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1. I Tassi di interesse

Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Metodi Statistici per il Credito e la Finanza

Stefano Di Colli

Strumenti (in generale)

• Un titolo rappresenta un diritto sui redditi futuri dell’emittente o sulle sue attività

• Un obbligazione è un titolo di debito che contiene la promessa di pagamenti periodici per

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contiene la promessa di pagamenti periodici per un determinato lasso di tempo

• Un azione ordinaria è uno strumento finanziario che rappresenta una quota di proprietà in una società

©2010 Stefano Di Colli Metodi Statistici per il Credito e la Finanza

Mercati (in generale)

• Mercati monetari (emissioni di importo unitario elevato, rischio di insolvenza ridotto, scadenza massimo a 1 anno)

• Mercati obbligazionari (obbligazioni pubbliche

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• Mercati obbligazionari (obbligazioni pubbliche e corporate)

• Mercati azionari (regolamentati e OTC)

• Mercati valutari

• Mercati dei derivati (regolamentati e OTC)


Tassi (in generale)

• Il tasso di interesse rappresenta il costo del credito o la sua remunerazione corrisposta a fronte del prestito di fondi

• Il tasso di cambio rappresenta il prezzo di una valuta rispetto a un’altra

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valuta rispetto a un’altra


Capitalizzazione e attualizzazione

• Gli strumenti di debito danno origine a dei flussi di pagamento in favore degli investitori.

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• Domanda: vale più un euro pagato oggi o un euro pagato fra sei mesi?



• Investo un euro oggi• L’euro investito oggi è detto capitale• L’euro più gli interessi che ricevo in futuro è detto montante

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detto montante• Domanda: da cosa dipende l’entità del montante?• Risposta: l’entità del montante dipende dal tasso di interesse, dal regime di capitalizzazione e dall’ orizzonte temporale dell’investimento.



• Domanda: qual è il montante di 100€ investiti per un

anno al 15%?

• Domanda: qual è il valore attuale di 100€ tra un anno

dato che il tasso di interesse corrente è 15%?

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dato che il tasso di interesse corrente è 15%?

• Domanda: è più profittevole un investimento di 100€

al 15% per quattro mesi o per un anno?

• Domanda: è più profittevole un investimento di 100€

al 4% per tre mesi o al 15% per un anno?



In generale:

Regime

Interesse semplice

Regime

Interesse composto

8©2010 Stefano Di Colli Metodi Statistici per il Credito e la Finanza

Interesse semplice Interesse composto

Capitalizzazione M=C[(1+ik*k)] M=C(1+ik)k

Attualizzazione C=M/[(1+ik*k)] C=M/(1+ik)k


Tassi equivalenti:

• Domanda 1: Se un investimento di 100€ frutta 15€ in

quattro mesi e un altro di 100€ ne frutta sempre 15€,

ma in un anno, qual è più vantaggioso?

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• Domanda 2: Come si misura quanto è preferibile il

primo?

• Si considera il tasso equivalente a un anno del 15% quadrimestrale



Regime

Interesse semplice

Regime

Interesse composto

[(1+15%*3)]=1+iA 1+iA=(1+15%)3

1+iA=[(1+15%*3)] i =1+15%*3 – 1 = 45%

1+iA=(1+15%)3

i =(1+15%)3 – 1 = 52,87%

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Tassi equivalenti in generale:


Regime

Interesse semplice

Regime

Interesse composto

1+iA=[(1+ik*k)] 1+iA=(1+ik)k

iA=1+15%*3 – 1 = 45% iA=(1+15%)3 – 1 = 52,87%


Dovendo scegliere tra le quattro seguenti alternative,

1. Tasso di rendimento semestrale del 4,16%

2. Tasso di rendimento quadrimestrale del 2,70%

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2. Tasso di rendimento quadrimestrale del 2,70%

3. Tasso di rendimento trimestrale del 2,0%

4. Tasso di rendimento biennale del 15,0%

quale suggerireste?



• Si consideri un semplice strumento di debito: un prestito

• Vengono prestati 100€ per un anno.

• Alla fine verrà restituito il capitale più 10€

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• Alla fine verrà restituito il capitale più 10€aggiuntivi.

• Domanda: Qual’è il tasso di interesse?

100,10 10%

100= = =i



• La somma dovuta alla scadenza sarà così determinata

• Se venisse rinnovato il prestito per un altro anno?

( )100 1 0,1 110× + =

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• Se venisse rinnovato il prestito per un altro anno?

• E così via


( ) ( ) ( ) ( )2

110 1 0,1 100 1 0,1 1 0,1 100 1 0,1 121× + = × + × + = × + =

( ) ( ) ( )3

121 1 0,1 100 1 0,1 133; ... ; 100 1 0,1× + = × + = × +n

Valore attuale

• Se il tasso di interesse è il 10% é indifferente avere 100€ oggi o 110 tra una anno o 121 tra due anni o 133 tra tre anni

• Qual’è il valore attuale di 121€ tra due anni?

121 10 11 100+ += =

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• Il calcolo del valore attuale di somme che saranno ricevute in futuro è detto sconto. In generale


( ) ( )2 2

121 10 11 100100

1 0,1 1 0,1

+ += =

+ +

( )1 1=

=+

∑n

t

nt

FCVA

i

Valore attuale

• Domanda: qual’è il valore attuale di 250 € che verranno

pagati tra due anni al tasso di interesse del 15%?

• Riprendendo la formula generale

( )1 1=

=+

∑n

t

nt

FCVA

i

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• FC= flusso di cassa tra due anni=250€

• i = tasso di interesse annuo=0,15

• n = numero di anni = 2


( )2250 250

189, 041,32251 0,15

= = =+

VA

( )1 1= +t i

Quattro strumenti del mercato del credito

1. Prestito semplice: il prestatore fornisce al mutuatario un certo ammontare di fondi, rimborsati alla scadenza con l’aggiunta di un pagamento supplementare.

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pagamento supplementare.

• Esempio: Caso visto in precedenza



2. Prestito a rata costante: il prestatore fornisce al mutuatario alcuni fondi che vengono rimborsati periodicamente con rate costanti nel tempo (cosidetto ammortamento alla francese, comprensive di una quota interesse e una quota capitale.

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una quota interesse e una quota capitale.

• Esempio: Si prendono in prestito 1000€ e si pagano rate annuali di 126€ ogni anno per 25 anni

• É utilizzato nei prestiti rateali (finanziamenti per acquisti di immobili, mutui ipotecari)



3. Obbligazione con cedola (coupon): assicura al proprietario il pagamento di una cedola ogni anno fino alla data di scadenza, quando viene rimborsato il valore nominale (par value).

• Esempio: Un obbligazione del valore nominale di

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• Esempio: Un obbligazione del valore nominale di 1000€ frutta una cedola annua di 100€ (10 anni). Alla scadenza prevede il rimborso di 1000€

• É identificata da tre informazioni: la società o l’ente che l’ha emessa, la data di scadenza, il tasso cedolare. Esempi: Btp, obbligazioni statali e societarie



4. Titolo a sconto (obbligazione senza cedola o zero-coupon bond): viene acquistato a un prezzo inferiore al suo valore nominale. Alla scadenza viene rimborsato il valore nominale, senza alcun pagamento di interesse.

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pagamento di interesse.

• Esempio: un titolo a sconto con valore nominale di 1000€ è acquistato per 900€. Dopo un anno al titolare viene rimborsato l’intero valore nominale.

• Sono titoli a sconto i Bot e i titoli senza cedola a lungo termine



• I quattro tipi di strumenti richiedono pagamenti in tempi diversi (alla scadenza per lo zcb, periodici per gli altri)

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Domanda: Come si fa a determinare quale di questi quattro

strumenti garantisce un rendimento maggiore?

• Per compararli bisogna ricorrere al valore attuale e al tasso di interesse effettivo


Rendimento effettivo a scadenza

Definizione: Il rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity) rappresenta quell’unico tasso che eguaglia la somma dei

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quell’unico tasso che eguaglia la somma dei valori attuali dei flussi di cassa prodotti da uno strumento di debito al suo valore odierno



Nel caso di un prestito semplice

• Si prendono in prestito €100 in cambio della restituzione di €110 tra un anno

• Il rendimento a scadenza si calcola a partire

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da

• Nel caso dei prestiti semplici tasso di interesse e rendimento a scadenza coincidono


( )110

1100

+ =i 1,10 1 0,10 10%= − = =i

Rendimento effettivo a scadenzaNel caso di un prestito a rata costante

• Si prendono in prestito €1000 in cambio della restituzione di rate annuali da €85,81 per 25 anni

• Il rendimento a scadenza si calcola a partire da

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• Il rendimento a scadenza si calcola a partire da

• Generalizzando


( ) ( ) ( )2 3 25

85,81 85,81 85,81 85,811000 ...

1 1 1 1= + + + +

+ + + +i i i i

( ) ( ) ( ) ( )2 31

...1 1 1 1 1=

= + + + + =+ + + + +

∑n

n tt

R R R R RC

i i i i i

Rendimento effettivo a scadenzaNel caso di un obbligazione con cedola

• La logica è la stessa vista per il prestito a rata costante

• Il rendimento a scadenza si calcola uguagliando il suo prezzo corrente alla somma

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uguagliando il suo prezzo corrente alla somma dei valori attuali

• Dove C è la cedola al posto della rata


( ) ( ) ( ) ( )2 31

...1 1 1 1 1=

= + + + + =+ + + + +

∑n

n tt

C C C C CP

i i i i i

Rendimento effettivo a scadenzaNel caso di un obbligazione con cedola si parla anche di tasso di rendimento a scadenza (TRES), sotto due ipotesi:

1. il mantenimento del titolo fino alla scadenza

2. reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole)

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2. reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole) a un tasso che è costante e pari al TRES

• Dove C è la cedola


( )1 1=

=+

∑n

tt

CP

TRES

Rendimento effettivo a scadenzaIl caso specifico di una rendita perpetua: si tratta di un’obbligazione perpetua:

• La formula per il rendimento a scadenza diventa

=C

P

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• Dove C è la cedola


=c

c

CP

i


Nel caso di uno zero coupon bond

• Si consideri uno zcb che che corrisponde dopo un anno un valore nominale di €1000 a fronte di un prezzo di acquisto di €900

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• In generale


1000900

1=

+ i

1000 90011,1%

900

−= =i

−=V� P

iP

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