ECOULEMENT EN CHARGE

BNIAICHE EL Amine

Octobre 2013

(Régime permanent)

• Introduction

• Principes fondamentaux

• Dynamique des fluides parfaits

• Dynamique des fluides réels

• Courbes caractéristiques du réseau de conduites

• Diagramme des énergies

Description du mouvement des particules fluides au sein d'un écoulement, en le

reliant aux différentes forces en présence. L'objectif est donc de mettre en place une

équation qui puisse rendre compte du lien entre toutes les grandeurs intervenant

dans l'écoulement: vitesse, pression, forces de volume et de frottement (viscosité).

I- Introduction

Dans ce type d’écoulement , le fluide remplit complètement la canalisation, c’est le cas

notamment des réseaux d’irrigation sous pression et d’eau potable aussi bien que les circuits

des installations hydrauliques.

Nous étudierons les cas des conduites en parallèle et en série

Approche méthodologique

On définira les écoulements en charge en faisant un rappel des principes de la

mécanique des fluides qui s’appliquent à ces écoulements.

On passera les moyens d’évaluer les pertes de charge dans les conduites et dans

divers composants tels que des coudes , des vannes, etcNous verrons comment établir la ligne de charge d’un circuit hydraulique ce qui

sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique.

II.1.1- Forces de volume

II.1- Forces de volume, Forces d’inertie, Forces de pression normales, Forces de surface et tenseur des contraintes

Il s'agit principalement du poids d’un volume dV de fluide

gdVgdm VFd

II.1.2- Forces d’inertie

dzzv

dyyv

dxxv

dttv

vd

La dérivée particulaire de v s’écrit:

zv

vyv

vxv

vtv

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

tv

dtvd

zyx

Considérons la vitesse d’une particule ),,,( zyxtv

II- Principes fondamentaux

v ) (

espace)l' dans (variation convectiveon accélératid '

temps)le dans (variation pureon accélératid ' Forces

Forces

vdVtv

dVdVdtvd

Fd i

Les forces d’inertie peuvent s’écrire:

II.1.3- Forces de pression normales (forces normales aux surfaces)

Considérons, un élément de volume fluide de forme parallélépipédique et de volume dV=dx dy dz

Si l’on note dFz la composante suivant Z de la force de pression

dxdydzzpdxdyzpdF

dzzpzp

z

)(

)()(

dVzp

dxdydzzp

dFz

v dV gradvdVtv

iFd D’où:

Par analogie, suivant les autres directions, on trouve :

dVyp

dxdydzyp

dFdVxp

dxdydzxp

dF yx

et

dV p grad -dV p - Fd

II.1.4- Forces de surface et tenseur des contraintes

Les forces de frottement (viscosité) s'exerçant entre les particules fluides en

mouvement relatif associées aux forces de pression normales aux surfaces, forment

des contraintes comportant une composante normale (perpendiculaire à la surface)

et une composante tangentielle (parallèle à la surface).

dVezp

eyp

exp

FdFdFdFd zyxzyx

Il existe des forces de surface normales et tangentielles dans le cas suivant :

La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de deux couches

s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence

de vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z :

zv

SF

Les forces de surfaces sont normales dans les cas suivants :

Résumé

: Contrainte normale à la surface : Contrainte tangentielle à la surface

zzxyyxxxx eeexT

De manière analogue, si l'on considère les contraintes s'exerçant sur des surfaces

perpendiculaires aux axes y et z:

zzzyyzxxz eee

Contrainte appliquée en un point d’une surface perpendiculaire à l’axe x.

Par convention, le premier indice indique la

direction portant la composante alors que le

second indice se réfère à la normale à la surface

subissant la contrainte.

zzyyyyxxy eee yT

zT

dSTFd n

Contrainte s'exerçant sur une surface d'orientation quelconque zzyyxx enenenn

zyxT T ; T ;

zzyyxxn TnTnTnT

)(

)(

)(

zzzyyzxxzz

zzyyyyxxyy

zzxyyxxxxxn

eeen

eeen

eeenT

zzzzzyyzxx

yyzzyyyyxx

xxzzxyyxxx

n

ennn

ennn

ennn

T

C’est une combinaison linéaire de

nT

n

nn

zyx

zx

yxxx

.

zz

yz

xz

zy

yy xy

Contraintes normales

Contraintes tangentielles Tenseur des contraintes

P

P

yx

xzxyxx

P

TsTT

zzzyzx

yzyy

viscositéde scontrainte desTenseur ou nulle tracededéviateur Tenseur

unitéTenseur

1 0 0 0 1 0 0 0 1

sphériqueTenseur

P

P

P- 0 0

0 P- 0

0 0

'

Les forces de volumes (Fv):

- Les forces de pesanteur provenant de la gravité: gdV v Fd

Les forces de surfaces (Fs):- Les forces de pression : agissant perpendiculairement à la surface d’un fluide.-Les forces de frottement de viscosité : dues à la viscosité

L'ensemble des forces de surface s'exercent sur les 6 faces du parallélépipède et donnent nécessairement 3 composantes :

zyx edFedFedFFdSzSySxS

II.2- Équation fondamentale de la dynamique

Choisissons un élément de volume parallélépipède

rectangle de dont l'accélération vaut

dans un champ de pesanteur

dxdydzdV dtvd

zegg

L'application du PFD conduit donc à :

dtvd

dVFdFd SV

Par exemple, la face supérieure (située à de normale est soumise à une contrainte

dzz zen

zzzyyzxxzz eeeT

dont la contribution selon se résume à: ye dzzyz

dxdzdzzyz En terme de force , la contribution correspond à:

Analysons la composante dFsy :

Chacune des 6 faces est soumise à une contrainte dont une des 3 composantes contribue à dFSy

dans la direction ēy

dxdydxdzdydzdFzyzdzzyzyyydyyyyxyxdxxyxSy

)()()()()()(

Sx

dF

dzdydxdydxdzxzxdxxzxyzzdzzzzyzydyyzy

)()()()()()(

dxdzdydzdxdyyxydyyxyxxxdxxxxxzdzzxz z

)()()()()()(

Sz

dF

Par analogie:

Faisons un développement limité de premier ordre pour dFSy:

)()(

dxxyx

yxyx xdxx

dydz dxdydz

zdxdydz

ydx

xdF

yzyyyxSy

dVzyx

dF zzzyzxSz

F dtvd

dVFdd VS zyx edFedFedFFdSzSySxS

Reprenons l’Equation fondamentale de la dynamique:

dVzyx

dFyzyyyx

Sy

dVzyx

dF xzxyxxSx

)()(

dyyyy

yyyy ydyy

dzzyz

yzyz zdzz

)()(

Ainsi,

Une simplification d'écriture de dFS conduit à formuler:

À ce stade, il convient de développer le tenseur des contraintes pour faire apparaître explicitement les contraintes normales ainsi que les contraintes de viscosité. On utilise donc :

pour obtenir l'équation fondamentale de la dynamique des fluides :

Il reste alors à reprendre l'équation rendant compte du PFD :

dtvd

dVdtvd

dVFdd Vs g dV dV T F

où, par simplification, le volume n'intervient plus. On obtient donc une équation locale :

dtvd

g T

T' p T

dtvd

g T' p

dV

dV

zzxyzxyzyyyxxzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

s

zyx

zyx

zyx

Fd

dV T

T

Cas particulier:

Dans le cas particulier d'un fluide au repos (accélération nulle) pour lequel la viscosité est

négligeable , soumis au champ de pesanteur on retrouve logiquement l'équation

fondamentale de l'hydrostatique:

L’équation fondamentale de la dynamique des fluides va donc

pouvoir servir de base générale pour établir des formulations

plus spécifiques liées à la nature même du fluide (parfait,

visqueux, newtonien...) ou aux différents types d'écoulement

(laminaire, turbulent, stationnaire...).

0T'

g p gradou 0gp T' p dtvd

g

Cstegzp 0)( gdzdp

zeggEn posant: gzp

yp

xp

;0;0

II.3- Mouvement et déformations d'une particule fluide

Au sein de l'écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position,

d'orientation et de forme. L'analyse de ces changements peut s'appuyer sur la

comparaison des vitesses de deux points voisins appartenant à la même particule :

considérons un point dont la vitesse est et un point

dont la vitesse est

),,( zyxM

),,(' dzzdyydxxM

),,( wvuv M)',','(' wvuv M

'MMrd Posons on peut alors écrire

)()(' vdvvdrrdrMM vvv

:

Par simple projection sur les axes d'un repère cartésien, un développement limité

au premier ordre permet d'expliciter chacune des trois composantes de la vitesse

en M’ avec notamment l'accroissement de vitesse par rapport à celle en M :

Toutes les informations concernant les déformations sont alors contenues dans les éléments de ce tenseur. Il convient donc d'identifier chacun de ces éléments.

dzzw

dyyw

dxxw

ww

dzzv

dyyv

dxxv

vv

dzzu

dyyu

dxxu

uu

'

'

'

rd

G

vv

dzdydx

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

wvu

wvu

rrdr

)()(

'''

rd . G

)(

)()(

r

rrdr

v

v vdvDonc:

nsdéformatio desTenseur : G

Supposons que seuls les éléments diagonaux du tenseur G soient non nuls et

raisonnons, pour simplifier, à deux dimensions (écoulement plan perpendiculaire à

l'axe z). Une particule bidimensionnelle, rectangulaire, de surface dxdydS

),xu

udt(dxD' ; ),('

),xu

udt(dxB' ; ),('

dydtyv

vdtdydxdtdydtyv

vdtdyudtC

vdtdxdtvdtudtA

A- Termes d'élongation

G

zw

yv

xu

0 0

0 0

0 0

La particule a globalement subi une translation, qu’elle reste de forme rectangulaire mais présente une élongation (ou contraction) :

y axel'suivant yv

et x axel'suivant xu

dydtdxdt

Supposons maintenant que seuls les éléments en dehors de la diagonale soient non nuls dans le tenseur G des taux de déformation, et raisonnons encore une fois à deux dimensions à partir d'une particule rectangulaire ABCD :

Il apparaît clairement une modification des angles en plus de la translation globale déjà observée. Cette déformation peut se formaliser au moyen de deux angles d et d.

Si d=d alors le tenseur est symétrique : c’est une déformation angulaire pure

Si d=-d alors le tenseur est asymétrique: c’est une rotation pure

B- Termes de déformation angulaire et rotation

G

yw

xw

zv

xv

zu

yu

0

0

0

),yu

udt(dxD' ; ),('

)xv

vdtudt,(dxB' ; ),('

dxdtxv

vdtdydydtvdtdydydtyu

udtC

dxdtvdtudtA

yu

xv

yu

xv

angles opposés :

yu

dd

xv

Résumé de l'ensemble des

déplacements et déformations

caractérisés par le tenseur

qu'une particule fluide subit

simultanément au sein d'un

écoulement.

G

es)asymétriqu angulaires nsdéformatio ( otations

0 21

21

21

0 21

21

21

0

s)symétrique angulaires nsdéformatio scontrationou ns(élongatio

21

21

21

21

21

21

puresrdesTenseur

yw

zv

xw

zu

yw

zv

xv

yu

xw

zu

xv

yu

puresnsdéformatiodesenseur

zw

yw

zv

xw

zu

yw

zv

yv

xv

yu

xw

zu

xv

yu

xu

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

TeG

Elongations ou contractions

Déformations angulaires symétriques

Déformations angulaires

asymétriques=

Rotations pures

0

0

- 0

x

x

yz

es)asymétriqu angulaires nsdéformatio ( o tations

0 21

21

21

0 21

21

21

0

y

z

puresrdesTenseur

yw

zv

xw

zu

yw

zv

xv

yu

xw

zu

xv

yu

Composantes du vecteur tourbillon

On a donc ainsi complètement défini le mouvement et la déformation d'une particule fluide, en termes de simple translation, élongation-contraction, déformation angulaire et rotation, en développant l'expression de l'accroissement de vitesse vd

pures pures

pures pures

.)(

.)()( v . )( )( v

rotationsnsdéformationtranslatio

rotationsnsdéformationtranslatio

rdrderv

rdrdervrdrrdGrvrdr

vd

L'équation de continuité est d'intérêt très général puisqu'elle traduit le principe de conservation de la masse au sein d'un écoulement. L'établissement de cette équation locale repose sur un bilan de masse de fluide au sein d'un élément de volume pendant un temps élémentaire dt

II.4- Équation de continuité

On considère alors un élément de volume parallélépipédique: dV= dxdydz de masse m= dxdydz

La variation de la masse pendant dt:

dtdVt

dtd

tm

m

Le bilan de masse pendant le temps dt sur les 3 directions (différences entre les masses entrantes et les masses sortantes sur les 6 faces du parallélépipède) donne:

dVdt

yv

dxdydzdtyv

dxdzdtvdxdzdtvdmasse

dxdzdtdyy

vdxdzdtyv

entrantemasse

dyyy

sortante

.

ym

Par analogie, selon les deux autres directions (x et z)on trouve :

dVdt

xu

d

xm

dVdt

zw

d

zm

Par conséquent, la variation de masse due aux débits massiques à travers les 6 faces se formule :

dVdtvdivdVdtv

dVdtwvu

ddd

zyxmmm zyx

Finalement la variation de masse du volume dV pendant le temps dt est :

dm dVdtvdivdVdtvdVdtt

0

vdivt

ou Equation de continuité

Cas particuliers:

• Si l'écoulement est stationnaire ou permanent (aucune variation dans le temps des différentes grandeurs caractérisant l'écoulement et le fluide), alors on a :

0 0

vdivt

• Si le fluide est incompressible , alors sa masse volumique est une constante (ne dépendant ni du temps, ni des coordonnées de l'espace) ; dans ce cas :

0

vdiv

Par définition, les fluides « Newtoniens » sont ceux pour lesquels les composantes

du tenseur des contraintes de viscosité dépendent linéairement des

composantes du tenseur des taux de déformation pure et non de la rotation et de

la translation de l’élément de fluide. C'est notamment le cas pour la plupart des

fluides usuels.

.

II.5- Fluides newtoniens et équation de Navier-Stokes

'T e

Le coefficient de proportionnalité n'est autre que la viscosité du fluide (viscosité

dynamique) . Ainsi, il est possible de revenir à une notation tensorielle formulant

simplement : eT 2'

Reprenons désormais l'équation fondamentale de la dynamique pour la reconsidérer

dans l'hypothèse d'un fluide newtonien :

e 2T' avec T' p dtvd

g

ou: e 2p dtvd

g

L'équation fondamentale de la dynamique prend donc la forme simplifiée suivante :

p dtvd

gv Equation de Navier- Stokes

L'exploitation de cette formule (constituant l'équation fondamentale à partir de

laquelle la plupart des écoulements pourront être décrits) implique le développement

de l'expression du terme d'accélération. En effet, l'écoulement pouvant être non

stationnaire, le vecteur vitesse peut, en un point fixe varier dans le temps

(accélération instantanée). Par ailleurs, il faut que l'accélération puisse rendre

compte de l'évolution du vecteur vitesse lorsqu'une particule fluide se déplace d'un

point à un autre (accélération convective). Ces deux types d'accélération vont ainsi

pouvoir être pris en compte à travers la notion de dérivée particulaire du vecteur

vitesse : v ) v(tv

dtvd

Pour un fluide incompressible, on démontre que : v 21

e

Le laplacien

Ainsi, l'équation de Navier-Stokes peut s'écrire explicitement de la manière suivante :

v ) ( p

vtv

gv

Ainsi, dans un repère cartésien tel que: , les 3 projections de cette formule

s’écrivent:

zegg

gzv

vyv

vxv

vtv

zv

yv

xv

zp

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

z

v

y

v

x

v

yp

zv

vyv

vxv

vtv

zv

yv

xv

xp

zz

zy

zx

zzzz

yz

yy

yx

yyyy

xz

xy

xx

xxxx

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

La connaissance de conditions aux limites, portant sur la vitesse et la

pression, doit permettre de résoudre ce système d'équations et d'obtenir

le champ de vecteurs vitesse. Néanmoins, on comprend facilement qu'une

résolution analytique peut s'avérer difficile, voire même impossible. C'est

pourquoi le recours à des résolutions numériques est souvent nécessaire

pour appréhender des problématiques concrètes.

Une approche purement analytique peut toutefois permettre la

description d'écoulements spécifiques, pour lesquels un certain nombre

d'hypothèses simplificatrices peuvent être introduites. C'est le cas

notamment lorsqu'un écoulement est stationnaire, laminaire ou bien

lorsque le fluide peut être considéré parfait (viscosité négligeable).

III- Dynamique des fluides parfaits

Envisageons l'écoulement permanent d'un fluide parfait

incompressible , l'équation de Navier-Stokes devient :

0

Cste

0 ) (

t

)v ( p vg

Par ailleurs, si l'accélération de la pesanteur peut être considérée constante et

telle que : alors on peut formuler l'équivalence suivante :zegg

Par conséquent on peut écrire :

v ) ( gz) (p v

gz)( -

-

gz

z

y

x

egg z

III.1- Equation de Bernoulli

v ) ( p

vtv

gv

v

v

)v ()v v(

21

v ) (v

. .21

222

rot

yzyzxx

xyx

yzz

zxzxyy

zyx

zzzyzx

yz

yy

yx

xzxyxx

z

v

yv

vxv

zv

v

yv

x

vv

z

v

yv

v

xv

zv

vyv

x

vv

vvv

z

y

x

zv

vyv

vxv

v

z

vv

y

vv

x

vv

zv

vyv

vxv

v

D’autre part ; d'un point de vue purement mathématique, le terme de droite (l'accélération convective) peut être développé de la manière suivante :

La nouvelle formulation de l'équation de Navier-Stokes s’écrit alors :

)v ().(21

)( - vrotvvgzp

v ) ( gz) (p v

vrotvgzp )v ()21

( 2

si l'écoulement est irrotationnel, alors : 0)v (0

vrot

Résumé:

:où' d

Cstevgzp 221

L'écoulement permanent et irrotationnel d'un fluide parfait est caractérisé en tout point de l’écoulement par :

Elle traduit le fait qu’elle reste constante le long d'une même ligne de courant.

Equation de Bernoulli

On comprend facilement que l'accélération du fluide (augmentation de la vitesse) conduit nécessairement à une diminution de la pression motrice (ou bien de la pression statique si l'altitude est constante). Inversement, une augmentation de la pression motrice est liée à la décélération du fluide.De manière très générale, cette équation de Bernoulli traduit le principe de conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant dans le cadre de l'écoulement d'un fluide parfait.

0)21

(

espacel' de scoordonnée des teIndépendan

2 vgzp

Si on multiplie par un volume unitaire, chacun des termes de l'équation a la dimension d'une énergie :

(Joules) 21

mécanique Energie

2

pesanteur de forcesaux due epotentiell Energie

pression de forcesaux due epotentiell Energie

EmCstemvmgzpV

cinétiqueEnergie

L'absence de frottement dû à une viscosité négligée (fluide parfait) conduit logiquement au fait qu'il n'y a pas de dissipation d'énergie au cours de l'écoulement.

(m)

2

to taleCharge

2

dynamique position

deHauteur uemanométriqHauteur

HCstegv

zgp

Hauteur

quepiézométriHauteur

Si on divise par g, chacun des termes de l'équation a la dimension d'une hauteur :

Équation de Bernoulli

v1 et v2 : vitesses d’écoulement du fluide dans les sections S1 et S2 (en m/s)

p1 et p2 : pressions statiques (en Pa)

z1 et z2 : altitudes des sections S1 et S2 (en m)

gv

zgp

gv

zgp

22

22

52

21

11

-dvi : volume de fluide déplacé entre les instants t et t + dt de masse dmi.

-Si :section de la veine fluide,

- dli : hauteur du volume cylindrique de fluide admis ou expulsé (dvi = Si dli),

- Vi : vitesse des particules fluides,

- Gi : centres de gravité des volumes dvi d'altitude zi,

- pi : pression

Démonstration l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait par application du principe du bilan d’énergie

Expressions des différentes formes d'énergie mécanique

Expression du principe de conservation de l'énergie

D'après l'équation de continuité:

On obtient alors :

Bilan d’énergie:

Représentation graphique de l’équation de BERNOULLI

- Tube de Pitot:

ghv

ghppg

vgp

gp

N

NM

NM N

22

2

III.2- Applications de l’équation de Bernoulli en écoulement parfait

Dispositif qui permet une mesure de la vitesse

d'écoulement d'un fluide. L'objet présente une forme

profilée, est creux afin d'être rempli du fluide dans

lequel il est immergé, et doit être muni de deux prises

de pression (tubes manométriques).

Déterminons la vitesse d’écoulement ?

Calculons le débit dans la conduite composée d’un rétrécissement de section ?

Hzgppzz

gVV

zg

Vgpz

gV

gp

1212

21

22

2

222

1

211

2

22

HzSS

gVHz

gV

SS

gVDonc

VSVSSachant

2

1

22

22

2

2

1

22

2

2211

1222

:

:que

zHg

SS

SarzHg

SS

V

2

1

Q:conséquent p 2

1

12

1

2

22

1

2

2

Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 et donc : ΔZ = 0 et la formule précédente se simplifie :

Hg

dd

dHg

SS

S

2

1

2

1

Q

4

4

1

2

22

2

1

2

2

- Tube Venturi:

Vidange d’un réservoir à niveau constant: On considère un réservoir cylindrique de diamètre intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de diamètre d = 30 mm, permettant de faire évacuer l’eau à l’air libreCalculer:

1) la vitesse d’écoulement V2 en supposant que le diamètre d est négligeable devant D ? 2) En déduire le débit volumique en négligeant l’effet de contraction de la section de sortie ?

2

2

12

2

1

2

44V

DdVVdVD

smgH

Dd

gHVoùd

zg

Vz

Dd

gV

ppp

zg

Vgp

zg

Vgp

atm

/67,72

1

2:'

22

22

42

2

22

1

422

21

2

222

1

211

1) Vitesse d’écoulement V2:

smSVQ /10.42,5403,0

67,7 332

2

2) Débit volumique:

On considère un réservoir circulaire de diamètre D1= 6 m muni à son fond d’un orifice de vidange circulaire de diamètre D2= 0,6 m , ayant un coefficient de contraction de l’écoulement m=0,6Initialement, ce réservoir est rempli jusqu'a une hauteur initiale H1= 6 m.Quel est le temps nécessaire pour vidanger le réservoir ?

Temps de vidange dans un réservoir à niveau variable:

H

ghdh

mSSdt

QQécoulementghmSQdtdhS

dtdVQ

se

tsor

entrant

2

permanenet 2

2

1

2tan

1

mns

gHDHD

gHmSHStou

gmSHS

gmSS

hdh

gmSSdtt h

H

H

t

t

318426,0

*2initialdébit

initial Volume22

2

22

22

2

12

2

12

1

12

11

2

11

02

10

2

1 1

1

2

1

On considère un siphon de diamètre= 2 cm. En négligeant les pertes de charge dans le siphon, calculer les pressions relatives aux points 2 et 3 et la vitesse au point 2 ?

m -0,5m 5,000 2

22

24

22

2442

4

244

2

222

zzgVV

gp

gp

zg

Vgpz

gV

gp

m-1m 0,5-m 5,002

22

32

23

2223

3

233

2

222

zzgVV

gp

gp

zg

Vgpz

gV

gp

smgV

zzg

Vgpp

gV

zg

Vgpz

gV

gp

/13,35,02

5,022

22

2

21

2121

22

2

222

1

211

Siphon de vidange :

On devra alors introduire des hypothèses de travail qui permettront de résoudre

l’ équation de Navier-Stokes dans le cadre de régimes d'écoulement particuliers.

IV- Dynamique des fluides réels

IV.1- Généralités:

Dans toutes les situations où les forces de frottement jouent un rôle significatif, la

viscosité du fluide ne pourra plus être négligée. On passe alors de la notion de

« fluide parfait » à celle de « fluide réel ».

IV.2- Régimes d’écoulement:

On peut formaliser la différence entre ces deux régimes d'écoulement en terme de

champ de vecteurs vitesse. Ainsi, en un point M de l'écoulement, le vecteur vitesse

présente trois composantes qui :

•Dans un écoulement laminaire les composantes sont constantes et caractérisées par :

•Dans un écoulement turbulent les composantes dépendent du temps :

xxMM veu e v 0 v; 0 w; v u MMM

)(u )( w; )( MM tttvM

En régime laminaire , on pourra généraliser l’équation de Bernoulli en introduisant la

notion de pertes de charge dues à la viscosité.

En régime turbulent , on devra utiliser des relations empiriques généralement

déterminés expérimentalement

L'expérience montre qu'avec l'augmentation du débit, le filet coloré passe d'un

état régulier et rectiligne (le régime laminaire) à une forme chaotique et instable

(le régime turbulent), en passant par un état intermédiaire présentant des

oscillations (le régime transitoire)

Comment caractériser le régime d’un écoulement ?

C’est le résultat des travaux d’O. Reynolds

Il s’agissait d’une étude systématique du régime d’écoulement en fonction des

différents paramètres: Q, , géométrie de la conduite.etc

Les travaux de Reynolds ont permis de montrer que la transition du régime

laminaire au régime turbulent n'est pas seulement conditionnée par le débit Q

mais dépend aussi de:

la vitesse moyenne de l’écoulement V;

le diamètre de la conduite D;

des propriétés intrinsèques du fluide (masse volumique et viscosité )

e VD

R Nombre de Reynolds (Re)

IV.3- Pertes de charge:

Pour rendre compte de la dissipation d'énergie due aux frottements visqueux, ces

pertes de charges prendront place dans la formulation d'une équation de Bernoulli

généralisée.

=20003000

Turbulence intermittente

C'est alors qu'il devient fondamental de faire la distinction entre écoulement

laminaire et turbulent puisque les hypothèses liées à l'aspect laminaire vont

permettre de formuler de manière analytique les pertes de charges, alors que le

caractère turbulent d'un écoulement n'autorisera la formulation de ces mêmes

pertes de charge qu'au travers de critères essentiellement empiriques

IV.3.1- Ecoulement laminaire et pertes de charge linéaires:

Le long d'une ligne de courant, l'écoulement permanent d'un fluide de viscosité non négligeable obéit à l'équation suivante:

D’où: vvg )21

z p(

otalepression t

2

:t p

)v ().(21

v )( - vrotvvgzp

vrotvvgzp )v ( )21

( 0

2

La projection dans les 3 directions donne:

vdxdp

xzyx

p

p

vp

t

)(p ),,(p

0z

0y

x

tt

t

t

t

xzyx ezyxuezyxwezyxvezyxuv ),,(),,(),,(),,(

z)y,(x,

x

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

xdefonction

t

Cstezv

yv

zv

yv

xv

udpd

zetydefonction

Conclusion: La charge varie linéairement avec la distance parcourue par le fluide

xevwv

vu v

00 v

Puisque les frottements visqueux sont responsables d'une dissipation d'énergie, il

s'ensuit logiquement que la charge décroît avec la progression de l'écoulement 0Cstedxdpt

Charge totale

xdxdP

PPP

vg

tttt

21

2t 21

z pP posons

il est commode de généraliser l'équation de Bernoulli en y faisant apparaître les

pertes de charges linéaires de la manière suivante :

(m) 2

zp

2z

gp

H H

ou

(Pa) 21

z p21

z p

22

22

21

11

21

2222

211121

hg

vgg

vh

pvgvgppp

linéairespertes

linéairespertes

tttt

Il reste alors à caractériser : dxdPt

- Écoulement de PoiseuilleL'objectif est ici de caractériser les pertes de charge linéaires en considérant un

écoulement spécifique. Considérons alors l'écoulement laminaire d'un fluide de

viscosité et de masse volumique , dans une conduite cylindrique de rayon R posée

horizontalement défini dan un repère cylindrique dont l'axe de révolution est celui de

la conduite et correspond à la direction de l'écoulement laminaire.

la vitesse n'évolue pas le long de l'axe de la conduite; le vecteur vitesse est purement axial et ne dépend que de r

ACsterr

rrr

1

dxdp

t

Il et donc possible d’en déduire le profil de vitesse par simple intégration:

v

evV x

dxdp

0 v v

t

r

rv

rrrx

vvrv

rrr

vr

111

0

2

2

0

2

2

2

Profil des vitesses:

ACsterr

rrr

1

dxdp

t

rA

drdv

rA

rv

rrr

drd

1

BAr

drdv

r 2

2

rBAr

drdv

2

limites conditions des aidel' àr détefrmine à constantes C B,

ln4

v 2

)( CrBAr

r

Au contact de la paroi r = R, le fluide est immobile:

0ln4

0 v 2

)( CRBAR

R

Sur l’axe de la conduite r = 0, la vitesse est de valeur finie: 0 B

D’où:4

t 02AR

CeB

alors: eparaboliqu vitessede profil 4

- 22)( rR

Av r

Pour avoir v(r) > 0 quelque soit r < R,

il faut que A < 0

Calcul du débit volumique:

44

0 0

22)(V

(r)

844A

-2

422Q rdr 2dS si

dSvq

RAR

rdrrRA

rdrv

dR R

r

V

Sachant que: 4V 128

Q :alors Ddxdpt

2D

Ret dxdp

A t

La perte de charge est proportionnelle à la distance parcourue: « perte de charge linéaire »

4V 128

Q Ddxdpt

Remplaçons dans: dxdpt

Alors: 4

V 128Q D

Lpt

Formule de Poiseuille

24

4V

32128

128Q

DLv

DS

Lvp

SvDLp

mmt

mt

SQ

v Vm

Ldxdp

xxdxdp

dxdxdp

dxdxdp

ppp t

L

tt

Cste

tttt

)( 21

1

2

1

2

21

Il est d'usage d'exprimer une perte de charge en fonction de la pression cinétique

de l'écoulement dans la conduite. La pression cinétique est générée par le

mouvement (elle correspond à l'énergie cinétique par unité de volume) et

s'exprime : 2

21

m

On peut formuler la perte de charge sur une longueur comme:

- Coefficient de perte de charge en écoulement laminaire

2

Re646464

222t 212

.3232

p

2

m

DL

DL

DvvDL

m

mm vvD

LvDLv

mm

gDL

DLvm

2v

hou 2

p 2

m2

t

Résumé: Pour un régime laminaire :Re64

Equation de Darcy-Weisbach

Lorsqu'un écoulement en conduite est turbulent, le profil de vitesse n'est plus parabolique comme

c'est le cas en régime laminaire.

Les pertes de charge linéaires sont essentiellement dues aux frottements visqueux entre les

particules fluides situées près des parois de la conduite. Il en résulte que les propriétés de la paroi

jouent un rôle important et que notamment sa rugosité devient un paramètre non négligeable.

Dans ce cadre, la détermination des pertes de charge linéaires ne peut pas s'obtenir à

partir d'une formulation analytique ; on a donc recours à des abaques construits sur la

base de mesures expérimentales ou des lois empiriques: concernant l'écoulement en

conduite cylindrique, on utilise classiquement le « diagramme de Moody »

Re64

2000 Re )(Re,f 2000 ReD

IV.3.2- Ecoulement turbulent et pertes de charge :

relative :D

(mm) conduite la de absolue :

Rugosité

Rugosité

k

Régime turbulentRégime laminaire

2

Dk

Dk

Re

Rugosité relative

Zone de turbulence de transition

Zone de turbulence rugueuse

Zone de turbulence lisse

Diagramme de MOODY

Darcy – Weisbach ( 1857 ) :

Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de et dépendent du régime d’écoulement :

gV

DLhl 2

2

- Expression générale de la perte de charge linéaire:

- L = Diamètre de la section d’écoulement ( m )- L = Longueur de la conduite ( m )- V = Vitesse moyenne d’écoulement ( m/s )- = Coefficient de frottement ( sans unité )

Perte de charge en régime laminaire :

Formule de Blasius Formule de Colebrook – White :

Diagramme de Moody :

Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis

d’élaborer un graphique permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re

pour les différents types d’écoulement et des rugosités relatives k/D :

eR64

eRD51,2

71,3log2

1

Formule de Poiseuille

rugosité sans 10Re2000 5 Re0,316

1/4

2

1 2

gV

DLh

j l

j: Pertes de charge unitaires (m/m)

Perte de charge en régime turbulent: Parmi les formules de calcul du coefficient λ on trouve:

Coefficient ks de Scoby

Nature du tuyau KsAlliage Aluminium 0,4

Plastique 0,37Acier revêtu 0,42

9,49,1 ***716,0 DQkj s

Q : Débit d'écoulement en l/h

D : Diamètre intérieur de la conduite en mm

Q: Débit d'écoulement en m3/sD: Diamètre intérieur de la conduite en m

9,49,1 ***75,40 DQkj s

j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m

75,175,4478,0 QDj 75,175,4452,0 QDj

Cas de canalisations en polyéthylène (PE) Cas de canalisations en polychlorure de vinyle (PVC)

j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m; D : diamètre intérieure (mm); Q: débit de la rampe (l/h)

- Formule de Scoby:

- Formule Blasius:

ScobydetCoefficienDV

kj s :k 10*5087,2 s1,1

9,13

872,4

852,19 110135,1

DCQj

j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/mQ: Débit d'écoulement en m3/h ;C: Coefficient de rugosité dépendant de la nature de la conduiteD: Diamètre intérieur de la conduite en mm ;

872,4

852,1 1675,10DC

Qj

Q : Débit d'écoulement en m3/s D : Diamètre intérieur de la conduite en m

Nature du tuyau CPVC 150PE 145

Acier revêtu 130-150Fonte revêtue 135-150

Aluminium 120Fonte encrassée 80-120

Coefficient C de Hazen Williams

- Formule de Hazen-Williams:

WilliamsHazendetCoefficienDC

Vj

HW

:C 818,6 HW167,1852,1

852,1

- Autres expressions de la perte de charge linéaire:

Débit (mètre cube/ h)

Diamètre nominal (mm)

ABAQUE POUR TUYAUX EN POLYETHYLENE BASSE DENSITE

ABAQUE POUR TUYAUX EN PVC

Débit (mètre cube/h)

- Formule de Chézy :

La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach :

En introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la surface A et le périmètre d’écoulement P

hh RDDDD

PSR 4

44

2

hhl gR

LVgR

LVg

VDLh

8242

222

ehydrauliqu : pentejjLhl

posons :

222 8

88Cgposons

RgVj

gRVj

hh

:'oùd

ChézydetCoefficienC :

hRCV

j 2

2

- Formule de Manning- Strickler (expérimentale):

Strickler Manning de :1

:1

:que trouvéa Manning C de valeur laalement expériment

6/1

tCoefficienkn

kposons

rugositédetcoefficiennRn

C

cherchantEn

h

3/42

2Vj hRK

Nature des parois n 1/n Béton lisse 0.0133 75,19 Canal en terre, enherbé 0.02 50 Rivière de plaine, large, végétation; peu dense

0.033 30,3

Rivière à berges étroites très végétalisées

0.1-0.066 10-15,15

Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30 Lit majeur en forêt < 0.1 < 10

nmn

m

DQkDQkj

•Formule générale de pertes de charge linéaires unitaires:

•Pertes de charge linéaires totales: hl =J = j * L

IV.3.3- Pertes de charge singulières:

Le raisonnement que nous utiliserons fait appel à un théorème d'intérêt très

général pour traiter un grand nombre de problèmes en mécanique des fluides : il

s'agit du théorème d'Euler. Nous proposons donc, en préambule et sous la forme

d'un complément, d'exposer ce théorème.

Dans le cas particulier d'un écoulement permanent: 0t

Sc

s

Vs

VFFdSnvdVv )(dtd

il y a conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie, de sorte que:

222111SvSvQ

m

0

0)

v)

v- ) ( ( ( ) (

222

2 2

222

111

1 1

111

l

lllV

S

Sv

S

Sv

SSc

s dSnvdSnvdSnvdSnvFF

22221111 SvvSvvFF Vs

)( 12 vvQFFmVs Théorème d’EULER

pertes de charge d’un élargissement brusque

La perte de charge engendrée par

cette singularité peut alors

s'évaluer de façon analytique en

faisant appel au théorème d'Euler

21212211 )( 21

1S-

2Ssur

pression de forcesavalen

poussée contreamonten

poussée

SppSSpSpSpFs

)(:'

)()()(

12221

122212221

vvvppoùd

vvSvvvQSppm

22

22

)

p

22

2)

22

2222

2

11

2

111212211

212211

21212211

12221

1 21

21

(21

21

21

(21

21

21

21

21

21

21

)(

S

Sv

S

Svvvvvpvp

vvvpvp

vvvvvpvp

vvvpp

xaxel'sur projectionpar )(

)(

12

12vvQF

vvQFF

m

mV

s

s

0VF

2

1

2

11

1k posons 121

22

S

S

S

Svp

(m) 2g

k hou (Pa) 21

22 1

1

vvkp

Généralisation de l’équation de Bernoulli

ssingulière charge depertes des somme

2

arg des

2

2

222

bine)(Pompe/Turehydrauliqu

1

211

2222 j

jj

linéairesechdepertessomme

ii

iii

machine g

Vk

gDVL

zg

Vgp

Hzg

Vgp

Principe

La ligne d’énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies

potentielle, de pression , cinétique ainsi que les gains et pertes d’énergie le long

d’un circuit hydraulique.

L’énergie totale est définie par l’équation de Bernoulli:

machine unepar apporté (-) énergied'gain ou )( énergied' perte:2

2

H

Hg

zgp

H

On trace le long du circuit , à chaque point de trajet l’altitude z, la pression

p/g, l’énergie de vitesse v2/2g et le niveau de pertes accumulé.

Il faut calculer les pertes de charge et les débits pour pouvoir évaluer les

pressions ainsi que les énergies cinétiques.

V- Diagramme des énergies

gz

g

pH A

AA

A 2

2

gz

g

pH B

BB

B 2

2

24552

22

2

1

18 Q

Dk

D

L

D

L

g

hHHBA

45522

2

1

1

A

8

)g(HQ

D

k

D

L

D

L

HB

gz

g

pH A

AA

A 2

2

gz

g

pH B

BB

B 2

2

52

22 82 gD

LQgDL

hHHBA

58

)g(HQ A

D

L

HB

h

h

Exemples

gz

g

pH A

AA

A 2

2

gz

g

pH B

BB

B 2

2

2452

18 Q

Dk

D

L

g

hHHBA

458

)g(HQ A

D

k

D

L

HB

h

gz

g

pH A

AA

A 2

2

gz

g

pH B

BB

B 2

2

2445552

1

2

2

1

1

3

2

2

1

18 Q

D

k

D

k

D

L

D

L

D

L

g

hHHBA

4455

1

2

2

1

2

2

1

31

A

8

)g(HQ

D

k

D

k

D

L

D

LL

HB

h

gz

g

pH A

AA

A 2

2

gz

g

pH B

BB

B 2

2

0

242

2

18

2

QDL

gDzH

hg

vzH

BA

BBA

DL

zD B

18

)g(HQ A2

h

gz

g

pH A

AA

A 2

2

242 21

8 Q

DL

kkgD

HH

hHH

BA

BA

218

)g(HQ A2

kkDL

HD B

gz

g

pH B

BB

B 2

2

h

Risques éventuels du tracé d’un réseau:

Considérons une conduite reliant deux réservoirs. La ligne piézométrique correspondant

aux pression relatives est représentée approximativement par la droite AA’ (On a négligé

la vitesse cinétique, donc ligne piézométrique=ligne de charge).

La ligne piézométrique

BB’ correspond aux pressions absolues (Pa/v = 10.33m).

Si la conduite toute entière est

située au dessous de AA’, la

pression dépasse la pression

atmosphérique. Cette hypothèse

correspond à une situation

normale.

Si la conduite passe au-dessus de la

ligne piézométrique AA’, la partie du

tronçon au dessus de AA’ est en

dépression. En général, on doit éviter

les zones en dépression

Si la conduite s’élève au-dessus de la

ligne horizontale qui passe par A, il

n’y aura écoulement que si toute la

conduite a été remplie d’eau au

préalable (effets de siphonnage).

Si la conduite dépasse la cote B, il est

impossible d’amorcer l’écoulement.

Dans un réseau d'adduction ou de distribution, nous pouvons rencontrer des

conduites placées en série et/ou des conduites placées en parallèle dans des

configurations simples , ramifiées ou maillées

VI- Caractéristiques du réseau de conduites

. Conduites en série:

Les conduites en série sont traversées par le même débit. La perte de charge

totale étant la somme des pertes de charge linéaires et singulières

.Conduites en parallèle :

Les conduites en parallèles ont la même perte de charge. Le débit total traversant

toutes les conduites est la somme des débits

. Réseau ramifié:

La caractéristique d'un réseau ramifié est que l'eau circule, dans toute la canalisation,

dans un seul sens (des conduites principales vers les conduites secondaires, vers les

conduites tertiaires,..). De ce fait, chaque point du réseau n'est alimenté en eau que

d'un seul côté.

. Réseau maillé :

Le réseau maillé dérive du réseau ramifié par connexion des extrémités des conduites

(généralement jusqu'au niveau des conduites tertiaires), permettant une alimentation

de retour. Ainsi, chaque point du réseau peut être alimenté en eau de deux ou plusieurs

côtés.

Réseau ramifié Réseau maillé

Conduites simples:

Une conduite simple est une conduite à diamètre constant sans bifurcations. Le

liquide se déplace dans la conduite parce que son énergie potentielle au début de la

conduite est supérieure à celle qu’il possède au bout. Cette différence de niveaux de

l’énergie potentielle peut être créée soit par grâce à la différence de niveaux du

liquide (différence des cotes) ou au travail fourni par une pompe.

ssingulièreet linéaires

charge de pertes2

222

1

211

22hz

gV

gp

zg

Vgp

hg

Vg

Vzzh

gV

gV

zzgp

gp

2222

21

22

12

21

22

1221

conduite la de résistance:

8822

224252

ssingulière charge depertes des somme

2

arg des

2

R

RQgDk

gDL

gV

kgDVLh Q

j

j

i

ii

j

jj

linéairesechdepertessomme

i i

iii

Régime laminaire: Qgd

lgdl

gdl

gdl

42

22

l128

2v64

2v

Re64

2v

h

droite uned' tiqueCaractéris QRzHex

2

2ex

22

21

22

12

Hexigée

21

RQ

CQ

zHauteur

hg

Vg

Vzz

gp

gp

:auraon s,singulière charge de cQ négligeantn 2 perteslesetE

Ainsi,

z

Hex

QA

Régime laminaire

Caractéristique d’une conduite

Caractéristique d’une conduite

z

Hex

QA

Régime turbulent

Régime turbulent:

52

22 82 gd

lQgdlV

hl

parabole uned' tiqueCaractéris 8 2

52

2QRz

gdlQ

zHex

:auraon s,singulière charge de cQ négligeantn 2 perteslesetE

La plupart des écoulements se situent, en pratique, en régime turbulent rugueux, où l'expression du coefficient de perte de charge devient indépendante du nombre de Reynolds mais dépendante de la nature du matériau (rugosité)

Conduites mixtes et conduites multiples:

Une conduite mixte est une conduite constituée de diamètres et longueurs différents.

Le débit qui passe à travers chaque tronçon sera le même et la perte de charge totale

sera la somme des pertes dans chaque tronçon.

ni

ni

hhhhh

QQQQQQ

..21

211

Hex

Q1 2 3

M N

H1

2M-N

3 1

H2

H1

H2

3 tronçons

hg

Vg

Vzz

gp

gp NM

NMNM

22

22

2QRzzH iNMex

i conduite la de résistance :

)...(.. 221

2

122

i2

22

1

i

R

ni

QR

n

QR

i

QRQR

R

QRRRRhhhhhin

1 2 iM N

n

ni

ni

hhhhh

QQQQQ

..

..

21

21

h 1

..111

..

eéquivalent conduite la de eConductanc :1

; i conduite la de eConductanc :1

1

2121

21

iRiR

i

ni

R

ni

Rh

n

Rh

i

Rh

Rh

RRRRQQQQQ

Exemple : 2 conduites identiques en parallèle R1=R2; équation de Darcy

4R

2111 1

121

R

RRRR

15/1

11

52

51

21

1

3,14.DD 4

R onc 8

8

DR

d

gDl

R

gDl

R

Une conduite multiple est une conduite en parallèle constituée de plusieurs tuyaux différents.

Q1

Q2

Q3

Q QM N

; ; 3212

332

222

11

321

321

QRhQRhQRh

gpp

hhh

QQQQ

nM

3 conduites en parallèle

Soit à calculer une conduite débitant 55 l/s issue d’un réservoir et qui se raccorde sur le

réseau distribution. La conduite n’effectue aucun service en route. La pression imposée

au sol est de 30 m d’eau minimum . La longueur de la conduite est 2500 m. Quel

diamètre doit-on donner à cette conduite ?

On donne: D=250mm j=0,0048 m/m v=1,12 m/s D=300 mm j= 0,0020 m/m v=0,78 m/s

R110 m

75m

AD:250 mm pression au sol=110-(0,0048*2500)-75=23 m

D:300 mm pression au sol=110-(0,0020*2500)-75=30 m

Applications:

Conduite en charge sans prélèvement (sans service en route )

J

Q

HA

Rq0

Q

HA

R1Q201

R2

Q1+Q2Q1

02

En A la pression à l’intérieur de chacune des conduites doit être identique. En ce point passeront dans les conduites 1 et 2, des débits Q1 et Q2

1

21+2

Conduites en parallèle: somme des abscissesConduites en série: somme des ordonnées

Ajouter à la caractéristique (1+2), la caractéristique de la conduite en série 3 par addition des ordonnées. On obtient (1+2+3)

R1

R21

2

3

Q1 Q2O1

O2

Q

H

3

12

1+2

1+2+3

Q1+Q2

A

Cas général:

CPEi, CPEj , CPEk

CPEA (supposée)

Akk

Ajj

Aii

CPECPEΔH

CPECPEΔH

CPECPEΔH

k

kk

j

jj

i

ii L

ΔHJ

LΔH

JL

ΔHJ

852,163,0

852,163,0

852,163,0

849,01

849,01

849,01

kHWHk

jHWHj

iHWHi

ARCK

ARCK

ARCK

54,054,054,0

k

kk

j

jj

i

ii K

JQ

KJ

QKJ

Q 0

kn

innQ kjiA QQQCPE ;;;

Oui

Non

CPE1

CPE2

CPE3

Q 3 L1, D1

R3

L2 , D

2

L 3, D 3

R2

R1

Q2

Q1

CPEA

A

Þ Placer un piézomètre imaginaire au niveau du nœud A;Þ Suivre les étapes de solution de l’organigramme

- Résolution analytique en cas de réservoirs multiples:

872,4)(

852,1

)/()/(

1675,103

mHW

smmm DC

Qj

- Formule de Hazen-Williams:

54,054,0

54,0872,4852,154,0

54,0872,4852,154,0

**094,0

67,10*

Kj

DCj

DCjQ

HW

HW

CPe3

CPe2

CPe1

Q 1

L3, D 3R3L

2 , D2

L1, D

1

R2

R1

Q2

Q 3

O

CPeO

:retienton 10)(10- 3321

-3 QQQsi

:nouveau de supposeon sinon

104

146,7133,8

R1

R3

R2

O

300m

D 30

0

C WH=1

20

500m D 300

CWH=120

400m D 400

CW

H =120

Exemple:

Déterminons les débits dans les conduites de l’installation hydraulique ci-contre ?

Etablir un tableau de calcul des débits. Vérifier l’équation de la continuité en adoptant une précision appropriée (±10-3)

Vérification:-10-3≤ Q1- (Q2 + Q3)≤10-3

Q1- (Q2 + Q3) = 0,422-(0,103+0,321) = -0,001

104

146,7

133,8

R1

R3

R2

O

300m 300

C WH=120

500m 300

CWH=120

400m 400

CWH =120

CPeO

CPe CPeOsupposée

h L j j0,54 CHW D K K0,54 Qi

(m) (m) (m/m) (m) (m3/s)

R1 146,7136,15

10,55 400 0,026 0,14 120 0,4 7,69 3,008 0,422R2 133,8 2,35 300 0,008 0,073 120 0,3 1,89 1,412 0,103R3 104 32,15 500 0,064 0,227 120 0,3 1,89 1,412 0,321

Q1-(Q2+Q3) -0,001

Solution:

R1

R3

R2

A

150m D 100=0,02

500m

D 150

=0,02

B

C

H1=18 m

H2=6 m

vanne

350m D 100=0,02 T

On considère un système de trois réservoirs interconnectés dont les niveaux supposés constants. On néglige les pertes de charge singulière à l’exception de la perte de charge induite par la vanne.1) La vanne es fermée. Calculer le débit correspondant ?2) La vanne V est partiellement ouverte. Pour une certaine ouverture de la

vanne le débit Q2 (entre T et B) est nul. En déduire: Les débits Q1 et Q3 Le coefficient K correspondant

Exercice 2

Le débit en route (Qr) est un débit qui entre à l’amont du tronçon et ne sort pas à l’aval:

il est consommé par les abonnés tout le long du tronçon. Ce débit en route, supposé

uniformément réparti sur toute la longueur du tronçon avec lequel on doit calculer la

perte de charge et par suite fixer le diamètre du tronçon de conduite peut être calculé

par l’une des deux méthodes suivantes:

Conduite débitant Qr/L uniformément

Cherchons la perte de charge dans un

tronçon de conduite de longueur l, en

admettant qu’il doit d’une part distribuer

un débit uniforme Qr sur son parcours et

d’autres part, assurer un débit Qt à son

extrémité.

Résx

B

Qr

Qt

A

L

JJx

I

Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti et débit de transit (service en route )

trtr

r

r

QLx

QQLxQ

Q

LxQ

Sur

1

.Q :reste il I,en

. débit vaut le AI

(x)

dxQLx

QLR

dxQLR

J

Perte

trx

22

)( 1d

:dxlongueur la àant correspond dJ charge de

22

2(L) 3

JL xsi ; 0J 0 x cr

rtt RQQ

QQQRJJsi

Qc: débit fictif supposé constant sur tout le tronçon et qui donnerait une perte de

charge équivalente à celle donnée par la formule précédente dans une conduite de

même résistance3

Q2

2c

rrtt

QQQQ

rQtQrQtQ

rt

rrtt

rt

QQ

QQQQ

QQ

rQ

57,0cQ50,0

222

2

33

2

55,0tQ

Résx

B

QrQt

A

L

JJx

I

33 0Q

:rparticulie 22

2t

rrrtt

QR

QQQQRJsi

Cas

FLjJh F: Coefficient de réduction de la perte de charge

i: nombre de tronçons; e: écartement entre 2 sorties D: diamètre de la rampe L: longueur de la rampe q: débit d’un asperseur

L

qiQi * n

mi

i DQkj

eDiqke

DQkejJ n

m

n

mi

ii

Il existe des tables donnant F en fonction de N, et de m , donc selon la formule de perte de charge utilisée utilisée

mN

n

m

m

mN

n

mN

i iDNq

NNekNi

DqekJJ

111

FLjN

iL

DQkJ m

mN

n

m

1

1eNL *

QN ii+1 Qi i -1

qq q qe

123N

e

Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti sans débit de transit (service en route )

Nombre de sorties

Hazen-Williams

Scoby Darcy-Weisbach

123456789

101112131415161718192022242628303540

10,6390,5340,4860,4570,4350,4250,4150,4090,4020,3970,3940,3910,3870,3840,3820,3800,3790,3770,3760,3740,3720,3700,3690,3680,3650,364

10,6340,5280,4800,4510,4530,4190,4100,4020,3960,3920,3880,3840,3810,3790,3770,3750,3730,3720,3700,3680,3660,3640,3630,3620,3590,357

10,6250,5180,4690,4400,4210,4080,3980,3910,3850,3800,3760,3730,3700,3670,3650,3630,3610,3600,3590,3570,3550,3530,3510,3500,3470,345

Coefficients de réduction F à utiliser suivant le nombre de sorties N et la formule de pertes de charge utilisée

m

Nm

N

iF

1

1

2

3

1

Q1

Q2

Q3

p1

p2

p3

Z1

Z2

Z3

M

M

O O’Q

Conduites ramifiées :Une conduite ramifiée est un ensemble de plusieurs tuyaux de dimensions différentes possédant un point commun où ces tuyaux se séparent les uns des autres.

233p3

233

233

333

23

23

3

222p2

222

222

222

22

22

2

211p1

211

211

111

21

21

1

21

H22

H22

H 22

3

2

1

QRQkQCgp

zhg

vg

vgp

zg

p

QRQRQCgp

zhg

vg

vgp

zg

p

QRQRQCgp

zhg

vg

vgp

zg

p

QQQQQ

p

p

p

H

MM

H

MM

H

MM

ni

On trace les caractéristiques de chacun des

tuyaux ; ensuite comme les conduites en

parallèle on additionne les abscisses (Q)

pour une même valeur des ordonnés

(Hex=pM/g).

La caractéristique résultante de la conduite

ramifiée permet de déterminer la valeur des

débits d’après la pression pM et vice versa

Méthode de calcul de Hardy - Cross

2 principes: principes d’équilibre des nœuds et des pertes de charges en chaque maille

Méthode

Conduites maillées :

1 ère loi: loi des nœudssortieentrée QQ

Nœud A30 l/s

10 l/s

50 l/s90 l/s

90-(50+30+10)=0

2 ème loi: loi des maillesA B

Q4

C

100,7 m

100,5 mQ3J3

102 m

100

Q1

J1

J4 Q2 J2

D

+

J=J1+J2+J3-J4=0

on définit un sens de parcours positif arbitraire

(sens des aiguilles d’une montre)

se fixer dans chaque maille une répartition supposée des

débits ainsi qu’un sens supposé d’écoulement tout en respectant

la 1 ère loi. Un diamètre tout au moins provisoire, des

canalisations (avec des vitesses entres 0,6 et 1,2 m/s) peut être

choisi et l'on calcul les pertes de charges correspondantes.

Si ces valeurs de pression et de débit sont incompatibles avec les valeurs à assurer, on corrige les diamètres des tronçons incriminés et on recommence le calcul.

Le résultat de calcul se traduit alors par la connaissance des pressions à chaque nœud et des débits dans chaque branche et ceci pour le choix des diamètres définis initialement.

Principe de Calcul d’une maille

+

J2

Q2

Q1

J1

Qe Qs

ssortieeentrée QQQQQQ 21

on se fixe arbitrairement la répartition de Qe entre les 2 branches

choisissant les deux diamètres permettant d’écouler les débits Q1 et Q2 on calcule des pertes de charges correspondantes (attention aux signes des pertes charge compte tenu du sens de parcours):

0222

21121 QRQRJJJh

La répartition de Qe en Q1 et Q2 n’étant pas correcte, on corrige en ajoutant algébriquement une correction Q1

En conséquence:

)(2

)(Q2 ,Qen termesles négligeant

0

2211

222

211

1

222

21122111

21

2122

211121

QRQRQRQR

Q

QRQRQRQRen

QQRQQRJJJh

alors , Ret R :que 2

2

222

1

11

Q

J

Q

JSachant

0Q diminuer lefaut ilet important est trop Q ,0 0Q augmenter l'faut ilet t insuffisanest Q ,0

22

1121

1121

2

2

1

1

21

2

2

1

1

211

JJsiJJsi

QJ

QJ

JJ

QJ

QJ

JJQ

Pour n tronçons, on généralise:

i

i

i

QJ

JQ

21

Si pour de nouveaux débits, la 2 ème loi n’est toujours pas satisfaite, corriger les

débits d’une nouvelle valeur Q2 calculée de la façon précédente. Ainsi on se

rapprochera de zéro pour la somme algébrique des pertes de charge du contour.

A B

C

q

D

+

E

F

+I II

La conduite commune sera affectée par les deux corrections des débits calculées pour les deux mailles, affectées de leurs signes respectifs.

Examinons la conduite BC traversée par le débit q

Principe de Calcul de 2 mailles

dans la maille I le débit q est >0 la correction est alors +q(I) dans la maille II le débit q<0 la correction est -q (II)

Ainsi pour la conduite BC: q= + q(I) - q(II)

On arrête les itérations lorsque pour toutes les mailles:

précision la dansloin plusaller peut on calcul, de programmeun d' aidel' à

m 0,5 voir m 2,0Jet l/s 5,0 q

Si la solution obtenue ne vérifie pas les conditions imposées (vitesses admises et /ou pressions suffisantes), on doit modifier le choix des diamètres de certains tronçons et refaire le calcul dès le début

Résumé pour le calcul d’un réseau maillé avec la méthode de Hardy-Cross:

On se donne à priori les débits de la 1 ère approximation en chaque branche de manière à

satisfaire la condition d’équilibre des nœuds.

Pour chaque maille on calcule q.

On corrige qi.

Répéter les mêmes opérations jusqu’à obtention de l’erreur voulue.

l DN q v j J J/q q q v j J J/q q(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s) (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)

I

II

1 ère itération 2 ème itération

Maille M.adjac. N°tronçon

Ji

i

i

QJ

JQ

21

i

i

QJ

Ji

i

QJ

i

i

i

QJ

JQ

21

Ji

i

i

QJ

JQ

21

i

i

QJ

Ji

i

QJ

i

i

i

QJ

JQ

21

Exemple de calcul d’un réseau maillé

D300

110 l/s

L=600 m

L=500 m

A D200

R 30 l/s

D250BL=600 m D250

L=650 m

L=650 m

D

CD200

15 l/s

Rugosité des tronçons k=10-4

D300

110 l/s

65 l/s

25 l/s

A D200

R30 l/s

D250

B45 l/s D250

40 l/s

25 l/s

D

CD200

15 l/s

65 l/s+ +

On cherche à calculer:

• la répartition du débit dans les différentes branches du réseau ?• le débit résiduel au point D ?

Choisissons une première répartition arbitraire des débits dans les différents tronçons qui vérifie la 1 ère loi des débits aux noeuds: sortieentrée QQ

Solution:

Les itérations du réseau par la méthode de Hardy-Cross sont consignés dans les tableaux:

Q final (l/s)q v j J J/q q

(l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)49,03 0,99 0,00392 2,35 0,048 0,31 49,318,88 0,6 0,00199 -1 0,053 -0,43 18,560,97 0,86 0,00239 -1,43 0,024 -0,31 60,7

-0,08 0,124 0,31

37,91 0,77 0,00243 1,58 0,042 -0,12 37,818,88 0,6 0,00199 1,09 0,053 -0,43 18,527,09 0,86 0,00389 -2,53 0,093 0,12 27,2

0,05 0,188

<0,2 m <0,5 l/s

3 ème itération

Ji

i

QJ

i

i

i

QJ

JQ

21

Ji

i

QJ

i

i

i

QJ

JQ

21

l DN q v j J J/q q q v j J J/q q(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s) (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)

AB 600 250 45 0,91 0,003 2 0,045 4,72 49,72 1,01 0,004 2,4 0,048 -0,69II BC 500 200 25 0,79 0,003 -1,67 0,067 -7,87 17,13 0,54 0,0017 -0,83 0,048 1,75

AC 600 300 65 0,91 0,003 -1,62 0,025 -4,72 60,28 0,85 0,0023 -1,4 0,023 0,69-1 0,136 4,72 0,17 0,12 -0,69

BD 650 250 40 0,81 0,003 1,74 0,044 -3,15 36,85 0,75 0,0023 1,49 0,04 1,06BC 500 200 25 0,79 0,003 1,67 0,067 -7,87 17,13 0,54 0,0017 0,83 0,048 1,75CD 650 200 25 0,79 0,003 -2,17 0,087 3,15 28,15 0,89 0,0042 -2,71 0,096 -1,06

1,2 0,197 -0,39 0,185

I

II

1 ère itération 2 ème itération

Maille M.adjac. N°tronçon

Ji

i

i

QJ

JQ

21

i

i

QJ

Ji

i

QJ

i

i

i

QJ

JQ

21

Ji

i

i

QJ

JQ

21

i

i

QJ

Ji

i

QJ

i

i

i

QJ

JQ

21

D300

110 l/s

60,7 l/s

18,5 l/s

A D200

R30 l/s

D250

B49,3 l/s D250

37,8 l/s

27,2 l/s

D

CD200

15 l/s

65 l/s+ +

La répartition finale des débits dans les différents tronçons est la suivante:

On peut vérifier que la continuité aux nœuds est toujours satisfaite. Les vitesses finales dans tous les tronçons sont acceptables (0,6 à 1,2 m/s)