1 平面上のベクトル...数学b advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50)...
TRANSCRIPT
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
1
(教科書 p.50)
平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB
に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ
いた線分を(① 有向線分 )という。
線分 AB の長さを有向線分 AB の(② 大きさ )または長さ
という。
また,有向線分 AB において,A を(③ 始点 ),B を(④ 終点 )という。
有向線分について,その位置を問題にせず,向きと大きさだけに着目したものを
(⑤ ベクトル )という。
有向線分 AB の表すベクトルを,(⑥ 𝐀𝐀�����⃗ )と書く。
そして,有向線分 AB の長さをベクトル AB�����⃗ の(⑦ 大きさ )といい,(⑧ � 𝐀𝐀�����⃗ � )で
表す。
(教科書 p.51)
2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ の向きと大きさが一致するとき,これらのベク
トルは(⑨ 等しい )といい, �⃗� = 𝑏�⃗ と表す。
右の平行四辺形で,次のベクトルのうち互いに
等しいものを答えよ。
① AD�����⃗ ② BA�����⃗
③ BC�����⃗ ④ CD�����⃗ 右の図より
AD�����⃗ = BC�����⃗
BA�����⃗ = CD�����⃗ よって
①と③,②と④
(教科書 p.51)
ベクトル �⃗� と大きさが同じで,向きが反対のベクトルを 𝑎 ���⃗ の
(⑩ 逆ベクトル )といい,(⑪ −𝒂��⃗ )で表す。
右の図の中で,等しいベクトルを答えよ。
また,互いに逆ベクトルであるものを答えよ。
右の図より
𝑑 = 𝑓,𝑏�⃗ = −𝑒 よって
等しいベクトルは
𝒅 ���⃗ と 𝒇�⃗ 互いに逆ベクトルで
あるものは 𝒃��⃗ と 𝒆�⃗
始点と終点の一致したベクトル AA�����⃗ は大きさが 0 のベクトルと考えられる。このベクトルを
(⑫ 零ベクトル )といい,(⑬ 0�⃗ )で表す。
1 節 平面上のベクトル
1 ベクトルの意味
有向線分とベクトル
ベクトルの相等
問1
逆ベクトルと零ベクトル
問2
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
2
(教科書 p.52)
ベクトル 𝑎���⃗ , 𝑏�⃗ に対して,1 つの点 A をとり
�⃗� = AB�����⃗ , 𝑏�⃗ = BC�����⃗ となるように点 B, C をとる。このとき,
AC ������⃗ を �⃗� と 𝑏�⃗ の(⑭ 和 )といい
(⑮ 𝒂��⃗ + 𝒃��⃗ )
と表す。すなわち
AB�����⃗ + BC�����⃗ = AC�����⃗
右の図において,次のベクトルを図示せよ。
(1) �⃗� + 𝑏�⃗
(2) 𝑐 + �⃗�
(3) �⃗� + 𝑑
(4) 𝑏�⃗ + 𝑐
ベクトルの加法については,次のことが成り立つ。
ベクトルの加法
□1 �⃗� + 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ + �⃗� 交換法則
□2 ��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑐 = �⃗� + �𝑏�⃗ + 𝑐� 結合法則
□3 �⃗� + 0�⃗ = �⃗�
□4 �⃗� + (−�⃗�) = 0�⃗
□1 を証明する。ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,平面上に点 A をとり,
�⃗� = AB�����⃗ , 𝑏�⃗ = AD�����⃗ となるように点 B, D をとる。下の図のように
平行四辺形 ABCD をつくると
�⃗� + 𝑏�⃗ = AB�����⃗ + AD�����⃗ = AB�����⃗ + BC�����⃗ = AC�����⃗
𝑏�⃗ + �⃗� = AD�����⃗ + AB�����⃗ = AD�����⃗ + DC�����⃗ = AC�����⃗
であるから,�⃗� + 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ + �⃗� が成り立つ。
右の図を用いて,上の法則□2 が成り立つことを確かめよ。
右の図より
��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑐 = �AB�����⃗ + BC�����⃗ � + CD�����⃗
= AC�����⃗ + CD�����⃗
= AD�����⃗ 一方
�⃗� + �𝑏�⃗ + 𝑐� = AB�����⃗ + �BC�����⃗ + CD�����⃗ �
= AB�����⃗ + BD�����⃗
= AD�����⃗
ゆえに ��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑐 = �⃗� + �𝑏�⃗ + 𝑐� すなわち,結合法則が成り立つ。
平面上に 3 点 A, B, C がある。このとき,AB�����⃗ + BC�����⃗ + CA�����⃗ = 0�⃗ が成り立つことを示せ。
AB�����⃗ + BC�����⃗ + CA�����⃗ = AC�����⃗ + CA�����⃗
= AA�����⃗
= 0�⃗
2 ベクトルの加法・減法・実数倍
ベクトルの加法
問3
証明
問4
問5
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
3
(教科書 p.53)
ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,1 つの点 O をとり,�⃗� = OA�����⃗ , 𝑏�⃗ = OB�����⃗ となる
2 点 A, B をとるとOB�����⃗ + BA�����⃗ = OA�����⃗ である。このとき,ベクトルBA�����⃗ を �⃗� と
𝑏�⃗ の(⑯ 差 )といい
(⑰ 𝒂��⃗ − 𝒃��⃗ )
と表す。すなわち
(⑱ 𝐎𝐀������⃗ − 𝐎𝐀������⃗ = 𝐀𝐀�����⃗ )
右の図において,次のベクトルを図示せよ。
(1) �⃗� − 𝑏�⃗
(2) 𝑐 − �⃗�
(3) �⃗� − 𝑑
右の図の平行四辺形において,次のベクトルの差を求めよ。
(1) AD�����⃗ − AB�����⃗
AD�����⃗ − AB�����⃗ = 𝐀𝐁������⃗
(2) AD�����⃗ − CD�����⃗
AD�����⃗ − CD�����⃗ = AD�����⃗ + DC�����⃗ = 𝐀𝐀�����⃗
(3) AD�����⃗ − DC�����⃗
AD�����⃗ − DC�����⃗ = AD�����⃗ + CD�����⃗ = BC�����⃗ + CD�����⃗ = 𝐀𝐁������⃗
(教科書 p.54) ベクトル �⃗� と実数 𝑘 に対して,�⃗� の 𝑘 倍(⑲ 𝒌𝒂��⃗ )を次のように定義する。
(i) �⃗� ≠ 0�⃗ のとき, 𝑘�⃗� は
𝑘 > 0 ならば,�⃗� と同じ向きで,大きさが 𝑘 倍のベクトル
𝑘 < 0 ならば,�⃗� と反対の向きで,大きさが | 𝑘 | 倍のベクトル
𝑘 = 0 ならば,0�⃗ すなわち 0�⃗� = 0�⃗
(ii) �⃗� = 0�⃗ のとき,任意の実数 𝑘 に対して 𝑘0�⃗ = 0�⃗
ベクトル �⃗� に対して,2�⃗� は �⃗� と同じ向きで大きさが 2 倍のベク
トルである。
−13�⃗�は �⃗�と反対の向きで大きさが
13倍のベクトルである。
右の図のように �⃗�, 𝑏�⃗ が与えられたとき,次のベクトルを図示せよ。
(1) −12�⃗� (2) �⃗� + 3𝑏�⃗
(3) – �⃗� + 2𝑏�⃗ (4) 32�⃗� − 𝑏�⃗
注意 1𝑘�⃗� を
𝑎 ���⃗𝑘
と書くことがある。
大きさが 1 のベクトルを(⑳ 単位ベクトル )という。
一般に,�⃗� ≠ 0�⃗ のとき,�⃗� と同じ向きの単位ベクトルを 𝑒 ��⃗ とすると,次のよ
うになる。
(㉑ 𝒆�⃗ = 𝒂��⃗| 𝒂��⃗ |
)
ベクトルの減法
問6
問7
ベクトルの実数倍
例 1
問8
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
4
| �⃗� | = 3 のとき,�⃗� と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。
�⃗� と同じ向きの単位ベクトルを 𝑒 とすると
𝑒 =�⃗�
| �⃗� |=𝟏𝟑𝒂��⃗
実数 𝑘, 𝑙 に対して,次の法則が成り立つ。
ベクトルの実数倍
□1 𝒌(𝒍𝒂��⃗ ) = (𝒌𝒍)𝒂��⃗
□2 (𝒌 + 𝒍)𝒂��⃗ = 𝒌𝒂��⃗ + 𝒍𝒂��⃗
□3 𝒌�𝒂��⃗ + 𝒃��⃗ � = 𝒌𝒂��⃗ + 𝒌𝒃��⃗
次の図を用いて,上の□3 が成り立つことを確かめよ。
A′B′��������⃗ = 𝑘AB�����⃗ ,B′C′��������⃗ = 𝑘BC�����⃗ ,A′C′�������⃗ = 𝑘AC�����⃗ であるから
𝑘��⃗� + 𝑏�⃗ � = 𝑘AC�����⃗ = A′C′�������⃗
= A′B′��������⃗ + B′C′�������⃗
= 𝑘AB�����⃗ + 𝑘BC�����⃗
= 𝑘�⃗� + 𝑘𝑏�⃗
2��⃗� − 4𝑏�⃗ � + 3�2�⃗� + 3𝑏�⃗ � = 2�⃗� − 8𝑏�⃗ + 6�⃗� + 9𝑏�⃗
= (2 + 6)�⃗� + (−8 + 9)𝑏�⃗ = 8�⃗� + 𝑏�⃗
次を計算せよ。
(1) 3�⃗� + 4�⃗� − 2�⃗�
= (3 + 4 − 2)�⃗� = 𝟓𝒂��⃗
(2) 3��⃗� + 2𝑏�⃗ � − 5�2�⃗� − 𝑏�⃗ �
= 3�⃗� + 6𝑏�⃗ − 10�⃗� + 5𝑏�⃗
= (3 − 10)�⃗� + (6 + 5)𝑏�⃗
= −𝟕𝒂��⃗ + 𝟏𝟏𝒃��⃗
次の式を満たす �⃗� を �⃗�, 𝑏�⃗ で表せ。
(1) �⃗� − 3𝑏�⃗ = −2�⃗� + 9�⃗�
�⃗� − 3𝑏�⃗ = −2�⃗� + 9�⃗�
�⃗� + 2�⃗� = 9�⃗� + 3𝑏�⃗
(1 + 2)�⃗� = 9�⃗� + 3𝑏�⃗
3�⃗� = 9�⃗� + 3𝑏�⃗
𝒙��⃗ = 𝟑𝒂��⃗ + 𝒃��⃗
(2) 3(�⃗� − 2�⃗�) − 2��⃗� − 4𝑏�⃗ � = 2�⃗� − 4𝑏�⃗ − 3�⃗�
3(�⃗� − 2�⃗�) − 2��⃗� − 4𝑏�⃗ � = 2�⃗� − 4𝑏�⃗ − 3�⃗�
3�⃗� − 6�⃗� − 2�⃗� + 8𝑏�⃗ = 2�⃗� − 4𝑏�⃗ − 3�⃗�
(3 − 2 + 3)�⃗� = (2 + 6)�⃗� + (−4 − 8)𝑏�⃗
4�⃗� = 8�⃗� − 12𝑏�⃗
𝒙��⃗ = 𝟐𝒂��⃗ − 𝟑𝒃��⃗
(教科書 p.56)
0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ が,同じ向きまたは反対向きであると
き,�⃗� と 𝑏�⃗ は(㉒ 平行 )であるといい,(㉓ 𝒂��⃗ ∥ 𝒃��⃗ )と
書く。
ベクトルの平行の定義と実数倍の定義から,次のことがわかる。
ベクトルの平行条件
�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ のとき
𝒂��⃗ ∥ 𝒃��⃗ ⇔ 𝒃��⃗ = 𝒌𝒂��⃗ となる
実数 𝒌 がある
問9
問10
例 2
問11
問12
ベクトルの平行
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
5
右の図で,𝑏�⃗ , 𝑐 を �⃗� で表せ。また,�⃗�, 𝑏�⃗ を 𝑐 で表せ。
𝒃��⃗ = 𝟐𝒂��⃗,𝒄�⃗ = −𝟑𝒂��⃗,𝒂��⃗ = −𝟏𝟑𝒄�⃗,𝒃��⃗ = −
𝟐𝟑𝒄�⃗
(教科書 p.56)
右の図の正六角形 ABCDEF において,AB�����⃗ = �⃗�, AF�����⃗ = 𝑏�⃗ とするとき,次
のベクトルを �⃗�, 𝑏�⃗ で表せ。
(1) CE����⃗ (2) BD�����⃗
(1) CE����⃗ = BF����⃗ であるから CE����⃗ = 𝑏�⃗ − �⃗�
(2) 正六角形の中心を O とすると
BD�����⃗ = BE�����⃗ + ED�����⃗ = 2BO�����⃗ + ED�����⃗ = 2AF�����⃗ + AB�����⃗
ゆえに BD�����⃗ = �⃗� + 2𝑏�⃗
例題 1 で,AE�����⃗ , CB�����⃗ , DF�����⃗ をそれぞれ �⃗�, 𝑏�⃗ で表せ。
𝐀𝐀�����⃗ = AB�����⃗ + BE�����⃗ = AB�����⃗ + 2BO�����⃗
= AB�����⃗ + 2AF�����⃗ = 𝒂��⃗ + 𝟐𝒃��⃗
𝐀𝐀�����⃗ = OA�����⃗ = −AO�����⃗ = −�AB�����⃗ + AF�����⃗ �
= −��⃗� + 𝑏�⃗ � = −𝒂��⃗ − 𝒃��⃗
𝐁𝐃�����⃗ = CA�����⃗ = CB�����⃗ + BA�����⃗ = CB�����⃗ − AB�����⃗
= �−�⃗� − 𝑏�⃗ � − �⃗� = −𝟐𝒂��⃗ − 𝒃��⃗
一般に,平面上の 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ について,次のことが成り立つ。
分解の一意性
�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ かつ �⃗� と 𝑏�⃗ が平行でないとき,平面上の任意のベクトル �⃗� は,�⃗� = 𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ の形にただ 1 通りに表される。ただし,𝑘, 𝑙 は実数である。
�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ かつ �⃗� と 𝑏�⃗ が平行でないとき,次のことが成り立つ。
(㉔ 𝒌𝒂��⃗ + 𝒍𝒃��⃗ = 𝒌′𝒂��⃗ + 𝒍′𝒃��⃗ ⇔ 𝒌 = 𝒌′, 𝒍 = 𝒍′ )
とくに (㉕ 𝒌𝒂��⃗ + 𝒍𝒃��⃗ = 𝟎��⃗ ⇔ 𝒌 = 𝒍 = 𝟎 )
注意 �⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ かつ �⃗� と 𝑏�⃗ が平行でないとき,�⃗� と 𝑏�⃗ は(㉖ 𝟏 次独立 )であるとい
う。
(教科書 p.58)
O を原点とする座標平面上で,𝑥 軸および 𝑦 軸の正の向きと同じ向き
の単位ベクトルを,(㉗ 基本ベクトル )といい,それぞれ
(㉘ 𝑒1���⃗ ,𝑒2���⃗ )で表す。
いま,与えられたベクトル �⃗� に対して,�⃗� = OA�����⃗ となる点 A をとり,
その座標を (𝑎1, 𝑎2) とすると,�⃗� は
�⃗� = 𝑎1𝑒1���⃗ + 𝑎2𝑒2���⃗
と表される。
これを �⃗� の(㉙ 基本ベクトル表示 )という。この 𝑎1, 𝑎2 をそれぞれ �⃗� の
(㉚ 𝒙 成分,𝒚 成分 )といい,�⃗� を
(㉛ 𝒂��⃗ = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐) )
と表す。この表し方を,�⃗� の(㉜ 成分表示 )という。
ベクトルの表示
�⃗� = 𝑎1𝑒1���⃗ + 𝑎2𝑒2���⃗ 基本ベクトル表示
�⃗� = (𝑎1, 𝑎2) 成分表示
また,2 つのベクトル �⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) に対して
(㉝ 𝒂��⃗ = 𝒃��⃗ ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 )
�⃗� の大きさ | �⃗� | は,線分 OA の長さであるから,成分表示されたベクトルの大きさは,次のように
なる。
ベクトルの大きさ
�⃗� = (𝑎1, 𝑎2) のとき | 𝒂��⃗ | = �𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐𝟐
基本ベクトル表示が �⃗� = 4𝑒1���⃗ − 3𝑒2���⃗ であるベクトル �⃗� において
�⃗� の成分表示は �⃗� = (4, −3)
�⃗� の大きさは | �⃗� | = �42 + (−3)2 = 5
問13
ベクトルの分解
解
問14
3 ベクトルの成分
座標とベクトル
例 3
1 例題
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
6
右の図のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ , 𝑐, 𝑑 を成分表示し,その大きさを求め
よ。
𝒂��⃗ = �𝟒,𝟐�,| �⃗� | = �42 + 22 = √20 = 𝟐√𝟓
𝒃��⃗ = �𝟐,− 𝟐�,� 𝑏�⃗ � = �22 + (−2)2 = √8 = 𝟐√𝟐
𝒄�⃗ = �−𝟑,𝟎�,| 𝑐 | = �(−3)2 + 02 = √9 = 𝟑
𝒅��⃗ = �𝟎,− 𝟐�,� 𝑑 � = �02 + (−2)2 = √4 = 𝟐
(教科書 p.59)
和,差,実数倍の演算を成分を用いて表すと,次のようになる。
成分による演算
□1 (𝑎1, 𝑎2) + (𝑏1, 𝑏2) = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2)
□2 (𝑎1, 𝑎2) − (𝑏1, 𝑏2) = (𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2)
□3 𝑘(𝑎1, 𝑎2) = (𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2) 𝑘 は実数
�⃗� = (5, 2), 𝑏�⃗ = (3, 4) のとき
�⃗� + 𝑏�⃗ = (5 + 3, 2 + 4) = (8, 6)
3�⃗� − 2𝑏�⃗ = 3(5, 2) − 2(3, 4) = (15, 6) − (6, 8) = (9,−2)
�⃗� = (2, −3), 𝑏�⃗ = (−1, 2) のとき,次のベクトルを成分表示せよ。
(1) �⃗� + 𝑏�⃗
= �2,− 3� + �−1,2�
= �2 − 1,− 3 + 2�
= �𝟏,− 𝟏�
(2) 2�⃗� − 5𝑏�⃗
= 2�2,− 3� − 5�−1,2�
= �4,− 6� − �−5,10�
= �4 + 5,− 6 − 10�
= �𝟗,− 𝟏𝟏�
(3) 3�2�⃗� − 6𝑏�⃗ � − 5(�⃗� − 4𝑏�⃗ )
= 6�⃗� − 18𝑏�⃗ − 5�⃗� + 20𝑏�⃗
= �⃗� + 2𝑏�⃗ = (2 − 3) + 2�−1,2�
= (2 − 3) + �−2,4�
= �2 − 2,− 3 + 4�
= �𝟎,𝟏�
�⃗� = (3, 0), 𝑏�⃗ = (4, −5) のとき,�⃗� − 3�⃗� = 2��⃗� + 𝑏�⃗ � を満たす �⃗� の成分表示を求めよ。
�⃗� − 3�⃗� = 2��⃗� + 𝑏�⃗ �
�⃗� − 3�⃗� = 2�⃗� + 2𝑏�⃗
−5�⃗� = −�⃗� + 2𝑏�⃗
�⃗� =15��⃗� − 2𝑏�⃗ �
=15��3,0� − 2�4,− 5��
=15��3,0� − �8,− 10��
=15�−5,10� = �−𝟏,𝟐�
�⃗� = (2, 1) のとき,�⃗� と同じ向きの単位ベクトルの成分表示を求
めてみよう。
| �⃗� | = �22 + 12 = √5 であるから,求める単位ベクトルは
�⃗�| �⃗� |
=1√5
�⃗� = �2√5
,1√5�
問15
成分による演算
例 4
問16
問17
例 5
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
7
�⃗� = (12, −5) と同じ向きの単位ベクトルを成分表示せよ。
| �⃗� | = �122 + (−5)2 = 13
よって,求める単位ベクトルは
�⃗�| �⃗� |
=1
13�⃗� = �
𝟏𝟐𝟏𝟑
,−𝟓𝟏𝟑�
�⃗� = (2, 3), 𝑏�⃗ = (−1, 2) のとき,𝑐 = (5, 4) を 𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ の形で表せ。
𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ = 𝑘(2, 3) + 𝑙(−1, 2) = (2𝑘 − 𝑙, 3𝑘 + 2𝑙)
これが 𝑐 = (5, 4) に等しいから
2𝑘 − 𝑙 = 5, 3𝑘 + 2𝑙 = 4
これを解いて 𝑘 = 2, 𝑙 = −1
ゆえに 𝑐 = 2�⃗� − 𝑏�⃗
�⃗� = (1, 2), 𝑏�⃗ = (1, −1) のとき,次のベクトルを 𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ の形で表せ。
(1) 𝑐 = (5, 1)
𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ = 𝑘�1,2� + 𝑙�1,− 1�
= �𝑘 + 𝑙,2𝑘 − 𝑙�
これが 𝑐 = �5,1� に等しいから
𝑘 + 𝑙 = 5,2𝑘 − 𝑙 = 1
これを解いて 𝑘 = 2,𝑙 = 3
ゆえに 𝒄�⃗ = 𝟐𝒂��⃗ + 𝟑𝒃��⃗
(2) 𝑑 = (0, −3) (1)と同様に
𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ = �𝑘 + 𝑙,2𝑘 − 𝑙�
これが 𝑑 = �0,− 3� に等しいから
𝑘 + 𝑙 = 0,2𝑘 − 𝑙 = −3
これを解いて 𝑘 = −1,𝑙 = 1
ゆえに 𝒅��⃗ = −𝒂��⃗ + 𝒃��⃗
(教科書 p.61)
一般に,2 点 A, B に対して,ベクトル AB�����⃗ の成分表示と大きさは次のようになる。
座標と成分表示
A(𝑎1, 𝑎2), B(𝑏1, 𝑏2) のとき
□1 𝐀𝐀�����⃗ = (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏, 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐)
□2 � 𝐀𝐀�����⃗ � = �(𝒃𝟏 − 𝒂𝟏)𝟐 + (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐)𝟐
3 点 A(−2, 6), B(3, −1), C(3,−4) について,次のベクトルを成分表示し,その大きさを求めよ。
(1) AB�����⃗
𝐀𝐀�����⃗ = �3 − (−2),− 1 − 6�
= �𝟓,− 𝟕�
� 𝐀𝐀�����⃗ � = �52 + (−7)2 = √𝟕𝟒
(2) BC�����⃗
𝐀𝐀�����⃗ = �3 − 3,− 4 − (−1)�
= �𝟎,− 𝟑�
� 𝐀𝐀�����⃗ � = �02 + (−3)2 = √9 = 𝟑
(3) CA�����⃗
𝐀𝐀�����⃗ = �−2 − 3,6 − (−4)�
= �−𝟓,𝟏𝟎�
� 𝐀𝐀�����⃗ � = �(−5)2 + 102 = √125 = 𝟓√𝟓
問18
解
2 例題
問19
座標と成分表示
問20
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
8
平面上に 3 点 A(3, −2), B(7, −1), C(−1, 4) がある。四角形 ABCD が平行四辺形となるよう
な点 D の座標を求めよ。
点 D の座標を(𝑥, 𝑦) とする。四角形 ABCD が平行四辺形となるための条件はAD�����⃗ = BC�����⃗ である
から
�𝑥 − 3, 𝑦 − (−2)� = �−1 − 7, 4 − (−1)�
よって 𝑥 − 3 = −8, 𝑦 + 2 = 5
したがって 𝑥 = −5, 𝑦 = 3
ゆえに D(−5, 3)
例題 3 の 3 点 A, B, C を頂点にもつ平行四辺形は 3 つある。他の 2 つの平行四辺形の残りの頂
点の座標を求めよ。 次の図のような 2 点 E,F を考える。
E�𝑥1,𝑦1�,F�𝑥2,𝑦2� とすると,四角形ABEC,AFBC は平行四辺形になる。
平行四辺形 ABEC において,AB�����⃗ = CE����⃗ であるから
�7 − 3,− 1 − (−2)� = �𝑥1 − (−1),𝑦1 − 4�
よって 𝑥1 + 1 = 4,𝑦1 − 4 = 1
したがって 𝑥1 = 3,𝑦1 = 5
ゆえに E�𝟑,𝟓�
平行四辺形 AFBC において,AF�����⃗ = CB�����⃗ であるから
�𝑥2 − 3,𝑦2 − (−2)� = �7 − (−1),− 1 − 4�
よって 𝑥2 − 3 = 8,𝑦2 + 2 = −5
したがって 𝑥2 = 11,𝑦2 = −7
ゆえに F�𝟏𝟏,− 𝟕�
(教科書 p.62) 0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) について,次のことが成り立つ。
ベクトルの平行条件
�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ のとき
𝒂��⃗ ∥ 𝒃��⃗ ⇔ (𝒃𝟏, 𝒃𝟐) = 𝒌(𝒂𝟏, 𝒂𝟐) となる実数 𝒌 がある
�⃗� = (1, −2), 𝑏�⃗ = (−3, 𝑦) が平行になるような 𝑦 の値を求めよ。
�⃗�∥ 𝑏�⃗ であるから,𝑘 を実数として
𝑏�⃗ = 𝑘�⃗�
よって �−3,𝑦� = 𝑘�1,− 2�
= �𝑘,− 2𝑘�
したがって −3 = 𝑘,𝑦 = −2𝑘
𝑘 = −3 であるから 𝒚 = 𝟏
�⃗� = (4, 3) と平行で,大きさが 4 であるベクトル 𝑏�⃗ を求めてみよう。
𝑘 を実数として 𝑏�⃗ = 𝑘�⃗� = 𝑘(4, 3) = (4𝑘, 3𝑘) ……①
となり,� 𝑏�⃗ � = �(4𝑘)2 + (3𝑘)2 = 4 を満たす。
これより,25𝑘2 = 16 であるから 𝑘 = ±45
よって,①より求めるベクトルは �165
,125� , �−
165
, −125�
�⃗� = (−2, 2) と平行で,大きさが 3 であるベクトルを求めよ。
求めるベクトルを 𝑏�⃗ とすると,𝑘 を実数として
𝑏�⃗ = 𝑘�⃗� = 𝑘�−2,2� = �−2𝑘,2𝑘� ……①
となり,� 𝑏�⃗ � = �(−2𝑘)2 + (2𝑘)2 = 3 を満たす。
これより,8𝑘2 = 9 であるから 𝑘 = ±3√2
4
よって,①より求めるベクトルは
�−𝟑√𝟐𝟐
,𝟑√𝟐𝟐�,�
𝟑√𝟐𝟐
,−𝟑√𝟐𝟐�
解
3 例題
問21
ベクトルの平行
問22
例 6
問23
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
9
�⃗� = (3, −2), 𝑏�⃗ = (1, −4), 𝑐 = (−1, 2) のとき,�⃗� + 𝑡𝑏�⃗ が 𝑐 と平行になるような実数 𝑡 の値を
求めよ。
��⃗� + 𝑡𝑏�⃗ � ∥ 𝑐 であるから,𝑘 を実数として �⃗� + 𝑡𝑏�⃗ = 𝑘𝑐 と表される。
よって (3, −2) + 𝑡(1, −4) = 𝑘(−1, 2)
(3 + 𝑡,−2 − 4𝑡) = (−𝑘, 2𝑘)
したがって 3 + 𝑡 = −𝑘, −2 − 4𝑡 = 2𝑘
ゆえに 𝑡 = 2
�⃗� = (6, −1), 𝑏�⃗ = (−3, 2), 𝑐 = (1, −1) のとき,�⃗� + 𝑡𝑏�⃗ が 𝑐 と平行になるような実数 𝑡 の値を求
めよ。
��⃗� + 𝑡𝑏�⃗ �∥ 𝑐 であるから,𝑘 を実数として
�⃗� + 𝑡𝑏�⃗ = 𝑘𝑐 と表される。
よって �6,− 1� + 𝑡�−3,2� = 𝑘�1,− 1�
�6 − 3𝑡,− 1 + 2𝑡� = �𝑘,− 𝑘�
したがって 6 − 3𝑡 = 𝑘,− 1 + 2𝑡 = −𝑘
ゆえに 𝒕 = 𝟓
(教科書 p.63) 0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,点 O を始点として,
�⃗� = OA�����⃗ , 𝑏�⃗ = OB�����⃗ となるような点 A, B をとる。このとき,∠AOB = 𝜃を
(㉞ 𝒂��⃗ と 𝒃��⃗ のなす角 )という。
ただし,0° ≦ 𝜃 ≦ 180° とする。
このとき,| �⃗� |� 𝑏�⃗ � cos 𝜃 を �⃗� と 𝑏�⃗ の(㉟ 内積 )といい,(㊱ 𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ )で表す。
内積の定義
2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ のなす角を 𝜃 とすると
𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = | 𝒂��⃗ || 𝒃��⃗ | 𝐜𝐜𝐜𝜽
注意 内積 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ はベクトルではなく実数である。
下の図について,内積 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ を求めてみよう。
(1)
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 30° = 3√3
(2)
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 90° = 0
(3)
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 135° = −3√2
(4)
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 180° = −6
解
4 例題
問24
4 ベクトルの内積
例 7
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
10
右の図の直角三角形 ABC について,次の内積を求めよ。
(1) AB�����⃗ ⋅ AC�����⃗
AB�����⃗ ⋅ AC�����⃗ = 2 × √3 × cos 30° = 𝟑
(2) CA�����⃗ ⋅ CB�����⃗
CA�����⃗ ⋅ CB�����⃗ = √3 × 1 × cos 90° = 𝟎
(3) AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗
AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗ = 2 × 1 × cos 120° = −𝟏
(4) AB�����⃗ ⋅ CA�����⃗
AB�����⃗ ⋅ CA�����⃗ = 2 × √3 × cos 150° = −𝟑
𝜃 = 90° のとき,�⃗� と 𝑏�⃗ は(㊲ 垂直 )であるといい(㊳ 𝒂��⃗ ⊥ 𝒃��⃗ )と書く。
ベクトルの垂直と内積
�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ のとき
𝒂��⃗ ⊥ 𝒃��⃗ ⇔ 𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = 𝟎
基本ベクトル 𝑒1���⃗ , 𝑒2���⃗ について,𝑒1���⃗ ⋅ 𝑒2���⃗ を求めよ。
𝑒1���⃗ ⊥ 𝑒2���⃗ であるから 𝒆𝟏����⃗ ⋅ 𝒆𝟐����⃗ = 𝟎
内積の性質[1]
□1 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ ⋅ �⃗�
□2 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |2, | �⃗� | = √�⃗� ⋅ �⃗�
□3 � �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � ≦ | �⃗� |� 𝑏�⃗ �
0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,次のことを証明せよ。
�⃗� ∥ 𝑏�⃗ ならば �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � または �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −| �⃗� |� 𝑏�⃗ �
�⃗� と 𝑏�⃗ のなす角を 𝜃 とすると
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � cos𝜃
�⃗�∥ 𝑏�⃗ であるから 𝜃 = 0° または 𝜃 = 180° よって cos 𝜃 = 1 または cos𝜃 = −1
ゆえに
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � または �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −| �⃗� |� 𝑏�⃗ �
(教科書 p.65)
内積と成分
�⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) のとき
𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐
注意 この式は,�⃗� = 0�⃗ または 𝑏�⃗ = 0�⃗ のときも成り立つ。
�⃗� = (2, 3), 𝑏�⃗ = (−1, 4) のとき,�⃗� と 𝑏�⃗ の内積は
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2 × (−1) + 3 × 4 = 10
次のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ の内積を求めよ。
(1) �⃗� = (−2, 3), 𝑏�⃗ = (5, 4)
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −2 × 5 + 3 × 4 = 𝟐
(2) �⃗� = �√3 − 1, √2�, 𝑏�⃗ = �√3 + 1, −√2�
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = �√3 − 1� × �√3 + 1� + √2 × �−√2� = 𝟎
問25
問26
問27
内積と成分
例 8
問28
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
11
(教科書 p.66)
0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) のなす角を 𝜃 とすると,
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � cos𝜃 より,cos 𝜃 の値は次のようになる。
(㊴ 𝐜𝐜𝐜𝜽 = 𝒂��⃗ ⋅𝒃��⃗
| 𝒂��⃗ |� 𝒃��⃗ �= 𝒂𝟏𝒃𝟏+𝒂𝟐𝒃𝟐
�𝒂𝟏𝟐+𝒂𝟐𝟐�𝒃𝟏𝟐+𝒃𝟐
𝟐 ただし,0° ≦ 𝜃 ≦ 180° )
ベクトル �⃗� = (4, 2), 𝑏�⃗ = (−3, 1) のなす角 𝜃 を求めてみよう。
cos 𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗
| �⃗� |� 𝑏�⃗ �=
4 × (−3) + 2 × 1
√42 + 22�(−3)2 + 12= −
1√2
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから,𝜃 = 135° である。
次のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。
(1) �⃗� = (3, 0), 𝑏�⃗ = �−1, √3�
cos𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗
| �⃗� |� 𝑏�⃗ �
=3 × (−1) + 0 × √3
√32 + 02�(−1)2 + �√3�2
=−3
3 × 2= −
12
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°
(2) �⃗� = (1, −2), 𝑏�⃗ = (3, −1)
cos𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗
| �⃗� |� 𝑏�⃗ �
=1 × 3 + (−2) × (−1)
�12 + (−2)2�32 + (−1)2
=5
√5 × √10=
1√2
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟒𝟓°
とくに,0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ について,次のことが成り立つ。
(㊵ 𝒂��⃗ ⊥ 𝒃��⃗ ⇔ 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝟎 )
次のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ が垂直になるような 𝑥, 𝑦 の値を求めよ。
(1) �⃗� = (−3, 1), 𝑏�⃗ = (𝑥, 6)
�⃗� ⊥ 𝑏�⃗であるから �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0
−3 × 𝑥 + 1 × 6 = 0
よって −3𝑥 + 6 = 0
ゆえに 𝒙 = 𝟐
(2) �⃗� = (2, 𝑦), 𝑏�⃗ = (8, −𝑦)
�⃗� ⊥ 𝑏�⃗ であるから �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0
2 × 8 + 𝑦 × (−𝑦) = 0
よって 16 − 𝑦2 = 0
ゆえに 𝒚 = 𝟒,− 𝟒
�⃗� = (2, 1) に垂直で,大きさが 5 のベクトル 𝑏�⃗ を求めよ。
𝑏�⃗ = (𝑥, 𝑦) とすると
�⃗� ⊥ 𝑏�⃗ より,�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0 であるから 2𝑥 + 𝑦 = 0 ……①
� 𝑏�⃗ � = 5 より,� 𝑏�⃗ �2
= 25 であるから 𝑥2 + 𝑦2 = 25 ……②
①,②から 𝑦 を消去して 𝑥2 = 5
したがって 𝑥 = ±√5
𝑥 = √5 のとき 𝑦 = −2√5
𝑥 = −√5 のとき 𝑦 = 2√5
よって,求めるベクトル 𝑏�⃗ は �√5, −2√5�, �−√5, 2√5�
ベクトルのなす角
例 9
問29
問30
解
5 例題
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
12
�⃗� = (−4, 3) に垂直な単位ベクトルを求めよ。
求める単位ベクトルを 𝑒 = �𝑥,𝑦� とすると
�⃗� ⊥ 𝑒 より,�⃗� ⋅ 𝑒 = 0 であるから
−4𝑥 + 3𝑦 = 0 ……①
| 𝑒 | = 1 より,| 𝑒 |2 = 1 であるから
𝑥2 + 𝑦2 = 1 ……②
①,②から 𝑦 を消去して 𝑥2 =9
25
したがって 𝑥 = ±35
𝑥 =35のとき 𝑦 =
45
𝑥 = −35のとき 𝑦 = −
45
よって,求める単位ベクトル 𝑒 は
�𝟑𝟓,𝟒𝟓�, �−
𝟑𝟓,−
𝟒𝟓�
(教科書 p.67)
ベクトルの内積について,さらに,次の性質が成り立つ。
内積の性質[2]
□4 (𝑘�⃗�) ⋅ 𝑏�⃗ = 𝑘��⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ �𝑘𝑏�⃗ � 𝑘 は実数
□5 �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑐
□6 ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ 𝑐 = �⃗� ⋅ 𝑐 + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑐
□5 を証明する。�⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2), 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2)
とすると,𝑏�⃗ + 𝑐 = (𝑏1 + 𝑐1, 𝑏2 + 𝑐2) であるから
�⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + 𝑐� = 𝑎1(𝑏1 + 𝑐1) + 𝑎2(𝑏2 + 𝑐2) = 𝑎1𝑏1 + 𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑐2
= (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2) + (𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2) = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑐
よって �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑐
内積の性質[2]の□4 ,□6 を証明せよ。
�⃗� = �𝑎1,𝑎2�,𝑏�⃗ = �𝑏1,𝑏2�,𝑐 = �𝑐1,𝑐2�とする。
□4 𝑘�⃗� = �𝑘𝑎1,𝑘𝑎2� であるから
(𝑘�⃗�) ⋅ 𝑏�⃗ = (𝑘𝑎1)𝑏1 + (𝑘𝑎2)𝑏2 = 𝑘𝑎1𝑏1 + 𝑘𝑎2𝑏2
𝑘��⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � = 𝑘(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2) = 𝑘𝑎1𝑏1 + 𝑘𝑎2𝑏2
𝑘𝑏�⃗ = �𝑘𝑏1,𝑘𝑏2� であるから
�⃗� ⋅ �𝑘𝑏�⃗ � = 𝑎1𝑘𝑏1 + 𝑎2𝑘𝑏2 = 𝑘𝑎1𝑏1 + 𝑘𝑎2𝑏2
よって (𝑘�⃗�) ⋅ 𝑏�⃗ = 𝑘��⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ �𝑘𝑏�⃗ �
□6 �⃗� + 𝑏�⃗ = �𝑎1 + 𝑏1,𝑎2 + 𝑏2� であるから
��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ 𝑐 = (𝑎1 + 𝑏1)𝑐1 + (𝑎2 + 𝑏2)𝑐2 = 𝑎1𝑐1 + 𝑏1𝑐1 + 𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑐2
= (𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2) + (𝑏1𝑐1 + 𝑏2𝑐2)
= �⃗� ⋅ 𝑐 + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑐
よって ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ 𝑐 = �⃗� ⋅ 𝑐 + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑐
�⃗� ⋅ �𝑏�⃗ − 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑐 を証明せよ。
内積の性質□4 ,□5 を用いる。
�⃗� ⋅ �𝑏�⃗ − 𝑐� = �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + (−𝑐)�
= �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ (−𝑐)
= �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑐
よって �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ − 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑐
問31
内積の性質
証明
問32
問33
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
13
� �⃗� − 𝑏�⃗ �2
= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
を示してみよう。
� �⃗� − 𝑏�⃗ �2
= ��⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � − 𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ �
= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 𝑏�⃗ ⋅ �⃗� + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗
= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗
= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,次の等式を証明せよ。
(1) � �⃗� + 𝑏�⃗ �2
= | �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
� �⃗� + 𝑏�⃗ �2
= ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� + 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� + 𝑏�⃗ �
= �⃗� ⋅ �⃗� + �⃗� ∙ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ �⃗� + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗
= �⃗� ⋅ �⃗� + �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗
= | �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
(2) ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = | �⃗� |2 − � 𝑏�⃗ �2
��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � + 𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ �
= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ �⃗� − 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗
= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗
= | �⃗� |2 − � 𝑏�⃗ �2
| �⃗� | = 2, � 𝑏�⃗ � = 3, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 4 のとき,� �⃗� + 2𝑏�⃗ � の値を求めよ。
� �⃗� + 2𝑏�⃗ �2
= ��⃗� + 2𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� + 2𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� + 2𝑏�⃗ � + 2𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� + 2𝑏�⃗ �
= | �⃗� |2 + 4�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 4� 𝑏�⃗ �2
= 22 + 4 × 4 + 4 × 32 = 56
� �⃗� + 2𝑏�⃗ � ≧ 0 であるから
� �⃗� + 2𝑏�⃗ � = √56 = 2√14
| �⃗� | = 1, � 𝑏�⃗ � = 3, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −1 のとき,� 3�⃗� − 𝑏�⃗ � の値を求めよ。
� 3�⃗� − 𝑏�⃗ �2
= �3�⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ �3�⃗� − 𝑏�⃗ � = 3�⃗� ⋅ �3�⃗� − 𝑏�⃗ � − 𝑏�⃗ ⋅ �3�⃗� − 𝑏�⃗ �
= 9| �⃗� |2 − 6�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
= 9 × 12 − 6 × (−1) + 32
= 24
� 3�⃗� − 𝑏�⃗ � ≧ 0 であるから
� 3�⃗� − 𝑏�⃗ � = √24 = 𝟐√𝟏
| �⃗� | = 2, � 𝑏�⃗ � = 1 で,�⃗� − 𝑏�⃗ と 2�⃗� + 5𝑏�⃗ が垂直であるとき,�⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。
�⃗� − 𝑏�⃗ と 2�⃗� + 5𝑏�⃗ が垂直であるから,次の式が成り立つ。
��⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ �2�⃗� + 5𝑏�⃗ � = 0
したがって 2�⃗� ⋅ �⃗� + 5�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 5𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗ = 0
2| �⃗� |2 + 3�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 5� 𝑏�⃗ �2
= 0
ここで,| �⃗� | = 2, � 𝑏�⃗ � = 1, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2 × 1 × cos𝜃 であるから
2 × 22 + 3 × 2 × 1 × cos𝜃 − 5 × 12 = 0
よって 3 + 6 cos𝜃 = 0
これより cos𝜃 = −12
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから
𝜃 = 120°
例 10
問34
問35
解
6 例題
解
7 例題 応 用
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
14
| �⃗� | = √2, � 𝑏�⃗ � = 3 で,�⃗� − 𝑏�⃗ と 6�⃗� − 𝑏�⃗ が垂直であるとき,�⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。
�⃗� − 𝑏�⃗ と 6�⃗� − 𝑏�⃗ が垂直であるから,次の式が成り立つ。
��⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ �6�⃗� − 𝑏�⃗ � = 0
したがって
6�⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 6�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗ = 0
6| �⃗� |2 − 7�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
= 0
ここで, | �⃗� | = √2,� 𝑏�⃗ � = 3,
�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = √2 × 3 × cos𝜃 であるから
6 × �√2�2− 7 × √2 × 3 × cos𝜃 + 32 = 0
よって 21 − 21√2 cos 𝜃 = 0
これより cos 𝜃 =1√2
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟒𝟓°
問36
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
15
(教科書 p.69)
1 △ ABC の辺 AB, AC を 𝑚 ∶ 𝑛 に内分する点をそれぞれ P, Q とするとき,
次の問に答えよ。
(1) PQ�����⃗ を AB�����⃗ , AC�����⃗ を用いて表せ。
AP�����⃗ =𝑚
𝑚 + 𝑛AB�����⃗ ,AQ�����⃗ =
𝑚𝑚 + 𝑛
AC�����⃗
よって
PQ�����⃗ = AQ�����⃗ − AP�����⃗ =𝒎
𝒎 + 𝒏𝐀𝐀�����⃗ −
𝒎𝒎 + 𝒏
𝐀𝐀�����⃗
(2) PQ�����⃗ ∥ BC�����⃗ となることを示せ。
(1)より
PQ�����⃗ =𝑚
𝑚 + 𝑛�AC�����⃗ − AB�����⃗ � =
𝑚𝑚 + 𝑛
BC�����⃗
PQ�����⃗ が BC�����⃗ の実数倍で表されるから
PQ�����⃗ ∥ BC�����⃗
2 �⃗� = �√3, −1� と反対向きの単位ベクトルを成分表示せよ。
| �⃗� | = ��√3�2
+ (−1)2 = 2
よって,求める単位ベクトルは
−�⃗�
| �⃗� |= −
12�⃗� = �−
√𝟑𝟐
,𝟏𝟐�
3 �⃗� = (6, −2), �⃗� = (0, 2), �⃗� = �⃗� + 𝑡�⃗� とするとき,次の問に答えよ。
ただし,𝑡 は実数とする。
(1) | �⃗� | = 10 となるような 𝑡 の値を求めよ。
�⃗� = �⃗� + 𝑡𝑏�⃗ = �6,− 2� + 𝑡�0,2�
= �6,− 2 + 2𝑡� | �⃗� | = 10 より,| �⃗� |2 = 102 であるから
62 + (−2 + 2𝑡)2 = 102
𝑡2 − 2𝑡 − 15 = 0
よって 𝒕 = −𝟑,𝟓
(2) | �⃗� | の最小値を求めよ。また,そのときの 𝑡 の値を求めよ。
| �⃗� |2 = 62 + (−2 + 2𝑡)2
= 4𝑡2 − 8𝑡 + 40 = 4(𝑡 − 1)2 + 36
𝑡 = 1 のとき,| �⃗� |2 は最小値 36 をとるから
𝒕 = 𝟏 のとき,| �⃗� | は最小値 𝟏 をとる。
問 題
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
16
4 1 辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF について,次の内積を求めよ。
(1) AB�����⃗ ⋅ AF�����⃗ (2) AC�����⃗ ⋅ AE�����⃗
(3) AC�����⃗ ⋅ AF�����⃗ (4) AC�����⃗ ⋅ CE����⃗
(5) BE�����⃗ ⋅ CF����⃗
� AC�����⃗ �,� AE�����⃗ �,� CE����⃗ � を求める。
� AC�����⃗ � = � AB�����⃗ + BC�����⃗ �
両辺を 2 乗して
� AC�����⃗ �2
= � AB�����⃗ �2
+ 2AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗ + � BC�����⃗ �2
ここで AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗ = 1 × 1 × cos 60° =12
よって � AC�����⃗ �2
= 12 + 2 ×12
+ 12 = 3
したがって � AC�����⃗ � = √3
同様に � AE�����⃗ � = � CE����⃗ � = √3
(1) AB�����⃗ ⋅ AF�����⃗ = 1 × 1 × cos 120° = −𝟏𝟐
(2) AC�����⃗ ⋅ AE�����⃗ = √3 × √3 × cos 60° =𝟑𝟐
(3) AC�����⃗ ⊥ AF�����⃗ より AC�����⃗ ⋅ AF�����⃗ = 𝟎
(4) AC�����⃗ ⋅ CE����⃗ = √3 × √3 × cos 120° = −𝟑𝟐
(5) BE�����⃗ ⋅ CF����⃗ = 2 × 2 × cos 60° = 𝟐
5 次のそれぞれの場合について,ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。
(1) | �⃗� | = 3, � 𝑏�⃗ � = 4, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 6
cos𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗
| �⃗� |� 𝑏�⃗ �=
63 × 4
=12
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟏𝟎°
(2) | �⃗� | = √2, � �⃗� − 2𝑏�⃗ � = √10, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2
� �⃗� − 2𝑏�⃗ �2
= �√10�2
| �⃗� |2 − 4�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 4� 𝑏�⃗ �2
= 10
| �⃗� | = √2,�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2 であるから
�√2�2− 4 × 2 + 4� 𝑏�⃗ �
2= 10
よって � 𝑏�⃗ � = 2
ゆえに cos 𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗
| �⃗� |� 𝑏�⃗ �=
2√2 × 2
=1√2
0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟒𝟓°
6 | �⃗� | = 2, | �⃗� | = 3, | �⃗� + �⃗� | = √17 のとき,次の問に答えよ。
(1) �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ の値を求めよ。
� �⃗� + 𝑏�⃗ �2
= | �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
�√17�2
= 22 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 32 よって 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 4
ゆえに 𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = 𝟐
(2) � �⃗� − 𝑏�⃗ � の値を求めよ。
� �⃗� − 𝑏�⃗ �2
= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
= 22 − 2 × 2 + 32
= 9
ゆえに � 𝒂��⃗ − 𝒃��⃗ � = 𝟑
数学 B Advanced 2章「ベクトル」
17
(3) �⃗� + 𝑡𝑏�⃗ と �⃗� − 𝑏�⃗ が垂直になるような実数 𝑡 の値を求めよ。
�⃗� + 𝑡𝑏�⃗と�⃗� − 𝑏�⃗が垂直になるから
��⃗� + 𝑡𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = 0
| �⃗� |2 − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑡�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 𝑡� 𝑏�⃗ �2
= 0
よって 22 − 2 + 2𝑡 − 32𝑡 = 0
ゆえに 𝒕 =𝟐𝟕
7 0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ について,� �⃗� + 𝑏�⃗ � = � �⃗� − 𝑏�⃗ � ならば,�⃗� ⊥ 𝑏�⃗ であることを証明せ
よ。
� �⃗� + 𝑏�⃗ � = � �⃗� − 𝑏�⃗ � より
� �⃗� + 𝑏�⃗ �2
= � �⃗� − 𝑏�⃗ �2
| �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2
よって �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0
�⃗� ≠ 0�⃗ ,𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ であるから �⃗� ⊥ 𝑏�⃗