แผนการจดการเรยนร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร รายวชา ค32101 คณตศาสตรเพมเตม ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 หนวยการเรยนรท 2 ทฤษฎกราฟ เรอง ทฤษฎกราฟ

ชนมธยมศกษาปท 5 จ านวน 6 ชวโมง

เวลา 6 ชวโมง ใชสอนวนท 5 – 28 มกราคม 2560 ครผสอน ครนาคน สจจะเขตต 1. สาระส าคญ

ทฤษฎกราฟนน มจดเรมจากผลงานตพมพของ เลออนฮารด ออยเลอร ภายใตชอ Solutio

problematis ad geometriam situs pertinentis ในป ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรอทรจกกนในนาม ปญหาสะพานทงเจดแหงเมองโคนกสเบรก (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวธทจะขามสะพานทง 7 แหงน โดยขามแตละสะพานเพยงครงเดยวเทานน ผลงานนยงถอวาเปนงานแนวทอพอโลยชนแรกในเรขาคณต กลาวคอเปนงานทสนใจเฉพาะโครงสรางของรปเรขาคณตทไมขนกบขนาด ระยะ หรอการวดใดๆ งานชนส าคญนยงไดแสดงความเกยวของอยางลกซงระหวางทฤษฎกราฟและทอพอโลย

ในป ค.ศ. 1845 (พ.ศ. 2388) กสตาฟ ครคฮอฟฟ ไดเผยแพรผลงานทรจกกนภายใตชอกฎวงจรไฟฟาของครคฮอฟฟ ทแสดงความสมพนธของกระแสและความตางศกย บนกราฟทแทนวงจรไฟฟา

ตอมาในป ค.ศ. 1852 (พ.ศ. 2395) ฟรานซส กทธร ไดตงปญหาสส ( Four color problem) เพอศกษาถงความเปนไปไดทจะใชสเพยง 4 ส เพอระบายใหกบประเทศตาง ๆ บนแผนทใด ๆ โดยทประเทศเพอนบานจะไมมสเดยวกน. ปญหานไดถกแกในอกมากกวา 100 ปถดมา ในป ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดย เคนเนธ แอปเพล และวลฟกง ฮาเคน ซงใชคอมพวเตอรเขาชวยในการพสจน ซงท าใหไดรบการวพากษวจารณอยางกวางขวาง. อยางไรกตามจากความพยายามในการแกปญหา 4 สน ท าใหมการสรางแนวคดและนยามพนฐานในทฤษฎกราฟขนอยางมากมาย จนอาจจะกลาวไดวาจดเรมตนของทฤษฎกราฟเกดจากปญหาสสนเอง

2. จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนมความร ความเขาใจเนอหาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎกราฟ 2. นกเรยนมความเพยรพยายาม และแสวงหาความรดวยตนเอง โดยการศกษาผานสอออนไลน

3. นกเรยนมความพงพอใจในการเรยนเนอหาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎกราฟ โดยการศกษาผานสอออนไลน

3. สาระการเรยนร กราฟระนาบ คอ การเขยนกราฟในแนวราบ ซงจะไมมเสนเชอมตดกนเลย หรอการแทนกราฟในแนวราบในรปแบบใดรปแบบหนง ซงเสนเชอมจะไมมการไขวกน เสนเชอมขนาน คอ เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน วงวน( Loop ) คอ เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว กราฟเชงเดยวและกราฟหลายเชง กราฟหลายเชงคอกราฟทมเสนเชอมขนานและวงวน ดกรของจดยอด คอ จ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v ผลรวมดกร คอ ให G เปนกราฟทมจ านวนเสนเชอมเปน m จะได mV

GVv

2deg)(

เปนจ านวนคเสมอ

จดยอดคและจดยอดค จดยอดทมดกรเปนค เรยกจดยอดค จดยอดทมดกรเปนค เรยกจดยอดค แนวเดน(Walk) คอ เมอเดนจาก EA ใชเสนทาง A, e2, C, e3, D, e5, E รอยเดน(trail) แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน วถ(Path) แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน วงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน วงจรออยเลอร คอ วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอร กราฟออยเลอร คอ กราฟทมวงจรออยเลอร กราฟเชอมโยง คอ เมอให G เปนกราฟเชอมโยง กตอเมอ เชอมจดยอด 2 จดใด ไดดวยวถ กราฟถวงน าหนก คอ กราฟทเสนเชอมทกเสนมคาน าหนก กราฟยอย (supgraph) ของกราฟ G คอ กราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G ตนไม คอกราฟเชอมโยงไมมวฏจกร(ไมมเสนเชอมขนาน ไมมวงวน)ตนไม(Tree) ตนไมแผทว คอ ตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดยอด ตนไมแผทวทนอยทสด (minimal spanning tree) คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของคาน าหนกของแตละเสนเชอมนอยทสดตนไมแผทวทนอยทสด

4. กจกรรมการเรยนร

ขนปฐมนเทศ 1) ครผสอนอธบายรปแบบการจดกจกรรมการเรยนร เรอง ทฤษฎกราฟ วาเปนกจกรรมทออกแบบ

มาใหผเรยนสามารถเรยนรไดดวยตนเอง ผานการใช Smart Phone หรอ เวบไซต gg.gg/krunakin2 โดยสามารถใชแอพพลเคชน สแกน QR-Code เพอเรยนรเนอหาในแตละเรอง ยกตวอยางเชน

ทฤษฎกราฟ ตอนท 1

ทฤษฎกราฟ ตอนท2

2) ครอธบาย แนะน าวธการใชสอการสอน เพอใหผเรยนสามารถเขาใชสอออนไลนไดอยางถกตอง

ขนตอนตรวจสอบความเขาใจของผเรยน 1) ผสอนใหผเรยนทดลองอานจบใจความในชนเรยน และตอบค าถามททางครผสอนไดตงขนมาเอง เชน

ครผสอนถามผเรยนวา รปภาพทยกตวอยางขนมาเปนกราฟหรอไม เพราะเหตใด

2) หรอ ถามวา เสนใดเปนเสนเชอมขนาน หรอเสนใดเปนวงวน

ขนศกษาดวยตนเอง

1) ผเรยนศกษาดวยตนเองผานชองทางตางๆ ดงน 1.1) ผานการอานท าความเขาใจ 1.2) ผานการสแกน QR-Code ทละหวขอ 1.3) สแกน QR-Code อธบายเนอหาทงหมด 1.4) ศกษาเรยนรผานเวบไซต gg.gg/krunakin2

2) ผเรยนสามารถเรยนรดวยตนเองไดจากทกท ทกเวลา ทบานหรอทโรงเรยน เปนการเปดโอกาสใหผเรยนไดศกษาดวยตนเอง สรางความภมใจในตนเอง มความกระตอรอรน

5. สอ/แหลงเรยนร

1) เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอน เรอง ทฤษฎกราฟ สามารถดาวนโหลดไดท

http://adf.ly/1hzq31

2) สอการจดการเรยนรออนไลน gg.gg/krunakin2

7. การวดผลและประเมนผลการเรยนร 1) แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน 2) ตรวจสอบจ านวนนกเรยน ผานเวบไซต จากยอดววและระยะเวลาการดโดยเฉลย

3) แบบสอบถามวดความพงพอใจ การจดการเรยนการสอนผานสอออนไลน

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอน

ทฤษฎกราฟ ตอนท 1 ทฤษฎกราฟ ตอนท 2

เรยนรทฤษฎกราฟดวยตนเองเพมเตมไดท https://sites.google.com/site/krunakin

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 1

ทฤษฎกราฟ

ประวต

ครสตศตวรรษท 18 มเมองๆหนงชอ เคอนกสแบรก(Koningsberg) ตงอยบนสองฝงของแมน าปรเกล(Pregel) ตอมาเปลยนชอเปนคาลนนกราด (Kalininggrad) อยในสหภาพโซเวยตรสเซยทางดานตะวนออก ปจจบนเมอสหภาพโซเวยตถกแบงแยกแลวเมองนสงกดอยกบสหพนธรฐรสเซย เมองเคอนกสแบรกประกอบดวยเกาะ 2 เกาะ คอ เกาะ A และเกาะ B ซงเชอมระหวางเกาะกบตวเมองดวยสะพาน 7 แหง

เนองจากชาวเมองมนสยชอบเดนเลน จงตงปญหาเกยวกบการเดนขนวา “เปนไปไดหรอไมทคน คนหนงจะเดนขามสะพานทง 7 เพยงสะพานละหนงครง โดยจะตงตนทไหนและจะสนสดทใดกได” ปญหานไมมใครใหค าตอบได จนกระทงในป ค.ศ. 1736 เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler) นกคณตศาสตร ชาวสวสไดใหค าตอบพรอมค าอธบายวาการเดนลกษณะดงกลาว เปนไปไมได เพราะการทคนคนหนงจะท าเชนนนได เขาจะตองเดนมาทเกาะ A (หรอเกาะ B) แลวกลบออกไปโดยใชสะพานททตางกนในจ านวนครงทเทากนซงไมอาจท าได ก าหนดกราฟ G ใดๆ จะไดวา

กราฟ V(G) = จดยอด E(G) = เสนเชอม

)(* GV แต )(GE ได หมายความวา การจะเรยกวากราฟได ตองมจดยอดอยางนอย 1 จด กถอวาเปนกราฟ

เปนกราฟ เปนกราฟ ไมเปนกราฟ * เรามกก าหนดชอกราฟเปน G, H, I, …

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 2

จดยอดประชด

น.2-3

V(G) = {A, B, C, D} E(G) = {a, b, c, d} A, B เปนจดยอดประชด เพราะเสนเชอมตดกน

กราฟระนาบ กราฟระนาบ (Planar Graph) คอการเขยนกราฟในแนวราบ ซงจะไมมเสนเชอมตดกนเลย หรอการแทนกราฟ

ในแนวราบในรปแบบใดรปแบบหนง ซงเสนเชอมจะไมมการไขวกน

กราฟเดยวกน กราฟทเหมอนกนดทเสนเชอม พจารณากราฟ G และ H

สรปวา G และ H เปนกราฟเดยวกน กราฟ G และกราฟ H เปน กราฟเดยวกน กตอเมอ V(G) = V(H) และ E(G) = E(H)

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 3

เสนเชอมขนานและวงวน เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกนเรยกวา เสนเชอมขนาน (Parallel edges) เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกวา วงวน ( Loop )

เสนเชอมขนาน วงวน

ศกษาดวยตนเอง 1

ศกษาเอง 1

ตวอยางท 1 ก าหนดกราฟดงรป

จากรป จะไดวา 1. เสนเชอม e1 , e2 เปนเสนเชอมขนาน 2. เสนเชอม e5 , e6 , e7 เปนเสนเชอมขนาน 3. เสนเชอม e8 , e9 เปนวงวน 4. เสนเชอม e3 , e4 เปนดานเดยว

ตวอยางท 2 ก าหนดกราฟดงรป

จากรป จะไดวา 1. เสนเชอม e3 , e4 เปนเสนเชอมขนาน 2. เสนเชอม e5 , e6 เปนเสนเชอมขนาน 3. เสนเชอม e9 เปนวงวน 4. เสนเชอม e1 , e2 , e7 , e8 เปนดานเดยว

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 4

การจ าแนกประเภทของกราฟ

ประเภทกราฟ

กราฟระบทศทางและไมระบทศทาง

กราฟไมระบทศทาง (Non-directed graph) กราฟระบทศทาง (Directed graph)

กราฟเชงเดยวและกราฟหลายเชง

กราฟเชงเดยว กราฟหลายเชง จากรปสรปไดวา กราฟหลายเชงคอกราฟทมเสนเชอมขนานและวงวน

ดกรของจดยอด

หนา 4-9

deg A = 2 deg B = 4 deg C = 4 deg d = 2

• ดกร (degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ จ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v • ใชสญลกษณ deg v แทน ดกรของ v

*สงเกตใหด กราฟมเสนเชอม 6 เสน

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 5

ศกษาดวยตนเอง 2

ตวอยางท 3 พจารณากราฟตอไปน

จะได deg A = 2, deg B = 3, deg C = 2, deg D = 3, deg E = 0 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด = 2+3+2+3+0

ตวอยางท 4 ก าหนดกราฟดงรป จงหาดกรของจดยอดทกจดในกราฟ

จากบทนยาม ดกรของจดยอดคอจ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AC , AC , AE deg(A) = 4 เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BB deg(B) = 3 เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CA , CD deg(C) = 3 เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DC , DE , DD deg(D) = 4 เสนเชอมทเกดกบจดยอด E คอ EA , ED deg(E) = 2

ตวอยางท 5 ก าหนดกราฟดงรป จงหาดกรของจดยอดทกจดในกราฟ

จากบทนยาม ดกรของจดยอดคอจ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AB , AC , AD deg(A) = 4 เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BA , BC deg(B) = 3 เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CB deg(C) = 2 เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DA, DD deg(D) = 3

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 6

ตวอยางท 6 ก าหนดกราฟดงรป จงหาดกรของจดยอดทกจดในกราฟพรอมทงบอกเหตผล

จากบทนยาม ดกรของจดยอดคอจ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ จะไดวา deg (A) = 4 เพราะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด A จ านวน 4 เสน deg (B) = 4 เพราะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด B จ านวน 4 เสน deg (C) = 4 เพราะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด C จ านวน 4 เสน deg (D) = 0 เพราะไมมเสนเชอมทเกดกบจดยอด D

ผลรวมดกร

)(2deg)(

1

GEuGV

i

i

หมายความวา ผลรวมดกร = 2 x เสนเชอม

ให G เปนกราฟทมจ านวนเสนเชอมเปน m จะได mVGVv

2deg)(

เปนจ านวนคเสมอ

ทฤษฎบททส าคญ หาจ านวนเสนเชอม และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟแตละกราฟตอไปน

จ านวนเสนเชอม = 4 8deg

)(

GVv

V จ านวนเสนเชอม = 5

10deg)(

GVv

V จ านวนเสนเชอม = 6

12deg)(

GVv

V

จดยอดคและจดยอดค

จดยอดทมดกรเปนค เรยกจดยอดค

a, c, e เปนจดยอดค b, d เปนจดยอดค

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 7

ศกษาดวยตนเอง 3 ตวอยางท 7 ก าหนดกราฟดงรป จงหาจดยอดค และ จดยอดค

deg ( A ) = 4 deg ( B ) = 3 deg ( C ) = 3 deg ( D ) = 4 deg ( E ) = 0 ดงนน จดยอดค คอ จดยอด A , D และ E จดยอดค คอ จดยอด B และ C

ตวอยางท 8 ก าหนดกราฟดงรป จงหาจดยอดค และ จดยอดค

deg ( A ) = 5 deg ( B ) = 3 deg ( C ) = 4 deg ( D ) = 4 deg ( E ) = 4 deg ( F ) = 4 ดงนน จดยอดค คอ จดยอด C , D , E และ F จดยอดค คอ จดยอด A และ B

ตวอยาง 9 มเสนเชอมกเสนในกราฟทมจดยอด 10 จด แตละจดมดกรเปน 6 แนวคด

)(

degGVv

V = 2m

6 x 10 = 2m 60 = 2m m = 30 ตวอยาง 10 จงหาจ านวนจดยอดของกราฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จด ทมดกร 4 สวนจดยอดทเหลอมดกร 3 แนวคด ให n เปนจ านวนจดยอดทมดกร 3

)(

degGVv

V = 2m

(3x4) + 3n = 2x15 3n = 30-12 n = 6

ดงนน กราฟนมจ านวนจดยอด 3+6 = 9 จด

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 8

ตวอยาง 11 จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวาจะมกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอดคอ 1, 1, 2, 3 )(

degGVv

V = 2m

1 + 1 + 2 + 3 = 2m 7 = 2m เปนไปไมได

ตวอยางท 12 จากกราฟ G ดงรป จงแสดงวาผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนสองเทาของ จ านวนเสนเชอมในกราฟ

จากกราฟจะไดเสนเชอมทงหมด 8 เสน และ deg ( A ) = 4 deg ( B ) = 3 deg ( C ) = 3 deg ( D ) = 4 deg ( E ) = 2 ดงนน deg(A)+deg(B)+deg(C)+deg(D)+deg(E) = 4+3+3+4+2 = 16 แสดงวาผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 16 ซงเทากบสองเทาของเสนเชอมคอ 2(8) = 16

ตวอยางท 13 จากกราฟ G ดงรป จงหาผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ

จากกราฟจะไดเสนเชอมทงหมด 7 เสน และ deg ( A ) = 4 deg ( B ) = 3 deg ( C ) = 3 deg ( D ) = 4 deg ( E ) = 0 ดงนน deg(A)+deg(B)+deg(C)+deg(D)+deg(E) = 4+3+3+4+0 = 14 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 14 และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนสองเทาของเสนเชอม นนคอ 2(7) = 14

ตวอยางท 14 จงหาจ านวนจดยอดของกราฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จดทมดกรเทากบ 4 สวนจดยอดทเหลอมดกรเทากบ 3 วธท า ให n เปนจ านวนจดยอดทมดกรเทากบ 3 ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ คอ ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n ) จากทฤษฎบท ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบสองเทาของเสนเชอมในกราฟ ดงนน ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n ) = ( 2 )( 15 ) 12 + 3n = 30

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 9

n = 6 จ านวนจดยอดทมดกรเทากบ 3 มจดยอดทงหมด 6 จด จ านวนจดยอดทมดกรเทากบ 4 มจดยอดทงหมด 3 จด

จ านวนจดยอดทงหมดของกราฟ คอ 3 + 6 = 9 เปนไปไดหรอไมทคน 7 คน จบมอทกทายกบคนอนเพยง 3 คนเทานน

ตอบ เปนไปไมได เพราะทกกราฟจะมจดยอดคเปนจ านวนค ตวอยางท 15 ในหองประชมแหงหนงมผเขารวมประชมทงหมด 23 คน เปนไปไดหรอไมวาผเขารวมประชมแตละคนจบมอทกทายผเขารวมประชมคนอนเพยง 7 คนเทานน ใหจดยอดแทนผเขารวมประชม และเสนเชอมแทนการจบมอทกทายจะได กราฟมจดยอด 23 จด แตละจดมดกร 7 นนคอ กราฟมจดยอดคเปนจ านวน 23 จด 23 เปนจ านวนค ขดแยงกบทฤษฎ

แบบฝกหด

แบบฝกหด

1. จงสรางจดยอดค จ านวน 1 จด

2. จงสรางจดยอดค จ านวน 3 จด

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 10

แนวเดน(Walk)

ส าคญมาก

เดนจาก EA ใชเสนทาง A, e2, C, e3, D, e5, E เรยก วา “แนวเดน”

แนวเดน EA คอ ล าดบของจดยอดกบเสนเชอมสลบกน

รอยเดน(trail) รอยเดน(trail) แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน

วถ(Path)

วถ(Path) แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

วงจร(Circuit) วงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน วงจร คอ แนวเดนซงเรมและจบทจดยอดเดยวกน โดยไมใชเสนเชอมซ ากนเลย แนวเดน A-A (ล าดบ A, e1, B, e4, D, e3, C, e2 ,A) เปนวงจร

วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอร กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 11

วฏจกร(Cycle) วฏจกร(Cycle) คอ วงจรทไมมจดยอดซ ากนยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

วงจร(Circuit) วฏจกร(Cycle)

เรองของกราฟออยเลอร

ประวตออยเลอร

เลออนฮารด ออยเลอร เปนนกคณตศาสตร และนกฟสกส ชาวสวส ไดชอวาเปนนกคณตศาสตรทยงใหญทสดคนหนงของโลก เลออนฮารด ออยเลอร เปนบคคลแรกทเรมใชค าวา " ฟงกชน " ในแวดวงคณตศาสตร (ตามค านยามของ ไลบนซ ใน ค.ศ. 1694) ในการบรรยายถงความสมพนธทเกยวของกบตวแปร เชน )(xfy นอกจากน เขายงเปนคนแรกทน าแคลคลสเขาไปประยกตในศาสตรฟสกส

ออยเลอรเกดและโตในเมอง บาเซล เขาเปนเดกทมความเปนอจฉรยะทางคณตศาสตร เขาเปนศาสตราจารยสอนวชาคณตศาสตรท เซนตปเตอรสเบรก และตอมากสอนท เบอรลน และกลบไปอยทเซนตปเตอรสเบรกจวบจนวาระสดทายของชวต เขาเปนนกคณตศาสตรมผลงานมากมายทสดคนหนง ผลงานทงหมดของเขารวบรวมไดถง 75 เลม ผลงานเหลานมอทธพลอยางมากตอการพฒนาของคณตศาสตรในศตวรรษท 18 ออยเลอรสญเสยการมองเหนและตาบอดสนทตลอด 17 ปสดทายในชวตของเขา ถงกระนน ในชวงนเองทเขาสามารถผลตผลงานไดมากถงครงหนงของผลงานทงหมดทเขาผลตขนมา

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 12

สะพานทงเจดแหงเมองเคอนกสแบรก สะพานทงเจดแหงเมองเคอนกสแบรก (องกฤษ : Seven Bridges of Königsberg) เปนปญหาทไดรบ

แรงบนดาลใจมาจากสถานท คอ เมอง เคอนกสแบรก ในปรสเซย ( คาลนนกราด รสเซย ในปจจบน) ซงตงอยบนแมน าเพรเกลและมเกาะอย 2 เกาะเชอมตอถงกนดวย สะพานทง 7 สะพาน ค าถามคอ เปนไปไดหรอไมทจะเดนใหครบทกสะพาน โดยผานแตละสะพานเพยงครงเดยวและกลบมาทจดเรมตนได ในพ.ศ. 2279 (ค.ศ. 1736) เลออนฮารด ออยเลอร ไดพสจนวาไมมทางเปนไปได

ในการพสจนนน ออยเลอรไดแปลงปญหานใหอยในรปทฤษฎกราฟ โดยแทนทดนดวยจด ทเรยกวา จดยอด (vertex) และแทนสะพานดวยเสน ทเรยกวา เสนเชอม (edge)

ทฤษฎกราฟเปนสาขาหนงของทอพอโลย ซงจะไมสนใจรปรางของกราฟวาเปนอยางไร นนคอเสนทเชอมระหวางจดยอดตางๆจะเปนเสนตรงหรอเสนโคงกได แตมนยงคงตองเชอมจดยอดนนอยไมเปลยนแปลง

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 13

ออยเลอรไดแสดงใหเหนวา เราจะเดนผานเสนเชอมทกเสนในกราฟเพยงครงเดยวและกลบมาทจดเรมตนได กตอเมอ กราฟนนไมมจดยอดทมจ านวนเสนเชอมมาเชอมจดยอดนนเปนจ านวนค ซงแนวเดนนจะเรยกวา วงจรออยเลอร (Eulerian circuit) ดงนน กราฟของสะพานทงเจดจงไมมทางท าได

แตถาเราไมสนใจวาตองเดนกลบมาทจดเรมตน เราจะหาแนวเดนนนได กตอเมอ กราฟนนไมมจดยอดทมจ านวนเสนเชอมมาเชอมจดยอดนนเปนจ านวนค หรอกราฟนนอาจมจดยอดดงกลาวอย 2 จด ซงแนวเดนนจะเรยกวา รอยเดนออยเลอร (Eulerian trail) ดงนน กราฟของสะพานทงเจดจงท าไมไดเชนเดยวกน

กราฟออยเลอร

รอยเดนออยเลอร(Euler Trail) หรอ วถออยเลอร(Euler Path) แนวเดนทผานจดยอดทกจด และเสนเชอมทกเสนของกราฟ

และมทฤษฎบทเพมเตม คอ ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟทม Euler Path กตอเมอ G มจดยอดทเปนดกรเปนจ านวนคไมเกน 2 จด ยงไปกวานนจดยอดทเปนจ านวนคเหลานนจะเปนจดเรมตน

และจดปลายของรอยเดนออยเลอร

วงจรออยเลอร(Euler Circuit) วงจรออยเลอร คอ รอยเดนซงผานจดยอดทกจดและเสนเชอมทกเสนของกราฟ

กราฟเชอมโยงใดๆ จะมวถออยเลอรแตไมมวงจรออยเลอรกตอเมอกราฟนนมจด 2 จด ทมดกรเปนจ านวนค

กราฟออยเลอร(Euler Graph) กราฟออยเลอร คอ กราฟทมวงจรออยเลอร

และมทฤษฎบทเพมเตม คอ G เปนกราฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทกจดของ G มดกรเปนจ านวนค

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 14

ตวอยางท 17 สวนสาธารณะแหงหนงมเกาะอย 2 เกาะ คอ เกาะ B และเกาะ C และมสะพานเชอมระหวางเกาะกบฝง A และฝง D ดงรป

หนา 14-15

จงสรางแบบจ าลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน วธท า จ าลองปญหานดวยกราฟ G โดยท

จดยอด V(G) = { A , B , C , D } เสนเชอม E(G) = { AB , AB , AC , BC , BD , DC }

แสดงแผนภาพของกราฟ G ไดดงรป

ตวอยางท 18 สวนสาธารณะแหงหนงมเกาะอย 2 เกาะ คอ เกาะ B และเกาะ C และมสะพานเชอมระหวางเกาะ กบฝง A และฝง D ดงรป

จงสรางแบบจ าลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน วธท า จ าลองปญหานดวยกราฟ G โดยท

จดยอด V(G) = { A , B , C , D } เสนเชอม E(G) = { AB , AC , BC , BD , DC }

แสดงแผนภาพของกราฟ G ไดดงรป

A

BC

D

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 15

ตวอยางท 19 บรษทแหงหนงมต าแหนงงานวาง 4 ต าแหนง คอ A , B , C และ D มผมาสมครงาน 4 คนคอ ก , ข , ค และ ง โดยทแตละคนมความสามารถท างานในต าแหนงตางๆดงน

ก มความสามารถท างานในต าแหนง A ข มความสามารถท างานในต าแหนง A , B และ D ค มความสามารถท างานในต าแหนง C และ D ง มความสามารถท างานในต าแหนง A และ B

บรษทจะจดต าแหนงงานใหผสมครทงสคนอยางไรโดยทผสมครทกคนสามารถเขาท างานได วธท า จ าลองปญหาดวยกราฟ G โดยท V(G) = { A , B , C , D , ก , ข , ค , ง } E(G) = { กA , ขA , ขB , ขD , คC , คD , งA , งB } แสดงแผนภาพของกราฟ G ไดดงรป

จากแผนภาพของกราฟ G จะจดงานใหผสมครทงสคนเขาท างานในทกต าแหนงไดดงน

ก ท างานในต าแหนง A

ข ท างานในต าแหนง D ค ท างานในต าแหนง C ง ท างานในต าแหนง B

ง

ค

ข

ก

D

C

B

A

A

B

C

D

ก

ข

ค

ง

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 16

กราฟเชอมโยง G เปนกราฟเชอมโยง กตอเมอ เชอมจดยอด 2 จดใด ไดดวยวถ (หมายความวา สามารถลากเสนจากจดยอดจดใดๆ กไดบนกราฟ ไปยงจดใดๆ กไดบนกราฟโดยไมยกปากกา) กราฟ G เรยกวา กราฟเชอมโยง (connected graph) กตอเมอส าหรบจดยอด u และ v ทเปนจดยอดตางกน ในกราฟ G จะมแนวเดน u-v หรอพดงายๆไดวา ทกๆจดยอดมแนวเดนถงกน

กราฟเชอมโยง ไมใชกราฟเชอมโยง

กราฟถวงน าหนก กราฟถวงน าหนก คอ กราฟทเสนเชอมทกเสนมคาน าหนก

ศกษาดวยตนเอง ตวอยางท 16 กราฟนเปนกราฟถวงน าหนก ซงจ าลองจากแผนทเมอง โดยใหจดยอดแทนเมอง และเสนเชอมแทนถนน และคาน าหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวางเมองสองเมองตองการหาระยะทางทสนทสดจากเมอง A ไปยงเมอง E (เขยนรปลงกระดาษหาเสนทาง (แนวเดน) ทงหมดจาก A ไป E (ทไมผานเมองซ ากน)

1: A, B, D, E 2 + 1 + 3 = 6 กม. 2: A, B, D, F, E 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กม. 3: A, B, D, C, F, E 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กม. 4: A, C, F, E 5 + 6 + 2 = 13 กม. 5: A, C, F, D, E 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กม. 6: A, C, D, E 5 + 3 + 3 = 11 กม. 7: A, C, D, F, E 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กม.

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 17

กราฟยอย(supgraph) กราฟยอย (supgraph) ของกราฟ G คอ กราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

ถา )()( GVHV และ )()( GEHE

V(G) = { A, B, C, D }

E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} V(H) = { A, B, C, D }

E(H) = {AB, BC, DA, BD} จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

กราฟยอย

จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G

จากกราฟ G จะพบวา..................................................

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 18

ตนไม(Tree)

ตนไม คอกราฟเชอมโยงไมมวฏจกร(ไมมเสนเชอมขนาน ไมมวงวน) ตนไม(Tree)

เปนกราฟตนไม เพราะเปนกราฟเชอมโยง ไมมวฏจกร

ไมเปนกราฟตนไม เพราะมวฏจกร

ไมเปนกราฟตนไม เพราะไมเปนกราฟเชอมโยง

ความสมพนธระหวางตนไม จดยอด และ เสนเชอม

กราฟตนไม จ านวนจดยอด จ านวนเสนเชอม

1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

จะสรปไดวาตนไมทม n จด จะม n – 1 เสนเสมอ

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 19

ตนไมแผทว ตนไมแผทว คอตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดยอด พจารณาตนไมแผทวของกราฟตอไปน

ตนไมแผทวทนอยทสด

ตนไมแผทวทนอยทสด(minimal spanning tree) คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของคาน าหนกของแตละเสนเชอมนอยทสดตนไมแผทวทนอยทสด

H1 H2 H3

ดงนน H3 เปนตนไมแผทวทนอยทสด

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 20

แบบฝกหด

1. จงหาตนไมแผทวทนอยทสดจากกราฟทก าหนดให พรอมทงเขยนกราฟตนไมแผทวทนอยทสด ขอ กราฟถวงน าหนก ตนไมแผทวทนอยทสด

1

2

3

2. จงวาดกราฟทมดกรคอ 1, 1, 1, 3 1, 1, 2, 2 1, 1, 1, 2, 3 1, 1, 2, 3, 3

2

31 215

5

4A

B C

D

E

F

1

5

2

35

4

67

FC

D

A B

E

55

4

4

2

3 6

7

A

B

E

C

D

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 21

แบบฝกหดทฤษฎกราฟ

เฉลย

1. กราฟรปหนงมเสนเชอม 16 เสน ถาจดยอดทมดกร 1 มจ านวน 4 จด และจดยอดทมดกร 2 มจ านวน 6 จด สวนจดยอดทเหลอมดกร 4 ดงนนจดยอดทเหลอม ........................จด

2. กราฟ G มจดยอด 9 จดแตละจดมดกรเทากบ 4 จ านวนเสนเชอมทงหมดของกราฟนเปนเทาใด

ก. 12 ข. 14 ค. 16 ง. 18

3. กราฟ G มเสนเชอม 16 เสน มจดยอด 4 จดแตละจดมดกรเปน3 สวนจดยอดทเหลอแตละจดมดกร4

แลวกราฟนมจดยอดทงหมดกจด ก. 7 ข. 8 ค. 9 ง. 10

4. ขอใดกลาวถกตอง

ก. สามารถสรางกราฟทมดกรของจดยอด 7 จดดงน 2 , 3 , 1 , 2 , 4 , 5, 4 ได ข. สามารถสรางกราฟทมเสนเชอม 17 เสน โดยทจดยอด 5 จดแตละจดมดกร 2 จดยอด 4 จดแตละจดมดกร 3 และจดยอด 3 จดแตละจดมดกร 5 ค. สามารถสรางกราฟทมจดยอด 4 จด คอ A , B , C , D และ deg A = 3 , deg B = 1 , deg C =3 และ deg D = 5

ง. เปนไปไดทนกเรยนกลมหนงจ านวน 15 คน แตละคนจะโทรศพทหาเพอนเพยง 7 คน เทานน

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 22

5. กราฟ G มเสนเชอม 15 เสน ม deg a = 4 ,deg b = 4 และ deg c = 4 สวนจดยอดทเหลอมดกร 3 กราฟ G มจดยอดตรงกบขอใด ก. 6 ข. 7 ค. 7 ง. 9

6. กราฟทมดกรของจดยอดเปน 3, 3, 3, 4, 5, 6 มเสนเชอมกเสน

ก. 10 ข. 11 ค. 12 ง. 14

7. กราฟทมเสนเชอม 43 เสน และจดยอดทกจดมดกรอยางนอย 5 จะมจดยอดไดมากทสดกจด

ก. 17 ข. 18 ค. 22 ง. 24

8. ขอใดกลาวถกตอง

ก. สามารถสรางกราฟทมดกรของจดยอด 6 จดดงน 2 , 3 , 1 , 2 , 4 , 5 ได ข. สามารถสรางกราฟทมเสนเชอม 19 เสน โดยทจดยอด 5 จดมดกร 2 จดยอด 4 จดมดกร 3 และจดยอด 4 จดมดกร 4

ค. สามารถสรางกราฟทมจดยอด 4 จด คอ A , B , C , D และ deg A = 2 , deg B = 3 , deg C =3 และ deg D = 5 ง. เปนไปไดทนกเรยนกลมหนงจ านวน 15 คน แตละคนจะโทรศพทหาเพอนเพยง 5 คน เทานน

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 23

9. กราฟ G มจดยอด 8 จด แตละจดมดกรเทากบ 3 จ านวนเสนเชอมทงหมดของกราฟนเปนเทาใด ก. 12 ข. 14 ค. 16 ง. 18

10. กราฟ G มเสนเชอม 18 เสน มจดยอด 4 จดทมดกร 6 สวนจดยอดทเหลอมดกร 4 แลวกราฟน

มจดยอดทงหมดกจด ก. 9 ข. 8 ค. 7 ง. 6

11. . ในวนแหงความรก เบรด เตรยมแผนการการทเขาจะมอบดอกกหลาบใหกบคนทเขาชอบม

ทงหมด 4 คน คอ นท โบว แอม และ ใหม ดงนนเขาจงสงดอกกหลาบ 4 ชอ ส าหรบคนทง สซงดอกกหลาบมชอละ 1 ส คอ สแดง ขาว ชมพ และสม ถานทชอบดอกกหลาบสแดงและสมโบวชอบดอกกหลาบสชมพและสม แอมชอบดอกกหลาบสแดงและขาว สวนใหมชอบดอกกหลาบสขาวและชมพ จงหาวาเบรดจะมอบดอกกลาบใหแตละคนอยางไรจงจะถกใจผรบ

12. ก าหนดกราฟ G ขอใดถกตอง

ก. มจดยอดคเพยงจดเดยวเทานน ข. ผลรวมดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 21 ค. จดยอด b และ d เปนจดยอดประชด ง. 10degdeg da

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 24

13. กราฟทมจดยอด 5 จด แตละจดตองมดกรตรงกบขอใด จงจะสามารถสรางกราฟได ก. 8,0,1,2,1 ข. 3,2,1,3,2 ค. 5,4,2,5,3 ง. 3,3,3,3,3

14. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. ผเขาประชม 5 คน แตละคนจบมอทกทายผเขารวมประชมคนอนเปนจ านวนครง ดงน 2,2,3,2,1 ได

ข. กราฟทมจดยอด 6 จด แตละจดมดกร 0,13,15,8,12,20 กราฟนมจ านวนเสนเชอมทงหมด 34 เสน ค. สรางกราฟทมจดยอดเปน DCBA ,,, โดยท 5deg,1deg,3deg,2deg DCBA ได ง. กราฟทมจ านวนเสนเชอม 12 เสน มผลรวมดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 26

15. นกเรยนหอง ม. 5/16 จ านวน 47 คน แตละคนจะโทรศพทคยกบเพอนในหอง 6 คนเทานน จงหาวา

มการโทรศพทเกดขนทงหมดกครงระหวางนกเรยนในหองน ก. 141 ข. 137 ค. 125 ง . 94

16. กราฟ G ทก าหนดให ขอใดไมเปน แนวเดน DA

ก. DCBA ,,, ข. DFEHA ,,,, ค. DFEBA ,,,, ง. DCBHA ,,,,

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 25

17. ก าหนดกราฟ G ดงรป ขอใดกลาวไมถกตอง

ก. แนวเดน baecb ,,,, เปนวฏจกร ข. แนวเดน abce ,,, เปนวถ ค. แนวเดน ecba ,,, เปนตนไมของ G ง. แนวเดน dbecba ,,,,, เปนวงจร

18. ก าหนดกราฟดงรป กราฟใดเปนกราฟออยเลอร ก. ข. ค. ง.

จากรปกราฟ G ทก าหนดให จงน าไปใชตอบค าถามอก 2 ขอถดไป

19. วถ TS ทสนทสด มผลรวมคาน าหนกบนเสนเชอมเทากบเทาใด

ก. 24 ข. 25 ค . 26 ง . 27

20. ตนไมแผทวนอยทสด มผลรวมคาน าหนกบนเสนเชอมเทากบเทาใด

ก. 38 ข. 39 ค. 40 ง . 42

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 26

21. ตนไมแผทวทมจดยอด 13 จด จะมเสนเชอมทงหมดกเสน ก. 11 ข. 12 ค. 13 ง . 14

22. จ านวนจดยอดทนอยทสดของกราฟทมสมบตวา กราฟมเสนเชอมอยางนอย 16 เสน และจดยอดทกจดมดกร 3 คอขอใด (รบตรง มข. 53) 1) 9 2) 10 3) 11 4) 12

23. ให A เปนกราฟวฏจกรทม 100 จด และมน าหนกของเสนเชอมเปน 1, 2, 3, … , 100 ผลรวมของคาน าหนกของตนไมแผทวทนอยทสดของ A มคาเทากบขอใด (รบตรง มข. 53) 1) 4,905 2) 4,950 3) 5,049 4) 5,050

24. กราฟทไมสามารถเปนกราฟตนไมคอขอใดตอไปน(รบตรง มข. 54) (1) กราฟทมจดยอดสจด และมดกรคอ 1, 1, 1, 3 (2) กราฟทมจดยอดสจด และมดกรคอ 1, 1, 2, 2 (3) กราฟทมจดยอดหาจด และมดกรคอ 1, 1, 1, 2, 3 (4) กราฟทมจดยอดหาจด และมดกรคอ 1, 1, 2, 3, 3

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 27

25. ให G เปนกราฟวฏจกรทมจดยอด 9 จด ถาตองการเพมเสนเชอมให G มเสนเชอมเพมขน โดยกราฟใหมทไดตองเปนกราฟออยเลอรทไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน แลวจ านวนเสนเชอมทนอยทสดทสามารถเพมให G ไดตามเงอนไขทก าหนดคอขอใดตอไปน(รบตรง มข. 54) (1) 2 เสน (2) 3 เสน (3) 4 เสน (4) 5 เสน

26. ให G เปนกราฟซงมเซตของจดยอดและเซตของเสนเชอม ดงน 87654321 ,,,,,,,)( vvvvvvvvGV และ

𝐸 𝐺 = 𝑉𝑚𝑉𝑛 𝑚 < 𝑛 และ 𝑚, 𝑛 เปนจ านวนค หรอ 𝑚, 𝑛 เปนจ านวนค แลวผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบขอใดตอไปน (รบตรง มข. 55) ก. 20 ข. 22 ค. 24 ง. 26

27. ให G เปนกราฟเชอมโยงทมจดยอด 5 จด คอ 4321 ,,, vvvv และ 5v ถา 3)deg(,2)deg(,1)deg( 321 vvv และ 5)deg( kv ส าหรบ k = 4,5 แลวผลรวมของดกร

ของ G มไดทงหมดกคา(รบตรง มข. 56)

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 28

28. พจารณาขอความตอไปน ก. ถากราฟ G มจดยอดเพยงหนงจดแลว G เปนกราฟเชอมโยง ข. ถาจดยอด 10321 ,...,,, vvvv ของกราฟ G สอดคลองกบ 3)deg( ivi ส าหรบทก

10,...,2,1i แลว G มเสนเชอม 1,512 เสน ขอใดตอไปนถกตอง(รบตรง มข. 57) (1) ก. ถก และ ข. ถก (2) ก. ถก และ ข. ผด ( 3) ก. ผด และ ข. ถก (4) ก. ผด และ ข.ผด

29. ให G เปนกราฟทมเสนเชอม 65 เสน และม p+q จด โดยมจดยอดจ านวน p จด ทแตละจดมดกร 3 และ มจดยอดจ านวน q จด ทแตละจดมดกรมากกวา 3 ถา p เปนจ านวนเฉพาะทมากทสดทท าใหเกดกราฟ ดงกลาวได แลว p+q เทากบเทาใด(รบตรง มข. 57)

30. ให G เปนกราฟทไมมวงวนและเสนเชอมขนานทม 5 จดยอดโดยท 3)deg(2 v ส าหรบทก )(GVv และ ม )(0 GVv ถา H เปนกราฟทมสมบตวา }{)()( 0vGVHV และ

)}({)()( 0 GVuuvGEHE โดยท 3)deg(2 v ส าหรบทก )(HVv แลว กราฟ G มจ านวนเสนเชอมทเปนไปไดทงหมดเทากบขอใด(รบตรง มข. 58) 1) 5 หรอ 6 เทานน 2) 6 หรอ 7 เทานน 3) 7 หรอ 8 เทานน 4) 6 หรอ 8 เทานน

เอกสารประกอบการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยครนาคน สจจะเขตต โรงเรยนขอนแกนวทยายน หนา 29

31. ให G เปนกราฟทไมมวงวนและเสนเชอมขนาน ถากราฟ G มเซตของจดยอด 20321 ,...,,,)( vvvvGV และเซตของเสนเชอม mvvGE mn)( เปนจ านวนคหรอ m = 2n

หรอ 2nm แลวผลรวมของดกรของจดยอดทงหมดเทากบขอใด (รบตรง มข. 58) 1) 312 2) 314 3) 322 4) 324