1. fermigase 1.1 fermi-verteilung 1.2 verhalten nahe...
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G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik II – Kapitel 1 14. März 2014 1/24
1. Fermigase 1.1 Fermi-Verteilung 1.2 Verhalten nahe T=0, Fermi-Druck 1.3 Endliche Temperaturen
1
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1.1 Fermi-Verteilung
Pauli-Verbot:
Es darf nie mehr als ein Fermion den gleichen Einteilchenzustand annehmen (unter Berücksichtigung des Spins)
Besetzungszahl der Einteilchenzustände:
Ein-Teilchen Hamiltonoperator:
1.1 Fermi-Verteilung
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1
( )
0
( , , ) i i
i
n
G K i i
ni
Z T V n e n
( , , ) ln ln 1 e x p ( )G K i
i
J T V k T Z k T
),,(
VTJN
( )
1
1ii
i i
Ne
Fermi-Dirac Verteilungsfunktion:
Die mittlere Zahl der Teilchen im Zustand εi bei Temperatur T und chemischem Potential μ
1.1 Fermi-Verteilung
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1.1 Fermi-Verteilung
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5
Kasten mit Volumen V (periodische Randbedingungen)
1 / 3 1 / 3 1 / 32 , 2 , 2
x x y y z zk V n k V n k V n
Ableitung der Zustandsgleichung für ideales Fermi-Gas:
2 2
2
, ,
( , , ) ln 1
x y z
k
m
B
n n n
J T V k T e
( , , ) ln ln 1 e x p ( )G K i
i
J T V k T Z k T
Mit:
Für große V:
1.1 Fermi-Verteilung
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Rotationssymmetrie des Hamiltonoperators dkkkd
234
Änderung der Integrationsvariablen k :
d
mdkk
mkdkk
md
2/3
2
2
2
22
2
12;
3 / 2
2 2
, 0
2( ) m i t ( ) ( 2 1)
4k
V mD d D s
Zustandsdichte des idealen Gases: Zahl der Einteilchenzustände im Intervall [ε,ε+dε]
Berücksichtigt Spin
1.1 Fermi-Verteilung
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3 / 2
2 2
2( ) 2
4
V mD
3 / 2 3 / 2
2 2
0
2 2( , , ) 2
4 3 e x p ( ) 1
V mJ T V d
3 / 2 1 / 2
2 2
0
2( , , ) 2
4 e x p ( ) 1
V mN J T V d
3 / 2 3 / 2
2 2
0
2( ) 2
4 e x p ( ) 1
V mH E d N d
Zustandsgleichung: EpV3
2
Spin ½ Fermionen, z.B.: Elektronen
Partielle Integration
1.1 Fermi-Verteilung
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1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck:
1) T 0:
( )
1( )
1ii
e
•
1
1/2
0
T = 0
(T=0) = F
iN
i
1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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direkte Konsequenz des Pauliprinzips: alle Einteilchenzustände bis zur Energie F sind einfach besetzt
• alle Zustände einfach besetzt für unbesetzt für
( 0 , )i
T N
( 0 , )i
T N
• F
NT ),0( („Fermienergie“)
•
• positiv ),0( NT
Vergleiche ideales klassisches Gas: μ negativ
1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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2
Fk
1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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Beispiel: Pauli-Spin Paramagnetismus
1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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Graphene: Monoatomare Kohlenstoffschicht
Bandstruktur: Lineare Dispersion
“Zweidimensionales” Material Kontrolle der Fermi-Energie über Spannung am back gate
b gQ e N C V
Plattenkondensator:
Q
Qb gV
F~E h v k
1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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2 2
2
,
( , , ) ln 1
x y
k
m
B
n n
J T V k T e
22 ln 1
2B
Ak T k d k e
F
2
F
F F0
1 1( 0 , , ) 2 d
2 2
E
A AN J T V E
v v
2
F
F
1 1 1
2b g
CV E
e A v
F b gE V
Leit
fäh
igke
it [
e2/h
]
Back-gate Spannung [V]
1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck
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T1
T2> T1
1
1/2
0
T = 0
kT
2) T 0:
• ( , ) m it 1 / 2i i
T N N
• iN fällt innerhalb von kT von
auf 0 ab ( )
11
1ie
iN
i
1.3 Endliche Temperaturen:
1.3 Endliche Temperaturen
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Sommerfeld Entwicklung:
2
2 4
0 0
1( ) d ( ) d
61
g g k T g O k T
e
1.3 Endliche Temperaturen
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1.3 Endliche Temperaturen
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1.3 Endliche Temperaturen
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2) T :
• ( )
i
iN e
•
Quantenstatistischer Wert für Fermionen und Bosonen konvergiert zum klassischen Wert für das ideale Gas
3 3
1 1 1ln ln
k la s s i s c h
T T
Vk T k T
N n
T
μ
εF
0
1.3 Endliche Temperaturen
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1.3 Endliche Temperaturen