 2.54 เซนตเมตร เทากบ 1 นว

ถา 3000 เซนตเมตร เทากบ 300054.2

1 1181 นว

13

เนองจาก 12 นว เทากบ 1 ฟต

ถา 1181 นว เทากบ 417.9812

1181 ฟต

ดงนน เชอกเสนนยาว 98.417 ฟต

2. พนท พนทหรอพนทผว เปนรปเรขาคณต 2 มต มลกษณะแบนราบ ไมมความหนาหรอความลก ตวอยาง

2.1 หนวยวดพนท

1)หนวยวดพนทมาตราไทย 100 ตารางวา เทากบ 1 งาน 4 งาน เทากบ 1 ไร 400 ตารางวา เทากบ 1 ไร

2) ระบบองกฤษ 1 ตารางฟต เทากบ 144 ตารางนว 1 ตารางหลา เทากบ 9 ตารางนว 1 เอเคอร เทากบ 4, 840 ตารางหลา 1 ตารางไมล เทากบ 640 เอเคอร 1 ตารางไมล เทากบ 2760,1 ตารางหลา

3) ระบบเมตรก 1 ตารางเซนตเมตร เทากบ 100 ตารางมลลเมตร

1 ตารางเมตร เทากบ 10,000 ตารางเซนตเมตร 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 1,000,000 ตารางเมตร

วงกลม วงร สเหลยม หกเหลยม สามเหลยม

14

เปรยบเทยบหนวยวดพนทมาตราไทยเทยบกบระบบเมตรก 1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร 1 งาน เทากบ 400 ตารางเมตร 1 ไร เทากบ 1600 ตารางเมตร 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 625 ไร

ตวอยางท 3 ทดนแปลงหนงมเนอท 200 ตารางวา ทดนแปลงนมเนอทกตารางเมตร วธท า เนองจาก 1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร ทดนมพนท 200 ตารางวา เทากบ 8002004 ตารางเมตร

ตวอยางท 4 นายคดด เปนเจาของทดน 2 แปลง แปลงทหนงมเนอท 1 ไร 2 งาน สวนอกแปลงหนงมเนอท 2 ไร 3 งาน เขามทดนทงหมดเทาใด วธท า แปลงทหนงมเนอท 1 ไร 2 งาน เทากบ 241 6 งาน

สวนอกแปลงหนงมเนอท 2 ไร 3 งาน เทากบ 342 11 งาน เขามทดนทงหมด 116 17 งาน หรอ 4 ไร 1 งาน

2.2 การค านวณหาพนท การค านวณหาพนท เกดจากการด าเนนการระหวางดานของรปเรขาคณต ดงน

2.2.1 รปสามเหลยม คอ รปเหลยมทประกอบดวยดานสามดานและมมสามมม

ฐาน

สง พนทของรปสามเหลยม = 2

1 × ฐาน × สง

ถา a, b และ c เปนความยาวของดานทงสามของสามเหลยม

พนทของรปสามเหลยม ))()(( csbsass

เมอ 2

cbas

a

b

c

15

ตวอยางท 5 ผาชนหนงเปนรปสามเหลยม ความยาวของดานเทากบ 80, 50 และ 60 เซนตเมตร ผาผนนมพนทกตารางเมตร วธท า ให 80a 50b และ 60c

จาก 2

cbas

2

605080 95

พนทของรปสามเหลยม ))()(( csbsass 60955095809595

1498.124 ตารางเซนตเมตร เนองจาก 10,000 ตารางเซนตเมตร เทากบ 1 ตารางเมตร

พนท 1498.124 ตารางเซนตเมตร เทากบ 10000

124.14981 ตารางเมตร

ดงนน ผาผนนมพนท 0.1498 ตารางเมตร 2.2.2 รปสเหลยม รปเหลยมทประกอบดวยดานสดานและมมสมม มชอเรยกตางกนดงน

1) รปสเหลยมมมฉาก คอ รปสเหลยมทมมมแตละมมเปนมมฉาก รปสเหลยมมมฉากทมดานเทากนทกดาน เรยกวา รปสเหลยมจตรส สวนรปสเหลยมมมฉากทดานตรงขามเทากน เรยกวา รปสเหลยมผนผา

2) รปสเหลยมคางหม คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามขนานกนหนงค 3) รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามขนานกนและเทากนสองค

พนทของรปสเหลยมผนผา=กวาง × ยาว

พนทของรปสเหลยมจตรส=ดาน × ดาน

พนทของรปสเหลยมคางหม=2

1 × ผลบวกของดานคขนาน ×

สง

พนทของรปสเหลยมดานขนาน = ฐาน × สง

16

4) รปสเหลยมขนมเปยกปน คอรปสเหลยมดานขนานทมดานเทากนทกดานแตมมทกมมจะไมเปน มมฉาก

5) รปสเหลยมใดๆ

พนทของรปสเหลยมใดๆ =

2

1 × เสนทแยงมม × ผลบวกของเสนกงทตงฉากกบเสนทแยงมม

ตวอยางท 6 ทดนแปลงหนงมเนอท เปนรปสเหลยมคางหม ความยาวของดานคขนานเทากบ 80 และ 120 เมตร ระยะ หางระหวางดานคขนานเทากบ 100 เมตร ทดนแปลงนมเนอทกตารางวา วธท า จากโจทยจะได สง 100 และ ผลบวกของดานคขนาน 20012080

พนทของรปสเหลยมคางหม=2

1 × ผลบวกของดานคขนาน × สง

2

1 × 200 × 100=10000 ตารางเมตร

เนองจาก 4 ตารางเมตร เทากบ 1 ตารางวา

พนท 10000 ตารางเมตร เทากบ 100004

1 2500 ตารางวา

2.2.3 รปวงกลม รปวงกลม ประกอบดวยจดศนยกลางและรศมซงวดจากจดศนยกลางถงเสนรอบวง ถา O เปน จดศนยกลางของวงกลม และ รศมเทากบ r ดงภาพ แลว

พนทของรปสเหลยมขนมเปยกปน = ฐาน × สง

หรอ พนทของรปสเหลยมขนมเปยกปน =2

1 × ผลคณของเสนทแยงมม

ทแยงมม

พนทรปวงกลม = 2r

เมอ มคาประมาณ 7

22 หรอ 3.14

ความยาวของเสนรอบวงวงกลม= r2

o

r

17

ตวอยางท 7 เชอกเสนหนงขงเปนรปวงกลม มเสนผานจดศนยกลางเทากบ 140 เมตร อยากทราบวาพนทภายในเสนเชอกและเชอกทขงยาวเทาใด วธท า จากโจทยจะได 70r พนทรปวงกลม = 2r

2707

22 =15400 ตารางเมตร

ความยาวเสนรอบวงของวงกลม = r2

707

222 440 เมตร

3. พนทผวและปรมาตร

3.1 หนวยวดปรมาตรระบบเมตรก

1 ลกบาศกเซนตเมตร เทากบ 1,000 ลกบาศกมลลเมตร

1 ลกบาศกเมตร เทากบ 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร

1 ลกบาศกเซนตเมตร เทากบ 1 มลลลตร

1 ลตร เทากบ 1, 000 มลลลตร

1 ลตร เทากบ 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร

1,000 ลตร เทากบ 1 ลกบาศกเมตร

3.2 ปรซม (Prism)

เปนรปทรงตนและเปนชนดหนงของรปทรงหลายหนา (polyhedron) ทมฐานสองฐานหรอพนทหนาตดบนและลางเปนรปหลายเหลยม (polygon) ชนดเดยวกน เทากนและขนานกนซงฐานอาจจะเปนรปสามเหลยม สเหลยม หาเหลยม หรอ n เหลยมใดๆ มพนทผวขางเปนรปสเหลยมดานขนาน(parallelogram) ปรซมทมสนสวนขางทงหมดตงฉากกบพนทหนาตดบนและลาง เรยกวา ปรซมตรง (right prism) สวนปรซมทมสนสวนขางไมตงฉากกบพนทหนาตดบนและลาง เรยกวา ปรซมเอยง (oblique prism)

ตวอยางปรซมตรง

ปรซมสเหลยมผนผา ปรซมสเหลยมจตรส ปรซมสามเหลยม ปรซมหาเหลยม ปรซมสเหลยมคางหม

18

ตวอยางปรซมเอยง

ภาพ สวนประกอบของปรซมหาเหลยม

การหาพนทผวขางและปรมาตรของปรซม 1) พนทผวของปรซม = ผลรวมของพนทผวขาง + 2เทาของพนทฐาน 2) พนทผวดานขาง = เสนรอบฐาน × สง 3) ปรมาตร = พนทฐาน × สง

ภาพคลปรซมสามเหลยม ภาพคลปรซมสเหลยม

19

ตวอยางท 8 จงหาพนทผวทงหมดและปรมาตรของปรซมรปสามเหลยมมมฉาก ซงมดานประกอบมมฉากยาว 8, 6 นว และ สง 12 เซนตเมตร วธท า ก าหนดให ดานตรงขามมมฉากของสามเหลยมยาว a เซนตเมตร จากกฎของพทาโกรส จะได 22 68 a 10 เซนตเมตร พนทผวขางเปนรปสเหลยมผนผา 3 รป แตละรปมพนทเทากบ 128 , 126 และ 1210 ตารางเซนตเมตร ผลรวมของพนทผวขางเทากบ 288 ตารางเซนตเมตร

พนทฐานรปสามเหลยม = 2

1 × ฐาน × สง

=2

1 × 6 × 8=24 ตารางเซนตเมตร

พนทผวของปรซม = ผลรวมของพนทผวขาง + 2เทาของพนทฐาน 242288 336 ตารางเซนตเมตร เนองจาก ปรมาตร = พนทฐาน × สง 1224 288 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท 9 จงหาพนทผวทงหมดและปรมาตรของปรซมรปสเหลยมคางหม ซงดานไมคขนานมความยาวเทากนตามภาพและมหนวยความยาวเปนเมตร วธท า ก าหนดให ดานไมคขนานของสเหลยมคางหม มความยาว a เมตร จากกฎของพทาโกรส จะได 22 93 a 49.9 เมตร พนทผวขางเปนรปสเหลยมผนผา 4 รป แตละรปมพนทเทากบ 247 , 2449.9 2413 และ 2449.9 ตารางเมตร ผลรวมของพนทผวขางเทากบ 935.52 ตารางเมตร

ภาพจากโจทยก าหนด

20

พนทฐานรปสเหลยมคางหม=2

1 × ผลบวกของดานคขนาน × สง

=2

1 × 137 × 9 90 ตารางเมตร

พนทผวของปรซม = ผลรวมของพนทผวขาง + 2เทาของพนทฐาน 90252.935 52.1115 ตารางเมตร เนองจาก ปรมาตร = พนทฐาน × สง 2490 2160 ลกบาศกเมตร

3.3 รปทรงกระบอก (Cylinder) คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานสองฐานหรอพนทหนาตดบนและลางเปนรปวงกลมขนานกนและเทากน

การหาพนทผวขางและปรมาตรของรปทรงกระบอก

ให r เปน ความยาวของรศมของฐาน และ h เปน สวนสง จะได 1) พนทผวขาง= rh2 2) พนทผวทงหมด=พนทผวขาง + 2 เทาของพนทฐาน พนทผวทงหมด = 222 rrh = rhr 2 3) ปรมาตรทรงกระบอกตน=พนทฐาน × สง = hr 2

ตวอยางท 10 ถงเกบน าทรงกระบอกสง 1.80 เมตร รศมยาว 50 เซนตเมตร มน า 4

3 ของถง จงหาปรมาณน าในถง

นและพนทผวทงหมดของถง วธท า จากโจทย 80.1h เมตร และ r 50 เซนตเมตร 0.5 เมตร ปรมาตรของถงเกบน า = hr 2

8.15.07

22 2 4143.1 ลกบาศกเมตร

ปรมาณน า 4143.14

3 0607.1 ลกบาศกเมตร

รปทรงกระบอก พนทผวของรปทรงกระบอก

21

ปรมาณน าในถงเทากบ 1.0607 ลกบาศกเมตร พนทผวทงหมด== rhr 2

5.08.15.07

222 2285.7 ตารางเมตร

3.4 กรวยกลม (Cone) คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกบฐาน

การหาพนทผวขางและปรมาตรของกรวยกลม ให r แทน ความยาวของรศมของฐาน

h แทน สวนสงของกรวย และ l แทน สงเอยง จะได

1) พนทผวขาง = rl 2) พนทผวทงหมด = พนทผวขาง + พนทฐาน

พนทผวทงหมด = 2rrl = rlr

4) ปรมาตรกรวย hr 2

3

1

ความสมพนธระหวางปรมาตรกรวยกบปรมาตรทรงกระบอก

พนทผวของกรวยกลม

ฐาน

ผวขาง

ปรมาตรกรวย3

1 ของปรมาตรทรงกระบอก hr 2

3

1

22

ตวอยางท 11 กรวยใสน ามปรมาณน าอยสวนหนงดงรป อยากทราบวา ปรมาณน าทมอยและพนทผวขางของกรวยเทากบเทาใด วธท า ให a เปน ความยาวของรศมผวน า เนองจากสดสวนระหวางรศมกบความสงปลยนแปลงตามกน

จะได 10

5

8

a ดงนน 4a

ปรมาณน า hr 2

3

1

847

22

3

1 2 10.134 ลกบาศกเซนตเมตร

ให l เปนสงเอยง จากกฎของพทาโกรส จะได 22 510 l 18.11 เซนตเมตร

พนทผวขาง = rl 18.1157

22 69.175 ตารางเซนตเมตร

3.4 พระมด (Pyramid) คอ รปเรขาคณตสามมตทเกดจากการเชอมจดระหวางมมของรปหลายเหลยม (polygon) กบจดหนงจดทเรยกวา จดยอด (apex) พนทผวดานขางทกดานเปนรปสามเหลยม

จดยอด

สงเอยง

สง

ฐาน

23

การหาพนทผวขางและปรมาตรของพระมด

1) พนทผวขาง=2

1 × เสนรอบฐาน × สงเอยง

2) พนทผวทงหมด=พนทผวขาง + พนทฐาน

3) ปรมาตร=3

1 × พนทฐาน × สง

ตวอยางท 12 โลหะทรงกรวยตนมเสนผานศนยกลาง 40 เซนตเมตร สง 32 เซนตเมตร เมอน ามาหลอมเพอท าพระมด ฐานรปสเหลยมผนผากวาง 10 เซนตเมตร ยาว 12 เซนตเมตรและ สง 8 เซนตเมตรจะท าพระมดไดมากทสดกอน

วธท า โลหะทรงกรวยตนม 202

40r เซนตเมตร และ 32h เซนตเมตร

โลหะทรงกรวยตนมปรมาตร hr 2

3

1

32207

22

3

1 2

52.13409 ลกบาศกเซนตเมตร พระมด ฐานรปสเหลยมผนผากวาง 10 เซนตเมตร ยาว 12 เซนตเมตร และ สง 8 เซนตเมตร มพนทฐานเทากบ 1210 120 ตารางเซนตเมตร

พนทผวพระมดสามเหลยม

พนทผวพระมดสเหลยม

พระมดฐานสามเหลยม พระมดฐานสเหลยม พระมดฐานหาเหลยม พระมดฐานหกเหลยม

24

ปรมาตรพระมดแตละลก=3

1 × พนทฐาน × สง

81203

1

320 ลกบาศกเซนตเมตร

โลหะทรงกรวยตนปรมาตร 13409.52 ลกบาศกเซนตเมตรจะท าพระมดได 320

52.13409 = 41 ลก

3.5 ทรงกลม (Sphere) คอ รปเรขาคณตสามมตทผวโคงเรยบ ทกจดบนผวโคงหางจากจดศนยกลางเปนระยะเทากนดงภาพ

การหาพนทผวขางและปรมาตรของกรวยกลม ให r แทน ความยาวของรศม จะได 1. พนทผวของทรงกลม = 24 r

2. ปรมาตรของทรงกลม = 3

3

4r

ตวอยางท 13 โลหะทรงกลมตนมเสนผานศนยกลาง 18 เซนตเมตร เมอน ามาหลอมเปนโลหะทรงกลมตนขนาดเลกได 81 ลก โลหะทรงกลมตนขนาดเลกมรศม และ พนทผวเทากบเทาใด

วธท า โลหะทรงกลมตนม 92

18r เซนตเมตร

ปรมาตรของโลหะทรงกลม = 3

3

4r

397

22

3

4

7297

22

3

4 ลกบาศกเซนตเมตร

ใหโลหะทรงกลมตนขนาดเลกมรศมยาว a เซนตเมตร

ปรมาตรของโลหะทรงกลมขนาดเลก 3

3

4a

ปรมาตรของโลหะทรงกลม 7297

22

3

4 ลกบาศกเซนตเมตร หลอมได 81 ลก จะไดสมการ

ผวโคง

25

81 3

3

4a 729

7

22

3

4

81 3

7

22

3

4a 729

7

22

3

4

3a 9 3 9a 08.2 เซนตเมตร พนทผวของทรงกลมขนาดเลก = 24 r

208.27

224

389.54 ตารางเซนตเมตร ดงนน โลหะทรงกลมตนขนาดเลกมรศม 2.08 เซนตเมตร และ พนทผวเทากบ 389.54 ตารางเซนตเมตร

26

แบบทดสอบ

ขอ 1 พอตองการตดไมอดเปนรปสเหลยมขนมเปยกปน โดยมเสนทแยงมมทงสองเสนยาว 20 เซนตเมตร และ 17 เซนตเมตร จงหาพนทของไมอดแผนน ขอ 2 กระจกรปสเหลยมผนผาแผนหนงยาว 20 เซนตเมตร กวาง 14 เซนตเมตร ถาใสกรอบกวาง 1 เซนตเมตร ความยาวรอบกรอบรปนเปนเทาไร ขอ 3 หองหองหนงกวาง 4 เมตร ยาว 8 เมตร สง 3 เมตร ตองการทาสผนงและเพดาน บรเวณทตองทาสมพนท เทาไร ขอ 4 ผาเชดหนารปสเหลยมจตรสมพนท 361 ตารางเซนตเมตร อยากทราบวาความยาวรอบผาเชดหนายาวก เซนตเมตร ขอ 5 หองนอนมความกวาง 3.5 เมตร ยาว 5 เมตร ตองการปพรมภายในหองโดยเวนใหหางจากฝาดานละ 0.1 เมตร ตองใชพรมทมพนทกตารางเมตร ขอ 6 กลองทรงสเหลยมมมฉากกวาง 20 เซนตเมตร ยาว 30 เซนตเมตร สง 25 เซนตเมตร จะมพนทดานขางทง 4 ดาน และกนกลองกตารางเซนตเมตร ขอ 7 สนามรปวงกลม วดเสนผานศนยกลางได 5.6 เมตร จะมพนทกตารางเมตร ขอ 8 กระดาษรปวงกลมแผนหนงมรศม 4.2 เซนตเมตร น ามาแบงครง แตละครงมพนทกตารางเซนตเมตร ขอ 9 กลองพลาสตกทรงสเหลยมมมฉากใบหนงกวาง 60 เซนตเมตร ยาว 1 เมตร สง 1.20 เมตร กลองนจะ มความจกลตร ขอ 10 ถงเกบน าทรงกระบอกใบหนง มเสนผาศนยกลาง 14 เมตร เกบน าเตมถงได 1,848 ลตร ถงเกบน านม ความสงเทาใด ขอ 11 ลงไมทรงสเหลยมมมฉาก มดานกวาง 1 เมตร ยาว 2 เมตร และสง 1 เมตร ถาตองการทาสลงไมนทง ภายนอกและภายใน บรเวณททาสจะมพนทประมาณเทาใด ขอ 12 กระปองทรงกระบอกใบหนงมรศม 3.5 เซนตเมตร สง 12 เซนตเมตร จะมพนทผวภายนอกกระปอง เทาใด ขอ 13 ตวถงสวนทใชบรรทกของรถบรรทกคนหนงกวาง 1.5 เมตร ยาว 2.5 เมตร สง 1.2 เมตร รถคนนจะ บรรทกขาวเปลอกไดประมาณกเกวยน ขอ 14 ลกเหลกทรงกลมลกหนงมเสนผาศนยกลาง 14 เซนตเมตร ลกเหลกนจะมปรมาตรเทาไร ขอ 15 หลงคาผาใบของของเตนมลกษณะเปนรปทรงกระบอกผาครง คลมพนดนไดกวาง 7 เมตร ยาว 10 เมตร จะตองใชผาใบท าหลงคาอยางนอยกตารางเมตร ขอ 16 ทอระบายน าทรงกระบอกยาว 1 เมตร หนา 5 เซนตเมตร เสนผานศนยกลางภายนอกยาว 40 เซนตเมตร จงหาพนทผวทงหมดของทอระบายน าน

ขอ 17 ถงเกบน ารปกรวยสง 6 เมตร และมเสนรอบวงของปากกรวยยาว 31.4 เมตร ถาตองการใสน าไวในถง

27

น 2

1 ของความจของถง จะตองใสน าลงถงนกลกบาศกเมตร

ขอ 18 หลอดแกวรปทรงกระบอกมเสนผานศนยกลาง 7 เซนตเมตร มน าต ากวาระดบปากหลอดแหงลงไป 16

เซนตเมตร จงหาทวางของหลอดแกว

ขอ 19 กระปองออมสนรปทรงกระบอกมเสนผานศนยกลาง 10 เซนตเมตร สง 20 เซนตเมตร จงหาพนทผว

ทงหมดของกระปองใบน

ขอ 20 จงหาพนทผวทงหมดและปรมาตรของปรซมรปสามเหลยมซงสง 8 นว ดานขางของสามเหลยมมฐาน

ยาว 3, 4 และ 5 นว ตามล าดบ

ขอ 21 เสาคอนกรตตนหนงเปนรปปรซมหกเหลยมดานเทา ยาวดานละ 8 นว เสานจะหนกเทาใด ถาคอนกรต

หนงลกบาศกฟตหนก 135 ปอนด เสาสง 12 ฟต ก าหนดใหพนทของหกเหลยมดานเทา เทากบ

2

33 × (ดาน)

ขอ 22 ถงน ารปปรซมสเหลยมมมฉากมความกวาง 6 ฟต ความยาว 8 ฟต และ ความสง10 ฟต ถงน าใบนจน าได กแกนลอน (1 ลกบาศกฟต = 7.5 แกลลอน )

ขอ 23 จงหาพนทผวทงหมดและปรมาตรของปรามด ซงสง 15 เซนตเมตร ฐานซงเปนสเหลยมจตรส ยาวดาน

ละ 16 เซนตเมตร

ขอ 24 ลกปนเปนทรงกลม 3 ลก มขนาดเสนผานศนยกลาง 3, 4, 5 เซนตเมตรถาหลอมลกปนทงสามใหเปนลก

เดยวกน ลกปนทรงกลมใหมมเสนผานศนยกลางเทาไร

ขอ 25 โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศมภายนอก 10 เซนตเมตร แกวหนา 0.3 เซนตเมตร จงหาปรมาตรของแกว

ทใชท าโคมไฟฟาน ขอ 26 โตะอาหารเปนรปวงกลมมเสนผานศนยกลาง 84 เซนตเมตร จะมพนทเทาไร ขอ 27 รปวงกลม 2 รปมจดศนยกลางรวมกน รปวงกลมท 1 มรศม 7 เซนตเมตร รปวงกลมรปท 2 มรศม 14 เซนตเมตร จงหาพนทของรปวงแหวนระหวางรปวงกลมสองรปน ขอ 28 ถาเอาลกตมทมขนาดเสนผานศนยกลางยาว 6 นว หยอนลงในถงกระบอกตรงตรงเสนผานศนยกลางยาว 1.5 ฟต ในถงมน าอยเกอบครงหนง เมอหยอนลกตมลงไปน าในถงกระบอกสงขนกวาเดมอกเทาไหร ขอ 29 ลกโลกจ าลองลกหนงมพนทตามผว 1,386 ตารางนว จงหารศมและปรมาตรของลกโลกจ าลอง ขอ 30 กรวยกลมลกหนงสง 1 ฟต และเสนผานศนยกลางทฐานเปน 5 ฟต 10 นว จงหาพนทผวทงหมดและ ปรมาตรของกรวยกลมน ขอ 31 แทงแกวทรงปรซม มฐานเปนรปสามเหสยมทมความยาวดานละ 9, 10 และ 17 เซนตเมตร สวนสง

28

เทากบ 15 เซนตเมตร จงหาปรมาตรและพนทผวรอบนอกทงหมด ขอ 32 บอน าแหงหนงกนบอเปนรปสเหลยมคางหม ดานคขนานยาว 6.7 และ 7.3 เมตร เสนขนานคนหางกน 4 เมตร และบอลก 2 เมตร จงหาปรมตรของบอน ขอ 33 กระปองนมใบหนงมพนทตามผวโคง 1,600 ตารางเซนตเมตร รศมยาว 10.5 เซนตเมตร จงหาปรมาตร ขอ 34 เหลกแทงหนงเปนรปทรงกระบอกกลวงสง 25 เซนตเมตร รศมขอบนอกยาว 5 เซนตเมตร รศมภายใน 3 เซนตเมตร เมอหลอมแทงเหลกนใหเปนรปทรงกระบอกตนสง 16 เซนตเมตร รศมของแทงเหลกใหม ยาวเทาไร ขอ 35 จะตองใชผากตารางฟตเพอท าหลงคากระโจมรปกรวยกลม ซงมความสงเอยง 10 ฟต และเสนผาน ศนยกลางของปากกระโจมยาว 14 ฟต ขอ 36 จงหาพนทผวของพระมด ทรงฐานสเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 16 ฟต และสง 6 ฟต ขอ 37 พนทผวโคงของรปทรงกระบอกรปหนง เทากบ 2,640 ตารางเซนตเมตรและมปรมาตรเทากบ 26,400 ลกบาศกเซนตเมตร จงหาพนทผวโคงของรปกรวยกลม ซงมฐานและสวนสงเทากบฐานและสวนสงของ รปทรงกระบอก ขอ 38 รปกรวยกลมอนหนงมรศมทฐานยาว 6 นว สงเอยง 10 นว ถาจะทาสiรอบผวโคงจากฐานขนมาโดยรอบ สงตามแนวเอยง 4 นว สวนททาสมพนทเทาไร ขอ 39 เอาตะกวลกหนง ซงมเสนผานศนยกลางยาว 3 นว มาหลอมเปนลกกลม 3 ลกเสนผานศนยกลางของสอง ลกยาวนวครง และสองนวครงตามล าดบ ตะกวลกทสามจะมเสนผานศนยกลางยาวเทาไร ขอ 40 ปรซมแทงหนง มหนาตดหวทายเปนรปสามเหลยมหนาจว ซงมฐานยาว 3 นว สง 2 นว ปรซมแทงนสง 4 นว จงหาพนททงหมด และปรมาตรของปรซม ขอ 41 จงหาปรมาตรของพระมดฐานสเหลยมผนผา ซงยาว 10 นว กวาง 6 นว ปรามดสง 15 นว ขอ 42 สระวายน ายาว 40 ฟต กวาง 20 ฟต ทกนถงดานหนงลก 3 ฟต และลาดลงไปอกดานหนงลก 10 ฟต สระ นจะจน ากลกบาศกฟต ขอ 43 จงหาพนททงหมดและปรมาตรของกรวยกลมซงมเสนผานศนยกลางทฐานยาว 6 นว กรวยกลมสง 4 นว ขอ 44 ดนน ามนกอนหนงปนเปนรปทรงกลมมรศมยาว 4 เซนตเมตร เมอทบแลวปนเปนรปกรวยกลมมสวนสง 25 เซนตเมตร จงหาวารศมฐานกรวยยาวเทาไร ขอ 45 ถาตองการทจะทาสทรงกลมทมรศมยาว 1 หนวย กบทรงกลมรศมยาว 2 หนวย อยากทราบวาพนทในการ ทาสทรงกลมรศม 2 หนวยเปนกเทาของพนทในการทาสทรงกลมรศม 1 หนวย

29

บรรณานกรม Cooke, Charles, and Crust, Rita. (1992). Shape and Space. Cheltenham, England: Stanley Thornes.

________. (2547). คมอการเรยนรคณตศาสตรไมมรวกน. วนทคนขอมล 1 กนยายน 2554 , เขาถงไดจาก http://202.143.132.9/mat-sci/Matt/ วกพเดย สารานกรมเสร. (2554). รปทรงเรขาคณต. วนทคนขอมล 15 สงหาคม 2554 , เขาถงไดจาก http://th.wikipedia.org/wiki/ รงสรรค ศรสาคร. เครองมอวดความยาว. วนทคนขอมล 10 กนยายน 2554, เขาถงไดจาก http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet3/kung/long/longmeas.htm Modified: 11 November 2012