1. integral definida

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2015–16. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 2. Integrales y aplicaciones.

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1. Integral definida: área comprendida entre dos curvas. Uno de los grandes logros de la geometría clásica fue el cálculo de áreas y volúmenes de figuras como triángulos, esferas o conos mediante una fórmula. En esta lección nosotros estudiaremos un método para calcular áreas y volúmenes de estas figuras y otras más complicadas. Este método se llama integración y permite calcular mucho más que áreas y volúmenes. La integral tiene muchas aplicaciones, en especial en la ingeniería. En esta sección el objetivo es dar una definición de área del conjunto A := x, y( )∈2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x){ }, donde f : x ∈ a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ → f (x)∈ es una

función positiva ( [ ]( ) 0, ,f x x a b≥ ∈ ). Es decir, queremos definir (y calcular) el área de la región

que encierra la función f y el eje OX en el intervalo [ ], .a b

Empezamos con una función f : x ∈ a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ → f (x)∈ (que puede tomar valores positivos y

negativos) e introducimos el concepto de suma de Riemann. Dividimos el intervalo [ ],a b en subin-tervalos (no necesariamente de la misma longitud). Para hacer esto consideramos 1n + puntos del intervalo P := x0 = a < x1 < x2 << xn−1 < xn = b{ }, que llamaremos partición del intervalo [ ], .a b

La partición P divide al intervalo [ ],a b en n subintervalos [ ]0 1, ,x x [ ]1 2, ,x x …, [ ]1, .n nx x− El k –

ésimo intervalo de la partición es [ ]1, ,k kx x− siendo k un número natural entre 1 y .n

La longitud del subintervalo [ ]1, ,k kx x− es 1.k kx x −− En cada subintervalo seleccionamos un punto

[ ]1,k k kc x x−∈ y construimos un rectángulo vertical con base en el eje OX (entre los puntos 1kx − y

kx ) que toca a la curva ( )y f x= en el punto ( ), ( ) .k kc f c



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Este rectángulo puede estar hacia arriba o hacia abajo del eje OX dependiendo de que ( )kf c sea positivo o negativo; o puede estar justamente sobre elOX si ( ) 0.kf c = Ahora formamos el produc-to ( )1( ) ,k k kf c x x −− que será positivo o negativo dependiendo del signo de ( ).kf c Si ( ) 0,kf c > coincide con el área del rectángulo y si ( ) 0,kf c < coincide con el opuesto del área del rectángulo que se forma del eje OX hacia abajo. Finalmente sumamos todos estos productos para obtener

S f ,P( ) := f (c1) x1 − x0( )+ f (c2 ) x2 − x1( )++ f (cn ) xn − xn−1( ) = f (ck ) xk − xk−1( )k=1

n

∑ ,

que se llama suma de Riemann de la función f en el intervalo [ ], ,a b respecto de la partición .P Hay muchas de estas sumas, dependiendo de la partición P que elijamos y de los puntos kc que escojamos en el subintervalo [ ]1, .k kx x− Cada una de estas sumas de Riemann, asociada a una parti-

ción del intervalo [ ], ,a b genera rectángulos cuyas áreas aproximan al área de la región que encierra

la función f y el eje OX en el intervalo [ ], .a b

Se llama norma de la partición ,P y se denota por ,P a la mayor de las amplitudes de los subin-

tervalos de la partición. Entonces, si P es un número pequeño, todos los subintervalos de la parti-ción tienen longitud pequeña. Como sugiere la siguiente figura, parece que las particiones con nor-ma pequeña (tendiendo a cero) proporcionan colecciones de rectángulos cuyas áreas aproximan cada vez mejor al área de la región que encierra la función f y el eje OX en el intervalo [ ], .a b

En general esto no ocurre con todas las funciones. Las funciones que verifican esta propiedad se llaman integrables. De forma precisa tenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN. Sea f : x ∈ a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ → f (x)∈ una función. Diremos que f es integrable en el in-

tervalo [ ],a b si existe el límite ( ) ( )10 0 1lim , lim ( ) ,

n

k k kP P kS f P f c x x −→ → =

= −∑ independientemente de la

partición P y de la elección de los puntos [ ]1, ,k k kc x x−∈ para k =1,2,…,n. Al valor de este límite

se le denota por ( )b

af x dx∫ y se llama integral de f en el intervalo [ ], .a b



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OBSERVACIÓN. La integrabilidad de la función ,f es decir, la existencia del límite significa exac-tamente que: para cada número 0ε > existe otro número 0δ > (que depende de ε ) tal que

S f ,P( )− f (x)dxa

b

∫ < ε

para toda partición P tal que P δ< y cada elección de puntos [ ]1, ,k k kc x x−∈ para k =1,2,…,n.

El resultado sobre integrabilidad más importante de esta sección es el siguiente.

TEOREMA (INTEGRABILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS). Sea f : x ∈ a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ → f (x)∈ una

función continua. Entonces f es integrable en [ ], .a b

No obstante, existen funciones que no son integrables.

EJEMPLO. Sabiendo que entre dos números reales cualesquiera siempre es posible elegir un número racional y otro irracional, es fácil comprobar que la función f : x ∈ 0,1⎡⎣ ⎤⎦→ f (x)∈ definida por

1, si es racional,( ) :

0, si es irracionalx

f xx

⎧= ⎨⎩

no es integrable en el intervalo [ ]0,1 .

A continuación recogemos las propiedades básicas de la integral.



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DEFINICIÓN. Sea f : x ∈ a,b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ → f (x)∈ una función positiva ( [ ]( ) 0, ,f x x a b≥ ∈ ). Se defi-

ne el área del conjunto A := x, y( )∈2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x){ } como la integral de f en el inter-

valo [ ], ,a b es decir, área( ) : ( ) .b

aA f x dx= ∫



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En general, si tenemos dos funciones continuas f y ,g con ( ) ( )f x g x≥ para todo [ ], ,x a b∈ en-

tonces el área de la región comprendida entre las curvas ( )y f x= e ( )y g x= en el intervalo [ ],a b

es la integral ( )( ) ( ) .b

af x g x dx−∫

OBSERVACIÓN. Dados dos números a < b, hemos definido f (x)dxa

b

∫ , la integral de una función

integrable en el intervalo [a,b]. Es conveniente también considerar la siguiente definición

f (x)dxb

a

∫ := − f (x)dxa

b

∫ .

1. integral definida

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