1 eléments de mécanique des - hach.ulg.ac.be - bernoulli integre - couette... · – ecoulement...

1

1

Eléments de Mécanique des Fluides

.be

q

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

• Liaisons entre champ de vitesse, vitesse moyenne, tension visqueuse, tension pariétale, perte de charge et coefficient de frottement

• Solutions analytiques des équations de Navier-Stokes

Objectifs de la séance

.be

Solutions analytiques des équations de Navier-Stokes– Ecoulement « rampant » ou de Stokes

– Ecoulement de Couette et Poiseuille entre deux plaques

– Ecoulement en film mince

• Généralisation, en section intégrée, de l’équation de Bernoulli

• Expression générale du coefficient de perte de charge en long d’une conduite


http://w

ww.hach.ulg.ac. d une conduite

• Pertes de charge singulières en régime non établi– Principe

– Formule de Bélanger (élargissement brusque)

2

3

• représente la charge de l’écoulement et va diminuer pour autant que

Rappel : Sillage et pertes

H

0U U

.be

• Supposons :

• A la surface d’un corps solide imperméable la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle est nulle

• La vérification des CL et un raccordement asymptotique de la vitesse de la couche limite avec l’écoulement extérieur induit :

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Pour un tube de courant passant près de la surface, va diminuer dans le sens de l’écoulement

tubeH

0U

4

• Définition du « sillage » :

« zone rassemblant toutes les lignes de courant passant à proximité de la surface du corps »

Rappel : Sillage et pertes

.be

• Dans le sillage, est inférieur à la valeur sur une ligne de courant transitant loin du corps

Par conservation de quantité de mouvement, la perte est liée à

sillageH


http://w

ww.hach.ulg.ac.

q , pla traînée du corps = force appliquée

3

5

• Quel est le centre d’intérêt ?

Deux problèmes liés intimement

Corps immergéMoyens à fournir pour permettre l’écoulement

Exemples : aile voiture bateau

.be

• Effet à évaluer ?

• Lien à la couche limite ?

Traînée, portance Pertes de charge

L d blè t lié l’i t édi i d

Exemples : aile, voiture, bateau, …Exemples : pompes, écoulement gravitaire en

canalisation (égouttage, adduction), …


http://w

ww.hach.ulg.ac. Les deux problèmes sont reliés par l’intermédiaire du

développement de la couche limite et de son comportement

autour du corps dans la « canalisation »

6

• Pour une plaque mince dans un écoulement uniforme

Couche limite et perte de charge

.be

le coefficient pariétal a été défini et exprimé analytiquement


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Il permet de caractériser les efforts sur le corps à partir de variables de l’écoulement

2

1

2p

cfC

U

Coefficient de frottement pariétal

4

7

• Dans certains cas particuliers, les équations de Navier-Stokes admettent des solutions analytiques

Solutions exactes de Navier‐Stokes.be

• A partir de ces solutions analytiques, il est possible de déduire la traînée et la portance sur un corps immergé ou bien la perte de charge de l’écoulement


http://w

ww.hach.ulg.ac.

8

Ecoulement de Stokes

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

5

9

• Une simplification du système général existe pour Re < < 1– Les termes visqueux sont dominants vis-à-vis des termes convectifs

• HypothèsesForces de volume négligées

Ecoulement de Stokes.be

– Forces de volume négligées

– Ecoulement stationnaire

Ecoulement de Stokes 0U

p U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

• Rappel : Equations générales de Navier-Stokes en adimensionnel

0jc

c c j

i jic c c ci

uL

U t t x

u uu pL gL pF


.be

• Hypothèses– Forces de volume négligées

E l t t ti i

2 2c

i

c j ic c c c c

FU t t x xU U U L

2

1

Re

1i jii i

j iFEu

u uu pFStr

t xru

x


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Ecoulement stationnaire

– Re << 1

0

Re

j

j

i j c c

j c ic c

u

x

u u pL p

x xU

6

11




0

ju

.be

• Re << 1 ??

• Exemple : S hè d di èt 1

0j

c c

c ic c

x

pL p

xU

0U

p U


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Sphère de diamètre : 1 cm

– Vitesse uniforme : 2 cm/s

Re = 200 (eau)Re = 2 (huile olive)Re = 0.1 (glycérine)Re = 0.002 (miel)

12

Ecoulement de Stokes autour d’une sphère

.be

p


http://w

ww.hach.ulg.ac.

7

13

• Dans le cas spécifique de la translation d’une sphère dans un fluide incompressible en écoulement stationnaire de vitesse U0 (forces volumiques négligées)

Ecoulement de Stokes autour d’une sphère.be

Les lignes de courant au voisinage de la surface suivent la forme de la sphère


http://w

ww.hach.ulg.ac.

14

• Le système à résoudre est :

bl i i l il d

0U

pU


.be

• Le problème est axisymétrique selon x, il est donc pertinent d’employer les coordonnées sphériques

, ,r

z

r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Par symétrie :

x

y

,

0 ,

0

rv rU

U v r

8

15

• En sphérique axisymétrique, la continuité prend la forme développée :

21 1sin 0U r v v

Ecoulement de Stokes autour d’une sphère.be

• Rappel : Il est toujours possible d’exprimer la continuité sous la forme d’un vecteur potentiel

• Dans cette symétrie, il existe de plus une fonction de courant

sin 0sinrU r v v

r r

A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

y , p(vérifiant donc identiquement la continuité) :

2

1

sin1

sin

rvr

vr r

16

• Le vecteur potentiel et la « fonction de courant de Stokes » sont définis comme :


.be

sin

1 1 1

re e r e

eU A

0

0

sin

A

r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 2sin sin sin sin

0 0

rU A e er r r r r r

9

17

• L’identité vectorielle :

peut simplifier l’équation de quantité de mouvement multipliée t i ll t l’ é t bl


0 par continuité

U U U

.be

vectoriellement par l’opérateur nabla

• L’utilisation de la fonction de courant amène à

0

0

1p U


http://w

ww.hach.ulg.ac. • L utilisation de la fonction de courant amène à

0A

18

• Or


2

2 2 2

sin

1 sin 1

sin sin sin sin

1 1

re re r e

e e

r r r r r r

.be

• L’équation de quantité de mouvement devient donc une

2

2 2

sin

sin 1

sin sin sin

eU

r

e eU

r r r r

2

1 10

sin sinr r


http://w

ww.hach.ulg.ac. • L équation de quantité de mouvement devient donc une

équation scalaire en

Ce système est biharmonique, le principe de superposition est applicable

222

2 2

sin 10

sinr r

10

19

• Les conditions limites du problème sont :– A l’infini


0 2

1cos

sinr rv U

r

0

0

U

U x y z

.be

– Sur le périmètre de la sphère

0

1sin

sinrv U

r r

2 20 sin2r

Ur

, , 0

0

U x y z

1


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

10

sin1

0sin

r r a

r a

vr

vr r

20

• Etant donné l’allure de la fonction à l’infini

l i d


2 20 sin2r

Ur

.be

• Testons une solution du type :

• La fonction f doit vérifier :

2sinf r

224 2 22

'''' 4 '' 8 ' 8 0d

f r f r f r f f

222

2 2

sin 10

sinr r


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 2

4 8 8 0f r f r f r f fdr r

2 2

2 2 2 2

2 2 4 2 2

2 2 2 2 4 2 2 2 2 4

2 2

2 2 2 2 3 2 2 3 3 4

2 2

2 2 2 2 4

2 2 2 4 2 4 4 12

d d f ff

dr r dr r

d d f f d f d f d f f

dr r dr r dr dr r r dr r

d f d d f d df f d f df df f

dr r dr dr r dr r dr r r dr r dr r dr r

11

21

• Les solutions


224 2 2

2 2

2'''' 4 '' 8 ' 8 0

df r f r f r f f

dr r

Equation equi-dimensionnelle Euler-Cauchy

.be

• Notions d’analyse :– Equation d’Euler-Cauchy

• Si f est de la forme rm

Equation equi dimensionnelle Euler Cauchy

111 0 0n nn n

nx y a x y a y

dérivée d'ordre n

4 2 2'''' 4 '' 8 ' 8 1 2 3 4 1 8 8 0mr f r f r f f r m m m m m m m


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 4Af r Br Cr Dr

r 2 2 4sin

ABr Cr Dr

r

f f f f

4 3 26 7 6 8 0

4 racines réelles 1,1,2,4

m m m m

m

22

• Les conditions aux limites permettent de déterminer les constantes– A l’infini :


2 20 0sin 0,2 2r

U Ur D C

.be

– En r=a :

• La solution s’exprime donc comme :3 3U a ar

03

30 0

0 3

01 32 ,4 4

0

r r a

r a

U A Bv

a a A U a B U aA B

v Ua a


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 20 3

sin2 2 2

U a arr

r

Solution d’un champ uniformeSolution d’un dipôleCorrection rotationnelle

12

23

• Le champ de vitesse se déduit immédiatement :


3

02 3

1 31 cos

sin 2 2r

a av U

r r r

.be

• La pression :

• Les taux de déformation et les contraintes visqueuses :

3

0 3

1 31 sin

sin 4 4

a av U

r r r r

3

3cos

2o

ref

U ap p

r


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Les taux de déformation et les contraintes visqueuses :

30

4

0

1 3sin

2

3sin

2

rr

r rr a

v U avr

r r r r

U

a

24

•

• La solution analytique en coordonnées cartésiennes :


2 2 2r x y z

2 2 23 1ax a a a

.be

0 3 2 2

2

0 3 2

2

0 3 2

3 11 3 1

4 4

31

4

31

4

ax a a au U

r r r r

axy av U

r r

axz aw U

r r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0 3

3

2ref

axp p U

r

13

25

• La traînée de forme est égale à l’intégrale des forces de pression sur la sphère :

Traînée sur une sphère – écoulement de Stokes

23 3 cos2 cos sin

xF p U dA p U a d

.be • La traînée de frottement est égale à l’intégrale des

0 02Jacobien0

0 0

2 cos sin2 2

2

forme ref ref

A

forme

F p U dA p U a da a

F a U D U


http://w

ww.hach.ulg.ac. La traînée de frottement est égale à l intégrale des

tensions de frottement sur la sphère

02frot

A

F dA DU

26

• Force de portance = 0 par symétrie de l’écoulement par rapport au plan xy

• Force de traînée = Traînée de forme + Traînée de frottement

Traînée et portance sur une sphère – écoulement de Stokes

0traînée 002 3F DUDU DU

.be

– Rapport ½ entre les deux composantes de la force de traînée qui est en toute généralité dépendant de la forme et du Re

– Si A est le maître couple de la sphère

0traînée 00

20

traînée 032D

UF DU C A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

024Re

ReD

U DC

Variation de pression le long de l’axe x CD coefficient de traînée

14

27

• Paradoxe de Stokes

« Les conditions physiques permettant la simplification des équations de Navier Stokes ne sont pas nécessairement

Limites des écoulements de Stokes.be

équations de Navier-Stokes ne sont pas nécessairement rencontrées sur l’ensemble du domaine de solution. C’est par exemple le cas à l’infini où les termes inertiels prennent souvent le pas sur les termes visqueux. »

• Exemple : solution analytique du cylindre dans un champ if i ibl


http://w

ww.hach.ulg.ac. uniforme impossible

28.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

15

29

• Application de l’écoulement de Stokes : viscosimètre à chute

Mesure la viscosité relative par chronométrage du temps de chute d’une bille dans un tube calibré rempli d’échantillon. Pour échantillons dont l’opacité n’empêche pas d’observer la descente de la bille.

Viscosimètre à chute.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

30

• Rappelez-vous l’expérience montrée au premier cours !!

Ecoulement particulier ‐ réversible

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Pouvez-vous maintenant l’expliquer ?

16

31

• Nager à bas nombre de Reynolds ???– Un nageur effectuant des mouvements répétitifs

Ecoulement particulier ‐ réversible.be

– Les mouvements sont périodiques

les efforts appliqués s’annulent en moyenne

le nageur n’avance pas


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Solution : mouvement rotatif

32

Ecoulements plans de Couette et de Poiseuille

.be

cou e e ts p a s de Couette et de o seu e


http://w

ww.hach.ulg.ac.

17

33

• Faisons évoluer le domaine en confinant l’espace selon oz

• Considérons un écoulement plan selon xy entre deux plaques distantes de h

Démarche générale.be

• Simplifions le système d’équations de Navier-Stokes en fonction des caractéristiques de l’écoulement

• Intégrons analytiquement le champ de vitesse

• Sur base du champ de vitesse analytique, expression :– Des tensions visqueuses internes


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– De la tension pariétale

– Des pertes de charge le long d’une ligne de courant

34

• Fluide incompressible newtonien

• Ecoulements établis unidirectionnels limités par deux plaques planes parallèles, l’une étant fixe et l’autre éventuellement mobile

Description des écoulements

.be

mobile

• ECOULEMENT DE COUETTE : La paroi inférieure est au repos, la paroi supérieure est animée d’une vitesse de translation uniforme Us (pas de gradient de pression)

• ECOULEMENT DE POISEUILLE : Deux parois fixes, le moteur de l’écoulement étant un gradient longitudinal de pression


http://w

ww.hach.ulg.ac. pression

x

y

z

h

18

35

• Equations de Navier-Stokes

Simplification des équations de Navier‐Stokes

x

y

z

h

0ku

.be

1

k

i kii i

k i

x

u uu pF u

t x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

36

• Ecoulement unidirectionnel établi :v = w = 0 et u indépendant de z

Force de volume négligée


x

y

z

h

.be

u v

x y

w

z

0

u

t

2u

x

uv

y

uw

z

2

2

1 p u

x x

2 2

2 2

u u

y z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2w uw vw w

t x y z

2 2 2

2 2 2

1 p w w w

z x y z

2v uv v vw

t x y z

2 2 2

2 2 2

1 p v v v

y x y z

19

37

• Ecoulement unidirectionnel établi :v = w = 0 et u indépendant de z

Force négligée


x

y

z

h

.be

2

2

p u

x y

0p

0u

x


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0

p

y

0p

z

38

• Conclusion :

Détermination du profil de vitesse

x

y

z

h

2

2

1d

dy x

u dp

d

.be

• Les deux membres de l’équation doivent donc chacun

dy xd

Au plus, fonction de y Au plus, fonction de x


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Les deux membres de l équation doivent donc chacun

être constants, étant donné que y et x sont des variables indépendantes

20

39

• Intégration

Détermination du profil de vitesse

x

y

z

h

2

1 2

1

2

dp yu y C y C

dx

.be

• Conditions limites : u = 0 en y = 0

u = Us en y = h

• Profil de vitesse :


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Profil de vitesse :

1

2s

y h y Udpu y y

dx h

40

• Tension de cisaillementau sein du fluide :

Calcul des tensions visqueuses

x

y

z

h

xy

du

.be • Tension aux parois :

2

2

xy

s

dy

h y Udp

dx h


http://w

ww.hach.ulg.ac. Tension aux parois :

00 2s

xy y

Udp h

dx h

2s

xy hy h

Udp h

dx h

21

41

• Un écoulement entre deux plaquesest caractérisé par le débit spécifique

• La vitesse moyenne peut être évaluéecomme le rapport du débit spécifique

Calcul de la vitesse moyenne

x

y

z

h

.be

comme le rapport du débit spécifique sur la hauteur

• Vitesse moyenne

0

1 hqu u y dy

A h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0

2

1 1

2

1

12 2

hs

s

y h y Udpy dy

h dx h

Udp h

dx

42

• Pas de gradient de pressionPlaque supérieure mobile

CAS PARTICULIER 1 : Ecoulement de Couette

x

y

z

h

.be

2sU

u

sUu y y

h

0s

f

U

h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pas de pe

0

t0

0

r eU

22

43

• Gradient de pression non nulPlaque supérieure fixe

CAS PARTICULIER 2 : Ecoulement de Poiseuille

x

y

z

h

26

yu y u h y

h

.be

• En régime établi, la vitesse ne varie pas la charge locale ne dépend plus que de la pression

0

6

2h

dp h u

dx h

21

12

dp hu

dx


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p p q p

• Estimation de la perte de charge en long selon une ligne de courant

2 2

2 2

Re

12 1224

2 2L

f

L Lf x

dp L u L up dx u dx uL C

dx h h hu h h

Cf coefficient de frottement en long

Rapport entre longueurs caract.

44

Ecoulement en films minces

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

23

45

• Rappel : Equations générales de Navier-Stokes


0k

k

u

x

.be


E l t t ti i

1i kii i

k i

u uu pF u

t x x


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Ecoulement stationnaire

– Ecoulement en fine lame

,1

x y L h

z h L

46



– Ecoulement en fine lame


.be

• Les grandeurs caractéristiques sont-elles indépendantes ?

Il est licite de définir un temps de référence pendant lequel une particule parcourt une distance équivalente dans les différentes directions :

,1c

c

x y L h

z h L

2

négligeablec

h

L


http://w

ww.hach.ulg.ac.

00 0 0 0

0 0 0

0 0

c c c

c

L L L ht

U u v w

u v U

hw U

L

24

47

• traitement de l’équation de quantité de mouvement selon i


2 2 2

2 2 2

1i i i i i i

i

u u u u u upu v w

x y z x x y z

2 2 2

.be

2 2 20 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2

22 220 0

00

' ' ' ' ' ''' ' '

' ' ' ' ' ' '

' ' ' '' ' '

' ' ' '

i i i i i i i i i i

c i c

i i i

c

c

i

i ii c c

U u u u u w u p u u u u upu v w

L x y h z x L x y h z

h U u u u p uh p hu v hw w

L x y z x LLu

L

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 20

2 2 20 0

' ' '

' ' '

' ' ' ' ' ''Re ' ' ' Re

' ' ' ' ' ' '

i i i

i i i i i iL L

c ci i ci

u u

x y z

u u u p u u uh h p hu v w

L x y z L x Lu U x y z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0Re cL

L U

2

Re 1Lh

L

2

négligeablec

h

L

48

• Equations de Navier-Stokes simplifiées pour les films minces


0u v w

x y z

.be

2

2

2

2

2

2

p u

x p p pz

z x yp v

y z

p w

z

2

ULp

h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Il n’y a pas de restriction sur le Reynolds

• Les forces visqueuses sont dominantes si h/L est suffisamment faible (influence des conditions de non glissement aux deux parois)

2z z

25

49

• Equations de Navier-Stokes simplifiées pour les films minces


p p p

z x y

.be

2

2

0

1

2

1

u v w

x y z

pu z Az B

x

pv z Cz D


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2

0

v z Cz Dy

p

z

50

• Exemples pratiques - Cellules de Hele-Shaw

• Conditions aux limites :– u,v=0 en z=0 et z=h


.be

2

2

0

1

2

1

2

u v w

x y z

pu z Az B

x

pv z Cz D

y

0

1( )

2

1( )

2

u v w

x y z

pu z h z

x

pv z h z

pv y

f zpux


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Les lignes de courant sont indépendantes de z

2

0

y

p

z

2

0

y

p

z

26

51

• Exemples pratiques - Cellules de Hele-Shaw


21( )

2

u pz h z

y x y u v

.be

L’écoulement dans une cellule de Hele-Shaw est irrotationnel

L’écoulement est dominé par les effets visqueux

2

2

1( )

2

y x y u v

y xv pz h z

x x y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

car la pression est une fonction univoque de la position

1( ) 0

2C C

p pudx vdy z h z dx dy

x y

52

• Exemples pratiques– Théorie de la lubrification des corps

• Palier (force de soulèvement)

• Cylindres en rotation excentrique (Force exercée sur le cylindre intérieur)


.be

– Film mince autour d’un corps en rotation• Pour obtenir un écoulement permanent, il faut que la rotation du corps respecte

2h


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2.014gh

27

53

Ecoulement en conduites

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

54

• Diminuons encore le domaine pour qu’il soit entièrement confiné par des parois imperméables

• Ex : conduite circulaire en laminaire

Couche limite et perte de charge en conduite

.be

• Contrairement à la plaque (fixe de longueur infinie) qui peut développer une couche limite libre, les parois du tube

Régime non établi Régime établi


http://w

ww.hach.ulg.ac.

pp , pdéfinissent un espace limité

• Or, c’est la couche limite qui induit principalement les pertes dans l’écoulement

28

55

• Ex : conduite circulaire en laminaire

Couche limite et perte de charge en conduite.be

• Les questions pratiques dans cette configuration sont :– Quel débit total peut-on faire circuler entre deux points de caractéristiques

connues ?

– Comment caractériser globalement les pertes de charge dans cet espace confiné ?

– Quels moyens faut-il mettre en œuvre pour obtenir le débit souhaité ?



http://w

ww.hach.ulg.ac.

– …

• Le praticien accorde peu d’importance à la distribution exacte du profil de vitesse mais souhaite pouvoir caractériser son installation de manière globale

56

« Equation de Bernoulli » intégrée sur la section

.be

quat o de e ou tég ée su a sect o


http://w

ww.hach.ulg.ac.

29

57

• L’équation de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie le long d’une ligne de courant

Objectif.be

• Dans le cas d’un écoulement confiné, comment se généralise cette relation en tenant compte des variables moyennées de l’écoulement ?


http://w

ww.hach.ulg.ac.

58

Pour un fluide incompressible, si le champ de force est conservateur :

Rappel : loi de Bernoulli

2

0

U

U

.be

Par une multiplication scalaire de l’équation de quantité de mouvement par

2

UU pG U U

t

U

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

Fonction de Helmholtz=

2

0

U

U

p UU G U U

t

H

30

59

Si le champ de force est conservateur et que l’écoulement est stationnaire :

Loi de Bernoulli – intégration sur une section fermée

0 par continuité

U U U U U U

H H H H

.be

Intégrons sur une section quelconque :

p

A A

U dA U U dA

H

S f i t t é d l ti


http://w

ww.hach.ulg.ac. Par Leibniz :

t

tC

A A

U dA U dA U A

H H H

Position instantanée de la frontière

Surface instantanée de la section

60

Bernoulli intégré:

Loi de Bernoulli intégrée

0 i i

tt

CA A

U dA U A U U dA

H H

.be

0 en stationnaire

2

2

p UU U G

H


http://w

ww.hach.ulg.ac.

22

2 2

U Up pU G d U G

31

61

Il faut introduire des coefficients d’inégale répartition sur la section :


22

p pd G

UU U

UG

.be

Quelle sont les valeurs de ces coefficients?

2 2

p pd GU UG

1 si pression hydrostatique

1


http://w

ww.hach.ulg.ac. 3

3

1

1

U d

U d

62


2

1

2

pG s U d

Ud

d s

.be

Il faut également caractériser l’ensemble des pertes sur la section :

1s U d


http://w

ww.hach.ulg.ac.

L’idéal est de pouvoir relier ce terme aux grandeurs moyennes caractéristiques de l’écoulement

32

63

• Conduite circulaire en laminaire

Couche limite et perte de charge en conduite.be

• Deux types principaux de perte de charge :– les pertes continues (dites pertes en long) qui sont dues aux

• frottements des filets fluides entre eux ou contre les parois• chocs entre particules échangées entre filets voisins (turbulence)



http://w

ww.hach.ulg.ac. chocs entre particules échangées entre filets voisins (turbulence)

– les pertes locales provoquées par des particularités du parcours• changements (brusques ou progressifs) de section

• changements de direction (coudes, courbes)

• Chaque type de perte peut être relié à un régime d’écoulement « établi » ou « non établi »

64

• Conduite circulaire en laminaire

Couche limite et perte de charge en conduite

.be

• Le coefficient pariétal a été défini grâce à une mise sous forme adimensionnelle



http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Appliquons un raisonnement semblable pour définir un coefficient de pertes en conduite

33

65

• Démarche– Inventorier toutes les grandeurs intervenant dans le problème

– Grouper ces grandeurs en produits sans dimension

– Exprimer des conditions de similitude en fonction de ces grandeurs sans dimension

Analyse dimensionnelle.be

• Choix des grandeurs fondamentales (SI)– masse M, temps T, longueur L

– éventuellement : température, quantité de chaleur, ...

• Applications


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Applications – établissement d’équations liant les variables d’un problème donné

– représentation systématique des résultats d’un programme expérimental et réduction du nombre de variables à prendre en considération, ... ( cours sur les similitudes)

66

• Utilité– Mettre immédiatement en évidence les produits sans dimension

qui règlent la similitude

• Intérêt

Théorème « » de Vaschy‐Buckingham

.be

té êt– Réduire le nombre d’arguments de la relation qui existe entre les

différentes grandeurs intervenant dans un problème

• Difficulté – Ne pas oublier de grandeurs dans l’inventaire de celles

intervenant dans le phénomène étudié : étude de leur influence réelle par voie expérimentale


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Avantage

– Applicable à tout phénomène physique, mécanique thermique, électrique,…

34

67

• Toute relation dimensionnellement homogène entre ngrandeurs physiques f(A1,A2,A3,…An) = 0 entraînel’existence d’une autre relation j (1, 2,…, n-N) = 0entre n-N grandeurs sans dimension qui sont des produits

Théorème « » de Vaschy‐Buckingham : énoncé ....be

g q pdistincts de puissances des grandeurs A1,A2,…AN de laforme A1

A2…AN

N est l’ordre le plus élevé du déterminant non nul que contient la matrice dimensionnelle des grandeurs A1,A2,A3,…An. Il est le plus souvent égal au nombre d’unités fondamentales dont dépendent A1,A2,A3,…An


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Une fois les N grandeurs indépendantes choisies, on peutles utiliser pour adimensionnaliser les (n-N) autresgrandeurs afin d’écrire une relation entre ces nombressans dimension

68

• Considérons l’écoulement permanent en charge dans une conduite circulaire

• Question : quelle est la perte de charge entre les extrémités?

Théorème « » ‐ Procédure en pratique

.be

• Question : quelle est la perte de charge entre les extrémités?

• Grandeurs à prendre en compte physiquement :– p : pression

– L : longueur de la conduite

– D : diamètre de la conduite


http://w

ww.hach.ulg.ac. – : rugosité, dimension des aspérités

– U : vitesse moyenne du fluide

– : masse volumique du fluide

– : viscosité cinématique du fluide

35

69

• Matrice dimensionnelle

p L D U

Procédure en pratique.be

L -1 1 1 1 1 -3 2

M 1 0 0 0 0 1 0

T -2 0 0 0 -1 0 -1

Nombre de paramètres : 7

Rang de la matrice : 3


http://w

ww.hach.ulg.ac. Rang de la matrice : 3

3 grandeurs primaires linéairement indépendantes

4 produits sans dimension () indépendants

Choix des grandeurs indépendantes

70

• Première grandeur adimensionnelle dérivée :

p L D U

Procédure en pratique

31 21

p

D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2

M 1 0 0 0 0 1 0

T -2 0 0 0 -1 0 -1

Coefficients i 0 2 1


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1 2

p

U

36

71

• Deuxième grandeur adimensionnelle dérivée :

p L D U


31 22

L

D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2

M 1 0 0 0 0 1 0

T -2 0 0 0 -1 0 -1



http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

L

D

72

• Troisième grandeur adimensionnelle dérivée :

p L D U


31 23 D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2

M 1 0 0 0 0 1 0

T -2 0 0 0 -1 0 -1



http://w

ww.hach.ulg.ac.

3 D

37

73

• Quatrième grandeur adimensionnelle dérivée :

p L D U


31 24 D U

.be

L -1 1 1 1 1 -3 2

M 1 0 0 0 0 1 0

T -2 0 0 0 -1 0 -1



http://w

ww.hach.ulg.ac.

4

1

ReUD

74

• Selon le théorème , il existe une relation entre :

A di é i é bli


1=p/(U²) 2=L/D 3= /D 4=/UD

.be

• Autrement dit, en régime établi (vitesse indépendante de x) :

• Tout comme dans le cas de Poiseuille entre deux plaques, la perte en long sera logiquement linéairement proportionnelle à L

2 22 3 4

1, , , ,

Re

Lp j U j U

D D


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Où est appelé coefficient de perte de charge en long

et noté habituellement f

21, ,

Re

Lp j U

D D

1,Re

jD

38

75

• Julius Weisbach a proposé en 1845 une formulation des pertes de charge en long

Coefficient de perte de charge

2L Uh f

.be

• Par extension, une formulation générale de pertes (en long ou locales) peut prendre la forme suivante :

,Re [m]2r f

L Uh J L f

D D g

Coefficient de perte de charge


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2

UPerte k m

g

p g

nombre d’Euler

76

Pertes de charge locales

.be

Pertes de charge locales


http://w

ww.hach.ulg.ac.

39

77

• Les pertes locales sont observées lorsque l’écoulement n’est pas établi :– Modifications de sections

– Modifications d’orientation

Pertes de charge locales.be

Modifications d orientation

• L’écoulement dans ces singularités présente presque toujours des recirculations

• Etant donné que l’écoulement n’est pas établi, il n’est pas possible de relier le coefficient de perte uniquement à la contrainte pariétale

• Il est donc très difficile de représenter théoriquement ces


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Il est donc très difficile de représenter théoriquement ces

pertes

Recours à l’expérimentation et recueil de pertes de charge

Pour caractériser l’écoulement, Re sera évalué avec la section la plus faible

78

Ecoulement dans des singularités

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

40

79Ecoulement dans des singularités

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

80

Pertes de charge locales : Elargissement brusque

u1

u

A1 A2

B

C

D

E

G1

.be

• Ecoulement stationnaire

u2

z1z2

A

F

G2

1 1 2 2Q u A u A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Dans le cas d’une répartition uniforme de vitesse et Re > 3500 2

121 2

1

2

Ahk

u Ag

41

81

• Dans la section 1, centre de gravité G1


21 1

1 2

p uz

g

.be

• Dans la section 2, centre de gravité G2

22 2

2 2

p uz

g


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 2

1 1 2 21 22 2

p u p uh z z

g g

82

• Appliquons la conservation de quantité de mouvement sur le volume ABCDEFA selon l’axe x


u1D D

.be

u2

A1 A2

A

B

C E

F

G1

G2

B

C E

F

G1

G2A

x

P

p2

p1G3


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Forces extérieures : pesanteur et pression sur les faces

• Hypothèse : pression hydrostatique

x

42

83Pertes de charge locales : Elargissement brusque

C

D

E

G1

G2

G3

A

u1

u2

a

B

.be

• Pesanteur

• Pression sur AD

• Pression sur EF

F

A

PL

z1z2

2 singA L

1 2p a A

p A

1 2sinL z a z


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Pression sur EF

• Conservation de la quantité de mouvement selon G3 G2

1 2 2 1 2 2 2sin 0Q u u gA L p a A p A

2 2p A

84

Pertes de charge locale : Elargissement brusque

1 2 2 1 2 2 2

1 2 1 2

2

sin 0

sin 0

Q u u gA L p a A p A

Q u u p pL a

A g

1 2sinL z a z

.be

1 2 1 21 2

2

2 1 2 1 21 2

0

0

Q u u p pz a z a

A g

u u u p pz z

g

2 21 1 2 2p u p u

h

C l l d l t d h


http://w

ww.hach.ulg.ac. 1 1 2 2

1 22 2

p ph z z

g g

2 2 2 22 2 11 1 2 2 1 2

1 22 2 2 2

u u up u p u u uh z z

g g g g g

• Calcul de la perte de charge :

43

85Pertes de charge locales : Elargissement brusque

2 22 2 1 1 2

22 2 21 22 1 2 1 2

2 2

u u u u uh

g g g

u uu u u u uh

.be

2 2 2h

g g g g

Formule de Bélanger 2

1 2

2 2

2

u uh

g

1 1 2 2Q u A u A


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 22 2

2 2 1 1

1 2

1 12 2

u A u Ah

g A g A

86

Ecoulement laminaire en conduite circulaire

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

44

87

• Exprimer Navier-Stokes en coordonnées cylindriques

• Simplifier les équations selon les hypothèses

• Intégrer l’équation de QM selon x pour déduire le profil de vitesse en fonction du gradient de pression

Démarche.be

de vitesse en fonction du gradient de pression

• Sur base du profil de vitesse établi :– Evaluer la vitesse moyenne

– Evaluer les tensions visqueuses dans le fluide et la tension pariétale

• Déduire l’expression de la perte de charge en long en fonction des grandeurs moyennes calculer le coefficient


http://w

ww.hach.ulg.ac. fonction des grandeurs moyennes, calculer le coefficient

de Weissbach

• Expliciter le paramètre d’inégale répartition d’énergie cinétique utile dans « Bernoulli intégré »

88

Ecoulement de Hagen‐Poiseuille en conduite circulaire

• Considérons – Un fluide incompressible newtonien

– Une conduite circulaire inclinée

– Un écoulement laminaire établi dont les lignes de courant sont parallèles aux parois

.be

dhdx

aux parois

( )u u r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

Quel est le profil établi de vitesse ?

?

45

89

• Equations de Navier-Stokes en incompressible :


0

1

k

k

i k

u

x

u uu p

0

.be

1i kii i

k i

u uu pF u

t x x

• Equations de quantité de mouvement en coordonnées cylindriques (x,r,) :

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1sinr

vu u u u p u u u uv u g

t r r x x r rr r x

0F

g


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2 2

1 2cos sinr r r r r

r rv v vv v v v vp

v u g vt r r x r r r r

2 2

1 2cos cosr r

rv v v v v v v v vp


90 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1sinr

vu u u u p u u u uv u g

t r r x x r rr r x

• Simplifications des équations de quantité de mouvement :


.be

u

2

2 2

1 2cos sinr r r r r

r rv v vv v v v vp


2 2

1 2cos cosr r

rv v v v v v v v vp



http://w

ww.hach.ulg.ac.

0 (lignes de courant // aux parois)rv

0 (pas de rotation autour de l'axe)v

0 (écoulement établi ) u

x

0 (écoulement stationnaire)

t

2

20 (écoulement symétrique)

u

46

91Ecoulement de Hagen‐Poiseuille en conduite circulaire

2

2

1 1sin 0

p u ug

x r rr

• Transformation de l’équation de quantité de mouvement selon x

.be

sindh

dx

2

2

1 1u u ur

r r r r rr

( )

avec , et indépendantsx r

1 1p gh d dur

x r dr dr

dhdx


http://w

ww.hach.ulg.ac. supposons ( , )p p r p x g r

1 1d p gh d dur

dx r dr dr

92


• En intégrant cette équation après multiplication par r, il vient:

2

2

dur r A

dr

A est une constante d’intégration

.be

• Une nouvelle intégration est réalisée après division par r :

2 ln4

u r r A r B

• Valeur des constantes d’intégration:

B est une constante d’intégration


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Valeur des constantes d intégration:

20 0

Vitesse finie en 0 0

En , 0 4

r A

r r u B r

47


• Le profil de vitesse s’écrit :

2 204

u r r r

.be

2 20

1

4

dp gh r r

dx

Equation parabolique de l’écoulement laminaire dans une conduite


http://w

ww.hach.ulg.ac.

94

• La vitesse moyenne est évaluée comme


0

02

2r

u r rdrQu

A

.be

0

20

22 2 0

02 00

2 1

4 8

r

A r

d p ghrdp gh r r rdr

dx dxr

• Vitesse maximale en r=0 :

2 d p ghr


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0

max 24

d p ghru u

dx

48

95

• La vitesse moyenne dépend du gradient de charge


20

8

d p ghru

dx

.be

• Il est donc possible d’en déduire la perte de charge sur l’ensemble de la conduite :

20

8 uLp gh

r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

96

• Connaissant :– Le profil de vitesse dans la conduite

– L’expression de la perte de charge en long


.be

• Il est possible d’en tirer l’expression du coefficient de frottement en long en fonction des paramètres de la conduite et de l’écoulement moyen

• Les caractéristiques de l’écoulement interne étant l i d i ill d l’é l


http://w

ww.hach.ulg.ac. connues, la contrainte de cisaillement dans l’écoulement

et plus particulièrement la contrainte pariétale peut être évaluée

49


• Coefficient de frottement f

2

2 Weisbach

1 8

2

p uL L uh f m

g g D gr

.be

Weisbach0 2

64 64

Re

Re

g g D gr

fDu

Du


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pour un écoulement laminaire dans une conduite

98

Ecoulement de Hagen‐Poiseuille en conduite circulaire ‐Autres résultats

dhdx

• Relation entre et p en écoulement établi

.be x

2p r

2p dp r

2 rdx


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

d p ghr

dx

2g r dx

50

99 2

du r d p

dr

gh

dx

• Introduction de la contrainte de cisaillement

Ecoulement de Hagen‐Poiseuille en conduite circulaire ‐Autres résultats.be

0

00 2r r

r d p gh

dx

0

0

2 Lp gh

r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Liaison entre 0 et

02

0 0

2 8L uLp gh

r r

00

4 u

r

u

100

• En écoulement de Poiseuille:

Application de Bernoulli intégré à l’écoulement de Poiseuille

U’ 2 20

1

4

d p ghu r r r

dx

2 d h

.be

U

Um

20

8

d p ghru

dx

0 03 332 2 2 2

0 02 3 20 00 0

3 32 20 0

1 1 12

4 32

r rd p gh d p gh

r r rdr r r rdrdx dxr r

d p gh d p ghr r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0 0

8 8dx dx

3 80

3 20

320

1

8322

8

d p gh r

dxr

d p ghr

dx

51

101

Pour Hagen-Poiseuille :

Rappel : Loi de Bernoulli intégrée

22 U

.be

2 64

Re 2

UG

LU

D g

p


http://w

ww.hach.ulg.ac.

102

• En écoulement turbulent, idéalisation du profil universel:

Application de Bernoulli intégré à l’écoulement turbulent

U’

1

00

0

nr ru r U

r

.be

U

Um

0 est la vitesse de référence au centreU

0 0

3 31 1

0 0 202 2 320 00 00 0

3 3 31 1 2

1 22 2

1 3 23 3 2

42

r rn nr r r r

U rdr rdr nr rr r n nn n

n

4 3 3 2n n


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0 0

1 1 2

0 0 202 2

0 00 00 0

421 2

2 1 3 2

r rn n

nnr r r r

U rdr rdr n nr rr r

3 3 2n n

Re n 4.E+03 6 1.07677612

1.E+05 7 1.058382537

2.E+06 10 1.030634699

52

103

• Ce qu’il faut faire en pratique :– Choisir un plan de référence

– Prendre le centre de la conduite comme axe curviligne de référence

– Utiliser des sections transversales

Evaluer le Reynolds dans les endroits critiques

Loi de Bernoulli intégrée sur la section – Interprétation graphique.be

– Evaluer le Reynolds dans les endroits critiques

évaluer correctement les termes d’inégale répartition

– Tracer les lignes de charge et piézométriques selon une verticale

2

U

2

2

U

g

2

2

U

g

p

g


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Plan de référence

h

h

hp

g

2g p

g

1 eléments de mécanique des - hach.ulg.ac.be - bernoulli integre - couette... · – ecoulement...

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