ONDE

Un’ONDA ELASTICA rappresenta la propagazione di una perturbazione con trasporto di energia e quantità di moto e NON di materia.

Le ONDE MECCANICHE consistono nella propagazione di vibrazioni meccaniche in un mezzo

L’origine dell’onda è una vibrazione. Es. Quando si dà una scossa ad una corda tesa, si produce una “gobba” che viaggia lungo la corda. IMPULSO (o onda impulsiva) Il mezzo in cui si muove l’impulso è la corda. La velocità di propagazione dell’onda dipende dalle caratteristiche del mezzo (qui tensione e massa per unità di lunghezza della corda)

ONDE E IMPULSI

Onda trasversale

Lo spostamento delle particelle sulla corda è in verticale

L’onda si propaga in orizzontale

ONDE PERIODICHE Una perturbazione oscillante continua genera una un’onda periodica.

Onda longitudinale

L’onda si propaga con una serie di compressioni e rarefazioni

Ogni singola particella si muove nella direzione di propagazione dell’onda, ma non viaggia con l’onda; oscilla intorno ad una posizione di equilibrio

Nei solidi si possono trasmettere sia onde trasversali che longitudinali; nei fluidi solo onde longitudinali

NOTA BENE

PERIODICITA’ NEL TEMPO

Grafico: - Asse x à tempo - Asse y à spostamento di un punto dalla sua posizione di equilibrio

A

Fissiamo un punto, per esempio A, e vediamo come varia la sua posizione nel tempo al passaggio dell’onda

PERIODO: il più piccolo intervallo di tempo dopo il quale il moto riassume tutte le sue proprietà e caratteristiche.

FREQUENZA: è l’inverso del periodo ν = 1/T

E’ il numero di onde che passa per un punto in un secondo Periodo (e frequenza) sono caratteristiche intrinseche dell’onda

Punti in fase: punti che si trovano nelle stesse condizioni spaziali ed energetiche (es. A ed A’; B e B’ ; C e C’...)

Grafico: -  asse x à distanza dei punti del mezzo dal punto in cui ha avuto origine l’onda -  asse y à spostamento di ciascun punto dalla sua posizione di equilibrio in un dato istante t

Lunghezza d’onda

Lunghezza d’onda:   distanza minima tra due punti che vibrano costantemente in fase   distanza percorsa da un’onda in un periodo

λ = v ·T Velocità di propagazione dell’onda

PERIODICITA’ NELLO SPAZIO

Lunghezza d’onda e velocità dipendono dal mezzo in cui l’onda si propaga

RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA Data una singola onda periodica con un’unica frequenza ν, lo spostamento y di un punto varia nel tempo con la legge y = A cos(2πνt) = A cos(ωt) à legge del moto armonico In questo modo a t=0 à y=A (scelta comoda ma non necessaria) Se volessimo t=0 à y=0 y = A cos(2πνt + 90°)

In generale

y = A cos( 2πνt + δ )

FASE

FASE INIZIALE

y

y A

T=1/ν

2πνt

2πνt

SFASAMENTO TRA ONDE Date due onde

y1 = A cos( 2πνt ) y2 = A cos( 2πνt + δ )

Qui δ è la differenza di fase tra le onde (Fase2-Fase1)

ONDE IN FASE

2πνt

y

Differenza di Fase = 0 (o 2π)

ONDE IN OPPOSIZIONE DI FASE

Differenza di Fase = π

2πνt 2πνt

y

SUPERFICI D’ONDA Si dice superficie d’onda una superficie i cui punti vibrano in fase, ovvero in ogni istante assumono lo stesso spostamento dalla posizione di equilibrio.

Le traiettorie ortogonali alle superfici d’onda si chiamano raggi d’onda o di propagazione.

Lungo i raggi d’onda avviene la propagazione del moto vibratorio.

Rispetto alla forma delle superfici d’onda, le onde si possono classificare come:

Onde sferiche Onde circolari Onde piane

ENERGIA TRASPORTATA DALLE ONDE Le onde trasportano energia.

Se le onde viaggiano attraverso un mezzo l’energia viene trasferita sotto forma di energia vibrazionale da una particella all’altra del mezzo.

Al passaggio dell’onda le particelle si muovono di moto armonico semplice

ogni particella ha un’energia 1/2 kA2

con A ampiezza del moto delle particelle del mezzo

2

2 12

1 2

2 1

1 2

I r=I rA r=A r

Energia trasportata nell’unità di tempo: E ∝ A2

INTENSITA’ ∝ A2

•  Per onde sferiche: I = P / 4πr2

(r è la distanza dalla sorgente) I ∝ 1/r2 e A∝ 1/r

AreaPotenza

AreaTempoEnergiaI ==/

RIFLESSIONE DELLE ONDE Quando un'onda incontra un ostacolo o giunge alla fine del mezzo nel quale sta viaggiando, essa viene almeno in parte riflessa, cioè torna indietro nello stesso mezzo.

LEGGI DELLA RIFLESSIONE

1) il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie d'incidenza giacciono nello stesso piano;

2) l'angolo d'incidenza è uguale all'angolo di riflessione

Le onde riflesse sono sempre circolari e hanno centro in S', simmetrico di S rispetto alla superficie riflettente

ONDE PIANE

ONDE CIRCOLARI

RIFRAZIONE DELLE ONDE Quando un'onda arriva sulla superficie di separazione di due mezzi diversi, in cui cioè la perturbazione si propaga con velocità diverse, in parte viene riflessa ed in parte penetra nel secondo mezzo. L’onda trasmessa si muove in una direzione diversa rispetto a quella incidente. La variazione di direzione subita dai raggi prende il nome di rifrazione.

θ1 = angolo di incidenza

v1 = velocità di propagazione dell’onda nel mezzo 1

θ2=angolo di rifrazione

v2 = velocità di propagazione dell’onda nel mezzo 2

1)  Il raggio incidente, la normale alla superficie di separazione dei due mezzi e il raggio rifratto giacciono sullo stesso piano 2)  Il rapporto tra il seno dell'angolo d'incidenza e il seno dell'angolo di rifrazione è costante al variare dell'angolo d'incidenza

n12 = indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto al primo; dipende dalla particolare coppia di mezzi considerati.

senθ1senθ2

= n12 =n2n1=v1v2

INTERFERENZA Se nella stessa regione di spazio si propagano simultaneamente due onde distinte di piccola ampiezza, prodotte da due sorgenti diverse:

-  le perturbazioni si propagano indipendentemente l'una dall'altra senza disturbarsi reciprocamente

-  in ciascun punto in cui si sovrappongono lo spostamento risultante è la somma algebrica degli spostamenti prodotti da tutte le onde in quel punto e in quell'istante.

-  gli impulsi, dopo aver interagito sommandosi, si allontanano conservando le stesse caratteristiche come se nulla fosse accaduto

INTERFERENZA DISTRUTTIVA

INTERFERENZA COSTRUTTIVA

INTERFERENZA: sovrapposizione di moti ondulatori che si propagano nello stesso mezzo in una regione di spazio

INTERFERENZA

Consideriamo due sistemi di onde periodiche, aventi la stessa frequenza e la stessa direzione di vibrazione. Es. onde circolari prodotte da due sorgenti puntiformi, separate da una piccola distanza, che oscillano in fase.

Interferenza costruttiva:

-  differenza di cammino   Δx = N λ/2 N=0,2,4…

 - onde in fase  - yRIS = y1+y2

Δx=λ

Δx=λ/2

Interferenza distruttiva:

-  differenza di cammino   Δx = N λ/2 N=1,3,5…

 - onde in opposizione di fase  - le onde si elidono a vicenda   yRIS = y1-y2

INTERFERENZA

COSTRUTTIVA DISTRUTTIVA PARZIALMENTE DISTRUTTIVA

FRANGE DI INTERFERENZA COSTRUTTIVA

S1 e S2 à sorgenti Superfici d'onda à circonferenze con centri in S1 e S2 Circonferenze disegnate à creste dell'onda

La distanza tra due creste (cioè Δr tra due circonferenze consecutive) è 1 lunghezza d'onda λ.

λ

A metà tra due circonferenze di creste si trovano le circonferenze dei ventri (non disegnate)

Tutte le doppie creste e i doppi ventri si dispongono su linee distinte dette frange di interferenza costruttiva (L0,L1,L2 etc)

L0 è il luogo dei punti aventi ugual distanza da S1 e S2

L1, L2, ecc. sono luogo dei punti tali che la differenza delle distanze da S1 e S2 in valore assoluto è costantemente uguale ad una, due, ecc. lunghezze d'onda (iperboli di fuochi S1 ed S2).

FRANGE DI INTERFERENZA COSTRUTTIVA P

S1 S2

x1 x2

Le frange d'interferenza costruttiva sono il luogo dei punti P in cui

| x1-x2| = n λ = 2n λ/2 n = 0,1,2,3…

In ogni punto delle frange d'interferenza costruttiva:

•  arrivano in OGNI istante (non solo in quello considerato) perturbazioni in fase, per cui gli spostamenti prodotti dalle due onde si sommano sempre

•  si ha un continuo alternarsi in ogni punto di creste e ventri (più ampie di quelle generate dalla singola onda) ad intervalli di tempo uguali alla metà del periodo delle onde

FRANGE DI INTERFERENZA DISTRUTTIVA P

S1 S2

x1 x2

Le frange d'interferenza distruttiva sono il luogo dei punti in cui

| x1-x2| = (2n+1) λ/2 n = 0,1,2,3…

In ogni punto delle frange d'interferenza distruttiva:

•  giunge una cresta da una sorgente e un ventre dall’altra sorgente

•  se le onde hanno la stessa ampiezza, ad es. l'acqua rimane praticamente immobile Questi punti si chiamano nodi ( frange d'interferenza distruttiva à linee nodali).

Lungo le linee nodali:

•  se le ampiezze delle due onde sono uguali non passa alcuna perturbazione;

•  se le ampiezze sono diverse si ha una perturbazione che si propaga con ampiezza uguale alla differenza delle due ampiezze

DIFFRAZIONE Le onde propagandosi si espandono e quando incontrano un ostacolo, in qualche modo lo aggirano e lo oltrepassano raggiungendo anche punti che non sarebbero raggiungibili da particelle materiali. Questo fenomeno è detto diffrazione

1.  Se la larghezza della fenditura è circa pari alla lunghezza d'onda, l'onda procede oltre l'apertura in tutte le direzioni formando onde sferiche

2. Se la larghezza dell'apertura è "molto" maggiore della lunghezza d'onda, l'onda procede praticamente in linea retta, a parte in corrispondenza dei bordi dell'apertura in cui si hanno onde sferiche

DIFFRAZIONE Effetti di diffrazione quando un treno d’onde incontra un ostacolo:

•  se le dimensioni trasversali dell’ostacolo sono confrontabili (o inferiori) con la lunghezza d'onda dell'onda incidente, le onde aggirano l’ostacolo propagandosi dietro esso

•  se le dimensioni trasversali dell’ostacolo sono molto maggiori della lunghezza d'onda dell'onda incidente, l'onda non è in grado di aggirare l'ostacolo e quindi si crea, oltre l'ostacolo, una "zona d'ombra" non raggiunta dall'energia trasportata dall'onda.

DIFFRAZIONE Onda ν (Hz) Dimensioni dell'ostacolo oltrepassabile (m) Suono 20 - 20000

Utrasuoni (20 - 120)·103

Onde radio (cell.) 109

Luce visibile (4 – 7.5 )·1014

Raggi X 1016 - 1021

c = 3·108 m/s vSUONO = 344 m/s

DIFFRAZIONE Onda ν (Hz) Dimensioni dell'ostacolo oltrepassabile (m) Suono 20 - 20000 17.2 m à 17.2 mm

Utrasuoni (20 - 120)·103 17.2 mm à 2.9 mm Onde radio

(cell.) 109 0.3 m

Luce visibile (4 – 7.5 )·1014 (0.75 à1.9 )·10-6 m Raggi X 1016 - 1021 3·10-8 à 3·10-13 m

c = 3·108 m/s vSUONO = 344 m/s

BATTIMENTI Si è discussa l’interferenza di onde nello spazio. I battimenti sono un esempio di interferenza tra onde nel tempo.

Consideriamo due onde di frequenza simile ma non uguale, es ν1=50 Hz e ν2=60 Hz

Esaminiamo le due onde in un punto dello spazio equidistante dalle due sorgenti a partire dall’istante t=0 in cui le due onde arrivano in fase e interferiscono costruttivamente. A t=0.1s le due onde sono di nuovo in fase e l’ampiezza risultante è grande.

Questo crescere e diminuire dell’intensità dell’onda è il battimento.

La frequenza di battimento è pari a νB = ν2 – ν1

L’ampiezza è massima ogni 0.1s e diminuisce drasticamente nei tempi intermedi.

ONDE STAZIONARIE Sollecitiamo nel suo punto medio una corda tesa fissata alle estremità.

L’impulso, arrivato ad una estremità, viene riflesso capovolto e si propaga in verso opposto con la stessa velocità e la stessa ampiezza.

Lungo la corda vi sono onde che viaggiano in entrambe le direzioni combinandosi secondo le regole dell’interferenza, producendo un’onda stazionaria di grande ampiezza. L’onda si chiama stazionaria perché non si propaga. La corda semplicemente sembra avere segmenti che oscillano su e giù in una configurazione fissa.

VENTRI: punti in cui la corda oscilla con la massima ampiezza (punti di interferenza costruttiva)

NODI: punti in cui la corda rimane ferma (interferenza distruttiva)

Tutti i punti tra i nodi vibrano in fase, ma con ampiezza variabile

ONDE STAZIONARIE

λ1=2L

Se pizzichiamo differentemente la corda si possono ottenere diverse configurazioni di onde stazionarie

…e così via

ONDE STAZIONARIE

Lunghezza d’onda e frequenza della n-esima armonica:

λn=2L/n νn = (nv)/(2L) n=1,2,3…

ν2 = v/L = 2ν1

= 3ν1

ν = v/λ

Lv

Lv

23

23

3 ==ν

Un’onda “non sinusoidale” è chiamata complessa: essa può essere periodica, o no. Un’onda complessa può essere considerata come la somma (algebrica) di onde sinusoidali ciascuna di data frequenza e intensità. Se l’onda complessa è periodica (con periodo T), essa si può scomporre in un certo numero di onde sinusoidali le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza chiamata frequenza fondamentale (Teorema di Fourier) In questo caso le onde componenti prendono il nome di armoniche: la prima armonica è chiamata fondamentale e la sua frequenza è uguale a 1/T; la seconda armonica ha una frequenza 2/T, la terza armonica 3/T e così via.

SCOMPOSIZIONE DI ONDE COMPLESSE