integral definida 1

8/14/2019 Integral Definida 1

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1

COLEGIODEBACHILLERES

CLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL II

FASCCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDAUNA VISIN ESTTICA

Autores: Guadalupe Chvez PrezSergio Snchez Carrillo


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COLEGIO DE

BACHILLERES

Colaboradores:

Asesora Pedaggica:

Revisin de Contenido:

iseo Editorial:Leonel Bello CuevasJavier Daro Cruz Ortiz


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3

INTRODUCCIN 5

PROPSITO 7

CUESTIONAMIENTO GUA 9

BOSQUEJO HISTRICO 13

CAPTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA 15

1.1 REA BAJO LA GRFICA DE UNA RECTA 15

1.2 REA BAJO LA GRFICA DE UNA CURVA 23

1.3 INTEGRAL DEFINIDA 37

1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 40

1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO 42

RECAPITULACIN 46

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIN 47

AUTOEVALUACIN 49

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIN 50

BIBLIOGRAFA CONSULTADA 51

N D I C E


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4


5/51

5

Antes de estudiar Clculo Integral podamos calcular reas de figuras regulares, como elcuadrado, rectngulo, tringulo, etc., ahora tendrs la posibilidad de calcular el rea de

figuras irregulares como las siguientes:

Figura 1.

El mtodo para encontrar el rea de estas figuras se conoce como mtodo de exahucin.Definir el rea para figuras geomtricas en general, implica un proceso de lmite.

Obtendrs aproximaciones de los resultados de problemas que impliquen sumasinfinitas, calculars el rea exacta bajo una curva para establecer la Integral Definida yconcluirs con el Teorema Fundamental de Clculo.

I N T R O D U C C I N


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6


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7

El problema bsico de la derivacin es:dado el recorrido de un punto mvil, calcular suvelocidad, o bien, dada una curva, calcular supendiente. El problema bsico de la integracin esel inverso: dada la velocidad de un punto mvil encada instante, hallar su trayectoria, o bien, dada la

pendiente de una curva en cada uno de suspuntos, calcular la curva.

Hans Hahn (1897-1934)

El contenido de este fascculo pretende que al finalizar su estudio:

QU APRENDERS?

CMO LO APRENDERS?

PARA QUE TE VA A SERVIR?

P R O P S I T O

A obtener el rea bajo la grfica deuna funcin f(x) en un intervalo devalores [a,b], estimar reas pormtodos numricos, el concepto deintegral definida, sus propiedades yrelacin con la derivada, adems del

Teorema Fundamental del Clculo.

Por medio del desarrollo y solucinde problemas en los que se requieraconocer el resultado acumulado deprocesos de cambio y situacionesproblemticas en rectngulos.

Para resolver problemas cuya

solucin est dada por el clculo deintegrales definidas.


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8


9/51

9

Desde pocas remotas el hombre se enfrent al problema de la cantidad y la medida,sobre todo de medir longitudes, reas y volmenes. Cuando estas longitudes eransegmentos de rectas o una sucesin finita de dichos segmentos, el problema de medirsu longitud no representaba gran dificultad.

Figura 2.

Anlogamente, cuando se quera medir reas de polgonos, aunque fueran irregulares, elproblema se resolva dividiendo el polgono regular en tringulos esto demuestra quesiempre lo podemos hacer, y calculada el rea de cada tringulo, se deca que elproblema estaba resuelto.

Figura 3.

A

B

C

F

D

E

G

CUESTIONAMIENTO GUA


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10

De la misma manera, nuestros antepasados podan calcular con extraordinaria exactitudel volumen de cuerpos cuyas fronteras (caras) fueran superficies planas (polgonos),como paraleleppedos, pirmides, etctera.

Figura 4.

Estos conocimientos se aplicaron de manera excepcional en la construccin de grandes

obras que hoy nos sorprenden. Pero no solamente en la construccin se tiene dichoconocimiento sino tambin en muchas otras ramas del saber humano, como elconocimiento del movimiento de los astros.

Sin embargo, calcular la longitud de una lnea cuando sta es curva, o encontrar el reade una regin determinada por una curva cerrada o encontrar el volumen de un cuerpocuya superficie ya no es plana sino curva, constituy un verdadero reto en la Antigedad.

Un problema famoso caracterstico es encontrar el rea del crculo, esto es,aproximarnos al rea del crculo por medio de una red de cuadrados cada vez ms fina.Esto se consider imposible, pues por muy fina que fuera la red siempre tendran el

problema del elemento.

Figura 5.

Qu significa que un crculo mida x metros cuadrados de rea?, Significa quepodemos cubrir con x metros cuadrados la superficie del crculo? Para responderresuelve el siguiente ejemplo:


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11

Dibuja un crculo con un radio (r) de 20 cm y calcula su rea mediante la frmula A = r2.Ahora dibuja un cuadrado de 35.449 cm de lado y recrtalo. Cul es el rea de estecuadrado?

Despus de recortar el cuadrado en partes iguales e irlas acomodando dentro delcrculo, hasta llenarlo completamente, qu sucede?

Al principio podrs acomodar partes del cuadrado relativamente grandes, pero conformeavances observars que tienes que ir cortando partes cada vez ms pequeas hastaquedar algunos huecos por llenar y pedazos del cuadrado por acomodar. Qu pasaentonces? Tienen o no el crculo y el cuadrado aproximadamente la misma rea?Tenan o no razn en la Antigedad respecto a la conclusin que llegaron? Este tipo deproblemas y otros podrs resolver por medio del estudio de este fascculo.


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12


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13

Entre los precursores del Clculo Integral est Arqumedes (287-212 a. C.), quien logrcalcular el rea de la superficie de un segmento parablico mediante integraciones ydescomponiendo una superficie plana en fajas rectangulares sumamente estrechas.Kpler, quien descubri la ley de las reas con base en integraciones, tambin concibi

a los slidos como formados por un nmero sumamente grande de elementosinfinitesimales, ya sean tringulos, rectngulos, discos o conos. Buenaventura Cavalieri(1598-1647), en su Geometra de los Indivisibles calcul la longitud de lneas, reas devolmenes, recurriendo a sumas; John Wallis (1616-1703) estableci cuadraturas ycurvaturas con base en los descubrimientos de Cavalieri.

Puesto que el concepto de integral se deriva de la suma, en un principio se le concibicomo la suma de una infinidad de rectngulos con una dimensin infinitesimal. Despusde que Barro (1669) descubri que el problema de calcular el rea con arreglo a curva esel inverso del clculo de la pendiente de la tangente y que Newton y Leibnizreconocieron, a su vez, que la integracin y la diferenciacin son procesos inversos, sedefini la integral de una funcin de cierta variable independiente por la diferencial deesta variable, como otra funcin cuya derivada era la funcin propuesta.

Los trabajos de Newton relativos al clculo son anteriores a los de Leibniz, pero elprimero nada public en un principio, limitndose a exponer en sus ctedras losdescubrimientos que haba hecho; no as Leibniz, quien public una notacin distinta alas de Newton, el cual bas su concepcin en la nocin de velocidad de partculas,considerando lo que l llam crecimiento instantneo, mientras que Leibniz parti delconcepto de diferencias sumamente pequeas.

El mtodo de las fluxiones, que concibi Newton a los 20 aos y redact a los 23, se dioa conocer despus de su muerte; pero insert una breve nota que da a conocer estemtodo en sus memorias, Philosophia Naturalis Principia Matemtica, en donde utilizaeste mtodo, aplicado no slo a problemas de Matemtica pura, sino a fenmenoscelestes.

Leibniz, durante su primera estancia en Pars (1692), cre los procedimientosinfinitesimales de indiscutible originalidad y admirable potencia, en que destaca latendencia simbolizadora. Estudi el problema de las tangentes y su inverso.

BOSQUEJO HISTRICO


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14

Respecto a la tangente y su inversa, Leibniz introdujo el nuevo signo de la integral,

representando con y la misma cantidad que Cavalieri consideraba como suma deordenadas y designaba por omn (omnia, o sea, la suma de todas las y).

Al ver como en la operacin indicada por el signo se eleva el grado, infiri que la

operacin lo rebaja, y como esto suele suceder en la divisin, cre la notacind

x, que

luego abandono para adoptar dx, de cuyo significado slo dio Leibniz esta explicacin:diferencia entre dos x prximas. Son suyas las notaciones dx, dy/dx, lo mismo que lapalabra derivada.

Numerosos matemticos completaron la obra iniciada por Newton y Leibniz. Debencitarse, entre ellos, a Jacobo Bernoulli (1654-1705), quien escribi una carta a Leibniz en1687 para solicitarle esclareciera la comprensin del nuevo clculo; pero como Leibnizestaba de viaje la carta le lleg hasta 1690. La tardanza de la respuesta caus queJacobo Bernoulli se dedicase a la tarea de penetrar los secretos del Clculo Diferencial,Tanto l como su hermano Juan (1667-1748) dieron muestras de aptitudesexcepcionales para la investigacin matemtica, por lo que Leibniz declar que sta eratanto de ellos como suya.

El barn Agustn Luis Cauchy (1789-1857) fue el primero en demostrar, de manerarigurosa y plenamente satisfactoria y con base en el mtodo de los lmites, laconsistencia de sus principios fundamentales.

A Jacobo Bernoulli se debe la denominacin de Clculo Integral, sugerida en 1690 yadoptada por Leibniz en 1696. La integracin por sustitucin fue aplicada por JacoboBernolli desde los primeros tiempos del clculo y la expresin cambio de variable seencuentra en las obras de Cauchy. La integracin por partes, consecuencia inmediata dela frmula de la diferencial de un producto, se encuentra accidentalmente en Brook

Taylor, pero la denominacin se debe a Silvestre F. Lacroix (1765-1843).

La notacin b

a

es de Jos Fourier (1768-1830) y se public por primera vez en la

Thorie analytique de la Chaleur, de 1822, innovacin que se adopt de inmediato.


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15

CAPTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA

1.1 REA BAJO LA GRFICA DE UNA RECTA

Para contestar las preguntas del Cuestionamiento gua, primero calcularemos reas derectngulos. Supongamos que tenemos la funcin constante (x) = 1.

Figura 6.

Primero se calcula el rea comprendida bajo esta funcin; entre las rectas x = 0, x = 1 y

el eje X, se sabe que el rea de un cuadrado es l2, y como el lado mide 1, entonces elrea es 1.

Figura 7.

Ahora calculemos el rea comprendida bajo la misma funcin; las rectas x = 0,x = 2 y eleje X.

X0

1

f x) = 1

Y

X0

f x = 1

Y

x = 1x = 0


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16

Figura 8.

Vemos en la figura 8 que se trata de un rectngulo, por lo tanto, el rea es 2.

Con los mismos datos, slo variando la recta cuya ecuacin al principio fue x = 1 y luegox = 2, ahora por x = 3, tenemos que el rea del nuevo rectngulo es 3 y assucesivamente.

Figura 9.

El valor de la base de los rectngulos la denotaremos como x.

Completa la tabla 1.

Tabla 1.

x x (x) A1(x)1 1 1 12 1 23 3 1 34 4 1 45 56 1

7 7 789 1

10 10 1 10

X0

f x = 1

Y

x = 3

1 2 3

X0

f x) = 1

Y

x = 2x = 0


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17

Se advierte que el clculo del rea nos lleva a obtener una nueva funcin A1(x); el valordel rea A1(x) depende de x. La grfica de la nueva funcin queda como sigue:

Figura 10.

Esta funcin es continua ya que slo calculamos el valor del rea para valores de xenteros positivos, pero tambin se puede calcular el valor para x en todos los reales

positivos; por ejemplo, si2

1=x , entonces el rea es

2

1.

Cmo se llama la nueva funcin? Ahora podemos pensar en calcular el rea bajo lafuncin identidad (anterior), la recta x = 1 y el eje X.

Figura 11.

Como se trata de un tringulo rectngulo, el rea se obtiene mediante la frmula

2

alturaxbase, mas como la base y la altura valen 1, entonces el rea es

2

1.

X

Y

A1(x) = x

x = 1

1

0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

5

X

4

32

1

10

9

87

6

0


18/51

18

Al calcular el rea bajo la funcin identidad, la recta x = 2 y eje X, anlogamente nosqueda un tringulo rectngulo cuya base y altura valen 2.

Figura 12.

Por consiguiente, el rea es 2. para comprenderlo mejor observa la tabla 2.

Tabla 2,

x (x) A1(x) A2(x)

2

1

2

4

2

9

216

2

25

2

36

2

49

2

64

2

81

2

100

1 1 1

2 1 2

3 1 3

4 1 4

5 1 5

6 1 6

7 1 7

8 1 8

9 1 9

10 1 10

X

Y

A1(x) = x

x = 21

0 1 2

2


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19

La primera columna de la tabla 2 es el valor de x; la segunda son valores de la funcinconstante, en este caso 1; la tercera es el valor de las reas de la funcin constanteconforme cambia el valor de x que da como resultado otra funcin llamada identidad, y lacuarta columna son los valores del rea delimitada por la funcin identidad, el eje X y las

rectas que van variando x = 1, x = 2, ..., x = 10.

Qu se observa en los resultados de la ltima columna de la tabla 2? Cul es el reade la regin comprendida debajo de la funcin identidad, el eje X y la recta x = n cuando

n es nmero real positivo? Es2

2n.

Podemos generalizar que para cualquier valor de x real positivo el rea es2

2x, lo que

nos conduce a otra funcin que es la mitad de la funcin cuadrtica (figura 13).

Figura 13.

Deriva la funcin2

)(2

2

xxA = . Qu funcin obtuviste? Tiene alguna relacin con la

funcin A1(x) = x? Es la misma funcin y si ahora derivas A1(x) = x obtendrs la funcinconstante 1, que es la funcin inicial.

Pasar siempre lo mismo con cualquier otra funcin constante? Para contestar veamos

otro ejemplo.

X

Y

2)(

2

2

xxA =

2

0 1 2

8

3 4

2

1

2

9


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20

Si2

1)( =xf , calculemos las reas que se forman con sta funcin, el ejeX, el eje Yy las

rectasx= 1,x= 2,x= 3,...,x= 10.

Figura 14.

Pon los datos y los resultados de las reas en los espacios vacos de la tabla 3.

Tabla 3.

x (x) A1(x)123456789

10

Ahora podemos ver el rea como una funcin que depende del valor de x, esto es,xxA

2

1)(1 = , que es una funcin. Su grfica es:

Y

X0

2

1)( =xf1

X0

2

1)( =xf

Y

x = 1

1

1

X0

2

1)( =xf

Y

x = 10

10

1


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21

Figura 15.

En esta grfica de nuevo podemos calcular el rea comprendida entre la funcin

xxA2

1)(1 = , el eje X y las rectas x = 1,x =2,x = 3,...,x = 10, respectivamente.

Figura 16.

Haz la grfica de las reas para x = 5 y x = 8.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

X

3

4

2

1

0

xxA2

1)(1 =

1

Y

X

2

1

0

xxA2

1)(1 =

1 2 3 4

Y

X

2

1

0

xxA2

1)(1 =


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22

Tabla 4.

x (x) A1(x) A2(x)

2

1

2

1

4

1

2

1

2

1

2

3

4

9

2

1

2

1

2

5

4

25

2

1

21

27

449

2

1

2

1

2

9

4

81

2

1

La tabla 4 muestra el valor de todos los clculos de las reas. De stas, la columna 4

nos induce a otra funcin, 224

1)( xxA = . Deriva esta funcin dos veces y observa el

resultado en cada caso.

Con base en estos ejemplos podemos generalizar, es decir, cualquier funcin constanteal calcular sus reas parciales nos conduce a una funcin lineal de la cual tambinpodemos ir calculando las reas en relacin con stas, que nos lleva a una funcincuadrtica.

El clculo de las reas parciales bajo las grficas de las funciones cuadrticas nosconducir a una funcin cbica? Cmo calcularemos reas de regiones irregulares?

Llamaremos Integral Definida al valor del rea bajo una curva en un intervalo.La integral es la operacin inversa de la derivada, lo cual se advierte en los dos

ejemplos analizados.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25


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23

1.2 REA BAJO LA GRFICA DE UNA CURVA

Se ha calculado el rea bajo la grfica de ciertas funciones elementales, de cierto modosencillas, que son de tipo lineal, es decir, son rectas o segmentos de recta y el clculo delas reas se reduce a determinar el rea de rectngulos o tringulos.

Del clculo del rea con base en la grfica de la funcin constante 1)( =xf , resulta la

funcin xxA =)(1 . Y al calcular el rea bajo la grfica de la funcin xxA =)(1

obtenemos la funcin2

)(2

2

xxA = .

Tambin vimos que si derivamos la funcin A2(x) con respecto a x, obtenemos la funcinA1(x) = x; es decir,

xx

dx

xd

dx

xdA

2

22

)(

2

2 ===

Mas si derivamos la funcin A1(x) = x con respecto a x, obtenemos )(xf , esto es:

1)(1 ==

dx

dx

dx

xdA

Es decir, la funcin de donde parti el clculo.

Para calcular el rea bajo la grfica de una funcin que no sea necesariamente lineal,esto es, el rea bajo la grfica de una curva, usaremos el mtodo de exahucin, quesirve para determinar reas de regiones que no sean de tipo poligonal, sino curvo, comoel crculo. Para esto usaremos tres resultados elementales.

1. El rea de un rectngulo es igual al producto de su base por su altura.

a = bh.

2. Si tenemos una regin conformada por un conjunto de rectngulos adyacentesque no se traslapan, entonces el rea de la regin es igual a la suma de lasreas de cada uno de los rectngulos.


24/51

24

654321 AAAAAAA +++++=

Figura 17.

3. Si una regin R1 est completamente contenida en una regin R2, entonces reade R1 que rea de R2.

Figura 18.

Ahora calcularemos el valor del rea bajo la grfica de una parte de parbola,aproximando el rea de la regin por medio de una sumatoria de reas de rectngulos

construidos de tal manera que se aproximen cada vez ms al rea de la regin deseada.

Sea Rla regin comprendida entre la grfica de la funcin (x) = x2, el eje X y la rectax = 2, construyamos los rectngulos de la siguiente manera:

1. Dividimos el intervalo [0, 2] en 4 subintervalos de igual longitud.

4

2

4

02=

=x

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0, x1, x2, x3, x4} con00 =x

R1

R2

1 2 3 4 5 6


25/51

25

4

2

4

2001 =+=+= xxx

4

4

4

2

4

2

12 =+=+= xxx

4

6

4

2

4

423 =+=+= xxx

4

8

4

2

4

634 =+=+= xxx

que nos determinan los 4 subintervalos;

4

2,0 ,

4

4,

4

2,

4

6,

4

4,

4

8,

4

6.

2. En cada subintervalo construimos un rectngulo con base igual a la longitud del

subintervalo4

2=x y la altura igual al valor mximo que toma la funcin en dicho

subintervalo.

Como la funcin es continua, entonces sta alcanza su valor mximo en algn punto delintervalo cerrado [a, b]; adems, como la funcin (x) = x2 es una funcin creciente, tomael valor mximo en el extremo derecho del subintervalo. Por qu?

Figura 19.

2

4

2

3

2

2

2

1 X

Y

0

f(x) = x


26/51

26

Estos rectngulos adyacentes as construidos forman un polgono rectangularcircunscrito P, cuya rea es igual a la suma de las reas de los rectngulos que loconforman. El rea de cada rectngulo es igual a:

=

==

21

21

21)(

2

11 xfxxfA

=

==

2

1

2

2

2

2)(

2

22 xfxxfA

=

==

2

1

2

3

2

3)(

2

33 xfxxfA

=

==

2

1

2

4

2

4)(

2

44 xfxxfA

El rea del polgono rectangularPes:

+

+

+

=+++=

2

1

2

4

2

1

2

3

2

1

2

2

2

1

2

1

2222

4321 AAAAP

Tras factorizar y asociar trminos tenemos:

[ ] ( ) 75.38

3016941

8

14321

2

1 22223

==+++

=+++

=PA

Como el polgono rectangular contiene a la regin R, entonces tenemos que reade Res que rea de P= 3.75.

Si dividimos el intervalo [0,2] en 8 subintervalos, con base en el mismo procedimientotenemos:

4

1

8

2==x

que determina el conjunto de puntos

4

8,

4

7,

4

6,

4

5,

4

4,

4

3,

4

2,

4

1,0 y los subintervalos:

4

1,0 ,

2

1,

4

1,

4

3,

2

1,

1,

4

3,

4

5,1 ,

2

3,

4

5,

4

7,

2

3,

2,

4

7.

Nuestro conjunto de rectngulos lo construiremos con base en la longitud del intervalo ycomo altura el valor mximo que alcanza la funcin (x) = x2 en cada subintervalo.


27/51

27

Figura 20.

Antes de continuar analicemos ms de cerca nuestro procedimiento. Tenemos8

2=x ,

donde 2 es la longitud del intervalo que estamos partiendo y 8 es el nmero desubintervalos que estamos tomando.

00 =x

8

2

8

2001 =+=+= xxx

=+=+=

8

22

8

2

8

212 xxx

=+

=+=

8

23

8

2

8

2223 xxx

=+

=+=

8

24

8

2

8

2334 xxx

=+

=+= 8

2

58

2

8

2

445 xxx

=+

=+=

8

26

8

2

8

2556 xxx

Y

X0

f(x) = x

4

8

4

7

4

6

4

5

4

4

4

3

4

2

4

1


28/51

28

=+

=+=

8

27

8

2

8

2667 xxx

=+=+= 8288282778 xxx

El rea de cada rectngulo formado es:

( )232

11 18

2

8

2

8

2)(

=

== xxfA

( )232

22 28

2

8

2

8

22)(

=

== xxfA

( )2

32

333

8

2

8

2

8

23)(

=

== xxfA

( )232

44 48

2

8

2

8

24)(

=

== xxfA

( )232

55 58

2

8

2

8

25)(

=

== xxfA

( )232

66 68

2

8

2

8

26)(

=

== xxfA

( )232

77 78

2

8

2

8

27)(

=

== xxfA

( )232

88 88

2

8

2

8

28)(

=

== xxfA

Por lo tanto, el rea del nuevo polgono rectangularPser:

AP=A1 + A2+ A3 + A4 + A5+ A6+ A7+ A8.

Factorizando y asociando trminos tenemos:

[ ] ( ) 1875.32048

287654321

8

23

322222222

3

=

=+++++++

=PA

De esta expresin vemos que la suma de las reas de los rectngulos construidos esigual a la longitud del subintervalo (x) elevado al cubo, multiplicada por la suma de loscuadrados de los ocho primeros nmeros naturales.


29/51

29

Si partimos ahora el intervalo [0,2] en n = 16 subintervalos tendremos:

16

2=x ( ) ( ) 9218.21496

512

11615....321

16

2 222223

=

=+++++

=PA

Si lo dividimos en n = 32 subintervalos tendremos:

32

2=x ( ) ( ) 7929.211440

4096

13231....321

32

2 222223

=

=+++++

=PA

Si dividimos en n = 64 subintervalos tendremos:

64

2=x ( ) ( ) 7294.289440

32768

16463....321

64

2 222223

=

=+++++

=PA

De la operacin anterior uno de los factores es la suma de los cuadrados de los 64primeros nmeros naturales. Como este proceso es muy laborioso, qu ocurre al hacerla siguiente operacin?

[ ]6

1)64(2)164(64 ++.

Compara este resultado con el que ya tenamos.

De aqu en adelante usaremos una operacin similar para cada uno de los siguientescasos.


128

2=x

( ) ( ) 6979.2707264262144

1128127....321

128

2 222223

=

=+++++

=PA

Si dividimos n = 256 subintervalos tendremos:

256

2=x

( ) ( ) 6823.256252162097152

1256255....3212562 222223 =

=+++++

=PA



30/51

30

512

2=x

( ) ( ) 6744.24487040016777216

1512511....321

512

2 222223

=

=+++++

=PA


1024

2=x

( ) ( ) 6705.2358438400134217728

110241023....321

1024

2 222223

=

=+++++

=PA

Ahora calcularemos el rea bajo la grfica de la misma funcin (x) = x2, comprendidaentre el ejeXy la rectax = 3.

Mediante el mismo procedimiento tendremos, para una particin en n = 4 subintervalos.

4

3=x ( ) 6562.12

64

27(30)

4

432134321

4

33

222232222

3

==

+++=+++

=PA

Si n = 8 ;8

3=x

( ) 7578.10512

27(204)

8

8....2138....21

8

33

2223222

3

==

+++=+++

=PA

Si n = 16 ;16

3=x

( ) 8613.94096

27(1496)

16

16....21316....21

16

33

2223222

3

==

+++=+++

=PA

Si n = 32 ;32

3=x

( ) 4262.932

32....21332....21

32

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 64 ;643=x


31/51

31

( ) 2120.964

64....21364....21

64

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 128 ;128

3=x

( ) 1057.9128

128....213128....21

128

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 256 ;256

3=x

( ) 0528.9256256....21

3256....21256

33

222

3222

3

=

+++=+++=

PA

Si n = 512 ;512

3=x

( ) 0263.9512

512....213512....21

512

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Si n = 1024 ; 1024

3

=x ( ) 0131.9

1024

1024....2131024....21

1024

33

2223222

3

=

+++=+++

=PA

Al generalizar nuestro procedimiento, se observa que cuanto mayor es el nmero desubintervalos en que dividimos el intervalo inicial, menor es el rea que resulta de sumarlas reas de los rectngulos construidos. Para explicarlo analicemos qu sucede en unsubintervalo cualquiera, dada una participacin. Tenemos:


32/51

32

Figura 21.

Al duplicar en cada paso el nmero de subintervalos, significa que para la siguienteparticipacin el intervalo [xk1,xk] lo dividimos en 2; y al construir los nuevos rectnguloseliminaremos una parte original.

En la siguiente particin el intervalo queda dividido en 4 subintervalos, con lo cual alconstruir los nuevos rectngulos eliminamos otra parte del rea original.

Al dividir nuevamente el intervalo en 8 subintervalos y construir los rectnguloseliminamos otra parte del rea original.

Por lo tanto, para cada nueva particin del rea del polgono rectangular construido se vareduciendo, ajustndose al rea que deseamos calcular. Cuando el nmero desubintervalos es muy grande (n muy grande) entonces el rea del polgono rectangular,as construido, es prcticamente igual al rea bajo la grfica de la funcin.

Si calculamos ahora el rea bajo la grfica de la funcin (x) =x2, el eje X y la rectax = b, tenemos:

X

Y

0


33/51

33

Figura 22

1. Dividimos el intervalo [0,b] en n subintervalosn

bx= . Esto nos proporciona la

particin { }nxxx ,.....,, 10 con.00 =x

n

b

n

bxx =+= 01

=+=

n

b

n

bxx 212

..

.

bn

bn

n

bxx nn =

=+= 1

Y las reas de los rectngulos son:

3

32

11 )(n

b

n

b

n

bxxfA =

==

3

32

2

22 22)(n

b

n

b

n

bxxfA =

==

X

Y

0

x = b

f(x) = x2

R


34/51

34

3

32

2

33 33)(n

b

n

b

n

bxxfA =

==

.

..

3

32

2

n)(n

b

n

b

n

bnxxfA nn =

==

Sumando estas reas y factorizando tenemos:

( )22223

3

321 ...321... nn

bAAAAA n ++++=++++=

++++=

3

22223 ...321

nnbA

Para determinar cada valor debemos establecer qu valor toma la cantidad entreparntesis cuando n es muy grande.

Como recordars de tus fascculos de primer semestre, 1 + 2 + 3 +...+ n =( )

2

1+nn. De

acuerdo con esta expresin habr una expresin general que nos d la suma de loscuadrados de los n primeros nmeros naturales?, es decir, 12 + 22 + 32 + ... + n2= ?

S! Esta sumatoria es igual a:( )( )

6

121...321 2222

++=++++

nnnn

Demuestra esta frmula mediante el mtodo de induccin matemtica.

Sustituyendo este resultado, tenemos:( )( )

++=

3

3

6

121

n

nnnbA

Efectuando el producto y la divisin indicadas nos queda:

++=

2

3

6

1

2

1

3

1

nnbA


35/51

35

Cuando n es muy grande (n ), el segundo y tercer trmino dentro del parntesistienden a ser cero; por consiguiente:

3

3bA = .

Si b = 1 ; 3333.03

1==A ;

Si b = 2 ; 666.23

8==A ;

Si b = 3 ; 00.93

27==A .

Compara estos valores con los obtenidos.

Si b = x, entonces el rea es una funcin de x, esto es,

Si (x) = x2 ;

3)(

3xxA = .

Qu obtienes si derivas la funcin A(x) con respecto de x?

Determinemos por medio del mismo procedimiento el rea bajo la grfica de la funcin(x) =x3, el ejeXy la rectax= b.

1. Partimos el intervalo [0, b] en n subintervalos:nbx=

Obtenemos la particin:

00 =x

n

bx =1

=

n

bx 22

.

.

.

bn

bnxn =

=


36/51

36

2. En cada subintervalo tomemos el valor mximo que alcanza la funcin (x) = x3 .Como esta funcin es creciente, el mximo lo alcanza en el extremo derecho de cadasubintervalo. Por qu?

Construyamos el conjunto de rectngulos de base igual a la longitud del subintervalo yaltura igual al valor mximo de la funcin en el subintervalo; por consiguiente, sus reasson:

4

43

11 )(n

b

n

b

n

bxxfA =

==

4

43

3

22 22)(n

b

n

b

n

bxxfA =

==

4

43

3

33 33)(n

b

n

b

n

bxxfA =

==

..

.

3

32

2

n)(n

b

n

b

n

bnxxfA nn =

==

nAAAAA ++++= ...321

4

43

4

43

4

43

4

4

...32n

bn

n

b

n

b

n

bA ++++=

++++=

4

33334 ...321

n

nbA

Investiga hacia dnde tiende el valor de la cantidad que est entre parntesis cuando nes muy grande (n).

Hay una frmula general que nos da la suma de los cubos de los n primeros nmerosnaturales

13 + 23 + 33 + ... + n3 =?


37/51

37

1.3 INTEGRAL DEFINIDA

Ahora calcularemos el rea bajo la grfica respecto de una funcin (x) cualquiera.

1. Sea (x) una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b]2. Tomemos una particin del intervalo [a, b] en n subintervalos de igual magnitud:

n

abx

=

Esto nos proporciona un conjunto de puntos {x0,x1,x2,...,xn} que conforman un conjuntode intervalos cerrados [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3],..., [xn1,x n].

Conx0 = a

x1 = a + x

x2 =x1 + x= a + 2x...

xn =xn-1 + x= bn

abna =

+

3. Construyamos una serie de rectngulos cuya base sea igual a la longitud de lossubintervalos y cuya altura sea igual al valor que toma la funcin en un puntocualquiera vkde cada subintervalo [xk1,xk].

Figura 23

X0 = ax1, x2, x3,... ... x b = xn

Y

0X

f(x)


38/51

38

Esta serie de rectngulos nos determina un polgono Pcuya rea ser igual a lasuma de las reas de los rectngulos as construidos.

xvfA = )( 11

xvfA = )( 22

xvfA = )( 33

.

.

.xvfA nn = )(

xvfxvfxvfxvfAAAAA nnp ++++=++++= )(...)()()(... 321321

4. Tomamos particiones con un nmero n cada vez ms grande de subintervalos; esdecir, que sumaremos las reas de una infinidad de rectngulos con reasinfinitamente pequeas ya que al incrementarse el nmero de subintervalos xtiende a ser muy pequeo.

Por lo tanto, si[ ]

++++

n

xvfxvfxvfxvflm n )(...)()()( 321

existe, entonces este lmite ser igual al rea bajo la grfica de la funcin en elintervalo [a, b] y a esta cantidad le llamaremos integral definida de la funcin en el

Intervalo [a,b]; la denotaremos por b

adxxf

)( , es decir,

[ ]

++++=

x

n

xvfxvfxvfxvflmdxxfb

an

)(...)()()()(

321

Al smbolo se le llama integral; a, b se conocen como lmite inferior y superiorrespectivamente.

b

adxxf

)( se lee, integral de a a b de la funcin (x).

dxes la diferencial de x y se considera una cantidad infinitamente pequea. La diferenciaes que x la usamos cuando tenemos sumas finitas y dx cuando tenemos sumasinfinitas, es decir, lmites.


39/51

39

La funcin (x) pude tomar valores negativos, entonces (vk)x pueden ser cantidadesnegativas. Grficamente esto nos inducira a que el rectngulo construido est pordebajo del ejeXy el rea del rectngulo estara multiplicando por 1.

Esto nos lleva a la siguiente conversin: si la regin bajo la grfica est sobre el eje X

[(x)>0] desdex= a hastax= c, su rea es c

adxxf

)( , que es un valor positivo, pero si la

regin entre la grfica y el ejeXest por debajo de ste [(x)


40/51

40

1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

A partir de la definicin de la Integral Definida podemos establecer las siguientespropiedades.

Sean (x) y g(x) funciones integrales en el intervalo [a,b].

1. 0)(

=a

adxxf ; si f(a) existe

2. =b

a

b

adxxfcdxxcf

)()(

La integral de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de lafuncin.

3. [ ] +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

La integral de una suma (f+ g) de funciones es igual a la suma de las integrales.

4. Sea cun punto entre a y b; a < c< b , entonces +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

)()()( .

Figura 25.

5.

=

a

b

b

a

dxxfdxxf

)()( .

Si cambiamos los lmites de la integral entonces el valor de la integral cambiar de signo.

Y

X

f(x)

a c b0


41/51

41

Expresando los resultados obtenidos anteriormente en trminos de la nueva terminologatenemos:

1. Si f(x) = 1 ; [0,b] , bdxdxxfbb

==

0

0

)( .

2. Si f(x) =x,2

)(2

0

0

bxdxdxxfbb

== .

3. Si f(x) =x2 ,3

)(3

0

2

0

bdxxdxxf

bb

== .

4. Si f(x) =x3 , ?)(

0

3

0==

bb

dxxdxxf

Con base en estos resultados y de las propiedades de la integral podemos calcular laintegral de la siguiente funcin: (x) = 3x2 2x+ 4, sobre el intervalo [0,2].

12848)2(42

22

3

2323)423()(

0

2

0

2

0

232

0

2

0

22 =+=+

=+=+=

b

dxxdxdxxdxxxdxxf

1. Interpreta este resultado en cuanto al rea bajo la curva, para esto construye lagrfica de (x).

2. Determina el valor de la integral para la funcin (x) =x3 + 3x2 5x+ 7, sobre elintervalo [0,3].

ACTIVIDAD DE REGULACIN


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42

1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

Como se advierte, encontrar el valor de una integral mediante sumas es bastante difcil;si la funcin es polinomial podramos con dificultad determinar su integral; si la funcin esms compleja, como (x) = senx (x) = x cosx, podramos auxiliarnos de unacomputadora para encontrar las integrales de estas funciones.

Sin embargo existe una relacin entre el concepto de derivada y el de integral que nospermite determinar las integrales de una manera relativamente sencilla. Este mtodo sebasa en el teorema fundamental del clculo.

Consideremos una funcin (x) definida sobre el intervalo [a,b]. Si F(x) es una funcin tal

que )()(

xfdx

xdF= , entonces F(x) se dice que es una antiderivada o una primitiva de (x).

Sabemos que si (x) = c, entonces 0)( ==dxdc

dxxdf , es decir, la derivada de una

constante es igual a cero, pero adems el resultado inverso tambin es cierto:

Si 0)(

=dx

xdf, entonces f(x) = c

La definicin de antiderivada y el resultado anterior nos lleva a que si (x) y g(x) son dosfunciones tales que (x) = g(x), o bien (x) g(x) = 0 equivalente a [(x) g(x)] = 0,significa que (x) y g(x) difieren a los ms en una constante, es decir, (x) = g(x) + c.

Si (x) es una funcin continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la funcin F(x)definida como

=x

adxxfxF

)()( con x [a,b]

Figura 26.

Y

X

f(x)

a x b0

F(x)


43/51

43

es una funcin continua y derivable y

)()()(

xfdx

dxxfd

dx

xdF

x

a ==

;

es decir, F(x) es una antiderivada o funcin primitiva de (x),

F(x) = (x) .

Esto concuerda con los resultados obtenidos en los clculos que hemos hecho en estefascculo.

Sea G(x) una antiderivada de la funcin (x), esto es,

G(x) = (x) ,

Entonces como F(x) = x

adxxf

)( es tal que F(x) = (x) ,

tenemos F(x) = G(x).

Lo anterior implica que F(x) y G(x) son funciones que difieren a lo ms de una constante,por lo tanto,

F(x) = G(x) + C.

Como F(a) = 0)(

=a

adxxf (primera propiedad de la integral), entonces

0 = F(a) = G(a) + C;por lo tanto, G(a) + C= 0; C= G(a); es decir, el valor de la constante Ces igual a menosel valor que toma la funcin primitiva en el punto a y:

F(b) = )()()(

aGbGdxxfb

a= .

A este resultado, el teorema fundamental del clculo, llegaron Newton y Leibniz.

Si G(x) es una funcin primitiva de (x), entonces

=b

aaGbGdxxf

)()()(


44/51

44

Este teorema nos facilita el clculo de la integral de muchas otras funciones, como lopodrs comprobar en los siguientes fascculos. En particular como

( ) nn

n

xn

xndxn

x

d =+

+=+ +

+

)1()11 11

1

Esto es,)1(

1

+

+

n

xnes antiderivada dexn, por lo tanto, tenemos:

)1()1(

)1(

111

+

+=

+=

+++

na

n

b

n

xdxx

nnb

a

nb

a

n

que es congruente con los resultados obtenidos y que nos permite calcular integrales defunciones tales como (x) = 5x6 7x4 + 2x2 5, en el intervalo [2,3].

+=3

2

3

2

246 )5275()( dxxxxdxxf

+=3

2

3

2

23

2

43

2

6 5275 dxdxxdxxdxx

3

2

121416

512

214

716

5

+++

++

+

+= x

xxx

3

2

357

5

3

2

5

7

7

5

+= xxxx

+

+= )2(5

3

)2(2

5

)2(7

7

)2(5)3(5

3

)3(2

5

)3(7

7

)3(5 357357

1033.218.4442.9115182.34014.1562 +++=

89.1282=


45/51

45

Calcula la integral de las siguientes funciones en los intervalos indicados.

1. (x) = 4x2 5x+ 2 ; [4,5]

2. (x) = 3x3 2x; [3,3]

3. (x) = 2x4 7x2 + 2 ; [4,4]

4. (x) = 5x4 3x3 + 2x2 5x; [1,2]

5. (x) = 6x6 4x4 + 2x3 3x; [1,1]

ACTIVIDAD DE REGULACIN


46/51

46

El siguiente esquema te proporcionar los elementos necesarios para elaborar unaRecapitulacin.

rearea bajo la grfica de una recta

rea bajo la grfica de una curva

Integral Definida

rea bajo la grfica de una curva

RECAPITULACIN


47/51

47

1. Calcula el rea bajo la grfica de la funcin (x) = 2 sobre el ejeX, entre el eje Yy las rectasx= 1,x= 2,x= 3, ... ,x= 10.

2. Calcula por el mtodo de exahucin el rea bajo la grfica de la funcin(x) = 25 x2; sobre el eje X, entre el eje Yy la recta x = 4. Para construir losrectngulos toma el valor mnimo de la funcin en cada subintervalo.

3. Calcula por medio del mtodo de exahucin el rea de la regin determinada porla grfica de la funcin (x) =x3; el ejeXy las rectasx= 2 yx= 2.

Figura 26.

f(x) = x

Y

1 20X

-2 -1

ACTIVIDAD DE CONSOLIDACIN


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48

En los siguientes ejercicios utiliza las propiedades de la integral, el Teorema

Fundamental del Clculo y el resultado +=+

b

a

b

a

nn

n

xdxx

1

1

para determinar el valor de la

integral que se te pide.

4. Sea (x) = 3x2 2x+ 1 ; [0,5]

5. Sea (x) = 4x5 6x3 + 3x; [2,2]

6. Sea (x) = x7 + 8x4 3x2 + 5 ; [1,2]

7. Sean (x) = 3x 2 y g(x) = 2x 3 ; [ ] =+ )()(5

0dxxgxf

8. Sea

integral definida 1

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