§1 §1 平面曲线的方程平面曲线的方程

《《解析几何解析几何》》 －－ Chapter Chapter 22

• 一、曲线的方程

• 二、曲线的参数方程

• 三、常见曲线的参数方程

ContentsContents

一、曲线的方程一、曲线的方程

定义定义 1 1

当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之

间有着关系：间有着关系：

① ① 满足方程的 必是曲线上某一点的坐标；满足方程的 必是曲线上某一点的坐标；

② ② 曲线上任何一点的坐标 满足这个方程，曲线上任何一点的坐标 满足这个方程，

那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个

方程的图形方程的图形。。

,x y

概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系

,x y

• 例例 1 1 求圆心在原点，半径为求圆心在原点，半径为 R R 的圆的方程的圆的方程

2, 2A • 例例 2 2 已知两点 和 ，求满足条件已知两点 和 ，求满足条件

的动点的动点 MM 的轨迹方程的轨迹方程 2,2B 4MA MB

����������������������������

二、曲线参数的方程二、曲线参数的方程

定义定义 22

若取 的一切可能取值若取 的一切可能取值

①① 由 表示的向径 的终点总在一条曲线上由 表示的向径 的终点总在一条曲线上

②② 在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由

的某一值 通过 完全决定的某一值 通过 完全决定

那么就把 叫做曲线的向量式参数方程，那么就把 叫做曲线的向量式参数方程，

其中 为参数。 其中 为参数。

t a t b

1 2r t x t e y t e a t b �������������������������� ��

r t

t

1 2r t x t e y t e a t b �������������������������� ��

1 2r t x t e y t e a t b �������������������������� ��

0 0t a t b

t

,x x t

a t by y t

其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为

例例 3 3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹迹例例 3 3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹迹

该定点的轨迹为该定点的轨迹为旋轮线旋轮线或或摆线摆线（（ cycloidcycloid ））

三、常见曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程

(1) (1) 一个半径为一个半径为 r r 的小圆在半径为的小圆在半径为 R R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点定点 P P 的运动轨迹称为的运动轨迹称为内摆线内摆线 ((hypocycloidhypocycloid ））

例例 4 4 已知大圆半径为已知大圆半径为 a a ，小圆半径为，小圆半径为 bb ，设大圆不动，而小圆在大圆内，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点无滑动地滚动，求动圆周上某一定点 P P 的轨迹方程的轨迹方程

（（ aa ＝＝ 4b4b ））四尖点星形线（四尖点星形线（ astroidastroid ））（（ aa ＝＝ 4b4b ））四尖点星形线（四尖点星形线（ astroidastroid ））圆的内摆线圆的内摆线圆的内摆线圆的内摆线

（（ 22 ）一个半径为）一个半径为 rr 的小圆在半径为的小圆在半径为 RR 的大圆外无滑动地滚动，小圆周上的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点一个定点 PP 的运动轨迹称为的运动轨迹称为外摆线外摆线（（ epicycloidepicycloid ））

其参数方程为其参数方程为其参数方程为其参数方程为

cos cos,

sin sin

R rx R r r

rR r

y R r rr

特别当特别当 RR ＝＝ rr 时可以得到时可以得到心脏线心脏线（（ cardioidcardioid ））特别当特别当 RR ＝＝ rr 时可以得到时可以得到心脏线心脏线（（ cardioidcardioid ））

其参数方程为其参数方程为其参数方程为其参数方程为 2 cos (1 cos )

2 sin (1 cos )

x R

y R

（（ 33 ）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的成的曲线叫做圆的渐伸线渐伸线或或切展线切展线（（ involuteinvolute ））

cos sin

sin cos

x R

y R

其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为

（（ 44 ）椭圆的参数方程）椭圆的参数方程

设椭圆的方程为设椭圆的方程为2 2

2 21

x y

a b

第一种参数方程以角度 为参数：第一种参数方程以角度 为参数：第一种参数方程以角度 为参数：第一种参数方程以角度 为参数： cos,

sin

x a

y b

第二种参数方程以斜率 为参数：第二种参数方程以斜率 为参数：第二种参数方程以斜率 为参数：第二种参数方程以斜率 为参数：t

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

,2

a b a tx

b a t tab t

yb a t

• 作业作业

PP77 77 2 , 3 2 , 3