1 平面上のベクトル...数学b advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50)...

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書 p.50平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ いた線分を( 有向線分 )という。 線分 AB の長さを有向線分 AB の( 大きさ )または長さ という。 また,有向線分 AB において,A を( 始点 ),B を( 終点 )という。 有向線分について,その位置を問題にせず,向きと大きさだけに着目したものを ベクトル )という。 有向線分 AB の表すベクトルを,( )と書く。 そして,有向線分 AB の長さをベクトル AB の( 大きさ )といい,( )で 表す。 (教科書 p.512 つのベクトル , の向きと大きさが一致するとき,これらのベク トルは( 等しい )といい, = と表す。 右の平行四辺形で,次のベクトルのうち互いに 等しいものを答えよ。 AD BA BC CD 右の図より AD = BC BA = CD よって ①と③,②と④ (教科書 p.51ベクトル と大きさが同じで,向きが反対のベクトルを 逆ベクトル )といい,( )で表す。 右の図の中で,等しいベクトルを答えよ。 また,互いに逆ベクトルであるものを答えよ。 右の図より = = よって 等しいベクトルは 互いに逆ベクトルで あるものは 始点と終点の一致したベクトル AA は大きさが 0 のベクトルと考えられる。このベクトルを 零ベクトル )といい,( 0 )で表す。 平面上のベクトル 1 ベクトルの意味 有向線分とベクトル ベクトルの相等 問1 逆ベクトルと零ベクトル 問2

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Page 1: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

1

(教科書 p.50)

平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB

に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

いた線分を(① 有向線分 )という。

線分 AB の長さを有向線分 AB の(② 大きさ )または長さ

という。

また,有向線分 AB において,A を(③ 始点 ),B を(④ 終点 )という。

有向線分について,その位置を問題にせず,向きと大きさだけに着目したものを

(⑤ ベクトル )という。

有向線分 AB の表すベクトルを,(⑥ 𝐀𝐀�����⃗ )と書く。

そして,有向線分 AB の長さをベクトル AB�����⃗ の(⑦ 大きさ )といい,(⑧ � 𝐀𝐀�����⃗ � )で

表す。

(教科書 p.51)

2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ の向きと大きさが一致するとき,これらのベク

トルは(⑨ 等しい )といい, �⃗� = 𝑏�⃗ と表す。

右の平行四辺形で,次のベクトルのうち互いに

等しいものを答えよ。

① AD�����⃗ ② BA�����⃗

③ BC�����⃗ ④ CD�����⃗ 右の図より

AD�����⃗ = BC�����⃗

BA�����⃗ = CD�����⃗ よって

①と③,②と④

(教科書 p.51)

ベクトル �⃗� と大きさが同じで,向きが反対のベクトルを 𝑎 ���⃗ の

(⑩ 逆ベクトル )といい,(⑪ −𝒂��⃗ )で表す。

右の図の中で,等しいベクトルを答えよ。

また,互いに逆ベクトルであるものを答えよ。

右の図より

𝑑 = 𝑓,𝑏�⃗ = −𝑒 よって

等しいベクトルは

𝒅 ���⃗ と 𝒇�⃗ 互いに逆ベクトルで

あるものは 𝒃��⃗ と 𝒆�⃗

始点と終点の一致したベクトル AA�����⃗ は大きさが 0 のベクトルと考えられる。このベクトルを

(⑫ 零ベクトル )といい,(⑬ 0�⃗ )で表す。

1 節 平面上のベクトル

1 ベクトルの意味

有向線分とベクトル

ベクトルの相等

問1

逆ベクトルと零ベクトル

問2

Page 2: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

2

(教科書 p.52)

ベクトル 𝑎���⃗ , 𝑏�⃗ に対して,1 つの点 A をとり

�⃗� = AB�����⃗ , 𝑏�⃗ = BC�����⃗ となるように点 B, C をとる。このとき,

AC ������⃗ を �⃗� と 𝑏�⃗ の(⑭ 和 )といい

(⑮ 𝒂��⃗ + 𝒃��⃗ )

と表す。すなわち

AB�����⃗ + BC�����⃗ = AC�����⃗

右の図において,次のベクトルを図示せよ。

(1) �⃗� + 𝑏�⃗

(2) 𝑐 + �⃗�

(3) �⃗� + 𝑑

(4) 𝑏�⃗ + 𝑐

ベクトルの加法については,次のことが成り立つ。

ベクトルの加法

□1 �⃗� + 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ + �⃗� 交換法則

□2 ��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑐 = �⃗� + �𝑏�⃗ + 𝑐� 結合法則

□3 �⃗� + 0�⃗ = �⃗�

□4 �⃗� + (−�⃗�) = 0�⃗

□1 を証明する。ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,平面上に点 A をとり,

�⃗� = AB�����⃗ , 𝑏�⃗ = AD�����⃗ となるように点 B, D をとる。下の図のように

平行四辺形 ABCD をつくると

�⃗� + 𝑏�⃗ = AB�����⃗ + AD�����⃗ = AB�����⃗ + BC�����⃗ = AC�����⃗

𝑏�⃗ + �⃗� = AD�����⃗ + AB�����⃗ = AD�����⃗ + DC�����⃗ = AC�����⃗

であるから,�⃗� + 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ + �⃗� が成り立つ。

右の図を用いて,上の法則□2 が成り立つことを確かめよ。

右の図より

��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑐 = �AB�����⃗ + BC�����⃗ � + CD�����⃗

= AC�����⃗ + CD�����⃗

= AD�����⃗ 一方

�⃗� + �𝑏�⃗ + 𝑐� = AB�����⃗ + �BC�����⃗ + CD�����⃗ �

= AB�����⃗ + BD�����⃗

= AD�����⃗

ゆえに ��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑐 = �⃗� + �𝑏�⃗ + 𝑐� すなわち,結合法則が成り立つ。

平面上に 3 点 A, B, C がある。このとき,AB�����⃗ + BC�����⃗ + CA�����⃗ = 0�⃗ が成り立つことを示せ。

AB�����⃗ + BC�����⃗ + CA�����⃗ = AC�����⃗ + CA�����⃗

= AA�����⃗

= 0�⃗

2 ベクトルの加法・減法・実数倍

ベクトルの加法

問3

証明

問4

問5

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

3

(教科書 p.53)

ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,1 つの点 O をとり,�⃗� = OA�����⃗ , 𝑏�⃗ = OB�����⃗ となる

2 点 A, B をとるとOB�����⃗ + BA�����⃗ = OA�����⃗ である。このとき,ベクトルBA�����⃗ を �⃗� と

𝑏�⃗ の(⑯ 差 )といい

(⑰ 𝒂��⃗ − 𝒃��⃗ )

と表す。すなわち

(⑱ 𝐎𝐀������⃗ − 𝐎𝐀������⃗ = 𝐀𝐀�����⃗ )

右の図において,次のベクトルを図示せよ。

(1) �⃗� − 𝑏�⃗

(2) 𝑐 − �⃗�

(3) �⃗� − 𝑑

右の図の平行四辺形において,次のベクトルの差を求めよ。

(1) AD�����⃗ − AB�����⃗

AD�����⃗ − AB�����⃗ = 𝐀𝐁������⃗

(2) AD�����⃗ − CD�����⃗

AD�����⃗ − CD�����⃗ = AD�����⃗ + DC�����⃗ = 𝐀𝐀�����⃗

(3) AD�����⃗ − DC�����⃗

AD�����⃗ − DC�����⃗ = AD�����⃗ + CD�����⃗ = BC�����⃗ + CD�����⃗ = 𝐀𝐁������⃗

(教科書 p.54) ベクトル �⃗� と実数 𝑘 に対して,�⃗� の 𝑘 倍(⑲ 𝒌𝒂��⃗ )を次のように定義する。

(i) �⃗� ≠ 0�⃗ のとき, 𝑘�⃗� は

𝑘 > 0 ならば,�⃗� と同じ向きで,大きさが 𝑘 倍のベクトル

𝑘 < 0 ならば,�⃗� と反対の向きで,大きさが | 𝑘 | 倍のベクトル

𝑘 = 0 ならば,0�⃗ すなわち 0�⃗� = 0�⃗

(ii) �⃗� = 0�⃗ のとき,任意の実数 𝑘 に対して 𝑘0�⃗ = 0�⃗

ベクトル �⃗� に対して,2�⃗� は �⃗� と同じ向きで大きさが 2 倍のベク

トルである。

−13�⃗�は �⃗�と反対の向きで大きさが

13倍のベクトルである。

右の図のように �⃗�, 𝑏�⃗ が与えられたとき,次のベクトルを図示せよ。

(1) −12�⃗� (2) �⃗� + 3𝑏�⃗

(3) – �⃗� + 2𝑏�⃗ (4) 32�⃗� − 𝑏�⃗

注意 1𝑘�⃗� を

𝑎 ���⃗𝑘

と書くことがある。

大きさが 1 のベクトルを(⑳ 単位ベクトル )という。

一般に,�⃗� ≠ 0�⃗ のとき,�⃗� と同じ向きの単位ベクトルを 𝑒 ��⃗ とすると,次のよ

うになる。

(㉑ 𝒆�⃗ = 𝒂��⃗| 𝒂��⃗ |

ベクトルの減法

問6

問7

ベクトルの実数倍

例 1

問8

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

4

| �⃗� | = 3 のとき,�⃗� と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

�⃗� と同じ向きの単位ベクトルを 𝑒 とすると

𝑒 =�⃗�

| �⃗� |=𝟏𝟑𝒂��⃗

実数 𝑘, 𝑙 に対して,次の法則が成り立つ。

ベクトルの実数倍

□1 𝒌(𝒍𝒂��⃗ ) = (𝒌𝒍)𝒂��⃗

□2 (𝒌 + 𝒍)𝒂��⃗ = 𝒌𝒂��⃗ + 𝒍𝒂��⃗

□3 𝒌�𝒂��⃗ + 𝒃��⃗ � = 𝒌𝒂��⃗ + 𝒌𝒃��⃗

次の図を用いて,上の□3 が成り立つことを確かめよ。

A′B′��������⃗ = 𝑘AB�����⃗ ,B′C′��������⃗ = 𝑘BC�����⃗ ,A′C′�������⃗ = 𝑘AC�����⃗ であるから

𝑘��⃗� + 𝑏�⃗ � = 𝑘AC�����⃗ = A′C′�������⃗

= A′B′��������⃗ + B′C′�������⃗

= 𝑘AB�����⃗ + 𝑘BC�����⃗

= 𝑘�⃗� + 𝑘𝑏�⃗

2��⃗� − 4𝑏�⃗ � + 3�2�⃗� + 3𝑏�⃗ � = 2�⃗� − 8𝑏�⃗ + 6�⃗� + 9𝑏�⃗

= (2 + 6)�⃗� + (−8 + 9)𝑏�⃗ = 8�⃗� + 𝑏�⃗

次を計算せよ。

(1) 3�⃗� + 4�⃗� − 2�⃗�

= (3 + 4 − 2)�⃗� = 𝟓𝒂��⃗

(2) 3��⃗� + 2𝑏�⃗ � − 5�2�⃗� − 𝑏�⃗ �

= 3�⃗� + 6𝑏�⃗ − 10�⃗� + 5𝑏�⃗

= (3 − 10)�⃗� + (6 + 5)𝑏�⃗

= −𝟕𝒂��⃗ + 𝟏𝟏𝒃��⃗

次の式を満たす �⃗� を �⃗�, 𝑏�⃗ で表せ。

(1) �⃗� − 3𝑏�⃗ = −2�⃗� + 9�⃗�

�⃗� − 3𝑏�⃗ = −2�⃗� + 9�⃗�

�⃗� + 2�⃗� = 9�⃗� + 3𝑏�⃗

(1 + 2)�⃗� = 9�⃗� + 3𝑏�⃗

3�⃗� = 9�⃗� + 3𝑏�⃗

𝒙��⃗ = 𝟑𝒂��⃗ + 𝒃��⃗

(2) 3(�⃗� − 2�⃗�) − 2��⃗� − 4𝑏�⃗ � = 2�⃗� − 4𝑏�⃗ − 3�⃗�

3(�⃗� − 2�⃗�) − 2��⃗� − 4𝑏�⃗ � = 2�⃗� − 4𝑏�⃗ − 3�⃗�

3�⃗� − 6�⃗� − 2�⃗� + 8𝑏�⃗ = 2�⃗� − 4𝑏�⃗ − 3�⃗�

(3 − 2 + 3)�⃗� = (2 + 6)�⃗� + (−4 − 8)𝑏�⃗

4�⃗� = 8�⃗� − 12𝑏�⃗

𝒙��⃗ = 𝟐𝒂��⃗ − 𝟑𝒃��⃗

(教科書 p.56)

0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ が,同じ向きまたは反対向きであると

き,�⃗� と 𝑏�⃗ は(㉒ 平行 )であるといい,(㉓ 𝒂��⃗ ∥ 𝒃��⃗ )と

書く。

ベクトルの平行の定義と実数倍の定義から,次のことがわかる。

ベクトルの平行条件

�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ のとき

𝒂��⃗ ∥ 𝒃��⃗ ⇔ 𝒃��⃗ = 𝒌𝒂��⃗ となる

実数 𝒌 がある

問9

問10

例 2

問11

問12

ベクトルの平行

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

5

右の図で,𝑏�⃗ , 𝑐 を �⃗� で表せ。また,�⃗�, 𝑏�⃗ を 𝑐 で表せ。

𝒃��⃗ = 𝟐𝒂��⃗,𝒄�⃗ = −𝟑𝒂��⃗,𝒂��⃗ = −𝟏𝟑𝒄�⃗,𝒃��⃗ = −

𝟐𝟑𝒄�⃗

(教科書 p.56)

右の図の正六角形 ABCDEF において,AB�����⃗ = �⃗�, AF�����⃗ = 𝑏�⃗ とするとき,次

のベクトルを �⃗�, 𝑏�⃗ で表せ。

(1) CE����⃗ (2) BD�����⃗

(1) CE����⃗ = BF����⃗ であるから CE����⃗ = 𝑏�⃗ − �⃗�

(2) 正六角形の中心を O とすると

BD�����⃗ = BE�����⃗ + ED�����⃗ = 2BO�����⃗ + ED�����⃗ = 2AF�����⃗ + AB�����⃗

ゆえに BD�����⃗ = �⃗� + 2𝑏�⃗

例題 1 で,AE�����⃗ , CB�����⃗ , DF�����⃗ をそれぞれ �⃗�, 𝑏�⃗ で表せ。

𝐀𝐀�����⃗ = AB�����⃗ + BE�����⃗ = AB�����⃗ + 2BO�����⃗

= AB�����⃗ + 2AF�����⃗ = 𝒂��⃗ + 𝟐𝒃��⃗

𝐀𝐀�����⃗ = OA�����⃗ = −AO�����⃗ = −�AB�����⃗ + AF�����⃗ �

= −��⃗� + 𝑏�⃗ � = −𝒂��⃗ − 𝒃��⃗

𝐁𝐃�����⃗ = CA�����⃗ = CB�����⃗ + BA�����⃗ = CB�����⃗ − AB�����⃗

= �−�⃗� − 𝑏�⃗ � − �⃗� = −𝟐𝒂��⃗ − 𝒃��⃗

一般に,平面上の 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ について,次のことが成り立つ。

分解の一意性

�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ かつ �⃗� と 𝑏�⃗ が平行でないとき,平面上の任意のベクトル �⃗� は,�⃗� = 𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ の形にただ 1 通りに表される。ただし,𝑘, 𝑙 は実数である。

�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ かつ �⃗� と 𝑏�⃗ が平行でないとき,次のことが成り立つ。

(㉔ 𝒌𝒂��⃗ + 𝒍𝒃��⃗ = 𝒌′𝒂��⃗ + 𝒍′𝒃��⃗ ⇔ 𝒌 = 𝒌′, 𝒍 = 𝒍′ )

とくに (㉕ 𝒌𝒂��⃗ + 𝒍𝒃��⃗ = 𝟎��⃗ ⇔ 𝒌 = 𝒍 = 𝟎 )

注意 �⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ かつ �⃗� と 𝑏�⃗ が平行でないとき,�⃗� と 𝑏�⃗ は(㉖ 𝟏 次独立 )であるとい

う。

(教科書 p.58)

O を原点とする座標平面上で,𝑥 軸および 𝑦 軸の正の向きと同じ向き

の単位ベクトルを,(㉗ 基本ベクトル )といい,それぞれ

(㉘ 𝑒1���⃗ ,𝑒2���⃗ )で表す。

いま,与えられたベクトル �⃗� に対して,�⃗� = OA�����⃗ となる点 A をとり,

その座標を (𝑎1, 𝑎2) とすると,�⃗� は

�⃗� = 𝑎1𝑒1���⃗ + 𝑎2𝑒2���⃗

と表される。

これを �⃗� の(㉙ 基本ベクトル表示 )という。この 𝑎1, 𝑎2 をそれぞれ �⃗� の

(㉚ 𝒙 成分,𝒚 成分 )といい,�⃗� を

(㉛ 𝒂��⃗ = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐) )

と表す。この表し方を,�⃗� の(㉜ 成分表示 )という。

ベクトルの表示

�⃗� = 𝑎1𝑒1���⃗ + 𝑎2𝑒2���⃗ 基本ベクトル表示

�⃗� = (𝑎1, 𝑎2) 成分表示

また,2 つのベクトル �⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) に対して

(㉝ 𝒂��⃗ = 𝒃��⃗ ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 )

�⃗� の大きさ | �⃗� | は,線分 OA の長さであるから,成分表示されたベクトルの大きさは,次のように

なる。

ベクトルの大きさ

�⃗� = (𝑎1, 𝑎2) のとき | 𝒂��⃗ | = �𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐𝟐

基本ベクトル表示が �⃗� = 4𝑒1���⃗ − 3𝑒2���⃗ であるベクトル �⃗� において

�⃗� の成分表示は �⃗� = (4, −3)

�⃗� の大きさは | �⃗� | = �42 + (−3)2 = 5

問13

ベクトルの分解

問14

3 ベクトルの成分

座標とベクトル

例 3

1 例題

Page 6: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

6

右の図のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ , 𝑐, 𝑑 を成分表示し,その大きさを求め

よ。

𝒂��⃗ = �𝟒,𝟐�,| �⃗� | = �42 + 22 = √20 = 𝟐√𝟓

𝒃��⃗ = �𝟐,− 𝟐�,� 𝑏�⃗ � = �22 + (−2)2 = √8 = 𝟐√𝟐

𝒄�⃗ = �−𝟑,𝟎�,| 𝑐 | = �(−3)2 + 02 = √9 = 𝟑

𝒅��⃗ = �𝟎,− 𝟐�,� 𝑑 � = �02 + (−2)2 = √4 = 𝟐

(教科書 p.59)

和,差,実数倍の演算を成分を用いて表すと,次のようになる。

成分による演算

□1 (𝑎1, 𝑎2) + (𝑏1, 𝑏2) = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2)

□2 (𝑎1, 𝑎2) − (𝑏1, 𝑏2) = (𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2)

□3 𝑘(𝑎1, 𝑎2) = (𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2) 𝑘 は実数

�⃗� = (5, 2), 𝑏�⃗ = (3, 4) のとき

�⃗� + 𝑏�⃗ = (5 + 3, 2 + 4) = (8, 6)

3�⃗� − 2𝑏�⃗ = 3(5, 2) − 2(3, 4) = (15, 6) − (6, 8) = (9,−2)

�⃗� = (2, −3), 𝑏�⃗ = (−1, 2) のとき,次のベクトルを成分表示せよ。

(1) �⃗� + 𝑏�⃗

= �2,− 3� + �−1,2�

= �2 − 1,− 3 + 2�

= �𝟏,− 𝟏�

(2) 2�⃗� − 5𝑏�⃗

= 2�2,− 3� − 5�−1,2�

= �4,− 6� − �−5,10�

= �4 + 5,− 6 − 10�

= �𝟗,− 𝟏𝟏�

(3) 3�2�⃗� − 6𝑏�⃗ � − 5(�⃗� − 4𝑏�⃗ )

= 6�⃗� − 18𝑏�⃗ − 5�⃗� + 20𝑏�⃗

= �⃗� + 2𝑏�⃗ = (2 − 3) + 2�−1,2�

= (2 − 3) + �−2,4�

= �2 − 2,− 3 + 4�

= �𝟎,𝟏�

�⃗� = (3, 0), 𝑏�⃗ = (4, −5) のとき,�⃗� − 3�⃗� = 2��⃗� + 𝑏�⃗ � を満たす �⃗� の成分表示を求めよ。

�⃗� − 3�⃗� = 2��⃗� + 𝑏�⃗ �

�⃗� − 3�⃗� = 2�⃗� + 2𝑏�⃗

−5�⃗� = −�⃗� + 2𝑏�⃗

�⃗� =15��⃗� − 2𝑏�⃗ �

=15��3,0� − 2�4,− 5��

=15��3,0� − �8,− 10��

=15�−5,10� = �−𝟏,𝟐�

�⃗� = (2, 1) のとき,�⃗� と同じ向きの単位ベクトルの成分表示を求

めてみよう。

| �⃗� | = �22 + 12 = √5 であるから,求める単位ベクトルは

�⃗�| �⃗� |

=1√5

�⃗� = �2√5

,1√5�

問15

成分による演算

例 4

問16

問17

例 5

Page 7: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

7

�⃗� = (12, −5) と同じ向きの単位ベクトルを成分表示せよ。

| �⃗� | = �122 + (−5)2 = 13

よって,求める単位ベクトルは

�⃗�| �⃗� |

=1

13�⃗� = �

𝟏𝟐𝟏𝟑

,−𝟓𝟏𝟑�

�⃗� = (2, 3), 𝑏�⃗ = (−1, 2) のとき,𝑐 = (5, 4) を 𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ の形で表せ。

𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ = 𝑘(2, 3) + 𝑙(−1, 2) = (2𝑘 − 𝑙, 3𝑘 + 2𝑙)

これが 𝑐 = (5, 4) に等しいから

2𝑘 − 𝑙 = 5, 3𝑘 + 2𝑙 = 4

これを解いて 𝑘 = 2, 𝑙 = −1

ゆえに 𝑐 = 2�⃗� − 𝑏�⃗

�⃗� = (1, 2), 𝑏�⃗ = (1, −1) のとき,次のベクトルを 𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ の形で表せ。

(1) 𝑐 = (5, 1)

𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ = 𝑘�1,2� + 𝑙�1,− 1�

= �𝑘 + 𝑙,2𝑘 − 𝑙�

これが 𝑐 = �5,1� に等しいから

𝑘 + 𝑙 = 5,2𝑘 − 𝑙 = 1

これを解いて 𝑘 = 2,𝑙 = 3

ゆえに 𝒄�⃗ = 𝟐𝒂��⃗ + 𝟑𝒃��⃗

(2) 𝑑 = (0, −3) (1)と同様に

𝑘�⃗� + 𝑙𝑏�⃗ = �𝑘 + 𝑙,2𝑘 − 𝑙�

これが 𝑑 = �0,− 3� に等しいから

𝑘 + 𝑙 = 0,2𝑘 − 𝑙 = −3

これを解いて 𝑘 = −1,𝑙 = 1

ゆえに 𝒅��⃗ = −𝒂��⃗ + 𝒃��⃗

(教科書 p.61)

一般に,2 点 A, B に対して,ベクトル AB�����⃗ の成分表示と大きさは次のようになる。

座標と成分表示

A(𝑎1, 𝑎2), B(𝑏1, 𝑏2) のとき

□1 𝐀𝐀�����⃗ = (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏, 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐)

□2 � 𝐀𝐀�����⃗ � = �(𝒃𝟏 − 𝒂𝟏)𝟐 + (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐)𝟐

3 点 A(−2, 6), B(3, −1), C(3,−4) について,次のベクトルを成分表示し,その大きさを求めよ。

(1) AB�����⃗

𝐀𝐀�����⃗ = �3 − (−2),− 1 − 6�

= �𝟓,− 𝟕�

� 𝐀𝐀�����⃗ � = �52 + (−7)2 = √𝟕𝟒

(2) BC�����⃗

𝐀𝐀�����⃗ = �3 − 3,− 4 − (−1)�

= �𝟎,− 𝟑�

� 𝐀𝐀�����⃗ � = �02 + (−3)2 = √9 = 𝟑

(3) CA�����⃗

𝐀𝐀�����⃗ = �−2 − 3,6 − (−4)�

= �−𝟓,𝟏𝟎�

� 𝐀𝐀�����⃗ � = �(−5)2 + 102 = √125 = 𝟓√𝟓

問18

2 例題

問19

座標と成分表示

問20

Page 8: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

8

平面上に 3 点 A(3, −2), B(7, −1), C(−1, 4) がある。四角形 ABCD が平行四辺形となるよう

な点 D の座標を求めよ。

点 D の座標を(𝑥, 𝑦) とする。四角形 ABCD が平行四辺形となるための条件はAD�����⃗ = BC�����⃗ である

から

�𝑥 − 3, 𝑦 − (−2)� = �−1 − 7, 4 − (−1)�

よって 𝑥 − 3 = −8, 𝑦 + 2 = 5

したがって 𝑥 = −5, 𝑦 = 3

ゆえに D(−5, 3)

例題 3 の 3 点 A, B, C を頂点にもつ平行四辺形は 3 つある。他の 2 つの平行四辺形の残りの頂

点の座標を求めよ。 次の図のような 2 点 E,F を考える。

E�𝑥1,𝑦1�,F�𝑥2,𝑦2� とすると,四角形ABEC,AFBC は平行四辺形になる。

平行四辺形 ABEC において,AB�����⃗ = CE����⃗ であるから

�7 − 3,− 1 − (−2)� = �𝑥1 − (−1),𝑦1 − 4�

よって 𝑥1 + 1 = 4,𝑦1 − 4 = 1

したがって 𝑥1 = 3,𝑦1 = 5

ゆえに E�𝟑,𝟓�

平行四辺形 AFBC において,AF�����⃗ = CB�����⃗ であるから

�𝑥2 − 3,𝑦2 − (−2)� = �7 − (−1),− 1 − 4�

よって 𝑥2 − 3 = 8,𝑦2 + 2 = −5

したがって 𝑥2 = 11,𝑦2 = −7

ゆえに F�𝟏𝟏,− 𝟕�

(教科書 p.62) 0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) について,次のことが成り立つ。

ベクトルの平行条件

�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ のとき

𝒂��⃗ ∥ 𝒃��⃗ ⇔ (𝒃𝟏, 𝒃𝟐) = 𝒌(𝒂𝟏, 𝒂𝟐) となる実数 𝒌 がある

�⃗� = (1, −2), 𝑏�⃗ = (−3, 𝑦) が平行になるような 𝑦 の値を求めよ。

�⃗�∥ 𝑏�⃗ であるから,𝑘 を実数として

𝑏�⃗ = 𝑘�⃗�

よって �−3,𝑦� = 𝑘�1,− 2�

= �𝑘,− 2𝑘�

したがって −3 = 𝑘,𝑦 = −2𝑘

𝑘 = −3 であるから 𝒚 = 𝟏

�⃗� = (4, 3) と平行で,大きさが 4 であるベクトル 𝑏�⃗ を求めてみよう。

𝑘 を実数として 𝑏�⃗ = 𝑘�⃗� = 𝑘(4, 3) = (4𝑘, 3𝑘) ……①

となり,� 𝑏�⃗ � = �(4𝑘)2 + (3𝑘)2 = 4 を満たす。

これより,25𝑘2 = 16 であるから 𝑘 = ±45

よって,①より求めるベクトルは �165

,125� , �−

165

, −125�

�⃗� = (−2, 2) と平行で,大きさが 3 であるベクトルを求めよ。

求めるベクトルを 𝑏�⃗ とすると,𝑘 を実数として

𝑏�⃗ = 𝑘�⃗� = 𝑘�−2,2� = �−2𝑘,2𝑘� ……①

となり,� 𝑏�⃗ � = �(−2𝑘)2 + (2𝑘)2 = 3 を満たす。

これより,8𝑘2 = 9 であるから 𝑘 = ±3√2

4

よって,①より求めるベクトルは

�−𝟑√𝟐𝟐

,𝟑√𝟐𝟐�,�

𝟑√𝟐𝟐

,−𝟑√𝟐𝟐�

3 例題

問21

ベクトルの平行

問22

例 6

問23

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

9

�⃗� = (3, −2), 𝑏�⃗ = (1, −4), 𝑐 = (−1, 2) のとき,�⃗� + 𝑡𝑏�⃗ が 𝑐 と平行になるような実数 𝑡 の値を

求めよ。

��⃗� + 𝑡𝑏�⃗ � ∥ 𝑐 であるから,𝑘 を実数として �⃗� + 𝑡𝑏�⃗ = 𝑘𝑐 と表される。

よって (3, −2) + 𝑡(1, −4) = 𝑘(−1, 2)

(3 + 𝑡,−2 − 4𝑡) = (−𝑘, 2𝑘)

したがって 3 + 𝑡 = −𝑘, −2 − 4𝑡 = 2𝑘

ゆえに 𝑡 = 2

�⃗� = (6, −1), 𝑏�⃗ = (−3, 2), 𝑐 = (1, −1) のとき,�⃗� + 𝑡𝑏�⃗ が 𝑐 と平行になるような実数 𝑡 の値を求

めよ。

��⃗� + 𝑡𝑏�⃗ �∥ 𝑐 であるから,𝑘 を実数として

�⃗� + 𝑡𝑏�⃗ = 𝑘𝑐 と表される。

よって �6,− 1� + 𝑡�−3,2� = 𝑘�1,− 1�

�6 − 3𝑡,− 1 + 2𝑡� = �𝑘,− 𝑘�

したがって 6 − 3𝑡 = 𝑘,− 1 + 2𝑡 = −𝑘

ゆえに 𝒕 = 𝟓

(教科書 p.63) 0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,点 O を始点として,

�⃗� = OA�����⃗ , 𝑏�⃗ = OB�����⃗ となるような点 A, B をとる。このとき,∠AOB = 𝜃を

(㉞ 𝒂��⃗ と 𝒃��⃗ のなす角 )という。

ただし,0° ≦ 𝜃 ≦ 180° とする。

このとき,| �⃗� |� 𝑏�⃗ � cos 𝜃 を �⃗� と 𝑏�⃗ の(㉟ 内積 )といい,(㊱ 𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ )で表す。

内積の定義

2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ のなす角を 𝜃 とすると

𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = | 𝒂��⃗ || 𝒃��⃗ | 𝐜𝐜𝐜𝜽

注意 内積 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ はベクトルではなく実数である。

下の図について,内積 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ を求めてみよう。

(1)

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 30° = 3√3

(2)

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 90° = 0

(3)

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 135° = −3√2

(4)

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 3 × 2 × cos 180° = −6

4 例題

問24

4 ベクトルの内積

例 7

Page 10: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

10

右の図の直角三角形 ABC について,次の内積を求めよ。

(1) AB�����⃗ ⋅ AC�����⃗

AB�����⃗ ⋅ AC�����⃗ = 2 × √3 × cos 30° = 𝟑

(2) CA�����⃗ ⋅ CB�����⃗

CA�����⃗ ⋅ CB�����⃗ = √3 × 1 × cos 90° = 𝟎

(3) AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗

AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗ = 2 × 1 × cos 120° = −𝟏

(4) AB�����⃗ ⋅ CA�����⃗

AB�����⃗ ⋅ CA�����⃗ = 2 × √3 × cos 150° = −𝟑

𝜃 = 90° のとき,�⃗� と 𝑏�⃗ は(㊲ 垂直 )であるといい(㊳ 𝒂��⃗ ⊥ 𝒃��⃗ )と書く。

ベクトルの垂直と内積

�⃗� ≠ 0�⃗ , 𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ のとき

𝒂��⃗ ⊥ 𝒃��⃗ ⇔ 𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = 𝟎

基本ベクトル 𝑒1���⃗ , 𝑒2���⃗ について,𝑒1���⃗ ⋅ 𝑒2���⃗ を求めよ。

𝑒1���⃗ ⊥ 𝑒2���⃗ であるから 𝒆𝟏����⃗ ⋅ 𝒆𝟐����⃗ = 𝟎

内積の性質[1]

□1 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗ ⋅ �⃗�

□2 �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |2, | �⃗� | = √�⃗� ⋅ �⃗�

□3 � �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � ≦ | �⃗� |� 𝑏�⃗ �

0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,次のことを証明せよ。

�⃗� ∥ 𝑏�⃗ ならば �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � または �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −| �⃗� |� 𝑏�⃗ �

�⃗� と 𝑏�⃗ のなす角を 𝜃 とすると

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � cos𝜃

�⃗�∥ 𝑏�⃗ であるから 𝜃 = 0° または 𝜃 = 180° よって cos 𝜃 = 1 または cos𝜃 = −1

ゆえに

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � または �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −| �⃗� |� 𝑏�⃗ �

(教科書 p.65)

内積と成分

�⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) のとき

𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐

注意 この式は,�⃗� = 0�⃗ または 𝑏�⃗ = 0�⃗ のときも成り立つ。

�⃗� = (2, 3), 𝑏�⃗ = (−1, 4) のとき,�⃗� と 𝑏�⃗ の内積は

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2 × (−1) + 3 × 4 = 10

次のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ の内積を求めよ。

(1) �⃗� = (−2, 3), 𝑏�⃗ = (5, 4)

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −2 × 5 + 3 × 4 = 𝟐

(2) �⃗� = �√3 − 1, √2�, 𝑏�⃗ = �√3 + 1, −√2�

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = �√3 − 1� × �√3 + 1� + √2 × �−√2� = 𝟎

問25

問26

問27

内積と成分

例 8

問28

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

11

(教科書 p.66)

0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2) のなす角を 𝜃 とすると,

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = | �⃗� |� 𝑏�⃗ � cos𝜃 より,cos 𝜃 の値は次のようになる。

(㊴ 𝐜𝐜𝐜𝜽 = 𝒂��⃗ ⋅𝒃��⃗

| 𝒂��⃗ |� 𝒃��⃗ �= 𝒂𝟏𝒃𝟏+𝒂𝟐𝒃𝟐

�𝒂𝟏𝟐+𝒂𝟐𝟐�𝒃𝟏𝟐+𝒃𝟐

𝟐 ただし,0° ≦ 𝜃 ≦ 180° )

ベクトル �⃗� = (4, 2), 𝑏�⃗ = (−3, 1) のなす角 𝜃 を求めてみよう。

cos 𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗

| �⃗� |� 𝑏�⃗ �=

4 × (−3) + 2 × 1

√42 + 22�(−3)2 + 12= −

1√2

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから,𝜃 = 135° である。

次のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。

(1) �⃗� = (3, 0), 𝑏�⃗ = �−1, √3�

cos𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗

| �⃗� |� 𝑏�⃗ �

=3 × (−1) + 0 × √3

√32 + 02�(−1)2 + �√3�2

=−3

3 × 2= −

12

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

(2) �⃗� = (1, −2), 𝑏�⃗ = (3, −1)

cos𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗

| �⃗� |� 𝑏�⃗ �

=1 × 3 + (−2) × (−1)

�12 + (−2)2�32 + (−1)2

=5

√5 × √10=

1√2

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟒𝟓°

とくに,0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ について,次のことが成り立つ。

(㊵ 𝒂��⃗ ⊥ 𝒃��⃗ ⇔ 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝟎 )

次のベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ が垂直になるような 𝑥, 𝑦 の値を求めよ。

(1) �⃗� = (−3, 1), 𝑏�⃗ = (𝑥, 6)

�⃗� ⊥ 𝑏�⃗であるから �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0

−3 × 𝑥 + 1 × 6 = 0

よって −3𝑥 + 6 = 0

ゆえに 𝒙 = 𝟐

(2) �⃗� = (2, 𝑦), 𝑏�⃗ = (8, −𝑦)

�⃗� ⊥ 𝑏�⃗ であるから �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0

2 × 8 + 𝑦 × (−𝑦) = 0

よって 16 − 𝑦2 = 0

ゆえに 𝒚 = 𝟒,− 𝟒

�⃗� = (2, 1) に垂直で,大きさが 5 のベクトル 𝑏�⃗ を求めよ。

𝑏�⃗ = (𝑥, 𝑦) とすると

�⃗� ⊥ 𝑏�⃗ より,�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0 であるから 2𝑥 + 𝑦 = 0 ……①

� 𝑏�⃗ � = 5 より,� 𝑏�⃗ �2

= 25 であるから 𝑥2 + 𝑦2 = 25 ……②

①,②から 𝑦 を消去して 𝑥2 = 5

したがって 𝑥 = ±√5

𝑥 = √5 のとき 𝑦 = −2√5

𝑥 = −√5 のとき 𝑦 = 2√5

よって,求めるベクトル 𝑏�⃗ は �√5, −2√5�, �−√5, 2√5�

ベクトルのなす角

例 9

問29

問30

5 例題

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

12

�⃗� = (−4, 3) に垂直な単位ベクトルを求めよ。

求める単位ベクトルを 𝑒 = �𝑥,𝑦� とすると

�⃗� ⊥ 𝑒 より,�⃗� ⋅ 𝑒 = 0 であるから

−4𝑥 + 3𝑦 = 0 ……①

| 𝑒 | = 1 より,| 𝑒 |2 = 1 であるから

𝑥2 + 𝑦2 = 1 ……②

①,②から 𝑦 を消去して 𝑥2 =9

25

したがって 𝑥 = ±35

𝑥 =35のとき 𝑦 =

45

𝑥 = −35のとき 𝑦 = −

45

よって,求める単位ベクトル 𝑒 は

�𝟑𝟓,𝟒𝟓�, �−

𝟑𝟓,−

𝟒𝟓�

(教科書 p.67)

ベクトルの内積について,さらに,次の性質が成り立つ。

内積の性質[2]

□4 (𝑘�⃗�) ⋅ 𝑏�⃗ = 𝑘��⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ �𝑘𝑏�⃗ � 𝑘 は実数

□5 �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑐

□6 ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ 𝑐 = �⃗� ⋅ 𝑐 + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑐

□5 を証明する。�⃗� = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏�⃗ = (𝑏1, 𝑏2), 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2)

とすると,𝑏�⃗ + 𝑐 = (𝑏1 + 𝑐1, 𝑏2 + 𝑐2) であるから

�⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + 𝑐� = 𝑎1(𝑏1 + 𝑐1) + 𝑎2(𝑏2 + 𝑐2) = 𝑎1𝑏1 + 𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑐2

= (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2) + (𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2) = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑐

よって �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑐

内積の性質[2]の□4 ,□6 を証明せよ。

�⃗� = �𝑎1,𝑎2�,𝑏�⃗ = �𝑏1,𝑏2�,𝑐 = �𝑐1,𝑐2�とする。

□4 𝑘�⃗� = �𝑘𝑎1,𝑘𝑎2� であるから

(𝑘�⃗�) ⋅ 𝑏�⃗ = (𝑘𝑎1)𝑏1 + (𝑘𝑎2)𝑏2 = 𝑘𝑎1𝑏1 + 𝑘𝑎2𝑏2

𝑘��⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � = 𝑘(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2) = 𝑘𝑎1𝑏1 + 𝑘𝑎2𝑏2

𝑘𝑏�⃗ = �𝑘𝑏1,𝑘𝑏2� であるから

�⃗� ⋅ �𝑘𝑏�⃗ � = 𝑎1𝑘𝑏1 + 𝑎2𝑘𝑏2 = 𝑘𝑎1𝑏1 + 𝑘𝑎2𝑏2

よって (𝑘�⃗�) ⋅ 𝑏�⃗ = 𝑘��⃗� ⋅ 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ �𝑘𝑏�⃗ �

□6 �⃗� + 𝑏�⃗ = �𝑎1 + 𝑏1,𝑎2 + 𝑏2� であるから

��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ 𝑐 = (𝑎1 + 𝑏1)𝑐1 + (𝑎2 + 𝑏2)𝑐2 = 𝑎1𝑐1 + 𝑏1𝑐1 + 𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑐2

= (𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2) + (𝑏1𝑐1 + 𝑏2𝑐2)

= �⃗� ⋅ 𝑐 + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑐

よって ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ 𝑐 = �⃗� ⋅ 𝑐 + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑐

�⃗� ⋅ �𝑏�⃗ − 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑐 を証明せよ。

内積の性質□4 ,□5 を用いる。

�⃗� ⋅ �𝑏�⃗ − 𝑐� = �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ + (−𝑐)�

= �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ (−𝑐)

= �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑐

よって �⃗� ⋅ �𝑏�⃗ − 𝑐� = �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑐

問31

内積の性質

証明

問32

問33

Page 13: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

13

� �⃗� − 𝑏�⃗ �2

= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

を示してみよう。

� �⃗� − 𝑏�⃗ �2

= ��⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � − 𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ �

= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 𝑏�⃗ ⋅ �⃗� + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗

= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗

= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ に対して,次の等式を証明せよ。

(1) � �⃗� + 𝑏�⃗ �2

= | �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

� �⃗� + 𝑏�⃗ �2

= ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� + 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� + 𝑏�⃗ � + 𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� + 𝑏�⃗ �

= �⃗� ⋅ �⃗� + �⃗� ∙ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ �⃗� + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗

= �⃗� ⋅ �⃗� + �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗

= | �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

(2) ��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = | �⃗� |2 − � 𝑏�⃗ �2

��⃗� + 𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � + 𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ �

= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ �⃗� − 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗

= �⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗

= | �⃗� |2 − � 𝑏�⃗ �2

| �⃗� | = 2, � 𝑏�⃗ � = 3, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 4 のとき,� �⃗� + 2𝑏�⃗ � の値を求めよ。

� �⃗� + 2𝑏�⃗ �2

= ��⃗� + 2𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� + 2𝑏�⃗ � = �⃗� ⋅ ��⃗� + 2𝑏�⃗ � + 2𝑏�⃗ ⋅ ��⃗� + 2𝑏�⃗ �

= | �⃗� |2 + 4�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 4� 𝑏�⃗ �2

= 22 + 4 × 4 + 4 × 32 = 56

� �⃗� + 2𝑏�⃗ � ≧ 0 であるから

� �⃗� + 2𝑏�⃗ � = √56 = 2√14

| �⃗� | = 1, � 𝑏�⃗ � = 3, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = −1 のとき,� 3�⃗� − 𝑏�⃗ � の値を求めよ。

� 3�⃗� − 𝑏�⃗ �2

= �3�⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ �3�⃗� − 𝑏�⃗ � = 3�⃗� ⋅ �3�⃗� − 𝑏�⃗ � − 𝑏�⃗ ⋅ �3�⃗� − 𝑏�⃗ �

= 9| �⃗� |2 − 6�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

= 9 × 12 − 6 × (−1) + 32

= 24

� 3�⃗� − 𝑏�⃗ � ≧ 0 であるから

� 3�⃗� − 𝑏�⃗ � = √24 = 𝟐√𝟏

| �⃗� | = 2, � 𝑏�⃗ � = 1 で,�⃗� − 𝑏�⃗ と 2�⃗� + 5𝑏�⃗ が垂直であるとき,�⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。

�⃗� − 𝑏�⃗ と 2�⃗� + 5𝑏�⃗ が垂直であるから,次の式が成り立つ。

��⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ �2�⃗� + 5𝑏�⃗ � = 0

したがって 2�⃗� ⋅ �⃗� + 5�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 5𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗ = 0

2| �⃗� |2 + 3�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 5� 𝑏�⃗ �2

= 0

ここで,| �⃗� | = 2, � 𝑏�⃗ � = 1, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2 × 1 × cos𝜃 であるから

2 × 22 + 3 × 2 × 1 × cos𝜃 − 5 × 12 = 0

よって 3 + 6 cos𝜃 = 0

これより cos𝜃 = −12

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから

𝜃 = 120°

例 10

問34

問35

6 例題

7 例題 応 用

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数学 B Advanced 2章「ベクトル」

14

| �⃗� | = √2, � 𝑏�⃗ � = 3 で,�⃗� − 𝑏�⃗ と 6�⃗� − 𝑏�⃗ が垂直であるとき,�⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。

�⃗� − 𝑏�⃗ と 6�⃗� − 𝑏�⃗ が垂直であるから,次の式が成り立つ。

��⃗� − 𝑏�⃗ � ⋅ �6�⃗� − 𝑏�⃗ � = 0

したがって

6�⃗� ⋅ �⃗� − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 6�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ ⋅ 𝑏�⃗ = 0

6| �⃗� |2 − 7�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

= 0

ここで, | �⃗� | = √2,� 𝑏�⃗ � = 3,

�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = √2 × 3 × cos𝜃 であるから

6 × �√2�2− 7 × √2 × 3 × cos𝜃 + 32 = 0

よって 21 − 21√2 cos 𝜃 = 0

これより cos 𝜃 =1√2

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟒𝟓°

問36

Page 15: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

15

(教科書 p.69)

1 △ ABC の辺 AB, AC を 𝑚 ∶ 𝑛 に内分する点をそれぞれ P, Q とするとき,

次の問に答えよ。

(1) PQ�����⃗ を AB�����⃗ , AC�����⃗ を用いて表せ。

AP�����⃗ =𝑚

𝑚 + 𝑛AB�����⃗ ,AQ�����⃗ =

𝑚𝑚 + 𝑛

AC�����⃗

よって

PQ�����⃗ = AQ�����⃗ − AP�����⃗ =𝒎

𝒎 + 𝒏𝐀𝐀�����⃗ −

𝒎𝒎 + 𝒏

𝐀𝐀�����⃗

(2) PQ�����⃗ ∥ BC�����⃗ となることを示せ。

(1)より

PQ�����⃗ =𝑚

𝑚 + 𝑛�AC�����⃗ − AB�����⃗ � =

𝑚𝑚 + 𝑛

BC�����⃗

PQ�����⃗ が BC�����⃗ の実数倍で表されるから

PQ�����⃗ ∥ BC�����⃗

2 �⃗� = �√3, −1� と反対向きの単位ベクトルを成分表示せよ。

| �⃗� | = ��√3�2

+ (−1)2 = 2

よって,求める単位ベクトルは

−�⃗�

| �⃗� |= −

12�⃗� = �−

√𝟑𝟐

,𝟏𝟐�

3 �⃗� = (6, −2), �⃗� = (0, 2), �⃗� = �⃗� + 𝑡�⃗� とするとき,次の問に答えよ。

ただし,𝑡 は実数とする。

(1) | �⃗� | = 10 となるような 𝑡 の値を求めよ。

�⃗� = �⃗� + 𝑡𝑏�⃗ = �6,− 2� + 𝑡�0,2�

= �6,− 2 + 2𝑡� | �⃗� | = 10 より,| �⃗� |2 = 102 であるから

62 + (−2 + 2𝑡)2 = 102

𝑡2 − 2𝑡 − 15 = 0

よって 𝒕 = −𝟑,𝟓

(2) | �⃗� | の最小値を求めよ。また,そのときの 𝑡 の値を求めよ。

| �⃗� |2 = 62 + (−2 + 2𝑡)2

= 4𝑡2 − 8𝑡 + 40 = 4(𝑡 − 1)2 + 36

𝑡 = 1 のとき,| �⃗� |2 は最小値 36 をとるから

𝒕 = 𝟏 のとき,| �⃗� | は最小値 𝟏 をとる。

問 題

Page 16: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

16

4 1 辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF について,次の内積を求めよ。

(1) AB�����⃗ ⋅ AF�����⃗ (2) AC�����⃗ ⋅ AE�����⃗

(3) AC�����⃗ ⋅ AF�����⃗ (4) AC�����⃗ ⋅ CE����⃗

(5) BE�����⃗ ⋅ CF����⃗

� AC�����⃗ �,� AE�����⃗ �,� CE����⃗ � を求める。

� AC�����⃗ � = � AB�����⃗ + BC�����⃗ �

両辺を 2 乗して

� AC�����⃗ �2

= � AB�����⃗ �2

+ 2AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗ + � BC�����⃗ �2

ここで AB�����⃗ ⋅ BC�����⃗ = 1 × 1 × cos 60° =12

よって � AC�����⃗ �2

= 12 + 2 ×12

+ 12 = 3

したがって � AC�����⃗ � = √3

同様に � AE�����⃗ � = � CE����⃗ � = √3

(1) AB�����⃗ ⋅ AF�����⃗ = 1 × 1 × cos 120° = −𝟏𝟐

(2) AC�����⃗ ⋅ AE�����⃗ = √3 × √3 × cos 60° =𝟑𝟐

(3) AC�����⃗ ⊥ AF�����⃗ より AC�����⃗ ⋅ AF�����⃗ = 𝟎

(4) AC�����⃗ ⋅ CE����⃗ = √3 × √3 × cos 120° = −𝟑𝟐

(5) BE�����⃗ ⋅ CF����⃗ = 2 × 2 × cos 60° = 𝟐

5 次のそれぞれの場合について,ベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ のなす角 𝜃 を求めよ。

(1) | �⃗� | = 3, � 𝑏�⃗ � = 4, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 6

cos𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗

| �⃗� |� 𝑏�⃗ �=

63 × 4

=12

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟏𝟎°

(2) | �⃗� | = √2, � �⃗� − 2𝑏�⃗ � = √10, �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2

� �⃗� − 2𝑏�⃗ �2

= �√10�2

| �⃗� |2 − 4�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 4� 𝑏�⃗ �2

= 10

| �⃗� | = √2,�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 2 であるから

�√2�2− 4 × 2 + 4� 𝑏�⃗ �

2= 10

よって � 𝑏�⃗ � = 2

ゆえに cos 𝜃 =�⃗� ⋅ 𝑏�⃗

| �⃗� |� 𝑏�⃗ �=

2√2 × 2

=1√2

0° ≦ 𝜃 ≦ 180° であるから 𝜽 = 𝟒𝟓°

6 | �⃗� | = 2, | �⃗� | = 3, | �⃗� + �⃗� | = √17 のとき,次の問に答えよ。

(1) �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ の値を求めよ。

� �⃗� + 𝑏�⃗ �2

= | �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

�√17�2

= 22 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 32 よって 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 4

ゆえに 𝒂��⃗ ⋅ 𝒃��⃗ = 𝟐

(2) � �⃗� − 𝑏�⃗ � の値を求めよ。

� �⃗� − 𝑏�⃗ �2

= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

= 22 − 2 × 2 + 32

= 9

ゆえに � 𝒂��⃗ − 𝒃��⃗ � = 𝟑

Page 17: 1 平面上のベクトル...数学B Advanced 2章「ベクトル」 1 (教科書p.50) 平面上で,点 A から点 B までの移動は,右の図のように,線分 AB に向きを示す矢印をつけて表すことができる。このような向きのつ

数学 B Advanced 2章「ベクトル」

17

(3) �⃗� + 𝑡𝑏�⃗ と �⃗� − 𝑏�⃗ が垂直になるような実数 𝑡 の値を求めよ。

�⃗� + 𝑡𝑏�⃗と�⃗� − 𝑏�⃗が垂直になるから

��⃗� + 𝑡𝑏�⃗ � ⋅ ��⃗� − 𝑏�⃗ � = 0

| �⃗� |2 − �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + 𝑡�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ − 𝑡� 𝑏�⃗ �2

= 0

よって 22 − 2 + 2𝑡 − 32𝑡 = 0

ゆえに 𝒕 =𝟐𝟕

7 0�⃗ でない 2 つのベクトル �⃗�, 𝑏�⃗ について,� �⃗� + 𝑏�⃗ � = � �⃗� − 𝑏�⃗ � ならば,�⃗� ⊥ 𝑏�⃗ であることを証明せ

よ。

� �⃗� + 𝑏�⃗ � = � �⃗� − 𝑏�⃗ � より

� �⃗� + 𝑏�⃗ �2

= � �⃗� − 𝑏�⃗ �2

| �⃗� |2 + 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

= | �⃗� |2 − 2�⃗� ⋅ 𝑏�⃗ + � 𝑏�⃗ �2

よって �⃗� ⋅ 𝑏�⃗ = 0

�⃗� ≠ 0�⃗ ,𝑏�⃗ ≠ 0�⃗ であるから �⃗� ⊥ 𝑏�⃗